Existencia de una base espacial vectorial. Dependencia lineal base dimensión reemplazo de base Complementar la base de un subespacio a la base de todo el espacio

Golovizina V.V. Clases de Álgebra y Geometría. cinco

Clases de Álgebra y Geometría. Semestre 2.

Conferencia 23 espacio vectorial.

Resumen: criterio de dependencia lineal de un sistema de vectores distintos de cero, subsistemas de un sistema de vectores, sistema generador de vectores, sistema generador mínimo y sistema máximo linealmente independiente, base del espacio vectorial y sus 4 definiciones equivalentes, dimensión del espacio vectorial, finito -espacio vectorial dimensional y existencia de su base, adición a la base.

Objeto 1. Criterio de dependencia lineal de un sistema de vectores distintos de cero.

Teorema. Un sistema de vectores distintos de cero es linealmente dependiente si y solo si hay un vector del sistema que se expresa linealmente en términos de los vectores anteriores de este sistema.

Prueba. Deje que el sistema consista en vectores distintos de cero y sea linealmente dependiente. Considere un sistema de un vector:
. Porque
, entonces el sistema
es linealmente independiente. Adjuntarle un vector . Si el sistema resultante
linealmente independiente, luego le agregamos el siguiente vector: . Etc continuar hasta obtener un sistema linealmente dependiente
, donde . Definitivamente habrá tal número, porque. sistema fuente
es linealmente dependiente por supuesto.

Entonces, por construcción, hemos obtenido un sistema linealmente dependiente
, además, el sistema
es linealmente independiente.

Sistema
representa el vector nulo de una manera no trivial, es decir existe un conjunto de escalares distinto de cero
, qué

donde esta el escalar
.

De hecho, de lo contrario, si
, entonces tendríamos una representación no trivial del vector cero por un sistema linealmente independiente
, lo cual es imposible.

Dividir la última igualdad por un escalar distinto de cero
, podemos expresar un vector a partir de él :

,

Dado que lo contrario es obvio, el teorema está probado.

artículo 2. Subsistemas de un sistema de vectores de un espacio vectorial.

Definición. Cualquier subconjunto no vacío del sistema vectorial
se llama un subsistema del sistema de vectores dado.

Ejemplo. Permitir
es un sistema de 10 vectores. Entonces los sistemas de vectores:
;
,
son subsistemas de este sistema de vectores.

Teorema. Si un sistema de vectores contiene un subsistema linealmente dependiente, entonces el propio sistema de vectores también es linealmente dependiente.

Prueba. Sea dado un sistema de vectores
y dejemos, por definición, el subsistema
, donde
es linealmente dependiente. Entonces representa el vector nulo de una manera no trivial:

donde entre los coeficientes
hay al menos uno que no es igual a cero. Pero entonces la siguiente igualdad es una representación no trivial del vector nulo:

de donde, por definición, se sigue la dependencia lineal del sistema
, etc

El teorema ha sido probado.

Consecuencia. Cualquier subsistema de un sistema de vectores linealmente independiente es linealmente independiente.

Prueba. Supongamos lo contrario. Deje que algún subsistema del sistema dado sea linealmente dependiente. Entonces la dependencia lineal de este sistema se sigue del teorema, que contradice la condición.

La consecuencia está probada.

artículo 3. Sistemas de columnas de un espacio de columnas vectorial aritmético.

De los resultados del apartado anterior, como caso especial, se sigue el siguiente teorema.

1) Un sistema de columnas es linealmente dependiente si y solo si hay al menos una columna en el sistema que se expresa linealmente en términos de otras columnas de este sistema.

2) Un sistema de columnas es linealmente independiente si y solo si ninguna columna del sistema se expresa linealmente en términos de otras columnas del sistema dado.

3) El sistema de columnas que contiene la columna cero es linealmente dependiente.

4) Un sistema de columnas que contiene dos columnas iguales es linealmente dependiente.

5) Un sistema de columnas que contiene dos columnas proporcionales es linealmente dependiente.

6) Un sistema de columna que contiene un subsistema linealmente dependiente es linealmente dependiente.

7) Cualquier subsistema de un sistema de columnas linealmente independiente es linealmente independiente.

Lo único que puede ser necesario aclarar aquí es el concepto de columnas proporcionales.

Definición. Dos columnas distintas de cero
llamado proporcional si hay un escalar
, tal que
o

,
, …,
.

Ejemplo. Sistema
es linealmente dependiente ya que sus dos primeras columnas son proporcionales.

Comentario. Ya sabemos (ver Lección 21) que el determinante es igual a cero si el sistema de sus columnas (filas) es linealmente dependiente. Más adelante se demostrará que el enunciado inverso también es cierto: si el determinante es igual a cero, entonces el sistema de sus columnas y el sistema de sus filas son linealmente dependientes.

artículo 4. Base de un espacio vectorial.

Definición. sistema vectorial
de un espacio vectorial sobre un campo K se denomina sistema generador (generator) de vectores de este espacio vectorial si representa alguno de sus vectores, es decir si existe tal conjunto de escalares
, qué .

Definición. Un sistema de vectores en un espacio vectorial se llama sistema generador mínimo si, cuando se elimina cualquier vector de este sistema, deja de ser un sistema generador.

Comentario. Inmediatamente se deduce de la definición que si el sistema generador de vectores no es mínimo, entonces hay al menos un vector del sistema, al eliminarlo del sistema, el sistema de vectores restante seguirá siendo generador.

Lema (Sobre un sistema generador linealmente dependiente).

Si en un sistema de vectores linealmente dependiente y generador, uno de los vectores se expresa linealmente en términos de los otros, entonces puede eliminarse del sistema y el resto del sistema de vectores será generador.

Prueba. Deja que el sistema
linealmente dependiente y generador, y sea uno de sus vectores expresado linealmente en términos de otros vectores de este sistema.

Por definición y por simplicidad de notación, asumimos que

Porque
es un sistema generador, entonces
hay tal conjunto de escalares
, qué

.

Por lo tanto, obtenemos

esos. cualquier vector x se expresa linealmente en términos de los vectores del sistema
, lo que significa que es un sistema generador, etc.

Corolario 1. Un sistema de vectores linealmente dependiente y generador no es mínimo.

Prueba. Inmediatamente se sigue del lema y la definición de un sistema generador mínimo de vectores.

Corolario 2. El sistema generador mínimo de vectores es linealmente independiente.

Prueba. Suponiendo lo contrario, llegamos a una contradicción con el Corolario 1.

Definición. Un sistema de vectores en un espacio vectorial se llama sistema linealmente independiente máximo si, cuando se agrega cualquier vector a este sistema, se vuelve linealmente dependiente.

Comentario. Inmediatamente se deduce de la definición que si el sistema es linealmente independiente, pero no máximo, entonces hay un vector, cuando se agrega al sistema, se obtiene un sistema linealmente independiente.

Definición. La base de un espacio vectorial V sobre un campo K es un sistema ordenado de sus vectores que representa cualquier vector del espacio vectorial de forma única.

En otras palabras, el sistema de vectores
el espacio vectorial V sobre un campo K se llama su base si
solo hay un conjunto de escalares
, tal que .

Teorema. (Sobre cuatro definiciones equivalentes de una base.)

Permitir
es un sistema ordenado de vectores en un espacio vectorial. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Sistema
es la base.

2. Sistema
es un sistema de vectores linealmente independiente y generador.

3. Sistema
es el máximo sistema linealmente independiente de vectores.

4. Sistema
es el sistema generador mínimo de vectores.

Prueba.

Sea el sistema de vectores
es la base. Inmediatamente se sigue de la definición de una base que este sistema de vectores es un sistema generador de vectores de un espacio vectorial, por lo que solo necesitamos probar su independencia lineal.

Supongamos que este sistema vectores linealmente dependientes. Luego, hay dos representaciones del vector cero: trivial y no trivial, lo que contradice la definición de una base.

Sea el sistema de vectores
es linealmente independiente y generadora. Necesitamos demostrar que este sistema linealmente independiente es máximo.

Supongamos lo contrario. Deje que el sistema de vectores linealmente independiente dado no sea máximo. Entonces, en virtud de la observación anterior, existe un vector que se puede sumar a este sistema, y ​​el sistema de vectores resultante permanece linealmente independiente. Sin embargo, por otro lado, el vector agregado al sistema puede representarse como una combinación lineal del sistema original de vectores debido a que es un sistema generador.

Y obtenemos que en el nuevo sistema de vectores ampliado, uno de sus vectores se expresa linealmente a través de los otros vectores de este sistema. Tal sistema de vectores es linealmente dependiente. Tenemos una contradicción.

Sea el sistema de vectores
el espacio vectorial es máximo linealmente independiente. Probemos que es un sistema generador mínimo.

a) Primero probamos que es un sistema generador.

Tenga en cuenta que debido a independencia lineal, sistema
no contiene un vector nulo. Sea un vector arbitrario distinto de cero. Vamos a agregarlo al sistema de vectores dado:
. El sistema resultante de vectores distintos de cero es linealmente dependiente, ya que el sistema original de vectores es linealmente independiente máximo. Entonces, en este sistema, hay un vector expresado linealmente a través de los anteriores. En el sistema original linealmente independiente
ninguno de los vectores puede expresarse en función de los anteriores, por tanto, sólo el vector x se expresa linealmente en función de los anteriores. Así el sistema
representa cualquier vector distinto de cero. Queda por notar que este sistema obviamente también representa el vector cero, es decir sistema
es generativo.

b) Probemos ahora su minimalidad. Supongamos lo contrario. Entonces, uno de los vectores del sistema puede eliminarse del sistema y el sistema de vectores restante seguirá siendo un sistema generador y, por lo tanto, el vector eliminado del sistema también se expresa linealmente en términos de los vectores restantes del sistema, lo que contradice la independencia lineal del sistema original de vectores.

Sea el sistema de vectores
el espacio vectorial es un sistema generador mínimo. Entonces representa cualquier vector de un espacio vectorial. Necesitamos probar la unicidad de la representación.

Supongamos lo contrario. Sea algún vector x expresado linealmente en términos de los vectores del sistema dado de dos maneras diferentes:

Restando el otro de uno, obtenemos:

Por el Corolario 2, el sistema
es linealmente independiente, es decir representa el vector nulo solo de manera trivial, por lo que todos los coeficientes de esta combinación lineal deben ser cero:

Por lo tanto, cualquier vector x se expresa linealmente en términos de los vectores del sistema dado de una manera única, q.e.d.

El teorema ha sido probado.

artículo 5. Dimensión de un espacio vectorial.

Teorema 1. (Sobre el número de vectores en sistemas de vectores linealmente independientes y generadores). El número de vectores en cualquier sistema de vectores linealmente independiente no excede el número de vectores en cualquier sistema de vectores generador del mismo espacio vectorial.

Prueba. Permitir
sistema arbitrario linealmente independiente de vectores,
es un sistema generador arbitrario. Supongamos que.

Porque
sistema generador, entonces representa cualquier vector del espacio, incluido el vector . Vamos a agregarlo a este sistema. Obtenemos un sistema de vectores linealmente dependiente y generador:
. Entonces hay un vector
de este sistema, que se expresa linealmente en términos de los vectores anteriores de este sistema y, en virtud del lema, puede ser eliminado del sistema, y ​​el resto del sistema de vectores seguirá siendo generador.

. Porque este sistema está generando, entonces representa un vector
y, añadiéndolo a este sistema, obtenemos de nuevo un sistema linealmente dependiente y generador: .

Entonces todo se repite. Hay un vector en este sistema que se expresa linealmente en términos de los anteriores, y no puede ser un vector , porque sistema fuente
linealmente independiente y vectorial no se expresa linealmente en términos de un vector
. Entonces solo puede ser uno de los vectores.
. Quitándolo del sistema , obtenemos, tras renumerar, el sistema , que será el sistema generador. Continuando con este proceso, luego de unos pasos obtenemos un sistema generador de vectores: , donde
, porque según nuestra conjetura. Esto significa que este sistema, como generador, también representa el vector , lo que contradice la condición de independencia lineal del sistema.
.

Se demuestra el teorema 1.

Teorema 2. (Sobre el número de vectores en una base.) Cualquier base de un espacio vectorial contiene el mismo número de vectores.

Prueba. Permitir
Y
son dos bases espaciales vectoriales arbitrarias. Cualquier base es un sistema de vectores linealmente independiente y generador.

Porque el primer sistema es linealmente independiente, y el segundo es generador, entonces, por el Teorema 1,
.

De manera similar, el segundo sistema es linealmente independiente y el primero genera, entonces . De ahí se sigue que
, etc

Se demuestra el teorema 2.

Este teorema nos permite introducir la siguiente definición.

Definición. La dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo K es el número de vectores en su base.

Designacion:
o
.

artículo 6. Existencia de una base espacial vectorial.

Definición. Un espacio vectorial se llama de dimensión finita si tiene un sistema generador de vectores finito.

Comentario. Estudiaremos únicamente espacios vectoriales de dimensión finita. A pesar de que ya sabemos bastante sobre la base de un espacio vectorial de dimensión finita, no estamos seguros de que tal base exista. Todas las propiedades obtenidas anteriormente se obtuvieron bajo el supuesto de que existe la base. El siguiente teorema cierra este problema.

Teorema. (Sobre la existencia de una base para un espacio vectorial de dimensión finita). Cualquier espacio vectorial de dimensión finita tiene una base.

Prueba. Por suposición, existe un sistema generador finito de vectores de un espacio vectorial V de dimensión finita dado:
.

Notamos de inmediato que si el sistema generador de vectores está vacío, es decir no contiene ningún vector, entonces por definición se asume que el espacio vectorial dado es nulo, es decir
. En este caso, por definición, se supone que la base del espacio vectorial cero es una base vacía, y su dimensión, por definición, se supone que es cero.

Sea además, un espacio vectorial distinto de cero y
sistema generador finito de vectores distintos de cero. Si es linealmente independiente, entonces todo está probado, porque su base es un sistema linealmente independiente y generador de vectores de un espacio vectorial. Si el sistema de vectores dado es linealmente dependiente, entonces uno de los vectores de este sistema se expresa linealmente en términos de los restantes y puede eliminarse del sistema y del sistema de vectores restante, en virtud del Lema Sec. 5 , seguirá generando.

Renumeramos el resto del sistema de vectores:
. Se repite el razonamiento adicional. Si este sistema es linealmente independiente, entonces es una base. Si no, entonces nuevamente hay un vector en este sistema que se puede eliminar, y el sistema restante se generará.

Repitiendo este proceso, no podemos quedarnos con un sistema vectorial vacío, ya que en el caso más extremo, terminaremos con un sistema generador de un vector distinto de cero, que es linealmente independiente y, por lo tanto, una base. Por lo tanto, en algún paso llegamos a un sistema de vectores linealmente independiente y generador, es decir a la base

El teorema ha sido probado.

Lema. Permitir . Luego:

1. Cualquier sistema del vector es linealmente dependiente.

2. Cualquier sistema de vectores linealmente independiente es su base.

Prueba. una). Por la condición del lema, el número de vectores en la base es igual y la base es un sistema generador, por lo que el número de vectores en cualquier sistema linealmente independiente no puede exceder .

2). Como se sigue de lo que se acaba de probar, cualquier sistema de vectores linealmente independiente en este espacio vectorial es máximo y, por lo tanto, una base.

El lema está probado.

Teorema (Además de una base). Cualquier sistema de vectores linealmente independiente de un espacio vectorial puede completarse en una base de este espacio.

Prueba. Sea un espacio vectorial de dimensión n y
algún sistema linealmente independiente de sus vectores. Luego
.

Si
, entonces por el lema anterior, este sistema es una base y no hay nada que probar.

Si
, entonces este sistema no es un sistema lineal maximal independiente (de lo contrario sería una base, lo cual es imposible, porque ). Por lo tanto, hay un vector
, tal que el sistema
es linealmente independiente.

Si, ahora, entonces el sistema
es la base.

Si
, todo se repite. El proceso de reposición del sistema no puede continuar indefinidamente, porque. en cada paso, obtenemos un sistema de vectores linealmente independiente en el espacio , y por el lema anterior, el número de vectores en tal sistema no puede exceder las dimensiones del espacio. Por lo tanto, en algún paso llegamos a la base espacio dado.

El teorema ha sido probado.

artículo 7. Ejemplo.

1. Sea K un campo arbitrario, un espacio vectorial aritmético de columnas de altura. Luego . Para probar esto, considere el sistema de columnas de este espacio.

Permitir V espacio vectorial sobre el campo R, S- sistema de vectores de V.

Definición 1. La base del sistema de vectores. S tal subsistema ordenado linealmente independiente se llama B 1, B 2, ..., B R sistemas S, que cualquier vector del sistema S combinación lineal de vectores B 1, B 2, ..., B R.

Definición 2. El rango del sistema de vectores. S es el número de vectores base del sistema S. El rango del sistema de vectores se denota S símbolo R= rango S.

Si S = ( 0 ), entonces el sistema no tiene base y se supone que sonó S= 0.

Ejemplo 1 Sea dado un sistema de vectores A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1,3). Vector A 1 , A 2 forman la base de este sistema, ya que son linealmente independientes (ver Ejemplo 3.1) y A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2. El rango de este sistema de vectores es dos.

Teorema 1(teorema de las bases). Sea S un sistema finito de vectores de V, S ≠{0 }. Entonces las afirmaciones son verdaderas.

1 ° Cualquier subsistema linealmente independiente del sistema S puede completarse hasta una base.

2 ° El sistema S tiene una base.

2 ° Dos bases cualesquiera del sistema S contienen el mismo número de vectores, es decir, el rango del sistema no depende de la elección de la base.

4 ° Si R= rango S, entonces cualesquiera r vectores linealmente independientes forman una base del sistema S.

5 ° Si R= rango S, Entonces cualquier vector k > r del sistema S es linealmente dependiente.

6 ° Cualquier vector A€ S se expresa linealmente de forma única en términos de vectores base, es decir, si B 1, B 2, ..., B R es una base del sistema S, entonces

A = A1 B 1 + A2 B 2 +...+ ARB R; A1 , A2 , ..., Anorte€P,(1)

Y esta vista es la única.

En virtud de la base 5° esto es Subsistema máximo linealmente independiente sistemas S, y el rango del sistema S el número de vectores en dicho subsistema.

Representación vectorial A en la forma (1) se llama Descomposición de un vector en vectores base, y los números a1, a2 , ..., se llaman ar Coordenadas vectoriales A en esta base.

Prueba. 1° Deja B 1, B 2, ..., B k- subsistema linealmente independiente del sistema S. Si cada vector del sistema S Expresado linealmente en términos de los vectores de nuestro subsistema, entonces por definición es la base del sistema S.

Si hay un vector en el sistema S, que no se expresa linealmente en términos de vectores B 1, B 2, ..., B k, entonces lo denotamos por B k+1 Entonces los sistemas B 1, B 2, ..., B k, B k+1 - linealmente independiente. Si cada vector del sistema S se expresa linealmente en términos de los vectores de este subsistema, entonces por definición es la base del sistema S.

Si hay un vector en el sistema S, que no se expresa linealmente en términos de B 1, B 2, ..., B k, B k+1, luego repetimos el razonamiento. Continuando con este proceso, llegamos a la base del sistema S, o aumentar el número de vectores en un sistema linealmente independiente en uno. Ya que en el sistema S un número finito de vectores, entonces la segunda alternativa no puede continuar indefinidamente y en algún paso obtenemos la base del sistema S.

2° Deja S sistema finito de vectores y S ≠{0 ). Entonces en el sistema S tener un vector B 1 ≠ 0, que forma un subsistema linealmente independiente del sistema S. Según la primera parte, se puede complementar la base del sistema S. Así el sistema S tiene una base

3° Suponga que el sistema S tiene dos bases:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

Por definición de la base, el sistema de vectores (2) es linealmente independiente y (2) Н S. Además, por definición de la base, cada vector del sistema (2) es una combinación lineal de vectores del sistema (3). Entonces por el teorema principal sobre dos sistemas de vectores R £ S. Del mismo modo, se prueba que S £ R. Estas dos desigualdades implican R = S.

4° Dejar R= rango S, A 1, A 2, ..., A R- subsistema linealmente independiente S. Demostremos que es la base de los sistemas. S. Si no es una base, entonces por la primera parte se puede complementar con una base y obtenemos una base. A 1, A 2, ..., A R, A R+1,..., A R+T que contiene más de R

5° Si k vectores A 1, A 2, ..., A k (k > R) sistemas S son linealmente independientes, entonces en la primera parte este sistema de vectores se puede complementar con una base y obtenemos una base A 1, A 2, ..., A k, A k+1,..., A k+T que contiene más de R vectores Esto contradice lo probado en la tercera parte.

6° Deja B 1, B 2, ..., B R base del sistema S. Por la definición de una base, cualquier vector A € S es una combinación lineal de vectores base:

A = a1 B 1 + a2 B 2 +...+ar B r

Probando la unicidad de tal representación, suponemos lo contrario, que hay una representación más:

A = b1 B 1 + b2 B 2 +...+br B r

Restando las igualdades término por término, encontramos

0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 +...+ (ar - br) B r

Desde la base B 1, B 2, ..., B R sistema linealmente independiente, entonces todos los coeficientes ai - bi =0; I = 1, 2, ..., R. Por lo tanto, ai = bi; I = 1, 2, ..., R y se prueba la unicidad.

Definición. Un sistema de elementos xx..., xx de un espacio lineal V se llama linealmente dependiente si existen números a",..., otq, no todos iguales a cero y tales que si la igualdad (1) se satisface sólo para a ] = ... = aq = 0, entonces el sistema de elementos xj,...,x9 se llama linealmente independiente. Las siguientes afirmaciones son verdaderas. Teorema 1. Un sistema de elementos X\,..., xq (q ^ 2) es linealmente dependiente si y sólo si al menos uno de sus elementos puede representarse como una combinación lineal de los demás. Supongamos primero que el sistema de elementos xx...,xq es linealmente dependiente. Por definición, suponemos que en la igualdad (1) el coeficiente a9 es distinto de cero. Moviendo todos los términos, excepto el último, al lado derecho, después de dividir por otq Ф О obtenemos que el elemento xq es una combinación lineal de los elementos xi,..., xq: parte, obtenemos una combinación lineal en que hay coeficientes distintos de cero (-1 Ф 0). Por tanto, el sistema de elementos Xi,_____ xq es linealmente dependiente. Teorema 2. Sea el sistema de elementos X|,...,X9 linealmente independiente y = a\X\ + .+ aqxq. Entonces los coeficientes ori,...,aq se determinan únicamente a partir del elemento y. m Let entonces Dependencia lineal Base Dimensión Cambio de base desde donde. De la independencia lineal de los elementos X|,..., xq, se sigue que a( y, por tanto, a Teorema 3. Un sistema de elementos que contiene un subsistema linealmente dependiente es linealmente dependiente. +l,..., xm son linealmente dependientes Entonces hay una combinación lineal de estos elementos tal que no todos los coeficientes de,..., aq son iguales a cero Sumando elementos,..., xm con factores cero, obtenemos que y no todos los coeficientes son igual a cero en la combinación lineal de la Fig. 5. Ejemplo: Los vectores de Vj son linealmente dependientes si y solo si son coplanares (Fig. 5) es una base de este espacio lineal si los elementos en |,..., en son linealmente independientes y cada elemento de V se puede representar como una combinación lineal de ellos. Aquí ordenar significa que a cada elemento se le asigna un cierto número (ordinal). A partir de un sistema de n elementos, se pueden construir n sistemas ordenados. abc ser un triple no vectores coplanares de Vj (Fig. 6). Entonces las ternas ordenadas son bases diferentes.Sea c = (s!...en) una base del espacio V. Entonces para cualquier elemento x de V hay un conjunto de números..., C tal que En virtud de Teorema 2, los números,..., C - las coordenadas del elemento x en la base c - se determinan unívocamente. Veamos qué sucede con las coordenadas de los elementos durante las acciones más simples. Sea y para cualquier número a Así, cuando se suman elementos, se suman sus correspondientes coordenadas, y cuando un elemento se multiplica por un número, todas sus coordenadas se multiplican por ese número. A menudo es conveniente escribir las coordenadas de un elemento como una columna. Por ejemplo, n es la columna de coordenadas del elemento en la base c. Expandamos un sistema arbitrario de elementos X|,...,x en la base c, y consideremos las columnas de coordenadas de los elementos X|,...,x9 en esta base: Teorema 4. El sistema de elementos x\ ,...,xq es entonces linealmente dependiente y solo si el sistema de sus columnas de coordenadas en alguna base es linealmente dependiente. * Sea al menos uno de los coeficientes A* diferente de cero. Escribámoslo con más detalle De aquí, debido a la unicidad de la expansión del elemento en términos de la base, se sigue que Dependencia lineal Base Dimensión Cambio de base Así, la combinación lineal de las columnas de coordenadas de los elementos xt ,...,xq es igual a la columna cero (con los mismos coeficientes A|,..., PERO?). Esto significa que el sistema de columnas de coordenadas es linealmente dependiente. Si se cumple la igualdad (2), entonces, razonando en orden inverso, obtenemos la fórmula (1). Por lo tanto, la desaparición de alguna combinación lineal no trivial (al menos uno de los coeficientes es distinto de cero) de elementos de un espacio lineal es equivalente al hecho de que una combinación lineal no trivial de sus columnas de coordenadas (con los mismos coeficientes ) es igual a la columna cero. Teorema 5. Sea una base c de un espacio lineal V formada por n elementos. Entonces cualquier sistema de m elementos, donde m > n, es linealmente dependiente. o, que es también, * En vista del Teorema 3, basta con considerar el caso Sea Xj,...,xn+| - elementos arbitrarios del espacio V. Expandamos cada elemento en términos de la base c y escribamos las coordenadas de los elementos ........... en forma de matriz, asignando una columna a la coordenadas del elemento. Obtenemos una matriz de n filas y n + 1 columnas - Debido a que el rango de la matriz K no excede el número n de sus filas, las columnas de la matriz K (n + 1 de ellas) son linealmente dependientes . Y como estas son las columnas de coordenadas de los elementos, entonces, según el Teorema 4, el sistema de elementos X|.....xn+| también es linealmente dependiente. Consecuencia. Todas las bases del espacio lineal V constan del mismo número de elementos. Sea la base c de n elementos, y la base c" de n elementos. En virtud del teorema que acabamos de probar, de la independencia lineal del sistema e\,..., e"n concluimos que n" ^ n . Cambiando las bases e y c" en lugares, en virtud del mismo teorema, obtenemos que n ^ n. Así, n = n..., en es linealmente independiente: de la igualdad obtenemos, lo que significa, Además , cualquier elemento E, = ... de R" se puede escribir como una combinación lineal de elementos. Por lo tanto, la dimensión del espacio R es igual a n. Ejemplo 2. Un sistema lineal homogéneo que tiene soluciones distintas de cero tiene un sistema fundamental de soluciones (FSR). El FSR es la base del espacio lineal de soluciones de un sistema homogéneo. La dimensión de este espacio lineal es igual al número de elementos del FSR, es decir n - r donde r es el rango de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo, an es el número de incógnitas. Ejemplo 3. La dimensión del espacio lineal Mn de polinomios de grado máximo n es igual a n + 1. 4 Como cualquier polinomio /*(() de grado máximo n tiene la forma, basta mostrar la independencia lineal de los elementos en |= Consideremos la igualdad donde t es arbitraria, poniendo t = 0, obtenemos que «о = 0. 5 Ley 750 Diferenciemos la igualdad (3) con respecto a t: PONIENDO t = 0 nuevamente, obtenemos QUE 0|= 0. Continuando con este proceso, nos aseguramos sucesivamente de que oo = "I = . .. = un =0. Esta. significa que el sistema de elementos en | = 1,...,en4) = *n es linealmente independiente. Por lo tanto, la dimensión deseada es igual a n + 1. Concordancia. A lo largo de este capítulo, a menos que se indique lo contrario, se supone que la dimensión de un espacio lineal V es igual. Está claro que si W es un subespacio de un espacio lineal de n dimensiones V, entonces dim W ^ N. Demostremos que en un espacio lineal de n dimensiones V hay subespacios lineales de cualquier dimensión k ^ n. Sea c = sea ​​una base del espacio V. Es fácil verificar que , que el tramo lineal tiene dimensión k.Por definición Teorema 6 (al completar la base). Sea un sistema de elementos de un espacio lineal V de dimensión n linealmente independiente y k, entonces en el espacio V hay elementos a*+1,..., an tales que el sistema an es base de V. M Sea b ser un elemento arbitrario del espacio lineal V. Si el sistema es linealmente dependiente, entonces dado que en una combinación lineal no trivial el coeficiente se debe a la independencia lineal del sistema a Si una descomposición de la forma (4) podría ser escrito para cualquier elemento b del espacio V, entonces el sistema original a|,..., a* sería por definición. Pero debido a la condición, esto es imposible. Por lo tanto, debe haber un elemento a*+i ∈ V tal que el sistema completo ai,..., a, a*+| sera l helada pero independiente. Si k + 1 = n, entonces este sistema es una base del espacio V. Si k + 1, entonces los argumentos anteriores deben repetirse para el sistema a. De esta forma, cualquier sistema dado de elementos linealmente independientes puede completarse a partir de la totalidad del espacio V. Ejemplo. Complementar el sistema de dos vectores a| = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) del espacio R4 a la base de este espacio. Tomemos los vectores aj = (en el espacio R4) y mostremos que el sistema de vectores ai.aj.aj, a4 es la base de R4 El rango de la matriz cuyas filas son las coordenadas de los vectores aag, az, e4 y, por lo tanto, los vectores en, ar, a, son linealmente independientes.> También se utiliza un enfoque similar en el caso general: para completar el sistema de k elementos linealmente independientes en una base espacial, la matriz Dependencia lineal Base Dimensión forma, y luego se complementa con n - k filas de la forma para que el rango de la matriz resultante sea igual a n Se cumple la siguiente afirmación: Teorema 7. Sean subespacios lineales de un espacio lineal V, Entonces. de base Sean bases de un espacio lineal V. Expandir elementos de la base con sobre la base de Tenemos Es conveniente escribir estas relaciones en forma matricial. La matriz se llama matriz de transición de la base c a la base c. Propiedades de la matriz de transición La demostración de esta propiedad se realiza por contradicción. La igualdad det S = 0 implica una dependencia lineal de las columnas de la matriz S. Estas columnas son las columnas de coordenadas del elemento " ,... »e"n en la base c. Por lo tanto (y debido al Teorema 4) los elementos e "u..., e"n debe ser linealmente dependiente. Esto último contradice el hecho de que c" es una base. Por lo tanto, la suposición de que det S = 0 es falsa. 2. Si..., y..., son las coordenadas del elemento x en las bases c y c" respectivamente, entonces _ Reemplazándolas en la fórmula por las expresiones (1), obtenemos que Por lo tanto, debido a la unicidad de la descomposición del elemento en la base, tenemos representación matricial de las igualdades encontradas, estamos convencidos de la validez de la propiedad 2. 3. S-1 - la matriz de transición de la base c" a la base c.

Se llama de dimensión finita si tiene un sistema generador de vectores finito.

Comentario. Estudiaremos únicamente espacios vectoriales de dimensión finita. A pesar de que ya sabemos mucho sobre la base de un espacio vectorial de dimensión finita, no estamos seguros de que tal espacio exista. Todos los obtenidos anteriormente se obtuvieron bajo el supuesto de que la base existe. El siguiente cierra esta pregunta.

Teorema. (Sobre la existencia de una base para un espacio vectorial de dimensión finita).

Cualquier espacio vectorial de dimensión finita tiene una base.

Prueba. Por suposición, existe un sistema generador finito de un espacio vectorial V de dimensión finita dado: .

Notamos de inmediato que si el sistema generador de vectores está vacío, es decir no contiene ningún vector, entonces por definición se asume que el espacio vectorial dado es nulo, es decir . En este caso, por definición, se supone que la base del espacio vectorial nulo es la base vacía, y por definición se supone que es igual a cero.

Si este sistema es independiente, entonces todo está probado, porque su base es un sistema linealmente independiente y generador de vectores de un espacio vectorial.

Si el sistema de vectores dado es linealmente dependiente, entonces uno de los vectores de este sistema se expresa linealmente en términos de los restantes y se puede eliminar del sistema, y ​​el sistema de vectores restante seguirá generando.

Volvamos a numerar el resto del sistema de vectores: . Se repite el razonamiento adicional.

Si este sistema es linealmente independiente, entonces es una base. Si no, entonces nuevamente hay un vector en este sistema que se puede eliminar, y el sistema restante se generará.

Repitiendo este proceso, no podemos quedarnos con un sistema vectorial vacío, ya que en el caso más extremo, terminaremos con un sistema generador de un vector distinto de cero, que es linealmente independiente y, por lo tanto, una base. Por lo tanto, en algún paso llegamos a un sistema de vectores linealmente independiente y generador, es decir a la base, etc

El teorema ha sido probado.

Lema. (Sobre sistemas de vectores en un espacio vectorial n-dimensional).

Permitir . Luego:

1. Cualquier sistema del vector es linealmente dependiente.

2. Cualquier sistema de vectores linealmente independiente es su base.

Prueba. una). Por la condición del lema, el número de vectores en la base es igual y la base es un sistema generador, por lo que el número de vectores en cualquier sistema linealmente independiente no puede exceder , es decir cualquier sistema que contenga un vector es linealmente dependiente.

2). Como se sigue de lo que se acaba de probar, cualquier sistema de vectores linealmente independiente en este espacio vectorial es máximo y, por lo tanto, una base.

El lema está probado.

Teorema (Además de una base). Cualquier sistema de vectores linealmente independiente de un espacio vectorial puede completarse en una base de este espacio.

Prueba. Sea un espacio vectorial de dimensión n y algún sistema linealmente independiente de sus vectores. Luego .

Si , entonces por el lema anterior, este sistema es una base y no hay nada que probar.

Si , entonces este sistema no es un sistema maximal independiente (de lo contrario sería una base, lo cual es imposible, porque ). Por lo tanto, existe un vector tal que el sistema es linealmente independiente.

Si, ahora, entonces el sistema es la base.

Si es así, todo se repite. El proceso de reposición del sistema no puede continuar indefinidamente, porque. en cada paso, obtenemos un sistema de vectores linealmente independiente en el espacio , y por el lema anterior, el número de vectores en tal sistema no puede exceder las dimensiones del espacio. En consecuencia, en algún paso llegamos a una base del espacio dado, etc.

Definición. Base

El espacio vectorial aritmético de columnas de altura n se denomina canónico o natural.