Спектральна щільність потужності. А) Білий шум

Найбільш важливою характеристикою стаціонарних випадкових процесів є спектральна щільність потужності, що описує розподіл потужності шуму по частотному спектру. Розглянемо стаціонарний випадковий процес, який може бути представлений безладної послідовністю імпульсів напруги або струму, що слідують один за одним через випадкові інтервали часу. Процес з випадковою послідовністю імпульсів є неперіодичним. Проте, можна говорити про спектр такого процесу, розуміючи в даному випадку під спектром розподіл потужності по частотах.

Для опису шумів вводять поняття спектральної щільності потужності (СПМ) шуму, званої також в загальному випадку спектральної щільністю (СП) шуму, яка визначається співвідношенням:

де  P(f) - усереднена за часом потужність шуму в смузі частот fна частоті вимірювання f.

Як випливає зі співвідношення (2.10), СП шуму має розмірність Вт / Гц. У загальному випадку СП є функцією частоти. Залежність СП шуму від частоти називають енергетичним спектром, Який несе інформацію про динамічні характеристики системи.

Якщо випадковий процес ергодичний, то можна знаходити енергетичний спектр такого процесу по його єдиною реалізації, що широко використовується на практиці ..

При розгляді спектральних характеристик стаціонарного випадкового процесу часто виявляється необхідним користуватися поняттям ширини спектра шуму. Площа під кривою енергетичного спектра випадкового процесу, віднесену до СП шуму на деякій характерній частоті f 0, називають ефективної шириною спектра, Яка визначається за формулою:

(2.11)

Цю величину можна трактувати як ширину рівномірного енергетичного спектра випадкового процесу в смузі
, Еквівалентного за середньої потужності розглянутого процесу.

потужність шуму P, Укладена в смузі частот f 1 …f 2, дорівнює

(2.12)

Якщо СП шуму в смузі частот f 1 ...f 2 постійна і дорівнює S 0, тоді для потужності шуму в даній смузі частот маємо:
где f=f 2 -f 1 - смуга частот, що пропускається схемою або вимірювальним приладом.

Важливим випадком стаціонарного випадкового процесу є білий шум, для якого спектральна щільність не залежить від частоти в широкому діапазоні частот (теоретично - в нескінченному діапазоні частот). Енергетичний спектр білого шуму в діапазоні частот -∞< f < + ∞ дається виразом:

= 2S 0 \u003d Const, (2.13)

Модель білого шуму описує випадковий процес без пам'яті (без післядії). Білий шумвознікает в системах з великою кількістю простих однорідних елементів і характеризується розподілом амплітуди флуктуацій за нормальним законом. Властивості білого шуму визначаються статистикою незалежних одиночних подій (наприклад, тепловим рухом носіїв заряду в провіднику або напівпровіднику). Разом з тим істинний білий шум з нескінченної смугою частот не існує, оскільки він має нескінченну потужність.

На рис. 2.3. приведена типова осцилограма білого шуму (залежність миттєвих значень напруги від часу) (рис. 2.3а) і функція розподілу ймовірності миттєвих величин напруги e, Яка є нормальним розподілом (рис. 2.3б). Заштрихованная площа під кривою відповідає ймовірності появи миттєвих величин напруги e, Що перевищують значення e 1 .

Мал. 2.3. Типова осцилограма білого шуму (а) і функція розподілу щільності ймовірності миттєвих величин амплітуди напруги шуму (б).

На практиці при оцінці величини шуму будь-якого елементу або п / п приладу зазвичай вимірюють середньоквадратичне шумова напруга в одиницях В 2 або середньоквадратичний токв одиницях А 2. При цьому СП шуму висловлюють в одиницях В 2 / Гц або А 2 / Гц, а спектральні щільності флуктуацій напруги S u (f) Або струму S I (f) Обчислюються за такими формулами:

(2.14)

де
і - усереднені за часом шумова напруга і струм в смузі частот fвідповідно. Риса зверху означає усереднення за часом.

У практичних завданнях при розгляді флуктуацій різних фізичних величин вводять поняття узагальненої спектральної щільності флуктуацій. При цьому СП флуктуацій, наприклад, для опору Rвиражається в одиницях Ом 2 / Гц; флуктуації магнітної індукції вимірюються в одиницях Тл 2 / Гц, а флуктуації частоти автогенератора - в одиницях Гц 2 / Гц \u003d Гц.

При порівнянні рівнів шуму в лінійних двополюсників одного і того ж типу зручно користуватися відносної спектральної щільністю шуму, яка визначається як

=
, (2.15)

де u- падіння постійної напруги на лінійному двухполюсника.

Як видно з виразу (2.15), відносна спектральна щільність шуму S(f) Виражається в одиницях Гц -1.

Нижче наводиться короткий опис деяких сигналів і визначаються їх спектральні щільності. При визначенні спектральних щільностей сигналів, які відповідають умові абсолютної інтегрованості, користуємося безпосередньо формулою (4.41).

Спектральні щільності ряду сигналів наведені в табл. 4.2.

1) Імпульс прямокутної форми (табл. 4.2, поз. 4). Коливання, зображене на рис. (4.28, а), можна записати у вигляді

Його спектральна щільність

Графік спектральної щільності (рис. 4.28, а) побудований на основі провідати раніше аналізу спектра періодичної послідовності однополярних, прямокутних імпульсів (4.14). Як видно з (рис. 4.28, б), функція звертається в нуль при значеннях аргументу \u003d n, де п - 1, 2, 3, ... - будь ціле число. При цьому кутові частоти рівні \u003d.

Мал. 4.28. Імпульс прямокутної форми (а) і його спектральна щільність (б)

Спектральна щільність імпульсу при чисельно дорівнює його площі, тобто G(0)=A. Це положення справедливо для імпульсу s(t) довільної форми. Дійсно, вважаючи в загальному вираженні (4.41) \u003d 0, отримаємо

т. е. площа імпульсу s(t).

Таблиця 4.3.

	сигнал s(t)			спектральна щільність

При розтягуванні імпульсу відстань між нулями функціісокращается, т. Е. Проісходітсжатіе спектра. Значення при цьому зростає. Навпаки, при стисненні імпульсу відбувається розширення його спектру а значення зменшується. На (рис. 4.29, а, б) наведені графіки амплітудного і фазового іспектров прямокутного імпульсу.

Мал. 4.29. Графіки амплітудного (а) Рис. 4.30. Імпульс прямокутної форми, і фазового (б) спектрів зрушений на час

При зсуві імпульсу вправо (запізнювання) на час (рис. 4.30) фазовий спектр змінюється на величину, яка визначається аргументом множітеляexp () (табл. 4.2, поз. 9). Результуючий фазовий спектр запізнілого імпульсу зображений на рис. 4.29, б пунктирною лінією.

2) Дельта-функція (табл. 4.3, поз. 9). Спектральну щільність - функції знаходимо за формулою (4.41), використовуючи фільтруюче властивість δ -функції:

Таким чином, амплітуда спектр рівномірний і визначається площею δ -функції [\u003d 1], а фазовий спектр дорівнює нулю [\u003d 0].

Зворотним перетворенням Фур'є від функції \u003d 1 користуються як одним з визначень δ -функції:

Користуючись властивістю тимчасового зсуву (табл. 4.2, поз. 9), визначаємо спектральну щільність функції , запізнілої на час щодо :

Амплітудний і фазовий спектри функції показані в табл. 4.3, поз. 10. Зворотне перетворення Фур'є від функції має вигляд

3) Гармонійне коливання (Табл. 4.3, поз. 12). Гармонійне коливання не є абсолютно інтегрованим сигналом. Проте для визначення його спектральної плотностіпріменяют пряме перетворення Фур'є, записуючи формулу (4.41) у вигляді:

Тоді з урахуванням (4.47) отримуємо

δ(ω) - дельта-функції, зміщені по осі частот на частоту, відповідно вправо і вліво відносно. Як видно з (4.48), спектральна щільність гармонійного коливання з кінцевої амплітудою приймає нескінченно велике значення на дискретних частотахі.

Виконуючи аналогічні перетворення, можна отримати спектральну щільність коливання (Табл. 4.3, поз. 13)

4) Функція виду (Табл. 4.3, поз. 11)

Спектральна щільність сигналу у вигляді постійного рівня А визначається за формулою (4.48), поклавши \u003d 0:

5) Одинична функція (або одиничний стрибок) (табл. 4.3, поз. 8). Функція не є абсолютно інтегрованою. Якщо уявити як межа експоненціального імпульсу , т. е.

то спектральну щільність функцііможно визначити як межу спектральної щільності експоненціального імпульсу (табл. 4.3, поз. 1) при:

Пріпервое доданок в правій частині цього виразу дорівнює нулю на всіх частотах, крім \u003d 0, де воно звертається в нескінченність, а площа під функцією дорівнює постійній величині

Тому межею першого доданка можна вважати функцію. Межею другого доданка є функція. остаточно отримаємо

Наявність двох доданків у виразі (4.51) узгоджується з поданням функції у вигляді 1/2 + 1 / 2sign ( t). Постійної складової 1/2 згідно (4.50) відповідає спектральна щільність, а непарної функції - уявне значення спектральної щільності.

При аналізі впливу одиничного стрибка на ланцюгу, передавальна функція яких при \u003d 0 дорівнює нулю (т. Е. На ланцюгу, що не пропускають постійний струм), у формулі (4.51) можна враховувати тільки другий доданок, представляючи спектральну щільність одиничного стрибка у вигляді

6) Комплексний експонентний сигнал (табл. 4.3, поз. 16). Якщо уявити функціюв вигляді

то на підставі лінійності перетворення Фур'є і з урахуванням виразів (4.48) і (4.49) спектральна щільність комплексного експоненціального сигналу

Отже, комплексний сигнал має несиметричним спектром, представленим однією дельта-функцією, зміщеною на частотувправо відносно.

7) Довільна періодична функція. Уявімо довільну періодичну функцію (рис. 4.31, а) комплексним рядом Фур'є

де - частота проходження імпульсів.

Коефіцієнти ряду Фур'є

виражаються через значення спектральної щільності одиночного імпульсу s(t) на частотах ( n=0, ± 1, ± 2, ...). Підставляючи (4.55) в (4.54) і користуючись співвідношенням (4.53), визначаємо спектральну щільність періодичної функції:

Згідно (4.56) спектральна щільність довільної періодичної функції має вигляд послідовності-функцій, зміщених одна відносно одної, на частоту (рис. 4.31, б). коефіцієнти при δ -Функція змінюються відповідно до спектральної плотностьюодіночного імпульсу s(t) (Пунктирна крива на рис. 4.31, б).

8) Періодична послідовність δ-функцій (табл. 4.3, поз. 17). Спектральна щільність періодичної послідовності -функцій

визначається за формулою (4.56) як окремий випадок спектральної щільності періодичної функції при = 1:

Ріс.4.31. Довільна послідовність імпульсів (а) і її спектральна щільність (б)

Мал. 4.32. Радіосигнал (а), спектральні щільності радіосигналу (в) і його обвідної (б)

і має вигляд періодичної послідовності δ -функцій, помножених на коефіцієнт.

9) Радіосигнал з прямокутною обвідної. Радіосигнал, представлений на (рис. 4.32, а), можна записати як

Згідно поз. 11 табл.4.2 спектральна щільність радіосигналу виходить шляхом зсуву спектральної плотностіпрямоугольной обвідної по осі частот на вправо і вліво зі зменшенням ординат в два рази, т. Е.

Цей вислів виходить з (4.42) шляхом заміни частоти на частоти-зрушення вправо і-зрушення вліво. Перетворення спектра огібающейпоказано на (рис. 4.32, б, в).

Приклади розрахунку спектрів неперіодичних сигналів наведені так само в.

Маючи на увазі під випадковим процесом безліч (ансамбль) функцій часу, необхідно мати на увазі, що функцій, які мають різну форму, відповідають різні спектральні характеристики. Усереднення комплексної спектральної щільності, введеної в § 2.6 або 2.1, по всіх функцій призводить до нульового спектру процесу (при) через випадковість і незалежності фаз спектральних складових в різних реалізаціях.

Можна, однак, ввести поняття спектральної щільності середнього квадрата випадкової функції, оскільки значення середнього квадрата не залежить від співвідношення фаз сумміруемих гармонік. Якщо під випадковою функцією мається на увазі електричну напругу або струм, то середній квадрат цієї функції можна розглядати як середню потужність, що виділяється в опорі 1 Ом. Ця потужність розподілена по частотах в деякій смузі, яка залежить від механізму утворення випадкового процесу. Спектральна щільність середньої потужності являє собою середню потужність, що припадає на 1 Гц при заданій частоті. Розмірність функції, що є відношенням потужності до смуги астота, є

Спектральну щільність випадкового процесу можна знайти, якщо відомий механізм утворення випадкового процесу. Стосовно до шумів, пов'язаних з атомістичної структурою матерії і електрики, це завдання буде розглянута в § 7.3. Тут же ми обмежимося декількома визначеннями загального характеру.

Виділивши з ансамблю якусь реалізацію і обмеживши її тривалість кінцевим інтервалом Т, можна застосувати до неї звичайне перетворення Фур'є і знайти спектральну щільність (с). Тоді енергію розглянутого відрізка реалізації можна обчислити за допомогою формули (2.66):

Розділивши цю енергію на отримаємо середню потужність k-й реалізації на відрізку Т

При збільшенні Т енергія зростає, проте ставлення прагне деякому межі. Зробивши граничний перехід отримаємо

являє собою спектральну щільність середньої потужності даної реалізації.

У загальному випадку величина повинна бути усереднена по безлічі реалізацій. Обмежуючись в даному випадку розглядом стаціонарного і ергодичного процесу, можна вважати, що знайдена розподілених на одній реалізації функція характеризує весь процес в цілому.

Опускаючи індекс k, отримуємо остаточний вираз для середньої потужності випадкового процесу

Якщо розглядається випадковий процес з ненульовим середнім значенням то спектральну щільність має бути поданий у формі

Лекція 7.

Спектральна густина СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕСУ

Маючи на увазі під випадковим процесом безліч (ансамбль) реалізацій, необхідно мати на увазі, що реалізацій, що володіє різною формою, відповідають різні спектральні характеристики. Усереднення комплексної спектральної щільності по всіх реалізацій призводить до нульового спектру процесу (при середньому \u003d 0) через випадковість і незалежності фаз спектральних складових в різних реалізаціях. Можна, однак, ввести поняття спектральної щільності середнього квадрата випадкової величини, оскільки величина середнього квадрата не залежить від співвідношення фаз сумміруемих гармонік. Якщо під випадковою функцією x (t) мається на увазі електричну напругу або струм, то середній квадрат цієї функції можна розглядати як середню потужність, що виділяється в опорі 1 Ом. Ця потужність розподілена по частотах в деякій смузі, яка залежить від механізму утворення випадкового процесу. Спектральна щільність середньої потужності являє собою середню потужність, що припадає на 1 Гц при заданій частоті ω . Введену таким чином спектральну щільність S(ω) в подальшому будемо називати енергетичним спектром функції x(t) . Сенс такої назви визначається розмірністю функції S(ω) , Що є відношенням потужності до смуги частот:

[S(ω) ] \u003d [Потужність / смуга частот] \u003d [потужність × час] \u003d [енергія],

Енергетичний спектр можна знайти, якщо відомий механізм утворення випадкового процесу. Тут же ми обмежимося деякими визначеннями загального характеру.

Методи обчислення СПМ

Функції спектральної щільності можна визначати трьома різними еквівалентними способами, які ми розглянемо нижче:

За допомогою коваріаційних функцій;

За допомогою фінітного перетворення Фур'є;

За допомогою фільтрації, зведення в квадрат і усереднення.

Визначення спектрів за допомогою кореляційних функцій.

Історично перший спосіб визначення спектральної щільності з'явився в математиці. Він складається у взятті перетворення Фур'є від попередньо обчисленої кореляційної функції. Після вирахування середніх значень такі (нескінченні) перетворення Фур'є зазвичай існують, навіть якщо (нескінченне) перетворення Фур'є вихідного процесу не існує. Цей підхід дає двосторонню спектральну щільність, певну для частот f від - до + і позначається S(f) .

Нехай існують кореляційні і взаємна кореляційна функції R x(t), R y(t) і R xy(t) . Припустимо також, що кінцеві інтеграли від їх абсолютних величин

R( d

На практиці ці умови завжди виконуються для реалізацій кінцевої довжини. Тоді ПФ функцій R(t) існують і визначаються формулами

S x (f) \u003d

S y (f) \u003d (1)

S xy (f) \u003d

Такі інтеграли по кінцевим реалізацій існують завжди. функції S x(f) і S y(f) називають функціями спектральної щільності процесів x(t) і y(t) відповідно або просто спектральними плотностями, а функцію називають взаємної спектральної щільністю двох процесів x(t) і y(t) .

Зворотні ПФ від формул (1) дають

R x(τ ) =

R y(τ ) = (2)

R xy(τ ) = df.

Співвідношення (1) і (2) називають формулами Вінера-Хинчина, які в 30-і роки незалежно встановили зв'язок між кореляційними функціями і спектральної щільністю через ПФ. При вирішенні практичних завдань доводиться допускати в R(t) і S(f) наявність дельта-функцій.

З властивостей симетрії стаціонарних коваріаційних функцій слід

S x (-f) \u003d S x (f) a S xy (-f) \u003d S yx (f)

Отже, спектральна щільність S x(f) - дійсна парна функція, a S xy(f) - комплексна функція від f.

Тоді спектральні співвідношення з (1) можна перетворити до вигляду

Міжнародна освітня корпорація

Факультет прикладних наук

реферат

на тему«Спектр щільності потужності і його зв'язок з функцією кореляції»

За дисципліною«Теорія електричного зв'язку »

виконала:студент групи

ФПН-РЕіТ (з) -4С *

Джумагельдін Д

перевірила:Глухова Н.В

Алмати, 2015

І Введення

ІІ Основна частина

1. Спектральна щільність потужності

1.1 Випадкові величини

1.2 Щільність ймовірності функції від випадкової величини

2. Випадковий процес

3. Метод визначення спектральної щільності потужності по кореляційної функції

ІІІ Висновок

ІV Список використаної літератури

Вступ

Теорія ймовірностей розглядає випадкові величини і їх характеристики в "статиці". Завдання опису і вивчення випадкових сигналів "в динаміці", як відображення випадкових явищ, що розвиваються в часі або з якоїсь іншої змінної, вирішує теорія випадкових процесів.

В якості універсальної координати для розподілу випадкових величин по незалежній змінній будемо використовувати, як правило, змінну "t" і трактувати її, чисто для зручності, як тимчасову координату. Розподілу випадкових величин в часі, а так само і сигналів їх відображають в будь-який математичної формі, зазвичай називають випадковими процесами. У технічній літературі терміни "випадковий сигнал" і "випадковий процес" використовуються як синоніми.

В процесі обробки і аналізу фізико-технічних даних зазвичай доводиться мати справу з трьома типами сигналів, описуваних методами статистики. По-перше, це інформаційні сигнали, що відображають фізичні процеси, імовірнісні за своєю природою, як, наприклад, акти реєстрації частинок іонізуючих випромінювання при розпаді радіонуклідів. По-друге, інформаційні сигнали, залежні від певних параметрів фізичних процесів або об'єктів, значення яких заздалегідь невідомі, і які зазвичай підлягати визначенню за даними інформаційних сигналів. І по-третє, це шуми і перешкоди, хаотично змінюються в часі, які супроводжують інформаційним сигналам, але, як правило, статистично незалежні від них як за своїми значеннями, так і щодо змін у часі.

Спектральна щільність потужності

Спектральна щільність потужності дозволяє судити про частотних властивостях випадкового процесу. Вона характеризує його інтенсивність при різних частотах або, інакше, середню потужність, що припадає на одиницю смуги частот.

Картину розподілу середньої потужності по частотах називають спектром потужності. Прилад, за допомогою якого вимірюється спектр потужності, називається аналізатором спектру. Знайдений в результаті вимірів спектр називається апаратним спектром.

Робота аналізатора спектра заснована на наступних методах вимірювань:

· Методі фільтрації;

· Методі перетворення по теоремі Вінера-Хінч;

· Методі Фур'є-перетворення;

· Методі з використанням знакових функцій;

· Методі апаратного застосування ортогональних функцій.

Особливість вимірювання спектра потужності полягає в значній тривалості експерименту. Нерідко вона перевищує тривалість існування реалізації, або час, протягом якого зберігається стационарность досліджуваного процесу. Оцінки спектру потужності, одержувані по одній реалізації стаціонарного ергодичного процесу, не завжди прийнятні. Часто доводиться виконувати численні вимірювання, так як необхідно усереднення реалізацій як за часом, так і по ансамблю. У багатьох випадках реалізації досліджуваних випадкових процесів попередньо запам'ятовують, що дозволяє багаторазово повторювати експеримент зі зміною тривалості аналізу, використанням різних алгоритмів обробки і апаратури.

У разі попереднього запису реалізацій випадкового процесу апаратурні похибки можуть бути зменшені до значень, обумовлених кінцевою тривалістю реалізації і нестационарностью.

Запам'ятовування аналізованих реалізацій дозволяє прискорити апаратурний аналіз і автоматизувати його.

випадкові величини

Випадкова величина описується імовірнісними законами. Імовірність того, що безперервна величина х при вимірюванні потрапить в будь-якої інтервал х 1<х <х 2 , Визначається виразом:

, де p (x) - щільність ймовірності, причому. Для дискретної випадкової величини х i P (x \u003d x i) \u003d P i, де P i- ймовірність, відповідна i-му рівню величини х.