Modelo Volumétrico - Espacial. Clasificación de los tipos de modelado. modelos dinámicos. Ejemplos de construcción de modelos dinámicos Modelos espaciales y dinámicos

La asociación espacial de elementos individuales de un objeto técnico es una tarea de diseño generalizada en cualquier rama de la tecnología: radioelectrónica, ingeniería mecánica, energía, etc. Una parte importante del modelado espacial es la visualización de elementos individuales y un objeto técnico como un todo. algoritmos e implementación de software de aplicaciones gráficas para la solución de este problema.

La construcción de modelos de elementos es de carácter universal y puede considerarse como una parte invariable de muchos sistemas de modelado espacial y diseño asistido por ordenador de objetos técnicos.

Independientemente de las capacidades del entorno gráfico utilizado, según la naturaleza de la formación de modelos gráficos, se pueden distinguir tres grupos de elementos:

1. Elementos únicos cuya configuración y dimensiones no se repitan en otras piezas similares.

2. Elementos unificados, incluido un determinado conjunto de Fragmentos de configuraciones específicas de las partes. esta clase. Por regla general, existe una gama limitada de tamaños de elementos estandarizados.

3. Elementos compuestos, incluidos elementos únicos y unificados en un conjunto arbitrario. Las herramientas gráficas utilizadas pueden permitir cierto anidamiento de elementos compuestos.

El modelado espacial de elementos únicos no es muy difícil. La formación directa de la configuración del modelo se realiza en un modo interactivo, después de lo cual la implementación del software se realiza sobre la base del protocolo de formación del modelo o una descripción de texto del elemento recibido.

2. Selección alterna de fragmentos de la configuración espacial y determinación de sus tamaños;

3. Vinculación del modelo gráfico del elemento a otro elemento, objeto técnico o sistema;

4. Ingresar información adicional sobre el elemento modelado

Este enfoque para la formación de modelos de elementos unificados proporciona una implementación de software confiable.

El modelo de elemento compuesto consiste en una colección del modelo, tanto elementos únicos como unificados. Proceduralmente, el modelo de un elemento compuesto se construye de manera similar al modelo de un elemento unificado, en el que los modelos de elementos listos para usar actúan como fragmentos gráficos. Las características principales son la forma de enlace mutuo de los modelos incluidos y la mecánica de combinar fragmentos individuales en un elemento compuesto. Este último está determinado principalmente por las capacidades de las herramientas gráficas.

La integración del entorno gráfico y el sistema de gestión de base de datos (DBMS) de información técnica garantiza la apertura del sistema de modelado para resolver otros problemas de diseño: cálculos preliminares de diseño, selección de la base del elemento, ejecución de documentación de diseño (texto y gráficos), etc. La estructura de la base de datos (DB) se define como los requisitos de los modelos gráficos y las necesidades de información de las tareas relacionadas. Como herramientas, es posible utilizar cualquier SGBD interconectado con el entorno gráfico. El carácter más general es la construcción de modelos de elementos unificados. En una primera etapa, como resultado de la sistematización de la nomenclatura de elementos que son del mismo tipo en cuanto a finalidad y composición de fragmentos gráficos, se selecciona una muestra hipotética o existente del elemento modelado, la cual cuenta con un conjunto completo de partes modeladas del objeto.

Métodos de interpolación por puntos discretamente ubicados.

El problema general de la interpolación por puntos se formula de la siguiente manera: dado un número de puntos (nodos de interpolación), la posición y valores de características en los que se conocen, es necesario determinar los valores de características para otros puntos, del que sólo se conoce la posición. Al mismo tiempo, se distinguen los métodos de interpolación global y local, y entre ellos se encuentran el exacto y el aproximado.

Con interpolación global para todo el territorio, se utiliza simultáneamente una sola función de cálculo z = F(x,y) . En este caso, cambiando un valor (x, y) en la entrada afecta a todo el DEM resultante. En la interpolación local, el algoritmo de cálculo se usa repetidamente para algunas muestras de un conjunto común de puntos, generalmente muy próximos entre sí. Luego, un cambio en la elección de puntos afecta solo los resultados del procesamiento de una pequeña área del territorio. Los algoritmos de interpolación global producen superficies suaves con pocos bordes afilados; se utilizan cuando se supone que se conoce la forma de la superficie, como una tendencia. Cuando una gran proporción del conjunto de datos total se incluye en el proceso de interpolación local, esencialmente se vuelve global.

Métodos exactos de interpolación.

Métodos de interpolación exacta reproducir los datos en los puntos (nodos) en los que se basa la interpolación, y la superficie pasa por todos los puntos con valores conocidos. análisis de barrio, en el que se supone que todos los valores de las características modeladas son iguales a los valores en el punto conocido más cercano. Como resultado, los polígonos de Thiessen se forman con un cambio brusco de valores en los límites. Este método se utiliza en estudios ambientales, al evaluar zonas de impacto, y es más adecuado para datos nominales.

en método B-splines construye un polinomio lineal por partes, que te permite crear una serie de segmentos que finalmente forman una superficie con derivadas primera y segunda continuas. El método asegura la continuidad de alturas, pendientes, curvatura. El DTM resultante tiene forma de trama. Este método de interpolación local se utiliza principalmente para superficies lisas y no es adecuado para superficies con cambios pronunciados, lo que provoca fuertes fluctuaciones en la spline. Es ampliamente utilizado en programas de interpolación de superficies de uso general y suavizado de isolíneas al dibujarlas.

En los modelos TIN, la superficie dentro de cada triángulo suele estar representada por un plano. Dado que para cada triángulo está dado por las alturas de sus tres vértices, entonces, en una superficie de mosaico común, los triángulos de las secciones adyacentes se unen exactamente en los lados: la superficie formada es continua. Sin embargo, si se dibujan líneas horizontales en la superficie, en este caso serán rectilíneas y paralelas dentro de los triángulos, y en los límites habrá un cambio brusco en su dirección. Por lo tanto, para algunas aplicaciones de TIN, se construye una superficie matemática dentro de cada triángulo, caracterizada por un cambio suave en los ángulos de inclinación en los límites de los triángulos. Análisis de tendencia. La superficie se aproxima mediante un polinomio y la estructura de datos de salida es una función algebraica que se puede utilizar para calcular valores en puntos ráster o en cualquier punto de la superficie. Ecuación lineal, por ejemplo, z = un + bx + su describe una superficie plana inclinada, y la cuadrática z = un + bx + su + dx2 + exu + fy2 - una simple colina o valle. En términos generales, cualquier sección de la superficie t-th el pedido no tiene mas (t- 1) alternancia de altibajos. Por ejemplo, una superficie cúbica puede tener un máximo y un mínimo en cualquier sección. Los efectos de borde significativos son posibles porque el modelo polinomial produce una superficie convexa.

Métodos de media móvil y media ponderada de distancia se utilizan más ampliamente, especialmente para modelar superficies que varían suavemente. Los valores interpolados son la media de los valores para PAG puntos conocidos, o la media obtenida a partir de los puntos interpolados, y en el caso general se suelen representar mediante la fórmula

Métodos de aproximación de la interpolación.

Métodos de interpolación de aproximación se utiliza cuando existe cierta incertidumbre acerca de los datos de superficie disponibles; se basan en la noción de que muchos conjuntos de datos muestran una tendencia de superficie que cambia lentamente y se superpone con desviaciones locales que cambian rápidamente, lo que genera inexactitudes o errores en los datos. En tales casos, el suavizado debido a la aproximación de la superficie reduce la influencia de los datos erróneos sobre el carácter de la superficie resultante.

Métodos de interpolación por rangos.

La interpolación por rangos consiste en transferir datos de un conjunto inicial de rangos (clave) a otro conjunto (objetivo) y se usa a menudo cuando se zonifica un territorio. Si los hábitats objetivo son una agrupación de hábitats clave, esto es fácil de hacer. Surgen dificultades si los límites de las áreas objetivo no están relacionados con las áreas clave originales.

Consideremos dos variantes de interpolación por rangos: en la primera de ellas, como resultado de la interpolación, el valor total del indicador interpolado (por ejemplo, tamaño de la población) de las áreas objetivo no se conserva en su totalidad, en la segunda, se .

Imagine que hay datos de población para algunas áreas con límites dados, y deben extenderse a una cuadrícula de zonificación más fina, cuyos límites generalmente no coinciden con la primera.

La metodología es la siguiente. Para cada área fuente (área clave), la densidad de población se calcula dividiendo el número total de residentes por el área del sitio y asignando el valor resultante al punto central (centroide). Con base en este conjunto de puntos, utilizando uno de los métodos descritos anteriormente, se interpola una cuadrícula regular, para cada celda de la red se determina la población multiplicando la densidad calculada por el área de la celda. La cuadrícula interpolada se superpone al mapa final, los valores de cada celda se refieren a los límites del área objetivo correspondiente. Luego se calcula la población total de cada uno de los distritos resultantes.

Las desventajas del método incluyen una certeza poco clara de la elección del punto central; los métodos de interpolación por puntos son inadecuados y, lo más importante, no se almacena el valor total del indicador interpolado de áreas clave (en este caso, la población total de las áreas censales). Por ejemplo, si la zona de origen se divide en dos zonas de destino, la población total en ellas después de la interpolación no será necesariamente igual a la población de la zona de origen.

En la segunda variante de interpolación, se utilizan los métodos de la tecnología de superposición GIS o la construcción de una superficie lisa basada en la llamada interpolación adaptativa.

En el primer método, se superponen las áreas clave y objetivo, se determina la participación de cada una de las áreas fuente en las áreas objetivo, los valores del indicador de cada área fuente se dividen en proporción a las áreas de sus parcelas en diferentes áreas objetivo. Se cree que la densidad del indicador dentro de cada área es la misma, por ejemplo, si el indicador es la población total del área, entonces la densidad de población se considera un valor constante para ella.

El propósito del segundo método es crear una superficie lisa sin salientes (los valores de los atributos no deben cambiar bruscamente en los bordes de las áreas) y preservar el valor total del indicador dentro de cada área. Esta es su metodología. Se aplica un ráster denso al cartograma que representa las áreas clave, el valor total del indicador para cada área se divide equitativamente entre las celdas ráster que lo superponen, los valores se suavizan reemplazando el valor de cada celda ráster con el promedio para el vecindario (sobre la ventana 2 × 2, 3 × 3, 5 × 5) y suma los valores para todas las celdas en cada área. Además, los valores para todas las celdas se corrigen proporcionalmente para que el valor total del indicador para el rango coincida con el valor inicial (por ejemplo, si la suma es menor que el valor inicial en un 10%, los valores para cada celda se incrementan en un 10%). El proceso se repite hasta que no. los cambios se detendrán.

Para el método descrito, la homogeneidad dentro de los rangos no es necesaria, pero variaciones demasiado fuertes en el índice dentro de ellos pueden afectar la calidad de la interpolación.

Los resultados se pueden representar en el mapa como líneas de contorno o semitonos continuos.

La aplicación del método requiere establecer algunas condiciones de contorno, ya que a lo largo de la periferia de las áreas iniciales, los elementos ráster pueden ir más allá del área de estudio o adyacentes a áreas que no tienen el valor del indicador interpolado. Puede, por ejemplo, asignar una densidad de población de 0 (lago, etc.) o tomarla igual a los valores de las celdas más alejadas del centro del área de estudio.

Al interpolar por áreas, pueden surgir casos muy difíciles, por ejemplo, cuando necesita crear un mapa que muestre "áreas de asentamiento" en función de los datos de población de ciudades individuales, especialmente si estas áreas se muestran en la escala del mapa como un punto. El problema también surge para áreas de origen pequeñas, cuando no hay archivos de límites y solo se indica la posición del punto central en los datos. Aquí, son posibles diferentes enfoques: reemplazar los puntos a los que se asignan los datos por círculos, cuyo radio se estima a partir de las distancias a los centroides vecinos; determinación de la densidad de población umbral para la calificación del territorio como urbano; la distribución de la población de cada ciudad sobre su territorio de tal forma que la densidad de población es mayor en el centro y decrece hacia la periferia; en los puntos con un valor umbral del indicador, se dibujan líneas que limitan las áreas pobladas.

A menudo, intentar crear una superficie continua mediante la interpolación de rango a partir de datos de solo puntos conduce a resultados incorrectos.

El usuario suele evaluar el éxito del método de forma subjetiva y principalmente visual. Hasta ahora, muchos investigadores utilizan la interpolación manual o la interpolación “a ojo” (este método no suele ser muy apreciado por los geógrafos y cartógrafos, pero es muy utilizado por los geólogos). Actualmente se está intentando “extraer” el conocimiento de los expertos mediante métodos de creación de bases de conocimiento e introducirlos en un sistema experto que realice interpolaciones.

El modelo se llama estático cuando las acciones de entrada y salida son constantes en el tiempo. modelo estático describe el estado estacionario.

El modelo se llama dinámico si las variables de entrada y salida cambian con el tiempo. modelo dinámico describe el modo inestable de operación del objeto bajo estudio.

El estudio de las propiedades dinámicas de los objetos permite, de acuerdo con el principio fundamental de certeza de Huygens-Hadamard, responder a la pregunta: ¿cómo cambia el estado de un objeto bajo influencias conocidas sobre él y un estado inicial dado?

Un ejemplo de un modelo estático es la dependencia de la duración de una operación tecnológica de los costos de los recursos. El modelo estático se describe mediante la ecuación algebraica

Un ejemplo de un modelo dinámico es la dependencia del volumen de producción de productos comerciales de una empresa del tamaño y el momento de las inversiones de capital, así como de los recursos gastados.

El modelo dinámico a menudo se describe mediante la ecuación diferencial

La ecuación relaciona una variable desconocida Y y sus derivados con variable independiente t y función de tiempo dada X(t) y sus derivados.

Un sistema dinámico puede funcionar en tiempo continuo o discreto cuantificado en intervalos iguales. En el primer caso, el sistema se describe mediante una ecuación diferencial y, en el segundo caso, mediante una ecuación en diferencias finitas.

Si los conjuntos de variables de entrada y salida y los puntos de tiempo son finitos, entonces el sistema se describe máquina final.

Una máquina de estado se caracteriza por un conjunto finito de estados de entrada; un conjunto finito de estados; un conjunto finito de estados internos; función de transición T(x,q), definiendo el orden de cambio de los estados internos; función de salida P(x,q) que especifica el estado de la salida dependiendo del estado de la entrada y del estado interno.

Una generalización de los autómatas deterministas son autómatas estocásticos, que se caracterizan por las probabilidades de transiciones de un estado a otro. Si el funcionamiento de un sistema dinámico tiene el carácter de atender solicitudes emergentes, entonces el modelo del sistema se construye utilizando los métodos teoría de colas.

El modelo dinámico se llama estacionario si las propiedades de transformación de las variables de entrada no cambian con el tiempo. De lo contrario, se llama no estacionario.

Distinguir determinista y estocástica (probabilística) modelos. El operador determinista le permite determinar de forma única las variables de salida a partir de variables de entrada conocidas.

determinismo modelos significa solo no aleatoriedad de la transformación de las variables de entrada, que a su vez pueden ser deterministas o aleatorios.

El operador estocástico permite determinar la distribución de probabilidad de las variables de entrada a partir de una distribución de probabilidad dada de las variables de entrada y los parámetros del sistema.

En términos de variables de entrada y salida, los modelos se clasifican de la siguiente manera:

1. Las variables de entrada se dividen en administrado y no administrado. Los primeros pueden ser modificados a criterio del investigador y son utilizados por el objeto. El segundo es inadecuado para la gestión.

2. Dependiendo de la dimensión de los vectores de variables de entrada y salida, hay unidimensional y multidimensional modelos Por modelo unidimensional nos referimos a un modelo en el que las variables de entrada y salida son cantidades escalares. Un modelo multidimensional es aquel en el que los vectores X(t) y y(t) tienen la dimensión norte³ 2.

3. Los modelos cuyas variables de entrada y salida son continuas en tiempo y magnitud se denominan continuo. Los modelos cuyas variables de entrada y salida son discretas en tiempo o en magnitud se denominan discreto.

Tenga en cuenta que la dinámica de los sistemas complejos depende en gran medida de las decisiones que toma una persona. Los procesos que ocurren en sistemas complejos se caracterizan por una gran cantidad de parámetros, grandes en el sentido de que las ecuaciones y relaciones correspondientes no pueden resolverse analíticamente. Los sistemas complejos estudiados a menudo son únicos en comparación incluso con sistemas similares en propósito. La duración de los experimentos con tales sistemas suele ser larga y, a menudo, resulta comparable con su vida útil. A veces, la experimentación activa con el sistema es generalmente inaceptable.

Para un objeto complejo, a menudo es imposible determinar el contenido de cada paso de control. Esta circunstancia determina un número tan elevado de situaciones que caracterizan el estado del objeto que es casi imposible analizar el impacto de cada una de ellas en las decisiones que se toman. En esta situación, en lugar de un algoritmo de control estricto que prescriba una determinada solución inequívoca en cada paso de su implementación, se debe utilizar un conjunto de instrucciones correspondientes a lo que suele llamarse cálculo en matemáticas. A diferencia del algoritmo en cálculo, la continuación del proceso en cada paso no es fija y existe la posibilidad de una continuación arbitraria del proceso de búsqueda de una solución. El cálculo y sistemas similares se estudian en lógica matemática.

1.5. El concepto de construir un modelo de sistema de objetos complejos.

Los objetos complejos son una colección de elementos separados estructuralmente aislados: unidades tecnológicas, carreteras de transporte, accionamientos eléctricos, etc., interconectados por material, energía y flujos de información, e interactuando con medioambiente como un todo. Los procesos de transferencia de energía y masa que ocurren en objetos complejos están dirigidos y asociados con el movimiento de campos y materia (transferencia de calor, filtración, difusión, deformación, etc.). Como regla, estos procesos contienen etapas inestables de desarrollo, y el manejo de tales procesos es más un arte que una ciencia. Debido a estas circunstancias, existe una calidad inestable de gestión de dichos objetos. Los requisitos para la calificación del personal tecnológico están aumentando considerablemente y el tiempo para su capacitación está aumentando significativamente.

Un elemento del sistema es un objeto determinado (material, energético, informativo) que tiene una serie de propiedades que son importantes para nosotros, cuya estructura interna (contenido) no es de interés desde el punto de vista del propósito del análisis. .

Denotaremos los elementos por METRO, y todo su conjunto considerado (posible) - a través de (METRO). Es costumbre anotar la pertenencia de un elemento a un conjunto.

Comunicación Llamemos el intercambio entre elementos importantes a efectos de consideración: materia, energía, información.

El único acto de comunicación es impacto. Denota todos los efectos del elemento. METRO 1 por artículo METRO 2 a través X 12, y el elemento METRO 2 en METRO 1 - a través X 21, puede representar la conexión gráficamente (Fig. 1.6).

Arroz. 1.6. Relación de dos elementos

sistema Llamemos a un conjunto de elementos que tiene las siguientes características:

a) enlaces que permiten, a través de transiciones a lo largo de ellos de elemento a elemento, conectar dos elementos cualesquiera del conjunto;

b) una propiedad (propósito, función) que es diferente de las propiedades de los elementos individuales de la población.

Llamemos al atributo a) la conectividad del sistema, b) su función. Aplicando la definición del sistema llamada "tupla" (es decir, secuencia en forma de enumeración), podemos escribir

donde Σ es el sistema; ( METRO} – el conjunto de elementos en él; ( X) es un conjunto de enlaces; F- función (nueva propiedad) del sistema.

Consideraremos la notación como la descripción más simple del sistema.

Casi cualquier objeto desde un cierto punto de vista puede considerarse como un sistema. Es importante saber si tal punto de vista es útil o si es más razonable considerar objeto dado elemento. Entonces, el sistema puede considerarse una placa de radio , convertir la señal de entrada en una salida. Para un especialista en la base de elementos, el sistema será un condensador de mica en esta placa, y para un geólogo, la mica misma, que tiene una estructura bastante compleja.

gran sistema Llamemos a un sistema que incluye un número significativo de elementos del mismo tipo y enlaces del mismo tipo.

sistema complejo Llamemos a un sistema que consta de elementos de diferentes tipos y que tienen conexiones heterogéneas entre ellos.

A menudo, solo uno que es grande se considera un sistema complejo. La heterogeneidad de los elementos se puede enfatizar escribiendo

Un sistema grande, pero no mecánicamente complejo, es un brazo de grúa ensamblado a partir de varillas o, por ejemplo, una tubería de gasoducto. Los elementos de esta última serán sus secciones entre soldaduras o apoyos. Para los cálculos de deflexión, lo más probable es que los elementos de la tubería de gas se consideren secciones relativamente pequeñas (del orden de un metro) de la tubería. Esto se hace en el conocido método de elementos finitos. La conexión en este caso es de naturaleza eléctrica (energía): cada elemento actúa sobre el vecino.

La distinción entre un sistema, un sistema grande y un sistema complejo es arbitraria. Así, los cascos de misiles o barcos, que a primera vista son homogéneos, suelen denominarse como un sistema complejo debido a la presencia de diferentes tipos de mamparos.

Una clase importante de sistemas complejos son los sistemas automatizados. La palabra "automatizado" indica la participación de una persona, el uso de su actividad dentro del sistema mientras mantiene un papel significativo de los medios técnicos. Así, un taller, una sección, un montaje puede ser tanto automatizado como automático (“taller automático”). Para un sistema complejo, el modo automatizado se considera más preferible. Por ejemplo, el aterrizaje de un avión se realiza con la participación de una persona, y el piloto automático generalmente se usa solo en movimientos relativamente simples. También es típico de una situación en la que una solución desarrollada por medios técnicos es aprobada para su ejecución por una persona.

Asi que, sistema automático llamado sistema complejo con un papel decisivo de elementos de dos tipos: a) en forma de medios técnicos; b) en forma de acciones humanas. Su notación de caracteres (comparar con y)

donde MT – medios tecnicos, principalmente computadoras; MH- decisiones y otras actividades humanas; M"- otros elementos del sistema.

En total ( X) en este caso, se pueden distinguir las conexiones entre el hombre y la tecnología ( x T - H}.

Estructura Se denomina sistema a su división en grupos de elementos indicando las relaciones entre ellos, invariables durante todo el tiempo de consideración y dando una idea del sistema como un todo.

La división especificada puede tener una base material (real), funcional, algorítmica y otra. Los grupos de elementos en una estructura generalmente se distinguen de acuerdo con el principio de vínculos simples o relativamente más débiles entre elementos de diferentes grupos. Es conveniente representar la estructura del sistema en forma de un diagrama gráfico que consta de celdas (grupos) y líneas (conexiones) que las conectan. Tales esquemas se llaman estructurales.

Para la notación simbólica de la estructura, en lugar del conjunto de elementos, introducimos ( METRO), un conjunto de grupos de elementos ( METRO*) y el conjunto de conexiones entre estos grupos ( X*) Entonces la estructura del sistema se puede escribir como

La estructura se puede obtener combinando elementos en grupos. Tenga en cuenta que la función (asignación) F sistemas en omitidos.

Pongamos ejemplos de estructuras. La estructura material de un puente prefabricado consta de sus secciones individuales ensambladas en el sitio. Un diagrama de bloques aproximado de dicho sistema indicará solo estas secciones y el orden en que están conectadas. Esta última es la conexión que aquí es de carácter contundente. Un ejemplo de una estructura funcional es la división de un motor de combustión interna en sistemas de suministro de energía, lubricación, refrigeración, transmisión de energía, etc. Un ejemplo de un sistema donde real y estructuras funcionales fusionados: estos son departamentos del instituto de diseño que se ocupan de diferentes aspectos del mismo problema.

Una estructura algorítmica típica sería un algoritmo (esquema) herramienta de software que especifica la secuencia de acciones. Además, la estructura algorítmica será una instrucción que determine las acciones al encontrar un mal funcionamiento de un objeto técnico.

1.6. Las principales etapas de un experimento de ingeniería destinado a estudiar objetos complejos.

Caractericemos las etapas principales de un experimento de ingeniería destinado a estudiar objetos complejos.

1. Construcción de la base física del modelo.

Construcción de la base física del modelo, que permite identificar los procesos más significativos que determinan la calidad del control y determinar la relación de componentes deterministas y estadísticos en los procesos observados. La base física del modelo se construye utilizando la "proyección" de un objeto complejo en varias áreas temáticas utilizadas para describir el objeto en estudio. Cada área temática especifica sistemas propios restricciones a los posibles “movimientos” del objeto. Tener en cuenta la totalidad de estas restricciones nos permite fundamentar el complejo de modelos utilizados y construir un modelo consistente.

La construcción del “marco” del modelo, es decir, su base física, se reduce a una descripción del sistema de relaciones que caracterizan el objeto en estudio, en particular, las leyes de conservación y cinética de los procesos. Un análisis del sistema de relaciones que caracterizan un objeto permite determinar las escalas espaciales y temporales de los mecanismos que inician el comportamiento observado de los procesos, caracterizar cualitativamente la contribución de un elemento estadístico a la descripción del proceso, y también revelar los fundamentos heterogeneidad (¡si es que existe!) de la serie temporal observada.

La construcción del "marco" se reduce al establecimiento de datos a priori de las relaciones de causa y efecto entre los factores desestabilizadores externos e internos y la eficiencia del sistema, y ​​las estimaciones cuantitativas de estas relaciones se especifican mediante la realización de experimentos sobre el objeto. . Esto garantiza la generalidad de los resultados obtenidos para toda la clase de objetos, su consistencia con respecto al conocimiento previamente adquirido y asegura una reducción en el volumen de estudios experimentales. El “esqueleto” del modelo debe construirse utilizando un enfoque estructural-fenomenológico que combine el estudio de un objeto en términos de sus reacciones a las influencias “externas” y la revelación de la estructura interna del objeto de estudio.

2. Comprobación de la estabilidad estadística de los resultados de las observaciones y determinación de la naturaleza del cambio en las variables controladas.

La justificación empírica de la estabilidad estadística se reduce al estudio de la estabilidad de la media empírica a medida que aumenta el tamaño de la muestra (esquema de series alargadas). La imprevisibilidad de los valores obtenidos experimentalmente, como es sabido, no es condición necesaria ni suficiente para la aplicación de conceptos probabilísticos. Una condición necesaria para la aplicación de la teoría de la probabilidad es la estabilidad de las características promediadas de los valores iniciales. Por lo tanto, se requiere verificación mediante inducción empírica de estabilidad estadística. norte función de distribución empírica -dimensional de la variable aleatoria original y la distribución de probabilidad para estimaciones muestrales.

3. Formación y prueba de hipótesis sobre la estructura y los parámetros del "movimiento" del objeto en estudio.

Tenga en cuenta que, por regla general, el motivo para elegir un enfoque estadístico es la falta de regularidad del proceso observado, su naturaleza caótica y rupturas bruscas. En este caso, el investigador no puede detectar visualmente patrones en una serie de observaciones y lo percibe como la realización de un proceso aleatorio. Hacemos hincapié en que estamos hablando sobre el descubrimiento de los patrones más simples, ya que el descubrimiento de patrones complejos requiere un procesamiento matemático dirigido de los resultados de las observaciones.

4. La predicción de las variables de salida se realiza teniendo en cuenta la contribución de los componentes deterministas y estadísticos al resultado final.

Tenga en cuenta que el uso de sólo un enfoque estadístico para la previsión encuentra serias dificultades. Primero, para tomar decisiones relacionadas con la minimización de las pérdidas actuales, es importante saber no cómo se desarrolla el proceso en promedio, sino cómo se comportará en un período de tiempo específico. En segundo lugar, en el caso general, tenemos el problema de predecir un proceso aleatorio no estacionario con expectativas matemáticas cambiantes, varianza y la forma misma de la ley de distribución.

5. Planificación e implementación de un experimento computacional destinado a evaluar las características de control del objeto y la eficiencia esperada del sistema de control.

Los problemas de sintetizar la estructura de sistemas complejos pueden resolverse analíticamente solo en los casos más simples. Por lo tanto, existe la necesidad de modelado de simulación (IM) de los elementos del sistema que se está diseñando.

IM es una forma especial de estudiar objetos de estructura compleja, que consiste en reproducir de forma numérica todas las variables de entrada y salida de cada elemento del objeto. IM permite en la etapa de análisis y síntesis de la estructura tener en cuenta no solo las relaciones estadísticas entre los elementos del sistema, sino también los aspectos dinámicos de su funcionamiento.

Para compilar un IM, necesita:

- seleccionar los elementos más simples del objeto de simulación para los que se conoce el método de cálculo de las variables de salida;

– componer ecuaciones de comunicación que describen el orden de conexión de los elementos en un objeto;

- componer diagrama de bloques objeto;

– elegir medios de modelado de automatización;

- desarrollar un programa de mensajería instantánea;

– realizar experimentos computacionales para evaluar la adecuación del MI, la estabilidad de los resultados de la simulación y la sensibilidad del MI a los cambios en el control ya las influencias perturbadoras;

– resolver el problema de síntesis del sistema de control utilizando el modelo.

La clasificación de los tipos de modelado se puede realizar por diversas razones. Los modelos se pueden distinguir por una serie de características: la naturaleza de los objetos que se modelan, las áreas de aplicación, la profundidad del modelado. Considere 2 opciones de clasificación. La primera versión de la clasificación. Según la profundidad del modelado, los métodos de modelado se dividen en dos grupos: material (objetivo) y modelado ideal. El modelado de materiales se basa en la analogía material de un objeto y un modelo. Se lleva a cabo reproduciendo las características básicas geométricas, físicas o funcionales del objeto de estudio. Un caso especial de modelado de materiales es el modelado físico. Un caso especial de modelado físico es el modelado analógico. Se basa en la analogía de fenómenos que tienen una naturaleza física diferente, pero se describen mediante las mismas relaciones matemáticas. Un ejemplo de modelado analógico es el estudio de vibraciones mecánicas (por ejemplo, una viga elástica) usando un sistema eléctrico descrito por las mismas ecuaciones diferenciales. Dado que los experimentos con un sistema eléctrico suelen ser más sencillos y económicos, se estudia como un análogo de un sistema mecánico (por ejemplo, cuando se estudian las vibraciones de los puentes).

El modelado ideal se basa en una analogía ideal (mental). En estudios económicos (sobre nivel alto su implementación, y no en los deseos subjetivos de los gerentes individuales) es el principal tipo de modelado. El modelado ideal, a su vez, se divide en dos subclases: el modelado de signos (formalizado) y el intuitivo. En el modelado simbólico, diagramas, gráficos, dibujos, fórmulas sirven como modelos. El tipo más importante de modelado de signos es modelo matematico, llevado a cabo mediante construcciones lógicas y matemáticas.

El modelado intuitivo se encuentra en aquellas áreas de la ciencia y la práctica donde el proceso cognitivo se encuentra en una etapa temprana o existen relaciones sistémicas muy complejas. Estos estudios se denominan experimentos mentales. En economía se utiliza principalmente la modelización de signos o intuitiva; describe la visión del mundo de los científicos o experiencia práctica empleados en el área de gestión. La segunda versión de la clasificación se muestra en la Fig. 1.3 De acuerdo con el signo de clasificación de completitud, el modelado se divide en completo, incompleto y aproximado. En simulación completa, los modelos son idénticos al objeto en tiempo y espacio. Para simulaciones incompletas, esta identidad no se conserva. El modelado aproximado se basa en la similitud, en la que algunos aspectos de un objeto real no se modelan en absoluto. La teoría de la similitud establece que la similitud absoluta solo es posible cuando un objeto es reemplazado por otro exactamente igual. Por lo tanto, al modelar, no se produce una similitud absoluta. Los investigadores se esfuerzan por garantizar que el modelo refleje bien solo el aspecto estudiado del sistema. Por ejemplo, para evaluar la inmunidad al ruido canales discretos transferencia de información funcional y modelo de información Es posible que no se desarrollen sistemas. Para lograr el objetivo del modelado, el modelo de eventos descrito por la matriz de probabilidades condicionales ||рij|| transiciones del carácter i-ésimo del alfabeto j-ésimo Según el tipo de medio y la firma del modelo, se distinguen los siguientes tipos de modelado: determinista y estocástico, estático y dinámico, discreto, continuo y discreto-continuo . El modelado determinista muestra procesos en los que se asume la ausencia de influencias aleatorias. El modelado estocástico tiene en cuenta procesos y eventos probabilísticos. El modelado estático se usa para describir el estado de un objeto en un punto fijo en el tiempo, mientras que el modelado dinámico se usa para estudiar un objeto en el tiempo. A su vez, operan con modelos analógicos (continuos), discretos y mixtos. Dependiendo de la forma de implementación del soporte, el modelado se clasifica en mental y real. El modelado mental se utiliza cuando los modelos no son realizables en un intervalo de tiempo dado o no existen condiciones para su creación física (por ejemplo, la situación del micromundo). El modelado mental de sistemas reales se realiza en forma visual, simbólica y matemática. Se ha desarrollado un número importante de herramientas y métodos para representar modelos funcionales, informativos y de eventos de este tipo de modelado. Con el modelado visual basado en ideas humanas sobre objetos reales, se crean modelos visuales que muestran los fenómenos y procesos que ocurren en el objeto. Un ejemplo de tales modelos son carteles educativos, dibujos, gráficos, diagramas. El modelado hipotético se basa en una hipótesis sobre los patrones del proceso en un objeto real, que refleja el nivel de conocimiento del investigador sobre el objeto y se basa en las relaciones de causa y efecto entre la entrada y la salida del objeto en estudio. . Este tipo de modelado se utiliza cuando el conocimiento sobre el objeto no es suficiente para construir modelos formales.

El modelado dinámico es un proceso de varios pasos, cada paso corresponde al comportamiento del sistema económico durante un período de tiempo determinado. Cada paso actual recibe los resultados del paso anterior, que, según ciertas reglas, determina el resultado actual y genera datos para el paso siguiente.

Por lo tanto, un modelo dinámico en modo acelerado le permite explorar el desarrollo de un sistema económico complejo, por ejemplo, una empresa, durante un cierto período de planificación en el contexto de un soporte de recursos cambiante (materias primas, personal, finanzas, tecnología) y presentar los resultados al correspondiente plan de desarrollo empresarial para un período determinado.

Para resolver problemas de optimización dinámica en programación matemática, se formó una clase correspondiente de modelos llamada programación dinámica, su fundador fue el famoso matemático estadounidense R. Bellman. Propuso un método especial para resolver un problema de esta clase basado en el "principio de optimización", según el cual solucion optima El problema se encuentra dividiéndolo en norte etapas, cada una de las cuales representa una subtarea con respecto a una variable. El cálculo se realiza de tal forma que el resultado óptimo de una subtarea es la entrada para la siguiente subtarea, teniendo en cuenta las ecuaciones y las restricciones de la conexión entre ellas, el resultado de la última de ellas es el resultado de la totalidad tarea. Común a todos los modelos de esta categoría es que las decisiones de gestión actuales "se manifiestan" tanto en el período relacionado directamente con el momento de la decisión, como en períodos posteriores. En consecuencia, los efectos económicos más importantes ocurren en diferentes períodos, y no solo dentro de un período. Este tipo de consecuencias económicas suelen ser significativas cuando se trata de decisiones gerenciales relacionadas con la posibilidad de nuevas inversiones, aumento de la capacidad productiva o capacitación del personal para tal fin. creando requisitos previos para aumentar la rentabilidad o reducir los costos en períodos posteriores.

Aplicaciones típicas para modelos programación dinámica a la hora de tomar decisiones son:

Desarrollo de reglas de gestión de inventarios que establecen el momento de reposición de stocks y el tamaño de la orden de reposición.

Desarrollo de principios para programar la producción y nivelar el empleo ante la demanda fluctuante de productos.

Determinación del volumen requerido de repuestos, que garantiza el uso eficiente de equipos costosos.

Distribución de inversiones de capital escasas entre posibles nuevas direcciones de su uso.

En problemas resueltos por el método de programación dinámica, el valor de la función objetivo (criterio optimizado) para todo el proceso se obtiene simplemente sumando los valores particulares arreglar) el mismo criterio en pasos separados, es decir,

Si el criterio (o función) f(x) tiene esta propiedad, entonces se llama aditivo (aditivo).

Algoritmo de programación dinámica

1. En el paso seleccionado, establecemos un conjunto (definido por condiciones-restricciones) de valores de la variable que caracteriza último paso, posibles estados del sistema en el penúltimo paso. Para cada estado posible y cada valor de la variable seleccionada, calculamos los valores de la función objetivo. De ellos, para cada resultado del penúltimo paso, elegimos los valores óptimos de la función objetivo y los valores correspondientes de la variable en consideración. Para cada resultado del penúltimo paso, recordamos el valor óptimo de la variable (o varios valores, si hay más de uno) y el valor correspondiente de la función objetivo. Obtenemos y arreglamos la tabla correspondiente.

2. Procedemos a la optimización en la etapa anterior a la anterior (movimiento "inverso"), buscando el valor óptimo de la nueva variable con los valores óptimos previamente encontrados de las siguientes variables fijos. El valor óptimo de la función objetivo en los pasos posteriores (con valores óptimos de las variables posteriores) se lee de la tabla anterior. Si la nueva variable caracteriza el primer paso, pase al punto 3. De lo contrario, repita el paso 2 para la siguiente variable.

3. Dada la condición inicial en el problema, para cada valor posible de la primera variable, calculamos el valor de la función objetivo. Seleccionamos el valor óptimo de la función objetivo correspondiente al valor o valores óptimos de la primera variable.

4. Con el valor óptimo conocido de la primera variable, determinamos los datos iniciales para el siguiente (segundo) paso y, de acuerdo con la última tabla, el(los) valor(es) óptimo(s) de la siguiente (segunda) variable.

5. Si la siguiente variable no caracteriza el último paso, vaya al paso 4. De lo contrario, vaya al paso 6.

6. Formamos (escribimos) la solución óptima.

Lista de literatura usada

1. oficina de microsoft 2010. Tutoría. Yu. Stotsky, A. Vasiliev, I. Telina. Pedro 2011, - 432 págs.

2. Figurnov V. E. IBM PC para el usuario. 7ª edición. - M.: Infra-M, 1995.

3. Levin A. Tutorial de computadora. M. : Conocimiento, 1998, - 624 p.

4. Informática: taller sobre la tecnología de trabajo en computadora personal/ Ed. profe. N.V. Makarova - M.: Finanzas y estadísticas, 1997 - 384 p.

5. Informática: Libro de texto / Ed. profe. NEVADA. Makarova - M. : Finanzas y estadísticas, 1997 - 768 p.

Información similar.

Introducción

modelo dinámico matemático

Un modelo dinámico es una construcción teórica (modelo) que describe el cambio (dinámica) de los estados de un objeto. El modelo dinámico puede incluir una descripción de pasos o fases, o un diagrama de estado de los subsistemas. A menudo tiene una expresión matemática y se usa principalmente en las ciencias sociales (por ejemplo, en la sociología) que se ocupan de los sistemas dinámicos, pero el paradigma moderno de la ciencia contribuye al hecho de que Este modelo también tiene amplio uso en todas las ciencias sin excepción, incl. en natural y técnico.

Los modelos económicos y matemáticos describen la economía en desarrollo (a diferencia de los modelos estáticos que caracterizan su estado en un momento determinado). Hay dos enfoques para construir un modelo dinámico:

optimización (selección de la trayectoria óptima de desarrollo económico entre una variedad de posibles)

descriptivo, en cuyo centro se encuentra el concepto de trayectoria de equilibrio (es decir, crecimiento equilibrado, equilibrado).

Modelos intersectoriales dinámicos, modelos económicos y matemáticos de cálculos planificados, que permitan determinar el volumen de producción, inversiones de capital (así como la puesta en marcha de activos fijos y capacidades productivas) por ramas de producción material en su interconexión por años del periodo prospectivo. En modelos intersectoriales dinámicos, para cada año del período de planificación, los volúmenes y la estructura del producto final "neto" (consumo personal y social, acumulación de capital de trabajo y reservas estatales, saldo de exportaciones e importaciones, inversiones de capital no asociadas a un aumento en producción en el período bajo revisión), así como el volumen y estructura de los activos fijos al comienzo del período. En los modelos intersectoriales dinámicos, además del coeficiente de costos directos inherente a los modelos intersectoriales estáticos, se introducen coeficientes especiales que caracterizan la estructura material de las inversiones de capital.

Según el tipo de aparato matemático utilizado, los modelos intersectoriales dinámicos se dividen en de equilibrio y óptimos. Los modelos intersectoriales dinámicos de equilibrio pueden representarse tanto en forma de un sistema de ecuaciones lineales como en forma de ecuaciones diferenciales o en diferencias lineales. Los modelos intersectoriales dinámicos de equilibrio también se distinguen por el desfase (la diferencia de tiempo entre el inicio de la construcción y la puesta en servicio de la instalación construida). Los modelos intersectoriales dinámicos óptimos se caracterizan por la presencia un cierto criterio Optimalidad, sustitución del sistema de ecuaciones lineales por un sistema de desigualdades, introducción de restricciones especiales sobre la mano de obra y los recursos naturales.

Los objetos físicos y virtuales dinámicos existen objetivamente. Esto significa que estos objetos funcionan de acuerdo con algunas leyes, independientemente de si una persona las conoce y las comprende o no. Por ejemplo, para conducir un automóvil, no es necesario en absoluto saber cómo funciona el motor, qué está sucediendo en él y por qué hace que el automóvil se mueva si presiona el acelerador o gira el volante. Pero si una persona no tiene la intención de conducir un automóvil, sino de diseñar un sistema de control para él, entonces el conocimiento y la comprensión de los procesos de la dinámica ya son absolutamente necesarios.

Los objetos dinámicos y sus modelos lineales han sido estudiados y analizados de cerca durante más de dos siglos por muchos científicos e ingenieros. Los resultados de estos estudios y análisis se presentan a continuación cualitativamente de forma concentrada, tal como los percibe el autor. En primer lugar, esto se aplica a los modelos lineales de sistemas dinámicos, su clasificación, descripción de sus propiedades y el área de consistencia.

Además, a continuación se analizan algunas propiedades de los sistemas no lineales. Las palabras, los términos "dinámico", "dinámico" han entrado firme y ampliamente en varias áreas del conocimiento humano, también se usan en la vida cotidiana como un epíteto emocional del movimiento energético en el sentido amplio de la palabra, un sinónimo de cambio rápido. En el trabajo propuesto, el término "dinámico" se utilizará en su sentido estricto y directo, que significa "fuerte", es decir, un objeto dinámico es un objeto sujeto a una acción externa, que conduce al movimiento en el sentido más amplio de la palabra.

1. Modelos Dinámicos: concepto, tipos

Un objeto dinámico es un cuerpo físico, dispositivo técnico o un proceso que tiene entradas, puntos posible aplicación influencias externas, y percibir estas influencias, y salidas, puntos, valores de cantidades físicas en las que caracterizan el estado del objeto. El objeto puede responder a influencias externas cambiando su estado interno y valores de salida que caracterizan su estado. El impacto sobre el objeto y su reacción generalmente cambian con el tiempo, son observables, es decir, puede medirse con los instrumentos apropiados. El objeto tiene una estructura interna que consiste en elementos dinámicos que interactúan.

Si lee y piensa en la definición no estricta anterior, puede ver que un objeto dinámico por separado en una forma "pura", como una cosa en sí misma, no existe: para describir un objeto, el modelo también debe contener 4 fuentes de influencias (generadores):

ambiente y el mecanismo para suministrarle estas influencias

el objeto debe tener una extensión en los espacios

función en el tiempo

el modelo debe tener dispositivos de medición.

El impacto sobre el objeto puede ser alguna cantidad física: fuerza, temperatura, presión, voltaje eléctrico y otras cantidades físicas o una combinación de varias cantidades, y la reacción, la respuesta del objeto al impacto, puede ser movimiento en el espacio, por ejemplo. ejemplo, desplazamiento o velocidad, cambio de temperatura, intensidad de la corriente, etc.

Para modelos lineales de objetos dinámicos, el principio de superposición (superposición) es válido, es decir la respuesta a un conjunto de impactos es igual a la suma de las respuestas a cada uno de ellos, y un cambio de escala en el impacto corresponde a un cambio proporcional en la respuesta al mismo. Una acción se puede aplicar a varios objetos oa varios elementos de un objeto.

El concepto de objeto dinámico contiene y expresa una relación causal entre el impacto sobre él y su reacción. Por ejemplo, entre una fuerza aplicada a un cuerpo masivo y su posición y movimiento, entre un voltaje eléctrico aplicado a un elemento y una corriente que circula por él.

En el caso general, los objetos dinámicos no son lineales, incluso pueden tener discreción, por ejemplo, pueden cambiar rápidamente la estructura cuando el impacto alcanza un cierto nivel. Pero normalmente, la mayor parte del tiempo de operación, los objetos dinámicos son continuos en el tiempo, y para señales pequeñas son lineales. Por lo tanto, a continuación, se prestará la atención principal a los objetos dinámicos continuos lineales.

Ejemplo de continuidad: un automóvil en movimiento en una carretera -un objeto que funciona continuamente en el tiempo, su posición depende del tiempo continuamente. La mayoría de las veces, un automóvil puede ser visto como objeto de línea, un objeto que opera en un modo lineal. Y solo en caso de accidentes, colisiones, cuando, por ejemplo, se destruye un automóvil, se requiere describirlo como un objeto no lineal.

La linealidad y continuidad en el tiempo del valor de salida del objeto es solo un caso especial conveniente, pero importante, que permite considerar simplemente un número significativo de propiedades de un objeto dinámico.

Por otro lado, si el objeto se caracteriza por procesos que ocurren en diferentes escalas de tiempo, en muchos casos es aceptable y útil reemplazar procesos más rápidos su cambio de tiempo discreto.

Este trabajo está dedicado, en primer lugar, a los modelos lineales de objetos dinámicos bajo influencias deterministas. Se pueden generar acciones deterministas suaves de un tipo arbitrario mediante una acción aditiva discreta y relativamente rara en las derivadas inferiores de la acción con delta dosificado -funciones Dichos modelos son consistentes con impactos relativamente pequeños para una clase muy amplia de objetos reales. Por ejemplo, así es como se forman las señales de control en juegos de computadora simulando el control de un coche o avión desde el teclado. Los impactos aleatorios aún están más allá del alcance de la consideración.

La consistencia de un modelo lineal de un objeto dinámico está determinada, en particular, por si su valor de salida es lo suficientemente suave, es decir, si él y varios de sus derivados temporales inferiores son continuos. El hecho es que los valores de salida de los objetos reales cambian bastante suavemente en el tiempo. Por ejemplo, un avión no puede moverse instantáneamente de un punto del espacio a otro. Además, como cualquier cuerpo masivo, no puede cambiar su velocidad abruptamente, esto requeriría un poder infinito. Pero la aceleración de un avión o de un automóvil puede cambiar abruptamente.

El concepto de objeto dinámico no define exhaustivamente un objeto físico. Por ejemplo, describir un automóvil como un objeto dinámico permite responder preguntas sobre qué tan rápido acelera y desacelera, qué tan suavemente se mueve en carreteras irregulares y baches, qué impactos experimentarán el conductor y los pasajeros del automóvil al conducir por la carretera, qué montaña que puede escalar, etc. P. Pero en tal modelo, da igual el color del coche, no importa su precio, etc., en la medida en que no afecten a la aceleración del coche. El modelo debe reflejar las propiedades principales del objeto modelado desde el punto de vista de algún criterio o conjunto de criterios y descuidar sus propiedades secundarias. De lo contrario, será excesivamente complejo, lo que dificultará el análisis de las propiedades de interés para el investigador.

Por otro lado, si el investigador está interesado en el cambio de color del automóvil a lo largo del tiempo, causado por varios factores, como la luz solar o el envejecimiento, entonces, para este caso, se puede compilar y resolver la ecuación diferencial correspondiente.

Los objetos reales, así como sus elementos, que también pueden ser considerados como objetos dinámicos, no solo perciben impactos de alguna fuente, sino que también actúan sobre esa fuente, la contrarrestan. El valor de salida del objeto de control en muchos casos es la entrada para otro objeto dinámico posterior que, a su vez, también puede afectar el modo de operación del objeto. Ese. las conexiones de un objeto dinámico con el mundo exterior, en relación con él, son bidireccionales.

A menudo, al resolver muchos problemas, el comportamiento de un objeto dinámico se considera solo en el tiempo, y sus características espaciales, en los casos en que no son directamente de interés para el investigador, no se consideran ni se tienen en cuenta, con la excepción de una consideración simplificada del retardo de la señal, que puede deberse al tiempo de propagación del impacto en el espacio desde la fuente hasta el receptor.

Los objetos dinámicos se describen mediante ecuaciones diferenciales (sistema de ecuaciones diferenciales). En muchos casos importantes en la práctica, se trata de una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO) o de un sistema de EDO. La variedad de tipos de objetos dinámicos determina la alta importancia de las ecuaciones diferenciales como aparato matemático universal para su descripción, lo que permite realizar estudios teóricos (análisis) de estos objetos y, a partir de dicho análisis, construir modelos. y construir sistemas, dispositivos y dispositivos que sean útiles para las personas, explicar la estructura del mundo que nos rodea, al menos en la escala del macrocosmos (no micro y no mega).

Un modelo de un objeto dinámico es consistente si es adecuado y corresponde a un objeto dinámico real. Esta correspondencia se limita a una cierta región espacio-temporal y rango de influencias.

Un modelo de objeto dinámico es realizable si es posible construir objeto real, cuyo comportamiento bajo la influencia de influencias en una determinada región espacio-temporal y para una determinada clase y rango de acciones de entrada corresponde al comportamiento del modelo.

La amplitud de clases, la variedad de estructuras de los objetos dinámicos puede llevar a suponer que todos ellos juntos tienen un conjunto innumerable de propiedades. Sin embargo, un intento de capturar y comprender estas propiedades y los principios de funcionamiento de los objetos dinámicos, en toda su diversidad, no es tan inútil.

El hecho es que si los objetos dinámicos se describen adecuadamente mediante ecuaciones diferenciales, y este es exactamente el caso, entonces el conjunto de propiedades que caracterizan a un objeto dinámico de cualquier tipo está determinado por el conjunto de propiedades que caracterizan su ecuación diferencial. Se puede argumentar que, al menos para los objetos lineales, hay un número bastante limitado y relativamente pequeño de tales propiedades básicas y, por lo tanto, el conjunto de propiedades básicas de los objetos dinámicos también es limitado. En base a estas propiedades y combinando elementos que las tengan, se pueden construir objetos dinámicos con una gran variedad de características.

Entonces, las principales propiedades de los objetos dinámicos se derivan teóricamente de sus ecuaciones diferenciales y se correlacionan con el comportamiento de los objetos reales correspondientes.

objeto dinámico -este es un objeto que percibe influencias externas variables en el tiempo y reacciona a ellas cambiando el valor de salida. El objeto tiene una estructura interna que consiste en elementos dinámicos que interactúan. La jerarquía de objetos está limitada desde abajo por los modelos más simples y se basa en sus propiedades.

El impacto sobre el objeto, así como su reacción, son magnitudes físicas medibles, también puede ser un conjunto de magnitudes físicas, matemáticamente descritas por vectores.

Cuando se describen objetos dinámicos mediante ecuaciones diferenciales, se asume implícitamente que cada elemento de un objeto dinámico recibe y consume tanta energía (tal potencia) como necesita para el funcionamiento normal de acuerdo con su propósito en respuesta a las influencias entrantes. El objeto puede recibir parte de esta energía de la acción de entrada y esto se describe explícitamente por la ecuación diferencial, la otra parte puede provenir de fuentes de terceros y no aparecen en la ecuación diferencial. Este enfoque simplifica enormemente el análisis del modelo sin distorsionar las propiedades de los elementos y del objeto completo. Si es necesario, el proceso de intercambio de energía con el ambiente externo se puede describir en detalle en forma explícita, y estas también serán ecuaciones diferenciales y algebraicas.

En algunos casos especiales, la fuente de toda la energía (potencia) para la señal de salida de un objeto es la acción de entrada: palanca, aceleración de un cuerpo masivo por la fuerza, pasivo circuito eléctrico y etc.

En el caso general, se puede considerar que la acción controla los flujos de energía para obtener la potencia de señal de salida requerida: un amplificador de señal sinusoidal, solo un amplificador ideal, etc.

Los objetos dinámicos, así como sus elementos, que también pueden ser considerados como objetos dinámicos, no solo perciben el impacto desde su fuente, sino que también actúan sobre esta fuente: por ejemplo, en la mecánica clásica esto se expresa mediante el principio formulado en Newton. tercera ley: accion es igual a reaccion, En ingenieria electrica, la fuente de tension es el resultado de establecer un equilibrio dinamico entre la fuente y la carga. Ese. las conexiones de un objeto dinámico con el mundo exterior, en relación con él, son bidireccionales.

Esencialmente, todos los elementos de un objeto dinámico son bidireccionales, al igual que el propio objeto con respecto a los objetos externos. Esto se sigue de la generalización de la tercera ley de Newton, formulada por él para la mecánica: la fuerza contraria de un cuerpo es igual a la fuerza de acción sobre él de otro cuerpo y está dirigida hacia él, y en química también se formula como Le Chatelier principio. Resumiendo, podemos decir: el impacto de un elemento dinámico sobre otro encuentra oposición de algún tipo. Por ejemplo, la carga eléctrica de una fuente de voltaje la contrarresta con corriente, cambiando el valor del voltaje a la salida de la fuente. En el caso general, la resistencia de la carga afecta el modo de operación de la fuente, y su comportamiento está determinado como resultado, si es posible, por la transición a algún equilibrio dinámico.

En muchos casos, la potencia de la fuente de influencia es mucho mayor que la potencia de entrada requerida del receptor, que es un objeto dinámico. En este caso, el objeto dinámico prácticamente no afecta el modo de operación de la fuente (generador) y la conexión puede considerarse unidireccional desde la fuente al objeto. Este modelo unidireccional del elemento, basado en la estructuración física racional del objeto, simplifica enormemente la descripción y el análisis del sistema. En realidad, muchos objetos técnicos, aunque no todos, se construyen exactamente de acuerdo con este principio, en particular, cuando se diseñan sistemas para resolver problemas de control. En otros casos, por ejemplo, al resolver un problema cuando se requiere obtener la máxima eficiencia del motor, no se puede descuidar la contrarrestación.

Al detallar la estructura de un objeto dinámico, uno puede llegar a objetos elementales, condicionalmente no simplificados. Dichos objetos se describen mediante las ecuaciones algebraicas y diferenciales más simples. De hecho, tales elementos, a su vez, pueden tener una estructura compleja, pero es más conveniente al modelarlos percibirlos como un todo único, cuyas propiedades están determinadas por estas ecuaciones relativamente simples que relacionan la reacción con el impacto.

1.1 Modelos físicos

Este es el nombre de una descripción ampliada o reducida de un objeto o sistema. La característica distintiva de un modelo físico es que, en cierto sentido, parece una entidad modelada.

El ejemplo más conocido de un modelo físico es una copia de un avión en construcción, hecho en pleno cumplimiento de las proporciones, digamos 1:50. En una de las etapas del desarrollo de un nuevo diseño de aeronave, se hace necesario verificar sus principales parámetros aerodinámicos. Para este propósito, la copia preparada se sopla a través de un tubo especial (aerodinámico), y luego se examinan cuidadosamente las lecturas obtenidas. La ventaja de tal enfoque es bastante obvia. Es por eso que todas las empresas líderes en la fabricación de aviones utilizan modelos físicos de este tipo en el desarrollo de cada nuevo avión.

A menudo, se colocan pequeñas copias de edificios de gran altura en un túnel de viento, mientras se simula la rosa de los vientos característica del área donde se supone que se construirán. disfrutar modelos físicos y en la construcción naval.

1.2 Modelos matemáticos

Este es el nombre de los modelos que usan símbolos y métodos matemáticos para describir las propiedades y características de un objeto o evento. Si algún problema se puede transferir al lenguaje de las fórmulas, entonces se simplifica enormemente. El enfoque matemático también es simple porque obedece a reglas estrictas bien definidas. ,que no puede ser renunciado por decreto o de otra manera. La complejidad de nuestra vida reside precisamente en el hecho de que mucho de lo que sucede en ella está a menudo libre de convenciones. Las matemáticas se ocupan de una descripción simplificada de los fenómenos. En esencia, cualquier fórmula (o conjunto de fórmulas) es una determinada etapa en la construcción de un modelo matemático. La experiencia demuestra que construir un modelo (escribir una ecuación) es bastante fácil. Es difícil poder transmitir la esencia del fenómeno objeto de estudio en este modelo y, por tanto, de forma simplificada.

Cualquier elemento funcional de un objeto real tiene su propia estructura; puede, como todo el objeto, dividirse mental o físicamente en elementos que interactúan. Un objeto dinámico elemental es un elemento elegido racionalmente de un objeto real, considerado condicionalmente como indivisible, que posee, en su conjunto, alguna propiedad fundamental, por ejemplo, la inercia, y se describe con un grado suficiente de precisión mediante una ecuación algebraica o diferencial simple. .

La propiedad fundamental más importante de los objetos dinámicos es su inercia. Físicamente, la inercia se expresa en el hecho de que el objeto no responde inmediatamente, sino que responde gradualmente a las influencias externas, y en ausencia de influencia externa, busca mantener su estado y comportamiento. Matemáticamente, la inercia se expresa en el hecho de que el valor de salida de un objeto real es un valor continuo en el tiempo. Además, algunas derivadas inferiores de la cantidad de salida también deben ser continuas, no pueden cambiar abruptamente con impactos de potencia limitados, incluidos aquellos que cambian abruptamente, paso a paso en el tiempo.

Los objetos dinámicos inerciales más simples. -cinedinas .Estos son objetos elementales que están física o mentalmente aislados de la estructura de un objeto complejo y, con un grado suficiente de precisión, obedecen a las ecuaciones diferenciales más simples de varios órdenes. Dichos modelos son consistentes, al menos en alguna región espaciotemporal y en un rango limitado de valores de señal.

Descripción matemática La inercia de un objeto dinámico, un objeto correspondiente a una determinada ecuación diferencial, es que el impacto afecta indirectamente a la reacción del objeto, afecta directamente a una u otra derivada de la reacción con respecto al tiempo, oa varias de ellas a la vez. Esto lleva al hecho de que la reacción se manifiesta solo con el tiempo.

De hecho, tal descripción corresponde al comportamiento de los objetos reales. Por ejemplo, con un suministro instantáneo de algún impacto relativamente pequeño sobre un objeto elemental de segundo orden, que no cambia después de la aplicación, por ejemplo, una fuerza sobre una masa inercial, el objeto permanece durante algún tiempo, aunque pequeño, en el mismo estado que antes del suministro, tiene la misma velocidad que antes.

Pero la segunda derivada, es decir la aceleración salta en un salto, proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada. Y, por tanto, sólo con el tiempo, y no inmediatamente, la presencia de la segunda derivada se manifiesta en un cambio de velocidad, y por tanto, posteriormente, de la posición del cuerpo en el espacio.

1.3 Modelos analógicos

Este es el nombre de los modelos que representan el objeto en estudio como un análogo que se comporta como un objeto real, pero no se parece a él.

Pongamos dos ejemplos bastante típicos.

Ejemplo 1. El gráfico que ilustra la relación entre el esfuerzo realizado y los resultados es un modelo analógico. El gráfico de la fig. La Figura 1.1 muestra cómo la cantidad de tiempo que un estudiante pasa preparándose para un examen afecta el resultado del examen.

Arroz. 1.1. Gráfico que ilustra la relación entre el esfuerzo y los resultados

Ejemplo 2. Supongamos que necesitamos encontrar la forma más económica de entregar productos a tres ciudades regularmente, construyendo solo un almacén para esto. El requisito principal: el lugar para el depósito debe ser tal que los costos totales de transporte sean los más bajos (se considera que el costo de cada transporte es igual al producto de la distancia del depósito al destino por el peso total del mercancías transportadas y se mide en toneladas-kilómetro).

Pegue un mapa del área en una hoja de madera contrachapada. Luego, en la ubicación de cada ciudad, cortaremos agujeros, pasaremos hilos a través de ellos y les ataremos pesos, proporcionales a la demanda de bienes en esta ciudad (Fig. 1.2). Ate los extremos libres de los hilos en un nudo y suéltelos. Bajo la influencia de la gravedad, el sistema llegará a un estado de equilibrio. El lugar en la lámina de madera contrachapada, que en este caso será ocupado por el nodo, corresponderá a la ubicación óptima del almacén (Fig. 1.3).

Comentario. En aras de la simplicidad, no tenemos en cuenta el costo de las carreteras que deberán construirse de nuevo.

Arroz. 1.2. Mapa de la zona en una hoja de madera contrachapada

Arroz. 1.3. Ubicación óptima del almacén

2. Construcción de modelos matemáticos de objetos discretos

2.1 Modelo de población

Curiosamente, a menudo es bastante fácil construir un modelo matemático. A menudo, para esto se utilizan los supuestos más simples y fácilmente explicables. Describiremos cómo se puede hacer esto usando un ejemplo casi real. Imagina la siguiente imagen. mediados del siglo XVIII Europa Central ,una parroquia en el interior, una iglesia, feligreses - residentes de los pueblos de los alrededores, el párroco nota que el templo se ha abarrotado para el culto: el número de feligreses ha aumentado. El sacerdote reflexiona: si el número de feligreses continúa aumentando en el futuro, entonces habrá que construir una nueva iglesia, lo que requerirá fondos, y considerables.

El sacerdote entiende que el período para el cual se debe construir el templo y su tamaño dependen en gran medida de cómo cambiará la cantidad de residentes circundantes. Y decide intentar calcularlo. Tratemos también de esbozar el posible curso de su razonamiento, usando notación y lenguaje modernos.

Sea x el número de feligreses al final del año n. Su número en un año, es decir. al final del (n + 1) año, es natural denotar por x n+1 .Entonces el cambio en el número de este año se puede describir por la diferencia

Ocurre por dos razones naturales: las personas nacen y mueren (para simplificar, supondremos que el virus de las migraciones no golpeó esta área en ese momento). No es difícil determinar el número de nacimientos y el número de muertes por año a partir de los registros parroquiales. Contando el número de nacimientos y defunciones en diferentes años, el sacerdote decide comparar los números obtenidos y d1,...,dk con el número total de feligreses para estos años x1,..,xk, y observa que las proporciones x1, ...,xk los años difieren muy poco. Lo mismo ocurre con las relaciones.

Para simplificar los cálculos, consideraremos estas relaciones constantes y las denotaremos por? ¿y? respectivamente. Así, el número de nacimientos en enésimo año resulta ser igual, el número de muertes es ?xn, y el cambio en el número debido a causas naturales es +?xn - ?xn.

Como resultado, llegamos a la relación ?xn=?xn - ?xn o más detalladamente:

xn+1=xn+?xn-?xn

Pongamos ?=1 + ? - ?. Entonces la fórmula que nos interesa toma la forma

El modelo ha sido construido.

Tratemos de averiguar ahora qué sucedió, es decir, analicemos el modelo construido. Tres casos son posibles:

1)?>1(?=?-?>0 -nacen más de los que mueren) y el número de feligreses crece año tras año,

2)?=1 (?=?-?=0 -mueren tantos como nacen) y el número de feligreses permanece invariable de año en año,

3)?<0 (?=?-?<0 -mueren más de los que nacen) y el número de feligreses está disminuyendo constantemente.

Dado que la motivación para construir el modelo fue el deseo de saber qué tan rápido crecería el número de feligreses, comencemos mirando el Caso 1.

Caso 1. Entonces, el número de feligreses está creciendo. Pero ¿cómo, qué tan rápido? Este es el momento de recordar brevemente una historia instructiva (una parábola triste) sobre el desconocido inventor del ajedrez. Dicen que al rico y todopoderoso maharajá le gustó mucho el juego, quien inmediatamente decidió recompensar al inventor y se ofreció generosamente a elegir él mismo la recompensa. Él, como dicen, quitando las piezas del tablero de ajedrez, puso un grano de trigo en la primera celda, en la segunda -dos granos, para el 3ro -cuatro granos, para el 4to -ocho granos (Fig. 2.1) y le sugirió al maharajá que diera la orden a los sirvientes de esparcir granos de trigo en otras celdas del tablero de ajedrez de acuerdo con la ley propuesta, es decir, así: 1,2,4,8,16, …,263.

Arroz. 2.1. El problema del tablero de ajedrez y la recompensa del maharajá

Esta simple petición casi ofendió al maharajá, y estuvo de acuerdo. no se hará de inmediato. Pero el inventor insistió. Maharajá ordenó. Y los sirvientes inmediatamente se apresuraron a realizar este "fácil" ejercicio. No hace falta decir que no cumplieron con la orden del maharajá. El hecho es que el número total de granos de trigo en el tablero de ajedrez debería haber sido igual a 2 64 - 1,que supera con creces lo que ahora se cultiva en todo el mundo en un año. Terminemos la parábola muy brevemente: el maharajá se encontró en una posición inusual para él -públicamente hizo una promesa y no la cumplió. Sin embargo, el culpable fue encontrado de inmediato. Quizás por eso la historia no ha conservado el nombre del inventor del ajedrez. Sin embargo, intentemos mostrar en el gráfico qué tan rápido crece el número de granos en cada celda siguiente, para mayor claridad, conectando puntos vecinos (Fig. 2.2).

Arroz. 2.2-2.3. Cambio de población exponencial

Regla propuesta por el inventor del ajedrez, X n+1 =2x norte es un caso especial de la fórmula (1) para ?=2 y, como ella, describe la ley, siguiendo la cual obtenemos una secuencia de números que forman una progresión geométrica. Para cualquier ?>1imagen que ilustra el cambio x norte ,tiene un aspecto similar - x norte crecerá exponencialmente. En 1820 en Londres T.R. Malthus publicó el trabajo "Principios de economía política considerados con miras a su aplicación práctica" (en traducción al ruso -"Experiencia sobre la ley de población..." T. 1-2. SPb., 1868), que, en particular, decía que debido a las características biológicas de las personas, la población tiende a multiplicarse según la ley de la progresión geométrica,

X n=1 =?X norte, ?>1,

mientras que los medios de subsistencia sólo pueden aumentar según la ley de la progresión aritmética, y n+1 =y norte +d ,d>0. Tal diferencia en la tasa de cambio de valores directamente relacionada con los problemas de supervivencia de la población (Fig. 2.3) ,no pudo pasar desapercibido y provocó críticas bastante duras y controversias muy politizadas en los círculos relevantes. Tratemos de extraer del hecho mismo de la crítica una conclusión útil para nosotros sobre la adecuación del modelo construido (1). Por supuesto, cuando se trata de describir la situación de manera simplificada, se deben descuidar algunas circunstancias, considerándolas insignificantes. Sin embargo, no parece haber una visión única de lo que es esencial y lo que no lo es. Puede, por ejemplo, ignorar el hecho de que empezó a llover. Pero debes admitir que una cosa es correr cien metros bajo la lluvia y otra muy distinta. -una hora de caminata bajo esta lluvia sin paraguas. Aquí observamos algo similar: al calcular para 3-4 años, la fórmula (1) funciona bastante bien, pero el pronóstico a largo plazo basado en ella resulta erróneo.

Una conclusión importante. Cuando proponga un modelo que ha construido o elegido, debe indicar necesariamente los límites hasta los que se puede utilizar y advertir que la violación de estos límites puede conducir (y muy probablemente conducirá) a errores graves. En definitiva, cada modelo tiene su propio recurso. Al comprar una blusa o camisa, estamos acostumbrados a la presencia de etiquetas que indican la temperatura máxima permitida de planchado, tipos de lavado permitidos, etc. Esto, por supuesto, no significa de ninguna manera que esté prohibido, plancha caliente, para pasar una vez - otra para tela. Puedes hacerlo. Pero, ¿quieres usar una blusa o una camisa después de tal planchado? Caso 2. La población no cambia (Fig. 2.4). Caso 3. La población se está extinguiendo (Fig. 2.5).

Arroz. 2.4. Gráfico de población con población constante

Arroz. 2.5. Gráfico de población con población decreciente

Nos detuvimos deliberadamente en la descripción del modelo de población con gran detalle, en primer lugar, porque es uno de los primeros modelos de este tipo y, en segundo lugar, para mostrar con su ejemplo las principales etapas que la solución del problema de construcción pasa un modelo matemático.

Observación 1. Muy a menudo, al describir este modelo de población, se usa su versión diferencial: x =?x (aquí x=x(t) -tamaño de la población dependiente del tiempo, x" -derivada del tiempo, ?-constante).

Observación 2. Para valores grandes de x, la competencia por los medios de subsistencia conduce a una disminución ?,y este modelo duro debe ser reemplazado por un modelo mas suave :x =?(x)x ,en el que el coeficiente ?depende de la población. En el caso más simple, esta dependencia se describe de la siguiente manera:

?(x)=a-bx

donde a y b -números constantes, y la ecuación correspondiente toma la forma

x=ax-bx 2

Y llegamos a un modelo más complejo, llamado modelo logístico, que describe bastante bien la dinámica de la población. El análisis de la curva logística (figura 2.6) es muy instructivo y su implementación puede resultar curiosa para el lector. El modelo logístico también describe bien otros procesos, como la efectividad de la publicidad.

Arroz. 2.6. curva logística

2.2 El modelo depredador-presa

Arriba, hablamos sobre la reproducción sin obstáculos de la población. Sin embargo, en circunstancias reales, una población coexiste con otras poblaciones, estando con ellas en una variedad de relaciones. Aquí echamos un breve vistazo a la pareja de depredadores antagónicos. -víctima (esto puede ser un par de linces -pareja de liebre y mariquita -pulgón) e intente rastrear cómo el número de ambas partes que interactúan puede cambiar con el tiempo. La población de presas puede existir por sí sola, mientras que la población de depredadores solo puede existir a expensas de la presa. Denotemos el tamaño de la población de presas por x, y el tamaño de la población de depredadores por y. En ausencia de un depredador, la presa se reproduce de acuerdo con la ecuación x = hacha ,a>0 ,y el depredador, a falta de presa, muere según la ley y =-?y ,?>0.El depredador come cuantas más presas, más y más numerosas son. Por lo tanto, en presencia de un depredador, el número de presas cambia según la ley.

X =ax- ?xy, ?>0

La cantidad de presa consumida contribuye a la reproducción del depredador, que se puede escribir de la siguiente manera: y =-?y +?xy , ?>0.

Por lo tanto, obtenemos un sistema de ecuaciones

x=ax- ?xy

y=- ?y +?xy

y x?0, y?0.

modelo depredador -sacrificio construido.

Como en modelo anterior, el punto de equilibrio (x*, y*), donde x* e y* -solución distinta de cero del sistema de ecuaciones

ax-?xy =0

Y+ ?xy =0

O x(a- ?y )=0, y(- ?+?X )=0

Este sistema se obtiene de la condición de estabilidad del número de ambas poblaciones x=0, y =0

Coordenadas del punto de equilibrio -es el punto de intersección de las rectas

sí =0 (2)

?+?x =0 (3)

fácil de calcular:

, (Figura 2.7).

Arroz. 2.7. Resolver un sistema de ecuaciones

El origen de coordenadas O(0,0) se encuentra en el semiplano positivo con respecto a la línea horizontal dada por la ecuación (2), y con relación a la línea vertical dada por la ecuación (3), en el semiplano negativo (Fig. 2.8). Así, el primer cuarto (y sólo nos interesa, ya que x>0 y y>0) se divide en cuatro regiones, que se denotan convenientemente de la siguiente manera: 1-(+,+), 2-(-,+ ), 3-( -,-), 4-(+,-).

Arroz. 2.8. Dividir el dominio de decisión en cuadrantes

Sea el estado inicial Q(x0,y0) en la región IV. Entonces las desigualdades?-?y0>0, -?+?x0<0? из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке должны быть разных знаков, x>0<0 и, значит, величина х должна возрастать, а величина убывать.

Analizando el comportamiento de x e y en las regiones 2, 3 y 4 de manera similar, terminaremos con la imagen que se muestra en la Fig. 2.9.

Arroz. 2.9. Cambiando x e y por cuadrantes

Por tanto, el estado inicial Q conduce a fluctuaciones periódicas en el número de presas y depredadores, de modo que después de un tiempo el sistema vuelve al estado Q (Fig. 2.10).

Arroz. 2.10. Fluctuaciones cíclicas en el número de depredadores y presas

Como muestran las observaciones, a pesar de su simplicidad, el modelo propuesto refleja cualitativamente correctamente la naturaleza oscilatoria de la abundancia en el sistema depredador-presa (Fig. 2.11).

Arroz. 2.11. Oscilaciones de los sistemas Liebre - Lince y Pulgón - Mariquita

Observaciones reales. Interferir con las acciones de las leyes de la naturaleza, incomprensibles para nosotros, a veces es bastante peligroso. -el uso de insecticidas (a menos que sean exterminadores casi por completo) eventualmente conduce a un aumento en la población de esos insectos que son controlados por otros insectos depredadores. Un pulgón que llegó accidentalmente a América amenazó toda la producción de cítricos. Pronto, su enemigo natural fue llevado allí. -ladybug, que inmediatamente se puso a trabajar y redujo en gran medida la población de áfidos. Para acelerar el proceso de erradicación, los agricultores utilizaron DDT, pero como resultado, aumentó el número de pulgones, que, al observar la fig. 2.11 ,fácil de predecir.

2.3 Modelo de movilización

El término movilización política o social se refiere al involucramiento de personas en un partido o entre sus simpatizantes, en cualquier movimiento social, etc. Debido a que el nivel actual de movilización está estrechamente relacionado con su nivel pasado, y la movilización futura depende de La campaña de propaganda de éxito de hoy, está claro que al construir un modelo apropiado, es necesario tener en cuenta el factor tiempo. En otras palabras, debe comprender que el modelo deseado debe ser dinámico.

Formulación del problema .Refleja la lógica de los cambios en el nivel de movilización en una región dada entre dos puntos adyacentes en el tiempo, digamos por un mes (por un año, una semana, un día, etc.).

Construcción del modelo .Tomemos como unidad aquella parte de la población para la que tiene sentido este tipo de movilizaciones. Dejame norte -parte de la población movilizada en el momento t norte =n .Entonces la proporción de la población no movilizada será igual a 1-Mn (Figura 2.12).

Arroz. 2.12. Ratio de población movilizada y no movilizada

Durante el mes, el nivel de movilización puede cambiar por dos razones principales:

) parte de la población pudo atraer adicionalmente; es claro que este valor es mayor cuanto mayor sea la proporción de la población aún no iniciada en el momento t norte =n ,y por lo tanto puede considerarse igual a ?(1-METRO norte ),(aquí ?>0- coeficiente de agitación, constante para la región dada);

2) parte de la población ha disminuido (según diferentes razones); está claro que esto reduce la proporción de la población agitada cuanto más alta era esta proporción en el momento tn=n, y por lo tanto las pérdidas asociadas con la deserción pueden considerarse iguales (¿aquí? > 0 es una tasa de deserción constante). Hacemos hincapié en que los parámetros numéricos? ¿y? reflejar un cambio proporcional en los intereses, puntos de vista e intenciones de las partes relevantes de la población de la región bajo consideración. Por lo tanto, el cambio en el nivel de movilización por unidad de tiempo es igual a la diferencia entre la proporción de población reclutada adicionalmente y la proporción de población agitada que se fue:

Esta es la ecuación del proceso de movilización. El modelo de movilización ha sido construido.

La última relación se transforma fácilmente en la siguiente forma:

Comentario. ¿Parámetro auxiliar? no puede ser mayor que 1 debido al hecho de que los parámetros iniciales? ¿y? son positivos. La ecuación resultante (4) se denomina ecuación en diferencia lineal con coeficientes constantes.

Las ecuaciones de este tipo se pueden encontrar en varias versiones, en su mayor parte, las más simples.

Uno de ellos (cuando?=1) describe la regla según la cual cada miembro de la sucesión, a partir del segundo, se obtiene del anterior sumando con algún número constante: Mn+1=?+Mn, es decir, un progresión aritmétrica.

El segundo (cuando?=0) describe la regla según la cual cada miembro de la sucesión, a partir del segundo, se obtiene del anterior multiplicando por algún número constante: Mn+1=?Mn, es decir, una progresión geométrica .

Supongamos que se conoce la parte inicial de la población atraída М0. Entonces la ecuación (4) se resuelve fácilmente (para definirlo, asumimos eso). Tenemos:

Aplicación del modelo.

Intentemos analizar las posibilidades de este modelo (construido sobre la base de las consideraciones más simples).

Comencemos con el caso |?|<1.

Para hacer esto, reescribimos la última relación en la forma donde M* denota la siguiente cantidad:

Comentario. El mismo resultado se obtiene si ponemos Mn+1=Mn=M* en la ecuación (4).

De hecho, entonces obtenemos M*=?+?M*, de donde

El valor encontrado M* no depende del valor inicial M0, ¿se expresa a través de los parámetros iniciales? ¿y? según la fórmula

y por lo tanto obedece la condición 0

Para que la fórmula resultante sea más clara, usamos nuevamente el método de coordenadas.

En la fig. 2.13 muestra el rango de valores posibles del parámetro auxiliar?, en la fig. 2.14 - parámetros iniciales? y?, y en la Fig. 2.15-17: los conjuntos correspondientes de valores de Mn para diferentes n, M0 y M* (para facilitar la percepción, los puntos vecinos (n, Mn) y (n + l, Mn + 1) están conectados por segmentos de línea recta) .

¿Sucediendo?<1 проиллюстрирован на рис. 2.18.

Por supuesto, estas imágenes representan una imagen cualitativa. Pero nada nos impide tomar valores bastante específicos de М0, ? ¿y? y calcular la situación correspondiente en detalle.

Arroz. 2.13.rango de valores posibles? 2.14.parámetros iniciales? ¿y?

Arroz. 2.15 - 2.16

Arroz. 2.17 2.18. ¿Sucediendo?<1

Por ejemplo, para, tenemos

,… (Figura 2.19)

Arroz. 2.19. Movilización en,

Es interesante notar que el modelo construido, a pesar de la simplicidad de enfoques y razonamientos, refleja bastante bien los procesos reales. Así, el modelo de movilización propuesto se utilizó para estudiar la dinámica del número de votos emitidos por el Partido Demócrata en el País de los Lagos (EE.UU.) en 1920-1968, y resultó que describe bastante bien las características cualitativas del proceso de movilización. .

2.4 Modelo de carrera armamentista

Considere una situación de conflicto en la que se pueden encontrar dos países; para definirlo, llamaremos a los países X e Y.

Denotemos por x=x(t) los gastos en armamento del país X y por y=y(t) los gastos en armamento del país Y en el momento del tiempo.

Supuesto 1. El país X se está armando, temiendo una potencial amenaza de guerra del país Y, el cual, a su vez, sabiendo del aumento en el costo de armar al país X, también aumenta su gasto en armas. Cada país cambia la tasa de crecimiento (o reducción) de armamentos en proporción al nivel de gastos del otro. En el caso más simple, esto se puede describir de la siguiente manera:

donde ?y ?-constantes positivas.

Sin embargo, las ecuaciones escritas tienen un inconveniente obvio: el nivel de las armas no está limitado por nada. Por lo tanto, los lados derechos de estas ecuaciones necesitan una corrección natural.

Suposición 2.

Cuanto mayor sea el nivel actual de gasto en defensa de un país, más lenta será su tasa de crecimiento. Esto le permite realizar los siguientes cambios en el sistema anterior:

x= ?y -?X

y= ?X -?y

si este país no amenaza la existencia de éste. Denotemos las reivindicaciones respectivas por a y b (a y b son constantes positivas). Si las constantes a y b son negativas, pueden llamarse coeficientes de buena voluntad. Con base en las tres suposiciones, el resultado es el siguiente sistema de ecuaciones:

x=?y-?x+a

y=?x-?y+b

Se ha construido un modelo de carrera armamentista.

La solución del sistema resultante son las funciones x(t) e y(t) determinadas para las condiciones iniciales dadas x 0?0 y y 0?0 (el estado inicial de la carrera armamentista).

Analicemos el sistema resultante, suponiendo que los niveles de gasto de ambos países en armamento no dependen del tiempo (son estacionarios). esto significa x =0, y=0, o de lo contrario:

Y- ?X +a=0

X- ?y +b=0

Consideremos un ejemplo específico.

Ejemplo. Que el sistema de carrera armamentista tenga la siguiente forma:

x=3y-5x+15

y=3x-4y+12

Si las tasas de cambio de x e y son iguales a cero, entonces estas cantidades están necesariamente limitadas por las condiciones:

Cada una de estas ecuaciones describe una línea en el plano (x, y), y el punto de intersección de estas líneas se encuentra en el primer cuarto (Fig. 2.20)

La línea dada por la ecuación (a) divide el plano y el punto inicial O(0,0) se encuentra en el semiplano positivo. En el caso bajo consideración, lo mismo es cierto para la línea recta dada por la ecuación (b) (Fig. 2.21).

Así, el primer cuarto (y sólo nos interesa, ya que siempre x? 0 y y? 0) se divide en cuatro áreas, que se denotan convenientemente como sigue: I-(+, +), II-(-, +), III- (-,-), IV-(+,-).

Sea el estado inicial (x 0,y 0) está en la región I. Entonces se cumplen las siguientes desigualdades:

(a): 3y0 -5x 0+15>0,

(b): 3x 0-4 años 0+12>0,

de donde se deduce que las velocidades x "ey" en este punto son positivas: x "\u003e 0, y"\u003e 0 y, por lo tanto, ambas cantidades (xey) deben aumentar (Fig. 2.22).

Arroz. 2.22 .aumentando x e y

Así, con el tiempo en la región I, la solución llega a un punto de equilibrio.

Analizando de manera similar las posibles ubicaciones del estado inicial en las regiones II, III y IV, concluimos que se logra un estado estable (equilibrio de poder) independientemente de los niveles iniciales de armamento de los países X e Y. La única diferencia es que si la transición a un estado estacionario desde el área I va acompañada de un aumento simultáneo en los niveles de armamento, entonces desde el área III -su disminución simultánea; para las regiones II y IV la situación es diferente -un lado está construyendo sus armas mientras que el otro se está desarmando.

También son posibles otros casos (fig. 2.23).

Arroz. 2.23 . otros casos

Es interesante notar que las capacidades del modelo construido fueron probadas en una situación real. -carrera armamentista antes de la Primera Guerra Mundial. Los estudios realizados han demostrado que, a pesar de su simplicidad, este modelo describe con bastante fiabilidad el estado de cosas en Europa en 1909-1913.

Al final de este apartado, citaremos la afirmación de T. Saaty sobre este modelo: “El modelo parece mucho más convincente si, en lugar de armamentos, estudiamos problemas de amenazas sobre él, ya que las personas reaccionan ante el nivel absoluto de hostilidad que se muestra hacia ellas. por otros, y experimentan una sensación de ansiedad en un grado proporcional al nivel de hostilidad que experimentan ellos mismos".

Conclusión

Hoy en día, la ciencia presta cada vez más atención a las cuestiones de organización y gestión, lo que lleva a la necesidad de analizar procesos complejos con propósito desde el punto de vista de su estructura y organización. Las necesidades de la práctica han dado vida a métodos especiales que se agrupan convenientemente bajo el nombre de "investigación operativa". Este término se refiere al uso de métodos matemáticos y cuantitativos para justificar decisiones en todas las áreas de la actividad humana con propósito.

El propósito de la investigación de operaciones es identificar el mejor curso de acción para resolver un problema en particular. El papel principal se le da a la modelización matemática. Para construir un modelo matemático, es necesario tener una comprensión estricta del propósito del funcionamiento del sistema en estudio y tener información sobre las restricciones que determinan el rango de valores aceptables. El objetivo y las restricciones deben representarse como funciones.

En los modelos de investigación de operaciones, las variables de las que dependen las restricciones y la función objetivo pueden ser discretas (la mayoría de las veces enteras) y continuas (continuas). A su vez, las restricciones y la función objetivo se dividen en lineales y no lineales. Existen varios métodos para resolver estos modelos, el más famoso y eficaz de ellos son los métodos de programación lineal, cuando la función objetivo y todas las restricciones son lineales. Para resolver modelos matemáticos de otro tipo se pretenden métodos de programación dinámica (que fueron considerados en este proyecto de curso), programación entera, programación no lineal, optimización multicriterio y métodos de modelos de redes. Casi todos los métodos de investigación de operaciones generan algoritmos computacionales que son de naturaleza iterativa. Esto implica que el problema se resuelve secuencialmente (iterativamente), cuando en cada paso (iteración) se obtiene una solución que gradualmente converge a la solución óptima.

La naturaleza iterativa de los algoritmos suele dar lugar a grandes cálculos del mismo tipo. Esta es la razón por la cual estos algoritmos se desarrollan principalmente para su implementación en computadora.

La construcción del modelo se basa en una simplificación significativa de la situación en estudio y ,por lo tanto, las conclusiones extraídas de él deben tratarse con suficiente cautela. -modelo no puede hacer todo. Al mismo tiempo, incluso una idealización de aspecto muy tosco a menudo permite profundizar en la esencia del problema. Tratando de influir de alguna manera en los parámetros del modelo (elegirlos, controlarlos), tenemos la oportunidad de someter el fenómeno en estudio a un análisis cualitativo y sacar conclusiones generales.

La programación dinámica es un aparato matemático que permite una planificación óptima de procesos de varios pasos que dependen del tiempo. Dado que los procesos en los problemas de programación dinámica dependen del tiempo, se encuentran una serie de soluciones óptimas para cada etapa que aseguran el desarrollo óptimo de todo el proceso en su conjunto.

Mediante la planificación paso a paso, la programación dinámica permite no solo simplificar la solución de problemas, sino también resolver aquellos a los que no se pueden aplicar los métodos del análisis matemático. Ciertamente ,es útil tener en cuenta ,que este método consume bastante tiempo cuando se resuelven problemas con una gran cantidad de variables.

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