Скільки зворотних матриць може існувати для цієї. Матрична алгебра – зворотна матриця. За допомогою калькулятора

Матрична алгебра - Зворотня матриця

зворотна матриця

Зворотною матрицеюназивається матриця, яка при множенні як праворуч, так і ліворуч на дану матрицю дає одиничну матрицю.
Позначимо зворотну матрицю до матриці Ачерез , тоді згідно з визначенням отримаємо:

де Е- одинична матриця.
Квадратна матрицяназивається неособливою (невиродженою), якщо її визначник не дорівнює нулю. Інакше вона називається особливою (виродженою) або сингулярною.

Має місце теорема: всяка неособлива матриця має зворотну матрицю.

Операція знаходження зворотної матриці називається зверненнямматриці. Розглянемо алгоритм обігу матриці. Нехай дана неособлива матриця n-го порядку:

де Δ = det A ≠ 0.

Алгебраїчним доповненням елементаматриці n-го порядку Аназивається взятий з певним знаком визначник матриці ( n-1)-го порядку, отриманої викресленням i-ого рядка та j-го стовпця матриці А:

Складемо так звану приєднануматрицю:

де - алгебраїчні доповнення відповідних елементів матриці А.
Зауважимо, що доповнення алгебри елементів рядків матриці Арозміщуються у відповідних стовпцях матриці Ã тобто одночасно проводиться транспонування матриці.
Розділивши всі елементи матриці Ã на Δ – величину визначника матриці А, Отримаємо в результаті зворотну матрицю:

Відзначимо ряд особливих властивостей зворотної матриці:
1) для даної матриці Аїї зворотна матриця є єдиною;
2) якщо існує зворотна матриця, то права зворотнаі ліва зворотнаматриці збігаються з нею;
3) особлива (вироджена) квадратна матриця немає зворотної матриці.

Основні властивості зворотної матриці:
1) визначник зворотної матриці та визначник вихідної матриці є зворотними величинами;
2) зворотна матриця добутку квадратних матриць дорівнює добутку зворотних матриць співмножників, взятому у зворотному порядку:

3) транспонована зворотна матриця дорівнює зворотній матриці від даної транспонованої матриці:

П р і м е р. Обчислити матрицю, обернену даною.

У цій статті ми розповімо про матричний метод вирішення системи лінійних рівнянь алгебри, знайдемо його визначення і наведемо приклади рішення.

Визначення 1

Метод зворотної матриці - це метод, що використовується при вирішенні СЛАУ у тому випадку, якщо кількість невідомих дорівнює кількості рівнянь.

Приклад 1

Знайти рішення системи n лінійних рівнянь із n невідомими:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. . . + a n n x n = b n

Матричний вид запису : А × X = B

де А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матриця системи.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - стовпець невідомих,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - стовпець вільних коефіцієнтів.

З рівняння, яке отримали, необхідно виразити X . Для цього потрібно помножити обидві частини матричного рівняння зліва на A – 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B .

Оскільки А - 1 × А = Е, то Е × X = А - 1 × В або X = А - 1 × В.

Зауваження

Зворотна матриця до матриці А має право на існування тільки, якщо виконується умова d e t A нера в е н н у л ю. Тому при вирішенні СЛА методом зворотної матриці, в першу чергу знаходиться d e t А.

У тому випадку, якщо d e t A нера в е н н у л ю, у системи є тільки один варіант рішення: за допомогою методу зворотної матриці. Якщо d e t А = 0 то систему не можна вирішити даним методом.

Приклад розв'язання системи лінійних рівнянь за допомогою методу зворотної матриці

Приклад 2

Вирішуємо СЛАУ методом зворотної матриці:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Як вирішити?

• Записуємо систему як матричного рівняння А X = B , де

А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2 .

• Висловлюємо з цього рівняння X:

• Знаходимо визначник матриці А:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (-2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А не дорівнює 0, отже для цієї системи підходить метод розв'язання зворотною матрицею.

• Знаходимо зворотну матрицю А – 1 за допомогою союзної матриці. Обчислюємо додатки алгебри А i j до відповідних елементів матриці А:

А 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6

А 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7

А 13 = (-1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5

А 21 = (-1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17

А 22 = (-1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

А 23 = (-1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10

А 31 = (-1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10

А 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5

А 33 = (-1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

• Записуємо союзну матрицю А * , яка складена з додатків алгебри матриці А:

А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Записуємо зворотну матрицю згідно з формулою:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0

• Помножуємо зворотну матрицю А - 1 на стовпець вільних членів і отримуємо рішення системи:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Відповідь : x 1 = - 1; x 2 = 0; x 3 = 1

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Для вирішення системи лінійних рівнянь (3) щодо x 1скористаємося методом Гаусса.

Аналогічним чином вирішуються інші системи лінійних рівнянь (2).

Нарешті, група векторів стовпців. x 1 , x 2 , ..., x nутворює зворотну матрицю A -1.

Зауважимо, що один раз знаходячи матриці перестановок P 1 ,P 2 , ... , P n-1та матриці винятків М 1, М 2, ..., M n-1(див. сторінку Метод виключення Гауса) та побудувавши матрицю

M = M n-1 P n-1 ... M 2 P 2 M 1 P 1 ,

систему (2) можна перетворити на вигляд

• MAx 1 = Me 1 ,
• MAx 2 = Me 2 ,
• ......
• MAx n = Me n .

Звідси перебувають x 1, x 2, ..., x n, за різних правих частин Me 1, Me 2, ..., Me n.

При обчисленні зворотної матриці зручніше з правого боку вихідної матриці додати одиничну матрицю та застосовувати метод Гаусса у прямому та зворотному напрямках.

Розглянемо це з прикладу.

Приклад обчислення зворотної матриці

Нехай потрібно знайти зворотну матрицю A -1для даної матриці A:

Запишемо з правого боку поодиноку матрицю:

Вибираємо провідний елемент "4" (т.к. він найбільший за модулем) і переставляємо місцями перший і третій рядки:

Застосовуємо Гауссове виняток для першого стовпця:

Переставляємо другий і третій рядки і застосовуємо Гауссів виняток для другого стовпця.

Нехай дана квадратна матриця. Потрібно знайти зворотну матрицю.

Перший метод. У теоремі 4.1 існування та єдиності зворотної матриці вказано один із способів її знаходження.

1. Обчислити визначник цієї матриці. Якщо, то зворотної матриці немає (матриці народжена).

2. Скласти матрицю з додатків алгебри елементів матриці.

3. Транспонуючи матрицю, отримати приєднану матрицю .

4. Знайти зворотну матрицю (4.1), розділивши всі елементи приєднаної матриці на визначник

Другий спосіб. Для знаходження зворотної матриці можна використовувати елементарні перетворення.

1. Скласти блокову матрицю , приписавши до цієї матриці одиничну матрицю того ж порядку.

2. За допомогою елементарних перетворень, що виконуються над рядками матриці, привести її лівий блок до найпростішого вигляду. При цьому блокова матриця приводиться до виду, де квадратна матриця, отримана в результаті перетворень з одиничної матриці.

3. Якщо , то блокрівний зворотній матриці, тобто. Якщо, то матриця має зворотної.

Насправді, за допомогою елементарних перетворень рядків матриці можна навести її лівий блок спрощеного вигляду (див. рис. 1.5). При цьому блочна матриця перетворюється на вигляд, де - елементарна матриця, що задовольняє рівності. Якщо матриця невироджена, то згідно з п.2 зауважень 3.3 її спрощений вигляд збігається з одиничною матрицею. Тоді з рівності слід, що. Якщо ж матриці народжена, то її спрощений відрізняється від одиничної матриці, а матриця не має зворотної.

11. Матричні рівняння та їх вирішення. Матрична форма запису СЛАУ. Матричний спосіб (метод зворотної матриці) рішення СЛАУ та умови його застосування.

Матричними рівняннями називаються рівняння виду: A * X = C; X * A = C; A*X*B=C де матриця А,В,З відомі,матриця Х не відома, якщо матриці А і не вироджені, то рішення вихідних матриць запишеться у відповідному вигляді: Х=А -1 *С; Х = С * А -1; Х = А -1 * С * В -1 Матрична форма запису систем лінійних рівнянь алгебри.З кожною СЛАУ можна зв'язати декілька матриць; більше – саму СЛАУ можна записати як матричного рівняння. Для СЛАУ (1) розглянемо такі матриці:

Матриця A називається матрицею системи. Елементи даної матриці є коефіцієнтами заданої СЛАУ.

Матриця A˜ називається розширеною матрицею системи. Її одержують додаванням до матриці системи стовпця, що містить вільні члени b1, b2, ..., bm. Зазвичай цей стовпець відокремлюють вертикальною рисою для наочності.

Матриця-стовпець B називається матрицею вільних членів, а матриця-стовпець X - матрицею невідомих.

Використовуючи введені вище позначення, СЛАУ (1) можна записати у вигляді матричного рівняння: A⋅X=B.

Примітка

Матриці, пов'язані з системою, можна записати різними способами: все залежить від порядку проходження змінних і рівнянь аналізованої СЛАУ. Але в будь-якому випадку порядок слідування невідомих у кожному рівнянні заданої СЛАУ має бути однаковим.

Матричний метод підходить для розв'язання СЛАУ, у яких кількість рівнянь збігається з числом невідомих змінних та визначник основної матриці системи відмінний від нуля. Якщо система містить більше трьох рівнянь, то знаходження зворотної матриці вимагає значних обчислювальних зусиль, тому в цьому випадку доцільно використовувати для вирішення метод Гауса.

12. Однорідні СЛАУ, умови існування їх ненульових рішень. Властивості окремих рішень однорідних СЛАУ.

Лінійне рівняння називається однорідним, якщо його вільний член дорівнює нулю, і неоднорідним інакше. Система, що складається з однорідних рівнянь, називається однорідною і має загальний вигляд:

13 .Поняття лінійної незалежності та залежності приватних рішень однорідної СЛАУ. Фундаментальна система рішень (ФСР) та її знаходження. Подання загального рішення однорідної СЛАУ через ФСР.

Система функцій y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) називається лінійно залежноюна інтервалі ( a , b ), якщо існує набір постійних коефіцієнтів , не рівних нулю одночасно, таких, що лінійна комбінація цих функцій тотожно дорівнює нулю на ( a , b ): для . Якщо рівність можлива тільки при , система функцій y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) називається лінійно незалежноюна інтервалі ( a , b ). Іншими словами, функції y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) лінійно залежніна інтервалі ( a , b ), якщо існує рівна нулю на ( a , b ) їхня нетривіальна лінійна комбінація. Функції y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) лінійно незалежніна інтервалі ( a , b ), якщо тільки тривіальна їхня лінійна комбінація тотожно дорівнює нулю на ( a , b ).

Фундаментальною системою рішень (ФСР)Однорідною СЛАУ називається базис цієї системи стовпців.

Кількість елементів у ФСР дорівнює кількості невідомих системи мінус ранг матриці системи. Будь-яке рішення вихідної системи є лінійною комбінацією рішень ФСР.

Теорема

Загальне рішення неоднорідної СЛАУ дорівнює сумі приватного рішення неоднорідної СЛАУ та загального рішення відповідної однорідної СЛАУ.

1 . Якщо стовпці - рішення однорідної системи рівнянь, то будь-яка їхня лінійна комбінація також є рішенням однорідної системи.

Насправді, з рівностей випливає, що

тобто. Лінійна комбінація рішень є рішенням однорідної системи.

2. Якщо ранг матриці однорідної системи дорівнює , то система має лінійно незалежні рішення.

Справді, за формулами (5.13) загального рішення однорідної системи знайдемо приватні рішення, надаючи вільним змінним наступні стандартні набори значень (Кожного разу вважаючи, що з вільних змінних дорівнює одиниці, інші - рівні нулю):

які лінійно незалежні. Справді, якщо з цих стовпців скласти матрицю, останні її рядків утворюють одиничну матрицю. Отже, мінор, розташований останніх рядках не дорівнює нулю (він дорівнює одиниці), тобто. є базисним. Тому ранг матриці дорівнюватиме. Отже, усі стовпці цієї матриці лінійно незалежні (див. теорему 3.4).

Будь-яка сукупність лінійно незалежних рішень однорідної системи називається фундаментальною системою (сукупністю) рішень .

14 Мінор -ого порядку, базовий мінор, ранг матриці. Обчислення рангу матриці.

Мінором порядку k матриці називається детермінант деякої її квадратної підматриці порядку k.

У матриці розмірів m x n мінор порядку r називається базисним, якщо він відмінний від нуля, а всі мінори більшого порядку, якщо вони існують, рівні нулю.

Стовпці та рядки матриці А, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються базисними стовпцями та рядками А.

Теорема 1. (Про ранг матриці). У будь-якої матриці мінорний ранг дорівнює рядковому рангу і дорівнює стовпцевому рангу.

Теорема 2. (Про базисний мінор). Кожен стовпець матриці розкладається в лінійну комбінацію її базових стовпців.

Рангом матриці (або мінорним рангом) називається порядок базисного мінору або, інакше, найбільший порядок, для якого існують відмінні від нуля мінори. Ранг нульової матриці визначення вважають 0.

Зазначимо дві очевидні властивості мінорного рангу.

1) Ранг матриці не змінюється при транспонуванні, тому що при транспонуванні матриці всі її підматриці транспонуються та мінори не змінюються.

2) Якщо А'-підматриця матриці А, то ранг А' не перевищує рангу А, так як ненульовий мінор, що входить в А', входить і в А.

15. Концепція -мірного арифметичного вектора. Рівність векторів. Дії над векторами (додавання, віднімання, множення на число, множення на матрицю). Лінійна комбінація векторів.

Упорядкована сукупність nдійсних чи комплексних чисел називається n-вимірним вектором. Числа називаються координатами вектора.

Два (ненульові) вектори aі bрівні, якщо вони рівноспрямовані і мають один і той самий модуль. Усі нульові вектори вважаються рівними. У решті випадків вектори не рівні.

Складання векторів. Для складання векторів є два способи.1. Правило паралелограма. Щоб скласти вектори і поміщаємо початку обох в одну точку. Добудовуємо до паралелограма та з тієї ж точки проводимо діагональ паралелограма. Це і буде сума векторів.

2. Другий спосіб складання векторів – правило трикутника. Візьмемо ті ж вектори та . До кінця першого вектора влаштуємо початок другого. Тепер з'єднаємо початок першого та кінець другого. Це і є сума векторів та . За тим самим правилом можна скласти кілька векторів. Прилаштовуємо їх один за одним, а потім з'єднуємо початок першого з кінцем останнього.

Віднімання векторів. Вектор спрямований протилежно до вектора. Довжини векторіврівні. Тепер зрозуміло, що таке віднімання векторів. Різниця векторів і - це сума вектора та вектора.

Розмноження вектора на число

При множенні вектора число k виходить вектор, довжина якого в раз відрізняється від довжини. Він сонаправлен з вектором, якщо k більше нуля, і спрямований протилежно, якщо k менше нуля.

Скалярним твором векторів називається добуток довжин векторів на косинус кута між ними.Якщо вектори перпендикулярні, їх скалярний добуток дорівнює нулю. А ось так скалярний твір виражається через координати векторів та .

Лінійна комбінація векторів

Лінійна комбінація векторів називають вектор

де - Коефіцієнти лінійної комбінації. Якщо комбінація називається тривіальною, якщо – нетривіальною.

16 . Скалярне твір арифметичних векторів. Довжина вектор і кут між векторами. Концепція ортогональності векторів.

Скалярним твором векторів а і називається число,

Скалярний добуток використовується для обчислення:1)знаходження кута між ними;2)знаходження проекції векторів;3)обчислення довжини вектора;4)умови перпендикулярності векторів.

Довжиною відрізка АВ називають відстанню між точками А іВ. Кут між векторами А та В називають кут α=(а,в) ,0≤ α ≤П. На який необхідно повернути 1 вектор, щоб його напрямки збіглося з іншим вектором. За умови, що їх початку співпадуть.

Ортом а називається вектор а має одиничну довжину та напрямки а.

17. Система векторів та її лінійна комбінація. Концепція лінійної залежності та незалежності системи векторів. Теорема про необхідну та достатню умову лінійної залежності системи векторів.

Система векторів a1,a2,...,an називається лінійно залежною, якщо існують числа λ1,λ2,...,λnтакі, що хоча б одне з них відмінно від нуля і λ1a1+λ2a2+...+λnan=0. Інакше система називається лінійно незалежною.

Два вектори a1 і a2 називаються колінеарними, якщо їх напрями збігаються або протилежні.

Три вектори a1, a2 і a3 називаються компланарними, якщо вони паралельні деякій площині.

Геометричні критерії лінійної залежності:

а) система (a1,a2) лінійно залежна у тому й лише тому випадку, коли вектори a1 і a2 колінеарні.

б) система (a1,a2,a3) лінійно залежна у тому й лише тому випадку, коли вектори a1,a2 та a3компланарні.

теорема. (Необхідна та достатня умова лінійної залежності системивекторів.)

Система векторів векторного просторує лінійнозалежною тоді і лише тоді, коли один із векторів системи лінійно виражається через інші векторацієї системи.

Слідство.1. Система векторів векторного простору є лінійно незалежною тоді і лише тоді, коли жоден із векторів системи лінійно не виражається через інші вектори цієї системи. Система векторів, що містить нульовий вектор або два рівні вектори, є лінійно залежною.

1. Знаходимо визначник вихідної матриці. Якщо , то матриця-вироджена і зворотної матриці не існує. Якщо, то матриця невироджена і зворотна матриця існує.

2. Знаходимо матрицю, транспоновану до.

3. Знаходимо додатки алгебри елементів і складаємо з них приєднану матрицю.

4. Складаємо зворотну матрицю за формулою.

5. Перевіряємо правильність обчислення зворотної матриці , з її визначення:.

приклад.Визначити матрицю, обернену цієї: .

Рішення.

1) Визначник матриці

.

2) Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці і складаємо з них приєднану матрицю:

3) Обчислюємо зворотну матрицю:

,

4) Перевіряємо:

№4Ранг матриці. Лінійна незалежність рядків матриці

Для вирішення та дослідження низки математичних та прикладних завдань важливе значення має поняття рангу матриці.

У матриці розміром викресленням будь-яких рядків і стовпців можна вичленувати квадратні підматриці-го порядку, де. Визначники таких підматриць називаються мінорами -го порядку матриці .

Наприклад, з матриць можна отримати підматриці 1, 2 та 3-го порядку.

Визначення.Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці. Позначення:або.

З визначення випливає:

1) Ранг матриці вбирається у меншого її розмірів, тобто.

2) тоді і лише тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю, тобто.

3) Для квадратної матриці n-го порядку і тоді, коли матриця- невырожденная.

Оскільки безпосередній перебір всіх можливих мінорів матриці, починаючи з найбільшого розміру, скрутний (трудомісткий), то користуються елементарними перетвореннями матриці, що зберігають ранг матриці.

Елементарні перетворення матриці:

1) Відкидання нульового рядка (стовпця).

2) Розмноження всіх елементів рядка (стовпця) на число .

3) Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.

4) Додаток до кожного елемента одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.

5) Транспонування матриці.

Визначення.Матриця, отримана з матриці за допомогою елементарних перетворень, називається еквівалентною і позначається А У.

Теорема.Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.

За допомогою елементарних перетворень можна привести матрицю до так званого ступінчастого вигляду, коли обчислення її рангу не важко.

Матриця називається ступінчастою якщо вона має вигляд:

Вочевидь, що ранг ступінчастої матриці дорівнює числу ненульових рядків , т.к. є мінор-го порядку, не рівний нулю:

.

приклад.Визначити ранг матриці за допомогою елементарних перетворень.

Ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків, тобто. .

№5Лінійна незалежність рядків матриці

Дано матрицю розміру

Позначимо рядки матриці наступним чином:

Два рядки називаються рівними якщо рівні їхні відповідні елементи. .

Введемо операції множення рядка на число та додавання рядків як операції, що проводяться поелементно:

Визначення.Рядок називається лінійною комбінацією рядків матриці, якщо вона дорівнює сумі творів цих рядків на довільні дійсні числа (будь-які числа):

Визначення.Рядки матриці називаються лінійно залежними , якщо є такі числа , не рівні одночасно нулю, що лінійна комбінація рядків матриці дорівнює нульовому рядку:

Де. (1.1)

Лінійна залежність рядків матриці означає, що хоча б 1 рядок матриці є лінійною комбінацією інших.

Визначення.Якщо лінійна комбінація рядків (1.1) дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли всі коефіцієнти , то рядки називаються лінійно незалежними .

Теорема про ранг матриці . Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків або стовпців, через які лінійно виражаються всі інші рядки (стовпці).

Теорема відіграє важливу роль матричному аналізі, зокрема, щодо систем лінійних рівнянь.

№6Вирішення системи лінійних рівнянь з невідомими

Системи лінійних рівнянь знаходять широке застосування економіки.

Система лінійних рівнянь спеременними має вигляд:

,

де () - довільні числа, звані коефіцієнтами при змінних і вільними членами рівнянь відповідно.

Короткий запис: ().

Визначення.Рішенням системи називається така сукупність значень, при підстановці яких кожне рівняння системи перетворюється на правильну рівність.

1) Система рівнянь називається спільної , якщо вона має хоча б одне рішення, та несуміснийякщо вона не має рішень.

2) Спільна система рівнянь називається певною , якщо вона має єдине рішення, та невизначеною якщо вона має більше одного рішення.

3) Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними ) якщо вони мають одну і ту ж безліч рішень (наприклад, одне рішення).