Líneas de matriz linealmente dependientes y linealmente independientes. Independencia lineal. §4.9. Matriz de rango

Filas y columnas matriz puede ser considerado como matrices de cuerdas y correspondientemente, matrices de columna. Por lo tanto, por encima de ellos, como sobre cualquier otra matrices, puede realizar Operaciones lineales. La reducción a la operación de adición es que las cadenas (columnas) deben ser la misma longitud (altura), pero esta condición siempre se ejecuta para cadenas (columnas) de una matriz.

Las operaciones lineales en las líneas (columnas) hacen posible elaborar líneas (columnas) en forma de expresiones α 1 a 1 + ... + α sas, donde un 1, ..., como - un conjunto arbitrario de cadenas ( Columnas) de la misma longitud (altura), y α 1, ..., α s - números válidos. Tales expresiones se llaman combinaciones lineales de cadenas (columnas)..

Definición 12.3. Filas (columnas) y 1, ..., y s llamado independiente linealmente Si la igualdad

α 1 A 1 + ... + α s a s \u003d 0, (12.1)

donde 0 en la parte derecha es la cadena cero (columna), posiblemente solo en α 1 \u003d ... \u003d como \u003d 0. De lo contrario, cuando hay tales números válidos α 1, ..., α s, no igual a cero Al mismo tiempo, esa igualdad se realiza (12.1), estas líneas (columnas) se llaman dependiente linealmente.

La siguiente declaración se conoce como un criterio de dependencia lineal.

Teorema 12.3. Las filas (columnas) A 1, ..., A S, S\u003e 1 son dependientes linealmente si y solo si al menos un (uno) de ellas es una combinación lineal del resto.

◄ Prueba llevamos a cabo para cadenas, y para columnas es similar.

Necesidad. Si las líneas A 1, ..., como dependen linealmente, entonces, de acuerdo con la definición 12.3, hay números válidos α 1, ..., α s, no cero al mismo tiempo, que α 1 A 1 + ... + α sas \u003d 0. Seleccione el coeficiente de nozero αα i. Para una certeza, déjalo ser α 1. Luego α 1 a 1 \u003d (-α 2) un 2 + ... + (-α s) como y, por lo tanto, un 1 \u003d (-α 2 / α 1) a 2 + ... + (-α s / α 1) como, es decir, La fila A 1 se representa como una combinación lineal de las líneas restantes.

Adecuación. Deje, por ejemplo, un 1 \u003d λ 2 A 2 + ... + λ s a s. Luego 1a 1 + (-λ 2) A 2 + ... + (- λ s) A s \u003d 0. El primer coeficiente de la combinación lineal es una de las unidades, es decir, Él es distinto de cero. Según la definición 12.3, cadenas a 1, ..., un dependiente lineal.

Teorema 12.4. Deje que las filas (columnas) y 1, ..., a s son linealmente independientes, y al menos una de las filas (columnas) B 1, ..., B l es su combinación lineal. Luego, todas las líneas (columnas) A 1, ..., A S, B 1, ..., B l son dependientes linealmente.

Deje, por ejemplo, B 1 son una combinación lineal A 1, ..., a S, es decir. B 1 \u003d α 1 A 1 + ... + α s s, α i ∈ cr, i \u003d 1, s. A esta combinación lineal, agregue cadenas (columnas) B 2, ..., BL (en L\u003e 1) con coeficientes cero: B 1 \u003d α 1 a 1 + ... + α sas + 0b 2 + ... + 0b l. Según el teorema 12.3, cadenas (columnas) a 1, ..., a s, b 1, ..., b i linealmente dependiente.

Tenga en cuenta que las cadenas y columnas de la matriz se pueden ver como vectores de tamaños aritméticos. mETRO. y nORTE., respectivamente. Por lo tanto, la matriz de tamaños se puede interpretar como un aparejo. mETRO. nORTE.-Momes o nORTE. mETRO.- Vectores aritméticos dimensionales. Por analogía con vectores geométricos, introducimos los conceptos de dependencia lineal y la independencia lineal de filas y columnas de la matriz.

4.8.1. Definición. Línea
llamada combinación lineal de cadena. Con coeficientes
Si la igualdad es cierta para todos los elementos de esta línea:

,
.

4.8.2. Definición.

Instrumentos de cuerda
llamada dependiente linealmenteSi hay su combinación lineal no trivial igual a la línea cero, es decir. No hay tales no todos los números iguales de cero

,
.

4.8.3. Definición.

Instrumentos de cuerda
llamada independiente linealmentea menos que su combinación lineal trivial sea igual a la línea cero, es decir,

,

4.8.4. Teorema. (Criterio de filas de dependencia lineal de la matriz)

Para que las líneas sean dependientes linealmente, es necesario y suficiente para que al menos una de ellas sea una combinación lineal del resto.

Evidencia:

Necesidad. Dejar cadenas
dependientes linealmente, entonces hay su combinación lineal no trivial, igual a la línea cero:

.

Sin una limitación general, suponga que el primero de los coeficientes de la combinación lineal es diferente de cero (de lo contrario, puede renumbar las cadenas). Dividiendo esta proporción en , obtener

,

es decir, la primera línea es una combinación lineal del resto.

Adecuación. Deja que una de las líneas, por ejemplo, , es una combinación lineal del resto, luego

es decir, hay una combinación no trivial de fila lineal
igual a la línea cero:

así que las líneas
depende linealmente de lo que se requiera para probar.

Comentario.

Definiciones y aprobaciones similares se pueden formular para las columnas de la matriz.

§4.9. Matriz de rango.

4.9.1. Definición. Menor pedido Matrianos tamaño
llamado el determinante de la orden con elementos ubicados en la intersección de algunos de ella Filas I. columnas.

4.9.2. Definición. Diferente de cero orden menor Matrianos tamaño
llamada base menorSi todos los menores de la matriz de pedido
igual a cero.

Comentario. La matriz puede tener varios menores básicos. Obviamente, todos serán un pedido. También es posible cuando la matriz. tamaño
orden menor Diferentes de cero, y los menores ordenan.
No existe, eso es
.

4.9.3. Definición. Filas (columnas) formando el menor básico se llaman base líneas (columnas).

4.9.4. Definición. Rangolas matrices se llaman el orden de su menor menor. Matriz de rango denota
o
.

Comentario.

Tenga en cuenta que debido a la igualdad de las filas y columnas del determinante, el rango de la matriz no cambia durante su transposición.

4.9.5. Teorema. (Invación de la calificación de la matriz en relación con las transformaciones elementales)

El rango de la matriz no cambia en sus transformaciones elementales.

Sin prueba.

4.9.6. Teorema. (En la base menor).

Las líneas básicas (columnas) son linealmente independientes. Cualquier cadena (columna) de la matriz puede representarse como una combinación lineal de sus cadenas de base (columnas).

Evidencia:

Realizar pruebas para las líneas. La prueba de aprobación para las columnas puede llevarse a cabo por analogía.

Deja que el rango de la matriz. tamaños
cuervo , pero
- Bases menores. Sin restricciones en la comunidad, suponga que la base menor se encuentra a la izquierda. esquina superior (De lo contrario, puede traer la matriz a esta vista usando transformaciones elementales):

.

Primero probamos la independencia lineal de las líneas básicas. La prueba pasará de desagradable. Supongamos que las líneas básicas dependen linealmente. Luego, según el teorema 4.8.4, una de las filas se puede representar como una combinación lineal de otras líneas de base. En consecuencia, si encuentra la combinación lineal especificada de esta línea, obtendremos una cadena cero, lo que significa que es menor
es cero, lo que contradice la determinación del menor básico. Por lo tanto, obtuvimos una contradicción, por lo tanto, se demuestra la independencia lineal de las cadenas básicas.

Ahora probamos que cualquier cadena de la matriz puede representarse como una combinación lineal de líneas básicas. Si el número de líneas en consideración de 1 a r., entonces, obviamente, se puede representar como una combinación lineal con un coeficiente de 1 en una fila y coeficientes cero con el resto de las líneas. Mostrar ahora que si el número de línea de
antes de
Puede representarse como una combinación lineal de líneas básicas. Considerar la matriz menor
obtenido de menores básicos
añadiendo cadena y columna arbitraria
:

Demostramos que este menor
de
antes de
y para cualquier número de columnas de 1 a .

De hecho, si el número de columna de 1 a r., tenemos un determinante con dos columnas idénticas, que obviamente es cero. Si el número de columna de r.+1 ser y número de línea de
antes de
T.
es un menor de la matriz original de mayor orden que la base menor, y esto significa que es cero de la definición del menor básico. Así, se demuestra que es menor.
igual a cero para cualquier número de línea de
antes de
y para cualquier número de columnas de 1 a . Decorándolo en la última columna, obtenemos:

Aquí
- Adiciones algebraicas relacionadas. Darse cuenta de
porque hay
es un menor básico. En consecuencia, elementos de la cadena. k. Puede representarse como una combinación lineal de los elementos correspondientes de filas básicas con coeficientes que no dependen del número de columna :

Por lo tanto, demostramos que una línea arbitraria de la matriz puede representarse como una combinación lineal de sus cadenas de base. El teorema está probado.

Conferencia 13.

4.9.7. Teorema. (Sobre el rango de una matriz cuadrada de nogenerada)

Para que la matriz cuadrada sea no indegenerada, es necesaria y es suficiente que el anillo de la matriz sea igual al tamaño de esta matriz.

Evidencia:

Necesidad. Deja una matriz cuadrada tamaño nORTE. es no indegenerado entonces
Por lo tanto, el determinante de la matriz es un menor básico, es decir,

Adecuación. Permitir
luego, el orden de la base menor es igual al tamaño de la matriz, por lo tanto, el menor básico es el determinante de la matriz. .
por definición de menor menor.

Corolario.

Para que la matriz cuadrada sea no indegenerada, es necesaria y suficiente para sus líneas linealmente independientes.

Evidencia:

Necesidad.Dado que la matriz cuadrada es no indegenerada, su rango es igual al tamaño de la matriz
es decir, el determinante de la matriz es un menor básico. En consecuencia, por el teorema 4.9.6 En la base menor, las cadenas de la matriz son linealmente independientes.

Adecuación.Dado que todas las líneas de la matriz son linealmente independientes, su rango no es menor que el tamaño de la matriz, lo que significa
en consecuencia, de acuerdo con el teorema anterior 4.9.7 Matriz es no indegenerado

4.9.8. El método de los fondos bulliciosos para encontrar el rango de la matriz.

Tenga en cuenta que este método se ha descrito parcialmente implícitamente en la prueba del teorema sobre la base menor.

4.9.8.1. Definición. Menor
llamada frontera en relación con menor
Si se obtiene de menor.
añadiendo uno nueva cadena y una nueva columna de la matriz original.

4.9.8.2. El procedimiento para encontrar el rango de la matriz por el método de los menores bulliciosos.

Encontramos cualquier matriz menor actual de cero.

Calcule todos los menores fundamentales.

Si todos ellos son cero, el menor de edad es básico, y el rango de grado es igual al orden del menor actual.

Si hay al menos una diferente de cero entre los menores tetona, entonces se basa en la corriente y continúa el procedimiento.

Encontraremos con la ayuda del método de la matriz de rango de menores bulliciosos.

.

Fácil de especificar el menor de la corriente del segundo orden que no sea cero, por ejemplo,

.

Calcular los menores fundamentales:

Por lo tanto, ya que todos los fondos de tercer orden son iguales a cero, menor
es básico, eso es

Comentario. A partir del ejemplo considerado, se puede ver que el método es bastante laborioso. Por lo tanto, en la práctica, el método de las transformaciones elementales se usa mucho más a menudo, que se discutirá a continuación.

4.9.9. Encontrar el grado de la matriz por el método de las transformaciones elementales.

Basado en el teorema 4.9.5, se puede argumentar que el anillo de la matriz no cambia durante las transformaciones elementales (es decir, las filas de matrices equivalentes son iguales a). Por lo tanto, el anillo de la matriz es igual al rango de una matriz escalonada obtenida de las transformaciones elementales iniciales. El rango de la misma matriz escalonada es obviamente igual al número de sus líneas distintas de cero.

Definimos el rango de la matriz.

el método de las transformaciones elementales.

Damos la matriz para pisar arriba:

La cantidad de cadenas distintas de la matriz escalonada resultante es tres, por lo tanto,

4.9.10. Sistema de rango de vectores lineales.

Considere los vectores del sistema.
algún espacio lineal . Si es dependiente linealmente, puede seleccionar el subsistema linealmente independiente en ella.

4.9.10.1. Definición. Vectores de sistema de clasificación
espacio lineal llamado al número máximo de vectores linealmente independientes de este sistema. Vectores del sistema de rango
denota cómo
.

Comentario. Si el sistema de vectores es linealmente independiente, su rango es igual al número de vectores del sistema.

Formulamos el teorema que muestra la conexión de los conceptos de rango del sistema de vectores espaciales lineales y el grado de la matriz.

4.9.10.2. Teorema. (Sobre el rango de sistema de espacio de espacio lineal)

El rango del sistema de vectores espaciales lineales es igual al margen de la matriz, las columnas o filas de las cuales son las coordenadas de los vectores en alguna base del espacio lineal.

Sin prueba.

Corolario.

Para que el sistema de vectores espaciales lineales sea linealmente independiente, es necesario y es suficiente que el rango de la matriz, las columnas o las filas de las cuales sean las coordenadas de los vectores de alguna manera, fue igual al número de vectores del sistema.

La prueba es obvia.

4.9.10.3. Teorema (sobre la dimensión de la cáscara lineal).

La dimensión de los vectores de la cáscara lineal.
espacio lineal igual al rango de este sistema de vectores:

Sin prueba.

donde - algunos números (algunos de estos números o incluso todos pueden ser cero). Esto significa la presencia de los siguientes iguales entre los elementos de la columna:

De (3.3.1) implica que

Si la igualdad (3.3.3) es correcta en ese momento y solo si, las líneas se llaman linealmente independientes. La proporción (3.3.2) muestra que si una de las filas se expresa linealmente en el resto, las líneas son dependientes linealmente.

Es fácil de ver y revertir: si las líneas dependen linealmente, entonces hay una cadena que será una combinación lineal de las líneas restantes.

Deje, por ejemplo, en (3.3.3), entonces .

Definición. Supongamos que en la matríxica, algunos menores de la orden del rth y deje que el menor (R + 1), del orden de la misma matriz, contenga todo el menor dentro. Le diremos que en este caso, el Ministerio de Equipo de Menores (o está bordeando).

Ahora probamos un lemma importante.

Lemma Sobre los mineros limítrofes. Si el menor de la orden R Matrix A \u003d es cero, y todos los fondos de los menores son cero, entonces cualquier cadena (columna) de la matriz A es una combinación lineal de sus filas (columnas) que constituyen.

Evidencia. Sin romper la generalidad del razonamiento, asumiremos que el menor de la R-Th Orden es diferente de cero de pie en la esquina superior izquierda de la matriz A \u003d:

.

Para las primeras líneas K de la Matriz A, la declaración del LEMMA es obvia: lo suficientemente en una combinación lineal para incluir la misma línea con un coeficiente igual a uno, y lo restante, con coeficientes iguales a cero.

Ahora probamos que las líneas restantes de la matriz se expresan linealmente a través de las primeras K líneas. Para hacer esto, construimos la orden menor (R + 1) -go agregando K-Th Row a menor () y l.-Para columna ():

.

El menor resultante es cero en absoluto k y l. Si, es cero al contener dos columnas idénticas. Si, el menor obtenido es un menor bullicioso para y, por lo tanto, es cero por la condición de la lema.

Difundir menor en los elementos de este último. l.-Para columna:

Creyendo, obtenemos:

(3.3.6)

Expresión (3.3.6) significa que línea k-i Matrixa y linealmente expresados \u200b\u200ba través de las primeras filas R.

Dado que al transponer la matriz, sus fondos no se cambian (debido a las propiedades de los determinantes), entonces todo está probado de manera justa y para columnas. El teorema está probado.

Corolario I. Cualquier cadena (columna) de la matriz es una combinación lineal de sus cadenas de base (columnas). De hecho, la matriz de la base menor es diferente de cero, y todos los bordes de ella son iguales a cero.

Corolario II. El determinante de la orden n-th, entonces y solo entonces es cero cuando contiene líneas dependientes linealmente (columnas). La suficiencia de la dependencia lineal de las cadenas (columnas) para la igualdad del determinante cero se demuestra antes como la propiedad de los determinantes.

Probamos la necesidad. Deje que la matriz cuadrada de N-TH ordene, la única menor de las cuales es cero. De ello se deduce que el rango de esta matriz es menor que n, es decir,. Hay al menos una línea, que es una combinación lineal de líneas básicas de esta matriz.

Probamos otro teorema sobre el rango de la matriz.

Teorema. El número máximo de líneas linealmente independientes de la matriz es igual al número máximo de sus columnas linealmente independientes e igual al rango de esta matriz.

Evidencia. Deje que el rango de la matriz A \u003d igual a r. Entonces, cualquiera de sus líneas básicas de K son linealmente independientes, de lo contrario, la base menor sería cero. Por otro lado, cualquier R + 1 y más líneas dependientes linealmente. Soportado desagradable, podríamos encontrar menores en más de R, diferentes de cero a una consecuencia de la lema anterior. Este último contradice el hecho de que el orden máximo de menores distintos de cero es igual a r. Todas las cadenas probadas son verdaderas para las columnas.

En conclusión, presentamos otro método para encontrar el rango de la matriz. El rango de la matriz se puede definir si encuentra un menor de orden máximo que no sea cero.

A primera vista, requiere cálculos, aunque la final, pero quizás, un número muy grande de menores de esta matriz.

Sin embargo, el siguiente teorema permite contribuir a esta simplificación significativa.

Teorema. Si la matriz menor es diferente de cero, y todos los menores de enfoque son cero, entonces el trapo de la matriz es R.

Evidencia. Es suficiente para demostrar que cualquier subsistema de las líneas de matriz en S\u003e r será en las condiciones del teorema linealmente dependiente (se seguirá de que R es el número máximo de líneas linealmente independientes de la matriz o cualquiera de sus menores de los menores El pedido más de k es cero).

Supongamos desagradables. Deja que las líneas sean linealmente independientes. En la LEMMA sobre los mineros limítrofes, cada uno de ellos se expresará linealmente a través de las líneas en las que el menor y que, en vista de lo que es diferente de cero, linealmente independiente:

Ahora considere la siguiente combinación lineal:

o

Usando (3.3.7) y (3.3.8), obtenemos

,

lo que contradice la independencia lineal de las líneas.

En consecuencia, nuestro supuesto es incorrecto y, por lo tanto, cualquier fila S\u003e r en las condiciones del teorema depende linealmente. El teorema está probado.

Considere la regla del cálculo del grado de la matriz: el método de enfoque de los menores basados \u200b\u200ben este teorema.

Al calcular el grado de la matriz, uno debe moverse de minoristas de pedidos más pequeños a los mineros de grandes pedidos. Si ya se encuentra el orden de R-TH menor, diferente de cero, se requiere calcular solo el orden de los menores (R + 1), enlazar, vinculando menor. Si son cero, el anillo de la matriz es R. Este método también se aplica si no solo calculamos el rango de la matriz, sino que también determine qué columnas (líneas) son la matriz de la base menor.

Ejemplo. Calcule el método de enfoque Menors Rank Matrix

Decisión. Menor del segundo orden, de pie en la esquina superior izquierda de la matriz A, difieren de cero:

.

Sin embargo, todos los menores de enfoque del tercer orden son cero:

;	;
;	;
;	.

En consecuencia, el rango de la matriz A es a dos :.

La primera y la segunda línea, la primera y la segunda columna en esta matriz son básicas. Las líneas y columnas restantes son sus combinaciones lineales. De hecho, las siguientes igualdades son válidas para las cadenas:

En conclusión, observamos la justicia de las siguientes propiedades:

1) El rango de trabajo de las matrices no es más que el rango de cada uno de los factores;

2) Rango de las obras de una matriz arbitraria y, a la derecha o a la izquierda a una matriz cuadrada Q es igual al rango de la matriz A.

Matrices polinomiales

Definición. Una matriz polinomial o aguas residuales se llama una matriz rectangular, cuyos elementos son polinomios de una variable con coeficientes numéricos.

El mapeo excesivo puede hacer transformaciones elementales. Éstas incluyen:

Permutación de dos líneas (columnas);

Multiplicación de la cadena (columna) por un número diferente a cero;

Ajuste a una línea (columna) de otra línea (columna) multiplicada por cualquier polinomio.

Los dos muestras y tamaños idénticos se denominan equivalentes: si la matriz K puede procesarse utilizando un número finito de transformaciones elementales.

Ejemplo. Probar la equivalencia de matrices

,

.

1. Cambiamos la primera y la segunda columna en la matriz:

.

2. Desde la segunda línea, leeré el primer multiplicado por ():

.

3. Multiplicaré la segunda cadena en (-1) y nota que

.

4. Suscríbase desde la segunda columna, primero, multiplicado por, obtenemos

.

El conjunto de todos los asientos de estos tamaños se divide en clases no ciclistas de matrices equivalentes. Las matrices equivalentes entre sí forman una clase, no equivalentes, la otra.

Cada clase de matrices equivalentes se caracteriza por tamaños canónicos, o de tamaño normal.

Definición. Los tamaños canónicos, o normales, -atsya se llama - Satchase, en los que los diagonales principales están configurados por polinomios, donde R es un menor de los números M y N ( ), y no los polinomios iguales cero tienen coeficientes senior iguales a 1, y cada uno de los siguientes es un polinomio para compartir a la anterior. Todos los elementos fuera de la diagonal principal son iguales a 0.

De la definición, de la definición, que, si entre polinomios, hay polinomios de grado cero, están al comienzo de la diagonal principal. Si hay ceros, se paran al final de la diagonal principal.

La matriz del ejemplo anterior es canónica. La matriz

también canónico.

Cada clase tiene una única selección canónica, es decir. Cada aguas residuales es equivalente a la única matriz canónica, que se llama forma canónica o forma normal de esta matriz.

Los polinomios de pie en la diagonal principal de la forma canónica de esta sesión se denominan multiplicadores invariantes de esta matriz.

Uno de los métodos para calcular los multiplicadores invariantes consiste en llevar esta sesión a la forma canónica.

Entonces, para la matriz del ejemplo anterior, los multiplicadores invariantes son

De lo que dijo que se deduce que la presencia del mismo conjunto de multiplicadores invariantes es una condición necesaria y suficiente para la equivalencia.

El resumen de la formación canónica se reduce a la definición de multiplicadores invariantes.

, ; ,

donde r - rango -matsy; - El mayor divisor común del menor de la ORDEN K-TH, tomada con el coeficiente superior igual a 1.

Ejemplo. Deja que Dana -Matza

.

Decisión. Obviamente, el mayor divisor común de la primera orden, es decir,. .

Definimos los menores del segundo orden:

,

etc.

Ya estos datos son suficientes para concluir:, por lo tanto,.

Determinar

,

Por eso, .

Por lo tanto, la forma canónica de esta matriz es la siguiente alcantarillado:

.

La matriz polinomial se llama la expresión.

donde - variable; - Matrices cuadradas de orden N con elementos numéricos.

Si, entonces s se llama el grado de polinomio de matriz, N es el orden de la matriz polinomial.

Cualquier selección cuadrática puede representarse como un polinomio de matriz. Bastante, obviamente, la declaración opuesta, es decir, Cualquier matriz polinomial puede representarse como un cierto cuadrado -matrum.

La validez de estas afirmaciones implica claramente las propiedades de las operaciones sobre las matrices. Demosmosamos en los siguientes ejemplos:

Ejemplo. Enviar una matriz polinomial

en forma de un polinomio de matriz puede ser el siguiente

.

Ejemplo. Matriz polinomial

se puede representar en forma de la siguiente matriz polinomial (aguas residuales)

.

Esta intercambiabilidad de los polinomios de matriz y las matrices polinomiales desempeña un papel importante en el aparato matemático de los métodos de factor y análisis de componentes.

Se pueden agregar polinomios de matriz del mismo orden, deducir y multiplicarse de la misma manera que los polinomios convencionales con coeficientes numéricos. Sin embargo, debe recordar que la multiplicación de polinomios de matriz, en general, no conmutativa, porque No la multiplicación conmutativa de las matrices.

Se llaman dos polinomios de matriz son iguales, si sus coeficientes son iguales, es decir, Matrices apropiadas con los mismos grados variables.

La cantidad (diferencia) de dos polinomios de matriz se llama tal polinomio de matriz en el que el coeficiente en cada grado de variable es igual a la cantidad (diferencia) de los coeficientes en la misma medida en los polinomios y.

Para multiplicar la matriz polinomial en la matriz polinomial, cada miembro de los polinomios de la matriz se multiplica a cada miembro de la matriz polinomial, pliegue los trabajos resultantes y traen miembros similares.

El grado de polinomio de matriz: el trabajo es menor o igual a la suma de los grados de los factores.

Las operaciones en polinomios de matriz se pueden llevar a cabo utilizando las operaciones en los asientos apropiados.

Para plegar (restar) polinomios de matriz, es suficiente para agregar (restar) los asientos correspondientes. Lo mismo se refiere a la multiplicación. - Satisfacer las obras de polinomios de matriz son iguales al producto de los factores.

Por otro lado y se puede escribir como

donde en 0 es una matriz nodegenerada.

Al dividirnos hay un residuo privado y derecho definitivamente derecho.

donde el grado R 1 es menor que el grado, o (división sin el residuo), así como el residuo privado izquierdo y izquierdo y solo cuando, donde

Los conceptos de dependencia lineal y la independencia lineal se determinan para filas y columnas por igual. Por lo tanto, las propiedades asociadas con estos conceptos formuladas para columnas, por supuesto, son válidas para las líneas.

1. Si el sistema de columna incluye una columna cero, depende linealmente.

2. Si hay dos columnas iguales en el sistema de columnas, depende linealmente.

3. Si hay dos columnas proporcionales en el sistema de columnas, depende linealmente.

4. El sistema de columnas es dependiente linealmente si y solo si al menos una de las columnas es una combinación lineal del resto.

5. Cualquier columna incluida en el sistema linealmente independiente forma un subsistema linealmente independiente.

6. El sistema de columna que contiene el subsistema linealmente dependiente es linealmente dependiente.

7. Si el sistema de columna es linealmente independiente, y después de sujetarlo, la columna resulta que es dependiente linealmente, entonces la columna se puede descomponer en las columnas, y, además, es decir, es decir, Los coeficientes de descomposición son definitivamente.

Probamos, por ejemplo, la última propiedad. Dado que el sistema de columna depende linealmente, entonces hay números, no todos iguales 0 que

En esta igualdad. De hecho, si, entonces

Por lo tanto, una combinación de columnas lineales no triviales es igual a una columna cero, que contradice la independencia lineal del sistema. Por lo tanto, y luego, es decir, La columna es una combinación lineal de columnas. Queda por mostrar la singularidad de tal presentación. Supongamos desagradables. Deje que haya dos descomposición y, y no todos los demandantes son respectivamente iguales entre sí (por ejemplo,). Luego de la igualdad

Obtenemos (\\ alfa_1- \\ beta_1) A_1 + \\ LDOTS + (\\ ALPHA_K- \\ BETA_K) A_K \u003d O

consistentemente, la combinación lineal de columnas es igual a una columna cero. Dado que no todos sus coeficientes son cero (al menos), entonces esta combinación es no trivial, lo que contradice la condición de la independencia lineal de las columnas. La contradicción resultante confirma la singularidad de la descomposición.

Ejemplo 3.2. Demostrar que dos columnas distintas de cero y dependan linealmente, y solo si son proporcionales, es decir, .

Decisión. De hecho, si las columnas dependen linealmente, entonces hay números que no son iguales a cero al mismo tiempo, lo que. Y en esta igualdad. De hecho, asumiendo que, obtenemos una contradicción, ya que la columna es distinta de cero. Entonces. Por lo tanto, hay un número de tal manera que. La necesidad está probada.

Por el contrario, si, entonces. Recibió una combinación lineal no trivial de columnas igual a cero columna. Así que las columnas son dependientes linealmente.

Ejemplo 3.3. Considere todo tipo de sistemas formados de columnas.

Explore cada sistema en dependencia lineal.
Decisión. Considere cinco sistemas que contienen una columna. 2. Mediante la reivindicación 1, Comentarios 3.1: Los sistemas son linealmente independientes, y un sistema que consiste en una columna cero es linealmente dependiente.

Considere los sistemas que contengan dos columnas:

- cada uno de los cuatro sistemas y es linealmente dependiente, ya que contiene una columna cero (propiedad 1);

- El sistema depende linealmente, ya que las columnas son proporcionales (propiedad 3):;

- Cada uno de los cinco sistemas y es linealmente independiente, ya que las columnas son desproporcionadas (consulte la aprobación del Ejemplo 3.2).

Considere los sistemas que contengan tres columnas:

- cada uno de los seis sistemas y es linealmente dependiente, ya que contiene una columna cero (propiedad 1);

- Los sistemas son dependientes linealmente, ya que contienen un subsistema linealmente dependiente (propiedad 6);

- Sistemas y dependientes linealmente, ya que la última columna se expresa linealmente en el resto (propiedad 4): y, en consecuencia.

Finalmente, los sistemas de cuatro o cinco columnas dependen linealmente (por la propiedad 6).

Matriz de rango

En esta sección, consideramos otras características numéricas importantes de la matriz asociada con la forma en que su fila (columnas) depende del otro.

Definición 14.10 Deje la matriz del tamaño y el número que no exceda de los números más pequeños y: . Elija cadenas arbitrariamente de la matriz y las columnas (las filas de números pueden diferir de los números de columna). El determinante de la matriz formado por elementos en la intersección de filas y columnas seleccionadas se llama menor del orden de la matriz.

Ejemplo 14.9. Permitir .

Menor del primer orden es cualquier elemento de la matriz. Así 2, - Menores del primer orden.

Menores de segundo orden:

1. Tome las filas 1, 2, columnas 1, 2, tenemos menor ;

2. Tome las líneas 1, 3, columnas 2, 4, tenemos menor ;

3. Tome las filas 2, 3, columnas 1, 4, tenemos menor

Menores del tercer orden:

las filas aquí se pueden seleccionar solo de una manera,

1. Tomar columnas 1, 3, 4, tenemos menor ;

2. Tomar columnas 1, 2, 3, tenemos menor .

Proposición 14.23 Si todos los menores de la matriz de pedido son cero, entonces todos los menores de la orden, si tal existen, también son iguales a cero.

Evidencia. Tomar orden menor arbitraria. Este es el determinante de la matriz de orden. Difundirlo en la primera línea. Luego, en cada término de descomposición, uno de los multiplicadores será menor del orden de la matriz original. Por condición, el orden menor es igual a cero. Por lo tanto, menor de la orden será cero.

Definición 14.11 El trapo de la matriz se llama el más grande de los órdenes de mentalidades de la matriz que no sea cero. Rank Cero Matrix se considera cero.

Unificado, estándar, la designación de la matriz de grado está ausente. Siguiendo el libro de texto, lo denotaremos.

Ejemplo 14.10 La matriz del Ejemplo 14.9 tiene un rango 3, ya que hay un menor de tercer orden que no sea cero, y los menores de la cuarta orden no lo son.

Matriz de rango igual a 1, ya que hay un menor de cero de la primera orden (el elemento de la matriz), y todos los menores de la segunda orden son cero.

El rango de una matriz cuadrada no degenerada es igual, ya que su determinante es un menor de orden y una matriz no degenerada difiere de cero.

Proposición 14.24 Al transponer la matriz, su rango no cambia, es decir, .

Evidencia. El menor transpuesto de la matriz inicial será menor de la matriz transpuesta, y viceversa, cualquier menor es un menor transpuesto de la matriz original. Cuando se transpone, el determinante (menor) no cambia (Proposición 14.6). Por lo tanto, si todos los menores del orden en la matriz inicial son cero, entonces todos los menores del mismo orden también son cero. Si el pedido menor en la matriz original difiere de cero, entonces hay un menor del mismo orden que no sea cero. Por eso, .

Definición 14.12. Deja que el rango de la matriz sea igual. Luego, cualquier pedido menor, diferente de cero, se llama la base menor.

Ejemplo 14.11 Permitir . El determinante de la matriz es cero, ya que la tercera línea es igual a la suma de los dos primeros. Menor del segundo orden, ubicado en las dos primeras líneas y las dos primeras columnas, es igual . En consecuencia, el rango de la matriz es dos, y los fondos considerados son básicos.

La base menor es también menor, ubicada, digamos, en la primera y tercera líneas, la primera y la tercera columnas: . El Básico será menor en la segunda y tercera líneas, la primera y la tercera columnas: .

Menor en las primeras y segundas líneas, la segunda y la tercera columnas es cero y, por lo tanto, no será básica. El lector puede verificar independientemente lo que otros menores de segundo orden serán básicos, y que no lo es.

Dado que las columnas (líneas) de la matriz se pueden doblar, multiplicadas por números, forman combinaciones lineales, puede ingresar la definición de dependencia lineal y la independencia lineal del sistema de columna (cadenas) de la matriz. Estas definiciones son similares a las mismas definiciones 10.14, 10.15 para vectores.

Definición 14.13 El sistema de columna (cadenas) se llama linealmente dependiente si hay un conjunto de coeficientes, de los cuales al menos uno es diferente de cero, que es una combinación lineal de columnas (cadenas) con estos coeficientes serán cero.

Definición 14.14. El sistema de columna (cadenas) es linealmente independiente, si desde la igualdad cero de la combinación lineal de estas columnas (cadenas), se deduce que todos los coeficientes de esta combinación lineal son cero.

La siguiente oferta también es cierta, similar a 15.6.

Proposición 14.25 El sistema de columna (cadenas) depende linealmente si y solo si una de las columnas (una de las filas) es una combinación lineal de otras columnas (líneas) de este sistema.

Formulamos el teorema llamado teorema sobre la base menor.

Teorema 14.2. Cualquier columna de la matriz es una combinación lineal de columnas que pasan por el menor básico.

La prueba se puede encontrar en libros de texto en álgebra lineal, por ejemplo, en,.

Proposición 14.26. El trapo de la matriz es igual al número máximo de sus columnas que forman un sistema linealmente independiente.

Evidencia. Deja que el rango de la matriz sea igual. Tomar columnas que pasan por el menor básico. Supongamos que estas columnas forman un sistema linealmente dependiente. Entonces una de las columnas es una combinación lineal de otros. Por lo tanto, en el menor básico, una columna será una combinación lineal de otras columnas. Según las propuestas 14.15 y 14.18, este menor básico debe ser cero, que es contrario a la definición de la base menor. En consecuencia, la suposición de que las columnas que pasan a través de la base menor son dependientes linealmente, no correctas. Por lo tanto, el número máximo de columnas que forman un sistema linealmente independiente es más o igual.

Supongamos que las columnas forman un sistema linealmente independiente. Vamos a conformar la matriz. Todas las matrices menores son mineros de la matriz. Por lo tanto, la matriz menor básica tiene un pedido más. De acuerdo con la base del teorema menor, una columna que no pasa a través de la matriz de la base menor es una combinación lineal de columnas que pasan a través de la base menor, es decir, las columnas de la matriz forman un sistema dependiente lineal. Esto contradice la selección de columnas que forman la matriz. En consecuencia, el número máximo de columnas que forman un sistema linealmente independiente no puede ser mayor. Significa que es igual al declarado.

Proposición 14.27. El trapo de la matriz es igual al número máximo de sus filas que forman un sistema linealmente independiente.

Evidencia. A la propuesta de 14.24, el rango de la matriz durante la transposición no cambia. Las filas de la matriz se convierten en sus columnas. El número máximo de nuevas columnas de la matriz transpuesta, (filas anteriores de los generadores originales) del sistema linealmente independiente, igual a las alas de la matriz.

Propuesta 14.28. Si el determinante de la matriz es cero, entonces una de sus columnas (una de las filas) es una combinación lineal de las columnas restantes (cadenas).

Evidencia. Deja que el orden de la matriz sea igual. El determinante es el único menor de matriz cuadrado que tiene un pedido. Ya que es cero, entonces. En consecuencia, el sistema de columna (cadenas) depende linealmente, es decir, una de las columnas (una de las cadenas) es una combinación lineal de los restantes.

Los resultados de las propuestas 14.15, 14.18 y 14.28 dan el siguiente teorema.

Teorema 14.3. El determinante de la matriz es cero si y solo si una de sus columnas (una de las filas) es una combinación lineal de las columnas restantes (cadenas).

Encontrar el grado de la matriz al calcular todos sus minoristas requiere demasiada operación computacional. (El lector puede verificar que en matriz cuadrada Cuarto alrededor de 36 menores del segundo orden.) Por lo tanto, se aplica otro algoritmo para encontrar el rango. Para su descripción, se requerirá una serie de información adicional.

Definición 14.15 Llamamos a las transformaciones elementales de las acciones de prueba de matriz:

1) Permutación de filas o columnas;
2) multiplicación de una cadena o columna una diferente de cero;
3) Agregar a una de las filas Otra cadena multiplicada por el número o la adición a una de las columnas de otra columna multiplicada por el número.

Proposición 14.29. Para transformaciones elementales El rango de la matriz no cambia.

Evidencia. Deje que el rango de la matriz sea igual, la matriz, obtenida como resultado de la ejecución de la transformación elemental.

Considerar la permutación de las cuerdas. Let - Matriz menor, luego en la matriz, hay un menor, que o coincide con, o difiere de él a líneas permutivas. A la inversa, cualquier menor de la matriz puede compararse con la matriz menor o la coincidencia C, o difiere de él el orden de las filas. Por lo tanto, del hecho de que en la matriz todos los menores de la orden son cero, también se deduce que en la matriz, todos los menores de este orden son cero. Y dado que en la matriz hay un pedido menor, aparte de cero, entonces, en la matriz, también hay un pedido menor, diferente de cero, es decir.

Considere la multiplicación de la cadena por un número diferente a cero. Menor de la matriz corresponde a menor de la matriz o la coincidencia C, o difiriendo solo una línea, que se obtiene de la cadena menor multiplicando el número distinto de cero. En este último caso. En todos los casos, o al mismo tiempo igual a cero, o al mismo tiempo diferente de cero. Por eso, .