Поєднання кутів у кресленні. Поєднання. Побудова зовнішнього сполучення

Часто при зображенні на кресленні контуру деталі доводиться виконувати плавний перехід однієї лінії в іншу (плавний перехід між прямими лініями або колами) для виконання конструктивних та технологічних вимог. Плавний перехід однієї лінії до іншої називають поєднанням.

Для побудови пар необхідно визначити:

• центри сполучення(Центри, з яких проводять дуги);
• точки дотику/точки сполучення(крапки, в яких одна лінія переходить в іншу);
• радіус сполучення(якщо він нс заданий).

Розглянемо основні типи сполучення.

Сполучення (дотик) прямої та кола

Побудова прямої, що стосується кола. При побудові сполучення прямої та кола використовується відома ознака торкання цих ліній: пряма, дотична до кола, становить прямий кут з радіусом, проведеним у точку торкання (рис. 1.12).

Мал. 1.12.

До- точка торкання

Для проведення дотичної до кола через точку Л, що лежить поза коло, необхідно:

• 1) з'єднати задану точку А(рис. 1.13) із центром кола Про;
• 2) відрізок ОАрозділити навпіл (ОС = СА,див. рис. 1.7) і провести допоміжне коло радіусом СО(або СА);

Мал. 1.13.

3) точку /С, (або К.»оскільки завдання має два рішення) з'єднати з точкою А.

Лінія АК^(або АК.,)є дотичною до заданого кола. Крапки K iі До 2 -точки торкання.

Слід зазначити, що рис. 1.13 ілюструє також один із способів точної графічної побудови двох перпендикулярних прямих (дотик і радіусу).

Побудова пряма, що стосується двох кіл. Звертаємо увагу читача те що, що завдання побудови прямий, дотичної до двох колам, можна як узагальнений випадок попередньої завдання (побудова дотичної з точки до окружности). Подібність цих завдань простежується з рис. 1.13 та 1.14.

Зовнішнє торкання двох кіл.При зовнішньому торканні (див. рис. 1.14) обидві кола лежать але одну сторону від прямої.

На рис. 1.14 зображено мала коло радіусом Rз центром у точці Аі велике коло радіусом R (з центром в точ-

Мал. 1.14.Побудова зовнішньої дотичної до двох кіл ке О. Щоб побудувати зовнішню дотику до цих кіл, необхідно виконати такі дії:

• 1) через центр Про більшого кола провести допоміжне коло радіусом (/?, - R);
• 2) побудувати дотичні до допоміжного кола з точки А(Центр малого кола). Крапки До (і К.,- точки торкання прямих та кола (зауважимо, що завдання має два рішення);
• 3) точки До (і До 2з'єднати з центром Проі продовжити ці лінії до перетину з колом радіусом R vТочки перетину К лі /З є точками торкання (спряження);
• 4) через точку Апровести радіуси, паралельні лініям () До Лі ОК г Точки перетину цих радіусів з малим колом К-і К лє точками торкання (сполучення);
• 5) з'єднавши точки К лі /З (; , а також К лі До 5 ,отримати шукані дотичні.

Внутрішній дотик двох кіл (кола лежать по різні боки від прямої, рис. 1.15) виконується за аналогією із зовнішнім дотиком, з тією лише різницею, що через центр Про більшого кола проводиться допоміжне коло радіусом /?, + R.Па рис. 1.15 зображено два можливі розв'язки задачі.

Мал. 1.1

Поєднання перетинаються прямих дугою кола заданим радіусом. Побудова (рис. 1.16) зводиться до побудови кола радіусом R,що стосується одночасно обох заданих ліній.

Для знаходження центру цього кола проводимо дві допоміжні прямі, паралельні заданим, на відстані Rвід кожної їх. Точка перетину цих прямих є центром Про дуги сполучення. Перпендикуляри, опущені із центру Прона задані прямі, визначають точки сполучення (дотику) /С, і До 2 .

Мал. 1.16.

Мал. 1.17.Побудова сполучення кола та прямою дугою заданим радіусом R:

а- внутрішній дотик; б- зовнішній дотик

Сполучення кола та прямою дугою заданим радіусом.

Приклади побудови сполучень кола та прямою дугою заданим радіусом Rнаведено на рис. 1.17.

Урок №23.

Сполучення

Показати кілька деталей, що мають заокруглення.

Розглядаючи деталі, бачимо, що у їх конструкції часто одна поверхня перетворюється на іншу. Зазвичай ці переходи роблять плавними, що підвищує міцність деталей і робить їх зручнішими у роботі.

На кресленні поверхні зображуються лініями, які також плавно переходять одна до одної.

Такий плавний перехід однієї лінії (поверхні) в іншу лінію (поверхня) називають поєднанням.

При побудові сполучення необхідно визначити кордон, де закінчується одна лінія і починається інша, тобто. знайти на кресленні точку переходу, яка називається точкою сполучення або точкою торкання .

Завдання на пару умовно можна розділити на 3 групи.

Перша група завдань включає завдання на побудову сполучення, де беруть участь прямі лінії. Це може бути безпосереднє торкання прямої та кола, сполучення двох прямих дугою заданого радіусу, а також проведення дотичної прямої до двох кіл.

Побудуємо коло, що стосується прямий.

Побудова кола, що стосується прямої , пов'язане зі знаходженням точки торкання та центру кола.

Задано горизонтальну пряму АВ , потрібно побудувати коло радіусом R , Що стосується цієї прямої (рис. 1).

Точка торкання вибирається довільно.

Оскільки точка торкання не задана, то коло радіусу R може торкнутися цієї прямої в будь-якій точці. Таких кіл можна провести безліч. Центри цих кіл ( Про 1 , Про 2 і т.д.) будуть на однаковій відстані від заданої прямої, тобто. на лінії, розташованій паралельно заданій прямій АВ на відстані, що дорівнює радіусу заданого кола (рис. 1). Назвемо цю лінію лінією центрів .

Проведемо лінію центрів паралельно прямий АВ на відстані R . Так як центр дотичного кола не заданий, візьмемо будь-яку точку на лінії центрів, наприклад, точку О.

Перш ніж проводити дотичне коло, слід визначити точку торкання. Крапка торкання лежатиме на перпендикулярі, опущеному з точки Про на пряму АВ . У перетині перпендикуляра з прямою АВ отримаємо точку До, яка буде точкою торкання. Із центру Про радіусом R від крапки До проведемо коло. Завдання вирішено.

Запишіть у свої зошити у клітку такі правила:

Якщо у поєднанні бере участь пряма лінія, то:

1)

центр кола, що стосується прямої, лежить на прямій (лінія центрів), проведеної паралельно заданої прямої, на відстані, що дорівнює радіусу даного кола;

2) точка торкання лежить на перпендикулярі, проведеному з центру кола до заданої прямої.

Поєднання двох прямих.

На площині дві прямі можуть розташовуватись паралельно або під кутом один до одного.

Щоб побудувати пару двох прямих, необхідно провести коло, що стосується цих двох прямих.

Відкрийте робочі зошити на сторінці 31.

Розглянемо пару двох непаралельних прямих.

Дві непаралельні прямі розташовуються одна до одної під кутом, який може бути прямим, тупим або гострим. При виконанні креслень деталей часто такі кути необхідно заокруглити дугою заданого радіусу (рис.1). Скруглення кутів на кресленні є не що інше, як поєднання двох непаралельних прямих дугою кола заданого радіусу. Для виконання пари необхідно знайти центр дуги сполучення та точки сполучення.

Відомо, що якщо в парі бере участь пряма лінія, то центр дуги сполучення знаходиться на лінії центрів, яка проводиться паралельно заданій прямій на відстані, що дорівнює радіусу R дуги сполучення.

Оскільки кут утворений двома прямими, то проводять дві лінії центрів паралельно кожній прямій на відстані, що дорівнює радіусу R дуги сполучення. Точка їхнього перетину буде центром дуги сполучення.

Для знаходження точок сполучення з точки Про опускають перпендикуляри на задані прямі та отримують точки сполучення До і До 1 . Знаючи точки та центр сполучення, з точки Про радіусом R проводять дугу сполучення. При обведенні креслення слід спочатку обвести дугу, потім дотичні прямі.

При побудові пари прямого кута спрощується проведення лінії центрів, оскільки сторони кута взаємно перпендикулярні. Від вершини кута відкладають відрізки, рівні радіусу. R дуги сполучення, і через отримані точки До і До 1 , які будуть точками торкання, проводять дві лінії центрів, паралельні сторонам кута. Вони будуть одночасно і лініями центрів, і перпендикулярами, що визначають точки сполучення До і До 1 (Стор. 31, рис.1).

Стор. 31, завдання 4. Поєднання двох паралельних прямих.

Щоб побудувати пару двох паралельних прямих, необхідно провести дугу кола, що стосується цих прямим (рис.3).

Рис.3

Радіус цього кола дорівнюватиме половині відстані між заданими прямими. Так як точка торкання не задана, подібних кіл можна провести безліч. Центри їх будуть знаходитися на прямій, проведеній паралельно заданим прямим на відстані, що дорівнює половині відстані між ними. Ця пряма буде лінією центрів.

Точки торкання ( До 1 і До 2 ) лежать на перпендикулярі, опущеному із центру дотичного кола на задані прямі (рис. 3а). Оскільки центр дотичного кола не заданий, перпендикуляр проводиться довільно. Відрізок КК 1 ділять навпіл (рис.3б), проводять через точки перетину засічок пряму лінію паралельно заданим прямим, де розташовуватимуться центри кіл, що стосуються заданим паралельним прямим, тобто. ця лінія буде лінією центрів. Поставивши ніжку циркуля в крапку Про , проводять дугу сполучення (рис. 3в) від точки До до точки До 1 .

Побудова прямих, що стосуються кіл

(Р.Т. стор.33).

Завдання 1. Проведіть пряму, дотичну до кола через точку А , що лежить на колі.

З точки Про проводимо пряму OB через точку А . З точки А будь-яким радіусом проводимо коло. При перетині з прямої отримали точки 1 і 2. З цих точок будь-яким радіусом проводимо дуги до перетину між собою у точках. C і D . З точки C або D проводимо пряму через точку А .

Вона і буде дотичною до кола, оскільки дотична завжди перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

Завдання 2.

Ця побудова аналогічна до побудови перпендикуляра до прямої через задану точку, яку можна виконати за допомогою двох косинців.

Спочатку косинець 1 кладеться так, щоб його гіпотенуза збігалася з точками O і A . Потім до косинцю 1 прикладається косинець 2 , що буде направляючим, тобто. яким буде зрушуватися косинець 1 . Потім косинець 1 приставляємо іншим катетом до косинця 2. Потім катаємо косинець 1 по косинці 2 доти, доки гіпотенуза не збігається з точкою A . І проводимо пряму, дотичну до кола через точку A .

Завдання 3. Проведіть пряму, дотичну до кола через точку, що не лежить на цьому колі.

Дано коло радіусомR і крапка А , що не лежить на колі, потрібно провести з точкиА пряму, що стосується цього кола у верхній її частині. Для цього необхідно знайти точку торкання. Ми знаємо, що точка торкання лежить на перпендикулярі, проведеному з центру кола до дотичної прямої. Отже, дотична та перпендикуляр утворюють прямий кут.

Знаючи, що будь-який кут, вписаний в коло і спирається на його діаметр, є прямим, з'єднавши точкиА і Про , приймають відрізокАТ за діаметр описаного кола. У перетині описаного кола та кола радіусуR буде знаходитися вершина прямого кута (точкаДо ). Відрізок АТ ділимо навпіл за допомогою циркуля, отримуємо крапкуПро 1 (Рис.4, б).

Із центру Про 1 радіусом, рівним відрізкуАТ 1 , проводимо коло, отримуємо точкиДо і До 1 у перетині з колом радіусуR (Рис.4, в).

Так як потрібно провести тільки одну дотичну до верхньої частини кола, вибирають потрібну точку торкання. Цією точкою буде точкаДо . Крапку До з'єднуємо з точкамиА і Про отримуємо прямий кут, який спирається на діаметрАТ описаного кола радіусомR 1 . Крапка До - Вершина цього кута (рис.4, г), відрізкиОК і АК - Сторони прямого кута, отже, точкаДо буде шуканою точкою торкання, а прямаАК - Шукаю дотичної.

Рис.4

Проведення прямої, що стосується до двох кіл.

Дано два кола радіусами. R і R 1 , Потрібно побудувати дотичну до них. Можливі два випадки торкання: зовнішній та внутрішній.

При зовнішньому торканні дотична пряма знаходиться з одного боку від кіл і не перетинає відрізок, що з'єднує центри даних кіл.

При внутрішньому торканні дотична пряма знаходиться з різних боків від кіл і перетинає відрізок, що з'єднує центри кіл.

Стор. 33. Завдання 5. Проведіть пряму, що стосується двох кіл. Торкання зовнішнє.

Насамперед необхідно знайти точки торкання. Відомо, що вони повинні лежати на перпендикулярах, проведених із центрів кіл ( Про і Про 1 ) до дотичної.

З точки Про проводимо коло радіусом R - R 1 , Так як торкання зовнішнє.

Розділимо відстань ГО 1 навпіл і проведемо коло радіусом R =ОО 2 =О 1 Про 2

Це коло перетинає коло з радіусом R - R 1 у точці До. З'єднуємо цю точку з Про 1 .

З точки Про через точку До проводимо пряму до перетину з колом радіусом R . Отримали крапку До 1 - Першу точку торкання.

З точки Про 1 проводимо пряму, паралельну КК 1 , до перетину з колом радіусом R 1 . Отримали другу точку торкання До 2 . З'єднуємо точки До 1 і До 2 . Це і стосується до двох кіл.

Завдання 6. Проведіть пряму, що стосується двох кіл. Торкання внутрішнє.

Побудова аналогічна, тільки при внутрішньому торканні радіус допоміжного кола, що проводиться з точки Про дорівнює сумі радіусів кіл R + R 1 .

Друга група завдань на сполучення включає в себе завдання, в яких беруть участь лише кола та дуги. Плавний перехід одного кола до іншого може відбуватися або безпосередньо дотиком, або через третій елемент - дугу кола.

Торкання двох кіл може бути зовнішнім (РТ: стор.32, рис.3) або внутрішнім (РТ: стор.32, рис.4).

Завдання 3 (стор. 32)

При зовнішньому торканні двох кіл відстань між центрами цих кіл буде дорівнювати сумі їх радіусів.

З точки Про радіусом R + R C проведемо дугу. З точки Про 1 радіусом R 1 + R C Про З - Центр сполучення.

З'єднуємо точки Про і Про 1 з центром сполучення Про З . На колах отримали точки торкання (сполучення).

З точки Про З радіусом сполучення R C 30 з'єднуємо точки торкання.

Завдання 4 (стор. 32)

При внутрішньому торканні двох кіл одна з дотичних кіл знаходиться всередині іншого кола, і відстань між центрами цих кіл буде дорівнює різниці їх радіусів.

З точки Про радіусом ( R C – R ) проведемо дугу. З точки Про 1 радіусом ( R C – R 1 ) проведемо дугу до перетину з першою дугою. Отримали крапку Про З - Центр сполучення.

Центр сполучення Про З з'єднуємо з точками Про і Про 1 с та продовжуємо пряму далі.

На колах отримали точки торкання (сполучення).

З точки Про З радіусом сполучення R C 60 з'єднуємо точки торкання.

Третя група завдань на сполучення включає в себе завдання на сполучення прямої і дуги кола дугою заданого радіусу.

Виконуючи таке завдання, вирішують як би дві задачі: проведення дотичної дуги до прямої та дотичної дуги до кола. Торкання у разі може бути як зовнішнім, і внутрішнім.

РТ: стор. 32. Завдання 1.Сполучення кола та прямий. Торкання зовнішнє. R C 20 .

Задані пряма і коло радіусом R , потрібно побудувати сполучення дугою радіусу R C 20 .

Так як у сполученні бере участь пряма лінія, то центр дуги сполучення знаходиться на прямій, проведеній паралельно заданій прямій на відстані, що дорівнює радіусу сполучення R C 20 . Тому паралельно заданої прямої на відстані 20 мм проводимо ще одну пряму.

А центр дуги сполучення при зовнішньому торканні двох кіл знаходиться на колі радіуса, що дорівнює сумі радіусів. R і R C . Тому з точки Про радіусом ( R + R C Про З

Потім знаходимо точки торкання. Перша точка торкання – це перпендикуляр, опущений із центру сполучення на задану пряму. Другу точку сполучення знаходимо, з'єднавши центр сполучення Про З та центр кола R . Точка торкання буде лежати на першому перетині з колом, оскільки торкання зовнішнє.

Потім з точки Про З радіусом R C 20 з'єднуємо точки сполучення.

РТ: стор. 32. Завдання 2.Сполучення кола та прямий. Торкання внутрішнє. R C 60 .

Паралельно заданою прямою проводимо лінію центрів на відстані 60 мм. З точки Про радіусом ( R з - R ) проводимо дугу до перетину з новою прямою (лінією центрів). Отримаємо точку Про З яка є центром сполучення.

З Про З проводимо пряму через центр кола точку Про та перпендикуляр на задану пряму. Отримуємо дві точки торкання. І потім із центру сполучення радіусом 60 мм з'єднуємо точки торкання.

Можуть бути виконані:
- коли відстань між центрами O і O1 дуг, що сполучаються більше суми їх радіусів R і R1, тобто A> R + R1;
- коли відстань між центрами O і O1 дуг, що сполучаються менше суми їх радіусів R і R1, тобто R+R1>A.
У всіх випадках розв'язання задачі зводиться до знаходження центру сполучення O2 та точок сполучення C та B.

Побудуємо коли A>R+R1

Задані дуги кіл радіусів R і R1 і відстань між їх центрами OO1 = A і радіус сполучення R2.

- із центру O проводимо дугу радіуса R+R2;
- З центру O1 проводимо дугу радіуса R1 + R2.

Для випадку, коли R+R1>A

побудова виконується аналогічно

Побудуємо поєднання дуг кіл дугою колаколи A>R+R1

Задані дуги кіл радіусів R і R1 і відстань між їх центрами OO1 = A і радіус сполучення R2.
Знаходимо центр сполучення O2:
- із центру O проводимо дугу радіуса R2-R;
- З центру O1 проводимо дугу радіуса R2-R1.
Перетин цих дуг визначить центр сполучення O2.

Знаходимо точки сполучення C і B:
- З точки O2 проводимо прямі в центр O і O1;
- знаходимо на перетині цих прямих із відповідними дугами точки сполучення C та B;

точки сполучення C і B з'єднуємо дугою радіусу R2.

Коли R+R1>A Задано дуги кіл радіусів R і R1 і відстань між їх центрами OO1 = A і радіус сполучення R2

Знаходимо центр сполучення O2:
- із центру O проводимо дугу радіуса R-R2;
- З центру O1 проводимо дугу радіуса R1-R2.
Перетин цих дуг визначить центр сполучення O2.

Знаходимо точки сполучення C і B:
- З точки O2 проводимо прямі в центр O і O1;
- знаходимо на перетині цих прямих із відповідними дугами точки сполучення C та B;

точки сполучення C і B з'єднуємо дугою радіусу R2

Застосування наведених вище прикладів для побудови сполучень елементів важеля,

для побудови сполучень кіл діаметрів 20 і 30 мм дугами AB і EC радіусів R60 і R35 відповідно.

Застосування наведених вище прикладів для побудови пар елементів однорогого гака,

Задано: фа40; b = 24; h=36; d=25; d1 = 20; d2 = 16,4; d0 = M20; l=60; l1=20; l2=30; R=6; R1=20; R2=20; R3=20; R4=15; R5=40; R6=45; R7 = 6,5; R8=2; c=2; f=4,5

Поєднання гака - це найбільш складний приклад на побудову сполучення.
Викреслення гака виконуємо в наступному порядку:
- проводимо осі та викреслюємо шийку гака;
- проводимо з центру O1 перетину осей основне коло внутрішнього контуру гака. Радіус цього кола дорівнює a/2.;
- знаходимо центр O2 і проводимо з нього радіусом R3 основну дугу кола зовнішнього контуру гака. Для побудови центру O2 проводимо із центру O1 пряму n під кутом 45 до осей і засікаємо її з точки N дугою кола радіуса R3. Точка N віддалена від центру O1 на відстань h+a/2;
- будуємо сполучення зовнішнього кола правим прямолінійним контуром верхньої частини гака. Дуга, що сполучається, має радіус R4. Центр пару O3 і точки сполучення K і M знаходимо за загальним правилом сполучення дуги з прямою;
- будуємо сполучення внутрішнього кола діаметра a з лівим прямолінійним контуром верхньої частини гака. Радіус пар R4. Центр пару O4 і точки сполучення A і B визначаються аналогічно точкам O3, K і M;
- будуємо контури носка гака. Користуємося побудовами, наведеними на малюнках... і... .
Знаходимо центри O5, O6 та O7. Носок гака повинен торкатися прямої e, проведеної з відривом m від горизонтальної осі гака. Крім того, зів гака повинен дорівнювати розміру O. Відстань O вимірюється по лінії центрів дуг O4O5, що обмежують контур зіва.
Визначаємо центр O5 дуги радіусу R6. Для цього робимо дві засічки: першу із центру O4 радіусом R5+R6+O; другу - із центру O1 радіусом a/2+R6. Точка сполучення E лежить на лінії центрів O1 – O5. З центру O5 проводимо дугу радіусу R6, починаючи з точки E.
Знаходимо центр O7 дуги радіусу R7. Засікаємо дугою радіуса R6-R7 із центру O5 і засікаємо дугою радіусу R6-R7 із центру O6.
Точка сполучення C лежить на лінії центрів O5 – O7. Проводимо із центру O7 дугу радіуса R7.
Визначаємо центр O6 дуги радісу R6, що сполучає носок гака із зовнішнім контуром гака. Для цього робимо засічку із центру O2 радіусом R3+R6. Точки пар T і P лежать на лінії центрів O6 - O7 і O6 - O2.
З центру O4 проводимо дугу, що з'єднує точки T та P.

Сполученням називається плавний перехід від однієї лінії до іншої. Плавний перехід може бути виконаний як за допомогою циркульних ліній
(дуг кіл), і з допомогою лекальних кривих (дуг еліпса, параболи чи гіперболи). Ми розглядатимемо лише випадки сполучення за допомогою дуг кіл. З усього різноманіття сполучень різних ліній можна виділити такі основні види сполучень: поєднання двох різно розташованих прямих ліній за допомогою дуги кола, сполучення прямої лінії з дугою кола, побудова загальної дотичної до двох кіл, поєднання двох кіл третьої. Будь-який вид сполучення слід виконувати в такій послідовності:

– знаходять центр дуги сполучення,

- Знаходять точки сполучення,

- Заданим радіусом проводять дугу сполучення.

Різні види сполучення наведені в таблиці 2:

Таблиця 2

Графічна побудова сполучень	Коротке пояснення до побудови
Сполучення прямих дугою заданого радіуса, що перетинаються.
	Провести прямі, паралельні сторонам кута на відстані R. З точки О, взаємного перетину цих прямих, опустивши перпендикуляри на сторони кута, отримаємо точки сполучення 1 та 2. Радіусом R провести дугу сполучення між точками 1 та 2.
Сполучення кола та прямої за допомогою дуги заданого радіусу
	З відривом R провести пряму, паралельну заданої прямої, та якщо з центру Про 1 радіусом R+R 1 – дугу окружности. Точка О – центр дуги сполучення. Точку 2 отримаємо на перпендикулярі, опущеному з точки на задану пряму, а точку 1- на перетині прямої ОО 1 і кола радіуса R.

Продовження таблиці 2

Сполучення дуг двох кіл прямою лінією
	З точки Про провести допоміжне коло радіусом R-R 1 . Відрізок ГО 1 розділити навпіл і з точки 2 провести коло радіусом 0,5 ГО 1 .Це коло перетинає допоміжну в точці К 0 . З'єднавши точку К 0 з точкою О 1 отримаємо напрямок загальної дотичної. Точки торкання К і К 1 знаходимо на перетині перпендикулярів з точок О та О 1 із заданими колами.
Сполучення дуг двох кіл дугою заданого радіусу (зовнішнє сполучення)
	З центрів О 1 і 2 провести дуги радіусів R+R 1 і R+R 2. При перетині цих дуг отримуємо точку О - центр дуги сполучення. З'єднати точки О 1 та О 2 з точкою О. Точки К і К 1 є точками сполучення. Між точками і К 1 провести дугу сполучення радіусом R.

Продовження таблиці 2

Сполучення дуг двох кіл дугою заданого радіусу (внутрішнє сполучення)
	З центрів Про 1 і 2 провести дуги радіусів R-R 1 і R-R 2 . При перетині цих дуг отримуємо точку О – центр дуги сполучення. З'єднати точки О 1 і О 2 з точкою О до перетину із заданими колами. Точки К та К 1 – точки сполучення. Між точками і К 1 радіусом R проводимо дугу сполучення.
Поєднання дуг двох кіл дугою заданого радіусу (змішане сполучення)
	З центрів Про 1 і 2 провести дуги радіусів R-R 1 і R+R 2 . При перетині цих дуг отримуємо точку О – центр дуги сполучення. З'єднуємо точки 1 і 2 з точкою О до перетину із заданими колами. Точки 1 та 2 – точки сполучення. Між точками 1 та 2 радіусом R проводимо дугу сполучення.

Центр сполучення- точка, рівновіддалена від ліній, що сполучаються. А загальна для цих ліній точка називається точкою сполучення .

Побудова пар виконується за допомогою циркуля.

Можливі такі види сполучення:

1) сполучення прямих, що перетинаються, за допомогою дуги заданого радіусу R (округлення кутів);

2) сполучення дуги кола та прямої за допомогою дуги заданого радіусу R;

3) сполучення дуг кіл радіусів R 1 і R 2 прямою лінією;

4) сполучення дуг двох кіл радіусів R 1 і R 2 дугою заданого радіусу R (зовнішнє, внутрішнє і змішане сполучення).

При зовнішньому поєднанні центри сполучних дуг радіусів R 1 і R 2 лежать поза сполучною дугою радіуса R. дуги, що сполучається, - поза нею.

У табл. 1 показані побудови та дано короткі пояснення до побудов простих сполучень.

СполученняТаблиця 1

Приклад простих сполучень	Графічна побудова сполучень	Коротке пояснення до побудови
1. Поєднання прямих, що перетинаються, за допомогою дуги заданого радіусу R.		Провести прямі, паралельні сторонам кута на відстані R.З точки Провзаємного перетину цих прямих, опустивши перпендикуляри на сторони кута, отримаємо точки сполучення 1 та 2 . Радіусом Rпровести дугу.
2. Поєднання дуги кола та прямої за допомогою дуги заданого радіусу R.		На відстані Rпровести пряму, паралельну заданій прямій, а з центру Про 1 радіусом R+R 1- Дугу кола. Крапка Про- Центр дуги сполучення. Крапку 2 отримаємо на перпендикулярі, проведеному з точки на задану пряму, а точку 1 - на прямій OO 1 .
3. Поєднання дуг двох кіл радіусів R 1і R 2пряма лінія.		З точки Про 1 провести коло радіусом R 1 - R2.Відрізок O 1 O 2 розділити навпіл і з точки 3 провести дугу радіусом 0,5 O 1 O 2 .З'єднати точки О 1 і О 2 з точкою А.З точки 2 опустити перпендикуляр до прямої АТ 2 ,Крапки 1.2 - точки сполучення.

Продовження таблиці 1

4. Поєднання дуг двох кіл радіусів R 1і R 2дугою заданого радіусу R(зовнішнє сполучення).		З центрів O 1та Про 2 провести дуги радіусів R+R 1і R+R 2 . O 1та О 2 з точкою О. Точки 1 та 2є точками сполучення.
5. Поєднання дуг двох кіл радіусів R 1і R 2дугою заданого радіусу R(Внутрішнє сполучення).		З центрів O 1та Про 2 провести дуги радіусів R-R 1і R-R2.Отримуємо точку Про- Центр дуги сполучення. З'єднати точки O 1і Про 2 з точкою Про до перетину із заданими колами. Крапки 1 та 2- Точки сполучення.
6. Поєднання дуг двох кіл радіусів R 1і R 2дугою заданого радіусу R(Змішане сполучення).		З центрів O 1 і 2 провести дуги радіусів R- R 1 та R+R 2 .Отримуємо точку О – центр дуги сполучення. З'єднати точки O 1і Про 2 з точкою Про до перетину із заданими колами. Крапки 1і 2- Точки сполучення.

Лекальні криві

Це криві лінії, у яких кожному їх елементі безперервно змінюється кривизна. Лекальні криві неможливо знайти викреслені з допомогою циркуля, їх побудова виконується з низки точок. При кресленні кривої отриманий ряд точок з'єднують по лекалу, тому її називають кривою лекальної лінією. Точність побудови лекальної кривої підвищується зі збільшенням числа проміжних точок на ділянці кривої.

До лекальних кривих відносяться так звані плоскі перерізи конуса - еліпс, парабола, гіпербола, що виходять в результаті перерізу кругового конуса площиною. Такі криві розглядалися щодо курсу «Нарисна геометрія». До лекальних кривих також відносять евольвенту, синусоїду, спіраль Архімеда, циклоїдальні криві.

Еліпс- геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох нерухомих точок (фокусів) є постійна величина.

Найбільш широко застосовується спосіб побудови еліпса за заданими півосями АВ та СD. При побудові проводять два концентричні кола, діаметри яких дорівнюють заданим осям еліпса. Для побудови 12 точок еліпса кола ділять на 12 рівних частин і отримані точки з'єднують із центром.

На рис. 15 показано побудову шести точок верхньої половини еліпса; нижня половина викреслюється аналогічно.

Евольвента- є траєкторією точки кола, утвореного її розгортанням та випрямленням (розгортка кола).

Побудова евольвенти за заданим діаметром кола показано на рис. 16. Коло ділиться на вісім рівних частин. З точок 1,2,3 проводять дотичні до кола, спрямовані в один бік. На останній дотичній відкладають крок евольвенти, що дорівнює довжині кола

(2 pR), отриманий відрізок ділять також на 8 рівних частин. Відкладаючи на першій дотичній одну частину, на другій – дві частини, на третій – три частини тощо, одержують точки евольвенти.

Циклоїдні криві- плоскі криві лінії, що описуються точкою, що належить колу, що котиться без ковзання по прямій лінії або колу. Якщо при цьому коло котиться по прямій лінії, то точка описує криву, яка називається циклоїдною.

Побудова циклоїди за заданим діаметром кола d показано на рис.17.

Мал. 17

Коло і відрізок довжиною 2pR поділяють на 12 рівних частин. Через центр кола проводять пряму, паралельну відрізку. З точок поділу відрізка до прямої проводять перпендикуляри. У точках їх перетину з прямою отримуємо О1, О2, О3 і т.д. - Центри перекочується колу.

З цих центрів описуємо дуги радіусом R. Через точки поділу кола проводимо прямі паралельні прямій, що з'єднує центри кіл. На перетині прямої, що проходить через точку 1 з дугою, описаної з центру О1, знаходиться одна з точок циклоїди; через точку 2 з іншого центру О2 - інша точка і т.д.

Якщо ж коло котиться іншим колом, перебуваючи всередині неї (по увігнутій частині), то точка описує криву звану гіпоциклоїдою. Якщо коло котиться іншим колом, перебуваючи поза нею (по опуклій частині), то точка описує криву, звану епіциклоїдою.

Побудова гіпоциклоїди та епіциклоїди аналогічна, тільки замість відрізка довжиною 2pR береться дуга напрямного кола.

Побудова епіциклоїди по заданому радіусу рухомого та нерухомого кіл показано на рис.18. Кут α, який обчислюється за формулою

α = 180°(2r/R), і коло радіусу R ділять на вісім рівних частин. Проводиться дуга кола радіусу R+r і з точок О 1 , О 2 , О 3 .. – кола радіуса r.

Побудова гіпоциклоїди за заданими радіусами рухомого та нерухомого кола показано на рис.19. Кут α, який підраховується, та коло радіуса R поділяються на вісім рівних частин. Проводиться дуга кола радіусом R - r та з точок О 1 , О 2 , О 3 … - кола радіусом r.

Парабола- це геометричне місце точок, рівновіддалених від нерухомої точки - фокусу F і нерухомої прямої - директриси, перпендикулярної до осі симетрії параболи. Побудова параболи по заданому відрізку ГО = АВ і хорді СD показано на рис.20

Прямі ОЕ та ОС поділені на однакову кількість рівних частин. Подальша побудова зрозуміла з креслення.

Гіперболу- геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох нерухомих точок (фокусів) - є постійна величина. Являє собою дві розімкнені, симетрично розташовані гілки.

Постійні точки гіпербол F 1 і F 2 - це фокуси, а відстань між ними називається фокусною. Відрізки прямих, що з'єднують крапки кривої з фокусами, називаються радіус-векторами. Гіпербола має дві взаємно перпендикулярні осі - дійсну та уявну. Прямі, що проходять через центр перетину осей, називаються асимптотами.

Побудова гіперболи по заданій фокусній відстані F 1 F 2 і куті між асимптотами показано на рис.21. Проводиться вісь, на якій відкладається фокусна відстань, яка ділиться навпіл точкою О. Через точку Про проводиться коло радіуса 0,5F 1 F 2 до перетину в точках C, D, E, K. З'єднуючи точки C з D і E c K, одержують точки А та В – вершини гіперболи. Від точки F 1 вліво відзначають довільні точки 1, 2, 3 відстань між якими повинні збільшуватися в міру віддалення від фокусу. З фокусних точок F 1 і F 2 радіусами R=B4 та r=A4 проводяться дуги до взаємного перетину. Точки перетину 4 є точками гіпербол. Інші точки будуються аналогічно.

Синусоїда- Плоска крива, що виражає закон зміни синуса кута в залежності від зміни величини кута.

Побудова синусоїди за заданим діаметром кола d показано

на рис. 22.

Для її побудови ділять це коло на 12 рівних частин; на таке ж число рівних частин ділиться відрізок, що дорівнює довжині даного кола (2pR). Проводячи через точки поділу горизонтальні та вертикальні прямі, знаходять у перетині їх точки синусоїди.

Спіраль Архімеда - ето плоска крива, що описується точкою, яка рівномірно обертається навколо заданого центру і водночас рівномірно віддаляється від нього.

Побудова спіралі Архімеда заданого діаметра кола D показано на рис.23.

Коло і радіус кола поділено на 12 рівних частин. Подальша побудова видно із креслення.

При виконанні побудові пар і лекальних кривих доводиться вдаватися до найпростіших геометричних побудов - таким як розподіл кола або прямої на кілька рівних частин, розподіл кута і відрізка навпіл, побудова перпендикулярів, бісектрис і т.д. Всі ці побудови вивчалися в дисципліні «Креслення» шкільного курсу, тому докладно в цьому посібнику не розглядаються.

1.5 Методичні вказівки щодо виконання