Para el cual se necesita el determinante de la matriz. Determetes de matrices cuadradas. Métodos para calcular los identificadores.

- ¡Libera el azul hasta la muerte!
¡Dejemos subir la libertad!
Y el barco navega, y el reactor ruge ...
- Pasha, ¿tocaste?

Recuerdo la clase hasta el octavo que no me gustó el álgebra. En todo lo que no me gustó. Ella me inflamó Porque no entendí nada allí.

Y luego todo ha cambiado, porque estoy separado un chip:

En matemáticas, en general (y álgebra en particular), todo se basa en un sistema de definiciones competente y consistente. Usted sabe definiciones, usted entiende su esencia: el resto no será difícil.

Así que con el tema de la lección de hoy. Consideraremos en detalle varios problemas y definiciones relacionadas, gracias a la cual, una vez y para siempre, entender y con matrices, y con determinantes, y con todas sus propiedades.

Los determinantes son un concepto central en el álgebra de matrices. Al igual que las fórmulas de la multiplicación abreviada, lo perseguirán durante todo el curso de matemáticas más altas. Por lo tanto, leemos, miramos y entendimos a fondo. :)

Y empezar con lo más íntimo, ¿y qué es la matriz? Y cómo trabajar con él.

Arreglo adecuado de índices en la matriz.

La matriz es solo una mesa llena de números. Neo aquí.

Una de las características clave de la matriz es su dimensión, es decir,. El número de filas y columnas de las que consiste. Por lo general, se dice que una cierta matriz de $ A $ tiene un tamaño de $ \\ a la izquierda [M \\ Times N \\ Derecha] $, si tiene $ m $ filas y columnas de $ n $. Grabarlo así:

O así:

Hay otras designaciones: todo depende de las preferencias del profesor / seminarista / autor del libro de texto. Pero en cualquier caso, con todos estos $ \\ Left] $ y $ ((a) _ (ij)) $ ((a) _ (ij)), surge el mismo problema:

¿Qué índice de lo que es responsable? ¿Primero va el número de línea, luego la columna? ¿O viceversa?

Al leer conferencias y libros de texto, la respuesta parece obvia. Pero cuando está en el examen frente a usted, solo una hoja con una tarea, puede pasar y repentinamente confundirse.

Por lo tanto, tratemos con esta pregunta una vez y para siempre. Para empezar, recordemos el sistema de coordenadas convencionales del curso de la escuela de las matemáticas:

Introducción del sistema de coordenadas en el plano.

¿Recuerdalo? Ella tiene el comienzo de la coordenada (punto $ O \u003d \\ izquierda (0; 0 \\ justo a la derecha) $) un eje de $ x $ y $ y $, y cada punto en el plano está determinado de forma única por coordenadas: $ a \u003d \\ izquierda (1; 2 \\ derecha) $, $ b \u003d \\ izquierda (3; 1 \\ derecha) $, etc.

Y ahora vamos a tomar este diseño y ponerlo al lado de la matriz para que el origen de la coordenada esté en la esquina superior izquierda. ¿Por qué allí? Sí, porque abriendo un libro, comenzamos a leer desde la izquierda. esquina superior Páginas: recuerda que es más fácil que la luz.

¿Pero dónde enviar ejes? Los dirigiremos para que toda nuestra página virtual "esté cubierta por estos ejes. Es cierto, para esto tienes que convertir nuestro sistema de coordenadas. Solo variante posible Este lugar:

Sistema de coordenadas superpuesto en la matriz

Ahora, cada célula de matriz tiene coordenadas inequívocas de $ x $ y $ y $. Por ejemplo, un registro $ ((a) _ (24)) $ significa que apelamos al elemento con coordenadas $ x \u003d 2 $ y $ y \u003d $ 4. Las dimensiones de la matriz también están definitivamente establecidas por un par de números:

Definición de índices en la matriz.

Solo mira esta foto con cuidado. Juega a las coordenadas (especialmente cuando trabaja con matrices reales y determinantes), y muy pronto entenderá que incluso en los teoremas y definiciones más difíciles, usted entiende de qué estamos hablando.

Descubierto? Bueno, vaya al primer paso de la iluminación: la definición geométrica del determinante. :)

Definición geométrica

En primer lugar, me gustaría señalar que el determinante existe solo para las matrices cuadradas del tipo $ \\ izquierda [n \\ veces n \\ derecha] $. El determinante es el número que se lee en las reglas definidas y es una de las características de esta matriz (hay otras características: rango, vector propio, pero al respecto en otras lecciones).

Entonces, ¿qué es esta característica? ¿Qué quiere decir? Todo es simple:

El determinante de la matriz cuadrada $ A \u003d \\ izquierda [n \\ veces n \\ derecha] $ es el volumen de $ n $ -dimensional paralelepiped, que se forma si consideramos las filas de matriz como vectores que forman el techo de este paralelepípedo.

Por ejemplo, el determinante de la matriz de tamaño 2x2 es simplemente el área del paralelogramo, y para la matriz 3x3 ya es el volumen de paralelepipeda tridimensional, que es el mismo que enfurece, así que en todos los estudiantes de secundaria en Las lecciones de estereometría.

A primera vista, esta definición puede parecer completamente inadecuada. Pero no apurémonos con conclusiones, miro los ejemplos. De hecho, todo es elemental, Watson:

Una tarea. Encuentra los determinantes de las matrices:

\\ [\\ izquierda | \\ Comenzar (Matrix) 1 y 0 \\\\ 0 y 3 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\ Quad \\ Izquierda | \\ Comenzar (Matrix) 1 & -1 \\\\ 2 & 2 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\ Quad \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) 2 y 0 y 0 \\\\ 1 y 1 y 0 \\\\ 1 y 1 y 4 \\\\ FIN (MATRIX) \\ DUSTA | \\]

Decisión. Los dos primeros determinantes son 2x2. Así que son solo paralelogramas cuadrados. Habiéndole dibujarlos y considerar la plaza.

El primer paralelogramo se construye en vector $ ((V) _ (1)) \u003d \\ Izquierda (1; 0 \\ Derecha) $ y $ ((V) _ (2)) \u003d \\ Izquierda (0; 3 \\ derecha) $ :
El determinante 2x2 es el área del paralelogramo.
Obviamente, no es solo un paralelogramo, sino un rectángulo. Su área es igual

El segundo paralelogramo se construye en vector $ ((V) _ (1)) \u003d \\ Izquierda (1; -1 \\ derecha) $ y $ ((V) _ (2)) \u003d \\ Izquierda (2; 2 \\ derecha) PS Bueno, ¿y qué? Este es también un rectángulo:
Otro determinante 2x2
Los lados de este rectángulo (de hecho, la longitud de los vectores) son considerados fácilmente por el teorema de Pythagora:

\\ [\\ Comience (align) & \\ izquierda | ((V) _ (1)) \\ DURAR | \u003d \\ SQRT (((((1) ^ (2)) + ((\\ \\ (\\ \\ a -1 \\ derecha)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (2) ; \\\\ & \\ Izquierda | ((V) _ (2)) \\ DURAR | \u003d \\ SQRT ((((2) ^ (2)) + ((2) ^ (2)) \u003d \\ sqrt (8) \u003d 2 \\ sqrt (2); \\\\ & S \u003d \\ Izquierda | ((V) _ (1)) \\ DUSTA | \\ CDOT \\ Izquierda | ((V) _ (2)) \\ DURO | \u003d \\ SQRT (2) \\ CDOT 2 \\ SQRT (2) \u003d 4. \\\\\\ Fin (Align) \\]

Queda por lidiar con el último determinante, ya hay una matriz de 3x3. Tenemos que recordar el estereómetro:

El determinante 3x3 es el volumen de paralelepípedo.
Parece una lluvia de ideas, pero de hecho es suficiente para recordar la fórmula del volumen de paralelepípedo:

donde $ s $ es el área base (en nuestro caso, este es el área del paralelogramo en el plano de $ oxy $), $ H $ es una altura realizada a esta base (en esencia, $ z $ -cordinity $ ((V) _ (3)) $).

El área del paralelograma (corrimos por separado) también se considera fácil:

\\ [\\ comience (align) y s \u003d 2 \\ CDOT 3 \u003d 6; \\\\ & v \u003d s \\ cdot h \u003d 6 \\ cdot 4 \u003d 24. \\\\\\ Fin (Align) \\]

¡Eso es todo! Graba respuestas.

Respuesta: 3; cuatro; 24.

Un poco de comentario sobre el sistema de designación. Probablemente no le gustaría que ignore las "flechas" sobre los vectores. Supuestamente para que puedas confundir el vector con un punto o algo más.

Pero vamos a ser en serio: ya somos niños y niñas adultos, por lo que entendemos desde el contexto cuando se trata del vector, y cuándo, sobre el punto. Las flechas solo obstruyen la historia, y sin ese tejido rellenado con fórmulas matemáticas.

Y además. En principio, nada interfiere con consideración y el determinante de la matriz 1x1, tal matriz es simplemente una célula, y se determinará el número registrado en esta celda. Pero aquí hay una nota importante:

A diferencia del volumen clásico, el determinante nos dará el llamado " volumen orientado", Es decir. Volumen teniendo en cuenta la secuencia de consideración de vectores de fila.

Y si desea obtener el volumen en el sentido clásico de la palabra, tendrá que tomar el módulo del determinante, pero ahora no es necesario vapor al respecto, de todos modos, después de unos segundos, aprenderemos Considerar cualquier determinante con cualquier signo, tamaños, etc. :)

Definición algebraica

Con toda la belleza y la claridad del enfoque geométrico, tiene una seria desventaja: no nos dice nada sobre cómo se considera este determinante.

Por lo tanto, ahora analizaremos una definición alternativa - algebraic. Para esto, necesitaremos una breve preparación teórica, pero en la salida obtendremos una herramienta que le permita leer en las matrices como desee.

Cierto, aparecerá nuevo problema... pero primero las cosas primero.

Permutaciones e Inversión

Vamos a beber en una línea de números de 1 a $ n $. Resulta algo como esto:

Ahora (puramente en broma) cambia un par de números en lugares. Puedes cambiar el vecino:

Y es posible, no es muy vecino:

¿Y sabes qué? ¡Y nada! En álgebra, esta basura se llama permutación. Y ella tiene un montón de propiedades.

Definición. La permutación de la longitud $ N $ es una cadena de números diferentes de $ n $ registrados en cualquier secuencia. Los primeros números naturales de $ n $ generalmente se consideran (es decir, solo 1, 2, ..., $ n $), y luego mezclarlos para obtener la permutación deseada.

Las permutaciones se indican de la misma manera que los vectores son simplemente la letra y la lista consistente de sus elementos entre paréntesis. Por ejemplo: $ P \u003d \\ izquierda (1; 3; 2 \\ derecha) $ o $ P \u003d \\ IZQUIERDA (2; 5; 1; 4; 3 \\ derecha) $. La carta puede ser cualquiera, pero que haya $ P $. :)

Además, para la simplicidad de la presentación, trabajaremos con las permutaciones de la longitud 5, ya son bastante graves por observar cualquier efecto sospechoso, pero aún no tan sevieres para el cerebro rápido, como las permutaciones de la longitud 6 o más. Aquí hay ejemplos de tales permutaciones:

\\ [\\ Comenzar (alinear) & ((P) _ (1)) \u003d \\ Izquierda (1; 2; 3; 4; 5 \\ derecha) \\\\ ((P) _ (2)) \u003d \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ a la izquierda (1 ; 3; 2; 5; 4 \\ derecha) \\\\ & ((p) _ (3)) \u003d \\ Izquierda (5; 4; 3; 2; 1 \\ derecha) \\\\\\ Fin (Alinee) \\]

Naturalmente, la permutación de la longitud $ N $ puede considerarse como una función que se define en el conjunto de $ \\ izquierda \\ (1; 2; ...; n \\ derecha \\) $ y, por lo tanto, muestra este conjunto para ti mismo. . Volviendo a las permutaciones recién registradas de $ ((P) _ (1)) $, $ ((P) _ (2)) $ y $ ((P) _ (3)) $, podemos escribir legalmente:

\\ [((P) _ (1)) \\ a la izquierda (1 \\ derecha) \u003d 1; ((P) _ (2)) \\ izquierda (3 \\ derecha) \u003d 2; ((P) _ (3)) \\ Izquierda (2 \\ derecha) \u003d 4; \\]

El número de permutaciones diferentes de la longitud $ n $ es siempre limitado e igual a $ n! $ Es un hecho de Fácil de prueba de combinatoria. Por ejemplo, si queremos escribir todas las permutaciones de la longitud 5, lo haremos mucho, porque habrá tales permutaciones

Una de las características clave de cualquier permutación es el número de inversiones en ella.

Definición. Inversión en la permutación de $ p \u003d \\ izquierda (((a) _ (1)); ((a) _ (2)); ... ((a) _ (n)) \\ derecha) $ - cada Pareja $ \\ izquierda ((a) _ (i)); ((a) _ (j)) \\ derecha) $ de tal manera que $ i \\ lt j $, pero $ (a) _ (i)) \\ gt ((a) _ (j)) $. En pocas palabras, la inversión es cuando un número mayor está a la izquierda de los más pequeños (no necesariamente vecinos).

Denotaremos por $ n \\ izquierda (P \\ derecha) $ Número de inversiones en la permutación de $ P $, pero estar preparado para reunirse con otras designaciones en diferentes libros de texto y de diferentes autores, no hay estándares uniformes aquí. El tema de las inversiones es muy extenso, y una lección separada se dedicará a ella. Ahora nuestra tarea es simplemente aprender a considerarlos en tareas reales.

Por ejemplo, calculamos el número de inversiones en la permutación de $ P \u003d \\ izquierda (1; 4; 5; 3; 2 \\ derecha) $:

\\ [\\ izquierda (4; 3 \\ derecha); \\ izquierda (4; 2 \\ derecha); \\ izquierda (5; 3 \\ derecha); \\ izquierda (5; 2 \\ derecha); \\ izquierda (3; 2 \\ derecha ). \\]

Por lo tanto, $ n \\ izquierda (P \\ derecha) \u003d $ 5. Como puedes ver, nada terrible en él. Inmediatamente diré: Además, estaremos interesados \u200b\u200ben no tanto el número de $ N \\ Izquierda (P \\ Derecha) $, cuánto es su disposición / rareza. Y aquí vamos sin problemas al término clave de la lección de hoy.

Que es el determinante

Deje una matriz cuadrada $ A \u003d \\ izquierda [n \\ veces n \\ derecha] $. Luego:

Definición. El identificador de la matriz $ A \u003d \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ lept] $ es la cantidad algebraica de $ n! $ Términos compilados de la siguiente manera. Cada término es un producto de $ N $ MATRIX elementos tomados de acuerdo con una de cada fila y cada columna, multiplicadas por (-1) al grado de inversión:

\\ [\\ izquierda | A \\ Derecho | \u003d \\ Sum \\ Limits_ (n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Un punto fundamental al elegir multiplicadores para cada término en el determinante es el hecho de que no se paran dos factores en una línea o en una columna.

Debido a esto, es posible sin limitar la generalidad para asumir que los índices de índices de $ i $ (a) _ (i; j)) $ "ejecutar" valores 1, ..., $ n $ e índices $ j $ son un poco de permutación de primero:

Y cuando hay un reordenamiento de $ P $, calcularemos fácilmente la inversión de $ n \\ izquierda (P \\ derecha) $, y el siguiente término está listo para el próximo término del determinante.

Naturalmente, nadie prohíbe para cambiar los lugares de multiplicadores en cualquiera (o todos a la vez - lo que lo son por fin), y luego el primer índices también serán algunos de permutación. Pero al final, nada va a cambiar: el número total de inversiones en el $ $ $ I y J $ índices conserva la disposición de tales perversiones, que es bastante consistente con la vieja regla:

A partir de la permutación de multiplicadores, el número de números no cambia.

Pero no es necesario verificar esta regla para multiplicar las matrices, en contraste con la multiplicación de números, no es conmutativa. Pero estoy roto. :)

Matriz 2x2.

De hecho, es posible considerar la matriz 1x1: será una célula, y su determinante, ya que es fácil de adivinar, es igual al número registrado en esta celda. Nada interesante.

Por lo tanto, miremos una matriz cuadrada de dimensiones 2x2:

\\ [\\ izquierda [\\ comience (matriz) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) \\\\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) \\\\ Fin (Matrix) \\ derecha] \\]

Dado que el número de filas en él es $ n \u003d $ 2, ¡el determinante contendrá $ n! \u003d 2! \u003d 1 \\ CDOT 2 \u003d $ 2 componentes. Beberlos:

\\ [\\ comienzan (alinee) & ((\\ Izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (n \\ izquierda (1; 2 \\ derecha)) \\ CDOT ((A) _ (11)) \\ CDOT ((a) _ (22)) \u003d ((\\ \\ \\ a la izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (0)) \\ CDOT ((A) _ (11)) \\ CDOT ((a) _ (22)) \u003d ((a) _ (11)) ((a) _ (22)); \\\\ & ((\\ Izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (n \\ izquierda (2; 1 \\ derecha)) \\ CDOT ((a) _ (12)) \\ CDOT ((a) _ (21)) \u003d ((\\ \\ a la izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (1)) \\ CDOT ((a) _ (12)) \\ CDOT ((A) _ (21)) \u003d ((a) _ (12)) ( (a) _ (21)). \\\\\\ Fin (Align) \\]

Obviamente, en la permutación de $ \\ izquierda (1; 2 \\ derecha) $ que consiste en dos elementos, no hay inversiones, por lo tanto, $ n \\ izquierda (1; 2 \\ derecha) \u003d 0 $. Pero en la permutación de $ \\ izquierda (2; 1 \\ derecha) $ una inversión está disponible (en realidad 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

La fórmula universal total para calcular el determinante para la matriz 2x2 se ve así:

\\ [\\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) \\\\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) \\\\\\ Fin ( Matriz) \\ Derecha | \u003d ((a) _ (11)) ((a) _ (22)) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21)) \\]

Gráficamente, esto se puede representar como un producto de elementos que se colocan en la diagonal principal, menos el producto de los elementos en un lado:

El determinante de la matriz 2x2.

Considere un par de ejemplos:

\\ [\\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) 5 y 6 \\\\ 8 y 9 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha |; \\ quad \\ izquierda | \\ Comenzar (Matrix) 7 y 12 \\\\ 14 & 1 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha |. \\]

Decisión. Todo se considera en una línea. Primera matriz:

Y el segundo:

Respuesta: -3; -161.

Sin embargo, era demasiado simple. Veamos las matrices 3x3, ya hay interesantes.

Matriz 3x3

Ahora considere la matriz de tamaño cuadrado 3x3:

\\ [\\ izquierda [\\ comience (matriz) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ((a) _ (13)) \\\\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ((a) _ (23)) \\\\ ((a) _ (31)) & ((a) _ (32)) & ((a) _ (33) ) \\\\\\ FIN (MATRIX) \\ derecha] \\]

Al calcular su determinante, obtendremos $ 3 \u003d 1 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \u003d $ 6 trimestres - no demasiado para el pánico, pero es suficiente para empezar a buscar algunos patrones. Para empezar, bebemos todas las permutaciones de tres elementos y consideramos la inversión en cada uno de ellos:

\\ [\\ Begin (align) y ((p) _ (1)) \u003d \\ left (1; 2; 3 \\ right) \\ rightarrow n \\ left (((p) _ (1)) \\ Derecha) \u003d n \\ izquierda (1; 2; 3 \\ derecha) \u003d 0; \\\\ y ((p) _ (2)) \u003d \\ left (1; 3; 2 \\ right) \\ rightarrow n \\ left ((((p) _ (2)) \\ right) \u003d n \\ left (1; 3; 2 \\ right) \u003d 1; \\\\ & ((P) _ (3)) \u003d \\ Izquierda (2; 1; 3 \\ derecha) \\ Rudotrown n \\ izquierda ((((P) _ (3)) \\ derecha) \u003d n \\ izquierda (2; 1 ; 3 \\ derecha) \u003d 1; \\\\ y ((p) _ (4)) \u003d \\ left (2; 3; 1 \\ right) \\ rightarrow n \\ left (((p) _ (4)) \\ right) \u003d n \\ left (2; 3 ; 1 \\ derecha) \u003d 2; \\\\ y ((p) _ (5)) \u003d \\ left (3; 1; 2 \\ right) \\ rightarrow n \\ left (((p) _ (5)) \\ right) \u003d n \\ left (3; 1 ; 2 \\ derecha) \u003d 2; \\\\ y ((p) _ (6)) \u003d \\ left (3; 2; 1 \\ right) \\ rightarrow n \\ left (((p) _ (6)) \\ Derecha) \u003d n \\ left (3; 2 ; 1 \\ derecha) \u003d 3. \\\\\\ Fin (Align) \\]

Como era de esperar, 6 permutaciones de $ ((P) _ (1)) $, $ ... ((P) _ (6)) $ ((Naturalmente, se podría escribir en otra secuencia - la esencia de esto no es Cambios ), y el número de inversiones en ellos varía de 0 a 3.

En general, tendremos tres términos con la "PLUS" (donde se fueron $ n \\ izquierda (p \\ derecha) $ es uno) y tres más con un "menos". En general, el determinante será considerado por la fórmula:

\\ [\\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ((a) _ (13)) \\\\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ((a) _ (23)) \\\\ ((a) _ (31)) & ((a) _ (32)) & ((a) _ (33)) \\\\\\ Fin (Matriz) \\ Derecha | \u003d \\ Comenzar (matriz) ((a) _ (11)) ((a) _ (22)) ((a) _ (33)) + ((a) _ (12)) ( (a) _ (23)) ((a) _ (31)) + ((a) _ (13)) ((a) _ (21)) ((a) _ (32)) - \\\\ - ( (a) _ (13)) ((a) _ (22)) ((a) _ (31)) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21)) ((a) _ (33)) - ((a) _ (11)) ((a) _ (23)) ((a) _ (32)) \\\\\\ FIN (MATRIX) \\]

¡Eso no es necesario que se siente y ferozmente para afilar todos estos índices! En lugar de dígitos incomprensibles, es mejor recordar la siguiente regla mnemónica:

Regla del triángulo. Para encontrar el determinante de la matriz 3x3, es necesario doblar tres obras de elementos en la diagonal principal y en los vértices de un triángulo igualmente encadenado con un lado paralelo a esta diagonal, y luego restar las mismas tres obras, pero en el diagonal lateral. Esquemáticamente, se ve así:

Determinante de la matriz 3x3: Regla de triángulos

Son estos triángulos (o Pentagrama, a quienes le gusta la mejor manera), le encanta dibujar en todo tipo de libros de texto y técnicas de álgebra. Sin embargo, no vamos a estar triste. Vamos a considerar mejor uno de esos determinantes: para los calentamientos antes del tinte real. :)

Una tarea. Calcular el determinante:

\\ [\\ izquierda | \\ Comenzar (Matrix) 1 y 2 y 3 \\\\ 4 y 5 y 6 \\\\ 7 y 8 y 1 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\]

Decisión. Trabajamos de acuerdo con la regla de los triángulos. Primero, considere los tres componentes formados por elementos en la diagonal principal y en paralelo a ella:

\\ [\\ Comienzan (alinee) & 1 \\ CDOT 5 \\ CDOT 1 + 2 \\ CDOT 6 \\ CDOT 7 + 3 \\ CDOT 4 \\ CDOT 8 \u003d \\\\ & \u003d 5 + 84 + 96 \u003d 185 \\\\\\ Fin (Alinee) \\]

Ahora entendemos con un lado diagonal:

\\ [\\ Comience (align) y 3 \\ CDOT 5 \\ CDOT 7 + 2 \\ CDOT 4 \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT 6 \\ CDOT 8 \u003d \\\\ & \u003d 105 + 8 + 48 \u003d 161 \\\\ Fin (Alinee) \\ ]

Sólo permanece restar de la primera cantidad del segundo, y obtendremos la respuesta:

¡Eso es todo!

Sin embargo, los determinantes de las matrices 3x3 no son la parte superior de la habilidad. Lo más interesante nos está esperando más. :)

Esquema general para calcular los determinantes.

Como sabemos, con el crecimiento de la dimensión de la matriz $ n $, el número de términos en el determinante es $ n! $ Y crece rápidamente. Aún así, factorial es que no follas un perro en lugar de una función de creciente rápido.

Ya para las matrices 4x4, los determinantes se alteran (es decir, a través de las permutaciones), de alguna manera, no se vuelve muy bueno. Cerca de 5x5 y más generalmente silenciosos. Por lo tanto, algunas propiedades del determinante están conectadas al caso, pero para su comprensión, se necesita una pequeña preparación teórica.

¿Listo? ¡Ir!

Que es la matriz menor

Deje una matriz arbitraria $ A \u003d \\ izquierda [M \\ Times N \\ Derecha] $. AVISO: No necesariamente cuadrado. A diferencia de los determinantes, los menores son tan nyashki que existen, no solo en matrices cuadradas duras. Elegimos en esta matriz varias (por ejemplo, $ k $) filas y columnas, y los $ 1 \\ le k \\ le m $ y $ 1 \\ le k \\ le n $. Luego:

Definición. El menor es de aproximadamente $ K $: el determinante de la matriz cuadrada que surge de la intersección de las columnas y filas seleccionadas de $ k $. Además, seré llamado esta nueva matriz en sí.

Se indica por dichos $ ((M) _ (k)) $. Naturalmente, una matriz puede tener un montón de menores de $ K $. Aquí hay un ejemplo de un menor de orden 2 para la matriz de $ \\ izquierda [5 \\ Times 6 \\ derecha] $:
Elección de $ K \u003d $ 2 columnas y filas para una formación menor

Es absolutamente opcional que las líneas y columnas seleccionadas se acercaron, como en el ejemplo considerado. Lo principal es que el número de filas y columnas seleccionadas es el mismo (este es el número $ K $).

Hay otra definición. Tal vez alguien más le gustará el alma:

Definición. Deje que la matriz rectangular $ A \u003d \\ izquierda [M \\ Times N \\ Derecha] $. Si, después de cruzar una o más columnas y una o varias filas, se forma una matriz cuadrada del tamaño de $ \\ izquierda [k \\ tiempo k \\ derecha] $, entonces su determinante es un menor de $ (m) _ ( k)) $. A veces, también llamaremos a la matriz, quedará claro en el contexto.

A medida que mi gato hablaba, a veces es mejor arrastrarse una vez desde el piso 11, hay comida que el maullido, sentado en el balcón.

Ejemplo. Deja que la matriz sea dada

Elegir una cadena 1 y una columna 2, tenemos menor del primer pedido:

\\ [((M) _ (1)) \u003d \\ \\ \\ izquierda | 7 \\ Derecha | \u003d 7 \\]

ChoAlingrs 2, 3 y columnas 3, 4, obtenemos un segundo orden menor:

\\ [((M) _ (2)) \u003d \\ \\ \\ \\ izquierda | \\ Comenzar (Matrix) 5 y 3 \\\\ 6 y 1 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d 5-18 \u003d -13 \\]

Y si elige las tres líneas, así como las columnas 1, 2, 4, habrá un menor del tercer orden:

\\ [((M) _ (3)) \u003d \\ IZQUIERDO | \\ Comenzar (matriz) 1 y 7 y 0 \\\\ 2 y 4 y 0 \\\\ 3 y 0 y 1 \\\\ FIN (MATRIX) \\ DUSTA | \\]

El lector no será difícil encontrar otros menores de órdenes de 1, 2 o 3. Por lo tanto, vamos más allá.

Complementos algebraicos

"Bueno, bien, y ¿qué nos dan a los minions?" - Seguramente lo preguntas. Por ti mismo - nada. Pero en matrices cuadradas, cada menor aparece "compañero", un menor adicional, así como una adición algebraica. Y juntos, estos dos oídos nos permitirán escalar a los determinantes como las nueces.

Definición. Deje que la matriz cuadrada $ A \u003d \\ izquierda [n \\ veces n \\ derecha] $, en la que se selecciona el menor $ ((m) _ (k)) $. Luego, un menor adicional para $ ((M) _ (k)) $ es una pieza de la matriz inicial $ A $, que permanecerá al resaltar todas las filas y columnas involucradas en la preparación de $ ((M) _ ( k)) $:
Menor adicional a menor $ ((M) _ (2)) $
Especifique un momento: un menor adicional no es solo una "pieza de la matriz", sino el determinante de esta pieza.

Se designan a los menores adicionales con la ayuda de "estrellas": $ M_ (k) ^ (*) $:

donde la operación de $ A \\ NABLA (((M) _ (K)) significa literalmente "Eliminar de $ A $ cadenas y columnas incluidas en $ ((M) _ (k)) $. Esta operación no se acepta generalmente en matemáticas, acabo de encontrarlo por la belleza de la narración. :)

Los menores adicionales rara vez son utilizados por ellos mismos. Son parte de un diseño más complejo - suplemento algebraico.

Definición. Adición algebraica de $ ((M) _ (k)) $ es un menor de $ m_ m_ (k) ^ (*) $ multiplicado por $ ((\\ \\ a la izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (s)) $ donde $ s $ es la suma de números de todas las filas y columnas involucradas en el menor de $ ((M) _ (k)) inicial.

Como regla general, la adición algebraica de $ ((M) _ (k)) $ se denota por $ ((a) _ (k)) $. Por lo tanto:

\\ [((A) _ (k)) \u003d ((\\ \\ \\ a la izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (s)) \\ CDOT M_ (K) ^ (*) \\]

¿Complicado? A primera vista, sí. Pero no es exactamente. Porque, de hecho, todo es fácil. Considere un ejemplo:

Ejemplo. Dana Matrix 4x4:

Elige un menor de la segunda orden.

\\ [((M) _ (2)) \u003d \\ \\ \\ \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) 3 y 4 \\\\ 15 y 16 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\]

El Capitán es obvio, ya que nos indica que, en la preparación de este menor, se involucraron las cadenas 1 y 4, así como las columnas 3 y 4. Terminamos, obtenemos un menor adicional:

Queda por encontrar el número $ s $ y obtener una adición algebraica. Como conocemos los números de las líneas involucradas (1 y 4) y columnas (3 y 4), todo es simple:

\\ [\\ comience (alinee) y s \u003d 1 + 4 + 3 + 4 \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((\\ a la izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (s)) \\ CDOT M_ (2) ^ (*) \u003d ((\\ \\ \\ a la izquierda (-1 \\ derecha) ) ^ (12)) \\ CDOT \\ Izquierda (-4 \\ derecha) \u003d - 4 \\ End (Align) \\]

Respuesta: $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 4

¡Eso es todo! De hecho, toda la diferencia entre un menor adicional y una adición algebraica, solo en el frente menos, y no siempre lo es.

Teorema de Laplas

Y así llegamos a qué, de hecho, se necesitaban todos estos menores y adiciones algebraicas.

Teorema de Laplace sobre la descomposición del determinante. Deje que $ K $ de cadenas (columnas), y $ 1 \\ le k \\ le n-1 $, se seleccionan en el $ \\ izquierda [N \\ Times N \\ Derecha] $. Luego, el determinante de esta matriz es igual a la suma de todas las obras de los menores del orden de $ K $ contenidos en las líneas seleccionadas (columnas), en sus adiciones algebraicas:

\\ [\\ izquierda | A \\ Derecho | \u003d \\ Suma (((M) _ (K)) \\ CDOT ((A) _ (K)) \\]

Además, dichos términos serán exactamente $ c_ (n) ^ (k) $.

De acuerdo, está bien: Cerca de $ C_ (n) ^ (k) $ - Este es yo ya en el teorema original de Laplace, no había nada de eso. Pero nadie canceló la combinatoria, y, literalmente, una mirada rápida a la condición le permitirá hacerlo para asegurarse de que los componentes sean mucho. :)

No lo probaremos, aunque no representa muchas dificultades, todos los cálculos se reducen a las permutaciones y la preparación / rareza de las inversiones antiguas. Sin embargo, la prueba se presentará en un párrafo separado, y hoy tenemos una lección puramente práctica.

Por lo tanto, recurrimos a un caso privado de este teorema cuando los menores son células de matriz individuales.

Descomposición de la cadena y la columna.

Lo que ahora hagamos acerca de: solo hay una herramienta básica para trabajar con determinantes, por lo que todo este juego estaba habitado con permutaciones, mineros y adiciones algebraicas.

Lea y disfruta:

Consecuencia del teorema de Laplace (descomposición de una cadena / columna). Deje que se seleccione una línea en la matriz de los $ \\ izquierda] $ de [N \\ Times N \\ Derecha] $. Los mineros en esta línea serán de $ n $ células individuales:

\\ [((M) _ (1)) \u003d ((a) _ (ij)), \\ quad j \u003d 1, ..., n \\]

También se consideran fácilmente menores adicionales: solo tome la matriz original y resalte la cadena y la columna que contiene $ ((a) _ (ij)) $. Llamaremos a dichos menores $ M_ (IJ) ^ (*) $.

Para un suplemento algebraico, todavía se necesita el número de $ s $, pero en el caso de menor a aproximadamente 1, es simplemente la suma de la "coordenada" de la celda $ ((a) _ (ij)) $:

Y luego el determinante original se puede escribir a través de $ ((a) _ (IJ)) $ y $ M_ (IJ) ^ (*) $ según el teorema de Laplace:

\\ [\\ izquierda | A \\ Derecha | \u003d \\ sum \\ Limits_ (j \u003d 1) ^ (n) (((a) _ (ij)) \\ cdot ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (i + j)) \\ cdot ((M) _ (ij))) \\]

Eso es lo que es fórmula de descomposición para cadena. Pero lo mismo es cierto para las columnas.

De esta consecuencia, puede formular inmediatamente varias conclusiones:

Este esquema funciona igual de bien para las filas y las columnas. De hecho, la discontinuidad más habitual es ir en columnas que en las filas.
El número de términos en la descomposición es siempre exactamente $ n $. Esto es significativamente menor que $ C_ (n) ^ (k) $ e incluso más de $ N! $.
En lugar de un $ determinante \\ left [N \\ times N \\ Derecha] $, se tendrá que tener en cuenta varios factores determinantes del tamaño por unidad de menos: $ \\ left [\\ left (N-1 \\ derecho) \\ times \\ left (N-1 \\ derecho) \\ right] $.

El último hecho es especialmente importante. Por ejemplo, en lugar de un determinante brutal, 4x4 ahora será suficiente para calcular varios determinantes de 3x3, podemos hacer frente a ellos. :)

Una tarea. Encuentra el determinante:

\\ [\\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 1 y 2 y 3 \\\\ 4 y 5 y 6 \\\\ 7 y 8 y 9 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | \\]

Decisión. Podremos descomponer este determinante en la primera línea:

\\ [\\ Comience (alinee) \\ izquierda | A \\ Derecho | \u003d 1 \\ CDOT ((\\ \\ a la izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (1 + 1)) \\ CDOT \\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 5 & 6 \\\\ 8 y 9 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | + \\\\ 2 \\ Cdot ((\\ left (-1 \\ derecho)) ^ (1 + 2)) \\ cdot \\ left | \\ Begin (Matrix) 4 y 6 \\\\ 7 y 9 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | + \\\\ 3 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ derecho)) ^ (1 + 3)) \\ cdot \\ left | \\ Comenzar (Matrix) 4 y 5 \\\\ 7 y 8 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d & \\\\\\ Fin (Align) \\]

\\ [\\ Comience (align) & \u003d 1 \\ cdot \\ izquierda (45-48 \\ derecha) -2 \\ CDOT \\ izquierda (36-42 \\ derecha) +3 \\ CDOT \\ izquierda (32-35 \\ derecha) \u003d \\\\ & \u003d 1 \\ CDOT \\ IZQUIERDA (-3 \\ Derecha) -2 \\ CDOT \\ izquierda (-6 \\ derecha) +3 \\ CDOT \\ izquierda (-3 \\ derecha) \u003d 0. \\\\\\ Fin (Align) \\]

Una tarea. Encuentra el determinante:

\\ [\\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 0 y 1 & 1 y 0 \\\\ 1 y 0 y 1 & 1 \\\\ 1 & 1 y 0 y 1 \\\\ 1 & 1 & 1 y 0 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | \\]

Decisión. Para una diversidad, trabajemos con columnas esta vez. Por ejemplo, dos cero están presentes en la última columna, obviamente, reducirá significativamente el cálculo. Ahora verás por qué.

Entonces, declaramos el determinante para la cuarta columna:

\\ [\\ Comience (alinee) \\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 0 y 1 & 1 y 0 \\\\ 1 y 0 y 1 & 1 \\\\ 1 & 1 y 0 y 1 \\\\ 1 & 1 & 1 y 0 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | \u003d 0 \\ CDOT ((\\ \\ a la izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (1 + 4)) \\ CDOT \\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 1 y 0 y 1 \\\\ 1 & 1 y 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | + \\\\ 1 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ derecho) ) ^ (2 + 4)) \\ cdot \\ left | \\ Begin (Matrix) 0 y 1 & 1 1 & 1 \\\\ y \\\\ 0 1 & 1 & 1 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | + 1 & \\\\ \\ Cdot ((\\ left (-1 \\ Derecho )) ^ (3 + 4)) \\ cdot \\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 0 y 1 & 1 \\\\ 1 y 0 y 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | + \\\\ 0 \\ CDOT ((\\ left (-1 \\ derecho)) ^ (4 + 4)) \\ CDOT \\ izquierda | \\ Comience (matriz) 0 y 1 y 1 \\\\ 1 y 1 y 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\\\\\ Fin (Align) \\]

Y aquí - ¡Oh, milagro! - Los dos componentes vuelan inmediatamente al gato debajo de la cola, ya que tienen un multiplicador de "0". Hay dos determinantes más del 3x3, con los que nos averiguaremos fácilmente:

\\ [\\ Comience (align) & \\ izquierda | \\ Comenzar (Matrix) 0 y 1 y 1 \\\\ 1 y 1 y 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d 0 + 0 + 1-1-1-0 \u003d -1; \\\\ & \\ Izquierda | \\ Comenzar (matriz) 0 y 1 y 1 \\\\ 1 y 1 y 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d 0 + 1 + 1-0-0-1 \u003d 1. \\\\\\ Fin (Align) \\]

Regresamos a la fuente y encontramos la respuesta:

\\ [\\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 0 y 1 & 1 y 0 \\\\ 1 y 0 y 1 & 1 \\\\ 1 & 1 y 0 y 1 \\\\ 1 & 1 & 1 y 0 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | \u003d 1 \\ CDOT \\ IZQUIERDA (-1 \\ Derecha) + \\ Izquierda (-1 \\ derecha) \\ CDOT 1 \u003d -2 \\]

Eso es. Y no 4! \u003d 24 metros no tuvieron que ser considerados. :)

Respuesta: -2.

Las principales propiedades del determinante.

En la última tarea, vimos cómo la presencia de ceros en las cadenas (columnas) de la matriz simplifica considerablemente la descomposición del determinante y en general todos los cálculos. La pregunta natural surge: ¿Es imposible hacer que estos ceros aparezcan incluso en esa matriz donde originalmente no fueron?

La respuesta es inequívoca: lata. Y aquí ayudamos a las propiedades del determinante:

Si cambia dos líneas (columna) en lugares, el determinante no cambiará;
Si una línea (columna) se multiplica por el número $ k $, entonces todo el determinante también multiplicará por el número $ K $;
Si toma una línea y agrega (restó), cuánto tiempo de otro, el determinante no cambiará;
Si las dos líneas del determinante son las mismas, ya sea proporcional o una de las filas está llena de ceros, entonces todo el determinante es cero;
Todas las propiedades anteriores son verdaderas para las columnas.
Al transponer la matriz, el determinante no cambia;
El determinante del trabajo de las matrices es igual al producto de los determinantes.

De valor particular es la tercera propiedad: podemos retire de una línea (columna) la otra hasta que aparezcan ceros en los lugares correctos.

La mayoría de las veces, los cálculos se reducen a "Restablecer" toda la columna en todas partes, excepto por un elemento, y luego descomponen el determinante para esta columna, habiendo recibido una matriz de 1 MATRIX menos.

Veamos cómo funciona en la práctica:

Una tarea. Encuentra el determinante:

\\ [\\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 1 y 1 y 3 y 4 \\\\ 3 y 1 y 4 y 1 \\-2 y 1 y 1 y 1 \\\\ 2 y 3 y 1 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\]

Decisión. Los ceros aquí, como lo fueron, no se observaron en absoluto, por lo que puede "caer" en cualquier fila o columna, el volumen de cálculos será aproximadamente el mismo. No terminemos y "reinicie" la primera columna: ya hay una celda con una unidad en ella, por lo que simplemente tomamos la primera línea y restamos 4 veces desde la segunda, 3 veces desde la tercera y 2 veces desde la última. .

Como resultado, obtenemos una nueva matriz, pero su determinante será el mismo:

\\ [\\ Comience (matriz) \\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 1 y 1 y 3 y 4 \\\\ 3 y 1 y 4 y 1 \\-2 y 1 y 1 y 1 \\\\ 2 y 3 y 1 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\ begin (Matriz) \\ Downarrow \\\\ \\\\ -4 -3 -2 \\\\ \\\\\\ Fin (Matrix) \u003d \\\\ \u003d \\ left | \\ Comenzar (Matrix) 1 y 2 y 3 y 4 \\\\ 4-4 \\ CDOT 1 & 1-4 \\ CDOT 2 & 2-4 \\ CDOT 3 & 3-4 \\ CDOT 4 \\\\ 3-3 \\ CDOT 1 & 4-3 \\ CDOT 2 & 1-3 \\ CDOT 3 & 2-3 \\ CDOT 4 \\\\ 2-2 \\ CDOT 1 & 3-2 \\ CDOT 2 & 4-2 \\ CDOT 3 & 1-2 \\ CDOT 4 \\ \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d \\\\ \u003d \\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 1 y 2 y 3 y 4 \\\\ 0 & -7 & -10 & -8 & -10 \\\\ 0 & -1 & -10 \\\\ 0 & -1 & -10 \\\\ 0 & -1 & -2 & -7 \\\\ \\ End (Matrix) \\ Derecha | \\\\\\ FIN (MATRIX) \\]

Ahora, con parche no vulnerable, inicia este determinante en la primera columna:

\\ [\\ Begin (Matrix) 1 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ derecho)) ^ (1 + 1)) \\ cdot \\ left | \\ Comenzar (Matrix) -7 & -10 & -13 \\\\ -2 & -8 & -10 \\\\ -1 & -2 & -10 \\\\ -1 & -2 & -7 \\\\ -1 End (Matrix) \\ Derecha | +0 \\ CDOT (( \\ izquierda (-1 \\ derecho)) ^ (2 + 1)) \\ cdot \\ left | ... \\ Derecha | + \\\\ 0 \\ CDOT ((\\ \\ a la izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (3 + 1)) \\ cdot \\ izquierda | ... \\ Derecha | +0 \\ CDOT ((\\ \\ a la izquierda (-1 \\ derecha)) ^ (4 + 1)) \\ CDOT \\ izquierda | ... \\ Derecha | \\\\\\ FIN (MATRIX) \\]

Está claro que "sobrevivir" sólo el primer término - en el resto Ni siquiera escribir los determinantes, ya que todavía se multiplican en cero. El coeficiente frente al determinante es igual a uno, es decir, No puede escribirlo.

Pero puedes hacer "menos" de las tres filas del determinante. En esencia, hicimos un multiplicador tres veces (-1):

\\ [\\ izquierda | \\ Comenzar (Matrix) -7 & -10 & -13 \\\\ -2 & -8 & -10 \\\\ -1 -1 & -2 & -7 \\\\ FIN (Matrix) \\ Derecha | \u003d \\ CDOT \\ izquierda | \\ Comenzar (Matrix) 7 y 10 y 13 \\\\ 2 y 8 y 10 \\\\ 1 y 2 y 7 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\]

Hemos recibido un pequeño 3x3 determinante, que ya se puede calcular de acuerdo con la regla de triángulos. Pero intentaremos descomponerlo y en la primera columna: el beneficio en la última línea es con orgullo que la unidad es:

\\ [\\ Comience (align) & \\ izquierda (-1 \\ derecha) \\ cdot \\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 7 Y 10 y 13 \\\\ 2 y 8 y 10 \\\\ 1 y 2 y 7 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | \\ begin (Matrix) -7 -2 \\\\ \\\\ \\ uparrow \\ \\ \\ End (Matrix) \u003d \\ Izquierda (-1 \\ derecha) \\ CDOT \\ izquierda | \\ Comience (matriz) 0 & -4 & -36 \\\\ 0 y 4 & -4 \\\\ 1 y 2 y -4 \\\\ 1 y 2 y 7 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d \\\\ \\ \u003d \\ CDOT \\ Izquierda | \\ Comenzar (Matrix) -4 & -36 \\\\ 4 & -4 \\\\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d \\ Izquierda (-1 \\ derecha) \\ CDOT \\ izquierda | \\ Comenzar (Matrix) -4 & -36 \\\\ 4 & -4 \\\\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\\\\\ Fin (Align) \\]

Por supuesto, puede, por supuesto, puede pintarse y descomponer la matriz 2x2 en la línea (columna), pero le somos adecuadas para usted, por lo que solo consideramos la respuesta:

\\ [\\ Izquierda (-1 \\ derecha) \\ cdot \\ izquierda | \\ Begin (Matrix) -4 y -36 \\\\ 4 y -4 \\\\\\ Fin (Matriz) \\ derecho | \u003d \\ left (-1 \\ derecho) \\ cdot \\ left (16 + 144 \\ right) \u003d - 160 \\ ]

Así es como se rompen los sueños. Just -160 en respuesta. :)

Respuesta: -160.

Un par de comentarios antes de pasar a la última tarea:

La matriz inicial fue simétrica en relación con el lado diagonal. Todos los menores en descomposición también son simétricos sobre el mismo lado diagonal.
Estrictamente hablando, no pudimos poner nada en absoluto, sino simplemente llevar la matriz a la forma ultra deductiva cuando hay ceros sólidos bajo la diagonal principal. Luego (con respecto a la interpretación geométrica, por cierto, el determinante es igual al producto $ ((a) _ (ii)) $ - números en la diagonal principal.

Una tarea. Encuentra el determinante:

\\ [\\ izquierda | \\ Begin (Matriz) 1 y 1 y 1 y 1 \\\\ 3,30 y 27 y 81 \\\\ 5 y 25 y 125 y 625 \\\\ 25 FIN (MATRIX) \\ DUSTA | \\ ]

Decisión. Bueno, aquí la primera línea es sencilla por "cero". Tome la primera columna y deduce exactamente una vez de todos los demás:

\\ [\\ Comience (align) & \\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 1 y 1 y 1 y 1 \\\\ 2 y 1 y 125 y 81 \\\\ 5 y 25 y 125 y 625 \\\\ 5 y 125 y 625 \\\\\\ FIN (MATRIX) \\ DUSTA | \u003d \\\\ & \u003d \\ \\ osta | \\ Comenzar (Matrix) 1 y 1-1 y 1-1 y 1-1 \\\\ 2 y 4-2 y 8-2 y 16-2 \\\\ 3 y 9-3 y 27-3 y 81-3 \\\\ 5 y 25-5 y 125-5 y 625-5 \\\\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d \\\\ \\ \u003d \\ Izquierda | 1 EMPEZADA (MATRIX) 1 ÚLTIMA DE LOS 2 Y 0,7 y 0,70 \\ \\ \\ \\ 5 y 20 y 120 y 120 y 620 \\ 5 y 20 y 120 y 620 \\\\\\ FIN (MATRIX) \\ Derecha | \\\\\\ Fin (Align) \\]

Desbloquear en la primera línea, y luego soportamos fábricas comunes de las líneas restantes:

\\ [\\ Cdot \\ izquierda | \\ Begin (Matrix) 2 y 6 y 14 \\\\ 6 y 24 y 78 \\\\ 20 y 120 y 620 \\\\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d \\ CDOT \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) 1 y 3 y 7 \\\\ 1 y 4 y 13 \\\\ 1 y 6 y 31 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\]

Una vez más, observamos los números "hermosos", pero en la primera columna, declaramos el determinante en él:

\\ [\\ Comience (align) y 240 \\ cdot \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) 1 y 3 y 7 \\\\ 1 y 4 y 13 \\\\ 1 y 6 y 31 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \\ Comenzar (Matrix) \\ downarrow \\\\ -1 \\\\ -1 \\ \\ \\ End (Matrix) \u003d 240 \\ CDOT \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) 1 y 3 y 7 \\\\ 0 y 1 y 6 \\\\ 0 y 3 y 24 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d \\\\ \\ \u003d 240 \\ CDOT ((\\ \\ a la izquierda (-1 \\ derecha )) ^ (1 + 1)) \\ cdot \\ izquierda | \\ Comenzar (Matrix) 1 y 6 \\\\ 3 y 24 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha | \u003d \\\\ & \u003d 240 \\ CDOT 1 \\ CDOT \\ izquierda (24-18 \\ derecha) \u003d 1440 \\\\\\ Fin (Alinee ) \\]

Pedido. La tarea se resuelve.

Respuesta: 1440.

Determetes y sus propiedades. Permutación Números 1, 2, ..., n se llama cualquier arreglo de estos números en un determinado orden. En álgebra elemental, se demuestra que la cantidad de todas las permutaciones que se puede formar a partir de n números es 12 ... n \u003d n!. Por ejemplo, de tres números 1, 2, 3, puedes formar 3! \u003d 6 permutaciones: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Se dice que en esta permutación del número I y J constituyen inversión (MASTER), si I\u003e J, pero me paro en esta permutación antes que J, es decir, si es más que la más a la izquierda menos.

Se llama la permutación. incluso (o impar)Si está en él, en consecuencia, incluso (impar) el número total de inversiones. La operación por la cual de una permutación se está moviendo a otra compuesta de los mismos n números, llamados Con éxito grado de NTH.

La sustitución que traduce una permutación a otra está escrita por dos filas en paréntesis comunes, y se llaman los números que ocupan los mismos lugares en las permutaciones en consideración. correspondiente Y uno debajo de uno está escrito. Por ejemplo, el símbolo denota una sustitución en la que 3 va a 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. La sustitución se llama incluso (o impar) Si el número total de inversiones en ambas filas de sustitución es incluso (impar). Cualquier sustitución de N-esencial se puede registrar en el formulario, es decir, Con una disposición natural de números en la fila superior.

Damos una matriz cuadrada de orden N

Considere todos los trabajos posibles para los elementos N de esta matriz tomados uno por uno y solo uno de cada línea y cada columna, es decir, Obras de la forma:

, (4.4)

donde los Índices Q 1, Q 2, ..., q n conforman alguna permutación de números
1, 2, ..., n. El número de tales obras es igual al número de permutaciones diferentes de N personajes, es decir. Igualmente n !. La marca del trabajo (4.4) es igual a (- 1) Q, donde P es el número de inversiones en la reordenación de los índices de segundo elemento.

Determinante N-ORDEN, la matriz correspondiente (4.3), se llama la cantidad algebraica n! Miembros del formulario (4.4). Se utiliza un símbolo para registrar el determinante. o DETA \u003d. (determinar, o determinante, matriz a).

Propiedades de los determinantes

1. El determinante no cambia durante la transposición.

2. Si una de las filas del determinante consiste en ceros, entonces el determinante es cero.

3. Si el determinante reorganice dos líneas, el determinante cambiará el signo.

4. El determinante que contiene dos líneas idénticas es cero.

5. Si todos los elementos de alguna cadena del determinante se multiplican por un número k, entonces el determinante se multiplica en K.

6. El determinante que contiene dos líneas proporcionales es cero.

7. Si todos los artículos lanzo El determinante se presenta como la suma de los dos términos AI J \u003d BJ + C J (J \u003d 1, ..., N), entonces el determinante es igual a la cantidad de determinantes, en los cuales todas las líneas además de I-OH, son los mismos que en el definido especificado, y línea I-I En uno de los componentes consiste en elementos b j, en el otro, desde los elementos c j.

8. El determinante no cambia si los elementos correspondientes de otra línea se agregan a los elementos de una de sus filas multiplicadas por el mismo número.

Comentario. Todas las propiedades siguen siendo válidas si en lugar de las filas toman columnas.

MenorM i j El elemento A I J determinado D N-TH PEDIDO se llama el determinante del orden de N-1, que se obtiene de D que cruza la cadena y la columna que contiene este elemento.

Suplemento algebraico El elemento A I J determinado D se llama su menor M I J, tomada con un signo (-1) i + j. Adición algebraica del elemento A I J será denotada por un i j. Por lo tanto, un i j \u003d (-1) i + j m i j.

Métodos de cálculo práctico de los determinantes basados \u200b\u200ben el hecho de que el procedimiento n puede expresarse a través de los determinantes de los pedidos más bajos, da el siguiente teorema.

Teorema (Determinación del determinante en una cadena o columna).

El determinante es igual a la cantidad de las obras de todos los elementos de la línea arbitraria (o columna) en sus adiciones algebraicas. En otras palabras, hay una descomposición D por elementos i-th instrumentos de cuerda

d \u003d A I 1 A I 1 + A I 2 A I 2 + ... + A I N A I N (I \u003d 1, ..., N)

o columna de jarra

d \u003d A 1 J A 1 J + A 2 J A 2 J + ... + A N J A N J (J \u003d 1, ..., N).

En particular, si todos los elementos de la cadena (o columna), excepto uno, son cero, entonces el determinante es igual a este elemento multiplicado por su adición algebraica.

La fórmula para calcular el determinante del tercer orden.

Para facilitar la memorización de esta fórmula:

Ejemplo 2.4.Sin calcular el determinante, muestra que es cero.

Decisión.El primero se restará de la segunda línea, obtenemos el determinante igual al original. Si la tercera línea también deduce la primera, entonces el determinante será proporcional a las dos líneas. Tal determinante es cero.

Ejemplo 2.5.Calcule el determinante D \u003d, descomponiéndolo por elementos de la segunda columna.

Decisión.Podremos descomponernos el determinante para los elementos de la segunda columna:

D \u003d A 12 A 12 + A 22 A 22 + A 32 A 32 \u003d

Ejemplo 2.6. Calcular el determinante

en el que todos los elementos en un lado de la diagonal principal son cero.

Decisión.Escape el determinante A en la primera línea:

El determinante, de pie a la derecha, se puede descomponer nuevamente en la primera línea, entonces obtenemos:

Ejemplo 2.7. Calcular el determinante .

Decisión.Si cada fila del determinante, comenzando con el segundo, agregue la primera línea, resultará en un determinante en el que todos los elementos debajo de la diagonal principal serán cero. A saber, obtenemos el determinante: igual a la fuente.

Discutiendo, como en el ejemplo anterior, encontramos que es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, es decir,. ¡NORTE!. El método mediante el cual se calcula este determinante se llama la forma de llevar a la forma triangular.

A menudo, la universidad incluye tareas de matemáticas más altas, en las que es necesario. calcular el determinante de la matriz. Por cierto, el determinante solo puede estar en matrices cuadradas. A continuación se verificará las definiciones principales, qué propiedades tienen un determinante y cómo calcularlo correctamente. También en los ejemplos, mostramos una solución detallada.

¿Cuál es el determinante de la matriz: calculando el determinante utilizando la definición

El determinante de la matriz.

El segundo orden es el número.

El determinante de la matriz se denota - (abreviado a partir de los determinantes nombre latino), o.

Si: entonces resulta

Recordemos algunas definiciones más auxiliares:

Definición

Un conjunto ordenado de números que consiste en elementos se denomina permutación de orden.

Para un conjunto que contiene elementos, hay un factorial (N), que siempre está indicado exclamación familiar:. Las permutaciones difieren entre sí solo por el orden de lo siguiente. Para que sea más claro, dé un ejemplo:

Considere una variedad de tres elementos (3, 6, 7). Permutaciones totales 6, desde.:

Definición

La inversión en la permutación del pedido es un conjunto de números ordenados (también se llama biyectio), donde de ellos dos números forman una confusión. Es cuando más de los números en esta permutación se encuentran a la izquierda de un número más pequeño.

Arriba, consideramos un ejemplo con una inversión de permutación, donde había números. Entonces, tome la segunda línea, donde los a juzgar por estos números resuelven que, ya que el segundo elemento es mayor que el tercer elemento. Tomemos para comparar la sexta cadena, donde se encuentran los números :. Hay tres parejas aquí:, y desde Title \u003d "(! Lang: Rendered by QuickTex.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Prestado por quicklatex.com." height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Prestado por quicklatex.com." height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

No estudiaremos la inversión en sí, pero las permutaciones serán muy útiles para nosotros en el futuro considerando el tema.

Definición

Matriz determinada X - Número:

- Reorganización de números de 1 a un número infinito, y - el número de inversiones en la permutación. Por lo tanto, el determinante incluye términos, que se denominan "Miembro del Determinante".

Es posible calcular el determinante de la matriz de segundo orden, el tercero e incluso el cuarto. También vale la pena mencionar:

Definición

el determinante de la matriz es un número que es igual.

Para entender esta fórmula, lo describimos con más detalle. El determinante de la matriz cuadrado X es la cantidad que contiene los términos, y cada término es un producto de un cierto número de elementos de matriz. Al mismo tiempo, en cada trabajo hay un elemento de cada fila y cada columna de la matriz.

Antes de un determinado término, puede aparecer si los elementos de la matriz en el trabajo van en orden (por número de línea), y el número de inversiones en la permutación del conjunto de columnas son impares.

Se mencionó anteriormente que el determinante de la matriz se denota o, es decir, el determinante a menudo se llama determinante.

Entonces, de vuelta a la fórmula:

Desde la fórmula, está claro que el determinante de la matriz de primer orden es un elemento de la misma matriz.

Cálculo del determinante de la matriz de segundo orden.

La mayoría de las veces en la práctica, el determinante de la matriz se resuelve mediante los métodos de la segunda, tercera y menos frecuente, el cuarto orden. Considere cómo se calcula el determinante de la matriz de segundo orden:

En la matriz de segundo orden, sigue a ese factorial. Antes de aplicar la fórmula.

Es necesario determinar qué datos salimos:

2. Reorganizaciones: y;

3. El número de inversiones en la permutación: y, desde title \u003d "(! Lang: Rendered by QuickTex.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. Obras relevantes: y.

Resulta:

Sobre la base de lo anterior, obtenemos una fórmula para calcular el determinante de la matriz cuadrada de segundo orden, es decir, x:

Considera ejemplo específicoCómo calcular el determinante de la matriz cuadrada de segundo orden:

Ejemplo

Una tarea

Calcule el determinante de la Matriz X:

Decisión

Entonces, resultamos ,,,.

Para resolver, es necesario aprovechar la fórmula previamente considerada:

Sustituimos el número desde el ejemplo y encontramos:

Respuesta

El determinante de la matriz de segundo orden \u003d.

Cálculo del determinante de la matriz de tercer orden: un ejemplo y solución por la fórmula

Definición

El determinante de la matriz de tercer orden es el número obtenido de nueve números dados ubicados en forma de mesa cuadrada,

El determinante del tercer orden es casi el mismo que el determinante de segundo orden. La diferencia es solo en la fórmula. Por lo tanto, si va bien navegando en la fórmula, entonces no habrá problemas con la solución.

Considere una matriz cuadrada de tercer orden *:

Basado en esta matriz, entendemos que, en consecuencia, factorial \u003d, lo que significa que se obtiene toda la permutación.

Para aplicar la fórmula correctamente, debe encontrar datos:

Entonces, las permutaciones totales del conjunto:

El número de inversiones en la permutación, y las obras correspondientes \u003d;

Número de inversiones en el título de permutación \u003d "(! Lang: Rendered by QuickTex.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inversiones en la permutación del título \u003d "(! Lang: Rendered by QuickTex.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; Inversiones en la permutación del título \u003d "(! Lang: Rendered by QuickTex.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; Inversiones en la permutación del título \u003d "(! Lang: Rendered by QuickTex.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Ahora tenemos:

Por lo tanto, obtuvimos la fórmula para calcular el determinante de la matriz de orden X:

Encontrar la matriz de tercer orden de acuerdo con la regla del triángulo (regla Sarrusus)

Como se mencionó anteriormente, los elementos del determinante del tercer orden se encuentran en tres filas y tres columnas. Si ingresa la designación del elemento general, entonces el primer elemento indica el número de línea, y el segundo elemento de los índices es el número de columna. Hay un hogar (elementos) y el lado (elementos) diagonal del determinante. Los componentes en la parte correcta se denominan los miembros del determinante).

Se puede ver que cada miembro del determinante está en el esquema solo un elemento en cada fila y cada columna.

Se puede calcular el determinante utilizando una regla de rectángulo, que se representa en forma de un esquema. Los miembros rojos del determinante de los elementos de la diagonal principal, así como los miembros de los elementos que están en la parte superior de los triángulos, están en un lado, paralelos a la diagonal principal (esquema de impuestos), tome un letrero.

Los miembros con flechas azules de elementos diagonales celulares, así como de elementos que se encuentran en los vértices de triángulos, que tienen partes paralelas a la diagonal lateral (esquema correcto), se toman con un letrero.

El siguiente ejemplo aprenderá a calcular el determinante de la matriz cuadrada de tercer orden.

Ejemplo

Una tarea

Calcule el determinante de la matriz del tercer orden:

Decisión

En este ejemplo:

Calcule el determinante utilizando la fórmula o el esquema, que se consideraron arriba:

Respuesta

El determinante de la matriz de tercer orden \u003d

Las propiedades principales de los determinantes de la matriz de tercer orden.

Basado en definiciones y fórmulas anteriores, considere la principal propiedades del determinante de la matriz..

1. El tamaño del determinante no cambiará al reemplazar las filas correspondientes, las columnas (dicho reemplazo se llama Transposición).

En el ejemplo, está convencido de que el determinante de la matriz es igual al determinante de la matriz transpuesta:

Recordemos la fórmula para calcular el determinante:

Transformamos la matriz:

Calcule el determinante de la matriz transpuesta:

Nos aseguramos de que el determinante de la matriz transportada sea igual a la matriz original, lo que indica la solución correcta.

2. El signo del identificador cambiará a lo contrario si se enciende en lugares dos columnas o dos líneas.

Considere en el ejemplo:

Se dan dos matrices de tercer orden (X):

Es necesario mostrar que estas matrices son opuestas.

Decisión

En la matriz y la matriz cambió de líneas (tercero de la primera, y de la primera a la tercera). Según la segunda propiedad, los determinantes de dos matrices deben ser diferentes. Es decir, una matriz con un signo positivo, y el segundo es negativo. Revisemos esta propiedad aplicando la fórmula para calcular el determinante.

La propiedad es cierta, ya que.

3. El determinante es cero, si hay los mismos elementos correspondientes en dos líneas (columnas). Deje que el identificador sean los mismos elementos de la primera y la segunda columna:

Cambiando las mismas columnas en lugares, nosotros, según la propiedad 2, obtenemos un nuevo determinante: \u003d. Por otro lado, el nuevo determinante coincide con el original, desde los mismos elementos respuestas, que es \u003d. De estas ecuaciones, resultamos: \u003d.

4. El determinante es cero si todos los elementos de la misma fila (columna) ceros. Esta declaración flota del hecho de que cada miembro del determinante en la fórmula (1) es uno, y solo un elemento de cada línea (columna), que tiene algunos ceros.

Considere en el ejemplo:

Demostramos que el determinante de la matriz es cero:

En nuestra matriz hay dos columnas idénticas (segundo y tercero), por lo tanto, basadas en esta propiedadEl determinante debe ser cero. Cheque:

Y, de hecho, el determinante de la matriz con dos columnas idénticas es cero.

5. El multiplicador total de los elementos de la primera cadena (columna) se puede alcanzar para el signo del identificador:

6. Si los elementos de una fila o una columna del determinante son proporcionales a los elementos correspondientes de la segunda línea (columna), entonces tal determinante es cero.

De hecho, para la propiedad de 5, se puede hacer la proporción de proporcionalidad para el signo del determinante y luego aprovechar la propiedad 3.

7. Si cada uno de los elementos de la cadena (columnas) del determinante es la suma de los dos términos, este determinante se puede enviar como la suma de los determinantes respectivos:

Para comprobar, es suficiente para anotar en el despliegue del software (1) el determinante que en la parte izquierda de la igualdad, luego los miembros del grupo por separado en los que están contenidos los elementos y los objetos de los grupos obtenidos de términos serán los primeros y Segundo determinante con la parte correcta de la igualdad.

8. Los valores de definición no cambiarán si los elementos correspondientes de la segunda línea (columna) se multiplican con el mismo número se agregan al elemento de una cadena o una columna:

Esta igualdad se obtiene en función de las propiedades 6 y 7.

9. El determinante de la matriz, es igual a la cantidad de obras de elementos de cualquier fila o columna en sus adiciones algebraicas.

Aquí el software implica una adición algebraica del elemento de matriz. Usando esta propiedad, puede calcular no solo la matriz del tercer orden, sino también las matrices de órdenes más altas (x o x). Las palabras hacia adelante son una fórmula recurrente que se necesita para calcular el determinante de la matriz de cualquier pedido. Recuérdalo, ya que a menudo se usa en la práctica.

Vale la pena decir que con la ayuda de la novena propiedad, puede calcular los determinantes de las matrices de no solo el cuarto orden, sino también más de las órdenes más altas. Sin embargo, es necesario hacer muchas operaciones de computación y estar atento, ya que el menor error en los signos conducirá a una decisión incorrecta. Las matrices de órdenes más altas son más convenientes para resolver el método de Gauss, y hablar de ello más tarde.

10. El determinante del trabajo de las matrices de un pedido es igual al producto de sus determinantes.

Considere en el ejemplo:

Ejemplo

Una tarea

Asegúrese de que el determinante de dos matrices sea igual al producto de sus determinantes. Dos matrices se dan:

Decisión

Primero encontramos el producto de los determinantes de dos matrices y.

Ahora realizaremos la multiplicación de ambas matrices y, por lo tanto, calculamos el determinante:

Respuesta

Nos aseguramos de que

Cálculo del determinante de la matriz utilizando el método GAUSS

El determinante de la matriz. Actualizado: 22 de noviembre de 2019 por el autor: Artículos científicos.RU.

Puedes ponerte en línea con algunos númerocalculado por una regla específica y llamada determinante.

La necesidad de introducir un concepto. determinante - númerosCaracterizado cuadrado Matriz de pedido nORTE. , estrechamente relacionado con la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

El determinante de la matriz. PERO Denotaremos: | PERO| o D.

Determinante de la matriz de primer orden.PERO = (pero 11) llamado un elemento pero once . Por ejemplo, para PERO \u003d (-4) tenemos | PERO| = -4.

Matriz de segundo orden determinantellamada númeroDefinido por la fórmula

|PERO| = .

Por ejemplo, | PERO| = .

Palabras Esta regla se puede escribir como: Con su letrero, debe tomar el producto de los elementos conectados. diagonal principaly las obras de elementos conectados por los vértices de los triángulos, cuyo base paralela a la diagonal principal.. Con signo inverso, se toman obras similares, solo relativas a la diagonal lateral.

Por ejemplo,

Determinación del determinante de la matriz. nORTE.- No se ordenará, pero mostraremos el método para encontrarlo.

En el futuro, en lugar de palabras el determinante de la matriz. nORTE.pedido Diremos simple determinante nORTE.pedido. Presentamos nuevos conceptos.

Deje que se le dé una matriz cuadrada nORTE.-o orden.

MenorMETRO. Elemento ij pero Ij matrix PEROllamada determinante (nORTE.-1) - Orden obtenido de la matriz PERO Hacking i.Línea I. j.-Para columna.

Adición algebraica Un elemento IJ A IJ Matrix A se llama su menor, tomada con un letrero (-1) I + J:

PERO ij \u003d (-1) i + j METRO. Ij,

esos. Una adición algebraica o coincide con su menor, cuando la suma de las líneas y los números de columna, un número par, o difiere de él, cuando la suma de los números de línea y la columna es un número impar.

Por ejemplo, para elementos. pero 11 I. pero 12 matriz A \u003d. MENORA

METRO. 11 = PERO 11 = ,

METRO. 12 = ,

pero PERO 12 = (-1) 1+2 METRO. 12 = -8.

Teorema (en la descomposición del determinante) . El determinante de la matriz cuadrada es igual a la cantidad de las obras de los elementos de cualquier fila (columna) en sus adiciones algebraicas, es decir,

|PERO| = pero I1 UNA. i1 +. pero I2. UNA. I2 + ... + pero EN. UNA. en,
para cualquiera i. = 1, 2, …, nORTE.

|PERO| = pero 1J. UNA. 1J +. pero 2J. UNA. 2J + ... + pero NUEVA JERSEY. UNA. NUEVA JERSEY,

para cualquiera j. = 1, 2, …, nORTE.

La primera fórmula se llama i.líneas, Y el segundo - descomposición del determinante para los elementos. j.-Para columna.

No es difícil entender que con la ayuda de estas fórmulas cualquier determinante. nORTE.-O pedido se puede reducir a la cantidad de determinantes cuyo orden será 1 menos, etc. Hasta ahora, no alcancen los determinantes de las órdenes del tercer o segundo, cuyo cálculo ya no representa las dificultades.

Para encontrar el determinante, se pueden aplicar las siguientes propiedades principales:

1. Si alguna cadena (o columna) del determinante consiste en ceros, entonces el determinante en sí es cero.

2. Cuando se permita cualquiera de las dos líneas (o dos columnas), el determinante se multiplica por -1.

3. El determinante con dos líneas idénticas o proporcionales (o columnas) es cero.

4. El factor general de los elementos de cualquier fila (o columna) se puede hacer para el signo del determinante.

5. El valor del determinante no cambiará si se intercambian todas las filas y columnas.

6. El valor del determinante no cambiará si una de las filas (o una de las columnas) agrega otra cadena (columna) multiplicada por cualquier número.

7. La cantidad de las obras de elementos de alguna línea (o columna) de la matriz a suplementos algebraicos de los elementos de otra cadena (columna) de esta matriz es cero.

8. El determinante del trabajo de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes.

La introducción del concepto del determinante de la matriz le permite determinar otra acción con matrices: encontrar la matriz inversa.

Para cada número que no sea cero hay un número opuesto, de modo que el producto de estos números le da una unidad. Para las matrices cuadradas, también hay tal concepto.

La matriz PERO -1 llamado inversohacia cuadrado Matriz PEROSi está multiplicando esta matriz sobre esto en ambos a la derecha y se obtiene la izquierda matriz individual.

PERO× PERO -1 = PERO -1 × PERO= MI.

De la definición se deduce que solo la matriz cuadrada tiene inversa; En este caso, la matriz inversa será el cuadrado del mismo orden. Sin embargo, no todas las matrices cuadradas tienen su propio reverso.

En el caso general, la regla de cálculo de los identificadores $ n $ -Para orden es bastante voluminosa. Para los determinantes del segundo y tercer orden, existen métodos racionales para sus cálculos.

Cálculos de determinantes de segundo orden.

Para calcular el determinante de la matriz del segundo orden, es necesario tomar el trabajo de los elementos del lado diagonal desde el producto de los elementos de la diagonal principal:

$$ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (LL) (A_ (11)) & (A_ (12)) \\\\ (A_ (21)) & (A_ (22)) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d A_ (11) \\ CDOT A_ (22) -A_ (12) \\ CDOT A_ (21) $$

Ejemplo

La tarea. Calcule el determinante de segundo orden $ \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) (RR) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ FIN (Array) \\ Derecha | $

Decisión. $ \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) (RR) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d 11 \\ CDOT 5 - (- 2) \\ CDOT 7 \u003d 55 + 14 \u003d 69 $

Respuesta. $ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (RR) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d $ 69

Métodos para calcular los determinantes de tercer orden.

Para calcular los determinantes de tercer orden, hay tales reglas.

Regla de triángulo

Esquemáticamente esta regla puede ser representada de la siguiente manera:

El producto de los elementos en el primer determinante, que está conectado por derecho, se toma con un signo "más"; Del mismo modo, para el segundo determinante: las obras correspondientes se toman con el signo "MINUS", es decir,

$$ \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) (CCC) (A_ (11)) & (A_ (12)) & (A_ (13)) \\\\ (A_ (21)) & (A_ (22)) & (A_ (23)) \\\\ (A_ (31)) & (A_ (32)) & (A_ (33)) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d A_ (11) A_ (22) A_ (33) + A_ (12) A_ ( 23) A_ (31) + A_ (13) A_ (21) A_ (32) - $$

$$ - A_ (11) A_ (23) A_ (32) -A_ (12) A_ (21) A_ (33) -A_ (13) A_ (22) A_ (31) $$

Ejemplo

La tarea. Calcule el identificador $ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (RRR) (3) & (3) & (3) & (-1) \\\\ (4) & (1) & (3) \\\\ (1) & (-2) & (-2) \\ End (Array) \\ Derecha | $ por triángulos.

Decisión. $ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (RRR) (3) & (3) & (3) & (-1) \\\\ (4) & (1) & (3) \\\\ (1) & (-2) & (-2) \\ End (Array) \\ Derecha | \u003d 3 \\ CDOT 1 \\ CDOT (-2) +4 \\ CDOT (-2) \\ CDOT (-1) + $

$$ + 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 1 - (- 1) \\ CDOT 1 \\ CDOT 1-3 \\ CDOT (-2) \\ CDOT 3-4 \\ CDOT 3 \\ CDOT (-2) \u003d 54 $$

Respuesta.

Regla de Sarrus

A la derecha del determinante, agregue las dos primeras columnas y las obras de elementos en la diagonal principal y en diagonales, paralelos a él, toman un signo más; Y las obras de elementos del lado diagonal y diagonales, para él paralelos, con el signo "menos":

$$ - A_ (13) A_ (22) A_ (31) -A_ (11) A_ (23) A_ (32) -A_ (12) A_ (21) A_ (33) $$

Ejemplo

La tarea. Calcule el identificador $ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (RRR) (3) & (3) & (3) & (-1) \\\\ (4) & (1) & (3) \\\\ (1) & (-2) & (-2) \\ End (Array) \\ Derecha | $ usando la regla de Sarryus.

Decisión.

$$ + (- 1) \\ CDOT 4 \\ CDOT (-2) - (- 1) \\ CDOT 1 \\ CDOT 1-3 \\ CDOT 3 \\ CDOT (-2) -3 \\ CDOT 4 \\ CDOT (-2) \u003d 54 $$.

Respuesta. $ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (RRR) (3) & (3) & (3) & (-1) \\\\ (4) & (1) & (3) \\\\ (1) & (-2) & (-2) \\ End (Array) \\ Derecha | \u003d $ 54

Descomposición de la cadena o columna.

El determinante es igual a la cantidad de elementos del producto del determinante en sus suplementos algebraicos. Por lo general, elija la cadena / columna, en la que hay ceros. Se realiza una cadena o columna para la descomposición / wow, se denota por una flecha.

Ejemplo

La tarea. Declaración en la primera línea, calcule el determinante $ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (LLL) (1) & (2) & (3) \\\\ (4) y (5) & (6) \\\\ (7) & (8) & (9) \\ FIN (Array) \\ Derecha | $

Decisión. $ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (LLL) (1) & (2) & (3) \\\\ (4) y (5) & (6) \\\\ (7) & (8) & (9) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \\ salteadrow \u003d a_ (11) \\ CDOT A_ (11) + A_ (12) \\ CDOT A_ (12) + A_ (13) \\ CDOT A_ (13) \u003d $

$ 1 \\ CDOT (-1) ^ (1 + 1) \\ CDOT \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) (CC) (5) & (6) \\\\ (8) & (9) \\ FIN (Array) \\ Derecha | +2 \\ CDOT (-1) ^ (1 + 2) \\ CDOT \\ Izquierda | \\ Comenzar (matriz) (CC) (4) & (6) \\\\ (7) & (9) \\ FIN (Array) \\ Derecha | +3 \\ CDOT (-1) ^ (1 + 3) \\ CDOT \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) (CC) (4) & (5) \\ (7) & (8) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d -3 + 12-9 \u003d 0 $

Respuesta.

Este método permite que el cálculo del determinante se reduzca al cálculo del determinante de un orden inferior.

Ejemplo

La tarea. Calcule el identificador $ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (LLL) (1) & (2) & (3) \\\\ (4) y (5) & (6) \\\\ (7) & (8) & (9) \\ FIN (Array) \\ Derecha | $

Decisión. Realizaremos las siguientes transformaciones sobre las participaciones del determinante: desde la segunda línea, tomará cuatro primero, y de la tercera primera línea multiplicada por siete, como resultado, de acuerdo con las propiedades del determinante, obtenemos el determinante igual a esto.

$$ \\ izquierda | \\ Comenzar (matriz) (CCC) (1) & (2) & (2) \\\\ (4) y (5) y (6) \\\\ (7) y (8) & (9) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d \\ Izquierda | \\ Comenzar (matriz) (CCC) (1) & (2) & (2) \\\\ (4-4 \\ CDOT 1) & (5-4 \\ CDOT 2) & (6-4 \\ CDOT 3) \\\\ ( 7-7 \\ CDOT 1) & (8-7 \\ CDOT 2) & (9-7 \\ CDOT 3) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d $$

$$ \u003d \\ Izquierda | \\ Comenzar (Array) (RRR) (1) & (2) & (3) \\\\ (0) & (-3) & (-6) \\\\ (0) & (-6) & (-12) \\ End (Array) \\ Derecha | \u003d \\ \\ \\ \\ osta | \\ Comenzar (Array) (CCC) (1) & (2) & (3) \\\\ (0) & (-3) & (-6) \\\\ (0) & (2 \\ CDOT (-3)) & (2 \\ CDOT (-6)) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d 0 $$

El determinante es cero, ya que la segunda y la tercera líneas son proporcionales.

Respuesta. $ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (LLL) (1) & (2) & (3) \\\\ (4) y (5) & (6) \\\\ (7) & (8) & (9) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d 0 $

Para calcular los determinantes de cuarto orden y superior, ya sea descomposición en una cadena / columna, o llevar a una forma triangular, o usar el teorema de Laplace.

Descomposición del determinante en elementos de una cadena o columna.

Ejemplo

La tarea. Calcule el identificador $ \\ izquierda | \\ Comience (Array) (Llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\\\ (5) & (4) y (3) & (2) \\\\ (1) & (0) & (0) & (1) & (2) \\\\ (3) & (4) & (5) & (5) & (6) \\ Fin (Array) \\ Derecha | $, resolviéndola en algunos elementos de fila o en alguna columna.

Decisión. Pre-ejecuta la conversión elemental sobre las filas del determinante, lo que hace que la mayor cantidad de ceros sea posible, ya sea en la cadena o en la columna. Para hacer esto, al principio desde la primera línea, nos quitamos nueve tercios, desde los segundos y cinco tercios y de las cuatro y tres líneas, obtenemos:

$$ \\ izquierda | \\ Comience (Array) (CCCC) (9) & (8) & (7) & (6) \\\\ (5) & (4) y (3) & (2) \\\\ (1) & (0) & (1) & (2) \\\\ (3) & (4) & (5) & (6) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d \\ Izquierda | \\ Begin (Array) (CCCC) (9-1) y (8-0) & (7-9) y (6-18) \\\\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\\\ (1) & (0) & (1) & (2) \\\\ (0) & (4) y (2) & (0) \\ End (Array) \\ Derecha | \u003d \\ Izquierda | \\ Comience (Array) (RRRR) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\\\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\\\ (1) & (0) & (1) & (2) \\\\ (0) & (4) & (2) & (2) & (0) \\ FIN (Array) \\ Derecha | $$

El determinante resultante se descompondrá en los elementos de la primera columna:

$$ \\ izquierda | \\ Comience (Array) (RRRR) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\\\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\\\ (1) & (0) & (1) & (2) \\\\ (0) & (4) & (2) & (2) & (0) \\ FIN (Array) \\ Derecha | \u003d 0 + 0 + 1 \\ CDOT (-1) ^ ( 3 + 1) \\ CDOT \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (RRR) (8) & (-2) & (-12) \\\\ (4) & (-2) & (-8) \\\\ (4) & (2) & (0) \\ End (Array) \\ Derecha | + 0 $$

El determinante de tercer orden resultante también se descompone en los elementos de la cadena y la columna, que previamente obtuvieron ceros, por ejemplo, en la primera columna. Para ello, desde la primera línea, tomamos dos segundas líneas de la primera línea, y desde la tercera - la segunda:

$$ \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (RRR) (8) & (-2) & (-12) \\\\ (4) & (-2) & (-8) \\\\ (4) & (2) & (0) \\ fin (matriz) \\ derecho | \u003d \\ left | \\ Begin (Array) (RRR) (0) & (2) y (4) \\\\ (4) y (-2) y (-8) \\\\ (0) & (4) y (8) \\ end ( Array) \\ Derecha | \u003d 4 \\ CDOT (-1) ^ (2 + 2) \\ CDOT \\ izquierda | \\ Comenzar (Array) (LL) (2) & (4) \\\\ (4) & (8) \\ Fin (Array) \\ Derecha | \u003d $$

$$ \u003d 4 \\ CDOT (2 \\ CDOT 8-4 \\ CDOT 4) \u003d 0 $$

Respuesta. $ \\ Left | \\ Begin (Array) (CCCC) (9) y (8) y (7) y (6) \\\\ (5) y (4) y (3) y (2) \\\\ (1) y (0) & (1) & (2) \\\\ (3) & (4) & (5) & (6) \\ End (Array) \\ Derecha | \u003d 0 $

Comentario

Los determinantes último y penúltimo no se pudieron calcular, pero para concluir inmediatamente que son cero, ya que contienen líneas proporcionales.

Determinar el determinante para triangular.

Vía transformaciones elementales Por encima de las líneas o columnas, el determinante se acciona a una forma triangular y luego su valor, de acuerdo con las propiedades del determinante, es igual al producto de elementos en la diagonal principal.

Ejemplo

La tarea. Calcule el identificador $ \\ Delta \u003d \\ Izquierda | \\ Comience (Array) (RRRR) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\\\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\\\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\\\ (4) & (-1) & (-1) & (2) & (-3) \\ FIN (Array) \\ Derecha | $ Trayelo a una forma triangular.

Decisión. Primero hacemos ceros en la primera columna bajo la diagonal principal. Todas las transformaciones serán más fáciles si el elemento $ $ (11) $ es igual a 1. Para ello, cambiaremos la primera y segunda columnas del determinante, que, de acuerdo con las propiedades del determinante, dará lugar a lo que se cambiará el letrero a lo contrario:

$$ \\ Delta \u003d \\ Izquierda | \\ Comience (Array) (RRRR) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\\\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\\\ (-5) & ( 2) y (3) y (0) \\\\ (4) y (-1) y (2) y (-3) \\ end (array) \\ Haga | \u003d - \\ left | \\ Begin (Array) (RRRR) (1) & (-2) & (3) & (2) \\\\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\\\ (2) & (- 5) y (3) y (0) \\\\ (-1) y (4) y (2) y (-3) \\ end (array) \\ Haga | $$

$$ \\ Delta \u003d - \\ left | \\ Begin (Array) (RRRR) (1) y (-2) y (3) y (2) \\\\ (0) & (3) y (-1) y (2) \\\\ (0) & (- 1) y (-3) y (-4) \\\\ (0) y (2) y (5) y (-1) \\ end (matriz) \\ derecho | $$

A continuación, obtenemos ceros en la segunda columna en el sitio de elementos bajo la diagonal principal. Y de nuevo, si el elemento de la diagonal es igual a $ \\ pm $ 1, a continuación, los cálculos serán más simples. Para esto, cambiamos la segunda y tercera líneas en lugares (y al mismo tiempo cambia a la señal opuesta del determinante):

$$ \\ Delta \u003d \\ Izquierda | \\ Comience (Array) (RRRR) (1) & (-2) & (3) & (2) \\\\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\\\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\\\ (0) & (2) & (5) & (-1) \\ FIN (Array) \\ Derecha | $$