В даний час відомі наступні способи організації радіоканалів (радіотехнології): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Можливі їх поєднання (наприклад, FDMA / TDMA). Тимчасові терміни застосування цих технологій багато в чому збігаються з етапами розвитку систем рухомого зв'язку. В обладнанні рухомого радіотелефонного зв'язку першого покоління використовувалася технологія множинний доступ із частотним поділом каналів (FDMA). Радіотехнологія FDMA до теперішнього часу успішно застосовується в удосконаленому обладнанні стільникового зв'язку першого покоління, а також в більш простих системах рухомого радіотелефонного зв'язку з не стільниковою структурою. Що стосується стандартів рухомого зв'язку першого етапу, то для перших радіальних систем поняття стандартів не використовувалося, і обладнання відрізнялося за назвами систем (Алтай, Волемот, Actionet і т.д.). Системи стільникового зв'язку стали відрізнятися за стандартами. На технології FDMA базуються такі стандарти систем стільникового зв'язку першого покоління, як NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. У системах стільникового рухомого зв'язку другого покоління був зроблений перехід до цифрової обробки переданих голосових повідомлень, для чого стала використовуватися радіотехнологія многостанционного доступу з тимчасовим поділом каналів (TDMA). В результаті переходу до TDMA: підвищилася стійкість радиотракта, стала краще його захищеність від прослуховування і т.д. TDMA застосовується в системах таких стандартів, як GSM, D-AMPS (Останній в американській версії часто іменується просто TDMA). Радіотехнологія множинний доступ із кодовим розділенням каналів МДКР, або в англійській версії CDMA, активно стала впроваджуватися на мережах радіотелефонного зв'язку загального користування тільки останні п'ять років. Ця радіотехнологія має свої переваги, тому що в обладнанні CDMA: - ефективність використання радіочастотного спектру в 20 разів вище в порівнянні з радіоустаткуванням стандарту AMPS (технологія FDMA) і в 3 рази - по відношенню GSM (технологія TDMA); - значно краще, ніж в інших системах 2-ої покоління TDMA, якість, надійність і конфіденційність зв'язку; - є можливість використовувати малогабаритні малопотужні термінали з тривалим терміном роботи; - при однаковій відстані від базової станції потужність випромінювання абонентських терміналів CDMA нижче більш, ніж в 5 разів щодо цього ж показника в мережах стандартів, які базуються на інших радіотехнологіях; - є можливість оптимізації топології мереж при розрахунку зон покриття. Технологія CDMA вперше була реалізована в устаткуванні стільникового зв'язку стандарту IS-95. За своїми сервісними можливостями існуючі системи CDMA відносяться до систем стільникового зв'язку другого покоління. За статистичними даними Національного інституту телекомунікацій (ETRI), число абонентів мереж CDMA щодня зростає на 2000 осіб. За темпами зростання числа абонентів ці мережі перевершують мережі інших існуючих стандартів стільникового зв'язку, випереджаючи розвиток мереж стільникового зв'язку навіть такого популярного стандарту, як GSM. В даний час в мережах CDMA налічується не менше 30 млн. Абонентів. Світовий телекомунікаційний співтовариство схиляється до того, що в майбутніх системах бездротового доступу абонентських ліній (системах персонального зв'язку третього покоління) CDMA буде займати лідируючу позицію. Такий висновок був зроблений у зв'язку з тим, що технологія CDMA найбільшою мірою здатна забезпечити виконання вимог, що пред'являються до обладнання третього покоління IMT-2000, зокрема, щодо забезпечення обміну інформацією з високими швидкостями передачі. Однак в майбутніх системах бездротового доступу передбачається використовувати так звані широкосмугові системи CDMA, де частотна смуга на канал буде не менше 5 МГц (в сучасних системах CDMA другого покоління смуга на канал складає 1,23 МГц). В останні кілька років стали з'являтися засоби бездротового зв'язку, в основу яких покладена технологія розширеного спектру частот з частотними стрибками (FH-CDMA). Ця технологія поєднує специфіку TDMA, де має місце поділ кожної частоти на кілька тимчасових інтервалів, і CDMA, де кожен передавач використовує певну послідовність шумоподібних сигналів. Ця технологія знайшла своє застосування в системах, призначених для організації фіксованого зв'язку.

ДЕ ШУКАТИ ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ Я ХУЙ ЙОГО ЗНАЄ

44. Подання періодичних сигналів у вигляді рядів Фур'є

http://scask.ru/book_brts.php?id\u003d8

Періодичні сигнали і ряди Фур'є

Математичною моделлю процесу, що повторюється в часі, є періодичний сигнал з наступним властивістю:

Тут Т - період сигналу.

Ставиться завдання знайти спектральне розкладання такого сигналу.

Ряд Фур'є.

Задамо на відрізку часу розглянутий в гол. I ортонормірованций базис, утворений гармонійними функціями з кратними частотами;

Будь-яка функція з цього базису задовольняє умові періодичності (2.1). Тому, - виконавши ортогональное розкладання сигналу в цьому базисі, т. Е. Обчисливши коефіцієнти

отримаємо спектральне розкладання

справедливе на всій нескінченності осі часу.

Ряд виду (2.4) називається поруч Фур'є даннрго сигналу. Введемо основну частоту послідовності, що утворює періодичний сигнал. Обчислюючи коефіцієнти розкладання по формулі (2.3), запишемо ряд Фур'є для періодичного сигналу

з коефіцієнтами

(2.6)

Отже, в загальному випадку періодичний сигнал містить незалежну від часу постійну складову і нескінченний набір гармонійних коливань, так званих гармонік з частотами кратними основній частоті послідовності.

Кожну гармоніку можна описати її амплітудою і початковою фазою Для цього коефіцієнти ряду Фур'є слід записати у вигляді

Підставивши ці вирази в (2.5), отримаємо іншу, - еквівалентну форму ряду Фур'є:

яка іноді виявляється зручніше.

Спектральна діаграма періодичного сигналу.

Так прийнято називати графічне зображення коефіцієнтів ряду Фур'є для конкретного сигналу. Розрізняють амплітудні і фазові спектральні діаграми (рис. 2.1).

Тут по горизонтальній осі в деякому масштабі відкладені частоти гармонік, а по вертикальній осі представлені їх амплітуди і початкові фази.

Мал. 2.1. Спектральні діаграми деякого періодичного сигналу: а - амплітудна; б - фазова

Особливо цікавляться амплітудної діаграмою, яка дозволяє судити про процентний вміст тих чи інших гармонік в спектрі періодичного сигналу.

Вивчимо кілька конкретних прикладів.

Приклад 2.1. Ряд Фур'є періодичної послідовності прямокутних відеоімпульсів з відомими параметрами, парної щодо точки t \u003d 0.

У радіотехніці відношення називають скважностью послідовності. За формулами (2.6) знаходимо

Остаточну формулу ряду Фур'є зручно записати у вигляді

На рис. 2.2 представлені амплітудні діаграми аналізованої послідовності в двох крайніх випадках.

Важливо відзначити, що послідовність коротких імпульсів, наступних один за одним досить рідко, має багатий спектральним складом.

Мал. 2.2. Амплітудний спектр періодичної послідовності ррямоугольних видеоимпульсов: а - при великій шпаруватості; б - при малій скважности

Приклад 2.2. Ряд Фур'є періодичної послідовності імпульсів, утвореної гармонійним сигналом виду обмеженим на рівні (передбачається, що).

Введемо спеціальний параметр - кут відсічення, який визначається зі співвідношення звідки

У соотаетствіі з цим величина дорівнює тривалості одного імпульсу, вираженої в кутовій мірі:

Аналітична запис імпульсу, що породжує розглянуту послідовність, має вигляд

Постійна складова послідовності

Амплітудний коефіцієнт першої гармоніки

Аналогічно обчислюють амплітуди - гармонійних складових при

Отримані результати зазвичай записують так:

де так звані функції Берга:

Графіки деяких функцій Берга наведені на рис. 2.3.

Мал. 2.3. Графіки кількох перших функцій Берга

Спектральна щільність сигналів. Пряме і зворотне перетворення Фур'є.

Цифрові фільтри (Лекція)

По виду імпульсної характеристики цифрові фільтри діляться на два великі класи:

· Фільтри з кінцевою імпульсною характеристикою (КИХ - фільтри, трансверсального фільтри, нерекурсівние фільтри). Знаменник передавальної функції таких фільтрів - якась константа.

КИХ - фільтри характеризуються виразом:

· Фільтри з нескінченною імпульсною характеристикою (БИХ - фільтри, рекурсивні фільтри) використовують один або більше своїх виходів в якості входу, тобто утворюють зворотний зв'язок. Основною властивістю таких фільтрів є те, що їх імпульсна перехідна характеристика має нескінченну довжину в тимчасовій області, а передавальна функція має дрібно-раціональний вид.

БИХ - фільтри характеризуються виразом:

Відмінність КИХ - фільтрів від БИХ - фільтрів полягає в тому, що у КИХ - фільтрів вихідна реакція залежить від вхідних сигналів, а у БИХ - фільтрів вихідна реакція залежить від поточного значення.

імпульсна характеристика - це реакція схеми на одиничний сигнал.

Едінічний сигнал

Таким чином, одиничний сигнал тільки в одній точці дорівнює одиниці - в точці початку координат.

затриманий едінічний сигнал визначається наступним чином:

Таким чином, затриманий одиничний сигнал затримує на k періодів дискретизації.

Сигнали і спектри

Дуальність (подвійність) представлення сигналів.

Всі сигнали можна уявити часовий або частотний площині.

Причому, частотних площин - кілька.

Тимчасова площину.

Перетворення.

Частотна площину.

Для перегляду сигналу у часовій площині існує прилад:

Уявімо, що тут є досить довгий синусоїдальний сигнал (в 1 сек. 1000 разів повторилася синусоїда):

Візьмемо сигнал з частотою, в два рази більше:

Складемо ці сигнали. Отримаємо не синусоїду, а спотворений сигнал:

Перетворення з тимчасової площині в частотну площину виробляються за допомогою перетворень Фур'є.

Для перегляду сигналу в частотній площині існує прилад:

Частота циклічна або кругова ( f).

Частотна площину покаже зарубку:

Величина зарубки пропорційна амплітуді синусоїди, а частота:

Для другого сигналу частотна область покаже іншу зарубку:

У тимчасовій області сумарного сигналу з'явиться 2 зарубки:

Обидва подання сигналу рівноцінні і користуються або першим, або іншим уявленням, в залежності від того, який зручніше.

Перетворення з тимчасової площині в частотну площину може проводитися різними шляхами. Наприклад: за допомогою перетворень Лапласа або за допомогою перетворень Фур'є.

Три форми записи рядів Фур'є.

Існує три форми запису рядів Фур'є:

· Синус - косинусна форма.

· Матеріальна форма.

· Комплексна форма.

1.) У синус - косинусной формі ряд Фур'є має вигляд:

Вхідні у формулу кратні частоти kω1 називаються гармоніками; гармоніки нумеруються відповідно до індексу k; частота ωk \u003dkω1називается k-й гармонікою сигналу.

Цей вислів говорить про наступне: що будь-яку періодичну функцію можна представити у вигляді суми гармонік, де:

T - період повторень цієї функції;

ω - кругова частота.

, де

t- поточний час;

T - період.

При розкладанні по Фур'є найголовніше - це періодичність. За рахунок неї відбувається дискретизація по частоті, починається деяка кількість гармонік.

Для того, щоб встановити можливість тригонометричного розкладання для заданої періодичної функції, потрібно виходити з певного набору коефіцієнтів. Прийом для їх визначення придумав в другій половині XVIII століття Ейлер і незалежно від нього на початку XIX століття - Фур'є.

Три формули Ейлера для визначення коефіцієнтів:

; ;

Формули Ейлера не потребують жодних доказів. Ці формули точні при нескінченній кількості гармонік. Ряд Фур'є - усічений ряд, т. К. Немає нескінченної кількості гармонік. Коефіцієнт усіченого ряду обчислюється за тими ж формулами, що і для повного ряду. В цьому випадку, середня квадратична помилка - мінімальна.

Потужність гармонік падає зі збільшенням їх номери. Якщо додати / відкинути деякі гармонійні складові, то перерахунок інших членів (інших гармонік) не потрібно.

Практично всі функції є парними або непарними:

парна ФУНКЦІЯ

непарні ФУНКЦІЯ

Характеризується рівнянням:

Наприклад, функція Cos:

у якій: t \u003d -t

Парна функція симетрична щодо

осі ординат.

Якщо функція парна, то все синусні коефіцієнти bk косинусні складові.

Характеризується рівнянням:

Наприклад, функція Sin:

Непарна функція симетрична щодо центру.

Якщо функція непарна, то все косинусні коефіцієнти ak дорівнюватимуть нулю і в формулі ряду Фур'є будуть присутні тільки синусні складові.

2.) матеріальна форма записи ряду Фур'є.

Деяка незручність синусно-косинусной форми ряду Фур'є полягає в тому, що для кожного значення індексу підсумовування k (Т. Е. Для кожної гармоніки з частотою kω1) у формулі фігурує два доданків - синус і косинус. Скориставшись формулами тригонометричних перетворень, суму цих двох доданків можна трансформувати в косинус тієї ж частоти з іншої амплітудою і деякою початковою фазою:

, де

;

якщо S(t) Є парною функцією, фази φ можуть приймати тільки значення 0 і π , а якщо S(t) - функція непарна, то можливі значення для фази φ рівні + π /2.

якщо bk \u003d 0, тоді tg φ \u003d 0 і кут φ = 0

якщо ak \u003d 0, тоді tg φ - нескінченний і кут φ =

У цій формулі може бути і мінус (дивлячись який напрямок взято).

3.) комплексна форма записи ряду Фур'є.

Дана форма представлення низки Фур'є є, мабуть, найбільш вживаною в радіотехніці. Вона виходить з речової форми поданням косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонент (таке уявлення випливає з формули Ейлера ejθ = Cosθ + jSinθ):

Застосувавши дане перетворення до речовій формі ряду Фур'є, отримаємо суми комплексних експонент з позитивними і негативними показниками:

А тепер будемо трактувати експоненти зі знаком «мінус» в показнику як члени ряду з негативними номерами. В рамках цього ж загального підходу постійний доданок a0/2 стане членом ряду з нульовим номером. В результаті вийде комплексна форма запису ряду Фур'є:

Формула розрахунку коефіцієнтів Ck ряду Фур'є:

якщо S(t) є парної функцією, коефіцієнти ряду Ckбудуть чисто речовими, а якщо S(t) - функція непарна, Коефіцієнти ряду виявляться чисто уявними.

Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур'є часто називають амплітудним спектром, А сукупність їх фаз - фазовим спектром.

Спектром амплітуд є дійсна частина коефіцієнтів Ck ряду Фур'є:

Re ( Ck) - спектр амплітуд.

Спектр прямокутних сигналів.

Розглянемо сигнал у вигляді послідовності прямокутних імпульсів з амплітудою A, Тривалістю τ і періодом повторення T. Початок відліку часу приймемо розташованим в середині імпульсу.

Даний сигнал є парною функцією, тому для його уявлення зручніше використовувати синусно-косинусного форму ряду Фур'є - в ній будуть присутні тільки косинусні складові ak, Рівні:

З формули видно, що тривалість імпульсів і період їх проходження входять в неї не відокремлено, а виключно у вигляді відношення. Цей параметр - відношення періоду до тривалості імпульсів - називають скважностью послідовності імпульсів і позначають буквою: g: g \u003d T/ Τ. Введемо цей параметр в отриману формулу для коефіцієнтів ряду Фур'є, а потім приведемо формулу до вигляду Sin (x) / x:

Примітка: У зарубіжній літературі замість скважности використовується зворотна величина, яка називається коефіцієнтом заповнення (duty cycle) і рівна τ / T.

При такій формі запису стає добре видно, чому дорівнює значення постійного доданка ряду: оскільки при x → 0 Sin ( x)/x → 1, то

Тепер можна записати і саме уявлення послідовності прямокутних імпульсів у вигляді ряду Фур'є:

Амплітуди гармонійних складових ряду залежать від номера гармоніки за законом Sin ( x)/x.

Графік функції Sin ( x)/xмає пелюстковий характер. Говорячи про ширину цих пелюсток, слід підкреслити, що для графіків дискретних спектрів періодичних сигналів можливі два варіанти градуювання горизонтальній осі - в номерах гармонік і в частотах.

На малюнку градуювання осі відповідає номерам гармонік, а частотні параметри спектра нанесені на графік за допомогою розмірних ліній.

Отже, ширина пелюсток, виміряна в кількості гармонік, дорівнює скважности послідовності (при k = ng маємо Sin (π k /g) \u003d 0, якщо n ≠ 0). Звідси випливає важлива властивість спектра послідовності прямокутних імпульсів - в ньому відсутні (мають нульові амплітуди) гармоніки з номерами, кратними скважности.

Відстань по частоті між сусідніми гармоніками одно частоті проходження імпульсів - 2 π /T. Ширина пелюсток спектра, виміряна в одиницях частоти, дорівнює 2 π /τ , Т. Е. Обернено пропорційна тривалості імпульсів. Це прояв загального закону - чим коротше сигнал, тим ширше його спектр.

висновок : Для будь-якого сигналу відомі його розкладання в ряд Фур'є. знаючи τ і T можемо порахувати скільки гармонік потрібно, щоб передати потужність.

Методи аналізу лінійних систем з постійними коефіцієнтами.

Завдання в постановці:

Є лінійна система (не залежить від амплітуди сигналу):

COEFFS: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0; визначаємо порти введення.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1; визначаємо порти виводу.

ORG P: 0; організація P-пам'яті.

RESET: JMP START; безумовний перехід на мітку START.

P: 100; програма розпочнеться з сотої осередки.

START: MOVE BUF_X, R0; початкова адреса X вводимо в R0.

MOVE # ORDFIL─1, M0; перех. до мод. ари. (зап. число на 1мен., ніж поряд. цього буф.)

MOVE # COEFFS, R4; організація цикл. буфера для ко. в Y-пам'яті.

MOVE # M0, M4; т. к.дліна повинна збігатися, то перес. з M0 в M4.

CLRA; обнулив акумулятор.

REP # ORDFIL; повторити цепочечную операцію.

MOVE A, X: (R4) +; викон. автоінкремент і все осередки буф. Обнуляємо.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0); побайто. пересилання показань (послід. мно. на b0).

REP # ORDFIL─1; повт. цепочечную операцію (39раз мно. без округлення)

MAC X0, Y0, A X: (R0) +, X0 Y: (R4) +, Y0; мно. X0наY0, рез. в ак; подг. сл. опер.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD; побайтное пересилання вмісту. акумулятора.

JMP LOOP; безумовний перехід на мітку LOOP.

Порядок проектування цифрових фільтрів.

Порядок проектування цифрових фільтрів насамперед пов'язаний з типом фільтру по лінії частотних характеристик. Однією з часто виникають на практиці завдань є створення фільтрів, які пропускають сигнали в певній смузі частот і затримують інші частоти. Є чотири типи:

1.) Фільтри нижніх частот (ФНЧ; англійський термін - low-pass filter), пропускають частоти, менші деякої частоти зрізу ω 0.

2.) Фільтри верхніх частот (ФВЧ; англійський термін - high-pass filter), пропускають частоти, великі деякої частоти зрізу ω 0.

3.) Смугові фільтри (ПФ; англійський термін - band-pass filter), пропускають частоти в деякому діапазоні ω 1…. ω 2 (вони можуть також характеризуватися середньою частотою ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) режекторного фільтра (інші можливі назви - фільтр, що загороджує, фільтр-пробка, смугасто-затримуючий фільтр; англійський термін - band-stop filter), пропускають на вихід усе частоти, крім лежать в деякому діапазоні ω 1…. ω 2 (вони також можуть характеризуватися середньою частотою ω 0 = (ω 1 + ω 2) / 2 і шириною смуги пропускання Δ ω = ω 2 – ω 1).

Ідеальна форма АЧХ фільтрів цих чотирьох типів:

Однак, така ідеальна (прямокутна) форма АЧХ не може бути фізично реалізована. Тому в теорії аналогових фільтрів розроблений ряд методів апроксимаціїпрямокутних АЧХ.

Крім того, розрахувавши ФНЧ, можна нескладними перетвореннями змінити його частоту зрізу, перетворити його в ФВЧ, смуговий або режекторний фільтр із заданими параметрами. Тому розрахунок аналогового фільтра починається з розрахунку так званого фільтра-прототипу, Що представляє собою ФНЧ з частотою зрізу, рівною 1 рад / с.

1.) Фільтр Баттерворта:

Функція передачі фільтра-прототипу Баттерворта (Butterworth filter) не має нулів, а її полюси рівномірно розташовані на s-плоскості в лівій половині кола одиничного радіуса.

Для фільтра Баттерворта частота зрізу визначається за рівнем 1 /. Фільтр Баттерворта забезпечує максимально плоску вершину в смузі пропускання.

2.) Фільтр Чебишева першого роду:

Функція передачі фільтра Чебишева першого роду (Chebyshev type I filter) також не має нулів, а її полюси розташовані в лівій половині еліпса на s-плоскості. Для фільтра Чебишева першого роду частота зрізу визначається за рівнем пульсацій в смузі пропускання.

У порівнянні з фільтром Баттерворта того ж порядку, фільтр Чебишева забезпечує більш крутий спад АЧХ в області переходу від смуги пропускання до смузі затримування.

3.) Фільтр Чебишева другого роду:

Функція передачі фільтра Чебишева другого роду (Chebyshev type II filter), на відміну від попередніх випадків, має і нулі, і полюси. Фільтри Чебишева другого роду називають ще інверсними фільтрами Чебишева (inverse Chebyshev filter). Частотою зрізу фільтра Чебишева другого родасчітается не кінець смуги пропускання, а початок смуги затримування. Коефіцієнт передачі фільтра на нульовій частоті дорівнює 1, на частоті зрізу - заданим рівнем пульсацій в смузі затримування. при ω → ∞ коефіцієнт передачі дорівнює нулю при непарному порядку фільтра і рівнем пульсацій - при парному. при ω \u003d 0 АЧХ фільтра Чебишева другого роду є максимально плоскою.

4.) Еліптичні фільтри:

Еліптичні фільтри (фільтри Кауера; англійські терміни - elliptic filter, Cauer filter) в деякому сенсі об'єднують в собі властивості фільтрів Чебишева першого і другого роду, оскільки АЧХ еліптичного фільтра має пульсації заданої величини, як в смузі пропускання, так і в смузі затримування. За рахунок цього вдається забезпечити максимально можливу (при фіксованому порядку фільтра) крутизну ската АЧХ, т. Е. Перехідної зони між смугами пропускання і затримання.

Функція передачі еліптичного фільтра має як полюси, так і нулі. Нулі, як і в разі фільтра Чебишева другого роду, є чисто уявними і утворюють комплексно-зв'язані пари. Кількість нулів функції передачі дорівнює максимальному парним числом, що не перевершує порядку фільтра.

Функції MATLAB для розрахунку фільтрів Баттерворта, Чебишева першого і другого роду, а також еліптичних фільтрів, дозволяють розраховувати як аналогові, так і дискретні фільтри. Функції розрахунку фільтрів вимагають завдання в якості вхідних параметрів порядку фільтра та його частоти зрізу.

Порядок фільтра залежить:

від допустимої нерівномірності в смузі пропускання від величини зони невизначеності. (Чим менше зона невизначеності, тим крутіше спад частотної характеристики).

Для КИХ-фільтрів порядок становить кілька десятків або сотень, а для БИХ-фільтрів порядок не перевищує кілька одиниць.

Піктограми дають можливість подивитися всі коефіцієнти. Проектування фільтру проводиться на одному вікні.

Періодичний сигнал будь-якої форми з періодом Т може бути представлений у вигляді суми

гармонійних коливань з різними амплітудами і початковими фазами, частоти яких кратні основній частоті. Гармоніку цієї частоти називають основною або першої, інші - вищими гармоніками.

Тригонометрична форма ряду Фур'є:

,

де
- постійна складова;

- амплітуди косинусоидальной складових;

- амплітуди синусоїдальних складових.

Парний сигнал (
) Має тільки косинусоидальной, а непарний (
- тільки синусоїдальні складові.

Більш зручною є еквівалентна тригонометрическая форма ряду Фур'є:

,

де
- постійна складова;

- амплітуда n-ої гармоніки сигналу. Сукупність амплітуд гармонійних складових носить назву спектра амплітуд;

- початкова фаза n-ої гармоніки сигналу. Сукупність фаз гармонічних складових носить назву спектра фаз.

1. Спектр періодичної послідовності прямокутних імпульсів. Залежність спектра від періоду проходження імпульсів і їх тривалості. Ширина спектра. Розкладання в ряд Фур'є пппі

Розрахуємо амплітудний і фазовий спектри ПППІ, що мають амплітуду
, тривалість , Період проходження і розташованих симетрично відносно початку координат (сигнал - парна функція).

Малюнок 5.1 - Тимчасова діаграма ПППІ.

Сигнал на інтервалі одного періоду можна записати:

обчислення:

,

Ряд Фур'є для ПППІ має вигляд :.

Малюнок 5.2 - Амплітудна спектральна діаграма ПППІ.

Малюнок 5.3 - Фазова спектральна діаграма ПППІ.

Спектр ПППІ лінійчатий (дискретний) (подається набором окремих спектральних ліній), гармонійний (спектральні лінії знаходяться на однаковій відстані одна від одної ω 1), регресний (амплітуди гармонік зменшуються з ростом їх номера), має пелюсткову структуру (ширина кожної пелюстки дорівнює 2π / τ), необмежений (інтервал частот, в якому розташовуються спектральні лінії, нескінченний);

При цілочисельних Шпаруватість частотні складові з частотами, кратними скважности в спектрі відсутні (їх частоти збігаються з нулями обвідної спектра амплітуд);

Зі збільшенням шпаруватості амплітуди всіх гармонійних складових зменшуються. При цьому якщо воно пов'язане зі збільшенням періоду повторення Т, то спектр стає щільніше (ω 1 зменшується), зі зменшенням тривалості імпульсу τ - стає більше ширина кожної пелюстки;

За ширину спектра ПППІ прийнятий інтервал частот, що містить 95% енергії сигналу, (дорівнює ширині двох перших пелюсток обвідної):

або
;

Все гармоніки, що знаходяться в одному пелюстці обвідної, мають однакові фази, рівні або 0 або π.

1. Використання перетворення Фур'є для аналізу спектру неперіодичних сигналів. Спектр одиночного прямокутного імпульсу. Інтегральні перетворення Фур'є

Сигнали зв'язку завжди обмежені в часі і тому не є періодичними. Серед неперіодичних сигналів найбільший інтерес представляють поодинокі імпульси (ОІ). ОІ можна розглядати як граничний випадок періодичної послідовності імпульсів (ППІ) тривалістю при нескінченно великому періоді їх повторення
.

Малюнок 6.1 - ППІ і ОІ.

Неперіодичний сигнал може бути представлений сумою нескінченно великого числа нескінченно близьких по частоті коливань з зникаюче малими амплітудами. Спектр ОІ є безперервним і вводиться інтегралами Фур'є:

-
(1) - пряме перетворення Фур'є. Дозволяє аналітично відшукати спектральну функцію за заданою формою сигналу;

-
(2) - зворотне перетворення Фур'є. Дозволяє аналітично відшукати форму по заданій спектральної функції сигналу.

Комплексна форма інтегрального перетворення Фур'є (2) дає двостороннє спектральне подання (має негативні частоти) непериодического сигналу
у вигляді суми гармонійних коливань
з нескінченно малими комплексними амплітудами
, Частоти яких безперервно заповнюють всю вісь частот.

Комплексна спектральна щільність сигналу - комплексна функція частоти, одночасно несе інформацію як про амплітуду, так і про фазу елементарних гармонік.

Модуль спектральної щільності називається спектральної щільністю амплітуд. Його можна розглядати як АЧХ суцільного спектра непериодического сигналу.

Аргумент спектральної щільності
називається спектральної щільністю фаз. Його можна розглядати як ФЧХ суцільного спектра непериодического сигналу.

Перетворимо формулу (2):

Тригонометрична форма інтегрального перетворення Фур'є дає одностороннє спектральне подання (що не має негативних частот) непериодического сигналу:

.

У минулому столітті Іван Бернуллі, Леонард Ейлер, а потім і Жан-Батист Фур'є вперше застосували уявлення періодичних функцій тригонометричними рядами. Це уявлення вивчається досить докладно в інших курсах, тому нагадаємо лише основні співвідношення і визначення.

Як вже зазначалося вище, будь-яку періодичну функцію u (t) , Для якої виконується рівність u (t) \u003d u (t + T) , де T \u003d 1 / F \u003d 2p / W , Можна уявити поруч Фур'є:

Кожне складова цього ряду можна розкласти по формулі косинуса для різниці двох кутів і представити у вигляді двох складових:

,

де: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n , так що , а

коефіцієнти А n і В n визначаються за формулами Ейлера:

;
.

при n \u003d 0 :

а B 0 \u003d 0.

коефіцієнти А n і В n , Є середніми значеннями твори функції u (t) і гармонійного коливання з частотою nw на інтервалі тривалістю Т . Ми вже знаємо (розділ 2.5), що це функції взаємної кореляції, що визначають міру їх зв'язку. Отже, коефіцієнти A n і B n показують нам "скільки" синусоїди або косинусоид з частотою nW міститься в даній функції u (t) , Розкладається в ряд Фур'є.

Таким чином, ми можемо уявити періодичну функцію u (t) у вигляді суми гармонійних коливань, де числа C n є амплітудами, а числа φ n - фазами. Зазвичай в літературі називається спектром амплітуд, а - спектром фаз. Часто розглядається тільки спектр амплітуд, який зображується у вигляді ліній, розташованих в точках nW на осі частот і мають висоту, відповідну числу C n . Однак слід пам'ятати, що для отримання однозначного відповідності між тимчасової функцією u (t) і її спектром необхідно використовувати і спектр амплітуд, і спектр фаз. Це видно з такого простого прикладу. У сигналів і буде однаковий спектр амплітуд, але абсолютно різний вигляд тимчасових функцій.

Дискретний спектр може мати не тільки періодична функція. Наприклад, сигнал: не є періодичним, але має дискретний спектр, що складається з двох спектральних ліній. Також не буде строго періодичним сигнал, що складається з послідовності радіоімпульсів (імпульсів з високочастотним заповненням), у яких період проходження постійний, але початкова фаза високочастотного заповнення змінюється від імпульсу до імпульсу по якому-небудь закону. Такі сигнали називаються майже періодичними. Як ми побачимо надалі, вони також мають дискретний спектр. Дослідження фізичної природи спектрів таких сигналів, ми будемо виконувати так само, як і періодичних.

У багатьох випадках завдання отримання (обчислення) спектра сигналу виглядає наступним чином. Є АЦП, який з частотою дискретизації Fd перетворює безперервний сигнал, що надходить на його вхід протягом часу Т, в цифрові відліки - N штук. Далі масив відліків подається в якусь програму, яка видає N / 2 якихось числових значень (програміст, який поцупив з инета написав програмку, запевняє, що вона робить перетворення Фур'є).

Щоб перевірити, чи правильно працює програма, сформуємо масив відліків як суму двох синусоїд sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) і підсунь програмці. Програма намалювала наступне:

рис.1 Графік тимчасової функції сигналу

рис.2 Графік спектру сигналу

На графіку спектра є дві палиці (гармоніки) 5 Гц з амплітудою 0.5 В і 10 Гц - з амплітудою 1 В, все як у формулі вихідного сигналу. Все відмінно, програміст молодець! Програма працює правильно.

Це означає, що якщо ми подамо на вхід АЦП реальний сигнал із суміші двох синусоїд, то ми отримаємо аналогічний спектр, що складається з двох гармонік.

Разом, наш реальний виміряний сигнал, тривалістю 5 сек, Оцифрований АЦП, тобто представлений дискретними отсчетами, має дискретний неперіодична спектр.

З математичної точки зору - скільки помилок в цій фразі?

Тепер начальство вирішило ми вирішили, що 5 секунд - це занадто довго, давай вимірювати сигнал за 0.5 сек.



рис.3 Графік функції sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) на періоді вимірювання 0.5 сек

рис.4 Спектр функції

Щось як би не те! Гармоніка 10 Гц малюється нормально, а замість палиці на 5 Гц з'явилося кілька якихось незрозумілих гармонік. Дивимося в інтернетах, що й до чого ...

Во, кажуть, що в кінець вибірки треба додати нулі і спектр буде малюватися нормальний.

рис.5 Добили нулів до 5 сек

рис.6 Отримали спектр

Все одно не те, що було на 5 секундах. Доведеться розбиратися з теорією. йдемо в Вікіпедію - джерело знань.

2. Безперервна функція і уявлення її поруч Фур'є

Математично наш сигнал тривалістю T секунд є деякою функцією f (x), заданої на відрізку (0, T) (X в даному випадку - час). Таку функцію завжди можна представити у вигляді суми гармонійних функцій (синусоїд або косинусоид) виду:

(1), де:

K - номер тригонометричної функції (номер гармонійної складової, номер гармоніки)
T - відрізок, де функція визначена (тривалість сигналу)
Ak - амплітуда k-ой гармонійної складової,
θk- початкова фаза k-ой гармонійної складової

Що значить «уявити функцію у вигляді суми ряду»? Це означає, що, склавши в кожній точці значення гармонійних складових ряду Фур'є, ми отримаємо значення нашої функції в цій точці.

(Більш строго, середньоквадратичне відхилення ряду від функції f (x) буде прагнути до нуля, але не дивлячись на середньоквадратичнепомилку збіжність, ряд Фур'є функції, взагалі кажучи, не зобов'язаний сходитися до неї поточечно. Див. Https://ru.wikipedia.org/ wiki / Ряд_Фурье.)

Цей ряд може бути також записаний у вигляді:

(2),
де, k-я комплексна амплітуда.

Зв'язок між коефіцієнтами (1) і (3) виражається наступними формулами:

Відзначимо, що всі ці три представлення низки Фур'є абсолютно рівнозначні. Іноді при роботі з рядами Фур'є буває зручніше використовувати замість синусів і косинусів експоненти уявного аргументу, тобто використовувати перетворення Фур'є в комплексній формі. Але нам зручно використовувати формулу (1), де ряд Фур'є представлений у вигляді суми косинусоид з відповідними амплітудами і фазами. У будь-якому випадку неправильно говорити, що результатом перетворення Фур'є дійсного сигналу будуть комплексні амплітуди гармонік. Як правильно говориться в Вікі «Перетворення Фур'є (ℱ) - операція, що зіставляє однієї функції дійсної змінної іншу функцію, також дійсної змінної.»

Разом:
Математичною основою спектрального аналізу сигналів є перетворення Фур'є.

Перетворення Фур'є дозволяє уявити безперервну функцію f (x) (сигнал), визначену на відрізку (0, T) у вигляді суми нескінченного числа (нескінченного ряду) тригонометричних функцій (синусоїд і \\ або косинусоид) з певними амплітудами і фазами, також розглядаються на відрізку (0, T). Такий ряд називається рядом Фур'є.

Відзначимо ще деякі моменти, розуміння яких потрібно для правильного застосування перетворення Фур'є до аналізу сигналів. Якщо розглянути ряд Фур'є (суму синусоїд) на всій осі Х, то можна побачити, що поза відрізка (0, T) функція представлена \u200b\u200bрядом Фур'є буде буде періодично повторювати нашу функцію.

Наприклад, на графіку рис.7 початкова функція визначена на відрізку (-T \\ 2, + T \\ 2), а ряд Фур'є представляє періодичну функцію, певну на всій осі х.

Це відбувається тому, що синусоїди самі є періодичними функціями, відповідно і їх сума буде періодичною функцією.

рис.7 Подання неперіодичної вихідної функцій рядів Фур'є

Таким чином:

Наша початкова функція - безперервна, неперіодичних, визначена на деякому відрізку довжиною T.
Спектр цієї функції - дискретний, тобто представлений у вигляді нескінченного ряду гармонійних складових - ряду Фур'є.
За фактом, поруч Фур'є визначається деяка періодична функція, що збігається з нашою на відрізку (0, T), але для нас ця періодичність не суттєва.

Періоди гармонійних складових кратні величині відрізка (0, T), на якому визначена початкова функція f (x). Іншими словами, періоди гармонік кратні тривалості вимірювання сигналу. Наприклад, період першої гармоніки ряду Фур'є дорівнює інтервалу Т, на якому визначена функція f (x). Період другої гармоніки ряду Фур'є дорівнює інтервалу Т / 2. І так далі (див. Рис. 8).

рис.8 Періоди (частоти) гармонійних складових ряду Фур'є (тут Т \u003d 2π)

Відповідно, частоти гармонійних складових кратні величині 1 / Т. Тобто частоти гармонійних складових Fk рівні Fk \u003d до \\ Т, де до пробігає значення від 0 до ∞, наприклад к \u003d 0 F0 \u003d 0; к \u003d 1 F1 \u003d 1 \\ T; к \u003d 2 F2 \u003d 2 \\ T; к \u003d 3 F3 \u003d 3 \\ T; ... Fk \u003d до \\ Т (при нульовій частоті - постійна складова).

Нехай наша початкова функція, являє собою сигнал, записаний протягом Т \u003d 1 сек. Тоді період першої гармоніки буде дорівнює тривалості нашого сигналу Т1 \u003d Т \u003d 1 сек і частота гармоніки дорівнює 1 Гц. Період другої гармоніки буде дорівнює тривалості сигналу, поділеній на 2 (Т2 \u003d Т / 2 \u003d 0,5 сек) і частота дорівнює 2 Гц. Для третьої гармоніки Т3 \u003d Т / 3 сек і частота дорівнює 3 Гц. І так далі.

Крок між гармоніками в цьому випадку дорівнює 1 Гц.

Таким чином сигнал тривалістю 1 сек можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з дозволом по частоті 1 Гц.
Щоб збільшити дозвіл в 2 рази до 0,5 Гц - треба збільшити тривалість вимірювання в 2 рази - до 2 сек. Сигнал тривалістю 10 сек можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з дозволом по частоті 0,1 Гц. Інших способів збільшити дозвіл по частоті немає.

Існує спосіб штучного збільшення тривалості сигналу шляхом додавання нулів до масиву відліків. Але реальну роздільну здатність по частоті він не збільшує.

3. Дискретні сигнали і дискретне перетворення Фур'є

З розвитком цифрової техніки змінилися і способи зберігання даних вимірювань (сигналів). Якщо раніше сигнал міг записуватися на магнітофон і зберігатися на стрічці в аналоговому вигляді, то зараз сигнали оцифровуються і зберігаються в файлах в пам'яті комп'ютера у вигляді набору чисел (відліків).

Звичайна схема вимірювання і оцифровки сигналу виглядає наступним чином.

рис.9 Схема вимірювального каналу

Сигнал з вимірювального перетворювача надходить на АЦП протягом періоду часу Т. Отримані за час Т відліки сигналу (вибірка) передаються в комп'ютер і зберігаються в пам'яті.

рис.10 Оцифрований сигнал - N відліків отриманих за час Т

Які вимоги висуваються до параметрів оцифровки сигналу? Пристрій, що перетворює вхідний аналоговий сигнал в дискретний код (цифровий сигнал) називається аналого-цифровий перетворювач (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Одним з основних параметрів АЦП є максимальна частота дискретизації (або частота семплірованія, англ. Sample rate) - частота взяття відліків безперервного в часі сигналу при його дискретизації. Вимірюється в герцах. ((Wiki))

Згідно з теоремою Котельникова, якщо безперервний сигнал має спектр, обмежений частотою Fмакс, то він може бути повністю і однозначно відновлений по його дискретним відліком, узятим через інтервали часу , Тобто з частотою Fd ≥ 2 * Fмакс, де Fd - частота дискретизації; Fмакс - максимальна частота спектра сигналу. Іншими слова частота оцифровки сигналу (частота дискретизації АЦП) повинна як мінімум в 2 рази перевищувати максимальну частоту сигналу, який ми хочемо виміряти.

А що буде, якщо ми будемо брати відліки з меншою частотою, ніж потрібно по теоремі Котельникова?

В цьому випадку виникає ефект «аліасинга» (він же стробоскопічний ефект, муаровий ефект), при якому сигнал високої частоти після оцифровки перетворюється в сигнал низької частоти, якого насправді не існує. На рис. 11 червона синусоїда високої частоти - це реальний сигнал. Синя синусоїда більш низької частоти - фіктивний сигнал, що виникає внаслідок того, за час взяття відліку встигає пройти більше, ніж пів-періоду високочастотного сигналу.

Мал. 11. Поява помилкового сигналу низької частоти при недостатньо високій частоті дискретизації

Щоб уникнути ефекту аліасинга перед АЦП ставлять спеціальний антіаліасінговий фільтр - ФНЧ (фільтр нижніх частот), який пропускає частоти нижче половини частоти дискретизації АЦП, а більш високі частоти заріже.

Для того, щоб обчислити спектр сигналу по його дискретним відліком використовується дискретне перетворення Фур'є (ДПФ). Відзначимо ще раз, що спектр дискретного сигналу «за визначенням» обмежений частотою Fмакс, меншою половині частоти дискретизації Fd. Тому спектр дискретного сигналу може бути представлений сумою кінцевого числа гармонік, на відміну від нескінченної суми для ряду Фур'є безперервного сигналу, спектр якого може бути необмежений. Згідно з теоремою Котельникова максимальна частота гармоніки повинна бути такою, щоб на неї припадало як мінімум два відліку, тому число гармонік дорівнює половині числа відліків дискретного сигналу. Тобто якщо у вибірці є N відліків, то число гармонік в спектрі дорівнюватиме N / 2.

Розглянемо тепер дискретне перетворення Фур'є (ДПФ).

Порівнюючи з рядом Фур'є

Бачимо, що вони збігаються, за винятком того, що час в ДПФ має дискретний характер і число гармонік обмежена величиною N / 2 - половиною числа відліків.

Формули ДПФ записуються в безрозмірних цілих змінних k, s, де k - номери відліків сигналу, s - номера спектральних складових.
Величина s показує кількість повних коливань гармоніки на періоді Т (тривалості вимірювання сигналу). Дискретне перетворення Фур'є використовується для знаходження амплітуд і фаз гармонік чисельним методом, тобто "на комп'ютері"

Повертаючись до результатів, отриманих на початку. Як вже було сказано вище, при розкладанні в ряд Фур'є неперіодичної функції (нашого сигналу), отриманий ряд Фур'є фактично відповідає періодичної функції з періодом Т. (рис.12).

рис.12 Періодична функція f (x) з періодом Т0, з періодом вимірювання Т\u003e T0

Як видно на рис.12 функція f (x) періодична з періодом Т0. Однак через те, що тривалість вимірювальної вибірки Т не збігається з періодом функції Т0, функція, що отримується як ряд Фур'є, має розрив в точці Т. В результаті спектр даної функції буде містити велику кількість високочастотних гармонік. Якби тривалість вимірювальної вибірки Т збігалася з періодом функції Т0, то в отриманому після перетворення Фур'є спектрі присутня б тільки перша гармоніка (синусоїда з періодом, що дорівнює тривалості вибірки), оскільки функція f (x) являє собою синусоїду.

Іншими словами, програма ДПФ «не знає», що наш сигнал являє собою «шматок синусоїди», а намагається представити у вигляді ряду періодичну функцію, яка має розрив через нестиковки окремих шматків синусоїди.

В результаті в спектрі з'являються гармоніки, які повинні в сумі зобразити форму функції, включаючи цей розрив.

Таким чином, щоб отримати «правильний» спектр сигналу, що є сумою декількох синусоїд з різними періодами, необхідно щоб на періоді вимірювання сигналу вкладалося ціле число періодів кожної синусоїди. На практиці ця умова можна виконати при досить великої тривалості вимірювання сигналу.

Рис.13 Приклад функції і спектра сигналу кінематичної похибки редуктора

При меншій тривалості картина буде виглядати «гірше»:

Рис.14 Приклад функції і спектра сигналу вібрації ротора

На практиці буває складно зрозуміти, де «реальні складові», а де «артефакти», викликані некратними періодів складових і тривалості вибірки сигналу або «стрибками і розривами» форми сигналу. Звичайно слова «реальні складові» і «артефакти» не дарма взяті в лапки. Наявність на графіку спектра безлічі гармонік не означає, що наш сигнал в реальності з них «складається». Це все одно що вважати, ніби число 7 «складається» з чисел 3 і 4. Число 7 можна представити у вигляді суми чисел 3 і 4 - це правильно.

Так і наш сигнал ... а вірніше навіть не «наш сигнал», а періодичну функцію, складену шляхом повторення нашого сигналу (вибірки) можна представити у вигляді суми гармонік (синусоїд) з певними амплітудами і фазами. Але в багатьох важливих для практики випадках (див. Малюнки вище) дійсно можна пов'язати отримані в спектрі гармоніки і з реальними процесами, що мають циклічний характер і вносять значний вклад в форму сигналу.

деякі підсумки

1. Реальний виміряний сигнал, тривалістю T сек, оцифрований АЦП, тобто представлений набором дискретних відліків (N штук), має дискретний неперіодична спектр, представлений набором гармонік (N / 2 штук).

2. Сигнал представлений набором дійсних значень і його спектр представлений набором дійсних значень. Частоти гармонік позитивні. Те, що математикам буває зручніше представити спектр в комплексній формі з використанням негативних частот не означає, що «так правильно» і «так завжди треба робити».

3. Сигнал, який вимірюється на відрізку часу Т визначено тільки на відрізку часу Т. Що було до того, як ми почали вимірювати сигнал, і що буде після того - науці це невідомо. І в нашому випадку - нецікаво. ДПФ обмеженого в часі сигналу дає його «справжній» спектр, в тому сенсі, що за певних умов дозволяє обчислити амплітуду і частоту його складових.

Використані матеріали та інші корисні матеріали.