Sustitución de la base de la dimensión de la base de dependencia lineal. Existencia de una base para un espacio vectorial Complementar la base de un subespacio a una base para todo el espacio

Definición. Sistema de elementos хх ..., хх espacio lineal V se llama linealmente dependiente si hay números a ", ..., otq, no todos iguales a cero y tales que Si la igualdad (1) es válida solo para a] = ... = aq = 0, entonces el sistema de elementos xj, ..., x9 se llama linealmente independiente. Las siguientes afirmaciones son verdaderas. Teorema 1. Un sistema de elementos X \, ..., xq (q ^ 2) es linealmente dependiente si y solo si al menos uno de sus elementos puede representarse como una combinación lineal de los demás. Supongamos primero que el sistema de elementos x1 ..., xq es linealmente dependiente. Para mayor precisión, asumimos que el coeficiente a9 en igualdad (1) es distinto de cero. Trasladando todos los términos, excepto el último, al lado derecho, después de dividir por otq Ф О, obtenemos que el elemento xq es una combinación lineal de los elementos xi, ..., xq: a la inversa, si uno de los elementos es igual a la combinación lineal de las demás, luego, transfiriéndola a la parte izquierda, obtenemos una combinación lineal en la que hay coeficientes distintos de cero (-1 Ф 0). Esto significa que el sistema de elementos Xi, _____ xq es linealmente dependiente. Teorema 2. Sea el sistema de elementos X \, ..., X9 linealmente independiente e y = a \ X \ +. + Aqxq. Entonces, los coeficientes ori, ..., aq se determinan unívocamente a partir del elemento y. m Deja entonces Dependencia lineal Dimensión de base Cambie la base desde donde. De independencia lineal elementos X |, ..., xq se sigue que a (y, por tanto, un Teorema 3. El sistema de elementos que contiene un subsistema linealmente dependiente es linealmente dependiente ". Sean los primeros q elementos del sistema x1 ..., xq , xg + l, ..., xm son linealmente dependientes. Entonces hay una combinación lineal de estos elementos tal que no todos los coeficientes de ", ..., aq son iguales a cero. Sumando elementos, ..., xm con factores cero, obtenemos que en el lineal no todos los coeficientes son iguales a cero en la Fig. 5. Ejemplo: Los vectores de Vj son linealmente dependientes si y solo si son coplanares (Fig. 5). Un sistema ordenado de elementos en |, ..., e „de un espacio lineal V se denomina base de este espacio lineal si los elementos en |, ..., en son linealmente independientes y cada elemento de V se puede representar como una combinación lineal de ellos. aquí que a cada elemento se le asigna un número definido (ordinal). A partir de un sistema de n elementos es posible construir n! de sistemas ordenados Ejemplo, Sea a.b.c un triplete de vectores no coplanares de V j (figura 6). Entonces, los triples ordenados son bases diferentes. Sea c = (s! ... en) una base del espacio V.Entonces, para cualquier elemento x de V hay un conjunto de números ..., C tales que Por el Teorema 2 el los números, ..., С - las coordenadas del elemento х en la base с - se determinan unívocamente. Veamos qué sucede con las coordenadas de los elementos durante las acciones más simples. Sea y para cualquier número a. Así, cuando se suman los elementos, se suman sus coordenadas correspondientes, y cuando un elemento se multiplica por un número, todas sus coordenadas se multiplican por este número. Las coordenadas de los elementos a menudo se escriben convenientemente como una columna. Por ejemplo, n es la columna de coordenadas del elemento en la base s. Expandimos un sistema arbitrario de elementos X |, ..., x, en la base c, y consideramos las columnas de coordenadas de los elementos X |, ..., x9 en esta base: Teorema 4. El sistema de elementos x \ , ..., xq es linealmente dependiente entonces y solo si el sistema de sus columnas de coordenadas es linealmente dependiente de alguna manera. * Sea, además, que al menos uno de los coeficientes A * sea distinto de cero. Escribamos esto con más detalle. De aquí, debido a la unicidad de la expansión de un elemento en la base, se deduce que Dependencia lineal Base Dimensión Cambio de base Así, una combinación lineal de columnas de coordenadas de elementos xt, .. ., xq es igual a la columna cero (con los mismos coeficientes A |, ..., A?). Esto significa que el sistema de coordenadas es linealmente dependiente. Si se satisface la igualdad (2), entonces, llevando a cabo el razonamiento en orden inverso, obtenemos la fórmula (1). Por lo tanto, la desaparición de alguna combinación lineal no trivial (al menos uno de los coeficientes es distinto de cero) de elementos de un espacio lineal es equivalente al hecho de que una combinación lineal no trivial de sus columnas de coordenadas (con los mismos coeficientes) es igual a cero. columna. Teorema 5. Sea una base c de un espacio lineal V que consta de n elementos. Entonces, cualquier sistema de m elementos, donde m> n, es linealmente dependiente. o, que es también, * En virtud del Teorema 3, basta considerar el caso Sea Xj, ..., xn + | - elementos arbitrarios del espacio V.Expandamos cada elemento en la base con y anotemos las coordenadas de los elementos ........... en forma de matriz, asignando la columna a las coordenadas de el elemento. Obtenemos una matriz de n filas yn + 1 columnas - Dado que el rango de la matriz K no excede el número n de sus filas, las columnas de la matriz K (sus n + 1) son linealmente dependientes. Y dado que estas son columnas de elementos de coordenadas, entonces de acuerdo con el Teorema 4 el sistema de elementos X | ..... x „+ | también linealmente dependiente. Consecuencia. Todas las bases del espacio lineal V constan del mismo número de elementos. Supongamos que una base c consta de n elementos y una base c "de n elementos. En virtud del teorema que se acaba de demostrar, a partir de la independencia lineal del sistema e1, ..., e" n llegamos a la conclusión de que n " n. Sea c = una base de V. Es fácil verificar que la envolvente lineal tiene dimensión k. Por definición, Teorema 6 (al completar de una base). Sea un sistema de elementos de un espacio lineal V de dimensión n linealmente independiente y k. Entonces en el espacio V hay elementos a * + 1, ..., a tales que el sistema a „es una base V. Sea b ser un elemento arbitrario del espacio lineal V.Si el sistema es linealmente dependiente, entonces ^ dado que en una combinación lineal no trivial el coeficiente se debe a la independencia lineal del sistema a. Si se pudiera escribir una expansión de la forma (4) para cualquier elemento b del espacio V, entonces el sistema original a |, ..., a * sería una base según la definición. Pero en virtud de la condición, esto es imposible. Por tanto, debe existir un elemento a * + i € V tal que el sistema completo ai, ..., ab, a * + | será helada pero independiente. Si k + 1 = n, entonces este sistema es una base del espacio V. Si k + 1, entonces el razonamiento anterior debe repetirse para el sistema a. De esta manera, cualquier sistema de elementos linealmente independientes dado puede extenderse a la base de todo el espacio V. Ejemplo. Complementa el sistema de dos vectores a | = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) del espacio R4 a la base de este espacio. Tomemos los vectores aj = (en el espacio R4 y demuestre que el sistema de vectores ai.aj.aj, a4 es una base de R4. Y, por tanto, los vectores at.ar.as, a ^ son linealmente independientes.> Se utiliza un enfoque similar en el caso general: para complementar el sistema con elementos linealmente independientes a la base del espacio, la matriz Dependencia lineal Base Dimensión Reemplazando la base por la forma de transformaciones de filas elementales, y luego complementada con n - a filas de la forma de modo que el rango de la matriz resultante sea igual an. El siguiente enunciado es verdadero: Teorema 7. Sean subespacios lineales de un espacio lineal V, Entonces. con respecto a la base c. Tenemos Estas relaciones pueden ser convenientemente escrito en forma de matriz La matriz se llama matriz de transición de la base c a la base c ". Propiedades de la matriz de transición. Prueba de esto Esta propiedad se realiza por contradicción. La igualdad det S = 0 implica una dependencia lineal de las columnas de la matriz S. Estas columnas son las columnas de coordenadas del elemento ", ..." e "n en la base c. Por tanto (y como consecuencia del Teorema 4) los elementos e "y ..., e" n deben ser linealmente dependientes. Esto último contradice el hecho de que c "es una base. Por lo tanto, la suposición de que det S = 0 no es cierta. 2. Si ..., y ..., son las coordenadas del elemento x en las bases c y c ", respectivamente, luego _ Reemplazando en fórmula por sus expresiones (1), obtenemos que Por tanto, debido a la unicidad de la expansión del elemento en la base, tenemos I Pasando a la notación matricial de las igualdades encontradas, estamos convencido de la validez de la propiedad 2. 3. S-1 es la matriz de transición de la base con "a la base con.

Permitir V espacio vectorial sobre campo R, S es un sistema de vectores de V.

Definición 1. La base del sistema de vectores. S tal subsistema ordenado linealmente independiente se llama B 1, B 2, ..., B R sistemas S que cualquier vector del sistema S combinación lineal de vectores B 1, B 2, ..., B R.

Definición 2. El rango del sistema de vectores. S es el número de vectores en la base del sistema S... El rango del sistema de vectores se denota S símbolo R= sonó S.

Si S = ( 0 ), entonces el sistema no tiene base y se supone que sonó S= 0.

Ejemplo 1. Sea un sistema de vectores A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1,3). Vectores A 1 , A 2 forman la base de este sistema, ya que son linealmente independientes (ver Ejemplo 3.1) y A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2. El rango de este sistema vectorial es dos.

Teorema 1(teorema de la base). Sea S un sistema finito de vectores de V, S ≠{0 }. Entonces las afirmaciones son verdaderas.

1 ° Cualquier subsistema linealmente independiente del sistema S puede complementarse a una base.

2 ° El sistema S tiene una base.

2 ° Dos bases cualesquiera del sistema S contienen el mismo número de vectores, es decir, el rango del sistema no depende de la elección de la base.

4 ° Si R= sonó S, entonces cualesquiera r vectores linealmente independientes forman una base del sistema S.

5 ° Si R= sonó S, Entonces, cualesquiera k> r vectores del sistema S son linealmente dependientes.

6 ° Cualquier vector A€ S se expresa de forma lineal única en términos de los vectores base, es decir, si B 1, B 2, ..., B R es una base del sistema S, entonces

A = A1 B 1 + A2 B 2 +...+ ARB R; A1 , A2 , ..., Anorte€ P,(1)

Y esa vista es la única.

En virtud del 5 °, la base es Subsistema máximo linealmente independiente sistemas S, y el rango del sistema S el número de vectores en dicho subsistema.

Representación vectorial A en la forma (1) se llama Por descomposición del vector en términos de los vectores base, y los números a1, a2 , ..., ar se llaman Coordenadas vectoriales A En esta base.

Prueba. 1 ° Dejar B 1, B 2, ..., B K- subsistema linealmente independiente del sistema S... Si cada vector del sistema S Se expresa linealmente a través de los vectores de nuestro subsistema, entonces, por definición, es la base del sistema. S.

Si hay un vector en el sistema S, que no se expresa linealmente en términos de vectores B 1, B 2, ..., B K, luego lo denotamos por B K+1. Entonces los sistemas B 1, B 2, ..., B K, B K+1 - linealmente independiente. Si cada vector del sistema S Se expresa linealmente a través de los vectores de este subsistema, entonces por definición es la base del sistema. S.

Si hay un vector en el sistema S, que no se expresa linealmente en términos de B 1, B 2, ..., B K, B K+1, luego repetimos el razonamiento. Continuando con este proceso, llegamos a la base del sistema S, o aumentaremos en uno el número de vectores en el sistema linealmente independiente. Dado que el sistema S un número finito de vectores, entonces la segunda alternativa no puede continuar infinitamente y en algún paso obtenemos la base del sistema S.

2 ° Dejar S un sistema finito de vectores y S ≠{0 ). Entonces en el sistema S hay un vector B 1 ≠ 0, que forma un subsistema linealmente independiente del sistema S... Según la primera parte, se puede complementar a la base del sistema S... Por lo tanto, el sistema S tiene una base.

3 ° Supongamos que el sistema S tiene dos bases:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

Según la definición de la base, el sistema de vectores (2) es linealmente independiente y (2) Í S... Además, de acuerdo con la definición de la base, cada vector del sistema (2) es una combinación lineal de vectores del sistema (3). Entonces, por el teorema principal de dos sistemas de vectores R £ S... Se puede probar de manera similar que S £ R... Estas dos desigualdades implican R = S.

4 ° Dejar R= sonó S, A 1, A 2, ..., A R- subsistema linealmente independiente S... Demostremos que es una base de los sistemas S... Si no es una base, entonces de acuerdo con la primera parte se puede complementar a una base y obtenemos una base. A 1, A 2, ..., A R, A R+1,..., A R+T que contiene más de R

5 ° Si K vectores A 1, A 2, ..., A K (K > R) sistemas S- son linealmente independientes, entonces, según la primera parte, este sistema de vectores se puede complementar a una base y obtenemos una base A 1, A 2, ..., A K, A K+1,..., A K+T que contiene más de R vectores. Esto contradice lo probado en la tercera parte.

6 ° Dejar B 1, B 2, ..., B R base del sistema S... Según la definición de la base, cualquier vector A € S hay una combinación lineal de vectores base:

A = a1 B 1 + a2 B 2 + ... + ar B R.

Demostrando la singularidad de tal representación, asumimos lo contrario, que hay una representación más:

A = b1 B 1 + b2 B 2 + ... + br B R.

Restando las igualdades término por término, encontramos

0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 + ... + (ar - br) B R.

Desde la base B 1, B 2, ..., B R es un sistema linealmente independiente, entonces todos los coeficientes ai - bi = 0; I = 1, 2, ..., R... Por tanto, ai = bi; I = 1, 2, ..., R y se prueba la unicidad.

V.V. Golovizin Conferencias sobre álgebra y geometría. 5

Conferencias sobre álgebra y geometría. Semestre 2.

Tema 23. La base de un espacio vectorial.

Resumen: un criterio para la dependencia lineal de un sistema de vectores distintos de cero, un subsistema de un sistema de vectores, un sistema generador de vectores, un sistema generador mínimo y un sistema linealmente independiente máximo, una base de un espacio vectorial y 4 de sus definiciones equivalentes, la dimensión de un espacio vectorial, un espacio vectorial de dimensión finita y la existencia de su base, complemento a base.

Objeto 1. Un criterio de dependencia lineal de un sistema de vectores distintos de cero.

Teorema. Un sistema de vectores distintos de cero es linealmente dependiente si y solo si hay un vector del sistema que se expresa linealmente en términos de los vectores anteriores de este sistema.

Prueba. Sea el sistema formado por vectores distintos de cero y sea linealmente dependiente. Considere un sistema de un vector:
... Porque
, luego el sistema
- independiente linealmente. Le adjuntamos el vector ... Si el sistema resultante
es linealmente independiente, entonces le adjuntamos el siguiente vector: ... Etc. continuar hasta que obtengamos un sistema linealmente dependiente
, dónde . Se debe encontrar tal número, ya que sistema original
es linealmente dependiente por condición.

Entonces, por construcción, obtuvimos un sistema linealmente dependiente
, además, el sistema
es linealmente independiente.

Sistema
representa el vector cero de forma no trivial, es decir hay un conjunto de escalares distinto de cero
, qué

donde escalar
.

De hecho, de lo contrario, si
, entonces tendríamos una representación no trivial del vector cero mediante un sistema linealmente independiente
, lo cual es imposible.

Dividir la última igualdad por un escalar distinto de cero
, podemos expresar a partir de él el vector :

Dado que lo contrario es obvio, se demuestra el teorema.

elemento 2. Subsistemas del sistema espacial vectorial.

Definición. Cualquier subconjunto no vacío del sistema vectorial
se denomina subsistema de este sistema vectorial.

Ejemplo. Permitir
- un sistema de 10 vectores. Entonces los sistemas de vectores:
;
,
- subsistemas de este sistema vectorial.

Teorema. Si el sistema vectorial contiene un subsistema linealmente dependiente, entonces el propio sistema vectorial también es linealmente dependiente.

Prueba. Sea un sistema de vectores
y dejemos, para definirlo, el subsistema
, dónde
es linealmente dependiente. Entonces representa el vector cero de forma no trivial:

donde entre los coeficientes
hay al menos uno que no es igual a cero. Pero entonces la siguiente igualdad es una representación no trivial del vector cero:

de donde, por definición, la dependencia lineal del sistema sigue
etc.

Se demuestra el teorema.

Consecuencia. Cualquier subsistema de un sistema vectorial linealmente independiente es linealmente independiente.

Prueba. Supongamos lo contrario. Sea algún subsistema de este sistema linealmente dependiente. Entonces el teorema implica una dependencia lineal de este sistema, lo que contradice la condición.

El corolario está probado.

pág.3. Sistemas de columnas del espacio vectorial aritmético de columnas.

Como caso especial, el teorema se deriva de los resultados de la sección anterior.

1) Un sistema de columnas es linealmente dependiente si y solo si hay al menos una columna en el sistema que se expresa linealmente en términos de otras columnas de este sistema.

2) Un sistema de columnas es linealmente independiente si y solo si ninguna columna del sistema se expresa linealmente en términos de otras columnas de este sistema.

3) Un sistema de columnas que contiene una columna cero es linealmente dependiente.

4) Un sistema de columnas que contiene dos columnas iguales es linealmente dependiente.

5) Un sistema de columnas que contiene dos columnas proporcionales es linealmente dependiente.

6) Un sistema de columnas que contiene un subsistema linealmente dependiente es linealmente dependiente.

7) Cualquier subsistema de un sistema de columnas linealmente independiente es linealmente independiente.

Lo único que debe aclararse aquí es el concepto de columnas proporcionales.

Definición. Dos columnas no nulas
se llaman proporcionales si hay un escalar
tal que
o

,
, …,
.

Ejemplo. Sistema
es linealmente dependiente, ya que sus dos primeras columnas son proporcionales.

Comentario. Ya sabemos (ver lección 21) que el determinante es igual a cero si el sistema de sus columnas (filas) es linealmente dependiente. En lo que sigue, se demostrará que lo contrario también es cierto: si el determinante es cero, entonces el sistema de sus columnas y el sistema de sus filas son linealmente dependientes.

artículo 4. La base de un espacio vectorial.

Definición. Sistema vectorial
de un espacio vectorial sobre un campo K se denomina sistema generador (generador) de vectores de este espacio vectorial si representa cualquiera de sus vectores, es decir si hay tal conjunto de escalares
, qué .

Definición. Un sistema de vectores de un espacio vectorial se denomina sistema generador mínimo si, después de eliminar cualquier vector de este sistema, deja de ser un sistema generador.

Comentario. Se deduce inmediatamente de la definición que si el sistema generador de vectores no es mínimo, entonces hay al menos un vector del sistema, después de eliminarlo del sistema, el sistema de vectores restante seguirá generando.

Lema (sobre un sistema generador linealmente dependiente).

Si en un sistema de vectores linealmente dependiente y generador, uno de los vectores se expresa linealmente en términos de los otros, entonces se puede eliminar del sistema y se generará el sistema restante de vectores.

Prueba. Deje que el sistema
linealmente dependiente y generador, y dejemos que uno de sus vectores se exprese linealmente en términos de otros vectores de este sistema.

Para mayor precisión y simplicidad de notación, supongamos que

Porque
¿Es el sistema generador, entonces
hay tal conjunto de escalares
, qué

De esto obtenemos

aquellos. cualquier vector x se expresa linealmente en términos de los vectores del sistema
, lo que significa que es un sistema generador, etc.

Corolario 1. Un sistema de vectores linealmente dependiente y generador no es mínimo.

Prueba. Se sigue inmediatamente del lema y la definición del sistema generador mínimo de vectores.

Corolario 2. El sistema generador mínimo de vectores es linealmente independiente.

Prueba. Suponiendo lo contrario, llegamos a una contradicción con el Corolario 1.

Definición. Un sistema de vectores de un espacio vectorial se denomina sistema linealmente independiente máximo si, al agregar cualquier vector a este sistema, se vuelve linealmente dependiente.

Comentario. De la definición se sigue inmediatamente que si el sistema es linealmente independiente, pero no máximo, entonces hay un vector que, cuando se agrega al sistema, da como resultado un sistema linealmente independiente.

Definición. Una base de un espacio vectorial V sobre un campo K es un sistema ordenado de sus vectores, que representa cualquier vector de un espacio vectorial de una manera única.

En otras palabras, el sistema de vectores
de un espacio vectorial V sobre un campo K se llama su base si
solo hay un conjunto de escalares
, tal que.

Teorema. (Sobre cuatro definiciones equivalentes de una base).

Permitir
- sistema ordenado de vectores del espacio vectorial. Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:

1. Sistema
es la base.

2. Sistema
es un sistema de vectores linealmente independiente y generador.

3. Sistema
es un sistema de vectores linealmente independiente máximo.

4. Sistema
es el sistema mínimo generador de vectores.

Prueba.

Dejemos que el sistema de vectores
es la base. De la definición de una base se deduce inmediatamente que este sistema de vectores es un sistema generador de vectores de un espacio vectorial, por lo que solo necesitamos demostrar su independencia lineal.

Asumamos que este sistema los vectores son linealmente dependientes. Luego hay dos representaciones del vector cero: trivial y no trivial, lo que contradice la definición de la base.

Dejemos que el sistema de vectores
es linealmente independiente y generador. Necesitamos demostrar que este sistema linealmente independiente es máximo.

Supongamos lo contrario. Sea el sistema de vectores linealmente independiente dado no máximo. Entonces, en virtud de la observación anterior, hay un vector que se puede agregar a este sistema y el sistema de vectores resultante permanece linealmente independiente. Sin embargo, por otro lado, el vector agregado al sistema se puede representar como una combinación lineal del sistema original de vectores debido a que es un sistema generador.

Y obtenemos que en el nuevo sistema extendido de vectores, uno de sus vectores se expresa linealmente en términos de otros vectores de este sistema. Este sistema vectorial es linealmente dependiente. Tenemos una contradicción.

Dejemos que el sistema de vectores
el espacio vectorial es linealmente independiente máximo. Demostremos que es un sistema generador mínimo.

a) Primero, probamos que es un sistema generador.

Tenga en cuenta que, debido a la independencia lineal, el sistema
no contiene un vector nulo. Sea un vector arbitrario distinto de cero. Agreguémoslo a este sistema de vectores:
... El sistema resultante de vectores distintos de cero es linealmente dependiente, ya que el sistema de vectores original es linealmente independiente máximo. Esto quiere decir que en este sistema existe un vector que se expresa linealmente a través de los anteriores. En el sistema original linealmente independiente
ninguno de los vectores se puede expresar en términos de los anteriores, por lo tanto, solo el vector x se expresa linealmente en términos de los anteriores. Por lo tanto, el sistema
representa cualquier vector distinto de cero. Queda por notar que este sistema obviamente también representa un vector cero, es decir sistema
es generativo.

b) Probemos ahora su minimidad. Supongamos lo contrario. Entonces uno de los vectores del sistema se puede eliminar del sistema y el sistema de vectores restante seguirá siendo el sistema generador y, por lo tanto, el vector eliminado del sistema también se expresa linealmente en términos de los vectores restantes del sistema, lo que contradice la independencia lineal del sistema original de vectores.

Dejemos que el sistema de vectores
el espacio vectorial es el sistema generador mínimo. Entonces representa cualquier vector del espacio vectorial. Necesitamos demostrar la singularidad de la representación.

Supongamos lo contrario. Sea algún vector x expresado linealmente en términos de los vectores de un sistema dado de dos formas diferentes:

Restando otro de una igualdad, obtenemos:

En virtud del Corolario 2, el sistema
es linealmente independiente, es decir representa un vector cero solo trivialmente, por lo que todos los coeficientes de esta combinación lineal deben ser cero:

Por lo tanto, cualquier vector x se expresa linealmente en términos de los vectores de un sistema dado de una manera única, p.a.

Se demuestra el teorema.

pág.5. Dimensión del espacio vectorial.

Teorema 1. (Sobre el número de vectores en sistemas de vectores generadores y linealmente independientes). El número de vectores en cualquier sistema de vectores linealmente independientes no excede el número de vectores en cualquier sistema generador de vectores del mismo espacio vectorial.

Prueba. Permitir
un sistema arbitrario linealmente independiente de vectores,
- un sistema generador arbitrario. Asumamos eso.

Porque
sistema generador, entonces representa cualquier vector de espacio, incluido el vector ... Adjuntémoslo a este sistema. Obtenemos un sistema de vectores linealmente dependiente y generador:
... Entonces hay un vector
de este sistema, que se expresa linealmente en términos de los vectores anteriores de este sistema y, en virtud del lema, se puede eliminar del sistema, y el sistema de vectores restante seguirá generando.

... Porque este sistema está generando, entonces representa el vector
y agregándolo a este sistema, obtenemos nuevamente un sistema generador y linealmente dependiente :.

Entonces todo se repite. Hay un vector en este sistema, que se expresa linealmente en términos de los anteriores, y este no puede ser un vector ya que sistema original
linealmente independientes y vectoriales no se expresa linealmente en términos del vector
... Por tanto, solo puede ser uno de los vectores
... Al eliminarlo del sistema, obtenemos, tras renumerar, el sistema que será el sistema generador. Continuando con este proceso, a través de pasos obtenemos un sistema generador de vectores :, donde
ya que según nuestra suposición. Por tanto, este sistema, como sistema generador, también representa un vector, lo que contradice la condición de independencia lineal del sistema.
.

Se demuestra el teorema 1.

Teorema 2. (Sobre el número de vectores en una base). Cualquier base de un espacio vectorial contiene el mismo número de vectores.

Prueba. Permitir
y
- dos bases arbitrarias del espacio vectorial. Cualquier base es un sistema de vectores linealmente independiente y generador.

Porque el primer sistema es linealmente independiente, y el segundo genera, entonces, por el Teorema 1,
.

De manera similar, el segundo sistema es linealmente independiente y el primero genera, entonces. De ahí se sigue que
etc.

Se demuestra el teorema 2.

Este teorema nos permite introducir la siguiente definición.

Definición. La dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo K es el número de vectores en su base.

Designacion:
o
.

pág.6. La existencia de una base para un espacio vectorial.

Definición. Un espacio vectorial se llama de dimensión finita si tiene un sistema generador finito de vectores.

Comentario. Solo estudiaremos espacios vectoriales de dimensión finita. A pesar de que ya sabemos bastante sobre la base de un espacio vectorial de dimensión finita, no estamos seguros de que exista una base para tal espacio. Todas las propiedades obtenidas previamente se obtuvieron bajo el supuesto de que existe la base. El siguiente teorema cierra esta cuestión.

Teorema. (Sobre la existencia de una base para un espacio vectorial de dimensión finita.) Cualquier espacio vectorial de dimensión finita tiene una base.

Prueba. Por hipótesis, existe un sistema generador finito de vectores de un espacio vectorial V de dimensión finita dado:
.

Tenga en cuenta de inmediato que si el sistema generador de vectores está vacío, es decir, no contiene ningún vector, entonces, por definición, se supone que este espacio vectorial es cero, es decir
... En este caso, por definición, se supone que la base del espacio vectorial cero es una base vacía, y su dimensión, por definición, se supone que es cero.

Además, deje un espacio vectorial distinto de cero y
sistema generador finito de vectores distintos de cero. Si es linealmente independiente, entonces todo está probado, ya que un sistema linealmente independiente y generador de vectores de un espacio vectorial es su base. Si el sistema de vectores dado es linealmente dependiente, entonces uno de los vectores de este sistema se expresa linealmente en términos de los restantes y se puede eliminar del sistema, y el sistema de vectores restante, en virtud del Lema 5, será todavía estar generando.

Volvamos a numerar el sistema vectorial restante:
... Además, se repite el razonamiento. Si este sistema es linealmente independiente, entonces es una base. Si no es así, nuevamente habrá un vector en este sistema que se puede eliminar, y el sistema restante se generará.

Al repetir este proceso, no podemos quedarnos con un sistema vectorial vacío, porque en el caso más extremo, llegamos a un sistema generador de un vector distinto de cero, que es linealmente independiente y, por tanto, una base. Por lo tanto, en algún paso llegamos a un sistema de vectores linealmente independiente y generador, es decir, a la base.

Se demuestra el teorema.

Lema. Permitir . Luego:

1. Cualquier sistema de un vector es linealmente dependiente.

2. Cualquier sistema de vectores linealmente independientes es su base.

Prueba. 1). Según la hipótesis del lema, el número de vectores en la base es igual y la base es un sistema generador; por lo tanto, el número de vectores en cualquier sistema linealmente independiente no puede exceder.

2). Como se desprende de lo que se acaba de demostrar, cualquier sistema de vectores linealmente independientes de este espacio vectorial es máximo y, por tanto, una base.

El lema está probado.

Teorema (En complemento a una base.) Cualquier sistema de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial puede complementarse a una base de este espacio.

Prueba. Sea un espacio vectorial de dimensión ny
algún sistema linealmente independiente de sus vectores. Luego
.

Si
, entonces por el lema anterior, este sistema es una base y no hay nada que probar.

Si
, entonces este sistema no es un sistema independiente lineal máximo (de lo contrario sería una base, lo cual es imposible, ya que). Por tanto, existe un vector
tal que el sistema
- independiente linealmente.

Si, ahora, entonces el sistema
es la base.

Si
, todas las repeticiones. El proceso de reabastecimiento del sistema no puede continuar indefinidamente, ya que en cada paso obtenemos un sistema linealmente independiente de vectores en el espacio, y por el lema anterior, el número de vectores en tal sistema no puede exceder la dimensión del espacio. Por lo tanto, en algún paso llegaremos a la base este espacio.

Se demuestra el teorema.

pág.7. Ejemplo.

1. Sea K un campo arbitrario, sea el espacio vectorial aritmético de las columnas de la altura. Luego . Para la prueba, considere el sistema de columnas de este espacio.

Se llama de dimensión finita si tiene un sistema generador finito de vectores.

Comentario. Solo estudiaremos espacios vectoriales de dimensión finita. A pesar de que ya sabemos bastante sobre la base de un espacio vectorial de dimensión finita, no estamos seguros de que tal espacio exista en absoluto. Todos los obtenidos previamente se obtuvieron bajo el supuesto de que existe la base. El siguiente cierra esta pregunta.

Teorema. (Sobre la existencia de una base para un espacio vectorial de dimensión finita).

Cualquier espacio vectorial de dimensión finita tiene una base.

Prueba. Por hipótesis, existe un sistema generador finito para un espacio vectorial V: de dimensión finita dado.

Tenga en cuenta de inmediato que si el sistema generador de vectores está vacío, es decir, no contiene ningún vector, entonces, por definición, se supone que el espacio vectorial dado es cero, es decir ... En este caso, por definición, se supone que la base del espacio vectorial cero es una base vacía y, por definición, se supone que es cero.

Si este sistema es independiente, entonces todo está probado, porque un sistema linealmente independiente y generador de vectores de un espacio vectorial es su base.

Si el sistema de vectores dado es linealmente dependiente, entonces uno de los vectores de este sistema se expresa linealmente en términos de los restantes y se puede eliminar del sistema, y el sistema de vectores restante seguirá generándose.

Enumeremos el sistema de vectores restante :. Además, se repite el razonamiento.

Si este sistema es linealmente independiente, entonces es una base. Si no es así, nuevamente habrá un vector en este sistema que se puede eliminar, y el sistema restante se generará.

Se demuestra el teorema.

Lema. (En sistemas de vectores en un espacio vectorial n-dimensional).

Permitir . Luego:

1. Cualquier sistema de un vector es linealmente dependiente.

2. Cualquier sistema de vectores linealmente independientes es su base.

2). Como se desprende de lo que se acaba de demostrar, cualquier sistema de vectores linealmente independientes de este espacio vectorial es máximo y, por tanto, una base.

El lema está probado.

Teorema (En complemento a una base.) Cualquier sistema de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial puede complementarse a una base de este espacio.

Prueba. Sea un espacio vectorial de dimensión ny algún sistema linealmente independiente de sus vectores. Luego .

Si, entonces por el lema anterior, este sistema es una base y no hay nada que probar.

Si, entonces este sistema no es un sistema independiente máximo (de lo contrario sería una base, lo cual es imposible, ya que). Por tanto, existe un vector tal que el sistema - independiente linealmente.

Si, ahora, entonces el sistema es la base.

Si, sin embargo, todo se repite. El proceso de reabastecimiento del sistema no puede continuar indefinidamente, ya que en cada paso obtenemos un sistema linealmente independiente de vectores en el espacio, y por el lema anterior, el número de vectores en tal sistema no puede exceder la dimensión del espacio. En consecuencia, en algún paso llegaremos a la base del espacio dado.

Definición. Base

de un espacio vectorial aritmético de columnas de altura n se llama canónico o natural.