2.6. A determinisztikus jelek korrelációs-spektrális elemzése. Rádiótechnikai áramkörök és jelek. I. rész

2.6. A determinisztikus jelek korrelációs-spektrális elemzése

Sok rádiótechnikai probléma esetén gyakran szükség van egy jel és annak másolatának összehasonlítására, egy ideig eltolva. Ez különösen a radarban fordul elő, ahol a célból visszavert impulzus időbeli késéssel érkezik a vevő bemenetére. Ezen jelek összehasonlítása egymással, azaz kapcsolatuk létrehozása a feldolgozás során lehetővé teszi a célpont mozgásának paramétereinek meghatározását.

A jel és annak időeltolásos másolata közötti kapcsolat számszerűsítésére egy jellemzőt vezetnek be

Amit ún autokorrelációs funkció(ACF).

Az ACF fizikai jelentésének tisztázása érdekében mondjunk egy példát, ahol az időtartam és az amplitúdó téglalap alakú impulzusa jelként működik. Ábrán. A 2.9 egy impulzust, annak másolatát mutatja, időintervallummal és egy termékkel eltolva. Nyilvánvaló, hogy a termék integrálása megadja az impulzus területének értékét, amely a termék. Ha rögzítve van, akkor ezt az értéket egy koordináta -ponttal lehet ábrázolni. Ha megváltoztatjuk, grafikont kapunk az autokorrelációs függvényről.

Keressünk egy analitikus kifejezést. Mivel

majd ezt a kifejezést (2.57) -be helyettesítve megkapjuk

Ha a jel balra tolódik, akkor analóg számításokkal könnyű ezt kimutatni

Ezután a (2.58) és (2.59) összekapcsolásával kapjuk

Ebből a példából a következő fontos következtetéseket lehet levonni tetszőleges hullámformákra:

1. A nem periodikus jel autokorrelációs funkciója a növekedéssel csökken (más típusú jeleknél nem feltétlenül monoton). Nyilvánvaló, hogy az ACF -nél is hajlamosak a nullára.

2. Az ACF eléri maximális értékét. Ebben az esetben egyenlő a jel energiájával. Így az ACF az energia jeljellemző. Ahogy az várható, amikor a jel és annak másolata teljesen korrelál (összekapcsolódik).

3. A (2.58) és (2.59) összehasonlítása azt jelenti, hogy az ACF akár funkcióérv, azaz

A jel egyik fontos jellemzője korrelációs intervallum... A korrelációs intervallum alatt azt az időintervallumot értjük, amely eltolásakor a jel és annak másolata korrelálatlanná válik.

A korrelációs intervallumot matematikailag a következő kifejezés határozza meg

vagy mivel páros függvény

Ábrán. A 2.10 egy tetszőleges hullámforma ACF -jét mutatja. Ha pozitív értékeknél (a görbe jobb ága) felépít egy téglalapot, amely egyenlő a görbe alatti területével (a görbe jobb oldali ága), amelynek egyik oldala egyenlő, akkor a másik oldala is megegyezik.

Keressük meg a téglalap alakú impulzus korrelációs intervallumát. A (2.58) helyett (2.60) egyszerű átalakítások után a következőket kapjuk:

ami az ábrából következik. 2.9.

Az autokorrelációs függvénnyel analóg módon megbecsülik a két jel közötti kapcsolat mértékét keresztkorrelációs függvény(VKF)

Találjuk meg két jel kölcsönös korrelációs függvényét: egy téglalap alakú impulzus amplitúdóval és időtartammal

és azonos amplitúdójú és időtartamú háromszögimpulzus

A (2.61) használatával és az integrálok külön -külön történő kiszámításával a következőket kapjuk:

A CCF számításait szemléltető grafikus konstrukciókat az 1. ábra mutatja. 2.11

Itt a szaggatott vonalak a háromszögimpulzus kezdeti (at) helyzetét mutatják.

Amikor a (2.61) kifejezés átalakul (2.57) -vé. Ebből következik, hogy az ACF a CCF speciális esete a teljesen egybeeső jelek esetében.

Vegyük figyelembe a CCF fő tulajdonságait.

1. Az autokorrelációs függvényhez hasonlóan a CCF az argumentum csökkenő függvénye. CCF esetén hajlamos a nullára.

2. A keresztkorrelációs függvény tetszőleges értékei az értékeket képviselik kölcsönös energia(kölcsönhatási energia) jeleket és.

3. Ekkor a keresztkorrelációs függvény (az autokorrelációs függvénnyel ellentétben) nem mindig éri el maximumát.

4. Ha a jeleket és az idő páros függvényei írják le, akkor a CCF is páros. Ha a jelek közül legalább az egyiket páratlan függvény írja le, akkor a CCF is páratlan. Az első állítást könnyű bizonyítani, ha két ellentétes polaritású téglalap alakú impulzus CCF -jét számítjuk ki

Az ilyen jelek keresztkorrelációs függvénye

az érv páros függvénye.

Ami a második állítást illeti, a téglalap és háromszög impulzusok TCF kiszámításának megfontolt példája ezt bizonyítja.

Néhány alkalmazott probléma esetén a rádiós mérnökök a normalizált ACF -et használják

és a normalizált CCF

hol és hol vannak a jelek belső energiái és. Amikor a normalizált CCF értékét meghívjuk keresztkorrelációs együttható... Ha, akkor a keresztkorrelációs együttható

Nyilvánvaló, hogy az értékek -1 és +1 között vannak. Ha összehasonlítjuk (2.65) és (1.32), akkor megbizonyosodhatunk arról, hogy a keresztkorrelációs együttható megfelel a vektorok közötti szög koszinuszának és a jelek geometriai ábrázolásának értékének.

Számítsuk ki a keresztkorrelációs együtthatót a fent tárgyalt példákra. Mivel egy téglalap alakú impulzus jelenergiája az

és a háromszög impulzus

akkor a (2.62) és (2.65) szerinti keresztkorrelációs együttható egyenlő lesz. Ami a második példát illeti, két azonos amplitúdójú és időtartamú, de ellentétes polaritású téglalap alakú impulzus esetén.

Kísérletileg az ACF és a CCF egy olyan eszköz segítségével nyerhető, amelynek szerkezeti diagramja az 1. ábrán látható. 2.12

Az ACF eltávolításakor jelet küld a szorzó egyik bemenetére, és ugyanazt a jelet küldi a másodikra, de egy ideig késik. A termékkel arányos jelet integrációs műveletnek vetik alá. Az integrátor kimenetén egy feszültség keletkezik, amely arányos az ACF értékével fix értéken. A késleltetési idő megváltoztatásával felépítheti a jel ACF -jét.

A CCF kísérleti felépítéséhez a jelet a szorzó egyik bemenetére táplálják, a jelet pedig a késleltető eszközre (a bejövő áramköröket szaggatott vonal jelzi). Ellenkező esetben a készülék hasonló módon működik. Vegye figyelembe, hogy a leírt eszköz ún korrelátorés széles körben használják a különböző rádiótechnikai rendszerekben a jelek fogadására és feldolgozására.

Eddig korrelációs elemzést végeztünk a véges energiájú nem periodikus jelekről. Ugyanakkor az ilyen elemzés szükségessége gyakran felmerül a periodikus jelek esetében, amelyek elméletileg végtelen energiával rendelkeznek, de véges átlagos teljesítményűek. Ebben az esetben az ACF -et és a CCF -et az időszak átlagolásával kell kiszámítani, és az átlagos teljesítmény (belső vagy kölcsönös) jelentésével rendelkeznek. Így egy periodikus jel ACF -je:

és két periodikus jel keresztkorrelációs függvénye több periódussal:

hol van a korszak legnagyobb értéke.

Keresse meg a harmonikus jel autokorrelációs funkcióját

ahol a szögfrekvencia, a kezdeti fázis.

Ennek a kifejezésnek a helyettesítése (2.66) -ban, és az integrál kiszámítása a jól ismert trigonometrikus reláció segítségével:

A megfontolt példa alapján a következő következtetéseket lehet levonni, amelyek bármely időszakos jelre érvényesek.

1. Egy periodikus jel ACF egy periódusos függvény ugyanazzal az időszakkal.

2. Egy periodikus jel ACF -je az argumentum páros függvénye.

3. Amikor az érték az átlagos teljesítményt jelenti, amely 1 Ohm ellenállás mellett szabadul fel és szabályossága van.

4. Egy periodikus jel ACF -je nem tartalmaz információt a jel kezdeti szakaszáról.

Azt is meg kell jegyezni, hogy a periodikus jel korrelációs intervalluma.

Most számítsuk ki két azonos frekvenciájú, de amplitúdójában és kezdeti fázisában eltérő harmonikus jel keresztkorrelációs függvényét

A jelkorrelációs függvényeket a hullámformák integrált kvantitatív értékelésére és egymással való hasonlóságuk mértékére használják.

A jelek automatikus korrelációs funkciói (ACF) (korrelációs függvény, CF). A véges energiájú determinisztikus jelekre alkalmazva az ACF a jel alakjának mennyiségi integrálja, és az s (t) jel két példányának szorzatának integrálja, egymáshoz képest eltolva a t idővel:

B s (t) = s (t) s (t + t) dt. (2,25)

Ebből a kifejezésből következik, hogy az ACF a jel és annak másolatának skaláris szorzata a t eltolási érték változó értékétől való funkcionális függőségben. Ennek megfelelően az ACF rendelkezik az energia fizikai dimenziójával, és t = 0 esetén az ACF értéke egyenlő a jel energiájával:

B s (0) = s (t) 2 dt = E s.

Az ACF funkció folyamatos és egyenletes. Ez utóbbi könnyen ellenőrizhető a t = t-t változó megváltoztatásával a (2.25) kifejezésben:

B s (t) = s (t-t) s (t) dt = s (t) s (t-t) dt = B s (-t). (2,25 hüvelyk)

Figyelembe véve a paritást, az ACF grafikus ábrázolása csak a t pozitív értékei esetén történik. A gyakorlatban a jeleket általában a pozitív argumentum értékek intervallumán határozzák meg 0-tól T-ig. A + t jel a kifejezésben (2.25) azt jelenti, hogy a növekvő t értékek mellett az s (t + t) jel másolata balra tolódik a t tengely mentén, és túlmegy a 0 -n, ami megfelelő kiterjesztést igényel a jel az argumentum negatív értékeinek régiójába. És mivel a számításoknál a t beállítás intervalluma általában sokkal kisebb, mint a jel beállításának időköze, célszerűbb a jel másolatát balra tolni az argumentum tengelye mentén, azaz alkalmazás az s (t-t) függvény (2.25) kifejezésében az s (t + t) helyett.

A véges jelek t eltolásának értékének növekedésével a jel időbeli átfedése a másolatával csökken, és a pont szorzata nullára hajlik.

Példa. A (0, T) intervallumon egy téglalap alakú impulzus van megadva, amelynek amplitúdója egyenlő A. Számítsa ki az impulzus autokorrelációs függvényét.

Amikor az impulzus másolatát eltolja a t tengely mentén jobbra, 0≤t≤T, a jelek átfedésben vannak a t és T közötti intervallumban.

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

Amikor az impulzus másolatát balra tolja, -T≤t

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T + t).

| T | > T a jelnek és másolatának nincs metszéspontja, és a jelek pont szorzata nulla (a jel és annak eltolt másolata merőlegessé válik).

Összegezve a számításokat, írhatjuk:

Periodikus jelek esetén az ACF -et egy T periódusra számítják ki, a pontszerű termék és annak eltolt másolatának átlagolásával:

B s (t) = (1 / Т) s (t) s (t-t) dt.

T = 0 esetén az ACF értéke ebben az esetben nem egyenlő az energiával, hanem a jelek átlagos teljesítményével a T intervallumon belül. A periodikus jelek ACF is periodikus függvény, ugyanazzal a T periódussal. egyhangú harmonikus jel, ez nyilvánvaló. Az első maximális ACF érték t = 0 lesz. Amikor a jelmásolatot egy negyed periódussal eltolják az eredetihez képest, az integrálok merőlegesek lesznek egymásra (cos w o (t-t) = cos (w o t-p / 2) º sin w o t), és nulla ACF értéket adnak. Ha a t = T / 2 értéket eltolja, a jel másolata az irányba ellentétes lesz magával a jellel, és a pontszerű termék eléri a minimális értékét. Az eltolódás további növekedésével a pontozott termékértékek növelésének fordított folyamata nullával való kereszteződéssel kezdődik t = 3T / 2 és a maximális érték megismétlésével t = T = 2p / wo (cos wo t-2p a jel º cos wot másolata). Hasonló folyamat zajlik tetszőleges alakú periodikus jelek esetében is (2.11. Ábra).

Ne feledje, hogy a kapott eredmény nem függ a felharmonikus jel kezdeti fázisától, amely minden periodikus jelre jellemző, és az ACF egyik tulajdonsága.

Egy bizonyos időközönként megadott jelek esetén az ACF kiszámítása az intervallum hosszára normalizálva történik:

B s (t) = s (t) s (t + t) dt. (2.26)

A jel autokorrelációját az autokorrelációs együtthatók függvényével is meg lehet becsülni, amelyeket a következő képlet segítségével számítanak ki (a központosított jelek alapján):

r s (t) = cos j (t) = ás (t), s (t + t) ñ / || s (t) || 2.

Kereszt korrelációs függvény (CCF) jelek (keresztkorrelációs függvény, CCF) mind a két jel alakjának hasonlósági fokát, mind egymáshoz viszonyított helyzetüket mutatja a koordináta mentén (független változó), amelyre ugyanaz a képlet (2.25) vonatkozik az ACF -hez hasonlóan, de az integrál alatt két különböző jel szorzata van, amelyek közül az egyiket eltolja a t idő:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t + t) dt. (2.27)

A (2.4.3) képlet t = t-t változójának megváltoztatásával a következőket kapjuk:

B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Rizs. 2.12. Jelzések és CCF

Ebből következik, hogy a paritásfeltétel nem teljesül a CCF esetében, és a CCF -értékeknek nem kell t = 0 -nál a maximumot mutatniuk. Ez jól látható az ábrán. 2.12, ahol két azonos jelet adunk, amelyek középpontja a 0.5 és 1.5 pont. A (2.27) képlet szerinti számítás a t értékeinek fokozatos növelésével az s2 (t) jel egymást követő eltolását jelenti az időtengely mentén balra (minden s1 (t) érték esetén az s2 értékei (t + t) az integránsra vonatkoznak).

T = 0 esetén a jelek merőlegesek és B 12 (t) = 0. A maximális B 12 (t) akkor figyelhető meg, ha az s2 (t) jelet balra tolja t = 1 értékkel, amelynél az s1 (t) és s2 (t + t) jelek teljesen össze vannak kapcsolva. A B 21 (-t) értékeinek kiszámításakor hasonló folyamatot hajtanak végre az s1 (t) jel egymás utáni jobbra tolásával az időtengely mentén, t negatív értékeinek fokozatos növekedésével, és ennek megfelelően , a B 21 (-t) értékei tükör (a t = 0 tengelyhez viszonyítva) a B 12 (t) értékek megjelenítése, és fordítva. Ábrán. 2.13 ez jól látható.

Rizs. 2.13. Jelzések és CCF

Így a CCF teljes formájának kiszámításához a t számtengelynek negatív értékeket kell tartalmaznia, és a t előjelének megváltoztatása a (2.27) képletben egyenértékű a jelek átrendezésével.

Az időszakos jelek esetében a CCF fogalmát általában nem alkalmazzák, kivéve az azonos periódusú jeleket, például a rendszerek bemeneti és kimeneti jeleit, amikor a rendszerek jellemzőit tanulmányozzák.

A két jel keresztkorrelációs együtthatójának függvényét a következő képlettel kell kiszámítani (középre helyezett jelek alapján):

r sv (t) = cos j (t) = ás (t), v (t + t) ñ / || s (t) || || v (t) ||. (2.28)

A keresztkorrelációs együtthatók értéke -1 és 1 között változhat.

5 Periodikus jelek spektrális elemzése. Dirichlet -feltételek. Fourier sorozat.

6 Nem periodikus jelek spektrális elemzése. Fourier transzformáció. Parseval egyenlősége.

7 Folyamatos jelek ábrázolása mintákon keresztül. Kotelnyikov tétele. A mintavételi gyakoriság hatása a jel szűrő segítségével történő visszanyerésére.

8 Folyamatos üzenetinterpolációs folyamat. A legegyszerűbb interpolációs típusok algebrai polinomok által.

13 Interferencia-mentes kódolás. A hűség javítása az egy- és kétirányú átviteli csatornákban

14 Blokkolja a szisztematikus kódokat, tulajdonságokat és ábrázolási módszereket

15 Hamming -kód, tulajdonság. A kódoló és a dekódoló szerkezeti diagramja, működési elve

16 A ciklikus kódok általános tulajdonságai és ábrázolási módjai.

18 Analóg modulációs típusok. Amplitúdó moduláció. Amplitúdó-modulált oszcilláció, időbeli és spektrális jellemzők

19 Analóg modulációs típusok. Amplitúdó modulátor.

20 Analóg modulációs típusok. Jel -demodulátor vagyok.

21. Analóg modulációs típusok. Kiegyensúlyozott moduláció. Kiegyensúlyozott modulált oszcilláció, időbeli és spektrális jellemzők. BMK modulátor és demodulátor.

22 Analóg modulációs típusok. Egy oldalsávos moduláció. Módszerek az am oszcilláció frekvenciájának egyik oldalsávjának kialakítására.

24 Fázismodulált és frekvenciamodulált oszcillációk spektruma.

25 Analóg impulzus típusú moduláció. Amplitúdó-impulzus moduláció: AIM-1 és AIM-2. Célozzon meg jelmodulátorokat és demodulátorokat.

26 Impulzusszélesség-moduláció: PWM-1 és PWM-2. A PWM jel spektrális ábrázolása. PWM jel modulátorok.

27 Fázis-impulzus moduláció. Phim jel modulátorok.

28 Impulzus frekvencia moduláció. Chim jelérzékelők.

29 Digitális modulációs típusok. Impulzus kódmoduláció. Mintavétel, kvantálás és kódolás.

30 Differenciál ikm. Egy prediktív átviteli rendszer tömbvázlata. Egy lineáris prediktor tömbvázlata, működési elve. Adaptív differenciálmű rcm.

31 Delta moduláció. A delta modulációs jelképzés elve. Adaptív delta moduláció.

32 Diszkrét modulációs típusok. Kétpozíciós (egyetlen) modulációs módszerek. Jelhelyzet, modulációs ráta.

33 Egy lövés abszolút fáziseltolás-kulcs. Fázis manipulátor.

34 FMN jelérzékelő.

35 Egylépéses relatív fáziseltolódás-kezelő manipulátora.

36 Jel demodulátor egyetlen offmn -el.

38 A többcsatornás átviteli rendszerek építésének elvei. A csatornaelválasztás elméleti előfeltételei. A csatornák gyakorisági felosztása.

39 A csatornák fázisszétválasztása. A dopmn jelek modulátora és demodulátora.

40 A csatornák időmegosztása. Többcsatornás átviteli rendszer tömbvázlata a csatornák időmegosztásával.

41 Optimális jel vétel. Feladatok és kritériumok az optimális vételhez.

42 A vevő tömbvázlata teljesen ismert jelekkel, működési elv.

9 Korrelációs elemzés. Korrelációs függvény, tulajdonságai. Egyetlen impulzus és egy periodikus jel korrelációs függvényének kiszámítása

A spektrális elemzés mellett a korrelációs elemzés fontos szerepet játszik a jelelméletben. Ennek jelentése a jelek közötti hasonlóság (különbség) mértékének mérése. Ehhez a korrelációs függvényt használják.

A CF a jel két példányának egymáshoz képest eltolt szorzatának integrálja. barát egy ideig.

Minél magasabb a CF érték, annál erősebb a hasonlóság. A CF a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. CF érték a

egyenlő a jel energiájával (négyzetének integrálja)

2. Egyenletes függvény

3. CF érték at

4. Az absz. jelentése A véges energiájú jel CF -je lebomlik

5. Ha a jel a feszültség és az idő függvénye, akkor a CF mérete [

]

Periodikus jelzés esetén (T periódussal) a CF kiszámítása az eltolt másolatok szorzatának átlagolásával történik egy időszakon belül:

Az ilyen CF tulajdonságai megváltoznak:

1. CF érték a

megegyezik az átlagos jelteljesítménnyel

2. A paritási tulajdonság megmarad.

3. CF érték at

a lehető legnagyobb.

4. A CF periodikus függvény (ugyanazzal az időszakkal, mint a jel)

5. Ha a jel nem tartalmaz delta függvényeket, akkor a CF folyamatos.

6. Ha a jel U (t) függőség, akkor a CF mérete [

]

A harmonikus jel CF -je olyan harmonikus függvény, amely nem függ a jel kezdeti fázisától.

10 Kereszt korrelációs függvény, tulajdonságai. A jelek keresztkorrelációs függvényének kiszámítása

A keresztkorrelációs függvény (CCF) olyan funkció, amely megmutatja a hasonlóság mértékét 2 különböző időben eltolt jel esetén.

Általános forma:

Például számítsuk ki 2 függvény CCF -jét:

Nál nél

Nál nél

Nál nél

Az eredményeket kombinálva a következőket írhatja:

A VKF tulajdonságai:

1)

2)

3)

4) Ha a funkciók S 1 (t) és S 2 (t) nem tartalmaznak delta függvényeket, akkor CCF -jük nem rendelkezhet megszakításokkal.

5) Ha a jel a funkció U(t) , akkor a CCF dimenziója

11 Véletlenszerű folyamatok. Véletlenszerű folyamat megvalósítása. A sztochasztikus folyamatok eloszlási törvényei

Néha a gyakorlatban olyan jelenségekkel kell megküzdenie, amelyek időbeli lefolyása kiszámíthatatlan, és az idő minden pillanatában egy véletlen változó írja le. Az ilyen jelenségeket véletlen folyamatoknak nevezzük. Véletlenszerű eljárással a függvény ( t) nem véletlen érv t (általában idő), amely az argumentum minden rögzített értéke esetén egy véletlen változó. Például a felvevő által rögzített hőmérséklet a nap folyamán. A folyamat által kapott értékek ζ ( t) bizonyos időpontokban hívják Államok, és az összes állapot halmaza az fázistér véletlenszerű folyamat. A véletlen folyamat lehetséges állapotainak számától függően a fázistér lehet diszkrét vagy folyamatos. Ha egy véletlen folyamat csak bizonyos időpontokban tudja megváltoztatni az állapotát, akkor egy ilyen folyamatot hívunk véletlen folyamat diszkrét idővel; és ha önkényesen, akkor - folyamatos időbeli folyamat .

A véletlen folyamat ζ ( t) nak, nek hívják helyhez kötött ha lehetséges állapotainak valószínűségi eloszlása ​​nem változik az idő múlásával. Például, ha másodpercenként dobunk egy kockát, akkor a véletlenszerű folyamat állapotainak valószínűségi eloszlása ​​(44. ábra, b) nem függ (nem változik) az időtől (ebben az esetben minden állapot ζ ( t) ugyanúgy lehetséges). Ezzel szemben a környezeti hőmérsékletet jellemző véletlenszerű folyamat nem stacionárius, hiszen a nyárra jellemző a magasabb hőmérséklet, mint a tél.

Egy stacionárius véletlen folyamat állapotainak valószínűségi eloszlását nevezzük helyhez kötött elosztás.

Különböző elosztási törvények vannak köztük Egységes, Gauss (normál)

Egyenruha: bizonyos esetekben az x mennyiség felvehet x 1 értékeket

P (x) = rendszer (0 x x 2 esetén)

Az elosztási funkciót integrálással találjuk meg

F (x) = rendszer (0 x x 2 esetén)

Gauss (normál) eloszlás... A véletlenszerű jelek elméletében a Gauss -valószínűségi sűrűség alapvető fontosságú

Az egyenlőség (13.5) szerint a nemlineáris eszköz válaszának korrelációs függvénye a következőképpen fejezhető ki ezen eszköz tranziens függvényén keresztül:

A kettős integrál over egyenlő, amint az az egyenlőséggel való összehasonlításból is látszik (4.25), a komplex változók függvényében írt mennyiségek együttes jellemző funkciójával. Ennélfogva,

A kifejezés (13.40) a fő képlet a nemlineáris eszközökre gyakorolt ​​véletlen hatások transzformációs módszerrel történő elemzésében. Ennek a fejezetnek a többi része ennek a kifejezésnek a kiszámítására szolgál a különféle típusú eszközökre és a velük kapcsolatos különféle műveletekre.

Sok probléma esetén a rendszer bemenetére gyakorolt ​​hatás a hasznos jel és zaj összege:

hol vannak statisztikailag független valószínűségi folyamatok mintafüggvényei. Ilyen esetekben a művelet együttes jellemző funkciója megegyezik a jel és a zaj jellemző funkcióinak szorzatával, és az egyenlőség (13.40)

hol van a mennyiségek együttes jellemző funkciója - a mennyiségek együttes jellemző függvénye és

Gauss -zaj a bemeneten. Ha a zaj az eszköz bemenetén egy mintafüggvény egy valós Gauss -valószínűségi folyamatban, nulla matematikai elvárással, akkor az egyenlőség szerint (8.23),

ahol a válasz Korrelációs függvénye ebben az esetben a formát öleli fel

Ha most egy olyan függvény szorzataként jeleníthetők meg, amelyek ilyen termékek függvénye vagy összegei, akkor az utolsó kifejezésben szereplő kettős integrál kiszámítható integrálok szorzataként. Az a tény, hogy az exponenciális függvény a függvények szorzataiban ábrázolható, és következik annak hatványsorban történő bővítéséből

Ezért a nemlineáris eszköz válaszának korrelációs függvénye írható, amikor a Gauss -zaj a bemenetre vonatkozik

Szinuszos jelek.

Tegyük fel most, hogy a jel az eszköz bemenetén egy modulált szinusz, vagyis az

hol van egy kisfrekvenciás valószínűségi folyamat mintafüggvénye (azaz olyan, amelyben a spektrális sűrűség csak a nullafrekvenciával szomszédos frekvenciatartományban tér el a nullától, és szűk ahhoz képest, ahol a véletlen változó egyenletesen oszlik el az intervallumban, és nem függ a moduláló jeltől és a zajtól.Az ilyen jel jellemző funkciója az

Kiterjesztve a kitevőt a Jacobi-Anger képletre [kifejezés (13.20)], megkapjuk

Amennyiben

ahol azt amplitúdó-modulált szinuszos jelre kapjuk

A nemlineáris eszköz válaszának korrelációs függvénye, amikor a szinuszos jele és a Gauss -zaj a bemenetre kerül, most megtalálható a (13.47) helyettesítésével (13.45). Meghatározzuk a függvényt

hol és a korrelációs függvény

ahol az átlagolást a moduláló jel felett végzik; akkor a válasz korrelációs függvénye egyenlő lesz

Ha mind a moduláló jel, mind a zaj stacionárius, akkor a kifejezés (13.50) formát ölt

Ha a bemeneti jel modulálatlan szinuszhullám

mert ebben az esetben az együtthatók állandóak és egyenlők egymással.

Kimeneti jel- és zajkomponensek.

Tekintsük most azt az esetet, amikor a bemeneten lévő zaj modulált szinusz alakú. Ebben az esetben a kimeneti korrelációs függvényt a (13.52) kifejezés adja. Bővítsük ezt a kifejezést a következőképpen:

vegye figyelembe annak egyedi feltételeit. Az első kifejezés az eszköz kimenetén lévő állandó komponensnek felel meg. A következő kifejezéscsoport a válasz periodikus részének felel meg, és főként a bemeneti jel önmagával való kölcsönhatásának köszönhető. A többi kifejezés a válasz véletlenszerű ingadozásának felel meg, vagyis a kimeneti zajnak. Azok

ezek a fennmaradó kifejezések, amelyekre elsősorban a bemeneti zaj önmagával való kölcsönhatása miatt kerül sor, és amelyeknél a jel és a zaj kölcsönhatása a bemeneten.

Egy nemlineáris eszköz válaszát ábrázoljuk az átlagérték, a periodikus komponensek és egy véletlen komponens összegeként:

Ekkor a válasz korrelációs függvénye írható az űrlapba

ahol az egyenlőségeket (13.53) és (13.55) összehasonlítva azt látjuk, hogy a válasz átlagos értéke és periodikus összetevőinek amplitúdója közvetlenül kifejezhető az együtthatókon keresztül

Ezenkívül a válasz véletlenszerű részének korrelációs függvénye írható

ahol értelemszerűen a (13.50)

Meg kell jegyezni, hogy szigorúan véve ezek a kifejezések a bemeneti jelet moduláló folyamat függvényei.

A kérdés eldöntése, hogy a (13.62) pontban szereplő kifejezések közül melyik határozza meg a hasznos kimeneti jelet, természetesen függ a nemlineáris eszköz céljától. Ha például az eszközt detektorként használják, akkor a kimeneti jel alacsony frekvenciájú része hasznos. Ebben az esetben a hasznos jel megfelel az egyenlőség által meghatározott korrelációs függvény egy részének

Másrészt, ha a készüléket nemlineáris erősítőként használják, akkor

mert ebben az esetben hasznos a bemeneti jel vivőfrekvenciája közelében koncentrálódó jelmondat

Irodalom: [L.1], 77-83

[L.2], 22-26

[L.3], 39-43

Sok rádiótechnikai probléma esetén gyakran szükség van egy jel és annak másolatának összehasonlítására, egy ideig eltolva.

Az ACF eltávolításakor jelet küld a szorzó egyik bemenetére, és ugyanazt a jelet küldi a másodikra, de egy ideig késik. A termékkel arányos jel , integrációs műveletnek van alávetve. Az integrátor kimenetén egy feszültség keletkezik, amely arányos az ACF értékével fix értéken. A késleltetési idő megváltoztatásával felépítheti a jel ACF -jét.

A CCF kísérleti felépítéséhez a jelet a szorzó egyik bemenetére táplálják, a jelet pedig a késleltető eszközre (a bejövő áramköröket szaggatott vonal jelzi). Ellenkező esetben a készülék hasonló módon működik. Vegye figyelembe, hogy a leírt eszköz ún korrelátorés széles körben használják a különböző rádiótechnikai rendszerekben a jelek fogadására és feldolgozására.

Eddig korrelációs elemzést végeztünk a véges energiájú nem periodikus jelekről. Ugyanakkor az ilyen elemzés szükségessége gyakran felmerül a periodikus jelek esetében, amelyek elméletileg végtelen energiával rendelkeznek, de véges átlagos teljesítményűek. Ebben az esetben az ACF -et és a CCF -et az időszak átlagolásával kell kiszámítani, és az átlagos teljesítmény (belső vagy kölcsönös) jelentésével rendelkeznek. Így egy periodikus jel ACF -je:

, (2.66)

és két periodikus jel keresztkorrelációs függvénye több periódussal:

, (2.67)

hol van a korszak legnagyobb értéke.

Keresse meg a harmonikus jel autokorrelációs funkcióját

,

ahol a szögfrekvencia, a kezdeti fázis.

Ennek a kifejezésnek a helyettesítése (2.66) -ban, és az integrál kiszámítása a jól ismert trigonometrikus reláció segítségével:

.

A megfontolt példa alapján a következő következtetéseket lehet levonni, amelyek bármely időszakos jelre érvényesek.

1. Egy periodikus jel ACF egy periódusos függvény ugyanazzal az időszakkal.

2. Egy periodikus jel ACF -je az argumentum páros függvénye.

3. Ha az érték az átlagos teljesítmény, amely 1 Ohm ellenállás mellett szabadul fel, és szabályossága van.

4. Egy periodikus jel ACF -je nem tartalmaz információt a jel kezdeti szakaszáról.

Azt is meg kell jegyezni, hogy a periodikus jel korrelációs intervalluma.

Most számítsuk ki két azonos frekvenciájú, de amplitúdójában és kezdeti fázisában eltérő harmonikus jel keresztkorrelációs függvényét

és.

A (2.67) használatával és egyszerű számítások elvégzésével kapjuk

,

ahol - a jelek kezdeti fázisai közötti különbség és.

Így a két vizsgált jel keresztkorrelációs függvénye információt tartalmaz a kezdeti fázisok közötti különbségről. Ezt a fontos tulajdonságot széles körben használják különféle rádiótechnikai eszközök, különösen egyes rádióautomatizáló rendszerek és mások szinkronizáló eszközeinek építésében.

Mivel valós és egyenletes függvények, a (2.69) és (2.70) kifejezések írhatók a következő formában:

, (2.71)

. (2.72)

A figyelembe vett korrelációs-spektrális elemzés lehetővé teszi számunkra, hogy még egy értelmezést adjunk a tényleges spektrumszélességről. Ha az energia spektrum ismert, akkor a spektrum effektív szélességét az alábbiak szerint kell meghatározni:

. (2.73)

Más szavakkal, ez egy téglalap oldala, amely megegyezik az egyoldalú spektrum görbéje alatti területtel, amelynek második oldala (2.13. Ábra). Nyilvánvaló, hogy az energia spektrum effektív szélességének szorzata a korrelációs intervallum értékével állandó érték

.

Így ebben az esetben is a bizonytalanság elvének megnyilvánulásával kell szembenéznünk: minél nagyobb a korrelációs intervallum, annál kisebb az energia spektrum szélessége, és fordítva.

Tekintse át a 2. fejezet kérdéseit

1. Mi az alapvető trigonometriai függvények rendszere?

2. Hogyan írhatja le a trigonometrikus Fourier sorozatot?

3. Adja meg egy periodikus jel amplitúdójának és fázisspektrumának meghatározását!

4. Mi a téglalap alakú impulzusok sorozatának spektruma?

5. Mi a különbség egyetlen impulzus spektruma és egy periodikus impulzus sorozat spektruma között?

6. Írja fel az előre és hátra Fourier transzformációkat.

7. Hogyan találjuk meg a téglalap alakú jel tényleges időtartamát és effektív spektrumszélességét?

8. Mekkora a delta függvény alakú jel spektruma?

9. Adja meg a determinisztikus jel autokorrelációs függvényének meghatározását!

10. Mi a két jel keresztkorrelációs függvénye?

11. Hogyan találjuk meg a keresztkorrelációs együtthatót?

12. Milyen tulajdonságokkal rendelkezik egy periodikus jel autokorrelációs függvénye?

Korreláció - a konvolúcióhoz hasonló matematikai művelet lehetővé teszi, hogy két jelből egy harmadikat kapjon. Előfordul: autokorreláció (autokorrelációs függvény), keresztkorreláció (keresztkorrelációs függvény, keresztkorrelációs függvény). Példa:

[Kereszt korrelációs függvény]

[Autokorrelációs funkció]

A korreláció egy technika a korábban ismert jelek észlelésére a zaj hátterében, más néven optimális szűrés. Bár a korreláció nagyon hasonlít a konvolúcióhoz, különböző módon számítják ki. Alkalmazási területeik is eltérőek (c (t) = a (t) * b (t) - két függvény konvolúciója, d (t) = a (t) * b (-t) - keresztkorreláció).

A korreláció ugyanaz a konvolúció, csak a jelek egyike fordul balról jobbra. Az autokorreláció (autokorrelációs funkció) jellemzi a jel és másolata közötti kapcsolat mértékét τ -val eltolva. A keresztkorrelációs függvény jellemzi a 2 különböző jel közötti kapcsolat mértékét.

Az autokorrelációs funkció tulajdonságai:

• 1) R (τ) = R (-τ). Az R (τ) függvény páros.
• 2) Ha x (t) az idő szinuszos függvénye, akkor autokorrelációs függvénye azonos frekvenciájú koszinusz. A kezdeti fázis információi elvesznek. Ha x (t) = A * sin (ωt + φ), akkor R (τ) = A 2/2 * cos (ωτ).
• 3) Az autokorrelációs függvényt és a teljesítményspektrumot a Fourier -transzformáció kapcsolja össze.
• 4) Ha х (t) bármely periodikus függvény, akkor R (τ) számára ábrázolható egy konstans komponensből és egy szinuszosan változó komponensből származó autokorrelációs függvények összegeként.
• 5) Az R (τ) függvény nem hordoz információt a jel harmonikus összetevőinek kezdeti fázisairól.
• 6) Az idő véletlen függvényében R (τ) gyorsan csökken, ha τ növekszik. Azt az időintervallumot, amely után R (τ) 0 -val egyenlővé válik, autokorrelációs intervallumnak nevezzük.
• 7) Egy adott x (t) megfelel egy jól meghatározott R (τ) értéknek, de ugyanazon R (τ) esetén különböző x (t) függvények

Eredeti jel zajjal:

Az eredeti jel automatikus korrelációs funkciója:

Kereszt-korrelációs függvény (CCF) tulajdonságai:

• 1) A CCF nem páros és nem páratlan függvény, azaz R xy (τ) nem egyenlő R xy (-τ) értékkel.
• 2) A CCF változatlan marad a függvények váltakozásának megváltoztatásakor és az argumentum előjelének megváltoztatásakor, azaz R xy (τ) = R xy (-τ).
• 3) Ha az x (t) és y (t) véletlen függvények nem tartalmaznak állandó komponenseket, és független források hozzák létre őket, akkor számukra R xy (τ) 0 -ra hajlik. Az ilyen függvényeket korrelálatlannak nevezzük.

Eredeti jel zajjal:

Ugyanazon frekvenciájú kanyarulat:

Az eredeti jel és kanyar összefüggése:

Figyelem! Minden elektronikus előadás jegyzet szerzőjük szellemi tulajdona, és csak tájékoztató jellegűek.

Jel korrelációs függvény Időbeli jellemző,

képet adva a jel időbeni változásának sebességéről, valamint a jel időtartamáról anélkül, hogy felharmonikus komponensekre bontaná.

Különbséget kell tenni az autokorrelációs és a keresztkorrelációs függvények között. Egy determinisztikus f (t) jel esetén az autokorrelációs függvényt a kifejezés határozza meg

hol van a jel időeltolódásának értéke.

jellemzi az f (t) jel kapcsolódásának (korrelációjának) mértékét azzal

egy másolat egy összeggel eltolva az időtengely mentén. Konstruáljunk autokorrelációs függvényt (ACF) egy f (t) téglalap alakú impulzushoz. A jel előre tolódik, amint az az ábrán látható. 6.25.

A grafikonon minden érték megfelel a termékének és a függvény grafikon alatti területének. Számszerű

az ilyen területek értékei a megfelelő τ -ra megadják a függvény sorrendjét

A τ növekedésével csökken (nem feltétlenül monoton) és

Vagyis a jel időtartamánál hosszabb nulla.

		Egy periodikus jel, akkor az ACF K f (t) =				f (t) × f t (+ t) dt és

T periódussal is periodikus függvény.

Tekintsük az autokorrelációs függvény fő tulajdonságait:

1. Az ACF páros függvény, vagyis a függvény a növekedéssel csökken.

2. Az ACF eléri a maximumot, mivel minden jel teljesen korrelál önmagával. Ebben az esetben az ACF maximális értéke megegyezik az energiával

jelzés, azaz	E = K f (0) = ò f 2 (t) dt. Időszakos jelzésre
átlagos jelerősség.
	és a spektrális sűrűség modulusának négyzetét
közvetlen és inverz Fourier -transzformációval.

Minél szélesebb a jelspektrum, annál kisebb a korrelációs intervallum, azaz az eltolás nagysága, amelyen belül a korrelációs függvény nem nulla. Ennek megfelelően minél nagyobb a jel korrelációs intervalluma, annál szűkebb a spektruma.

A korrelációs függvény arra is használható, hogy megbecsüljük az idő függvényében eltolt két különböző f 1 (t) és f 2 (t) jel közötti kapcsolat mértékét.

Ebben az esetben keresztkorrelációs függvénynek (CCF) nevezzük, és ezt a kifejezés határozza meg:

A keresztkorrelációs függvény nem feltétlenül egyenletes τ vonatkozásában, és nem feltétlenül csúcspontja. A CCF felépítése két háromszög alakú f 1 (t) és f 2 (t) jelre az 1. ábrán látható. 6.26. Váltáskor

f 2 (t) jel balra (t> 0, 6.26. ábra, a), a jelek korrelációs függvénye először növekszik, majd nullára csökken. Ha az f 2 (t) jelet jobbra tolja (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1 (t)

f2 (t)

0 T t

0 t -Т Т

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1 (t)

f2 (t)

0 T.

T T + t

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. A modulált jelek fogalma. Amplitúdó moduláció

Nagyfrekvenciás jeleket használnak információ továbbítására a távolságon keresztül. Az átvitt információt ilyen vagy olyan módon kell elhelyezni - nagyfrekvenciás oszcillációba kell helyezni, amelyet hordozónak neveznek. Óraválasztás

a vivőjel frequency frekvenciája sok tényezőtől függ, de mindenesetre ω

sokkal nagyobbnak kell lennie, mint a továbbított üzenet spektrumának legmagasabb frekvenciája, azaz

A hordozó jellegétől függően kétféle modulációt különböztetünk meg:

– folyamatos - harmonikus folyamatos időhordozóval;

– impulzus - amikor a hordozó periodikus impulzus -sorozat formájában van.

Az információt hordozó jel ábrázolható

Ha és állandó értékek, akkor ez egy egyszerű harmonikus rezgés, amely nem hordoz információt. Ha az üzenet átvitelére kényszerül, akkor a hullámzás modulált lesz.

Ha A (t) megváltozik, akkor ez amplitúdó moduláció, ha a szög szögletes. A szögmoduláció két típusra oszlik: frekvencia (FM) és fázis (PM).

Azóta és lassan változnak az idő funkciói. Ekkor feltételezhetjük, hogy bármilyen típusú moduláció esetén a jelparaméterek

(1) (amplitúdója, fázisa és frekvenciája) olyan lassan változik, hogy egy perióduson belül a nagyfrekvenciás rezgés harmonikusnak tekinthető. Ez a feltevés alapozza meg a jelek és spektrumaik tulajdonságait.

Amplitúdó moduláció (AM). AM esetén a vivőjel amplitúdójának burkolata a törvény szerint változik, amely egybeesik az átvitt üzenet változásának törvényével, a frekvencianem változik, és a kezdeti szakasza moduláció kezdetétől függően eltérő lehet. Az általános kifejezés (6.22) helyettesíthető

Az amplitúdó modulált jel grafikus ábrázolása látható. 6.27. Itt S (t) az átvitt folyamatos üzenet, a hordozóharmonikus nagyfrekvenciás jel amplitúdója. Az A (t) boríték az üzenetet reprodukáló törvénynek megfelelően változik

Utca).

A legnagyobb, ráadásul. - a moduláló funkció gyakorisága, - a boríték kezdeti szakasza. Az ilyen modulációt ún tonális (6,28). megismétli az eredeti jel változásának törvényét (6.28. ábra, b).

3 A jelek korrelációs elemzése

A jelek spektrális elemzésének célja annak tanulmányozása, hogy egy jelet hogyan lehet egyszerű harmonikus rezgések összegeként (vagy integráljaként) ábrázolni, és hogyan határozza meg a hullámforma ezen rezgések amplitúdóinak és fázisainak frekvenciaeloszlásának szerkezetét. Ezzel szemben a jelek korrelációs elemzésének feladata, hogy meghatározza a jelek közötti hasonlóság és különbség mértékét vagy egy jel időeltolódott másolatát. Az intézkedés bevezetése megnyitja az utat a jelek hasonlósági fokának mennyiségi méréséhez. Megmutatjuk, hogy a jelek spektrális és korrelációs jellemzői között van egy bizonyos kapcsolat.

3.1 Autokorrelációs funkció (ACF)

A véges energiájú jel autokorrelációs függvénye a jel két példányának szorzatának integráljának értéke, amelyet a τ idő egymáshoz képest eltolt, ezen időeltolódás függvényében tekintve:

Ha a jel véges időintervallumon keresztül van definiálva, akkor annak ACF -je a következő:

,

hol van az eltolt jelmásolatok átfedési intervalluma.

Úgy tartják, hogy minél nagyobb az adott értéknél az autokorrelációs függvény értéke, annál jobban hasonlít egymásra a jel két másolata, az időintervallum eltolásával. Ezért a korrelációs függvény a jel eltolt másolatainak hasonlósága.

Az ilyen módon bevezetett hasonlósági mérték a nulla érték körüli véletlenszerű rezgések formájában lévő jelekre a következő jellemző tulajdonságokkal rendelkezik.

Ha a jel eltolt másolatai nagyjából időben ingadoznak egymás között, akkor ez a hasonlóságuk jele, és az ACF nagy pozitív értékeket vesz fel (nagy pozitív korreláció). Ha a másolatok szinte antifázisban oszcillálnak, az ACF nagy negatív értékeket vesz fel (a jelmásolatok anti-hasonlósága, nagy negatív korreláció).

A maximális ACF akkor érhető el, ha a másolatok egybeesnek, vagyis ha nincs eltolás. A nulla ACF értékeket olyan műszakokban érik el, amelyeknél sem a jelmásolatok hasonlósága, sem antisimilaritása nem észlelhető (nulla korreláció,

nincs összefüggés).

A 3.1. Ábra egy bizonyos jel megvalósításának töredékét mutatja 0 és 1 s közötti időintervallumban. A jel véletlenszerűen nulla körül ingadozik. Mivel a jel létezési intervalluma véges, energiája is véges. Az ACF az alábbi egyenlet alapján számítható ki:

.

A jel automatikus korrelációs függvénye, amelyet a MathCad programban számított ki ennek az egyenletnek megfelelően, az ábrán látható. 3.2. A korrelációs függvény nemcsak azt mutatja, hogy a jel hasonló önmagához (eltolás τ = 0), hanem azt is, hogy a jel másolatainak, amelyek egymáshoz képest körülbelül 0,063 másodperccel eltolódnak (az autokorrelációs függvény oldalmaximumja), hasonlóság. Ezzel szemben a jel másolatainak 0,032 másodperccel eltolva anti-hasonlónak kell lenniük egymáshoz, vagyis bizonyos értelemben ellentéteseknek kell lenniük egymással.

A 33. ábra e két példány párjait mutatja. Az ábrán látható, hogy mit jelent a jelmásolatok hasonlósága és anti-hasonlósága.

A korrelációs függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. τ = 0 esetén az autokorrelációs függvény a jel energiájával megegyező legnagyobb értéket veszi fel

2. Az autokorrelációs funkció páros időeltolásos függvény .

3. A τ növekedésével az autokorrelációs függvény nullára csökken

4. Ha a jel nem tartalmaz δ - függvény típusú szakadásokat, akkor ez egy folytonos függvény.

5. Ha a jel elektromos feszültség, akkor a korrelációs függvénynek méretei vannak.

Az autokorrelációs függvény definíciójában szereplő időszakos jelek esetében ugyanazt az integrált osztjuk meg a jelismétlési periódussal:

.

A bevezetett korrelációs függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

A korrelációs függvény nulla értéke megegyezik a jel teljesítményével,

A korrelációs függvény mérete például megegyezik a jel méretének négyzetével.

Például számítsuk ki a harmonikus rezgés korrelációs függvényét:

A trigonometrikus transzformációk sorozatával végül megkapjuk:

Így a harmonikus rezgés autokorrelációs függvénye olyan koszinusz, amelynek változási ideje ugyanolyan, mint maga a jel. Az oszcillációs periódus többszöröseinek eltolódásával a felharmonikus önmagává alakul, és az ACF a legnagyobb értékeket veszi fel, az amplitúdó négyzetének felével. Az időeltolódások, az oszcillációs periódus felének többszörösei, egyenértékűek egy szög szerinti fáziseltolódással, míg az oszcillációk előjele megváltozik, és az ACF minimális értéket vesz fel, amely negatív és egyenlő az amplitúdó négyzetével. A negyednegyed többszöröseinek eltolódásai például egy szinuszos oszcillációt koszinussá alakítanak, és fordítva. Ebben az esetben az ACF eltűnik. Az ilyen jelek, amelyek egymáshoz képest kvadratúrában vannak, az autokorrelációs függvény szempontjából teljesen különbözőnek bizonyulnak.

Fontos, hogy a jelkorrelációs függvény kifejezése nem tartalmazza a kezdeti fázisát. A fázis információ elveszett. Ez azt jelenti, hogy magát a jelet nem lehet rekonstruálni a jelkorrelációs funkcióból. A feltérképezés, szemben a leképezéssel, nem egy az egyben.

Ha a jelgeneráló mechanizmus által megértünk egy bizonyos demiurget, amely jelzést hoz létre az általa kiválasztott korrelációs függvénynek megfelelően, akkor létrehozhat egy egész jelhalmazt (jelek együttesét), amelyek valójában azonos korrelációs funkcióval rendelkeznek, de különböznek egymástól más a fáziskapcsolatokban.

A megnyilvánulási aktus szabad akaratának jelzésével, függetlenül az alkotó akaratától (valamilyen véletlenszerű folyamat külön megvalósításainak megjelenése),

A jel elleni idegen erőszak eredménye (bevezetése a jelbe a mérési információk bármely fizikai mennyiség mérése során).

Hasonló a helyzet minden időszakos jelzéssel. Ha a T fő periódusú periodikus jel amplitúdó spektrumával és fázisspektrumával rendelkezik, akkor a jel korrelációs függvény a következő formát öleli fel:

.

Már ezekben a példákban nyilvánvaló egy bizonyos kapcsolat a korrelációs függvény és a jel spektrális tulajdonságai között. Ezeket az arányokat a későbbiekben részletesebben tárgyaljuk.

3.2 Keresztkorrelációs függvény (CCF).

Az autokorrelációs függvénnyel ellentétben a keresztkorrelációs függvény határozza meg két különböző x (t) és y (t) jel másolatának hasonlósági fokát, az idő függvényében eltolva egymáshoz képest:

A keresztkorrelációs függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. τ = 0 esetén a keresztkorrelációs függvény a következővel egyenlő értéket vesz fel kölcsönös energia jeleket, vagyis kölcsönhatásuk energiáját

.

2. Bármely τ esetén a következő összefüggés érvényes:

,

hol vannak a jel energiák.

3. Az időeltolás jelének megváltoztatása egyenértékű a jelek kölcsönös permutációjával:

.

4. A τ növekedésével a keresztkorrelációs függvény, bár nem monoton, de nullára csökken

5. A keresztkorrelációs függvény nulla értéke nem tűnik ki a többi érték közül.

Az időszakos jelek esetében a keresztkorrelációs függvény fogalmát általában nem használják.

Az autokorrelációs és keresztkorrelációs függvények értékeinek mérésére szolgáló eszközöket korrelátoroknak vagy korrelátoroknak nevezzük. A korrelométereket például a következő információs és mérési feladatok megoldására használják:

Az elektroencefalogramok statisztikai elemzése és a biopotenciálok regisztrálásának egyéb eredményei,

A jelforrás térbeli koordinátáinak meghatározása az időeltolódás nagysága alapján, amelynél a maximális CCF értéket elérik,

A gyenge jel elkülönítése erős, statikus, független interferencia hátterében,

Az információszivárgási csatornák észlelése és lokalizálása a helyiségben és kívül lévő rádiójelek közötti korreláció meghatározásával,

Automatizált közel-mező észlelés, felismerés és keresés a működő rádió-sugárzó lehallgató eszközökhöz, beleértve a lehallgató eszközként használt mobiltelefonokat,

A csővezetékek szivárgásának lokalizálása a szivárgás okozta két akusztikus zajjel CCF meghatározása alapján két mérési ponton, ahol az érzékelők a csövön vannak elhelyezve.

3.3 A korreláció és a spektrális függvények összefüggései.

Mind a korrelációs, mind a spektrális függvények leírják a jelek belső szerkezetét, belső szerkezetét. Ezért várható, hogy a jelek e két leírási módja között van némi kölcsönös függőség. Már látta egy ilyen kapcsolat jelenlétét a periodikus jelek példáján.

A keresztkorrelációs függvény, mint bármely más időfüggvény, alávethető a Fourier-transzformációnak:

Változtassuk az integráció sorrendjét:

A szögletes zárójelben lévő kifejezést az y (t) jel Fourier -transzformációjának tekinthetjük, de nincs mínuszjel a kitevőben. Ez arra utal, hogy a belső integrál olyan kifejezést ad nekünk, amely komplex konjugált a spektrális funkcióhoz.

De a kifejezés nem függ az időtől, így a külső integrál jelén kívül is kivehető. Ekkor a külső integrál egyszerűen megadja nekünk az x (t) jel spektrális függvényének meghatározását. Végül megvan:

Ez azt jelenti, hogy a két jel keresztkorrelációs függvényére vonatkozó Fourier-transzformáció egyenlő a spektrális funkcióik szorzatával, amelyek közül az egyik komplex konjugációnak van kitéve. Ezt a terméket a jelek kereszt-spektrumának nevezik:

A kapott kifejezésből fontos következtetés következik: ha az x (t) és y (t) jelek spektruma nem fed át egymást, vagyis különböző frekvenciatartományokban helyezkednek el, akkor az ilyen jelek korrelálatlanok, függetlenek egymástól .

Ha beírjuk a fenti képleteket: x (t) = y (t), akkor kifejezést kapunk az autokorrelációs függvény Fourier -transzformációjára

Ez azt jelenti, hogy a jel autokorrelációs függvénye és a spektrális függvény moduljának négyzete a Fourier -transzformáción keresztül kapcsolódik egymáshoz.

A függvény az ún energia spektrum jel. Az energiaspektrum megmutatja, hogy a jel teljes energiája hogyan oszlik meg az egyes harmonikus komponensek frekvenciáin.

3.4 A frekvenciatartományból érkező jelek energiajellemzői

Két jel keresztkorrelációs függvényét a Fourier-transzformáció a jelek kereszt-spektrumával társítja, ezért a kereszt-spektrum fordított Fourier-transzformációjaként fejezhető ki:

.

Most helyettesítsük az időeltolódás értékét ebbe az egyenlőségi láncba. Ennek eredményeként olyan arányt kapunk, amely meghatározza a jelentést Rayleigh egyenlőség:

,

vagyis két jel szorzatának integrálja egyenlő e jelek spektrumának szorzatának integráljával, amelyek közül az egyik komplex konjugációnak van kitéve.

.

Ezt az arányt ún Parseval egyenlősége.

Az időszakos jelek végtelen energiával rendelkeznek, de véges erővel. Ha figyelembe vesszük őket, már találkoztunk azzal a lehetőséggel, hogy egy periodikus jel teljesítményét kiszámítjuk komplex spektrumának együtthatóinak négyzeteinek összege alapján:

.

Ennek a viszonynak teljes analógiája van Parseval egyenlőségével.

Jelek és lineáris rendszerek. A jelek korrelációja

6. téma: A jelek korrelációja

A legnagyobb félelem és a bátorság legnagyobb hevessége egyaránt felborítja a gyomrot és hasmenést okoz.

Michel Montaigne. Francia jogi gondolkodó, 16. század

Ez a szám! A két függvény 100% -ban korrelál a harmadikkal, és egymásra merőleges. Nos, a Mindenható tréfálkozott a Világ létrehozásával.

Anatolij Pysmincev. Az uráli iskola novoszibirszki geofizikusa, XX

1. A jelek autokorrelációs funkciói. Az autokorrelációs függvények (ACF) fogalma. Időben korlátozott ACF jelek. ACF periodikus jelek. Autokovariáns függvények (ACF). ACF diszkrét jelek. Zajos jelek ACF -je. A kódjelek ACF -je.

2. A jelek keresztkorrelációs függvényei (CCF). Keresztkorrelációs függvény (CCF). A zajos jelek keresztkorrelációja. CCF diszkrét jelek. Periodikus jelek értékelése zajban. Kereszt korrelációs együttható függvény.

3. A korrelációs függvények spektrális sűrűsége. ACF spektrális sűrűség. Jel korrelációs intervallum. A CCF spektrális sűrűsége. Korrelációs függvények kiszámítása FFT segítségével.

Bevezetés

A korreláció (korreláció) és a középpontba helyezett jelek speciális esete - a kovariancia - a szignalizáció egyik módja. Íme az egyik lehetőség a módszer használatára. Tegyük fel, hogy létezik egy s (t) jel, amelyben előfordulhat (vagy nem) valamilyen véges T hosszúságú x (t) sorozat, amelynek időbeli helyzete érdekel minket. Ennek a szekvenciának a kereséséhez az S (t) jel mentén csúszó T hosszúságú időablakban kiszámítjuk az s (t) és x (t) jelek skaláris szorzatait. Így a keresett x (t) jelet "alkalmazzuk" az s (t) jelre, annak argumentuma mentén csúsztatva, és a pont szorzat értéke alapján megbecsüljük a jelek hasonlósági fokát az összehasonlítási pontokon.

A korrelációs elemzés lehetővé teszi a jelekben (vagy a digitális jeladatok sorozatában) annak megállapítását, hogy van -e bizonyos összefüggés a jelek értékeinek független változó általi változása között, vagyis amikor az egyik nagy értéke a jel (a jel átlagértékeihez viszonyítva) egy másik jel nagy értékeihez kapcsolódik (pozitív korreláció), vagy fordítva, az egyik jel kis értékei a másik nagy értékeihez kapcsolódnak ( negatív korreláció), vagy a két jel adatai semmilyen módon nem kapcsolódnak egymáshoz (nulla korreláció).

A jelek funkcionális terében ez a kapcsolási fok kifejezhető a korrelációs együttható normalizált egységeiben, azaz a jelvektorok közötti szög koszinuszában, és ennek megfelelően 1 (a jelek teljes egybeesése) és -1 (teljesen ellentétes) értékeket vesz fel, és nem függ a mértékegységek értékétől (skálájától) .

Az autokorrelációs változatban az s (t) jel skaláris szorzatát az argumentum mentén csúszó saját másolattal határozzák meg. Az autokorreláció lehetővé teszi az aktuális jelminták átlagos statisztikai függőségének megbecsülését a korábbi és a későbbi értékeitől (a jelértékek ún. Korrelációs sugara), valamint feltárja a jelben időszakosan ismétlődő elemeket.

A korrelációs módszerek különösen fontosak a véletlenszerű folyamatok elemzésében, hogy azonosítsák a nem véletlenszerű összetevőket és értékeljék e folyamatok nem véletlenszerű paramétereit.

Vegye figyelembe, hogy némi zűrzavar van a „korreláció” és a „kovariancia” tekintetében. A matematikai irodalomban a "kovariancia" kifejezést a centrált függvényekre, a "korrelációt" az önkényes funkciókra alkalmazzák. A szakirodalomban, és különösen a jelekre és azok feldolgozási módszereire vonatkozó szakirodalomban gyakran éppen az ellenkező terminológiát használják. Ez nem alapvető fontosságú, de az irodalmi források megismerésekor figyelni kell e kifejezések elfogadott céljára.