Твір матриці на число онлайн. Основні операції над матрицями (додавання, множення, транспонування) і їх властивості. Властивості множення матриці на число

У цій темі будуть розглянуті такі операції, як додавання і віднімання матриць, множення матриці на число, множення матриці на матрицю, транспонування матриці. Всі позначення, які використовуються на даній сторінці, взяті з попередньої теми.

Додавання і віднімання матриць.

Сумою $ A + B $ матриць $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ і $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $ називається матриця $ C_ (m \ times n) = (c_ (ij)) $, де $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ для всіх $ i = \ overline (1, m) $ і $ j = \ overline (1, n) $.

Аналогічне визначення вводять і для різниці матриць:

Різницею $ AB $ матриць $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ і $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $ називається матриця $ C_ (m \ times n) = ( c_ (ij)) $, де $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ для всіх $ i = \ overline (1, m) $ і $ j = \ overline (1, n) $.

Пояснення до запису $ i = \ overline (1, m) $: показати \ приховати

Запис "$ i = \ overline (1, m) $" означає, що параметр $ i $ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $ i = \ overline (1,5) $ говорить про те, що параметр $ i $ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5.

Варто звернути увагу, що операції додавання і віднімання визначені тільки для матриць однакового розміру. Взагалі, додавання і віднімання матриць - операції, ясні інтуїтивно, бо означають вони, по суті, всього лише підсумовування або віднімання відповідних елементів.

приклад №1

Задані три матриці:

$$ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (array) \ right) \; \; B = \ left (\ begin (array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right); \; \; F = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \ end (array) \ right). $$

Чи можна знайти матрицю $ A + F $? Знайти матриці $ C $ і $ D $, якщо $ C = A + B $ і $ D = A-B $.

Матриця $ A $ містить 2 рядки і 3 стовпці (іншими словами - розмір матриці $ A $ дорівнює $ 2 \ times 3 $), а матриця $ F $ містить 2 рядки і 2 колонки. Розміри матриці $ A $ і $ F $ не збігаються, тому скласти їх ми не можемо, тобто операція $ A + F $ для даних матриць не визначена.

Розміри матриць $ A $ і $ B $ збігаються, тобто дані матриці містять рівну кількість рядків і стовпців, тому до них може бути застосована операція додавання.

$$ C = A + B = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (array) \ right) + \ left (\ begin (array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end (array) \ right) $$

Знайдемо матрицю $ D = A-B $:

$$ D = AB = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (array) \ right) - \ left (\ begin (array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (array) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ end (array) \ right) $$

відповідь: $ C = \ left (\ begin (array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end (array) \ right) $, $ D = \ left (\ begin (array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ end (array) \ right) $.

Множення матриці на число.

Твором матриці $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ на число $ \ alpha $ називається матриця $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $, де $ b_ (ij) = \ alpha \ cdot a_ (ij) $ для всіх $ i = \ overline (1, m) $ і $ j = \ overline (1, n) $.

Попросту кажучи, помножити матрицю на якесь число - означає помножити кожен елемент заданої матриці на це число.

приклад №2

Задана матриця: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) $. Знайти матриці $ 3 \ cdot A $, $ -5 \ cdot A $ і $ -A $.

$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin ( array) (ccc) 3 \ cdot (-1) & 3 \ cdot (-2) & 3 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 4 & 3 \ cdot 9 & 3 \ cdot 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (array) \ right). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \\ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (array) \ right). $$

Запис $ -A $ є скорочений запис для $ -1 \ cdot A $. Тобто, щоб знайти $ -A $ потрібно все елементи матриці $ A $ помножити на (-1). По суті, це означає, що знак усіх елементів матриці $ A $ зміниться на протилежний:

$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (array) \ right) $$

відповідь: $ 3 \ cdot A = \ left (\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (array) \ right); \; -5 \ cdot A = \ left (\ begin (array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (array) \ right); \; -A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (array) \ right) $.

Твір двох матриць.

Визначення цієї операції громіздко і, на перший погляд, незрозуміло. Тому спочатку вкажу загальне визначення, а потім детально розберемо, що воно означає і як з ним працювати.

Твором матриці $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ на матрицю $ B_ (n \ times k) = (b_ (ij)) $ називається матриця $ C_ (m \ times k) = (c_ ( ij)) $, для якої кожен елемент $ c_ (ij) $ дорівнює сумі добутків відповідних елементів i-го рядка матриці $ A $ на елементи j-го стовпця матриці $ B $: $$ c_ (ij) = \ sum \ limits_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \; \; i = \ overline (1, m), j = \ overline (1, n). $$

Покроково множення матриць розберемо на прикладі. Однак відразу варто звернути увагу, що перемножать можна не всі матриці. Якщо ми хочемо помножити матрицю $ A $ на матрицю $ B $, то спершу потрібно переконатися, що кількість стовпців матриці $ A $ дорівнює кількості рядків матриці $ B $ (такі матриці часто називають узгодженими). Наприклад, матрицю $ A_ (5 \ times 4) $ (матриця містить 5 рядків і 4 шпальти), не можна множити на матрицю $ F_ (9 \ times 8) $ (9 рядків і 8 стовпців), так як кількість стовпців матриці $ A $ не дорівнює кількості рядків матриці $ F $, тобто $ 4 \ neq 9 $. А ось помножити матрицю $ A_ (5 \ times 4) $ на матрицю $ B_ (4 \ times 9) $ можна, так як кількість стовпців матриці $ A $ дорівнює кількості рядків матриці $ B $. При цьому результатом множення матриць $ A_ (5 \ times 4) $ і $ B_ (4 \ times 9) $ буде матриця $ C_ (5 \ times 9) $, що містить 5 рядків і 9 стовпців:

приклад №3

Задані матриці: $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (array) \ right) $ і $ B = \ left (\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (array) \ right) $. Знайти матрицю $ C = A \ cdot B $.

Для початку відразу визначимо розмір матриці $ C $. Так як матриця $ A $ має $ 3 \ times 4 $, а матриця $ B $ має $ 4 \ times 2 $, то розмір матриці $ C $ такий: $ 3 \ times 2 $:

Отже, в результаті твори матриць $ A $ і $ B $ ми повинні отримати матрицю $ C $, що складається з трьох рядків і двох стовпців: $ C = \ left (\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \\ c_ (21) & c_ (22) \\ c_ (31) & c_ (32) \ end (array) \ right) $. Якщо позначення елементів викликають питання, то можна глянути попередню тему: "Матриці. Види матриць. Основні терміни", на початку якої пояснюється позначення елементів матриці. Наша мета: знайти значення всіх елементів матриці $ C $.

Почнемо з елементу $ c_ (11) $. Щоб отримати елемент $ c_ (11) $ потрібно знайти суму творів елементів першого рядка матриці $ A $ і першого стовпця матриці $ B $:

Щоб знайти сам елемент $ c_ (11) $ потрібно перемножити елементи першого рядка матриці $ A $ на відповідні елементи першого стовпця матриці $ B $, тобто перший елемент на перший, другий на другий, третій на третій, четвертий на четвертий. Отримані результати підсумовуємо:

$$ c_ (11) = - 1 \ cdot (-9) +2 \ cdot 6 + (- 3) \ cdot 7 + 0 \ cdot 12 = 0. $$

Продовжимо рішення і знайдемо $ c_ (12) $. Для цього доведеться перемножити елементи першого рядка матриці $ A $ і другого шпальти матриці $ B $:

Аналогічно до попереднього, маємо:

$$ c_ (12) = - 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot 20 + (- 3) \ cdot 0 + 0 \ cdot (-4) = 37. $$

Всі елементи першого рядка матриці $ C $ знайдені. Переходимо до другої рядку, яку починає елемент $ c_ (21) $. Щоб його знайти доведеться перемножити елементи другого рядка матриці $ A $ і першого стовпця матриці $ B $:

$$ c_ (21) = 5 \ cdot (-9) +4 \ cdot 6 + (- 2) \ cdot 7 + 1 \ cdot 12 = -23. $$

Наступний елемент $ c_ (22) $ знаходимо, перемножая елементи другого рядка матриці $ A $ на відповідні елементи другого стовпця матриці $ B $:

$$ c_ (22) = 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 20 + (- 2) \ cdot 0 + 1 \ cdot (-4) = 91. $$

Щоб знайти $ c_ (31) $ перемножимо елементи третього рядка матриці $ A $ на елементи першого стовпця матриці $ B $:

$$ c_ (31) = - 8 \ cdot (-9) +11 \ cdot 6 + (- 10) \ cdot 7 + (-5) \ cdot 12 = 8. $$

І, нарешті, для знаходження елемента $ c_ (32) $ доведеться перемножити елементи третього рядка матриці $ A $ на відповідні елементи другого стовпця матриці $ B $:

$$ c_ (32) = - 8 \ cdot 3 + 11 \ cdot 20 + (- 10) \ cdot 0 + (-5) \ cdot (-4) = 216. $$

Всі елементи матриці $ C $ знайдені, залишилося лише записати, що $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) \ right) $ . Або, якщо вже писати повністю:

$$ C = A \ cdot B = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) \ right). $$

відповідь: $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) \ right) $.

До речі сказати, найчастіше немає резону розписувати докладно знаходження кожного елемента матриці-результату. Для матриць, розмір яких невеликий, можна зробити і так:

$$ \ left (\ begin (array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 6 \ cdot (4) +3 \ cdot (-6) & 6 \ cdot (9) +3 \ cdot (90 ) \\ -17 \ cdot (4) + (- 2) \ cdot (-6) & -17 \ cdot (9) + (- 2) \ cdot (90) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \ end (array) \ right) $$

Варто також звернути увагу, що множення матриць некомутативними. Це означає, що в загальному випадку $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Лише для деяких типів матриць, які називають перестановочность(Або коммутирующими), вірно рівність $ A \ cdot B = B \ cdot A $. Саме виходячи з некомутативності множення, потрібно вказувати як саме ми домножаем вираз на ту чи іншу матрицю: справа або зліва. Наприклад, фраза "домножимо обидві частини рівності $ 3E-F = Y $ на матрицю $ A $ справа" означає, що потрібно отримати таке рівність: $ (3E-F) \ cdot A = Y \ cdot A $.

Транспонованою по відношенню до матриці $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ називається матриця $ A_ (n \ times m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $, для елементів якої $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.

Попросту кажучи, для того, щоб отримати транспоновану матрицю $ A ^ T $, потрібно у вихідній матриці $ A $ замінити стовпці відповідними рядками за таким принципом: була перша рядок - стане перший стовпець; була другий рядок - стане другою стовпець; була третя рядок - стане третій стовпець і так далі. Наприклад, знайдемо транспоновану матрицю до матриці $ A_ (3 \ times 5) $:

Відповідно, якщо вихідна матриця мала розмір $ 3 \ times 5 $, то транспонована матриця має розмір $ 5 \ times 3 $.

Деякі властивості операцій над матрицями.

Тут передбачається, що $ \ alpha $, $ \ beta $ - деякі числа, а $ A $, $ B $, $ C $ - матриці. Для перших чотирьох властивостей я вказав назви, інші можна назвати за аналогією з першими чотирма.

Лекція№1

МАТРИЦІ

Визначення і види матриць

Визначення 1.1.матрицеюрозміру т пназивається прямокутна таблиця чисел (або інших об'єктів), що містить mрядків і nстовпців.

Матриці позначаються прописними (великими) буквами латинського алфавіту, наприклад, А, В, С, ...Числа (або інші об'єкти), що становлять матрицю, називаються елементамиматриці. Елементами матриці можуть бути функції. Для позначення елементів матриці використовуються малі літери латинського алфавіту з подвійною індексацією: аij,де перший індекс i(Читається - і) - номер рядка, другий індекс j(Читається - жи) – номер стовпчика.

Визначення 1.2.матриця називається квадратної п-го порядку, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює одному й тому числу п

Для квадратної матриці вводяться поняття головною метою та побічноїдіагоналі.

Визначення 1.3.Головна діагональквадратної матриці складається з елементів, що мають однакові індекси, т. е.. Це елементи: a 11, A 22, ...

Визначення 1.4. діагональної, Якщо всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю

Визначення 1.5.Квадратна матриця називається трикутної, Якщо всі її елементи, розташовані нижче (або вище) головною діагоналі, дорівнюють нулю.

Визначення 1.6.квадратна матриця п-го порядку, у якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші рівні нулю, називається одиничноїматрицею n-го порядку, і вона позначається буквою Е.

Визначення 1.7.Матриця будь-якого розміру називається нульовий,або нуль-матрицею,якщо всі її елементи дорівнюють нулю.

Визначення 1.8.Матриця, що складається з одного рядка, називається матрицею-рядком.

Визначення 1.9.Матриця, що складається з одного стовпця, називається матрицею-стовпцем.

А = (а 11 а 12 ... а 1n) -матриця-рядок;

Визначення 1.10.дві матриці Аі Воднакових розмірів називаючи- ються рівними,якщо рівні між собою всі відповідні елементи цих матриць, т. е. aij = bijдля будь-яких i= 1, 2, ..., т; j = 1, 2,…, n.

Операції над матрицями

Над матрицями, як і над числами, можна виробляти ряд операцій. Основними операціями над матрицями є додавання (віднімання) матриць, множення матриці на число, множення матриць. Ці операції аналогічні операціям над числами. Специфічна операція - транспонування матриці.

Множення матриці на число

Визначення 1.11.Твором матриці А на числоλ називається матриця В = А,елементи якої отримані множенням елементів мат Ріци Ана число λ .

Приклад 1.1.Знайти твір матриці А = на число 5.

Рішення. .◄ 5A =

Правило множення матриці на число: Щоб помножити матрицю на число, треба помножити на це число все елементи матриці.

Слідство.

1. Загальний множник всіх елементів матриці можна винести за знак матриці.

2. Твір матриці Ана число 0 є нульова матриця: А· 0 = 0 .

додавання матриць

Визначення 1.12.Сумою двох матриць А і Воднакового розміру т nназивається матриця З= А+ В, Елементи якої отримані шляхом складання відповідних елементів матриці Аі матриці В, Т. Е. cij = aij + bijдля i = 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n(Т. Е. Матриці складаються поелементно).

Слідство.сума матриці Аз нульовою матрицею дорівнює вихідній матриці: А + О = А.

1.2.3. віднімання матриць

Різниця двох матрицьоднакового розміру визначається через пре- дидущей операції: А - В = А + (- 1) У.

Визначення 1.13.матриця -А = (- 1) Аназивається протилежноїматриці А.

Слідство.Сума протилежних матриць дорівнює нульовий матриці : А + (-А) = О.

множення матриць

Визначення 1.14.Множення матриці А на матрицю Ввизначено, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. тоді твором матрицьназивається така матриця , кожен елемент якої cijдорівнює сумі добутків елементів iго рядка матриці Ана відповідні елементи j-го стовпця матриці B.

Приклад 1.4.Обчислити добуток матриць А · В,де

A =

=

Приклад 1.5.Знайти твори матриць АВі ВА,де

Зауваження.З прикладів 1.4-1.5 слід, що операція множення матриць має деякі відмінності від множення чисел:

1) якщо твір матриць АВіснує, то після перестановки співмножників місцями твір матриць ВАможе і не існувати. Дійсно, в прикладі 1.4 твір матриць AB існує, а твір ВА не існує;

2) якщо навіть твори АВі ВАіснують, то результат твори може бути матрицями різного розміру. У разі, коли обидва твори АВі ВАіснують і обидва - матриці однакового розміру (це можливо тільки при множенні квадратних матриць одного порядку), то комутативними (переместітельний) закон множення все одно не виконується,тобто А В У А, як в прикладі 1.5;

3) проте якщо перемножити квадратну матрицю Ана одиничну матрицю Етого ж порядку, тоді АЕ = ЕА = А.

Таким чином, одинична матриця при множенні матриць відіграє ту ж роль, що і число 1 при множенні чисел;

4) добуток двох ненульових матриць може дорівнювати нульовий матриці, т. Е. З того, що А В= 0, не випливає, що А = 0 або B = 0.

1-й курс, вища математика, вивчаємо матриціі основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити з матрицями. З чого почати знайомство з матрицями? Звичайно, з самого простого - визначень, основних понять і найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють всі, хто приділить їм хоча б трохи часу!

визначення матриці

матриця- це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою - таблиця чисел.

Зазвичай матриці позначаються прописними літерами. Наприклад, матриця A , матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядка і матриці-стовпці, звані векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків і стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицю розміру m на n , де m - кількість рядків, а n - кількість стовпців.

Елементи, для яких i = j (a11, a22, .. ) Утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.

Що можна робити з матрицями? Складати / віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.

Операції додавання і віднімання матриць

Відразу попередимо, що можна складати тільки матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того ж розміру. Складати (або віднімати) матриці просто - досить тільки скласти їх відповідні елементи . Наведемо приклад. Виконаємо додавання двох матриць A і В розміром два на два.

Віднімання виконується за аналогією, тільки з протилежним знаком.

На довільне число можна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, потрібно помножити на це число кожний її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:

Операція множення матриць

Перемножити між собою вдасться не всі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці - A і B. Їх можна помножити один на одного тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В. При цьому кожен елемент отриманої матриці, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, буде дорівнює сумі добутків відповідних елементів в i-му рядку першого множника і j-му стовпці другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:

І приклад з реальними числами. Помножимо матриці:

Операція транспонування матриці

Транспонування матриці - це операція, коли відповідні рядки і стовпці міняються місцями. Наприклад, транспоніруем матрицю A з першого прикладу:

визначник матриці

Визначник, про ж детермінант - одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди придумали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У підсумку, розбиратися з усім цим доведеться вам, так що, останній ривок!

Визначник - це чисельна характеристика квадратної матриці, яка потрібна для вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.

Визначник матриці першого порядку, тобто складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.

А якщо матриця три на три? Тут вже складніше, але впоратися можна.

Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі добутків елементів головної діагоналі і творів елементів лежать на трикутниках з межею паралельної головній діагоналі, від якої віднімається твір елементів побічної діагоналі і твір елементів лежать на трикутниках з межею паралельної побічної діагоналі.

На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірів на практиці доводиться рідко.

Тут ми розглянули основні операції над матрицями. Звичайно, в реальному житті можна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну систему рівнянь або ж навпаки - зіткнутися з набагато більш складними випадками, коли доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс. Звертайтеся по допомогу, отримуйте якісне і докладний рішення, насолоджуйтеся успіхами в навчанні і вільним часом.

Для того, щоб зробити множення матриці A на довільне число α, потрібно елементи матриці Aпомножити на число α, тобто твір матриці на число буде наступним:

Приклад 1.Знайти матрицю 3 Aдля матриці

Рішення. Відповідно до визначення помножимо елементи матриці Aна 3 і отримаємо

Це був зовсім простий приклад множення матриці на число з цілими числами. Попереду також прості приклади, але вже такі, де серед множників і елементів матриць - дроби, змінні (літерні позначення), адже закони множення діють не тільки для цілих чисел, так що ніколи не шкідливо їх повторити.

Приклад 2. Aна число α, якщо
, .

Aна α, не забуваючи, що при множенні дробів чисельник першого дробу множиться на чисельник першого дробу і твір записується в чисельник, а знаменник першого дробу множиться на знаменник другого дробу і твір записується в знаменник. При отриманні другого елементу першого рядка нової матриці отриману дріб скоротили на 2, це треба робити обов'язково. отримуємо

Приклад 3.Виконати операцію множення матриці Aна число α, якщо
, .

Рішення. Помножимо елементи матриці Aна α, не плутаючись в буквених позначеннях, не забувши залишити мінус перед другим елементом другого рядка нової матриці, і пам'ятаючи, що результат множення числа на зворотне йому число є одиниця (перший елемент третього рядка). отримуємо

.

Приклад 4.Виконати операцію множення матриці Aна число α, якщо
, .

Рішення. Згадуємо, що при множенні числа в ступені на число в ступені показники ступенів складаються. отримуємо

.

Цей приклад, крім усього іншого, наочно демонструє, що дії множення матриці на число можуть бути прочитані (і записані) в зворотному порядку і називається це винесенням постійного множника перед матрицею.

У поєднанні зі складанням і відніманням матрицьоперація множення матриці на число може утворювати різні матричні вирази, наприклад, 5 A − 3B , 4A + 2B .

Властивості множення матриці на число

(Тут A, B - матриці, - числа, 1 - число одиниця)

1.

2.

3.

Властивості (1) і (2) пов'язують множення матриці на число зі складанням матриць. Існує також дуже важливий зв'язок між множенням матриці на число і перемножением самих матриць:

т. е. якщо в творі матриць один з множників множиться на число, то і весь твір буде множитися на число.

Даний методичний посібник допоможе Вам навчитися виконувати дії з матрицями: Додавання (віднімання) матриць, транспонування матриці, множення матриць, знаходження оберненої матриці. Весь матеріал викладено в простій і доступній формі, наведені відповідні приклади, таким чином, навіть людина без спеціальної підготовки зможе навчитися виконувати дії з матрицями. Для самоконтролю і самоперевірки Ви можете безкоштовно скачати матричний калькулятор >>>.

Я буду намагатися мінімізувати теоретичні викладки, подекуди можливі пояснення «на пальцях» і використання ненаукових термінів. Любителі ґрунтовної теорії, будь ласка, не займайтеся критикою, наше завдання - навчитися виконувати дії з матрицями.

Для надшвидкого підготовки по темі (у кого «горить») є інтенсивний pdf-курс Матриця, визначник і залік!

Матриця - це прямокутна таблиця будь-яких елементів. В якості елементівми будемо розглядати числа, тобто числові матриці. ЕЛЕМЕНТ- це термін. Термін бажано запам'ятати, він буде часто зустрічатися, не випадково я використовував для його виділення жирний шрифт.

позначення:матриці зазвичай позначають великими латинськими літерами

приклад:розглянемо матрицю «два на три»:

Дана матриця складається з шести елементів:

Всі числа (елементи) всередині матриці існують самі по собі, тобто ні про яке відніманні мови не йде:

Це просто таблиця (набір) чисел!

також домовимося не переставлятичисла, якщо іншого не сказано в поясненнях. У кожного числа своє місце розташування, і перетасовувати їх не можна!

Вже згадана матриця має два рядки:

і три стовпці:

СТАНДАРТ: Коли говорять про розміри матриці, то спочаткувказують кількість рядків, а тільки потім - кількість стовпців. Ми тільки що розібрали по кісточках матрицю «два на три».

Якщо кількість рядків і стовпців матриці збігається, то матрицю називають квадратної, Наприклад: - матриця «три на три».

Якщо в матриці один стовпець або один рядок, то такі матриці також називають векторами.

Насправді поняття матриці ми знаємо ще зі школи, розглянемо, наприклад точку з координатами «ікс» і «ігрек»:. По суті, координати точки записані в матрицю «один на два». До речі, ось Вам і приклад, чому порядок чисел має значення: і - це дві абсолютно різні точки площини.

Тепер переходимо безпосередньо до вивчення дій з матрицями:

1) Дія перша. Винесення мінуса з матриці (внесення мінуса в матрицю).

Повернемося до нашої матриці . Як ви напевно помітили, в цій матриці занадто багато негативних чисел. Це дуже незручно з точки зору виконання різних дій з матрицею, незручно писати стільки мінусів, та й просто в оформленні некрасиво виглядає.

Винесемо мінус за межі матриці, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

У нуля, як Ви розумієте, знак не змінюється, нуль - він і в Африці нуль.

Зворотний приклад: . Виглядає потворно.

Внесемо мінус в матрицю, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

Ну ось, набагато симпатичніше вийшло. І, найголовніше, виконувати будь-які дії з матрицею буде ПРОЩЕ. Тому що є така математична народна прикмета: чим більше мінусів - тим більше плутанини і помилок.

2) Дія друга. Множення матриці на число.

приклад:

Все просто, для того щоб помножити матрицю на число, потрібно коженелемент матриці помножити на дане число. В даному випадку - на трійку.

Ще один корисний приклад:

- множення матриці на дріб

Спочатку розглянемо те, чого робити НЕ ТРЕБА:

Вносити дріб в матрицю НЕ ПОТРІБНО, по-перше, це тільки ускладнює подальші дії з матрицею, по-друге, ускладнює перевірку рішення викладачем (особливо, якщо - остаточну відповідь завдання).

Тим паче, НЕ ТРЕБАділити кожен елемент матриці на мінус сім:

зі статті Математика для чайників або з чого почати, Ми пам'ятаємо, що десяткових дробів з коми у вищій математиці намагаються всіляко уникати.

Єдине що бажанозробити в цьому прикладі - це внести мінус в матрицю:

А ось якби ВСІелементи матриці ділилися на 7 без залишку, То тоді можна (і потрібно!) Було б поділити.

приклад:

В цьому випадку можна і ПОТРІБНОпомножити всі елементи матриці на, так як всі числа матриці діляться на 2 без залишку.

Примітка: в теорії вищої математики шкільного поняття «поділ» немає. Замість фрази «це поділити на це» завжди можна сказати «це помножити на дріб». Тобто, розподіл - це окремий випадок множення.

3) Дія третя. транспонування матриці.

Для того щоб транспонувати матрицю, потрібно її рядки записати в стовпці транспонованою матриці.

приклад:

транспонувати матрицю

Рядок тут всього одна і, згідно з правилом, її потрібно записати в стовпчик:

- транспонована матриця.

Транспонована матриця зазвичай позначається наголосами індексом або штрихом справа вгорі.

Покроковий приклад:

транспонувати матрицю

Спочатку переписуємо перший рядок в перший стовпець:

Потім переписуємо другий рядок у другій стовпець:

І, нарешті, переписуємо третій рядок у третій стовпець:

Готово. Грубо кажучи, транспонувати - це значить повернути матрицю набік.

4) Дія четверта. Сума (різниця) матриць.

Сума матриць дію нескладне.
НЕ ВСЕ МАТРИЦІ можна складати. Для виконання додавання (віднімання) матриць, необхідно, щоб вони були однаковими за розміром.

Наприклад, якщо дана матриця «два на два», то її можна складати тільки з матрицею «два на два» і ніякий інший!

приклад:

скласти матриці і

Для того щоб скласти матриці, необхідно скласти їх відповідні елементи:

Для різниці матриць правило аналогічне, необхідно знайти різницю відповідних елементів.

приклад:

Знайти різницю матриць ,

А як вирішити цей приклад простіше, щоб не заплутатися? Доцільно позбутися зайвих мінусів, для цього внесемо мінус в матрицю:

Примітка: в теорії вищої математики шкільного поняття «віднімання» немає. Замість фрази «з цього відняти це» завжди можна сказати «до цього додати негативне число». Тобто, віднімання - це окремий випадок складання.

5) Дія п'ята. множення матриць.

Які матриці можна множити?

Щоб матрицю можна було помножити на матрицю потрібно, щоб число стовпців матриці дорівнювало числу рядків матриці.

приклад:
Чи можна помножити матрицю на матрицю?

Значить, множити дані матриці можна.

А ось якщо матриці переставити місцями, то, в даному випадку, множення вже неможливо!

Отже, виконати множення неможливо:

Не так уже й рідко зустрічаються завдання із секретом, коли студенту пропонується помножити матриці, множення яких свідомо неможливо.

Слід зазначити, що в ряді випадків можна множити матриці і так, і так.
Наприклад, для матриць, і можливо як множення, так і множення