Об'ємно - Просторова модель. Класифікація видів моделювання. Динамічні моделі. Приклади побудови динамічних моделей Просторові та динамічні моделі

Просторове об'єднання окремих елементів технічного об'єкта широко поширене завдання проектування в будь-якій галузі техніки: радіоелектроніки, машинобудування, енергетики і т. д. Значною частиною просторового моделювання є візуалізація окремих елементів і технічного об'єкта в цілому алгоритми та програмна реалізація графічних додатків для вирішення цього завдання.

Побудова моделей елементів має універсальний характері і може розглядатися як інваріантна частина багатьох систем просторового моделювання та автоматизованого проектування технічних об'єктів.

Незалежно від можливостей використовуваного графічного середовища характером формування графічних моделей можна виділити три групи елементів:

1.Унікальні елементи, конфігурація та розміри яких не повторюються в інших аналогічних деталях.

2.Уніфіковані елементи, що включають деякий набір Фрагментів конфігурацій, характерних для деталей даного класу. Як правило, існує обмежена низка типорозмірів уніфікованого елемента.

3.Складові елементи, що включають як унікальні, так і уніфіковані елементи у довільному наборі. Використані графічні засоби можуть допускати деяку вкладеність складових елементів.

Просторове моделювання унікальних елементів не становить великої складності. Пряме формування конфігурації моделі виконується в інтерактивному режимі, після чого програмна реалізація оформляється на основі протоколу формування моделі або опису тексту отриманого елемента.

2.Почерговий вибір фрагментів просторової конфігурації та визначення їх розмірів;

3.Прив'язка графічної моделі елемента до інших елементів, технічного об'єкта чи системи;

4.Введення додаткової інформації про елемент, що моделюється

Цей підхід формування моделей уніфікованих елементів забезпечує надійну програмну реалізацію.

Модель складових елементів складається із сукупності моделі як унікальних, і уніфікованих елементів. Процедурно модель складеного елемента будується аналогічно моделі уніфікованого елемента, в якій як графічний фрагмент: виступають готові моделі елементів. Основними особливостями є спосіб взаємної прив'язки моделей, що включаються, і механік об'єднання окремих фрагментів у складовий елемент. Останнє визначається головним чином можливостями інструментальних графічних засобів.

Інтеграція графічного середовища та системи управління базами даних (СУБД) технічної інформації забезпечує відкритість системи моделювання для вирішення інших завдань проектування: попередні конструкторські розрахунки, підбір елементної бази, оформлення конструкторської документації (текстової та графічної) та ін. Структура баз даних (БД) визначається як вимогами графічних моделей і інформаційними потребами супутніх завдань. Як інструментальні засоби можна використовувати будь-яку СУБД, що сполучається з графічним середовищем. Найбільш загальний характер має побудова моделей уніфікованих елементів. На першому етапі в результаті систематизації номенклатури елементів, однотипних за призначенням і складом графічних фрагментів, формується гіпотетичний або вибирається існуючий зразок елемента, що моделюється, що володіє повним набором моделюються частин об'єкта.

Методи інтерполяції за дискретно розташованими точками.

Загальне завдання інтерполяції по точках формулюється так: дано ряд точок (вузлів інтерполяції), положення та значення характеристик у яких відомі, необхідно визначити значення характеристик для інших точок, для яких відоме лише положення. При цьому розрізняють методи глобальної та локальної інтерполяції, і серед них точні та апроксимуючі.

При глобальній інтерполяції на всій території одночасно використовується єдина функція обчислення z = F(x, y).У цьому випадку зміна одного значення (х, у)на вході позначається на всій результуючій ЦМР. При локальній інтерполяції багаторазово застосовують алгоритм обчислення деяких вибірок із загального набору точок, як правило, близько розташованих. Тоді зміна вибору точок позначається лише на результатах обробки невеликої ділянки території. Алгоритми глобальної інтерполяції утворюють згладжені поверхні з невеликою кількістю різких перепадів; вони застосовуються у випадках, якщо ймовірно відома форма поверхні, наприклад тренд. При включенні у процес локальної інтерполяції великої частки загального набору даних вона, власне, стає глобальної.

Точні методи інтерполяції.

Точні методи інтерполяціївідтворюють дані в точках (вузлах), на яких базується інтерполяція, і поверхня проходить через усі точки з відомими значеннями. аналіз сусідства,в якому всі значення моделей, що моделюються, приймаються рівними значенням в найближчій відомій точці. В результаті утворюються полігони Тіссена з різкою зміною значень на кордонах. Такий метод застосовується в екологічних дослідженнях при оцінці зон впливу і більше підходить для номінальних даних.

У методі В-сплайнівбудують шматково-лінійний поліном, що дозволяє створити серію відрізків, які в кінцевому підсумку утворюють поверхню з безперервними першою та другою похідними. Метод забезпечує безперервність висот, ухилів, кривизни. Результуюча ЦМР має растрову форму. Цей метод локальної інтерполяції застосовується, головним чином, для плавних поверхонь і не підходить для поверхонь з чітко вираженими змінами - це призводить до різких коливань сплайну. Він широко використовується в програмах інтерполяції поверхонь загального призначення та згладжування ізолінії при їх малюванні.

У TIN-моделях поверхня в межах кожного трикутника зазвичай представляється площиною. Оскільки для кожного трикутника вона задається висотами трьох його вершин, то в загальній мозаїчній поверхні трикутники для суміжних ділянок точно прилягають по сторонах: поверхня, що утворюється, безперервна. Однак, якщо на поверхні проведені горизонталі, то в цьому випадку вони будуть прямолінійні та паралельні в межах трикутників, а на межах відбуватиметься різка зміна їхнього напрямку. Тому для деяких додатків TIN у межах кожного трикутника будується математична поверхня, що характеризується плавною зміною кутів нахилу на межах трикутників. Аналіз трендів.Поверхня апроксимується многочленом і структура вихідних даних має вигляд функції алгебри, яку можна використовувати для розрахунку значень в точках растру або в будь-якій точці поверхні. Лінійне рівняння, наприклад, z = а + bх + суописує похилу пласку поверхню, а квадратичне z = а + bх+су+dx2 + еху + fy2 -Простий пагорб або долину. Взагалі кажучи, будь-який переріз поверхні т-гопорядку має не більше (т – 1) чергуються максимумів і мінімумів. Наприклад, кубічна поверхня може мати у будь-якому перерізі один максимум та один мінімум. Можливі значні крайові ефекти, оскільки поліноміальна модель надає опуклу поверхню.

Методи ковзного середнього та середнього зваженого на відстанівикористовуються найбільш широко, особливо для моделювання поверхонь, що плавно змінюються. Інтерполовані значення являють собою середню величину значень для пвідомих точок, або середнє, отримане по точках, що інтерполюються, і в загальному випадку зазвичай видаються формулою

Апроксимаційні методи інтерполяції.

Апроксимаційні методи інтерполяціїзастосовуються в тих випадках, коли є певна невизначеність щодо наявних даних про поверхню; в їх основі лежить міркування про те, що в багатьох наборах даних відображається тренд поверхні, що повільно змінюється, на який накладаються місцеві, швидко мінливі відхилення, що призводять до неточностей або помилок у даних. У таких випадках згладжування за рахунок апроксимації поверхні дозволяє зменшити вплив помилкових даних на характер результуючої поверхні.

Методи інтерполяції за ареалами.

Інтерполяція по ареалам полягає у перенесенні даних з одного вихідного набору ареалів (ключового) на інший набір (цільовий) і часто застосовується при районуванні території. Якщо цільові ареали є групуванням ключових ареалів, зробити це просто. Труднощі виникають, якщо межі цільових ареалів не пов'язані з вихідними ключовими.

Розглянемо два варіанти інтерполяції по ареалах: у першому їх результаті інтерполяції сумарне значення інтерполюваного показника (наприклад, чисельності населення) цільових ареалів у повному обсязі не зберігається, у другому - зберігається.

Уявімо, що є дані про чисельність населення для деяких районів із заданими кордонами, і їх потрібно поширити на дрібнішу сітку районування, межі якої загалом не збігаються з першою.

Методика ось у чому. Для кожного вихідного району (ключового ареалу) розраховують щільність населення шляхом поділу загальної кількості мешкаючих на площу ділянки та надають отримане значення центральній точці (центроїду). На основі цього набору точок за допомогою одного з методів, описаних вище, інтерполюється регулярна сітка, для кожного осередку мережі визначається чисельність населення шляхом множення розрахованої густини на площу осередку. Інтерполірована сітка накладається на підсумкову карту, значення по кожному осередку відносяться до меж відповідного цільового ареалу. Потім розраховується загальна чисельність населення кожного із підсумкових районів.

До вад методу можна віднести не зовсім чітку визначеність вибору центральної точки; методи інтерполяції за точками неадекватні, і що найважливіше - не зберігається сумарна величина інтерполюваного показника ключових ареалів (у разі загальної чисельності населення зон перепису). Наприклад, якщо вихідна зона розділена на дві цільові, то загальна кількість населення в них після інтерполяції не обов'язково дорівнюватиме чисельності населення вихідної зони.

У другому варіанті інтерполяції застосовують способи ГІС-технології оверлея або побудови гладкої поверхні, що базується на так званій адаптивній інтерполяції.

У першому способі здійснюють накладення ключових та цільових ареалів, визначають частку кожного з вихідних ареалів у складі цільових, величини показника кожного вихідного ареалу ділять пропорційно площам його ділянок у різних цільових ареалах. Вважається, що щільність показника не більше кожного ареалу однакова, наприклад, якщо показник - це загальне населення ареалу, то щільність населення вважається йому постійної величиною.

Метою другого способу є створення гладкої поверхні без уступів (значення атрибутів не повинні різко змінюватися на межах ареалів) та збереження сумарної величини показника в межах кожного ареалу. Методика його така. На картограму, що представляє ключові ареали, накладають густий растр, загальне значення показника для кожного ареалу порівну ділиться між осередками растру, що перекривають її, значення згладжують шляхом заміни величини для кожного осередку растру середнім по околиці (по вікні 2×2, 3× ×5) і підсумовують значення всіх осередків кожного ареалу. Далі значення для всіх осередків коригують пропорційно так, щоб загальне значення показника для ареалу збігалося з вихідним (наприклад, якщо сума менша від початкового значення на 10%, значення для кожної комірки збільшуються на 10%). Процес повторюють доти, доки не. припиняться зміни.

Для описаного методу однорідність у межах ареалів необов'язкова, але дуже сильні варіації показника у межах можуть відбитися як інтерполяції.

Результати можуть бути представлені на карті горизонталями або безперервними напівтонами.

Застосування методу вимагає завдання деяких граничних умов, так як по периферії вихідних ареалів елементи растру можуть виходити за межі області вивчення або сусідити з ареалами, що не мають значення показника, що інтерполюється. Можна, наприклад, привласнити щільності населення значення 0 (озеро тощо) або прийняти її рівною значенням найдальших від центру осередків області вивчення.

При інтерполяції по ареалах можуть виникнути дуже складні випадки, наприклад, коли потрібно створити карту, що показуватиме «ареали розселення», на основі даних про населення окремих міст, особливо якщо ці ареали в масштабі карти є точкою. Проблема виникає й у невеликих вихідних ареалів, коли відсутні файли кордонів, а даних вказується лише положення центральної точки. Тут можливі різні підходи: заміна точок, до яких приписані дані, на кола, радіус яких оцінюється на відстані до сусідніх центроїдів; визначення порогової густини населення для віднесення території до міської; розподіл населення кожного міста на його території так, що в центрі щільність населення вища, а до околиць зменшується; по точках з граничним значенням показника проводять лінії, що обмежують заселені території.

Часто спроба створити безперервну поверхню за допомогою інтерполяції за ареалами за даними, приуроченими лише до точок, призводить до неправильних результатів.

Користувач зазвичай оцінює успішність застосування методу суб'єктивно та, головним чином, візуально. Досі багато дослідників використовують ручну інтерполяцію або інтерполяцію «на вічко» (цей метод зазвичай невисоко оцінюється географами та картографами, проте широко використовується геологами). В даний час робляться спроби «витягти» пізнання експертів за допомогою методів створення баз знань та ввести їх в експертну систему, яка здійснює інтерполяцію.

Модель називається статичною, коли вхідні та вихідні дії постійні в часі. Статична модельописує встановлений режим.

Модель називається динамічною, якщо вхідні та вихідні змінні змінюються у часі. Динамічна модельвизначає невстановлений режим роботи об'єкта, що вивчається.

Дослідження динамічних властивостей об'єктів дозволяє відповідно до фундаментального принципу визначеності Гюйгенса-Адамара відповісти на питання: як змінюється стан об'єкта при відомих впливах на нього та заданому початковому стані.

Приклад статичної моделі є залежність тривалості технологічної операції від витрат ресурсів. Статична модель описується рівнянням алгебри

Прикладом динамічної моделі є залежність обсягів випуску товарної продукції підприємства від розмірів та строків капітальних вкладень, а також витрачених ресурсів.

Динамічна модель часто описується диференціальним рівнянням

Рівняння пов'язує невідому змінну Yта її похідні з незалежною змінною tта заданою функцією часу Х(t)та її похідними.

Динамічна система може функціонувати у безперервному чи дискретному, квантованому на рівні інтервали, часу. У першому випадку система описується диференціальним рівнянням, тоді як у другому випадку – конечно-разностным рівнянням.

Якщо множини вхідних, вихідних змінних і моментів часу кінцеві, то система описується кінцевим автоматом.

Кінцевий автомат характеризується кінцевим безліччю станів входу; кінцевим безліччю станів; кінцевим безліччю внутрішніх станів; функцією переходів T(x, q), Що визначають порядок зміни внутрішніх станів; функцією виходів P(x, q)що задає стан виходу залежно від стану входу та внутрішнього стану.

Узагальненням детермінованих автоматів є стохастичні автомати, які характеризуються ймовірностями переходів з одного стану до іншого. Якщо функціонування динамічної системи має характер обслуговування заявок, то модель системи будується з використанням методів Теорія масового обслуговування.

Динамічну модель називають стаціонарнийякщо властивості перетворення вхідних змінних не змінюються з часом. Інакше її називають нестаціонарною.

Розрізняють детерміновані та стохастичні (імовірнісні) моделі. Детермінований оператор дозволяє однозначно визначити вихідні змінні за відомими вхідними змінними.

Детермінованістьмоделі означає лише невипадковість перетворення вхідних змінних, які власними силами може бути як детермінованими, і випадковими.

Стохастичний оператор дозволяє визначити за заданим розподілом ймовірностей вхідних змінних та параметрів системи розподіл ймовірностей вхідних змінних.

З погляду вхідних та вихідних змінних моделі класифікують наступним чином:

1. Вхідні змінні поділяють на керованіі некеровані. Перші можуть змінюватись на розсуд дослідника і використовуються об'єктом. Другі непридатні для керування.

2. Залежно від розмірності векторів вхідних та вихідних змінних розрізняють одновимірні та багатовимірнімоделі. Під одномірною моделлю будемо розуміти таку модель, у якої вхідна та вихідна змінні є одночасно скалярними величинами. Багатовимірною називають модель, у якої вектори x(t) та y(t) мають розмірність n³ 2.

3. Моделі, у яких вхідні та вихідні змінні є безперервними за часом і за величиною, називають безперервними. Моделі, у яких вхідні та вихідні змінні дискретні або за часом, або за величиною, називають дискретними.

Зазначимо, що динаміка складних систем багато в чому залежить від рішень, які людина приймає. Процеси, які у складних системах, характеризуються великою кількістю параметрів – більшою тому, що відповідні рівняння і співвідношення аналітично неможливо знайти дозволені. Складні системи, що часто вивчаються, унікальні в порівнянні навіть з аналогічними за призначенням системами. Тривалість експериментів з такими системами зазвичай велика і часто виявляється порівнянною із терміном їхнього життя. Іноді проведення активних експериментів із системою взагалі неприпустимо.

Для складного об'єкта часто неможливим визначити зміст кожного кроку управління. Ця обставина визначає настільки велику кількість ситуацій, що характеризують стан об'єкта, що практично неможливо проаналізувати вплив кожної з них на прийняті рішення. У цій ситуації замість жорсткого алгоритму управління, що на кожному кроці його реалізації деяке однозначне рішення, доводиться використовувати сукупність вказівок, що відповідає тому, що в математиці прийнято називати обчисленням. На відміну від алгоритму в обчисленні, продовження процесу на кожному кроці не є фіксованим і є можливість довільного продовження процесу пошуку рішення. Обчислення та подібні до них системи вивчаються в математичній логіці.

1.5. Концепція побудови системної моделі складних об'єктів

Складні об'єкти є сукупністю окремих конструктивно відокремлених елементів: технологічних агрегатів, транспортних магістралей, електричних приводів і т. д., пов'язаних між собою матеріальними, енергетичними та інформаційними потоками, та взаємодіючих з довкіллямяк ціле. Процеси енергомасообміну, що відбуваються у складних об'єктах, є спрямованими та пов'язані з рухом полів та речовини (теплообмін, фільтрація, дифузія, деформація тощо). Як правило, ці процеси містять несталі стадії розвитку, і управління такими процесами є більше мистецтвом, ніж наукою. Внаслідок цих обставин спостерігається нестабільна якість управління такими об'єктами. Різко зростають вимоги до кваліфікації технологічного персоналу та суттєво збільшується час на його підготовку.

Елементом системи називається деякий об'єкт (матеріальний, енергетичний, інформаційний), що має низку важливих для нас властивостей, внутрішня будова (зміст) якого не становить інтересу з точки зору мети аналізу.

Будемо позначати елементи через М, а всю їхню (можливу) сукупність – через (М). Приналежність елемента до сукупності прийнято записувати.

Зв'язкомназвемо важливий з метою розгляду обмін між елементами: речовиною, енергією, інформацією.

Єдиним актом зв'язку виступає вплив. Позначаючи всі дії елемента M 1 на елемент M 2 через x 12 , а елемента М 2 на М 1 – через x 21 можна зобразити зв'язок графічно (рис. 1.6).

Мал. 1.6. Зв'язок двох елементів

Системоюназвемо сукупність елементів, що має такі ознаки:

а) зв'язками, які дозволяють за допомогою переходів по них від елемента до елемента з'єднати два будь-які елементи сукупності;

б) властивістю (призначенням, функцією), відмінним від властивостей окремих елементів сукупності.

Назвемо ознаку а) складністю системи, б) - її функцією. Застосовуючи так зване "кортежне" (тобто послідовність у вигляді перерахування) визначення системи, можна записати

де Σ - система; ( М} – сукупність елементів у ній; ( x) - сукупність зв'язків; F –функція (нове властивість) системи.

Розглянемо запис як найпростіший опис системи.

Практично будь-який об'єкт із певної точки зору може розглядатися як система. Важливо усвідомлювати, чи корисний такий погляд чи розумніше вважати даний об'єктелементом. Так, системою можна вважати радіотехнічну плату , перетворюючу вхідний сигнал у вихідний. Для фахівця з елементної бази системою буде слюдяний конденсатор у цій платі, а для геолога – і сама слюда, яка має досить складну будову.

Великою системоюназвемо систему, що включає значну кількість однотипних елементів та однотипних зв'язків.

Складною системоюназвемо систему, що складається з елементів різних типів і має різнорідні зв'язки між ними.

Часто складною системою вважають лише ту, що є великою. Різнорідність елементів можна підкреслити записом

Великою, але не складною з точки зору механіки, системою є зібрана зі стрижнів стріла крана або, наприклад, труба газопроводу. Елементами останньої будуть її ділянки між зварними швами чи опорами. Для розрахунків на прогин елементами газопроводу швидше за все будуть вважатися відносно невеликі (близько метра) ділянки труби. Так чинять у відомому методі кінцевих елементів. Зв'язок у разі носить силовий (енергетичний) характер – кожен елемент діє сусідній.

Відмінність між системою, великою системою та складною системою умовна. Так, корпуси ракет чи суден, які здавалося б однорідні, зазвичай відносять до складної системі через наявність перебірок різного виду.

Важливим класом складних систем автоматизовані системи. Слово "автоматизований" вказує на участь людини, використання її активності всередині системи за збереження значної ролі технічних засобів. Так, цех, ділянку, складання можуть бути як автоматизованими, так і автоматичними (“цех-автомат”). Для складної системи автоматизований режим вважається кращим. Наприклад, посадка літака виконується за участю людини, а автопілот зазвичай використовується лише щодо простих рухах. Також типова ситуація, коли рішення, вироблене технічними засобами, затверджується до виконання людиною.

Отже, автоматизованою системоюназивається складна система з визначальною роллю елементів двох типів: а) у вигляді технічних засобів; б) як дій людини. Її символьний запис (порівняй з і)

де M T – технічні кошти, Насамперед ЕОМ; M H –рішення та інша активність людини; М" -інші елементи у системі.

В сукупності ( х)в цьому випадку можуть бути виділені зв'язки між людиною та технікою ( x T - H}.

СтруктуроюСистема називається її розчленування на групи елементів із зазначенням зв'язків між ними, незмінне на весь час розгляду і дає уявлення про систему в цілому.

Зазначене розчленування може мати матеріальну (речову), функціональну, алгоритмічну та іншу основу. Групи елементів у структурі зазвичай виділяються за принципом простих чи слабших зв'язків між елементами різних груп. Структуру системи зручно зображати у вигляді графічної схеми, що складається з осередків (груп) і ліній, що їх з'єднують (зв'язків). Такі схеми називають структурними.

Для символьного запису структури введемо замість сукупності елементів ( М), сукупність груп елементів ( М*)і сукупність зв'язків між цими групами ( x*).Тоді структура системи може бути записана як

Структуру можна отримати з об'єднання елементів у групи. Зазначимо, що функція (призначення) Fсистеми опущена.

Наведемо приклади структур. Речова структура збірного мосту складається з його окремих секцій, що збираються на місці. Груба структурна схема такої системи вкаже лише ці секції та порядок їхнього з'єднання. Останнє і є зв'язки, які тут мають силовий характер. Приклад функціональної структури – це розподіл двигуна внутрішнього згоряння на системи живлення, мастила, охолодження, передачі силового моменту тощо. буд. Приклад системи, де речові та функціональні структури злиті, – це відділи проектного інституту, які займаються різними сторонами однієї й тієї проблеми.

Типовою алгоритмічною структурою буде алгоритм (схема) програмного засобу, Що вказує послідовність дій Також алгоритмічною структурою буде інструкція, що визначає події при відшуканні несправності технічного об'єкта.

1.6. Основні етапи інженерного експерименту, спрямованого вивчення складних об'єктів

Дамо характеристику основних етапів інженерного експерименту, спрямованого вивчення складних об'єктів.

1. Побудова фізичної основи моделі.

Побудова фізичної основи моделі, що дозволяє виділити найбільш істотні процеси, що визначають якість управління та визначити співвідношення детермінованих та статистичних складових у процесах, що спостерігаються. Фізична основа моделі будується з використанням проектування складного об'єкта в різні предметні області, що використовуються для опису досліджуваного об'єкта. Кожна предметна область задає власні системиобмежень на можливі рухи об'єкта. Облік сукупності цих обмежень дозволяє обґрунтувати комплекс моделей і побудувати несуперечливу модель.

Побудова "каркасу" моделі, тобто її фізичної основи, зводиться до опису системи відносин, що характеризують досліджуваний об'єкт, зокрема, законів збереження та кінетики процесів. Аналіз системи відносин, що характеризують об'єкт, дозволяє визначити просторові і тимчасові масштаби механізмів, що ініціюють поведінка процесів, що спостерігається, якісно охарактеризувати внесок статистичного елемента в опис процесу, а також виявити принципову неоднорідність (якщо вона існує!) спостережуваних тимчасових рядів.

Побудова “каркаса” зводиться до встановлення за апріорними даними причинно-наслідкових зв'язків між зовнішніми та внутрішніми факторами, що дестабілізують, та ефективністю роботи системи, а кількісні оцінки цих зв'язків конкретизуються шляхом проведення експериментів на об'єкті. Тим самим гарантується спільність отриманих результатів для всього класу об'єктів, їхня несуперечність по відношенню до раніше отриманих знань і забезпечується зменшення обсягу експериментальних досліджень. "Каркас" моделі повинен будуватися з використанням структурно-феноменологічного підходу, що поєднує дослідження об'єкта за його реакціями на "зовнішні" впливи та розкриття внутрішньої будови об'єкта дослідження.

2. Перевірка статистичної стійкості результатів спостережень та визначення характеру зміни контрольованих змінних.

Емпіричне обґрунтування статистичної стійкості зводиться до дослідження стійкості емпіричного середнього в міру зростання обсягу вибірки (схема серії, що подовжується). Непередбачуваність експериментально отриманих значень, як відомо, не є ні необхідною, ні достатньою умовою застосування теоретико-імовірнісних понять. Необхідною умовою застосування теорії ймовірностей є стійкість усереднених показників вихідних величин. Таким чином, потрібна перевірка з використанням емпіричної індукції статистичної стійкості. n-мірної емпіричної функції розподілу вихідної випадкової величини та розподілу ймовірностей для вибіркових оцінок

3. Формування та перевірка гіпотез про структуру та параметри “руху” досліджуваного об'єкта.

Зазначимо, що, як правило, мотивом для вибору статистичного підходу є відсутність регулярності процесу, хаотичний характер і різкі злами. І тут дослідник неспроможна візуально виявити закономірності у низці спостережень і як його реалізацію випадкового процесу. Підкреслимо, що мова йдепро виявлення найпростіших закономірностей, оскільки виявлення складних закономірностей потрібна спрямована математична обробка результатів спостережень.

4. Прогнозування вихідних змінних виконується з урахуванням вкладу детермінованих та статистичних складових у кінцевий результат.

Зазначимо, що використання прогнозування лише статистичного підходу наштовхується на серйозні труднощі. По-перше, для прийняття рішень, що стосуються мінімізації поточних втрат, важливо знати, не як у середньому розвивається процес, а як він поводитиметься на конкретному відрізку часу. По-друге, у загальному випадку ми маємо завдання прогнозування нестаціонарного, випадкового процесу з математичним очікуванням, що змінюються, дисперсією і самим видом закону розподілу.

5. Планування та реалізація обчислювального експерименту, спрямованого на оцінку регулювальних характеристик об'єкта та очікуваної ефективності системи управління.

Завдання синтезу структури складних систем лише у найпростіших випадках можна вирішити аналітично. Тому виникає потреба в імітаційному моделюванні (ІМ) елементів проектованої системи.

ІМ - це особливий спосіб дослідження об'єктів складної структури, що полягає у відтворенні чисельним чином всіх вхідних та вихідних змінних кожного елемента об'єкта. ІМ дозволяє на етапі аналізу та синтезу структури врахувати не лише статистичні взаємозв'язки між елементами системи, а й динамічні аспекти її функціонування.

Для складання ІМ необхідно:

- Виділити в об'єкті моделювання найпростіші елементи, для яких відомий спосіб розрахунку вихідних змінних;

- Скласти рівняння зв'язку, що описують порядок з'єднання елементів в об'єкті;

- Скласти структурну схему об'єкта;

- Вибрати засоби автоматизації моделювання;

- Розробити програму ІМ;

– провести обчислювальні експерименти з метою оцінки адекватності ІМ, стійкості результатів імітації та чутливості ІМ до змін керуючих та обурювальних впливів;

- Вирішити з використанням моделі завдання синтезу системи управління.

Класифікація видів моделювання може бути проведена з різних підстав. Моделі можна розрізняти за низкою ознак: характером об'єктів, що моделюються, сферам застосування, глибині моделювання. Розглянемо 2 варіанти класифікації. Перший варіант класифікації. По глибині моделювання методи моделювання поділяються на дві групи: матеріальне (предметне) та ідеальне моделювання. Матеріальне моделювання ґрунтується на матеріальній аналогії об'єкта та моделі. Воно здійснюється за допомогою відтворення основних геометричних, фізичних або функціональних характеристик об'єкта, що вивчається. Окремим випадком матеріального моделювання є фізичне моделювання. Окремим випадком фізичного моделювання є аналогове моделювання. Воно засноване на аналогії явищ, що мають різну фізичну природу, але описуються однаковими математичними співвідношеннями. Зразок аналогового моделювання – вивчення механічних коливань (наприклад, пружної балки) за допомогою електричної системи, що описується тими самими диференціальними рівняннями. Так як експерименти з електричною системою зазвичай простіше і дешевше, вона досліджується як аналог механічної системи (наприклад, при вивченні коливань мостів).

Ідеальне моделювання ґрунтується на ідеальній (думковій) аналогії. В економічних дослідженнях (на високому рівніїх проведення, а чи не на суб'єктивних бажаннях окремих керівників) це основний вид моделювання. Ідеальне моделювання, у свою чергу, розбивається на два підкласи: знакове (формалізоване) та інтуїтивне моделювання. При знаковому моделюванні моделями є схеми, графіки, креслення, формули. Найважливішим видом знакового моделювання є математичне моделювання, яке здійснюється засобами логіко-математичних побудов.

Інтуїтивне моделювання зустрічається в тих галузях науки та практики, де пізнавальний процес знаходиться на початковій стадії або мають місце дуже складні системні взаємозв'язки. Такі дослідження називають уявними експериментами. У економіці переважно застосовується знакове чи інтуїтивне моделювання; воно визначає світогляд вчених чи практичний досвід працівників у сфері управління нею. Другий варіант класифікації наведено на рис. 1.3.Відповідно до класифікаційної ознаки повноти моделювання ділиться на повне, неповне та наближене. При повному моделюванні моделі ідентичні об'єкту в часі та просторі. Для неповного моделювання ця ідентичність не зберігається. У основі наближеного моделювання лежить подібність, у якому деякі сторони реального об'єкта не моделюються зовсім. Теорія подібності стверджує, що абсолютна подоба можлива лише при заміні одного об'єкта іншим таким самим. Тому при моделюванні абсолютна схожість не має місця. Дослідники прагнуть того, щоб модель добре відображала лише досліджуваний аспект системи. Наприклад, для оцінки завадостійкості дискретних каналів передачі інформації функціональна та інформаційна модельсистеми можуть розроблятися. Досягнення мети моделювання цілком достатня подієва модель, описувана матрицею умовних ймовірностей ||рij|| переходів i-го символу алфавіту j-й. Залежно від типу носія та сигнатури моделі різняться такі види моделювання: детерміноване та стохастичне, статичне та динамічне, дискретне, безперервне та дискретно-безперервне. Детерміноване моделювання відображає процеси, де передбачається відсутність випадкових впливів. Стохастичне моделювання враховує імовірнісні процеси та події. Статичне моделювання служить для опису стану об'єкта у фіксований час, а динамічний - на дослідження об'єкта у часі. При цьому оперують аналоговими (безперервними), дискретними та змішаними моделями. Залежно від форми реалізації носія моделювання класифікується на уявне та реальне. Уявне моделювання застосовується тоді, коли моделі не реалізовані в заданому інтервалі часу або відсутні умови для їх фізичного створення(Наприклад, ситуація мікросвіту). Уявне моделювання реальних систем реалізується у вигляді наочного, символічного та математичного. Для представлення функціональних, інформаційних та подійних моделей цього виду моделювання розроблено значну кількість засобів та методів. При наочному моделюванні з урахуванням уявлень про реальних об'єктах створюються наочні моделі, що відображають явища і процеси, які у об'єкті. Приклад таких моделей є навчальні плакати, малюнки, схеми, діаграми. В основу гіпотетичного моделювання закладається гіпотеза про закономірності протікання процесу в реальному об'єкті, яка відображає рівень знань дослідника про об'єкт і базується на причинно-наслідкових зв'язках між входом та виходом об'єкта, що вивчається. Цей вид моделювання використовується, коли знань про об'єкт недостатньо для побудови формальних моделей.

Динамічне моделювання – багатокроковий процес, кожен крок відповідає поведінці економічної системи в певний період часу. Кожен поточний крок отримує результати попереднього кроку, який за певними правилами визначає поточний результат та формує дані для наступного кроку.

Таким чином, динамічна модель в прискореному режимі дозволяє досліджувати розвиток складної економічної системи, скажімо, підприємства протягом певного періоду планування в умовах зміни ресурсного забезпечення (сировини, кадрів, фінансів, техніки), та одержання результатів подати у відповідному плані розвитку підприємства на заданий період.

Для вирішення динамічних завдань оптимізації математичного програмування сформувався відповідний клас моделей під назвою динамічне програмування, його засновником став відомий американський математик Р. Беллман. Їм запропоновано спеціальний метод вирішення завдання цього класу на основі «принципу оптимальності», згідно з яким оптимальне вирішеннязавдання знаходиться шляхом її розбиття на nетапів, кожен із яких представляє підзавдання щодо однієї змінної. Розрахунок виконується таким чином, що оптимальний результат однієї підзавдання є вихідними даними для наступного підзавдання з урахуванням рівнянь та обмежень зв'язку між ними, результат останньої є результатом всього завдання. Спільним всім моделей цієї категорії і те, що поточні керуючі рішення " виявляються " як у період, що належить безпосередньо до ухвалення рішення, і у наступні періоди. Отже, найважливіші економічні наслідки виявляються у різні періоди, а чи не лише протягом періоду. Такі економічні наслідки, зазвичай, виявляються суттєвими у випадках, коли йдеться про керуючих рішеннях, що з можливістю нових капіталовкладень, збільшення виробничих потужностей чи навчання персоналу з метою. створення передумов збільшення прибутковості чи скорочення витрат у наступні периоды.

Типовими областями застосування моделей динамічного програмуванняпри прийнятті рішень є:

Розробка правил управління запасами, що встановлюють момент поповнення запасів та розмір замовлення, що поповнює.

Розробка принципів календарного планування виробництва та вирівнювання зайнятості в умовах коливання попиту на продукцію.

Визначення необхідного обсягу запасних частин, що гарантує ефективне використання дорогого обладнання.

Розподіл дефіцитних капітальних вкладень між можливими новими напрямами їхнього використання.

У задачах, що вирішуються методом динамічного програмування, значення цільової функції (оптимізованого критерію) для всього процесу набувають простим підсумовуванням приватних значень fi(x)того ж критерію на окремих кроках, тобто

Якщо критерій (або функція) f(x) має цю властивість, то його називають адитивною (адитивною).

Алгоритм динамічного програмування

1. На вибраному кроці задаємо набір (визначуваний умовами-обмеженнями) значень змінної, що характеризує останній крок, можливі стани системи на передостанньому кроці Для кожного можливого стану та кожного значення вибраної змінної обчислюємо значення цільової функції. З них для кожного результату передостаннього кроку вибираємо оптимальні значення цільової функції та відповідні їм значення змінної, що розглядається. Для кожного результату передостаннього кроку запам'ятовуємо оптимальне значення змінної (або кілька значень, якщо таких значень більше одного) і значення цільової функції. Отримуємо та фіксуємо відповідну таблицю.

2. Переходимо до оптимізації на етапі, що передує попередньому (рух "назад"), відшукуючи оптимальне значення нової змінної при фіксованих знайдених раніше оптимальних значеннях наступних змінних. Оптимальне значення цільової функції наступних кроках (при оптимальних значеннях наступних змінних) зчитуємо з попередньої таблиці. Якщо нова змінна характеризує перший крок, переходимо до п.З. В іншому випадку повторюємо п.2 для наступної змінної.

З. При даному у завданні вихідній умові для кожного можливого значення першої змінної обчислюємо значення цільової функції. Вибираємо оптимальне значення цільової функції, що відповідає оптимальному(им) значенню(ям) першої змінної.

4. При відомому оптимальному значенні першої змінної визначаємо вихідні дані для наступного (другого) кроку і по останній таблиці - оптимальне значення наступної (другої) змінної.

5. Якщо наступна змінна не характеризує останній крок, то переходимо до п.4. Інакше переходимо до п.6.

6.Формуємо (виписуємо) оптимальне рішення.

Список використаної літератури

1. Microsoft Office 2010. Самовчитель. Ю. Стоцький, А. Васильєв, І. Теліна. Пітер. 2011, – 432 с.

2. Фігурнов В.Е. IBM PC для користувача. Вид-е 7-те. - М: Інфра-М, 1995.

3. Левін А. Самовчитель роботи з комп'ютері. М.: Нолідж, 1998, - 624 с.

4. Інформатика: практикум з технології роботи на персональному комп'ютері/ За ред. проф. Н.В.Макаровой - М.: Фінанси та статистика, 1997 р. - 384с.

5. Інформатика: Підручник/За ред. проф. Н.В. Макарової - М.: Фінанси і статистика, 1997 р. - 768 с.

Подібна інформація.

Вступ

динамічний модель математичний

Динамічна модель – теоретична конструкція (модель), що описує зміну (динаміку) станів об'єкта. Динамічна модель може включати опис етапів або фаз або діаграму станів підсистем. Часто має математичний вираз і використовується головним чином у суспільних науках (наприклад, у соціології), що мають справу з динамічними системами, проте сучасна парадигма науки сприяє тому, що дана модельтакож має широке розповсюдженняу всіх наукових науках у т.ч. у природних та технічних.

Економіко-математичні моделі описують економіку у розвитку (на відміну від статичних, що характеризують її стан у певний момент). Існує два підходи до побудови динамічної моделі:

оптимізаційний (вибір оптимальної траєкторії економічного розвитку з безлічі можливих)

описовий, у якого поняття рівноважної траєкторії (т. е. врівноваженого, збалансованого зростання).

Динамічні міжгалузеві моделі, економіко-математичні моделі планових розрахунків, що дозволяють визначати за роками перспективного періоду обсяги виробництва продукції, капітальних вкладень (а також введення в дію основних фондів та виробничих потужностей) за галузями матеріального виробництва в їхньому взаємному зв'язку. У динамічних міжгалузевих моделях на кожен рік планового періоду задаються обсяги та структура "чистого" кінцевого продукту (особистого та громадського споживання, накопичення оборотних фондів та державних резервів, експортно-імпортного сальдо, капітальних вкладень, не пов'язаних із збільшенням виробництва у аналізованому періоді), а також обсяг і структура основних фондів початку періоду. У динамічних міжгалузевих моделях, крім коефіцієнта прямих витрат, властивих статичним міжгалузевим моделям, запроваджують спеціальні коефіцієнти, що характеризують матеріально-речову структуру капітальних вкладень.

За типом використовуваного математичного апарату динамічні міжгалузеві моделі поділяються на балансові та оптимальні. Балансові динамічні міжгалузеві моделі можуть бути представлені як у формі системи лінійних рівнянь, так і у формі лінійних диференціальних чи різницевих рівнянь. Балансові динамічні міжгалузеві моделі розрізняють також за лагою (розрив у часі між початком будівництва та пуском в експлуатацію побудованого об'єкта). Для оптимальних динамічних міжгалузевих моделей характерні наявність певного критерію оптимальності, заміна системи лінійних рівнянь системою нерівностей, запровадження спеціальних обмежень за трудовими та природними ресурсами.

Динамічні фізичні та віртуальні об'єкти існують об'єктивно. Це означає, що ці об'єкти функціонують відповідно до деяких законів, незалежно від того, чи знає та розуміє їхня людина чи ні. Наприклад, для керування автомобілем зовсім не обов'язково знати, як працює двигун, що в ньому відбувається і чому це призводить до руху автомобіля, якщо натискати на газ або повертати кермо. Але якщо людина передбачає не керувати автомобілем, а сконструювати систему керування ним, то знання та розуміння процесів динаміки вже зовсім необхідне.

Динамічні об'єкти та їх лінійні моделі щільно досліджувалися та аналізувалися протягом більш як двох століть багатьма вченими та інженерами. Результати цих досліджень та аналізу і видаються нижче якісно в концентрованому вигляді, оскільки це сприймається автором. Насамперед, це відноситься до лінійних моделей динамічних систем, їх класифікації, опису їх властивостей та галузі спроможності.

Крім того, далі обговорюються деякі властивості нелінійних систем. Слова, терміни " динамічний " , " динамічний " міцно і широко увійшли до різних галузей знань людини, використовуються у побуті, як емоційний епітет енергійного руху на широкому значенні цього терміну, синонім швидких змін. У запропонованій роботі термін " динамічний " буде використано у його вузькому і безпосередньому значенні, що означає " силовий " , тобто. динамічний об'єкт - це об'єкт, схильний до зовнішнього впливу, що призводить до руху в широкому значенні цього слова.

1. Динамічні моделі: поняття, види

Динамічний об'єкт - це фізичне тіло, технічний пристрійабо процес, що має входи, точки можливого застосування зовнішніх впливів, що сприймають ці впливи, і виходи, точки, значення фізичних величин у яких характеризують стан об'єкта. Об'єкт здатний реагувати на зовнішні дії зміною свого внутрішнього стану та вихідних величин, що характеризують його стан. Вплив на об'єкт, та її реакція у випадку змінюються з часом, вони наблюдаемы, тобто. можуть бути виміряні відповідними приладами. Об'єкт має внутрішню структуру, що складається з динамічних елементів, що взаємодіють.

Якщо вчитатися і вдуматися в наведене вище несуворе визначення, можна побачити, що окремо динамічний об'єкт у "чистому" вигляді, як річ у собі, не існує: для опису об'єкта модель повинна містити ще 4 джерела впливів (генератори):

середовище та механізм подачі на нього цих впливів

об'єкт повинен мати протяжність у просторах

функціонувати у часі

моделі повинні бути вимірювальні пристрої.

Впливом на об'єкт може бути деяка фізична величина: сила, температура, тиск, електрична напруга та інші фізичні величини або сукупність кількох величин, а реакцією, відгуком об'єкта на вплив, може бути рух у просторі, наприклад, зміщення або швидкість, зміна температури, сили струму та ін.

Для лінійних моделей динамічних об'єктів справедливий принцип суперпозиції (накладення), тобто. реакція на сукупність впливів дорівнює сумі реакцій кожне їх, а масштабному зміни впливу відповідає пропорційне зміна реакцію нього. Один вплив може бути доданий до кількох об'єктів або кількох елементів об'єкта.

Поняття динамічний об'єкт містить і висловлює причинно-наслідковий зв'язок між впливом на нього та його реакцією. Наприклад, між силою, прикладеною до масивного тіла, і його положенням і рухом, між електричною напругою, прикладеною до елемента, і струмом, що протікає в ньому.

У загальному випадку динамічні об'єкти є нелінійними, у тому числі вони можуть володіти і дискретністю, наприклад, швидко змінювати структуру при досягненні впливом деякого рівня. Але зазвичай більшу частину часу функціонування динамічні об'єкти безперервні у часі і за малих сигналів вони лінійні. Тому нижче основна увага буде приділена саме лінійним безперервним динамічним об'єктам.

Приклад безперервності: автомобіль, що рухається дорогою -безперервно функціонує у часі об'єкт, його становище залежить від часу безперервно. Значну частину часу автомобіль може розглядатися як лінійний об'єкт, об'єкт, що функціонує в лінійному режимі І лише при аваріях, зіткненнях, коли, наприклад, автомобіль руйнується, потрібен опис його як нелінійного об'єкта.

Лінійність і безперервність у часі вихідний величини об'єкта просто зручний приватний, але важливий випадок, що дозволяє просто розглянути значну кількість властивостей динамічного об'єкта.

З іншого боку, якщо об'єкт характеризується процесами, що протікають у різних масштабах часу, то у багатьох випадках допустимо та корисно замінити найшвидші процесиїх дискретною у часі зміною.

Дана робота присвячена, перш за все, лінійним моделям динамічних об'єктів при детермінованих впливах. Гладкі детерміновані впливи довільного виду можуть бути генеровані шляхом дискретної, порівняно рідкісної адитивної дії на молодші похідні впливи дозованими дельта -функціями. Такі моделі заможні при порівняно малих впливах для широкого класу реальних об'єктів. Наприклад, саме так формуються сигнали управління в комп'ютерних іграх, що імітує керування автомобілем або літак з клавіатури. Випадкові дії поки що залишаються за рамками розгляду.

Спроможність лінійної моделі динамічного об'єкта визначається, зокрема тим, що його вихідна величина досить гладкою, тобто. чи є вона і кілька її молодших похідних за часом безперервними. Справа в тому, що вихідні величини реальних об'єктів змінюються досить плавно у часі. Наприклад, літак не може миттєво переміститися з однієї точки простору до іншої. Більше того, він, як і будь-яке масивне тіло, не може стрибком змінити свою швидкість, на це знадобилася б нескінченна потужність. Але прискорення літака чи автомобіля може змінюватися стрибком.

Поняття динамічний об'єкт не всебічно визначає фізичний об'єкт. Наприклад, опис автомобіля як динамічного об'єкта дозволяє відповісти на питання, як швидко він розганяється і гальмує, як плавно рухається нерівною дорогою і купиною, які впливи будуть відчувати водій і пасажири машини при русі дорогою, на яку гору він може піднятися і т.д. п. Але в такій моделі байдуже, який колір у автомобіля, не важлива його ціна та ін., остільки вони не впливають на розгін автомобіля. Модель повинна відображати головні з погляду деякого критерію або сукупності критеріїв властивості об'єкта, що моделюється, і нехтувати другорядними його властивостями. Інакше вона буде надмірно складною, що ускладнить аналіз властивостей, що цікавлять дослідника.

З іншого боку, якщо дослідника цікавить саме зміна у часі кольору автомобіля, викликане різними чинниками, наприклад сонячним світлом чи старінням, те й цього випадку може бути складено і вирішено відповідне диференціальне рівняння.

Реальні об'єкти, як та його елементи, які також можна як динамічні об'єкти, як сприймають впливу деякого джерела, а й самі впливають цей джерело, протидіють йому. Вихідна величина об'єкта управління у часто є вхідний іншого, наступного динамічного об'єкта, яка також, своєю чергою, може проводити режим роботи об'єкта. Т.о. зв'язки динамічного об'єкта із зовнішнім, стосовно нього світом, двоспрямовані.

Часто, при вирішенні багатьох завдань, розглядається поведінка динамічного об'єкта тільки в часі, а його просторові характеристики, у випадках, якщо вони безпосередньо не цікавлять дослідника, не розглядаються та не враховуються, за винятком спрощеного обліку затримки сигналу, яка може бути обумовлена ​​часом поширення впливу у просторі від джерела до приймача.

Динамічні об'єкти описуються диференціальними рівняннями (системою диференціальних рівнянь). Багато практично важливих випадках це лінійне, звичайне диференціальне рівняння (ОДУ) чи система ОДУ. Різноманітність видів динамічних об'єктів визначає високу значимість диференціальних рівнянь як універсального математичного апарату їх опису, що дозволяє проводити теоретичні дослідження (аналіз) цих об'єктів і на основі такого аналізу конструювати моделі та будувати корисні для людей системи, прилади та пристрої, пояснювати пристрій навколишнього світу, принаймні у масштабах макросвіту (не мікро- і не мега-).

Модель динамічного об'єкта заможна, якщо вона є адекватною, відповідає реальному динамічному об'єкту. Ця відповідність обмежується деякою просторово-часовою областю та діапазоном впливів.

Модель динамічного об'єкта реалізована, якщо можна побудувати реальний об'єкт, поведінка якого під впливом впливів в деякій просторово-часовій області та при деякому класі та діапазоні вхідних впливів відповідає поведінці моделі.

Широта класів, різноманіття структур динамічних об'єктів може викликати припущення, що вони разом мають незліченним набором властивостей. Однак спроба охопити і зрозуміти ці властивості, і принципи роботи динамічних об'єктів, у всьому їхньому різноманітті зовсім не така безнадійна.

Справа в тому, що якщо динамічні об'єкти адекватно описуються диференціальними рівняннями, а це саме так, то сукупність властивостей, що характеризують динамічний об'єкт будь-якого роду, визначається сукупністю властивостей, що характеризують його диференціальне рівняння. Можна стверджувати що принаймні для лінійних об'єктів таких основних властивостей існує досить обмежене і порівняно невелике число, а тому обмежений і набір основних властивостей динамічних об'єктів. Спираючись на ці властивості та комбінуючи елементи, що володіють ними, можна побудувати динамічні об'єкти з найрізноманітнішими характеристиками.

Отже, основні властивості динамічних об'єктів виведені теоретично з їхньої диференціальних рівнянь і співвіднесені з поведінкою відповідних реальних об'єктів.

Динамічний об'єкт -це об'єкт, що сприймає змінюються в часі зовнішні дії та реагує на них зміною вихідної величини. Об'єкт має внутрішню структуру, що складається з динамічних елементів, що взаємодіють. Ієрархія об'єктів обмежена знизу найпростішими моделями та спирається на їх властивості.

Впливом на об'єкт, як та її реакцією, є фізичні, вимірювані величини, може бути і сукупність фізичних величин, математично описувана векторами.

При описі динамічних об'єктів за допомогою диференціальних рівнянь неявно передбачається, що кожен елемент динамічного об'єкта отримує і витрачає стільки енергії (таку потужність), скільки йому потрібно для нормальної роботи відповідно до його призначення з відгуку на впливи, що поступають. Частина цієї енергії об'єкт може отримувати від вхідного впливу і це описується диференціальним рівнянням явно, інша частина може надходити від сторонніх джерелй у диференціальному рівнянні не фігурувати. Такий підхід суттєво спрощує аналіз моделі, не спотворюючи властивостей елементів та всього об'єкта. При необхідності процес обміну енергією із зовнішнім середовищем може бути докладно описаний у явній формі і це будуть також диференціальні та рівняння алгебри.

У окремих випадках джерелом всієї енергії (потужності) для вихідного сигналу об'єкта є вхідний вплив: важіль, розгін масивного тіла силою, пасивна електричний ланцюгта ін.

В загальному випадку вплив може розглядатися як керуючий потоками енергії для отримання необхідної потужності вихідного сигналу: підсилювач синусоїдального сигналу, ідеальний підсилювач і ін.

Динамічні об'єкти, як і їх елементи, які також можна розглядати як динамічні об'єкти, не тільки сприймають вплив від його джерела, а й самі впливають на це джерело: наприклад, у класичній механіці це виражається принципом, сформульованим у третьому законі Ньютона: дія одно протидії, в електротехніці напруга джерела є результатом встановлення динамічної рівноваги між джерелом і навантаженням. Т.о. зв'язки динамічного об'єкта із зовнішнім, по відношенню до нього світом, двоспрямовані.

Фактично, все елементи динамічного об'єкта є двунаправленными, як і сам об'єкт стосовно зовнішнім об'єктам. Це випливає з узагальнення третього закону Ньютона, сформульованого ним для механіки: сила протидії тіла дорівнює силі на нього іншим тілом і направлена ​​назустріч їй, а хімії також формулюється як принципу Ле Шателье. Узагальнюючи можна сказати: вплив одного динамічного елемента в інший зустрічає протидія деякого виду. Наприклад, електричне навантаження джерела напруги протидіє струмом, змінюючи значення напруги на виході джерела. У випадку протидія навантаження впливає режим роботи джерела, та його поведінка визначається результаті, якщо це можливо, переходом у деяке динамічне рівновагу.

У багатьох випадках потужність джерела впливу значно більша за потрібну вхідну потужність приймача, яким є динамічний об'єкт. У цьому випадку динамічний об'єкт практично не впливає на режим роботи джерела (генератора) і зв'язок може розглядатись як односпрямований від джерела до об'єкта. Така односпрямована модель елемента, що ґрунтується на раціональному фізичному структуруванні об'єкта, суттєво спрощує опис та аналіз системи. Власне, багато технічних об'єктів, хоч і далеко не все ж таки, будуються саме за таким принципом, зокрема при проектуванні систем для вирішення завдань управління. В інших випадках, наприклад при вирішенні задачі, коли потрібне отримання максимального ккд двигуна, протидією знехтувати не можна.

Деталізуючи структуру динамічного об'єкта можна дійти елементарним, умовно не спрощеним об'єктам. Такі об'єкти описуються найпростішими рівняннями алгебри і диференціальними. Фактично такі елементи у свою чергу можуть мати складну структуру, проте зручніше при моделюванні сприймати їх як єдине ціле, властивості якого визначаються цими порівняно простими рівняннями, що пов'язують реакцію з впливом.

1.1 Фізичні моделі

Так називають збільшений або зменшений опис об'єкта або системи. Відмінна характеристика фізичної моделі полягає в тому, що в певному сенсі вона виглядає як цілісність, що моделюється.

Найбільш відомим прикладом фізичної моделі є копія літака, що конструюється, виконана з повним дотриманням пропорцій, скажімо 1:50. На одному з етапів розробки літака нової конструкції виникає потреба перевірити його основні аеродинамічні параметри. З цією метою підготовлену копію продувають у спеціальній (аеродинамічній) трубі, а отримані показання потім ретельно досліджують. Вигідність такого підходу цілком очевидна. І тому всі провідні літакобудівні компанії використовують подібні фізичні моделі при розробці кожного нового літального апарату.

Часто в аеродинамічній трубі поміщають зменшені копії багатоповерхових будівель, імітуючи при цьому троянду вітрів, характерну для тієї місцевості, де передбачається їх будівництво. Користуються фізичними моделями та в кораблебудуванні.

1.2 Математичні моделі

Так називають моделі, що використовують для опису властивостей та характеристик об'єкта чи події математичні символи та методи. Якщо деяку проблему вдається перенести на мову формул, вона сильно спрощується. Математичний підхід простий ще й тому, що він підкоряється цілком певним жорстким правилам ,які не можна скасувати указом чи іншим способом. Складність нашого життя якраз і полягає в тому, що багато, що в ньому трапляється, нерідко вільне від умовностей. Математика має справу зі спрощеним описом явищ. Фактично, будь-яка формула (чи сукупність формул) є певний етап у побудові математичної моделі. Досвід показує, що збудувати модель (написати рівняння) досить легко. Важко в цій модельній і, отже, спрощеній формі зуміти передати суть явища, що вивчається.

Будь-який функціональний елемент реального об'єкта має свою структуру, його можна, як і весь об'єкт, подумки чи фізично поділити на взаємодіючі елементи. Елементарний динамічний об'єкт це раціонально обраний елемент реального об'єкта, що умовно вважається неподільним, що володіє як ціле деякою фундаментальною властивістю, наприклад інерцією, і з достатнім ступенем точності описується найпростішим алгебраїчним або диференціальним рівнянням.

Найважливіша, фундаментальна властивість динамічних об'єктів — це їхня інерційність. Фізично інерційність виявляється у тому, що об'єкт не відразу, а поступово реагує на зовнішні впливу, а відсутність зовнішнього впливу прагне зберегти свій стан і поведінку. Математично інерція виявляється у тому, що вихідна величина реального об'єкта є безперервною у часі величиною. Більш того, деякі молодші похідні вихідний величини теж повинні бути безперервними, вони не можуть змінюватися стрибком при обмежених за потужністю впливах, у тому числі і стрибків, що змінюються, ступінчасто в часі.

Найпростіші інерційні динамічні об'єкти -кінедіни .Це елементарні об'єкти, що подумки або фізично виокремлюються зі структури складного об'єкта і з достатнім ступенем точності підпорядковуються найпростішим диференціальним рівнянням різних порядків. Такі моделі заможні, принаймні, в деякій просторово-часовій області та обмеженому діапазоні величин сигналів.

Математичний опис інерції динамічного об'єкта, об'єкта, що відповідає деякому диференціальному рівнянню, полягає в тому, що вплив позначається на реакції об'єкта опосередковано, він безпосередньо впливає на ту чи іншу похідну реакції за часом або відразу на кілька з них. Це і призводить до того, що реакція проявляється лише з часом.

Такий опис відповідає поведінці реальних об'єктів. Наприклад, при миттєвій подачі деякого, порівняно малого, що не змінюється після подачі впливу на елементарний об'єкт другого порядку, наприклад сили на інерційну масу, об'єкт залишається деякий, нехай мале, час у тому ж стані, що і до подачі, має ту ж швидкість, що й раніше.

Але друга похідна, тобто. прискорення, що стрибає стрибком, пропорційно величині прикладеної сили. І, тому, лише з часом, а чи не відразу, наявність другої похідної проявляється у зміні швидкості, отже, у подальшому, і становищі тіла у просторі.

1.3 Аналогові моделі

Так називають моделі, що представляють досліджуваний об'єкт аналогом, який веде себе як реальний об'єкт, але не виглядає як такий.

Наведемо два досить характерні приклади.

Приклад 1. Графік, що ілюструє співвідношення між витраченими зусиллями та результатами, є аналоговою моделлю. Графік на рис. 1.1 показує, як кількість часу, відведена студентом для підготовки до іспиту, впливає його результат.

Мал. 1.1. Графік, що ілюструє співвідношення між витраченими зусиллями та результатами

Приклад 2. Припустимо, що потрібно знайти найбільш економічний спосіб для регулярних відомих поставок товарів у три міста, збудувавши для цього лише один склад. Основна вимога: місце для складу має бути таким, щоб повні транспортні витрати були найменшими (вважається, що вартість кожного перевезення дорівнює добутку відстані від складу до пункту призначення на загальну вагу товарів, що перевозяться, і вимірюється в тонна-кілометрах).

Наклеїмо карту місцевості на аркуш фанери. Потім у місці знаходження кожного міста пропиляємо наскрізні отвори, пропустимо через них нитки та прив'яжемо до них вантажі, пропорційні запитам товарів до цього міста (рис. 1.2). Зв'яжемо вільні кінці ниток в один вузол і відпустимо. Під дією сили тяжіння система прийде у стан рівноваги. Те місце на аркуші фанери, яке при цьому займе вузол, і відповідатиме оптимальному розташуванню складу (рис. 1.3).

Зауваження. Вартість доріг, які доведеться побудувати заново, ми для простоти міркувань не приймаємо.

Мал. 1.2. Карта місцевості на аркуші фанери

Мал. 1.3. Оптимальне розташування складу

2. Побудова математичних моделей дискретних об'єктів

2.1 Модель населення

Цікаво, що побудувати математичну модель часто дуже легко. Нерідко для цього використовуються найпростіші та легкозрозумілі припущення. Опишемо, як це можна зробити, на одному майже реальному прикладі. Уявімо наступну картину. Середина XVIII ст. центральна Європа ,парафія в глибинці, церква, парафіяни - жителі навколишніх сіл, парафіяльний священик зауважує, що храм став тісний для богослужінь: зросла кількість парафіян. Священик розмірковує: якщо кількість парафіян збільшуватиметься і в майбутньому, то доведеться будувати нову церкву, для чого знадобляться кошти, і чималі.

Священик розуміє, що термін, за який має бути збудований храм, і його розміри багато в чому залежать від того, як саме буде змінюватись кількість навколишніх мешканців. І вирішує спробувати розрахувати це. Спробуємо і ми викласти можливий перебіг його міркувань, користуючись сучасними позначеннями та мовою.

Позначимо через їх кількість парафіян до кінця n-го року. Їх чисельність за рік, тобто. до кінця (n + 1)-го року, природно позначити через х n+1 .Тоді зміну чисельності за цей рік можна описати різницею

Воно відбувається з двох природних причин - люди народжуються і вмирають (для простоти вважатимемо, що вірус міграцій цю місцевість тоді ще не вразив). Визначити кількість народжених та кількість померлих за рік за парафіяльними книгами особливих труднощів не становить. Підраховуючи кількість народжених і померлих у різні роки, священик вирішує зіставити отримані числа і d1,...,dk із загальним числом парафіян за ці роки x1,..,xk, і зауважує, що відносини x1,...,xk рік від роки різняться дуже мало. Те саме стосується і відносин

Для простоти розрахунків вважатимемо ці відносини постійними і позначимо їх через? і? відповідно. Тим самим кількість народжених у n-му роцівиявляється рівним, число померлих - xn, а зміна чисельності з природних причин становить + xn -? xn.

В результаті ми приходимо до співвідношення? xn =? xn -? xn або докладніше:

xn+1=xn+?xn-?xn

Покладемо? = 1 +? -?. Тоді цікава для нас формула набуде вигляду

Модель збудована.

Спробуємо розібратися тепер із тим, що сталося, т. е. проаналізувати побудовану модель. Можливі три випадки:

1)?>1(?=?-?>0 -народжується більше, ніж вмирає) і чисельність парафіян зростає з року в рік,

2)?=1 (?=?-?=0 -вмирає стільки ж, скільки народжується) і чисельність парафіян з року в рік залишається незмінною,

3)?<0 (?=?-?<0 -вмирає більше, ніж народжується) і чисельність парафіян неухильно знижується.

Так як спонукальний мотив для побудови моделі було бажання дізнатися, як швидко зростатиме число парафіян, почнемо з розгляду випадку 1.

Випадок 1. Отже, чисельність парафіян зростає. Але як, наскільки швидко? Тут саме час коротко згадати повчальну історію (сумну притчу) про невідомого винахідника шахів. Кажуть, що гра дуже сподобалася багатому та всесильному магараджі, який одразу вирішив нагородити винахідника і щедро запропонував вибрати винагороду йому самому. Той, як розповідають, змахнувши фігури з шахівниці, поклав на 1-у клітку одне пшеничне зернятко, на 2-ю -два зернятка, на 3-ю -чотири зернятка, на 4-ту -вісім зернят (рис. 2.1) і запропонував магараджі, щоб він віддав розпорядження слугам викладати зерна пшениці на інші клітини шахівниці за запропонованим законом, тобто так: 1,2,4,8,16,…,263.

Мал. 2.1. Завдання про шахову дошку та нагороду магараджі

Магараджу це просте прохання майже образило, і він погодився виконати її далеко не одразу. Але винахідник наполягав. Магараджа наказав. І слуги відразу кинулися виконувати це "легке" завдання. Чи треба казати, що виконати розпорядження магараджі їм не вдалося. Справа в тому, що загальна кількість зерен пшениці на шахівниці довелося бути рівним 2 64 - 1,що набагато перевищує вирощуване зараз у всьому світі за рік. Закінчимо притчу дуже коротко: магараджа опинився в незвичному собі становищі -він прилюдно дав обіцянку і не зміг її виконати. Винного, втім, одразу й знайшли. Можливо, саме тому історія не зберегла імені винахідника шахів. Спробуємо, однак, зобразити на графіку, як швидко зростає число зерен у кожній наступній клітині, для більшої наочності з'єднуючи сусідні точки (рис. 2.2).

Мал. 2.2-2.3. Експоненційна зміна чисельності

Правило, запропоноване винахідником шахів, X n+1 =2x n є окремим випадком формули (1) при ?=2 і, як і і вона, визначає закон, слідуючи якому ми отримуємо послідовність чисел, які утворюють геометричну прогресію. За будь-якого ?>1картинка, що ілюструє зміну x n ,має схожий вигляд - x n зростатиме експоненційно. У 1820 р. у Лондоні Т.Р. Мальтусом було опубліковано працю "Principles of political economy (з російського перекладу)". -" Досвід закону населення ... " Т. 1-2. СПб., 1868), у якій, зокрема, йшлося у тому, що з біологічних особливостей людей населення має тенденцію розмножуватися за законом геометричної прогресії,

x n=1 =?x n, ?>1,

у той час як засоби існування можуть збільшуватися лише за законом арифметичної прогресії, n+1 =y n +d ,d>0. Така різниця у швидкості зміни величин, безпосередньо пов'язаних із проблемами виживання популяції (рис. 2.3) ,не могло залишитися непоміченим і викликало досить жорстку критику і політизовану полеміку у відповідних колах. Спробуємо витягти із самого факту критики корисний нам висновок про адекватність побудованої моделі (1). Зрозуміло, за спроби спрощеного опису ситуації деякими обставинами доводиться нехтувати, вважаючи їх несуттєвими. Однак єдиного погляду на те, що саме суттєво, а що не дуже, мабуть, немає. Можна, наприклад, не зважати на те, що почався дощик. Але погодьтеся, що одна справа пробігти під дощом, що накрапує, сотню метрів, і зовсім інша -годинна прогулянка під таким дощем без парасольки. Щось аналогічне ми спостерігаємо і тут: при розрахунку на 3-4 роки вперед формула (1) працює досить добре, але довгостроковий прогноз, що базується на ній, виявляється помилковим.

Важливий висновок. Пропонуючи побудовану або обрану вами модель, ви неодмінно повинні вказати межі, в яких нею можна користуватися, і попередити, що порушення цих обмежень може призвести (і, швидше за все, призведе) до серйозних помилок. Коротко кажучи, кожна модель має свій ресурс. Купуючи блузку або сорочку, ми звикли до наявності міток, на яких вказані максимально допустима температура прасування, дозволені види прання і т. п. Це, звичайно, жодною мірою не означає, що вам забороняється, взявши до червоного розпечену праску, пройтися їм раз -інший по тканині. Таке ви можете зробити. Але ось чи захочете ви носити блузку чи сорочку після такого прасування? Випадок 2. Чисельність населення змінюється (рис. 2.4). Випадок 3. Населення вимирає (рис. 2.5).

Мал. 2.4. Графік населення при незмінній чисельності

Мал. 2.5. Графік населення за меншої чисельності

Ми навмисне дуже докладно зупинилися на описі моделі народонаселення, по-перше, тому, що вона є однією з перших подібних моделей, і, по-друге, щоб на її прикладі показати, через які основні етапи проходить вирішення завдання побудови математичної моделі.

Примітка 1. Найчастіше, описуючи цю модель населення, залучають її диференціальний варіант: x =?x (тут х = x (t) -залежить від часу чисельність популяції, х " -похідна за часом, ?-постійна величина).

Примітка 2. При більших значеннях конкурентна боротьба за кошти існування призводить до зменшення ?,і ця жорстка модель повинна бути замінена м'якшою моделлю: x =?(x)x ,у якій коефіцієнт ?залежить від чисельності населення. У найпростішому випадку ця залежність описується так:

?(x)=a-bx

де а і b -постійні числа, а відповідне рівняння набуває вигляду

x=ax-bx 2

І ми приходимо до складнішої, так званої логістичної моделі, яка описує динаміку популяції вже досить добре. Аналіз логістичної кривої (рис. 2.6) дуже повчальний, та її проведення може бути цікаво читачеві. Логістична модель добре описує інші процеси, наприклад ефективність реклами.

Мал. 2.6. Логістична крива

2.2 Модель хижак – жертва

Вище розповідалося про безперешкодне розмноження популяції. Однак у реальних обставинах населення співіснує коїться з іншими популяціями, перебуваючи із нею у різних відносинах. Тут ми коротко розглянемо антагоністичну пару хижака -жертва (це може бути і пара рись -заєць і пара сонечко -і спробуємо простежити, як може змінюватися згодом чисельність обох взаємодіючих сторін. Населення жертви може існувати як така, тоді як населення хижака - лише рахунок жертви. Позначимо чисельність популяції жертви через х, а чисельність популяції хижака через у. За відсутності хижака жертва розмножується відповідно до рівняння x =ax ,a>0 ,а хижак без жертви вимирає за законом y =-?y ,?>0.Хижак з'їдає тим більше жертви, що більше і чим більше він сам. Тому за наявності хижака чисельність жертви змінюється згідно із законом

x =ax- ?xy, ?>0

З'їдена кількість жертви сприяє розмноженню хижака, що можна записати так: y =-?y +?xy , ?>0.

Таким чином, ми отримуємо систему рівнянь

x=ax- ?xy

y=- ?y +?xy

причому x?0, y?0.

Модель хижака -жертва збудована.

як і в попередньої моделі, найбільший інтерес для нас становить точка рівноваги (х *, у *), де х * і у * -відмінне від нуля рішення системи рівнянь

ax-?xy =0

Y+ ?xy =0

Або x(a- ?y )=0, y(- ?+?x )=0

Ця система виходить із умови стабільності чисельності обох популяцій x=0, y =0

Координати точки рівноваги -вона є точкою перетину прямих

a-?y =0 (2)

?+?x =0 (3)

легко обчислюються:

, (Мал. 2.7).

Мал. 2.7. Розв'язання системи рівнянь

Початок координат О(0,0) лежить у позитивній напівплощині щодо горизонтальної прямої, що задається рівнянням (2), а відносно вертикальної прямої, що задається рівнянням (3), негативної напівплощини (рис. 2.8). Тим самим перша чверть (а нас цікавить тільки вона, тому що х>0 і у>0) розбивається на чотири області, які зручно позначити так: 1-(+,+), 2-(-,+), 3-( -,-), 4-(+,-).

Мал. 2.8. Розбиття області рішень на квадранти

Нехай початковий стан Q(x0, y0) перебуває у IV. Тоді виконані нерівності?-?y0>0, -?+?x0<0? из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке должны быть разных знаков, x>0, y<0 и, значит, величина х должна возрастать, а величина убывать.

Подібним чином аналізуючи поведінка х і в областях 2, 3 і 4, отримаємо в результаті картину, зображену на рис. 2.9.

Мал. 2.9. Зміна x та y за квадрантами

Тим самим початковий стан Q призводить до періодичного коливання чисельності як жертви, так і хижака, так що після якогось часу система знову повертається в стан Q (рис. 2.10).

Мал. 2.10. Циклічність коливань чисельності хижака та жертви

Як свідчать спостереження, попри свою простоту, запропонована модель якісно чітко відбиває коливальний характер чисельності у системі хижак - жертва (рис. 2.11).

Мал. 2.11. Коливання систем Заєць - Рись і Тля - Сонечко

Реальні спостереження. Втручатися у дії незрозумілих нам законів природи іноді досить небезпечно -застосування інсектицидів (якщо тільки вони не знищують комах практично повністю) зрештою призводить до збільшення популяції тих комах, чисельність яких перебуває під контролем інших комах-хижаків. Попелиця, що випадково потрапила в Америку, поставила під загрозу все виробництво цитрусових. Незабаром туди був завезений її природний ворог -сонечко, яке негайно взялося за справу і сильно скоротило популяцію попелиці. Щоб прискорити процес знищення, фермери застосували ДДТ, але в результаті кількість попелиці збільшилася, що дивлячись на рис. 2.11 ,неважко передбачити.

2.3 Модель мобілізації

Під терміном політична, чи соціальна, мобілізація розуміється залучення людей у ​​партію чи до її прибічників, у якийсь громадський рух тощо. внаслідок те що поточний рівень мобілізації тісно пов'язані з минулим її рівнем, а майбутня мобілізація залежить від сьогоднішніх успіхів пропагандистської кампанії ясно, що при побудові відповідної моделі необхідно враховувати тимчасовий фактор. Іншими словами, треба розуміти, що потрібна модель має бути динамічною.

Постановка задачі .Відобразити логіку зміни рівня мобілізації в даному регіоні між двома сусідніми моментами часу, скажімо, за місяць (за рік, тиждень, день тощо).

Побудова моделі .Приймемо за одиницю ту частину населення, на яку мобілізація цього типу має сенс. Нехай M n -частка мобілізованого населення на момент часу t n =n .Тоді частка немобілізованого населення дорівнюватиме 1-Mn (Рис. 2.12).

Мал. 2.12. Співвідношення мобілізованого та немобілізованого населення

За місяць рівень мобілізації може змінитися з двох основних причин:

) частина населення вдалося залучити додатково; ясно, що ця величина тим більше, чим вища частка ще незагітованого населення на момент t n =n ,і тому можна вважати її рівною ?(1-М n ),(тут ?>0- Коефіцієнт агітованості, постійний для даного регіону);

2) частина населення убула (за різних причин); ясно, що це зменшує частку загітованого населення тим більше, чим вище була ця частка на момент tn=n, і тому втрати, пов'язані з вибуттям, вважатимуться рівними (тут?>0 - постійний коефіцієнт вибуття). Наголосимо, що числові параметри? і? відображають пропорційну зміну інтересів, поглядів і намірів відповідних частин населення регіону, що розглядається. Таким чином, зміна рівня мобілізації за одиницю часу дорівнює різниці між часткою населення, залученого додатково, і часткою вибуло сагітованого населення:

Це і є рівняння процесу мобілізації. Модель мобілізації побудовано.

Останнє співвідношення легко перетворюється на такий вид:

Зауваження. Допоміжний параметр? Чи не може бути більше 1 внаслідок того, що вихідні параметри? і? позитивні. Отримане рівняння (4) називається лінійним різницевим рівнянням із постійними коефіцієнтами.

З рівняннями подібного роду можна стикатися в різних, здебільшого найпростіших варіантах.

Один з них (при?=1) описує правило, яким кожен член послідовності, починаючи з другого, виходить з попереднього шляхом додавання з деяким постійним числом: Mn+1=?+Mn, тобто арифметричну прогресію.

Другий (при?=0) описує правило, яким кожен член послідовності, починаючи з другого, виходить з попереднього шляхом множення на деяке постійне число: Mn+1=?Mn, тобто геометричну прогресію.

Припустимо, початкова частка залученого населення М0 відома. Тоді рівняння (4) легко вирішується (для певності вважаємо, що). Маємо:

Застосування моделі.

Спробуймо проаналізувати можливості цієї (побудованої на підставі найпростіших міркувань) моделі.

Почнемо з нагоди |?|<1.

Для цього перепишемо останнє співвідношення у вигляді, де через M* позначено таку величину:

Зауваження. Той самий результат виходить, якщо в рівнянні (4) покласти Mn+1=Mn=M*.

Насправді тоді отримаємо M*=?+?M*, звідки

Знайдена величина M* залежить від початкового значення M0, виражається через вихідні параметри? і? за формулою

а отже підкоряється умові 0

Для надання отриманої формули більшої наочності знову скористаємося методом координат.

На рис. 2.13 показані області можливих значень допоміжного параметра, на рис. 2.14 – вихідних параметрів? і?, але в рис. 2.15-17 - відповідні їм набори значень Мn за різних n, М0 і М* (для зручності сприйняття сусідні точки (n,Мn) та (n+l,Mn+1) з'єднані прямолінійними відрізками).

Випадок?<1 проиллюстрирован на рис. 2.18.

Звісно, ​​цих малюнках представлена ​​якісна картина. Але ніщо заважає взяти цілком конкретні значення величин М0, ? і? та докладно розрахувати відповідну ситуацію.

Мал. 2.13.області можливих значень? 2.14. Вихідні параметри? і?

Мал. 2.15 – 2.16

Мал. 2.17 2.18. Випадок?<1

Наприклад, для, маємо

, ... (Мал. 2.19)

Мал. 2.19. Мобілізація за,

Цікаво відзначити, що побудована модель, незважаючи на простоту підходів та міркувань, досить добре відбиває реальні процеси. Так, запропонована модель мобілізації використовувалася вивчення динаміки числа голосів, поданих за демократичну партію в Лейк Кантрі (США) в 1920-1968 рр., і виявилося, що вона досить добре описує якісні характеристики процесу мобілізації.

2.4 Модель гонки озброєнь

Розглянемо конфліктну ситуацію, у якій можуть опинитися дві держави, для визначеності назвемо країни X і Y.

Позначимо через x=x(t) Витрати озброєння країни X і через y=y(t) Витрати озброєння країни Y в останній момент часу.

Припущення 1. Країна X озброюється, побоюючись потенційної загрози війни з боку країни Y, яка, у свою чергу, знаючи про зростання витрат на озброєння країни X, також збільшує витрати на озброєння. Кожна країна змінює швидкість зростання (або скорочення) озброєнь пропорційно до рівня витрат іншої. У найпростішому випадку це можна описати так:

де ?і ?-Позитивні позитивні.

Проте написані рівняння мають очевидну ваду - рівень озброєння нічим не лімітується. Тому праві частини цих рівнянь потребують природного коригування.

Припущення 2.

Чим більший поточний рівень витрат країни на оборону, тим менша швидкість його зростання. Це дозволяє внести до попередньої системи такі зміни:

x= ?y -?x

y= ?x -?y

якщо ж ця країна не загрожує існуванню цієї. Позначимо відповідні претензії через a та b (а і b - позитивні постійні). Якщо постійні a і b негативні, їх можна назвати коефіцієнтами доброї волі. Ґрунтуючись на всіх трьох припущеннях, в результаті отримуємо таку систему рівнянь:

x=?y-?x+a

y=?x-?y+b

Модель гонки озброєнь збудована.

Рішенням отриманої системи є функції x(t) і y(t), які визначаються для даних початкових умов x 0?0 та y 0?0 (початкового стану гонки озброєнь).

Проаналізуємо отриману систему, припускаючи, що рівні витрат обох країн озброєння не залежить від часу (є стаціонарними). Це означає, що x =0, y=0, або інакше:

Y- ?x +a=0

X- ?y +b=0

Розглянемо конкретний приклад.

приклад. Нехай система гонки озброєнь має такий вигляд:

x=3y-5x+15

y=3x-4y+12

Якщо швидкості зміни величин x та y дорівнюють нулю, то ці величини з необхідністю пов'язані умовами:

Кожне з цих рівнянь описує пряму на площині (x, y) і точка перетину цих прямих лежить у першій чверті (рис. 2.20).

Пряма, задана рівнянням (а), розбиває площину, і початкова точка O(0,0) лежить у позитивній напівплощині. У даному випадку те саме справедливо і для прямої, заданої рівнянням (б) (рис. 2.21).

Тим самим перша чверть (а нас цікавить тільки вона, тому що завжди х?0 і у?0) розбивається на чотири області, які зручно позначити так: I-(+,+), II-(-,+), III- (-,-), IV-(+,-).

Нехай початковий стан (х 0,у 0) знаходиться в області I. Тоді виконані нерівності:

(а): 3у0 -5x 0+15>0,

(б): 3х 0-4у 0+12>0,

з яких випливає, що швидкості x" і у" у цій точці позитивні: х">0, у">0 і, отже, обидві величини (х і у) повинні зростати (рис. 2.22).

Мал. 2.22 .зростання x та y

Таким чином, з часом в області I рішення приходить до точки рівноваги.

Подібним чином аналізуючи можливі розташування початкового стану в областях II, III і IV, отримаємо в результаті, що стабільний стан (балансу сил) досягається незалежно від початкових рівнів озброєння країн X і Y. Відмінність полягає лише в тому, що якщо перехід до стаціонарного стану в області I супроводжується одночасним збільшенням рівнів озброєності, то в області III -їх одночасним зниженням; для областей II та IV інша ситуація -одна із сторін нарощує своє озброєння, тоді як інша роззброюється.

Можливі інші випадки (рис. 2.23).

Мал. 2.23 . інші випадки

Цікаво відзначити, що можливості збудованої моделі перевірялися на реальній ситуації -гонки озброєнь перед першою світовою війною Проведені дослідження показали, що, незважаючи на свою простоту, ця модель досить достовірно описує стан справ у Європі у 1909-1913 рр.

На завершення цього розділу процитуємо висловлювання Т. Сааті про цю модель: "Модель видається набагато переконливішою, якщо замість озброєнь провести на ній вивчення проблем загрози, оскільки люди реагують на абсолютний рівень ворожості, що виявляється по відношенню до них іншими, і відчувають почуття тривоги в ступеня, пропорційної рівню ворожості, що вони відчувають самі " .

Висновок

У наш час наука приділяє велику увагу питанням організації та управління, це призводить до необхідності аналізу складних цілеспрямованих процесів під кутом зору їхньої структури та організації. Потреби практики викликали до життя спеціальні методи, які зручно поєднувати під назвою «дослідження операцій». Під цим терміном розуміється застосування математичних, кількісних методів обґрунтування рішень в усіх галузях цілеспрямованої людської діяльності.

Метою дослідження операцій є виявлення найкращого способу дії при вирішенні того чи іншого завдання. Головна роль при цьому приділяється математичному моделюванню. Для побудови математичної моделі необхідно мати суворе уявлення про мету функціонування досліджуваної системи та мати інформацію про обмеження, які визначають область допустимих значень. Мета та обмеження мають бути представлені у вигляді функцій.

У моделях дослідження операцій змінні, від яких залежать обмеження та цільова функція, можуть бути дискретними (найчастіше цілими) і континуальними (безперервними). У свою чергу, обмеження та цільова функція поділяються на лінійні та нелінійні. Існують різні методи вирішення даних моделей, найбільш відомими та ефективними з них є методи лінійного програмування, коли цільова функція та всі обмеження лінійні. Для вирішення математичних моделей інших типів призначені методи динамічного програмування (які були розглянуті в даному курсовому проекті), цілісного програмування, нелінійного програмування, багатокритеріальної оптимізації та методи мережевих моделей. Майже всі методи дослідження операцій породжують обчислювальні алгоритми, які є ітераційними за своєю природою. Це має на увазі, що завдання вирішується послідовно (ітераційно), коли на кожному кроці (ітерації) отримуємо рішення, які поступово сходяться до оптимального рішення.

Ітераційна природа алгоритмів зазвичай призводить до об'ємних однотипних обчислень. У цьому полягає причина те, що це алгоритми розробляються, переважно, для реалізації з допомогою обчислювальної техніки.

Побудова моделі спирається на значне спрощення досліджуваної ситуації та ,отже, до одержуваних на її основі висновків потрібно ставитись досить обережно -модель може не все. Водночас навіть дуже груба на вигляд ідеалізація нерідко дозволяє глибше вникнути в суть проблеми. Пробуючи якось впливати на параметри моделі (вибирати їх, керувати ними), ми отримуємо можливість піддати досліджуване явище якісному аналізу та зробити висновки загального характеру.

p align="justify"> Динамічне програмування являє собою математичний апарат, що дозволяє здійснювати оптимальне планування багатокрокових процесів, що залежать від часу. Оскільки завдання динамічного програмування процеси залежать від часу, то знаходиться ряд оптимальних рішень для кожного етапу, що забезпечують оптимальний розвиток всього процесу в цілому.

Використовуючи поетапне планування, динамічне програмування дозволяє як спростити вирішення завдань, а й вирішувати ті яких не можна застосувати методи математичного аналізу. звісно ,варто відзначити ,що це метод досить трудомісткий під час вирішення завдань із великою кількістю змінних.

Список використаної літератури

1.Акуліч І.Л. Математичне програмування в прикладах та задачах: Навч. посіб. – К.: Вища школа, 2009 р.

.Бережна О.В., Бережна В.І. Математичні методи моделювання. - М.: Справа та Сервіс, 2009 р

.Інтрилігатор М. Математичні методи оптимізації та економічна теорія. - М: Айріс-Прес, 2008 р.

.Курбатов В.І., Угольницький Г.А. Математичні методи соціальних технологій. - М: Вузовська книга, 2011 р.

.Монахов О.В. Математичні методи аналізу економіки. - СПб.: Пітер, 2007

.Орлова І.В., Половніков В.А. Економіко-Математичні методи та моделі. - М: Вузівський підручник, 2008 р.

.Попов І.І., Партика Т.Л. Математичні методи. - М: ІНФРА-М, 2007 р.

.Попова Н.В. Математичні методи. - М: Анкіл, 2007 р.

Репетиторство

Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?

Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.