Produit d'une matrice par un nombre en ligne. Opérations de base sur les matrices (addition, multiplication, transposition) et leurs propriétés. Propriétés de la multiplication d'une matrice par un nombre

Ce sujet couvrira des opérations telles que l'addition et la soustraction de matrices, la multiplication d'une matrice par un nombre, la multiplication d'une matrice par une matrice et la transposition d'une matrice. Tous les symboles utilisés sur cette page sont tirés du sujet précédent.

Addition et soustraction de matrices.

La somme $ A + B $ des matrices $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ et $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $ est appelée la matrice $ C_ (m \ fois n) = (c_ (ij)) $, où $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ pour tout $ i = \ overline (1, m) $ et $ j = \ overline ( 1, n) $.

Une définition similaire est introduite pour la différence de matrices :

La différence $ AB $ des matrices $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ et $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $ est la matrice $ C_ (m \ times n ) = ( c_ (ij)) $, où $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ pour tout $ i = \ overline (1, m) $ et $ j = \ overline (1, n ) $.

Explication de l'entrée $ i = \ overline (1, m) $ : show \ hide

La notation "$ i = \ overline (1, m) $" signifie que le paramètre $ i $ va de 1 à m. Par exemple, l'enregistrement $ i = \ overline (1,5) $ dit que le paramètre $ i $ prend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5.

Il est à noter que les opérations d'addition et de soustraction ne sont définies que pour des matrices de même taille. En général, l'addition et la soustraction de matrices sont des opérations intuitivement claires, car elles signifient, en fait, simplement l'addition ou la soustraction des éléments correspondants.

Exemple 1

Trois matrices sont données :

$$ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (array) \ right) \; \; B = \ left (\ begin (array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right); \; \; F = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \ end (array) \ right). $$

Pouvez-vous trouver la matrice $ A + F $ ? Trouvez les matrices $ C $ et $ D $ si $ C = A + B $ et $ D = A-B $.

La matrice $ A $ contient 2 lignes et 3 colonnes (en d'autres termes, la taille de la matrice $ A $ est de 2 $ \ fois 3 $), et la matrice $ F $ contient 2 lignes et 2 colonnes. Les tailles des matrices $ A $ et $ F $ ne coïncident pas, nous ne pouvons donc pas les additionner, c'est-à-dire l'opération $ A + F $ pour ces matrices est indéfinie.

Les tailles des matrices $ A $ et $ B $ sont les mêmes, c'est-à-dire les données de la matrice contiennent un nombre égal de lignes et de colonnes, donc l'opération d'addition leur est applicable.

$$ C = A + B = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (array) \ right) + \ left (\ begin (array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ fin (tableau) \ droite) = \ gauche (\ début (tableau) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ fin (tableau) \ droite) $$

Trouvez la matrice $ D = A-B $ :

$$ D = AB = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (array) \ right) - \ left (\ begin (array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ fin (tableau) \ droite) = \\ = \ gauche (\ début (tableau) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ end (tableau) \ right) $$

Réponse: $ C = \ left (\ begin (array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end (array) \ right) $, $ D = \ left (\ begin (array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ end (array) \ right) $.

Multiplication d'une matrice par un nombre.

Le produit de la matrice $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ par le nombre $ \ alpha $ est la matrice $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $, où $ b_ (ij) = \ alpha \ cdot a_ (ij) $ pour tout $ i = \ overline (1, m) $ et $ j = \ overline (1, n) $.

En termes simples, multiplier une matrice par un certain nombre signifie multiplier chaque élément d'une matrice donnée par ce nombre.

Exemple n°2

La matrice est donnée : $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) $. Trouvez les matrices $ 3 \ cdot A $, $ -5 \ cdot A $ et $ -A $.

$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin ( array) (ccc) 3 \ cdot (-1) & 3 \ cdot (-2) & 3 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 4 & 3 \ cdot 9 & 3 \ cdot 0 \ end (array) \ right) = \ gauche (\ début (tableau) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ fin (tableau) \ droite). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ gauche (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \\ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (array) \ right). $$

La notation $ -A $ est un raccourci pour $ -1 \ cdot A $. Autrement dit, pour trouver $ -A $, vous devez multiplier tous les éléments de la matrice $ A $ par (-1). En fait, cela signifie que le signe de tous les éléments de la matrice $ A $ va changer à l'opposé :

$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ gauche (\ début (tableau) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ fin (tableau) \ droite) $$

Réponse: $ 3 \ cdot A = \ left (\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (array) \ right); \; -5 \ cdot A = \ left (\ begin (array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (array) \ right); \; -A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (array) \ right) $.

Produit de deux matrices.

La définition de cette opération est lourde et, à première vue, incompréhensible. Par conséquent, j'indiquerai d'abord une définition générale, puis nous analyserons en détail ce que cela signifie et comment travailler avec.

La matrice $ C_ (m \ fois k) = (c_ ( ij)) $, pour laquelle chaque élément de $ c_ (ij) $ est égal à la somme des produits des éléments correspondants de la i-ième rangée du matrice $ A $ par les éléments de la j-ième colonne de la matrice $ B $ : $$ c_ (ij) = \ sum \limits_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \ ; \; i = \ surligner (1, m), j = \ surligner (1, n). $$

Analysons la multiplication matricielle étape par étape à l'aide d'un exemple. Cependant, vous devez immédiatement faire attention au fait que toutes les matrices ne peuvent pas être multipliées. Si nous voulons multiplier la matrice $ A $ par la matrice $ B $, nous devons d'abord nous assurer que le nombre de colonnes de la matrice $ A $ est égal au nombre de lignes de la matrice $ B $ (de telles matrices sont souvent appelées D'accord). Par exemple, la matrice $ A_ (5 \ fois 4) $ (la matrice contient 5 lignes et 4 colonnes) ne peut pas être multipliée par la matrice $ F_ (9 \ fois 8) $ (9 lignes et 8 colonnes), puisque le nombre de colonnes de la matrice $ A $ n'est pas égal au nombre de lignes de la matrice $ F $, c'est-à-dire 4 $ \ neq 9 $. Mais vous pouvez multiplier la matrice $ A_ (5 \ fois 4) $ par la matrice $ B_ (4 \ fois 9) $, puisque le nombre de colonnes de la matrice $ A $ est égal au nombre de lignes de la matrice $ B $. Dans ce cas, le résultat de la multiplication des matrices $ A_ (5 \ fois 4) $ et $ B_ (4 \ fois 9) $ sera la matrice $ C_ (5 \ fois 9) $, contenant 5 lignes et 9 colonnes :

Exemple n° 3

Les matrices sont données : $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (array) \ right) $ et $ B = \ left (\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (array) \ right ) $. Trouvez la matrice $ C = A \ cdot B $.

Pour commencer, déterminons immédiatement la taille de la matrice $ C $. Puisque $ A $ vaut $ 3 \ fois 4 $ et $ B $ vaut $ 4 \ fois 2 $, la taille de $ C $ est de $ 3 \ fois 2 $ :

Ainsi, en résultat du produit des matrices $ A $ et $ B $, nous devrions obtenir la matrice $ C $, composée de trois lignes et deux colonnes : $ C = \ left (\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ (12) \\ c_ (21) & c_ (22) \\ c_ (31) & c_ (32) \ end (array) \ right) $. Si les désignations des éléments soulèvent des questions, vous pouvez consulter le sujet précédent : "Matrices. Types de matrices. Termes de base", au début duquel la désignation des éléments de la matrice est expliquée. Notre objectif est de trouver les valeurs de tous les éléments de la matrice $ C $.

Commençons par $ c_ (11) $. Pour obtenir l'élément $ c_ (11) $, vous devez trouver la somme des produits des éléments de la première ligne de la matrice $ A $ et de la première colonne de la matrice $ B $ :

Pour trouver l'élément $ c_ (11) $ lui-même, vous devez multiplier les éléments de la première ligne de la matrice $ A $ par les éléments correspondants de la première colonne de la matrice $ B $, c'est-à-dire le premier élément au premier, le deuxième au deuxième, le troisième au troisième, le quatrième au quatrième. Nous résumons les résultats obtenus :

$$ c_ (11) = - 1 \ cdot (-9) +2 \ cdot 6 + (- 3) \ cdot 7 + 0 \ cdot 12 = 0. $$

Continuons la solution et trouvons $ c_ (12) $. Pour ce faire, vous devez multiplier les éléments de la première ligne de la matrice $ A $ et de la deuxième colonne de la matrice $ B $ :

Comme pour le précédent, on a :

$$ c_ (12) = - 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot 20 + (- 3) \ cdot 0 + 0 \ cdot (-4) = 37. $$

Tous les éléments de la première ligne de $ C $ sont trouvés. Passez à la deuxième ligne, qui commence par $ c_ (21) $. Pour le trouver, il faut multiplier les éléments de la deuxième ligne de la matrice $ A $ et de la première colonne de la matrice $ B $ :

$$ c_ (21) = 5 \ cdot (-9) +4 \ cdot 6 + (- 2) \ cdot 7 + 1 \ cdot 12 = -23. $$

L'élément suivant $ c_ (22) $ se trouve en multipliant les éléments de la deuxième ligne de la matrice $ A $ par les éléments correspondants de la deuxième colonne de la matrice $ B $ :

$$ c_ (22) = 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 20 + (- 2) \ cdot 0 + 1 \ cdot (-4) = 91. $$

Pour trouver $ c_ (31) $ on multiplie les éléments de la troisième ligne de la matrice $ A $ par les éléments de la première colonne de la matrice $ B $ :

$$ c_ (31) = - 8 \ cdot (-9) +11 \ cdot 6 + (- 10) \ cdot 7 + (-5) \ cdot 12 = 8. $$

Et, enfin, pour trouver l'élément $ c_ (32) $, il faut multiplier les éléments de la troisième ligne de la matrice $ A $ par les éléments correspondants de la deuxième colonne de la matrice $ B $ :

$$ c_ (32) = - 8 \ cdot 3 + 11 \ cdot 20 + (- 10) \ cdot 0 + (-5) \ cdot (-4) = 216. $$

Tous les éléments de la matrice $ C $ sont trouvés, il ne reste plus qu'à écrire que $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) ) \ à droite) $ ... Ou, pour écrire en entier :

$$ C = A \ cdot B = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (array) \ right) = \ gauche (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) \ right). $$

Réponse: $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) \ right) $.

Soit dit en passant, il n'y a souvent aucune raison de décrire en détail le résultat de chaque élément de la matrice de résultat. Pour les matrices dont la taille est petite, vous pouvez procéder comme suit :

$$ \ left (\ begin (array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 6 \ cdot (4) +3 \ cdot (-6) & 6 \ cdot (9) +3 \ cdot (90 ) \\ -17 \ cdot (4) + (- 2) \ cdot (-6) & -17 \ cdot (9) + (- 2) \ cdot (90) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \ end (array) \ right) $$

Il convient également de noter que la multiplication matricielle est non commutative. Cela signifie qu'en général $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Uniquement pour certains types de matrices, appelées permutation(ou navettage), l'égalité $ A \ cdot B = B \ cdot A $ est vraie. Précisément sur la base de la non-commutativité de la multiplication, il faut indiquer exactement comment on multiplie l'expression par telle ou telle matrice : à droite ou à gauche. Par exemple, la phrase "multiplier les deux côtés de l'égalité $ 3E-F = Y $ par la matrice $ A $ à droite" signifie qu'il faut obtenir l'égalité suivante : $ (3E-F) \ cdot A = Y \ cdot A $.

Transposée par rapport à la matrice $ A_ (m \ fois n) = (a_ (ij)) $ est appelée la matrice $ A_ (n \ fois m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $ , pour les éléments pour lesquels $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.

En termes simples, pour obtenir la matrice transposée $ A ^ T $, vous devez remplacer les colonnes de la matrice d'origine $ A $ par les lignes correspondantes selon le principe suivant : si la première ligne était, la première colonne deviendra ; il y avait une deuxième ligne - il y aura une deuxième colonne ; il y avait une troisième ligne - il y aura une troisième colonne et ainsi de suite. Par exemple, trouvons la matrice transposée à la matrice $ A_ (3 \ fois 5) $ :

En conséquence, si la matrice d'origine était de 3 $ \ fois 5 $, alors la matrice transposée est de 5 $ \ fois 3 $.

Quelques propriétés des opérations sur les matrices.

On suppose ici que $ \ alpha $, $ \ beta $ sont des nombres, et $ A $, $ B $, $ C $ sont des matrices. Pour les quatre premières propriétés, j'ai indiqué les noms, le reste peut être nommé par analogie avec les quatre premières.

Conférence numéro 1

MATRICE

Définition et types de matrices

Définition 1.1.Matrice Taille T N.-É. appelé une table rectangulaire de nombres (ou d'autres objets) contenant m lignes et m Colonnes.

Les matrices sont désignées par des lettres majuscules (majuscules) de l'alphabet latin, par exemple, A, B, C, ... Les nombres (ou autres objets) qui composent la matrice sont appelés éléments matrices. Les éléments de la matrice peuvent être des fonctions. Pour désigner les éléments de la matrice, on utilise des lettres minuscules de l'alphabet latin à double indexation : aij, où le premier indice je(lire - et) - numéro de ligne, deuxième index j(lire - zhi) – numéro de colonne.

Définition 1.2. La matrice s'appelle carré n-ème ordre si le nombre de ses lignes est égal au nombre de colonnes et est égal au même nombre N.-É.

Pour une matrice carrée, les concepts sont introduits principal et secondaire diagonales.

Définition 1.3.Diagonale principale une matrice carrée est constituée d'éléments ayant les mêmes indices, c'est-à-dire Ce sont les éléments : une 11, un 22, ...

Définition 1.4. diagonale si tous les éléments, à l'exception des éléments de la diagonale principale, sont égaux à zéro

Définition 1.5. La matrice carrée s'appelle triangulaire si tous ses éléments situés au-dessous (ou au-dessus) de la diagonale principale sont égaux à zéro.

Définition 1.6. Matrice Carrée NS-ème ordre, dans lequel tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à un, et les autres sont égaux à zéro, est appelé Célibataire matrice m-ème ordre, et il est désigné par la lettre E.

Définition 1.7. Une matrice de n'importe quelle taille est appelée nul, ou matrice nulle, si tous ses éléments sont égaux à zéro.

Définition 1.8. Une matrice à une ligne est appelée matrice-ligne.

Définition 1.9. Une matrice à une seule colonne est appelée matrice de colonnes.

A = (un 11 une 12 ... une 1n) - matrice de lignes ;

Définition 1.10. Deux matrices UNE et V de même taille sont appelés égal, si tous les éléments correspondants de ces matrices sont égaux entre eux, c'est-à-dire aij = bij pour toute je= 1, 2, ..., T ; j = 1, 2,…, m.

Opérations matricielles

Un certain nombre d'opérations peuvent être effectuées sur des matrices, ainsi que sur des nombres. Les principales opérations sur les matrices sont l'addition (soustraction) de matrices, la multiplication d'une matrice par un nombre et la multiplication de matrices. Ces opérations sont similaires aux opérations sur les nombres. Une opération spécifique est la transposition matricielle.

Multiplier une matrice par un nombre

Définition 1.11.Le produit de la matrice A par le nombre est appelée la matrice B = A, dont les éléments sont obtenus en multipliant les éléments de la matrice UNE par le numéro .

Exemple 1.1. Trouver le produit d'une matrice A = au chiffre 5.

Solution... .◄ 5A =

La règle de multiplier une matrice par un nombre: pour multiplier une matrice par un nombre, tous les éléments de la matrice doivent être multipliés par ce nombre.

Conséquence.

1. Le facteur commun de tous les éléments de la matrice peut être retiré du signe de la matrice.

2. Le produit de la matrice UNE il existe une matrice nulle pour le nombre 0 : UNE· 0 = 0 .

Addition matricielle

Définition 1.12.La somme de deux matrices A et B la même taille t n appelé la matrice AVEC= UNE+ V, dont les éléments sont obtenus en additionnant les éléments correspondants de la matrice UNE et matrices V, c'est à dire. cij = aij + bij pour je = 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., m(c'est-à-dire que les matrices sont ajoutées élément par élément).

Conséquence. Somme matricielle UNE avec une matrice nulle est égal à la matrice d'origine : A + O = A.

1.2.3. Soustraction de matrices

Différence de deux matrices la même taille est déterminée par les opérations précédentes : A - B = A + (- 1)V.

Définition 1.13. Matrice –A = (- 1)UNE appelé contraire matrice UNE.

Conséquence. La somme des matrices opposées est égale à la matrice zéro : A + (–A) = O.

Multiplication matricielle

Définition 1.14.Multiplication de la matrice A par la matrice B il est déterminé lorsque le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième matrice. Puis produit de matrices une telle matrice s'appelle , dont chaque élément cij est égal à la somme des produits des éléments je-ième ligne de la matrice UNE sur les éléments correspondants jème colonne de la matrice B.

Exemple 1.4. Calculer le produit de matrices В, où

A =

=

Exemple 1.5. Trouver des produits Matrix UN B et VIRGINIE, où

Remarques. D'après les exemples 1.4-1.5, il s'ensuit que l'opération de multiplication matricielle présente quelques différences par rapport à la multiplication de nombres :

1) si le produit de matrices UN B existe, puis après réarrangement des facteurs par endroits, le produit des matrices Virginie peut ne pas exister. En effet, dans l'exemple 1.4, le produit des matrices AB existe, mais le produit BA n'existe pas ;

2) même si les travaux UN B et Virginie existent, alors le résultat du produit peut être des matrices de différentes tailles. Dans le cas où les deux fonctionnent UN B et Virginie les deux existent - des matrices de même taille (cela n'est possible que lors de la multiplication de matrices carrées du même ordre), alors la loi commutative (transposable) de la multiplication ne tient toujours pas, celles. UN B B A, comme dans l'exemple 1.5;

3) cependant, si nous multiplions la matrice carrée UNE sur la matrice identité E du même ordre, alors AE = AE = A.

Ainsi, la matrice identité dans la multiplication matricielle joue le même rôle que le nombre 1 dans la multiplication des nombres ;

4) le produit de deux matrices non nulles peut être égal à la matrice nulle, c'est-à-dire du fait que UN B= 0, il ne s'ensuit pas que A = 0 ou B = 0.

1ère année, mathématiques supérieures, nous étudions matrices et les actions de base sur eux. Ici, nous systématisons les opérations de base qui peuvent être effectuées avec des matrices. Par où commencer à se familiariser avec les matrices? Bien sûr, des plus simples - définitions, concepts de base et opérations les plus simples. Nous vous assurons que les matrices seront comprises par tous ceux qui y consacrent au moins un peu de temps !

Définition d'une matrice

Matrice Est une table rectangulaire d'éléments. Eh bien, si en termes simples - une table de nombres.

En règle générale, les matrices sont indiquées par des lettres latines majuscules. Par exemple, la matrice UNE , matrice B etc. Les matrices peuvent être de différentes tailles : rectangulaires, carrées, il existe aussi des matrices lignes et des matrices colonnes, appelées vecteurs. La taille de la matrice est déterminée par le nombre de lignes et de colonnes. Par exemple, écrivons une matrice rectangulaire de taille m au m , où m - le nombre de lignes, et m - le nombre de colonnes.

Éléments pour lesquels je = j (a11, a22, .. ) forment la diagonale principale de la matrice, et sont appelées diagonales.

Que pouvez-vous faire avec des matrices ? Ajouter / soustraire, multiplier par un nombre, se multiplier entre eux, transposer... Maintenant à propos de toutes ces opérations de base sur les matrices dans l'ordre.

Opérations d'addition et de soustraction matricielles

Nous vous prévenons tout de suite que vous ne pouvez ajouter que des matrices de même taille. Le résultat est une matrice de même taille. Ajouter (ou soustraire) des matrices est facile - il suffit d'ajouter leurs éléments respectifs ... Donnons un exemple. Ajoutons deux matrices A et B de taille deux par deux.

La soustraction est effectuée par analogie, uniquement avec le signe opposé.

Toute matrice peut être multipliée par un nombre arbitraire. Pour faire ça, vous devez multiplier chacun de ses éléments par ce nombre. Par exemple, multiplions la matrice A du premier exemple par le nombre 5 :

Opération de multiplication matricielle

Toutes les matrices ne peuvent pas être multipliées entre elles. Par exemple, nous avons deux matrices - A et B. Elles ne peuvent être multipliées l'une par l'autre que si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B. Dans ce cas chaque élément de la matrice résultante, se trouvant dans la i-ème ligne et la j-ème colonne, sera égal à la somme des produits des éléments correspondants dans la i-ème ligne du premier facteur et la j-ème colonne de la deuxième... Pour comprendre cet algorithme, écrivons comment deux matrices carrées sont multipliées :

Et un exemple avec des nombres réels. Multiplions les matrices :

Opération de transposition matricielle

La transposition matricielle est une opération où les lignes et les colonnes correspondantes sont permutées. Par exemple, transposons la matrice A du premier exemple :

Déterminant d'une matrice

Déterminant, mais déterminant est l'un des concepts de base de l'algèbre linéaire. Il était une fois des gens qui inventaient des équations linéaires, et derrière eux ils devaient inventer un déterminant. Du coup, il faut faire face à tout ça, donc, la dernière giclée !

Un déterminant est une caractéristique numérique d'une matrice carrée, qui est nécessaire pour résoudre de nombreux problèmes.
Pour calculer le déterminant de la matrice carrée la plus simple, vous devez calculer la différence entre les produits des éléments des diagonales principale et secondaire.

Le déterminant d'une matrice du premier ordre, c'est-à-dire constituée d'un élément, est égal à cet élément.

Et si la matrice était trois par trois ? Ici, c'est déjà plus compliqué, mais vous pouvez vous en sortir.

Pour une telle matrice, la valeur du déterminant est égale à la somme des produits des éléments de la diagonale principale et des produits des éléments situés sur les triangles à face parallèle à la diagonale principale, d'où le produit de la les éléments de la diagonale latérale et le produit des éléments se trouvant sur les triangles avec la face de la diagonale latérale parallèle sont soustraits.

Heureusement, il est rarement nécessaire de calculer des déterminants de grandes matrices en pratique.

Ici, nous avons couvert les opérations de base sur les matrices. Bien sûr, dans la vraie vie, vous ne rencontrerez peut-être jamais la moindre trace d'un système matriciel d'équations, ou vice versa - pour faire face à des cas beaucoup plus difficiles où vous devez vraiment vous casser la tête. C'est pour de tels cas qu'il existe un service étudiant professionnel. Demandez de l'aide, obtenez une solution de haute qualité et détaillée, profitez de votre réussite scolaire et de votre temps libre.

Afin de multiplier la matrice A par un nombre arbitraire , vous avez besoin des éléments de la matrice UNE multiplier par le nombre , c'est-à-dire le produit d'une matrice par un nombre sera le suivant :

Exemple 1. Trouver la matrice 3 UNE pour matrice

Solution. Conformément à la définition, on multiplie les éléments de la matrice UNE par 3 et obtenez

C'était un exemple très simple de multiplication d'une matrice par un nombre entier. Il y a aussi des exemples simples à venir, mais déjà tels où parmi les facteurs et éléments de matrices il y a des fractions, des variables (désignations de lettres), car les lois de la multiplication ne sont valables que pour les entiers, il n'est donc jamais nuisible de les répéter.

Exemple 2. UNE par le nombre si
, .

UNE par α, sans oublier que lors de la multiplication de fractions, le numérateur de la première fraction est multiplié par le numérateur de la première fraction et le produit est écrit dans le numérateur, et le dénominateur de la première fraction est multiplié par le dénominateur de la deuxième fraction et le produit est écrit dans le dénominateur. Lors de la réception du deuxième élément de la première ligne de la nouvelle matrice, la fraction résultante a été réduite de 2, cela doit être fait. On a

Exemple 3. Effectuer une opération de multiplication matricielle UNE par le nombre si
, .

Solution. Multiplier les éléments de la matrice UNE par α, sans se tromper dans la notation alphabétique, en n'oubliant pas de laisser un moins devant le deuxième élément de la deuxième ligne de la nouvelle matrice, et en se rappelant que le résultat de la multiplication d'un nombre par son nombre inverse est un (le premier élément de la troisième ligne). On a

.

Exemple 4. Effectuer une opération de multiplication matricielle UNE par le nombre si
, .

Solution. N'oubliez pas que lorsque vous multipliez un nombre dans une puissance par un nombre dans une puissance, les exposants s'additionnent. On a

.

Cet exemple, entre autres, démontre clairement que les opérations de multiplication d'une matrice par un nombre peuvent être lues (et écrites) dans l'ordre inverse, et c'est ce qu'on appelle mettre un facteur constant devant la matrice.

Combiné avec addition et soustraction de matrices l'opération de multiplication d'une matrice par un nombre peut former diverses expressions matricielles, par exemple, 5 UNE − 3B , 4UNE + 2B .

Propriétés de la multiplication d'une matrice par un nombre

(ici A, B - matrices, - nombres, 1 - nombre un)

1.

2.

3.

Les propriétés (1) et (2) relient la multiplication d'une matrice par un nombre avec l'addition de matrices. Il existe également un lien très important entre la multiplication d'une matrice par un nombre et la multiplication des matrices elles-mêmes :

c'est-à-dire que si dans le produit des matrices l'un des facteurs est multiplié par un nombre, alors le produit entier sera multiplié par un nombre.

Ce guide méthodologique vous aidera à apprendre à effectuer opérations avec des matrices: addition (soustraction) de matrices, transposition d'une matrice, multiplication de matrices, recherche de la matrice inverse. Tout le matériel est présenté sous une forme simple et accessible, des exemples pertinents sont donnés, de sorte que même une personne non préparée peut apprendre à effectuer des actions avec des matrices. Pour l'autocontrôle et l'autocontrôle, vous pouvez télécharger gratuitement un calculateur matriciel >>>.

Je vais essayer de minimiser les calculs théoriques, à certains endroits des explications sont possibles "sur les doigts" et l'utilisation de termes non scientifiques. Amateurs de théorie solide, ne critiquez pas, notre tâche est apprendre à effectuer des actions avec des matrices.

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Matrix est une table rectangulaire de tout éléments... Comme éléments nous considérerons des nombres, c'est-à-dire des matrices numériques. ÉLÉMENT Est un terme. Il convient de retenir le terme, il sera souvent rencontré, ce n'est pas par hasard que j'ai utilisé des caractères gras pour le mettre en évidence.

La désignation: les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules

Exemple: Considérons une matrice deux par trois :

Cette matrice se compose de six éléments:

Tous les nombres (éléments) à l'intérieur de la matrice existent par eux-mêmes, c'est-à-dire qu'il n'est pas question de soustraction :

C'est juste un tableau (ensemble) de nombres !

Nous serons également d'accord ne pas réorganiser chiffres, sauf indication contraire dans les explications. Chaque numéro a son propre emplacement et ne peut pas être mélangé !

La matrice en question a deux lignes :

et trois colonnes :

LA NORME: quand on parle de la taille de la matrice, alors en premier indiquer le nombre de lignes, et alors seulement - le nombre de colonnes. Nous venons de démonter une matrice deux par trois.

Si le nombre de lignes et de colonnes de la matrice est le même, alors la matrice est appelée carré, par exemple: - une matrice trois par trois.

Si la matrice a une colonne ou une ligne, alors ces matrices sont également appelées vecteurs.

En fait, on connaît la notion de matrice depuis l'école, considérons, par exemple, un point de coordonnées "x" et "jeu" :. Essentiellement, les coordonnées d'un point sont écrites dans une matrice un par deux. Au fait, voici un exemple pour vous de l'importance de l'ordre des nombres : et ce sont deux points complètement différents sur le plan.

Passons maintenant directement à l'étude actions avec des matrices:

1) Première action. Supprimer le moins de la matrice (ajouter le moins à la matrice).

Retour à notre matrice ... Comme vous l'avez peut-être remarqué, il y a trop de nombres négatifs dans cette matrice. C'est très gênant du point de vue de l'exécution de diverses actions avec la matrice, il est gênant d'écrire autant d'inconvénients, et sa conception est tout simplement moche.

Déplacez le moins à l'extérieur de la matrice en changeant le signe de CHAQUE élément de la matrice:

A zéro, comme vous le comprenez, le signe ne change pas, zéro - c'est également zéro en Afrique.

Exemple inversé : ... Ça a l'air moche.

Ajoutons un moins à la matrice en changeant le signe de CHAQUE élément de la matrice:

Eh bien, cela s'est avéré beaucoup plus agréable. Et, plus important encore, il sera PLUS FACILE d'effectuer des actions avec la matrice. Parce qu'il y a un tel présage folklorique mathématique: plus il y a d'inconvénients, plus il y a de confusion et d'erreurs.

2) Deuxième geste. Multiplier une matrice par un nombre.

Exemple:

C'est simple, pour multiplier une matrice par un nombre, il faut chaque l'élément de la matrice est multiplié par le nombre donné. Dans ce cas, les trois premiers.

Autre exemple utile :

- multiplication matricielle par une fraction

Voyons ce qu'il faut faire en premier. CE N'EST PAS NÉCESSAIRE:

Il n'est PAS NÉCESSAIRE d'entrer une fraction dans la matrice, premièrement, cela ne fait que compliquer les actions ultérieures avec la matrice, et deuxièmement, il est difficile pour l'enseignant de vérifier la solution (surtout si - la réponse finale de la tâche).

Et particulièrement, CE N'EST PAS NÉCESSAIRE diviser chaque élément de la matrice par moins sept :

De l'article Maths pour les nuls ou par où commencer, nous nous souvenons que les fractions décimales avec une virgule en mathématiques supérieures sont essayées de toutes les manières possibles pour éviter.

La seule chose qui souhaitable faire dans cet exemple est d'introduire un moins dans la matrice :

Mais si TOUS les éléments de la matrice étaient divisibles par 7 sans reste, alors il serait possible (et nécessaire !) de diviser.

Exemple:

Dans ce cas, il est possible et NÉCESSAIRE multiplier tous les éléments de la matrice par, puisque tous les nombres de la matrice sont divisibles par 2 sans reste.

Remarque : dans la théorie des mathématiques supérieures, il n'y a pas de concept scolaire de « division ». Au lieu de dire " divisez ceci par ceci ", vous pouvez toujours dire " multipliez cela par une fraction ". C'est-à-dire que la division est un cas particulier de multiplication.

3) Troisième action. Transposition matricielle.

Afin de transposer une matrice, vous devez écrire ses lignes dans les colonnes de la matrice transposée.

Exemple:

Matrice de transposition

Il n'y a qu'une ligne ici et, selon la règle, elle doit être écrite dans une colonne :

- matrice transposée.

Une matrice transposée est généralement indiquée par un exposant ou un tiret en haut à droite.

Exemple pas à pas :

Matrice de transposition

Tout d'abord, nous réécrivons la première ligne dans la première colonne :

Ensuite, nous réécrivons la deuxième ligne dans la deuxième colonne :

Enfin, nous réécrivons la troisième ligne dans la troisième colonne :

Prêt. En gros, transposer signifie tourner la matrice d'un côté.

4) Action quatre. Somme (différence) des matrices.

La somme des matrices est une opération simple.
TOUS LES MATRICES NE PEUVENT PAS SE PLIER. Pour effectuer l'addition (soustraction) de matrices, il est nécessaire qu'elles soient de la même TAILLE.

Par exemple, si une matrice deux par deux est donnée, alors elle ne peut être ajoutée qu'avec une matrice deux par deux et aucune autre !

Exemple:

Ajouter des matrices et

Afin d'ajouter des matrices, il est nécessaire d'ajouter leurs éléments correspondants:

Pour la différence des matrices, la règle est similaire, il faut trouver la différence des éléments correspondants.

Exemple:

Trouver la différence des matrices ,

Et comment résoudre cet exemple plus facilement pour ne pas se tromper ? Il est conseillé de se débarrasser des moins inutiles, pour cela nous ajoutons un moins à la matrice:

Remarque : dans la théorie des mathématiques supérieures, il n'y a pas de concept scolaire de « soustraction ». Au lieu de dire "soustraire ceci de ceci", vous pouvez toujours dire "ajouter un nombre négatif à cela". C'est-à-dire que la soustraction est un cas particulier d'addition.

5) Action cinq. Multiplication matricielle.

Quelles matrices peut-on multiplier ?

Pour que la matrice soit multipliée par la matrice, il faut de sorte que le nombre de colonnes de la matrice soit égal au nombre de lignes de la matrice.

Exemple:
Est-il possible de multiplier une matrice par une matrice ?

Cela signifie que vous pouvez multiplier ces matrices.

Mais si les matrices sont réarrangées, alors, dans ce cas, la multiplication est déjà impossible !

Par conséquent, la multiplication n'est pas possible :

Il n'est pas si rare que des tâches avec un truc soient rencontrées lorsqu'on demande à un élève de multiplier des matrices dont la multiplication est évidemment impossible.

Il convient de noter que dans un certain nombre de cas, il est possible de multiplier les matrices dans les deux sens.
Par exemple, pour les matrices, et la multiplication et la multiplication sont possibles