Спектр випромінювання радіосигналу. Зв'язок між тривалістю імпульсу і шириною його спектра Ширина енергетичного спектру визначається по формулі

Література: [Л.1], з 50-51

[Л.2], з 65-66

[Л.3], з 24-25

Для вирішення практичних завдань радіотехніки вкрай важливо знати значення тривалості і ширини спектра сигналу, а також співвідношення між ними. Знання тривалості сигналу дозволяє вирішувати завдання ефективного використання часу, наданого для передачі повідомлень, а знання ширини спектра - ефективного використання діапазону радіочастот.

Вирішення зазначених завдань вимагає суворого визначення понять «ефективна тривалість» і «ефективна ширина спектру». На практиці існує велика кількість підходів до визначення тривалості. У тому випадку, коли сигнал обмежений у часі (фінішний сигнал), як це має місце, наприклад, для прямокутного імпульсу, визначення тривалості не зустрічається труднощів. Інша справа, коли теоретично сигнал має нескінченну тривалість, наприклад, експоненціальне імпульс

У цьому випадку в якості ефективної тривалості може бути прийнятий інтервал часу, протягом якого значення сигналу. При іншому способі в якості вибирають інтервал часу, протягом якого. Те ж саме можна сказати і щодо визначення ефективної ширини спектра.

Хоча в подальшому, деякі з цих способів будуть використовуватися при аналізі радіотехнічних сигналів і ланцюгів, слід зазначити, що вибір способу істотно залежить від форми сигналу і структури спектра. Так для експоненціального імпульсу більш кращий перший із зазначених способів, а для сигналу колоколообразной форми - другий спосіб.

Більш універсальним є підхід, який використовує енергетичні критерії. При такому підході в якості ефективної тривалості і ефективної ширини спектра розглядаються відповідно інтервал часу і діапазон частот, в межах яких зосереджена переважна частина енергії сигналу

, (2.52)

, (2.53)

де - коефіцієнт, що показує, яка частина енергії зосереджена в інтервалах або. Зазвичай величину вибирають в межах .

Застосуємо критерії (2.52) і (2.53) для визначення тривалості і ширини спектра прямокутного і експоненціального імпульсів. Для прямокутного імпульсу вся енергія зосереджена в інтервалі часу або, тому його тривалість. Що стосується ефективної ширини спектра, то встановлено, що більше 90% енергії імпульсу зосереджено в межах першого пелюстки спектру. Якщо розглядати односторонній (фізичний) спектр імпульсу, то ширина першого пелюстки спектру становить в кругових частотах або в циклічних частотах. Звідси випливає, що ефективна ширина спектру прямокутного імпульсу дорівнює

Перейдемо до визначення і експоненціального імпульсу. Повна енергія імпульсу становить

Скориставшись (2.52), отримаємо

Обчисливши інтеграл в лівій частині рівняння і вирішивши його, можна прийти до наступного результату

Спектр експоненціального імпульсу знайдемо, скориставшись перетворенням Фур'є

звідки слід

Підставляючи цей вираз в (2.53) і вирішуючи рівняння, отримаємо

Знайдемо твір ефективної тривалості на ефективну ширину спектра. Для прямокутного імпульсу цей твір становить

або для циклічних частот

Для експоненціального імпульсу

Таким чином, твір ефективної тривалості на ефективну ширину спектра одиночного сигналу є постійна величина, що залежить тільки від форми сигналу і величини коефіцієнта. Це означає, що при зменшенні тривалості сигналу його спектр розширюється і навпаки. Цей факт уже відзначався пі розгляді властивості (2.46) перетворення Фур'є. На практиці це означає, що неможливо сформувати короткий сигнал, що володіє вузьким спектром, що є проявом фізичного принципу невизначеності.

Теоретично ряд Фур'є містить нескінченну кількість доданків, тому теоретично ширина спектра нескінченна. Тому для таких сигналів вводиться поняття практичної ширини спектру. Якщо смуга пропускання якого-небудь пристрою недостатньо широка, щоб пропустити все гармоніки, які суттєво впливають на форму сигналу, то сигнал на виході цього пристрою спотвориться. Ширина смуги пропускання пристрою не повинна бути вже ширини спектра сигналу.

Існують кілька критеріїв для визначення практичної ширини спектру сигналу:

1. Можна відкидати все гармоніки з амплітудами меншими 1% максимальної амплітуди в спектрі. Тоді частота гармонік і визначить ширину спектра сигналу ( ∆ ω З ):

2. Енергетичний критерій. Можна відкидати ті гармоніки, сумарна потужність яких менше 10% загальної потужності сигналу. В цьому випадку ширину спектра також визначають залишилися в сигналі гармоніки.

Однак незалежно від критерію, за яким визначають ширину спектра сигналу, можна виділити закономірності, загальні для всіх сигналів:

чим крутіше фронт сигналу, чим коротше імпульси,

чим більше пауза між імпульсами, тим ширше спектр сигналу, т. е. тим повільніше зменшуються амплітуди гармонік з ростом їх номера.

Розподіл потужності сигналу по гармоникам

Періодичні сигнали характеризуються середньою потужністю за період:

якщо s - це напруга або струм, то P - це потужність на опорі 1 Ом.

замість s ( t ) можна підставити ряд Фур'є:

де
- потужність постійної складової,

- потужність n-й гармоніки.

Середня потужність періодичного сигналу дорівнює сумі потужності постійної складової P 0 і сумі середніх потужностей кожної гармоніки P n .

де N - к-ть враховуються (пропускаються пристроєм) гармонік. наприклад,
, Якщо Δ P \u003d 90% від повної потужності сигналу.

Практична ширина спектра при цьому дорівнює

де N - номер вищої обліковується гармоніки, т. Е. Практична ширина спектра дорівнює вищої врахованої гармоніці.

Необхідні смуги пропускання для різних завдань:

Спектральний аналіз неперіодичних сигналів

Спектральний аналіз неперіодичних сигналів - це опис і дослідження властивостей неперіодичних сигналів в частотній області. Спектральний аналіз неперіодичних сигналів проводиться на основі інтегральних перетворень Фур'є.

Пряме перетворення Фур'є:

де - величина комплексна.

Пряме перетворення Фур'є дає перехід від часової моделі сигналу до частотної моделі

[
] .

Зворотне перетворення Фур'є:

Зворотне перетворення Фур'є відновлює сигнал по його частотної моделі [
] .

Ця пара перетворень Фур'є встановлює взаємно-однозначна відповідність між двома моделями сигналу - часовій і частотній моделями:

функція
- це " спектральна щільність", Або" спектральна функція", Або, просто, спектр непериодического сигналу s(t) . Так як
- безперервна функція частоти, то спектр непериодического сигналу є безперервним спектром (на відміну від дискретного спектра періодичних сигналів).

в загальному випадку є комплексною функцією і може бути представлена \u200b\u200bв показовою формі:

Розрізняють амплітудний і фазовий спектри непериодического сигналу.

амплітудний спектр - це частотний розподіл модуля спектральної щільності:

фазовий спектр - це частотний розподіл фаз (аргументів) спектральної щільності:

Амплітудний спектр - це парна функція частоти, т. Е.
. Фазовий спектр - це непарна функція частоти, т. Е.
.

Приклад спектральної діаграми:

амплітудний спектр

Ф азов спектр

При енергетичному підході тривалість сигналу або ширину його спектру визначають по заданій частці від повної енергії сигналу. Так, наприклад, для сигналу у вигляді прямокутного імпульсу тривалістю t спектральна щільність має нескінченно широкий спектр, проте аналіз показує, що перший пелюстка спектрасодержіт 90% від повної енергії імпульсу, а сума першого і второгоуже 95%. Аналогічно можна міркувати і про тривалість нескінченно що триває сигналу з кінцевої енергією.

При інформаційному підході важливе значення має форма сигналу: чим ширше взята за основу умовна ширина його спектру, тим ближче за формою до вихідного може бути відтворений за обмеженого спектру сигнал. Іноді ширину спектра визначають по уровнюот максимального значення. Для колоколообразний імпульсів прийнята величина е -1/2 \u003d 0,606 від максимуму. Ширина спектра і тривалість сигналу взаємопов'язані. Для виявлення зв'язку з цим визначають так звані ефективнітривалість і ширину спектра, які обчислюють за допомогою наступних співвідношень:

гдесередіна імпульсу;

Повна тривалість сигналу дорівнює 2, а повна ширина спектра, включаючи і негативні частоти, 2, Твір тривалості на смугу одно:

Твір * залежить від форми сигналу, але не може бути менше 0.5 (тільки для імпульсів гаусом форми цей твір одно 0.5). Чи не для всіх сигналів дані інтеграли мають сенс (сходяться). Для определеніяінеобходімо, щоб функція s (t)спадала б швидше, ніж 1 / t, А функція S (w ) швидше за 1/ w .

Для сигналів, які не задовольняють цим умовам, і застосовують енергетичний, або інформаційний критерій, але слід пам'ятати, що зі зменшенням тривалості сигналу ширина його спектру збільшується, тобто твір тривалості на ширину спектра для даного типу сигналу величина постійна

Друзі! Запрошуємо вас до обговорення. Якщо у вас є своя думка, напишіть нам в коментарі.

Теоретично, як зазначалося вище, для більшості періодичних функцій спектр необмежений, тобто для передачі сигналів телемеханіки без зміни форми необхідні нескінченно велика смуга пропускання каналу зв'язку і відсутність амплітудних і фазових спотворень. Практично всі канали зв'язку мають обмежену смугу пропускання, і форма сигналів при передачі по каналу змінюється навіть при відсутності в цій смузі амплітудних і фазових спотворень. Очевидно, важливо передати ту частину спектра сигналу, яка містить гармонійні складові з відносно великими амплітудами. У зв'язку з цим вводиться поняття практичної ширини спектру сигналу. Під практичної шириною спектра сигналу розуміється та область частот, в межах якої лежать гармонійні складові сигналу з амплітудами, що перевищують наперед задану величину.

Оскільки середня потужність, що виділяється сигналом на активному опорі, рівному 1 Ом, складається з потужностей, що виділяються на цьому опорі гармонійними складовими,

практична ширина спектра з енергетичної точки зору може бути визначена як область частот, в межах якої зосереджена переважна частина потужності сигналу.

Як приклад визначимо практичну ширину спектра періодичної послідовності прямокутних імпульсів (рис. 1.8, а), якщо потрібно врахувати всі гармонійні складові сигналу, амплітуди яких більше 0,2 від амплітуди першої гармоніки. Число підлягають врахуванню гармонік k може бути отримано з виразу

звідки k= 5.

Таким чином, практична ширина спектра в розглянутому прикладі виявляється рівною 5W 1, в ній розміщуються всього три гармоніки (перша, третя і п'ята) і постійна складова.

Середня потужність P k 5, що виділяється в активному опорі, рівному 1 Ом, перерахованими складовими, дорівнює

Середня потужність, що виділяється в цьому ж опорі усіма складовими сигналу, буде

Таким чином, %, Тобто складові, що входять в практичний спектр, виділяють в активному опорі 96% всієї потужності сигналу.

Очевидно, розширення практичного спектра даного сигналу (понад 5W 1) з енергетичної точки зору недоцільно.

Обмеження спектру сигналу надає також вплив на його форму. Для ілюстрації на рис. 1.8 показано зміна форми прямокутних імпульсів при збереженні в спектрі лише постійної складової і першої гармоніки (рис. 1.8, б), При обмеженні спектра частотою 3W 1 (рис. 1.8, в) І при обмеженні спектра частотою 5W 1 (рис. 1.8, г). Як випливає з малюнка, чим крутіше повинен бути фронт імпульсу, тим більше число вищих гармонійних складових має входити до складу сигналу.

A 0 + A 1 (t)

U(t)

A 0 + A 1 (t)+ A 3 (t) A 0 + A 1 (t)+ A 3 (t) + A 5 (t)

Мал. 1.8. Форми сигналу при обмеженні спектра послідовності

прямокутних імпульсів

Розглянута залежність форми періодичного сигналу від кількості сумміруемих гармонік показує, що при виборі практичної ширини спектру сигналу не можна обмежуватися тільки енергетичними міркуваннями. Необхідно враховувати вимоги до сигналу на виході системи, як з енергетичної точки зору, так і з точки зору збереження його форми. У загальному випадку практична ширина спектра сигналу вибирається з умови

, (1.21)

де m \u003d 0,5 ... 2 - коефіцієнт форми імпульсу; при m \u003d 1 забезпечується передача близько 90% всієї енергії сигналу.

У кодоімпульсной системах телевимірювання, а також у багатьох системах телекерування кожна кодова комбінація складається з певної послідовності прямокутних імпульсів і пауз. Кодова комбінація, відповідна застосовується для розрахунку вимірюваного параметра або команді, може періодично передаватися по каналу зв'язку. Спектр такого сигналу залежить, звичайно, від того яка саме кодова комбінація передається. Але найголовнішим фактором, що визначає питому вагу вищих гармонік спектра, залишається найбільша частота проходження імпульсів. Тому і для кодоімпульсной систем при визначенні практично необхідної ширини смуги частот вибирають сигнал у вигляді періодичної послідовності прямокутних імпульсів (рис. 1.5). параметр t вибирають рівним тривалості найкоротшого імпульсу серед всіх зустрічаються в кодових комбінаціях, період проходження T \u003d2t. У цьому випадку найбільша частота проходження імпульсів W max = 2p / T і частота основної гармоніки спектра W 1 \u003d W max. Необхідна ширина смуги частот сигналу визначається дискретним спектром з обмеженим числом складових і відповідно до вираження (1.21).

Характер спектра, що визначає необхідну смугу частот, залежить не тільки від виду сигналу, але і від умов, що існують в тракті передачі. Якщо перехідні процеси, що виникають в системі при передачі одного імпульсу, закінчуються до моменту виникнення наступного імпульсу, то замість періодичної послідовності імпульсів можна розглядати передачу незалежних одиночних імпульсів.

Величина і тривалість дії струму на тіло людини.

Види руху матеріальних потоків і тривалість виробничого циклу

Випромінювання та поглинання світла атомом. Неперервно и лінійчатій спектр. Спектральний аналіз. лазер

Вплив відбитого сигналу на результати вимірювань. багатоколійній

Час - форма буття матерії, яка виражає тривалість існування матеріальних об'єктів і послідовність змін цих об'єктів в процесі розвитку.

Нам вже ясно, що чим менше тривалість сигналу, тим ширше його спектр.

Це фундаментальне положення теорії сигналів можна встановити в загальному вигляді на основі перетворення Фур'є

Розглянемо поведінку кожного з інтегралів при збільшенні Ω.

Відповідно і леммой Рімана, яка стверджує, що якщо функція s (t) абсолютно інтегровна на проміжку то

Геометричний сенс цього твердження пояснюється малюнком, у верхній частині якого зображено деякий довільний сигнал s (t) і гармонійнеколивання з частотою Ω, а в нижній частині - їх твір.

При досить високій частоті Ω кожна позитивна полуволна майже повністю компенсується найближчій до неї негативної напівхвиль і сумарна площа під кривою s (t) cos (Ωt) або s (t) sin (Ωt) близька до нуля. Під досить високою частотою слід розуміти частоту Ω \u003d 2π / Т, при якій період Т досить малий у порівнянні з тривалістю сигналу s (t).

Очевидно, що чим коротше сигнал, тим менше і період Т, відповідний цій умові.

Іншими словами, чим коротше сигнал, тим вище гранична частота спектру сигналу. Так як нижня межа спектру примикає до нульової частоті, то загальний спектр виходить тим ширше, чим менше тривалість сигналу. При цьому виявляється, що твір тривалості на «технічну» ширину його спектру є величиною, близькою до одиниці.

Раніше, ми на якісному рівні давали визначення еквівалентної тривалості, більш строго вона може бути визначена як

Причому початок відліку часу поєднується з серединою імпульсу, так що виконується умова

Аналогічно, еквівалентна ширина спектра ΔΩ \u003d 2πΔF визначається виразом

При додатковому умови

Уточнюючому початок відліку частоти на осі Ω.

Якщо сигнал нормований таким чином, що його енергія Е дорівнює одиниці, тобто

Те вираз для τ і ΔΩ, що залежить від форми сигналу, в будь-якому випадку не може бути менше ½.

Таким чином, для будь-якого сигналу виконується умова τ і ΔF≥1 / 4π.

Зокрема, для гауссова імпульсу, грунтуючись на раніше отриманих результатах, знаходимо

Використовуючи умову нормування

отримуємо

З цього прикладу видно, що з усіх сигналів гаусів імпульс має найменшу можливу величиною твори τ і ΔF.

Стиснення імпульсу в часі з метою, наприклад, підвищення точності вимірювання моменту його появи, неминуче супроводжується розширенням спектра імпульсу, що змушує розширювати смугу пропускання вимірювального пристрою. Аналогічно, стиснення спектра імпульсу, наприклад з метою підвищення точності вимірювання частоти неминуче супроводжується розтягуванням сигналу в часі, що вимагає збільшення проміжку часу спостереження (вимірювання). Неможливість одночасно сконцентрувати сигнал у вузькій смузі часто і в короткому проміжку часу являє собою один із проявів ізвествного у фізиці принципу невизначеності.