2.6. Кореляційно-спектральний аналіз детермінованих сигналів. Радіотехнічні ланцюгита сигнали. Частина I

2.6. Кореляційно-спектральний аналіз детермінованих сигналів

Багато радіотехнічних завданнях часто виникає необхідність порівняння сигналу та його копії, зсунутої на деякий час. Зокрема така ситуація має місце у радіолокації, де відбитий від мети імпульс надходить на вхід приймача із затримкою у часі. Порівняння цих сигналів між собою, тобто. встановлення їх взаємозв'язку при обробці дозволяє визначати параметри руху мети.

Для кількісної оцінки взаємозв'язку сигналу та його зсунутої у часі копії вводиться характеристика

Яка називається автокореляційною функцією(АКФ).

Для пояснення фізичного сенсу АКФ наведемо приклад, де як сигнал виступає прямокутний імпульс тривалістю і амплітудою. На рис. 2.9 зображені імпульс, його копія, зсунута на інтервал часу та добуток. Вочевидь, інтегрування твори дає значення площі імпульсу, є твором . Це значення при фіксованому можна зобразити точкою координат. За зміни ми отримаємо графік автокореляційної функції.

Знайдемо аналітичний вираз. Так як

то підставляючи цей вираз у (2.57), отримаємо

Якщо здійснювати зсув сигналу вліво, то аналогічними обчисленнями неважко показати, що

Тоді об'єднуючи (2.58) та (2.59), отримаємо

З розглянутого прикладу можна зробити такі важливі висновки, що поширюються сигнали довільної форми:

1. Автокореляційна функція неперіодичного сигналу зі зростанням зменшується (необов'язково монотонно інших видів сигналів). Вочевидь, при АКФ також прагнути нуля.

2. Свого максимального значення АКФ досягає при. При цьому дорівнює енергії сигналу. Таким чином, АКФ є енергетичноїхарактеристикою сигналу Як і слід очікувати при сигналі і його копія повністю кореловані (взаємопов'язані).

3. З порівняння (2.58) та (2.59) випливає, що АКФ є парною функцієюаргументу, тобто.

Важливою характеристикою сигналу є інтервал кореляції. Під інтервалом кореляції розуміють інтервал часу, при зсуві який сигнал і його копія стають некоррелированными.

Математично інтервал кореляції визначається таким виразом

або оскільки – парна функція

На рис. 2.10 зображено АКФ сигналу довільної форми. Якщо побудувати прямокутник, площею дорівнює площі під кривою при позитивних значеннях (права гілка кривої), одна сторона якого дорівнює, то друга сторона буде відповідати.

Знайдемо інтервал кореляції прямокутного імпульсу. Підставляючи (2.58) (2.60) після нескладних перетворень, отримаємо:

що й випливає з рис. 2.9.

За аналогією з автокореляційною функцією ступінь взаємозв'язку двох сигналів та оцінюється взаємною кореляційною функцією(ВКФ)

Знайдемо взаємну кореляційну функцію двох сигналів: прямокутного імпульсу з амплітудою та тривалістю

і трикутного імпульсу тієї ж амплітуди та тривалості

Скориставшись (2.61) та обчислюючи інтеграли окремо для і, отримаємо:

Графічні побудови, що ілюструють обчислення ВКФ, наведено на рис. 2.11

Тут пунктирними лініями показано вихідне (при) положення трикутного імпульсу.

При виразі (2.61) перетворюється на (2.57). Звідси випливає, що АКФ є окремим випадком ВКФ при сигналах, що повністю збігаються.

Зазначимо основні властивості ВКФ.

1. Так само, як і автокореляційна функція, ВКФ є спадною функцією аргументу. При ВКФ прагнути нуля.

2. Значення взаємної кореляційної функції при довільних є значеннями взаємної енергії(енергії взаємодії) сигналів та.

3. При взаємній кореляційній функції (на відміну від автокореляційної) не завжди досягає максимуму.

4. Якщо сигнали описуються парними функціями часу, то ВКФ теж парна. Якщо ж хоча б один із сигналів описується непарною функцією, то ВКФ так само непарна. Перше твердження легко довести, якщо обчислити ВКФ двох прямокутних імпульсів протилежної полярності

Взаємна кореляційна функція таких сигналів

є парною функцією аргументу.

Що ж до другого твердження розглянутий приклад обчислення ВКФ прямокутного і трикутного імпульсів доводить його.

У деяких прикладних завданнях радіотехніки використовують нормовану АКФ

та нормовану ВКФ

де - власні енергії сигналів і. При значенні нормованої ВКФ називають коефіцієнтом взаємної кореляції. Якщо , то коефіцієнт взаємної кореляції

Очевидно, значення лежать у межах від -1 до +1. Якщо порівняти (2.65) з (1.32), можна переконатися, що коефіцієнт взаємної кореляції відповідає значенню косинуса кута між векторами і при геометричному поданні сигналів.

Розрахуємо коефіцієнт взаємної кореляції для розглянутих вище прикладів. Оскільки енергія сигналу прямокутного імпульсу становить

а трикутного імпульсу

то коефіцієнт взаємної кореляції відповідно до (2.62) і (2.65) дорівнюватиме. Що ж до другого прикладу, то двох прямокутних імпульсів однакової амплітуди і тривалості, але протилежної полярності, .

Експериментально АКФ та ВКФ можуть бути отримані за допомогою пристрою, структурна схема якого зображена на рис. 2.12

При знятті АКФ однією з входів перемножувача надходить сигнал, але в другий – той самий сигнал, але затриманий тимчасово. Сигнал, пропорційний добутку, піддається операції інтегрування. На виході інтегратора формується напруга, пропорційна значенню АКФ при фіксованому. Змінюючи час затримки можна побудувати АКФ сигналу.

Для експериментальної побудови ВКФ сигнал подається однією з входів перемножувача, а сигнал – пристрій затримки (вхідні ланцюга показані пунктиром). В іншому пристрої працює аналогічним чином. Зазначимо, що описаний пристрій називається кореляторомі широко використовується в різних радіотехнічних системах для приймання та обробки сигналів.

До цього часу ми проводили кореляційний аналіз неперіодичних сигналів, що мають кінцеву енергію. Разом з тим, необхідність подібного аналізу часто виникає і для періодичних сигналів, які теоретично мають нескінченну енергію, але кінцеву середню потужність. І тут АКФ і ВКФ обчислюються усередненням за періодом і мають сенс середньої потужності (власної чи взаємної відповідно). Таким чином, АКФ періодичного сигналу:

а взаємна кореляційна функція двох періодичних сигналів із кратними періодами:

де – максимальне значення періоду.

Знайдемо автокореляційну функцію гармонійного сигналу

де – кругова частота, – початкова фаза.

Підставляючи цей вираз (2.66) і обчислюючи інтеграл з використанням відомого тригонометричного співвідношення:

З розглянутого прикладу можна зробити такі висновки, справедливі для будь-якого періодичного сигналу.

1. АКФ періодичного сигналу є періодичною функцією з тим самим періодом.

2. АКФ періодичного сигналу є парною функцією аргументу.

3. При значення є середню потужністьяка виділяється на опорі в 1 Ом і має розміреність.

4. АКФ періодичного сигналу не містить інформації про початкову фазу сигналу.

Слід зазначити, що інтервал кореляції періодичного сигналу.

А тепер обчислимо взаємну кореляційну функцію двох гармонійних сигналів однакової частоти, але що відрізняються амплітудами та початковими фазами

Функції кореляції сигналів використовуються для інтегральних кількісних оцінок форми сигналів та ступеня їх схожості один з одним.

Автокореляційні функції (АКФ) сигналів (correlation function, CF). Стосовно детермінованих сигналів з кінцевою енергією АКФ є кількісною інтегральною характеристикою форми сигналу, і є інтегралом від твору двох копій сигналу s(t), зрушених відносно один одного на час t:

Bs(t) = s(t) dt. (2.25)

Як випливає з цього виразу, АКФ є скалярним твором сигналу та його копії у функціональній залежності від змінної величини значення зсуву t. Відповідно, АКФ має фізичну розмірність енергії, а при t = 0 значення АКФ безпосередньо дорівнює енергії сигналу:

B s (0) = s (t) 2 dt = E s.

Функція АКФ є безперервною та парною. В останньому неважко переконатися заміною змінної t = t-t у виразі (2.25):

B s (t) = s (t-t) dt = s (t) dt = B s (-t). (2.25")

З урахуванням парності, графічне уявленняАКФ виробляється лише позитивних значень t. Насправді сигнали зазвичай задаються на інтервалі позитивних значень аргументів від 0-Т. Знак +t у виразі (2.25) означає, що при збільшенні значень t копія сигналу s(t+t) зрушується вліво по осі t і йде за 0, що вимагає відповідного продовження сигналу область негативних значень аргументу. Оскільки при обчисленнях інтервал завдання t, зазвичай, набагато менше інтервалу завдання сигналу, більш практичним є зсув копії сигналу вліво по осі аргументів, тобто. застосування у виразі (2.25) функції s(t-t) замість s(t+t).

У міру збільшення значення величини зсуву t для фінітних сигналів тимчасове перекриття сигналу з його копією зменшується і скалярний добуток прагнуть нуля.

приклад.На інтервалі (0,Т) заданий прямокутний імпульс з амплітудним значенням, що дорівнює А. Обчислити автокореляційну функцію імпульсу.

При зрушенні копії імпульсу по осі t праворуч, при 0≤t≤T сигнали перекриваються на інтервалі від t до Т. Скалярний твір:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

При зрушенні копії імпульсу вліво, при -T≤t

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

При | t | > T сигнал та його копія не мають точок перетину і скалярне добуток сигналів дорівнює нулю (сигнал та його зсунута копія стають ортогональними).

Узагальнюючи обчислення, можемо записати:

У разі періодичних сигналів АКФ обчислюється по одному періоду Т, з усереднення скалярного твору та його зсунутої копії в межах періоду:

Bs(t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt.

При t=0 значення АКФ у разі одно не енергії, а середньої потужності сигналів межах інтервалу Т. АКФ періодичних сигналів також є періодичною функцією з тим самим періодом Т. Для однотонального гармонійного сигналу це очевидно. Перше максимальне значення АКФ відповідатиме t=0. При зрушенні копії сигналу на чверть періоду щодо оригіналу підінтегральні функції стають ортогональними один одному (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) і дають нульове значення АКФ. При зрушенні на t=T/2 копія сигналу у напрямку стає протилежною самому сигналу і скалярне твір досягає мінімального значення. При подальшому збільшенні зсуву починається зворотний процес збільшення значень скалярного твору з перетином нуля при t=3T/2 і повторенням максимального значення при t=T=2p/w o (cos w o t-2p копії cos w o t сигналу). Аналогічний процес має місце для періодичних сигналів довільної форми (рис. 2.11).

Відзначимо, що отриманий результат не залежить від початкової фази гармонійного сигналу, що характерно для будь-яких періодичних сигналів і є однією з властивостей АКФ.

Для сигналів, заданих на певному інтервалі, обчислення АКФ проводиться з нормуванням на довжину інтервалу:

B s (t) = s (t) s (t + t) dt. (2.26)

Автокореляція сигналу може оцінюватися і функцією автокореляційних коефіцієнтів, обчислення яких проводиться за формулою (центрованими сигналами):

r s(t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2 .

Взаємна кореляційна функція (ВКФ) сигналів (cross-correlation function, CCF) показує як ступінь подібності форми двох сигналів, так і їх взаємне розташування один щодо одного по координаті (незалежній змінній), для чого використовується та сама формула (2.25), що і для АКФ, але під інтегралом стоїть твір двох різних сигналів, один з яких зрушений на час t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)

При заміні змінної t = t-t у формулі (2.4.3) отримуємо:

B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Рис. 2.12. Сигнали та ВКФ

Звідси випливає, що з ВКФ не виконується умова парності, а значення ВКФ нічого не винні мати максимум при t = 0. Це можна наочно бачити на рис. 2.12, де задані два однакові сигнали з центрами на точках 0.5 та 1.5. Обчислення за формулою (2.27) з поступовим збільшенням значень t означає послідовні зрушення сигналу s2(t) вліво по осі часу (для кожного значення s1(t) для підінтегрального множення беруться значення s2(t+t)).

При t=0 ортогональні сигнали і значення B 12 (t)=0. Максимум 12 (t) буде спостерігатися при зрушенні сигналу s2(t) вліво на значення t=1, при якому відбувається повне суміщення сигналів s1(t) і s2(t+t). При обчисленні значень B 21 (-t) аналогічний процес виконується послідовним зсувом сигналу s1(t) вправо по часовій осі з поступовим збільшенням негативних значень t, відповідно значення B 21 (-t) є дзеркальним (щодо осі t=0) відображенням значень B 12 (t), і навпаки. На рис. 2.13 це можна побачити наочно.

Рис. 2.13. Сигнали та ВКФ

Таким чином, для обчислення повної формиВКФ числова вісь t повинна включати негативні значення, а зміна знака t у формулі (2.27) рівносильно перестановці сигналів.

Для періодичних сигналів поняття ВКФ зазвичай не застосовується, крім сигналів з однаковим періодом, наприклад, сигналів входу і виходу систем щодо характеристик систем.

Функція коефіцієнтів взаємної кореляції двох сигналів обчислюється за формулою (за центрованими сигналами):

r sv(t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| | | v (t) | |. (2.28)

Значення коефіцієнтів взаємної кореляції може бути змінено від -1 до 1.

5 Спектральний аналіз періодичних сигналів. Умови Діріхле. Ряд Фур'є.

6 Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Перетворення Фур'є. Рівність Парсеваля.

7 Подання безперервних сигналів вибірками. Теорема Котельникова. Вплив частоти дискретизації можливість відновлення сигналу з допомогою фільтра.

8 Процес інтерполяції безперервного повідомлення. Найпростіші види інтерполяції алгебраїчними поліномами.

13 Перешкодостійке кодування. Підвищення вірності в односторонньому та двосторонньому каналах передачі

14 Блокові систематичні коди, властивості та способи уявлення

15 Коди Хеммінгу, властивості. Структурна схемакодера та декодера, принцип роботи

16 Загальні властивості та способи представлення циклічних кодів.

18 Аналогові види модуляції. Амплітудна модуляція. Амплітудно-модульоване коливання, тимчасова та спектральна характеристики

19 Аналогові види модуляції. Амплітудний модулятор.

20 Аналогові види модуляції. Демодулятор ам-сигналів.

21. Аналогові види модуляції. Балансна модуляція. Балансно-модульоване коливання, тимчасова та спектральна характеристики. Модулятор та демодулятор БМК.

22 Аналогові види модуляції. Односмугова модуляція. Методи формування однієї бічної смуги частот ам коливання.

24 Спектри фазо-модульованих та частотно-модульованих коливань.

25 Аналого-імпульсні види модуляції. Амплітудно-імпульсна модуляція: АІМ-1 та АІМ-2. Модулятори та демодулятори аім сигналів.

26 Широтно-імпульсна модуляція: шим-1 та шим-2. Спектральна вистава шим-сигналу. Модулятори шим-сигналів.

27 Фазо-імпульсна модуляція. Модулятори фім-сигналів.

28 Частотно-імпульсна модуляція. Детектори чим-сигналів.

29 Цифрові види модуляції. Імпульсно-кодова модуляція. Дискретизація, квантування та кодування.

30 Диференціальна икм. Структурна схема системи передачі із передбаченням. Структурна схема лінійного провісника, принцип роботи. Адаптивна диференціальна икм.

31 Дельта-модуляція. Принцип формування сигналу дельта-модуляції. Адаптивна дельта-модуляція.

32 Дискретні видимодуляції. Способи двопозиційної (одноразової) модуляції. Позиційність сигналу, кратність модуляції.

33 Одноразова абсолютна фазова маніпуляція. Фазовий маніпулятор.

34 Детектор фмн-сигналів.

35 Маніпулятор одноразової відносної фазової маніпуляції.

36 Демодулятор сигналів з одноразовою офмн.

38 Принципи побудови багатоканальних систем передачі. Теоретичні причини поділу каналів. Частотний поділ каналів.

39 Фазовий розподіл каналів. Модулятор та демодулятор сигналів дофмн.

40 Тимчасовий розподіл каналів. Структурна схема багатоканальної системи передачі з тимчасовим розподілом каналів.

41 Оптимальний прийом сигналів. Завдання та критерії оптимального прийому.

42 Структурна схема приймача за повністю відомих сигналів, принцип роботи.

9 Кореляційний аналіз. Кореляційна функція, її властивості. Обчислення кореляційної функції одиночного імпульсу та періодичного сигналу

Поряд із спектральним аналізом кореляційний аналіз відіграє велику роль у теорії сигналів. Його сенс полягає у вимірі ступеня подібності (відмінності) сигналів. І тому служить кореляційна ф-ция.

КФ є інтеграл від твору двох копій сигналу, зрушених один від. друга на якийсь час.

Чим більше значення КФ, тим більше схожість. КФ має такі властивості:

1. Значення КФ при

одно енергії сигналу (інтегралу від його квадрата)

2. Є парною функцією

3. Значення КФ при

4. Зі зростанням абс. значення КФ сигналу з кінцевою енергією згасає

5. Якщо сигнал є ф-цією напруги часу, то розмірність його КФ [

]

У разі періодичного сигналу (з періодом Т) КФ обчислюють середня твір зрушених копій в межах одного періоду:

Набір властивостей такої КФ змінюється:

1. Значення КФ при

одно середньої потужності сигналу

2. Властивість парності зберігається.

3. Значення КФ при

є максимально можливим.

4. КФ є періодичною ф-цією (з тим самим періодом, що і сигнал)

5. Якщо сигнал не містить дельта-функцій, його КФ безперервна.

6. Якщо сигнал є залежністю U(t), то розмірність КФ

]

КФ гармонійного сигналу є гармонійною ф-цією, яка залежить від початкової фази сигналу.

10 Взаємна кореляційна функція, її властивості. Обчислення взаємної кореляційної функції сигналів

Взаємна кореляційна функція (ВКФ)- функція, що показує ступінь подібності для зрушених у часі двох різних сигналів.

Загальний вигляд:

Наприклад обчислимо ВКФ двох функцій:

При

При

При

Поєднуючи результати, можна записати:

Властивості ВКФ:

1)

2)

3)

4) Якщо функції S 1 (t) і S 2 (t) не містять дельта-функцій, їх ВКФ неспроможна мати розривів.

5) Якщо як сигнал виступає функція U(t) , то розмірність ВКФ

11 Випадкові процеси. Реалізація довільного процесу. Закони розподілу випадкових процесів

Іноді практично доводиться мати справу з явищами, перебіг яких у часі непередбачувано й у момент часу описується випадковою величиною. Такі явища називаються випадковими процесами. Випадковим процесомназивається функція ζ( t) невипадкового аргументу t (Як правило, часу), яка при кожному фіксованому значенні аргументу є випадковою величиною. Наприклад, температура протягом доби, що реєструється самописцем. Значення, що приймаються процесом ζ( t) у певні моменти часу називаються станами, А безліч усіх станів - фазовим просторомвипадкового процесу. Залежно від кількості можливих станів випадкового процесу його фазовий простір може бути дискретнимабо безперервним.Якщо випадковий процес може змінювати свій стан лише у певні моменти часу, такий процес називається випадковим процесом із дискретним часом; а якщо довільні, то – процесом з безперервним часом .

Випадковий процес ζ( t) називається стаціонарнимякщо розподіл ймовірностей його можливих станів не змінюється в часі. Наприклад, при щомиті підкиданні гральної кістки розподіл ймовірностей станів відповідного випадкового процесу (рис.44, б) не залежить (не змінюється) від часу (при цьому всі стани ζ( t) рівноможливі). На противагу цьому, випадковий процес, що характеризує температуру довкілляне є стаціонарним, т.к. для літа характерні вищі температури, ніж зими.

Розподіл ймовірностей станів стаціонарного випадкового процесу називається стаціонарним розподілом.

Існують різні закони розподілу серед них Рівномірне, Гаусівське (нормальне)

Рівномірне: нехай нектора випадок величина х може набувати значення х 1

P(x)=система(0 при x х 2)

Функцію розподілу знайдемо шляхом інтегрування

F(x)= система(0 при x x 2)

Гауссовий (нормальний) розподіл. Теоретично випадкових сигналів фундаментальне значення має гаусова щільність ймовірності

Відповідно до рівності (13.5) кореляційна функція відгуку нелінійного пристрою може бути наступним чином виражена через перехідну функцію цього пристрою:

Подвійний інтеграл дорівнює, як це видно з порівняння з рівністю (4.25), спільної характеристичної функції величин записаної у вигляді функції комплексних змінних. Отже,

Вираз (13.40) є основною формулою при аналізі випадкових впливів на нелінійні пристрої шляхом перетворень. Решта цієї глави присвячена обчисленню цього виразу для різних типівпристроїв та різних видіввпливів на них.

У багатьох завданнях вплив, що подається на вхід системи, є сумою корисного сигналу і шуму:

де - вибіркові функції статистично незалежних імовірнісних процесів. У таких випадках спільна характеристична функція впливу дорівнює добутку характеристичних функцій сигналу та шуму та рівність (13.40)

де - спільна характеристична функція величин - спільна характеристична функція величин і

Гаусівський шум на вході. Якщо шум на вході пристрою є вибірковою функцією дійсного гаусівського ймовірнісного процесу з нульовим математичним очікуванням, то відповідно до рівності (8.23),

де Кореляційна функція відгуку в такому випадку набуває вигляду

Якщо тепер можуть бути представлені у вигляді творів функції від на функцію від або у вигляді сум таких творів, то подвійний інтеграл в останньому вираженні може бути обчислений як добуток інтегралів. Той факт, що експоненційна функція може бути представлена ​​через твори функцій від і випливає з розкладання її в статечний ряд

Тому кореляційна функція відгуку нелінійного пристрою при поданні на вхід його шуму гауса може бути записана

Синусоїдальні сигнали.

Припустимо тепер, що сигнал на вході пристрою є модульованою синусоїдою, тобто що

де - вибіркова функція низькочастотного ймовірнісного процесу (тобто, у якого спектральна щільністьвідмінна від нуля лише в діапазоні частот, що примикає до нульової частоти і вузькому порівняно з де випадкова величина розподілена рівномірно в інтервалі і не залежить від модулюючого сигналу і від шуму. Характеристична функція такого сигналу дорівнює

Розкладаючи експоненту формулі Якобі-Енгера [вираз (13.20)], отримуємо

Оскільки

де ми отримуємо, що для амплітудно-модульованого синусоїдального сигналу

Кореляційну функцію відгуку нелінійного пристрою при подачі на вхід його синусоїдального сигналу і шуму гауса можна тепер знайти, підставляючи (13.47) в (13.45). Визначимо функцію

де і кореляційну функцію

де опосередкування проводиться за модулюючим сигналом; тоді кореляційна функція відгуку дорівнюватиме

Якщо як модулюючий сигнал, так і шум стаціонарні, то вираз (13.50) набуває вигляду

Якщо вхідний сигнал є немодульованою синусоїдою

бо в цьому випадку коефіцієнти постійні та рівні один одному.

Складові сигналу та шуму на виході.

Розглянемо зараз випадок, коли шум на вході має форму змодульованої синусоїди. І тут кореляційна функція на виході задається виразом (13.52). Розкладемо цей вислів таким чином:

розглянемо окремі його доданки. Перший доданок відповідає постійної складової на виході пристрою. Наступна група доданків відповідає періодичної частини відгуку та обумовлена ​​в основному взаємодією вхідного сигналу із самим собою. Інші доданки відповідають випадковим коливанням відгуку, тобто шуму на виході. Ті з

цих складових, що залишилися, для яких обумовлені головним чином взаємодією вхідного шуму з самим собою, а ті з них, для яких взаємодією сигналу і шуму на вході.

Подамо відгук нелінійного пристрою у вигляді суми середнього значення, періодичних складових та випадкової складової:

Тоді кореляційна функція відгуку може бути записана як

де Порівнюючи рівності (13.53) та (13.55), ми бачимо, що середнє значення відгуку та амплітуди його періодичних складових можуть бути виражені безпосередньо через коефіцієнти

Крім того, кореляційну функцію випадкової частини відгуку можна записати у вигляді

де ми покладемо за визначенням відповідно до (13.50)

Слід зазначити, що, строго кажучи, всі ці доданки є функціями процесу, що модулює вхідний сигнал.

Вирішення питання про те, які складові в (13.62) визначають корисний вихідний сигнал, залежить, звичайно, від призначення нелінійного пристрою. Якщо, наприклад, пристрій використовується як детектор, корисною є низькочастотна частина вихідного сигналу. У цьому випадку корисному сигналу відповідає частина кореляційної функції, що визначається рівністю

З іншого боку, якщо пристрій використовується як нелінійний підсилювач,

бо в цьому випадку корисною є складова сигналу, зосереджена при несучій частоті вхідного сигналу

Література: [Л.1], з 77-83

[Л.2], з 22-26

[Л.3], з 39-43

У багатьох радіотехнічних завданнях часто виникає необхідність порівняння сигналу та його копії, зсунутої на деякий час

При знятті АКФ однією з входів перемножувача надходить сигнал, але в другий – той самий сигнал, але затриманий тимчасово. Сигнал, пропорційний добутку , піддається операції інтегрування. На виході інтегратора формується напруга, пропорційна значенню АКФ при фіксованому. Змінюючи час затримки можна побудувати АКФ сигналу.

Для експериментальної побудови ВКФ сигнал подається однією з входів перемножувача, а сигнал – пристрій затримки (вхідні ланцюга показані пунктиром). В іншому пристрої працює аналогічним чином. Зазначимо, що описаний пристрій називається кореляторомі широко використовується в різних радіотехнічних системах для приймання та обробки сигналів.

До цього часу ми проводили кореляційний аналіз неперіодичних сигналів, що мають кінцеву енергію. Разом з тим, необхідність подібного аналізу часто виникає і для періодичних сигналів, які теоретично мають нескінченну енергію, але кінцеву середню потужність. І тут АКФ і ВКФ обчислюються усередненням за періодом і мають сенс середньої потужності (власної чи взаємної відповідно). Таким чином, АКФ періодичного сигналу:

, (2.66)

а взаємна кореляційна функція двох періодичних сигналів із кратними періодами:

, (2.67)

де – максимальне значення періоду.

Знайдемо автокореляційну функцію гармонійного сигналу

,

де – кругова частота, – початкова фаза.

Підставляючи цей вираз (2.66) і обчислюючи інтеграл з використанням відомого тригонометричного співвідношення:

.

З розглянутого прикладу можна зробити такі висновки, справедливі для будь-якого періодичного сигналу.

1. АКФ періодичного сигналу є періодичною функцією з тим самим періодом.

2. АКФ періодичного сигналу є парною функцією аргументу.

3. При значенням є середня потужність, яка виділяється на опорі в 1 Ом і має розміреність.

4. АКФ періодичного сигналу не містить інформації про початкову фазу сигналу.

Слід зазначити, що інтервал кореляції періодичного сигналу.

А тепер обчислимо взаємну кореляційну функцію двох гармонійних сигналів однакової частоти, але що відрізняються амплітудами та початковими фазами

і.

Скориставшись (2.67) та проводячи нескладні обчислення, отримаємо

,

де - Різниця початкових фаз сигналів і.

Таким чином, взаємна кореляційна функція двох сигналів, що розглядаються, містить інформацію про різницю початкових фаз. Ця важлива властивість широко використовується при побудові різних радіотехнічних пристроїв, зокрема пристроїв синхронізації деяких систем радіоавтоматики та інших.

Оскільки і – речові та парні функції, вирази (2.69) та (2.70) можна записати відповідно у вигляді

, (2.71)

. (2.72)

Розглянутий кореляційно-спектральний аналіз дозволяє дати ще одне трактування ефективної ширини спектра. Якщо відомий енергетичний спектр, ефективна ширина спектра визначається так:

. (2.73)

Іншими словами є стороною прямокутника за площею рівного площі під кривою одностороннього спектра, друга сторона якого дорівнює (рис.2.13). Очевидно, добуток ефективної ширини енергетичного спектра на величину інтервалу кореляції є постійна величина

.

Таким чином, і в цьому випадку ми стикаємося з проявом принципу невизначеності: чим більше інтервал кореляції, тим менша ширина енергетичного спектра, і навпаки.

Контрольні питання до розділу 2

1. Що таке система базових тригонометричних функцій?

2. Як можна записати тригонометричний ряд Фур'є?

3. Дайте визначення амплітудного та фазового спектру періодичного сигналу.

4. Який характер має спектр послідовності прямокутних імпульсів?

5. Чим відрізняється спектр одиночного імпульсу від спектра періодичної послідовності імпульсів?

6. Запишіть пряме та зворотне перетворення Фур'є.

7. Як знайти ефективну тривалість і ефективну ширинуспектра прямокутного сигналу?

8. Що таке спектр сигналу як дельта-функции?

9. Дайте визначення автокореляційної функції детермінованого сигналу.

10. Що таке взаємна кореляційна функція двох сигналів?

11. Як визначити коефіцієнт взаємної кореляції?

12. Які властивості має автокореляційна функція періодичного сигналу?

Кореляція – математична операція, схожа зі згорткою, дозволяє отримати із двох сигналів третій. Буває: автокореляція (автокореляційна функція), взаємна кореляція (взаємнокореляційна функція, кроскореляційна функція). Приклад:

[Взаємна кореляційна функція]

[Автокореляційна функція]

Кореляція - це техніка виявлення заздалегідь відомих сигналів на тлі шумів, що ще називають оптимальною фільтрацією. Хоча кореляція дуже схожа на згортку, але обчислюються вони по-різному. Області застосування також різні (c(t)=a(t)*b(t) - згортка двох функцій, d(t)=a(t)*b(-t) - взаємна кореляція).

Кореляція – це та сама згортка, тільки один із сигналів інвертується зліва направо. Автокореляція (автокореляційна функція) характеризує ступінь зв'язку між сигналом та його зсунутою на τ копією. Взаємнокореляційна функція характеризує ступінь зв'язку між двома різними сигналами.

Властивості автокореляційної функції:

• 1) R(τ)=R(-τ). Функція R(τ) є парною.
• 2) Якщо х(t) – синусоїдальна функція часу, її автокореляційна функція – косинусоидальная тієї ж частоти. Інформація про початкову фазу втрачається. Якщо x(t)=A*sin(ωt+φ), то R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
• 3) Функція автокореляції та спектра потужності пов'язані перетворенням Фур'є.
• 4) Якщо х(t) – будь-яка періодична функція, то R(τ) для неї може бути представлена ​​у вигляді суми автокореляційних функцій від постійної складової та від синусоїдально змінної складової.
• 5) Функція R(τ) не несе жодної інформації про початкові фази гармонійних складових сигналу.
• 6) Для випадкової функції часу R(τ) швидко зменшується із збільшенням τ. Інтервал часу, після якого R(τ) стає рівним 0, називається інтервалом автокореляції.
• 7) Заданою x(t) відповідає цілком певне R(τ), але для однієї і тієї ж R(τ) можуть відповідати різні функції x(t)

Вихідний сигнал із шумами:

Автокореляційна функція вихідного сигналу:

Властивості взаємної кореляційної функції (ВКФ):

• 1) ВКФ не є ні парною ні непарною функцією, тобто. Rху (τ) не дорівнює Rху (-τ).
• 2) ВКФ залишається постійної при зміні чергування функцій та змін символу аргументу, тобто. Rху (τ) = Rху (-τ).
• 3) Якщо випадкові функції x(t) та y(t) не містять постійних складових і створюються незалежними джерелами, то для них R ху (τ) прагне 0. Такі функції називаються некорельованими.

Вихідний сигнал із шумами:

Меандр тієї ж частоти:

Кореляція вихідного сигналу та меандру:

Увага! Кожен електронний конспект лекцій є інтелектуальною власністю свого автора та опублікований на сайті виключно для ознайомлення.

Кореляційна функція сигналу- це тимчасова характеристика,

дає уявлення про швидкість зміни сигналу в часі, а також про тривалість сигналу без розкладання його гармонійні складові.

Розрізняють автокореляційну та взаємнокореляційну функції. Для детермінованого сигналу f (t) автокореляційна функція визначається виразом

де - Величина тимчасового зсуву сигналу.

характеризує ступінь зв'язку (кореляції) сигналу f (t) зі своєю

копією, зсунутою величину по осі часу. Побудуємо автокореляційну функцію (АКФ) для прямокутного імпульсу f(t). Сигнал зрушений на бік випередження, як показано на рис. 6.25.

На графіку кожному значенню відповідає свій твір та площа під графіком функції. Чисельні

значення таких площ для відповідних τ і дають ординати функції

Зі збільшенням τ убуває (не обов'язково монотонно) і при

Т. е. більше, ніж тривалість сигналу, дорівнює нулю.

		– періодичний сигнал, то АКФ K f (t) =				f (t ) × f t(+ t ) dt та

є також періодичною функцією з періодом T.

Розглянемо основні властивості автокореляційної функції:

1. АКФ є парною функцією , тобто і зі збільшенням функція зменшується.

2. АКФ досягає max при , тому що будь-який сигнал повністю корелюється з самим собою. При цьому максимальне значення АКФ дорівнює енергії

сигналу, тобто.	E = K f (0) = ò f 2 (t) dt. Для періодичного сигналу
середня потужність сигналу.
	та квадрат модуля спектральної щільності
між собою прямим та зворотним перетворенням Фур'є.

Чим ширший спектр сигналу, тим менший інтервал кореляції, тобто. величина зсуву , не більше якого кореляційна функція відмінна від нуля. Відповідно, що більше інтервал кореляції сигналу, то його спектр.

Кореляційна функція може бути використана і для оцінки ступеня зв'язку між двома різними сигналами f 1 (t ) і f 2 (t ) зрушеними на час

У цьому випадку вона називається взаємною кореляційною функцією (ВКФ) і визначається виразом:

Взаємно-кореляційна функція не обов'язково є парною щодо τ і не обов'язково досягає максимуму. Побудова ВКФ для двох трикутних сигналів f 1 (t) і f 2 (t) наведено на рис. 6.26. При зрушенні

сигналу f 2 (t ) вліво (t > 0, рис. 6.26, а) кореляційна функція сигналу спочатку зростає, потім зменшується до нуля при. При зрушенні сигналу f 2 (t) вправо (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 Т t

0 t -Т Т

f 1 (t ) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 Т

Т Т + t

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. Поняття про модульовані сигнали. Амплітудна модуляція

Для передачі на відстань застосовуються високочастотні сигнали. Інформація, що передається, повинна бути тим чи іншим способом -закладена у високочастотне коливання, яке називається несучим. Вибір ча-

стоти ω несучого сигналу залежить від багатьох факторів, але в будь-якому випадку ω

має бути набагато більше, ніж найвища частота спектра повідомлення, тобто.

Залежно від характеру несучої розрізняють два види модуляції:

– безперервну – при гармонійному безперервному у часі переноснику;

– імпульсну – при переноснику як періодичної послідовності імпульсів.

Сигнал, що несе в собі інформацію, можна у вигляді

Якщо і постійні величини, то це просте гармонійне коливання, що не несе інформації. Якщо й піддаються примусової зміни передачі повідомлення, то коливання стає модулированным.

Якщо змінюється A (t ), це амплітудна модуляція, якщо кут – кутова. Кутова модуляція поділяється на два види: частотну (ЧМ) та фазову (ФМ).

Оскільки , те й – функції часу, що повільно змінюються. Тоді можна вважати, що за будь-якого виду модуляції параметри сигналу

(1) (амплітуда, фаза та частота) змінюються настільки повільно, що в межах одного періоду високочастотне коливання можна вважати гармонійним. Ця причина є основою властивостей сигналів та його спектрів.

Амплітудна модуляція (АМ). При АМ оминає амплітуд несучого сигналу змінюється за законом, що збігається із законом зміни повідомлення, що передається, частотане змінюється, а початкова фазаможе бути різною залежно від початку модуляції. Загальний вираз (6.22) можна замінити на

Графічне уявлення амплітудно-модульованого сигналу наведено на. 6.27. Тут S (t ) – безперервне повідомлення, що передається, амплітуда несучого гармонійного високочастотного сигналу. Огибающая A (t ) змінюється згідно із законом, що відтворює повідомлення

S(t).

Найбільше, причому. - Частота модулюючої функції, - Початкова фаза огинаючої. Така модуляція називається ється тональною (6.28). повторює закон зміни вихідного сигналу (рис. 6.28 б).

3 Кореляційний аналіз сигналів

Сенс спектрального аналізу сигналів полягає у вивченні того, як сигнал може бути представлений у вигляді суми (або інтеграла) простих гармонійних коливань і як форма сигналу визначає структуру розподілу частот амплітуд і фаз цих коливань. На противагу цьому завданням кореляційного аналізу сигналів є визначення міри подібності та відмінності сигналів або зрушених за часом копій одного сигналу. Введення заходів відкриває шляхи до проведення кількісних вимірівступеня схожості сигналів. Буде показано, що існує певний взаємозв'язок між спектральними та кореляційними характеристиками сигналів.

3.1 Автокореляційна функція (АКФ)

Автокореляційна функція сигналу з кінцевою енергією – це значення інтеграла від твору двох копій цього сигналу, зрушених відносно один одного на час τ, що розглядається у функції цього тимчасового зсуву τ:

Якщо сигнал визначено кінцевому інтервалі часу , його АКФ перебуває як:

,

де - інтервал перекриття зрушених копій сигналу.

Вважається, що чим більше значення кореляційної функції при даному значенні , тим більшою мірою дві копії сигналу, зрушені на проміжок часу , схожі один на одного. Тому кореляційна функція є мірою подібності для зрушених копій сигналу.

Введена таким чином міра подібності для сигналів, що мають форму випадкових коливань навколо нульового значення, має такі характерні властивості.

Якщо зсунуті копії сигналу коливаються приблизно такт друг до друга, це ознакою їх схожості і АКФ приймає великі позитивні значення (велика позитивна кореляція). Якщо копії коливаються майже протифазі, АКФ приймає великі негативні значення (антисходство копій сигналу, велика негативна кореляція).

Максимум АКФ досягається при збігу копій, тобто за відсутності зсуву. Нульові значення АКФ досягаються при зрушеннях, при яких не помітно ні подібності, ні антиподібності копій сигналу (нульова кореляція,

відсутність кореляції).

На рис.3.1 зображено фрагмент реалізації деякого сигналу на інтервалі часу від 0 до 1 с. Сигнал випадково коливається навколо нульового значення. Оскільки інтервал існування сигналу є кінцевим, то кінцева і його енергія. Його АКФ можна обчислити відповідно до рівняння:

.

Автокореляційна функція сигналу, обчислена MathCad відповідно до цього рівняння, представлена ​​на рис. 3.2. Кореляційна функція показує не тільки те, що сигнал схожий сам на себе (зсув τ=0), але й те, що деякою схожістю володіють і копії сигналу, зрушені одна щодо одної приблизно на 0.063 с (бічний максимум автокореляційної функції). На противагу цьому копії сигналу зрушені на 0.032 с, повинні бути антиподібні дуг на одного, тобто бути в деякому сенсі протилежними один одному.

На рис.33 показані пари цих двох копій. На малюнку можна простежити, що розуміється під схожістю та антисхожістю копій сигналу.

Кореляційна функція має такі властивості:

1. При τ = 0 автокореляційна функція набуває найбільшого значення, що дорівнює енергії сигналу

2. Автокореляційна функція є парною функцією тимчасового зсуву .

3. Зі зростанням τ автокореляційна функція зменшується до нуля

4. Якщо сигнал не містить розривів типу δ – функцій, то – безперервна функція.

5. Якщо сигнал є електричною напругою, кореляційна функція має розмірність .

Для періодичних сигналів у визначенні автокореляційної функції той самий інтеграл ділять ще на період повторення сигналу:

.

Так введена кореляційна функція відрізняється такими властивостями:

Значення кореляційної функції в нулі дорівнює потужності сигналу,

Розмір кореляційної функції дорівнює квадрату розмірності сигналу, наприклад .

Наприклад обчислимо кореляційну функцію гармонійного коливання :

Використовуючи ряд тригонометричних перетворень, отримаємо остаточно:

Таким чином, автокореляційна функція гармонійного коливання є косінусоїдою з тим же періодом зміни, що і сам сигнал. При зрушеннях, кратних періоду коливання, гармоніка перетворюється на себе і АКФ приймає найбільші значення, рівні половині квадрата амплітуди. Зсуви за часом, кратні половині періоду коливання, рівносильні зміщення фази на кут , у своїй змінюється знак коливань, а АКФ приймає мінімальне значення, негативне і дорівнює половині квадрата амплітуди. Зрушення, кратні чверті періоду, переводять, наприклад, синусоїдальне коливання в косінусоїдальне і навпаки. При цьому АКФ перетворюється на нуль. Такі сигнали, що у квадратурі друг щодо друга, з погляду автокореляційної функції виявляються зовсім не схожими друг на друга.

Важливим є те, що вираз для кореляційної функції сигналу не увійшла його початкова фаза. Інформація про фазу загубилася. Це означає, що з кореляційної функції сигналу не можна відновити сам сигнал. Відображення на протилежність відображенню не є однозначним.

Якщо під механізмом генерування сигналів розуміти якогось деміурга, що створює сигнал з обраної ним кореляційної функції, то він зміг би створити цілу сукупність сигналів (ансамбль сигналів), що мають дійсно ту саму кореляційну функцію, але відрізняються один від одного фазовими співвідношеннями.

Актом прояву сигналом своєї вільної волі, незалежної від волі творця (виникнення окремих реалізацій деякого випадкового процесу),

Результатом стороннього насильства над сигналом (введення у сигнал вимірювальної інформації, що отримується при проведенні вимірювань будь-якої фізичної величини).

Аналогічно справи з будь-яким періодичним сигналом. Якщо періодичний сигнал з основним періодом Т має амплітудний спектр та фазовий спектр, то кореляційна функція сигналу набуває наступного вигляду:

.

Вже у цих прикладах проявляється певний зв'язок між кореляційною функцією та спектральними властивостями сигналу. Докладніше про ці співвідношення йтиметься надалі.

3.2 Взаємно-кореляційна функція (ВКФ).

На відміну від автокореляційної функції, взаємнокореляційна функція визначає ступінь схожості копій двох. різних сигналів x(t) і y(t), зрушених на час один відносно одного:

Взаємнокореляційна функція має такі властивості:

1. При τ = 0 взаємнокореляційна функція набуває значення, що дорівнює взаємної енергіїсигналів, тобто енергії їхньої взаємодії

.

2. За будь-якого τ має місце співвідношення:

,

де – енергії сигналів.

3. Зміна знака тимчасового зсуву рівносильна взаємній перестановці сигналів:

.

4. Зі зростанням τ взаємнокореляційна функція хоч і не монотонно, але зменшується до нуля

5. Значення взаємно-кореляційної функції в нулі нічим не виділяється серед інших значень.

Для періодичних сигналів поняття взаємно-кореляційної функції, як правило, взагалі не використовується.

Прилади для вимірювання значень автокореляційної та взаємнокореляційної функції називаються корелометрами або кореляторами. Корелометри застосовуються, наприклад, для вирішення наступних інформаційно-вимірювальних задач:

Статистичний аналізелектроенцефалограм та інших результатів реєстрації біопотенціалів,

Визначення просторових координат джерела сигналу за величиною тимчасового зсуву, при якому досягається максимум ВКФ,

Виділення слабкого сигналуна тлі сильних статичних незв'язаних перешкод,

Виявлення та локалізація каналів витоку інформації шляхом визначення кореляції між сигналами радіоефіру в приміщенні та за його межами,

Автоматизоване виявлення в ближній зоні, розпізнавання та пошук працюючих радіовипромінюючих підслуховуючих пристроїв, включаючи мобільні телефони, що використовуються як підслухувальні пристрої,

Локалізація місць витоків у трубопроводах виходячи з визначення ВКФ двох сигналів акустичного шуму, викликаного витоком, у двох точках вимірювання, у яких розташовані датчики на трубі.

3.3 Співвідношення між кореляційними та спектральними функціями.

Як кореляційні, і спектральні функції описують внутрішню структуру сигналів, їх внутрішню будову. Тому можна очікувати, що між цими двома способами опису сигналів існує певна взаємозалежність. Наявність такого зв'язку Ви вже бачили на прикладі періодичних сигналів.

Взаємна кореляційна функція, як і будь-яка інша функція часу, може бути піддана перетворенню Фур'є:

Змінимо порядок інтегрування:

Вираз у квадратних дужках можна було б розглядати як перетворення Фур'є для сигналу y(t), але у показнику експоненти не стоїть знак мінус. Це свідчить, що внутрішній інтеграл дає вираз , комплексно пов'язане зі спектральною функцією .

Але вираз залежить від часу, тому його можна винести за знак зовнішнього інтеграла. Тоді зовнішній інтеграл просто дасть визначення спектральної функції сигналу x(t). Остаточно маємо:

Це означає, що перетворення Фур'є для взаємної кореляційної функції двох сигналів дорівнює добутку їх спектральних функцій, одна з яких піддана комплексному сполучення. Цей твір називається взаємним спектром сигналів:

З отриманого виразу випливає важливий висновок: якщо спектри сигналів x(t) і y(t) не перекривають один одного, тобто розташовуються в різних діапазонах частот, такі сигнали є некорельованими, незалежними один від одного.

Якщо покласти в наведених формулах: x(t) = y(t), то отримаємо вираз для перетворення Фур'є автокореляційної функції

Це означає, що автокореляційна функція сигналу і квадрат модуля спектральної його функції пов'язані один з одним за допомогою перетворення Фур'є.

Функція називається енергетичним спектромсигналу. Енергетичний спектрпоказує, як загальна енергія сигналу розподіляється за частотами окремих гармонійних складових.

3.4 Енергетичні характеристики сигналів із частотної області

Взаємна кореляційна функція двох сигналів пов'язана перетворенням Фур'є із взаємним спектром сигналів, тому її можна виразити у вигляді зворотного перетворення Фур'є від взаємного спектра:

.

Тепер підставимо в цей ланцюжок рівностей значення тимчасового зсуву. В результаті отримаємо співвідношення, яке визначає сенс рівності Релея:

,

тобто інтеграл від добутку двох сигналів дорівнює інтегралу від добутку спектрів цих сигналів, один з яких підданий операції комплексного сполучення.

.

Це співвідношення називається рівністю Парсеваля.

Періодичні сигнали мають нескінченну енергію, але кінцеву потужність. При розгляді ми вже зіштовхувалися з можливістю обчислення потужності періодичного сигналу через суму квадратів модулів коефіцієнтів його комплексного спектра:

.

Це співвідношення має повну аналогію з рівністю Парсеваля.

Signals and linear systems. Correlation of signals

Тема 6. Кореляція сигналів

Граничний страх і граничний запал хоробрості однаково засмучують шлунок і викликають пронос.

Мішель Монтень. Французький юрист-мислитель, XVI ст.

Оце номер! Дві функції мають стовідсоткову кореляцію з третьою та ортогональні одна одній. Та й жарти були у Всевишнього при створенні Миру.

Анатолій Пишмінцев. Новосибірський геофізик Уральської школи, ХХ ст.

1. Автокореляційні функції сигналів. Поняття автокореляційних функцій (АКФ). АКФ сигналів, обмежених у часі. АКФ періодичних сигналів. Функції автоковаріації (ФАК). АКФ дискретних сигналів. АКФ зашумлених сигналів. АКФ кодові сигнали.

2. Взаємно-кореляційні функції сигналів (ВКФ). Взаємна кореляційна функція (ВКФ). Взаємна кореляція зашумлених сигналів. ВКФ дискретних сигналів. Оцінка періодичних сигналів у шумі. Функція взаємних кореляційних коефіцієнтів.

3. Спектральні густини кореляційних функцій. Спектральна густина АКФ. Інтервал кореляції сигналу. Спектральна густина ВКФ. Обчислення кореляційних функцій з допомогою БПФ.

Вступ

Кореляція (correlation), і її окремий випадок для центрованих сигналів – коваріація, є методом аналізу сигналів. Наведемо один із варіантів використання методу. Припустимо, що є сигнал s(t), у якому може бути (а може і не бути) деяка послідовність x(t) кінцевої довжини Т, тимчасове становище якої нас цікавить. Для пошуку цієї послідовності в ковзному за сигналом s(t) тимчасовому вікні довжиною Т обчислюються скалярні добутки сигналів s(t) та x(t). Тим самим ми "прикладаємо" шуканий сигнал x(t) до сигналу s(t), ковзаючи за його аргументом, і за величиною скалярного твору оцінюємо ступінь схожості сигналів у точках порівняння.

Кореляційний аналіз дає можливість встановити в сигналах (або в рядах цифрових даних сигналів) наявність певного зв'язку зміни значень сигналів незалежної змінної, тобто, коли великі значення одного сигналу (щодо середніх значень сигналу) пов'язані з великими значеннями іншого сигналу (позитивна кореляція), або, навпаки, малі значення одного сигналу пов'язані з великими значеннями іншого (негативна кореляція), або дані двох сигналів ніяк не пов'язані (нульова кореляція).

У функціональному просторі сигналів цей рівень зв'язку може виражатися в нормованих одиницях коефіцієнта кореляції, тобто. у косинусі кута між векторами сигналів, і, відповідно, прийматиме значення від 1 (повний збіг сигналів) до -1 (повна протилежність) і не залежить від значення (масштабу) одиниць вимірів.

У варіанті автокореляції (autocorrelation) за аналогічною методикою проводиться визначення скалярного твору сигналу s(t) з власною копією, що ковзає за аргументом. Автокореляція дозволяє оцінити середньостатистичну залежність поточних відліків сигналу від своїх попередніх і наступних значень (так званий радіус кореляції значень сигналу), а також виявити в сигналі наявність елементів, що періодично повторюються.

Особливого значення методи кореляції мають під час аналізу випадкових процесів виявлення невипадкових складових і оцінки невипадкових параметрів цих процесів.

Зауважимо, що у термінах "кореляція" та "коваріація" існує деяка плутанина. У математичній літературі термін "коваріація" застосовується до центрованих функцій, а "кореляція" - до довільних. У технічній літературі, і особливо в літературі за сигналами та методами їх обробки, часто застосовується прямо протилежна термінологія. Принципового значення це не має, але при знайомстві з літературними джерелами варто звертати увагу на прийняте призначення цих термінів.