CONFÉRENCE N°16

APPROXIMATION DE VOS ÉLÉMENTS NON LINÉAIRES. MÉTHODES DE CALCUL DE CIRCUITS ÉLECTRIQUES NON LINÉAIRES

Questions d'étude

1. Approximation des caractéristiques I - V des éléments non linéaires. Approximation polynomiale.

2. Approximation linéaire par morceaux.

3. La classification des méthodes d'analyse n'est pas circuits linéaires.

4. Méthodes analytiques et numériques pour l'analyse des circuits à courant continu non linéaires.

7. Courant dans une résistance non linéaire lorsqu'elle est exposée à une tension sinusoïdale.

8. Transformations de base effectuées à l'aide de non-linéaires circuits électriques courant alternatif.

1. Approximation des caractéristiques courant-tension des éléments non linéaires

Les caractéristiques courant-tension des éléments réels des circuits électriques ont généralement une forme complexe et sont présentées sous forme de graphiques ou de tableaux de données expérimentales. Dans un certain nombre de cas, l'application directe des caractéristiques I - V données sous cette forme s'avère peu pratique et elles ont tendance à être décrites à l'aide de relations analytiques assez simples qui reflètent qualitativement la nature des caractéristiques I - V considérées.

Le remplacement des fonctions complexes par des expressions analytiques approchées s'appelleapproximation .

Les expressions analytiques se rapprochant des caractéristiques I - V des éléments résistifs non linéaires doivent décrire l'évolution des caractéristiques réelles aussi précisément que possible.

Par conséquent, le problème d'approximation de la caractéristique I - V comprend deux problèmes indépendants :

1) le choix de la fonction d'approximation ;

2) détermination des valeurs des coefficients constants inclus dans cette fonction, deux types d'approximation de la caractéristique I - V des éléments non linéaires sont le plus souvent utilisés:

Polynôme;

Linéaire par morceaux.

1.1. Approximation polynomiale

L'approximation par un polynôme de puissance est effectuée sur la base de la formule de la série de Taylor pour la caractéristique I - V de NE :

ceux. La caractéristique I - V dans ce cas doit être continue, sans ambiguïté et absolument lisse (doit avoir des dérivées de n'importe quel ordre).

Dans les calculs pratiques, les caractéristiques I – V ne sont généralement pas différenciées, mais nécessitent, par exemple, que la courbe d'approximation (16.5) passe par les courants donnés.

Dans la méthode dite des trois points, il faut que quelques trois points caractéristiques I-V :

(je 1 , vous 1), (je 2 , vous 2), (je 3 , vous 3) - correspond à la valeur faciale (16.5) (Figure 16.9).

À partir d'équations

il est facile de trouver les coefficients requis une 0 , une 1 , une 2, puisque le système (16.6) est linéaire par rapport à eux.

Si la caractéristique I - V est fortement indentée et qu'elle doit refléter ses caractéristiques, il est nécessaire de prendre en compte un plus grand nombre de points caractéristiques I - V. Un système du type (16.6) se complique, mais sa solution peut être trouvée par la formule de Lagrange, qui détermine l'équation du polynôme passant par m points:

(16.7)

Où UNE k ( vous) = (vous – vous 1) ... (vous – vous k-1) ( vous – vous k + 1) ... ( vous – vous n).

Exemple... Laissez l'élément non linéaire avoir un VAC défini graphiquement (Fig. 16.10).

Il est nécessaire d'approcher la caractéristique I - V de IE par un polynôme de puissance.

Quatre points avec des coordonnées sont mis en évidence sur la caractéristique I - V :

En se basant sur la formule de Lagrange (16.7), on obtient

Ainsi, la fonction d'approximation a la forme

et ne = -6,7 je 3 + 30je 2 – 13,3je.

2. Approximation linéaire par morceaux

Lorsque linéaire par morceaux l'approximation de la caractéristique I - V de la NE est approximée par un ensemble de sections linéaires(pièces) à proximité des points de fonctionnement possibles.

Exemple... Pour deux sections de la caractéristique non linéaire I - V (Fig. 16.11) on obtient :

Exemple... Soit nécessaire de linéariser la section caractéristique I - V entre les courants MAIS et DANS qui est utilisé comme zone de travail près du point de travail R(fig. 16.12).

Ensuite, l'équation de la section linéarisée de la caractéristique I - V près du point de fonctionnement est R sera

Évidemment, l'approximation analytique de la caractéristique I – V n'est correcte que pour la section de linéarisation sélectionnée.

Académie de Russie

Département de physique

Résumé sur le sujet :

"APPROXIMATION DES CARACTERISTIQUES DES ELEMENTS NON LINEAIRES ET ANALYSE DES CIRCUITS SOUS IMPACT HARMONIQUE"

Questions d'étude

1. Approximation des caractéristiques des éléments non linéaires

2. Méthodes d'analyse grapho-analytiques et analytiques

3. Analyse des circuits par la méthode de l'angle de coupure

4. L'impact de deux vibrations harmoniques sur sans inertie

élément non linéaire

Littérature

introduction

Pour tous les circuits linéaires considérés précédemment, le principe de superposition est valable, d'où découle une conséquence simple et importante : un signal harmonique, passant par un système linéaire stationnaire, reste inchangé dans sa forme, n'acquérant qu'une autre amplitude et phase initiale. C'est pourquoi un circuit stationnaire linéaire n'est pas en mesure d'enrichir la composition spectrale de l'oscillation d'entrée.

Une caractéristique des NE, par rapport aux linéaires, est la dépendance des paramètres NE de l'amplitude de la tension appliquée ou de la force du courant circulant. Par conséquent, dans la pratique, lors de l'analyse de circuits non linéaires complexes, diverses méthodes approximatives sont utilisées (par exemple, elles remplacent un circuit non linéaire par un circuit linéaire dans la région de petits changements dans le signal d'entrée et utilisent des méthodes d'analyse linéaires) ou sont limitées à conclusions qualitatives.

Une propriété importante des circuits électriques non linéaires est la capacité d'enrichir le spectre du signal de sortie. Cette caractéristique importante est utilisée dans la construction de modulateurs, de convertisseurs de fréquence, de détecteurs, etc.

La solution de nombreux problèmes associés à l'analyse et à la synthèse de dispositifs et circuits d'ingénierie radio nécessite la connaissance des processus se produisant avec l'action simultanée de deux signaux harmoniques sur un élément non linéaire. Cela est dû à la nécessité de multiplier deux signaux lors de la mise en œuvre de dispositifs tels que des convertisseurs de fréquence, des modulateurs, des démodulateurs, etc. Naturellement, la composition spectrale du courant de sortie NE sous action biharmonique sera beaucoup plus riche que sous action monoharmonique.

Une situation se présente souvent lorsque l'un des deux signaux affectant le NE est de faible amplitude. L'analyse dans ce cas est grandement simplifiée. On peut supposer que, par rapport à un petit signal, le NE est linéaire, mais avec un paramètre variable (dans ce cas, la pente de la caractéristique I – V). Ce mode de fonctionnement du NE est appelé paramétrique.

1. Approximation des caractéristiques des éléments non linéaires

Lors de l'analyse des circuits non linéaires (NC), ils ne prennent généralement pas en compte les processus se produisant à l'intérieur des éléments qui composent ce circuit, mais ne sont limités que par leurs caractéristiques externes. Il s'agit généralement de la dépendance du courant de sortie à la tension d'entrée appliquée.

, (1)

qui est communément appelée la caractéristique courant-tension (VAC).

Le plus simple est d'utiliser la forme tabulaire existante de la caractéristique I - V pour les calculs numériques. Si l'analyse du circuit doit être effectuée par des méthodes analytiques, alors le problème se pose de sélectionner une telle expression mathématique qui refléterait toutes les caractéristiques les plus importantes des caractéristiques prises expérimentalement.

Ce n'est rien de plus qu'un problème d'approximation. Dans ce cas, le choix de l'expression d'approximation est déterminé à la fois par la nature de la non-linéarité et par les méthodes de calcul utilisées.

Les vraies caractéristiques ont assez vue complexe... Cela rend difficile pour eux de déterminer avec précision description mathématique... En outre, forme tabulaire la présentation de la caractéristique I - V rend les caractéristiques discrètes. Dans les intervalles entre ces points, les caractéristiques I – V sont inconnues. Avant de procéder à l'approximation, il est nécessaire de déterminer en quelque sorte les valeurs inconnues de la caractéristique I - V, pour la rendre continue. Ici se pose le problème d'interpolation (à partir de lat. Inter- entre, polio- lissage) - c'est la recherche de valeurs intermédiaires d'une fonction par certaines de ses valeurs connues. Par exemple, trouver des valeurs

aux points situés entre les points par des valeurs connues. Si, alors une procédure similaire pose des problèmes d'extrapolation.

Habituellement, seule la partie de la caractéristique qui est la zone de travail est approchée, c'est-à-dire dans la plage de variation de l'amplitude du signal d'entrée.

Lors de l'approximation des caractéristiques courant-tension, il est nécessaire de résoudre deux problèmes : choisir une certaine fonction d'approximation et déterminer les coefficients correspondants. La fonction doit être simple et, en même temps, transmettre suffisamment précisément la caractéristique approximative. La détermination des coefficients des fonctions d'approximation est réalisée par les méthodes d'interpolation, de moyenne quadratique ou d'approximation uniforme, qui sont envisagées en mathématiques.

Mathématiquement, l'énoncé du problème d'interpolation peut être formulé comme suit.

Trouver un polynôme

plus de diplôme m tel que je = 0, 1, …, m si les valeurs de la fonction d'origine aux points fixes sont connues, je = 0, 1, …, m... Il est prouvé qu'il n'y a toujours qu'un seul polynôme d'interpolation, qui peut être représenté sous diverses formes, par exemple sous la forme de Lagrange ou de Newton. (Considérez-vous sur l'auto-apprentissage selon la littérature recommandée).

Approximation polynomiale de puissance et linéaire par morceaux

Elle est basée sur l'utilisation des séries de Taylor et Maclaurin bien connues du cours de mathématiques supérieures et consiste en l'expansion de la caractéristique non linéaire I – V

en une série de dimension infinie convergeant dans un certain voisinage du point de travail. Puisqu'une telle série n'est pas physiquement réalisable, il est nécessaire de limiter le nombre de membres de la série en fonction de la précision requise. L'approximation de la loi de puissance est appliquée avec un changement relativement faible de l'amplitude de l'impact par rapport à.

Considérons la forme typique de la caractéristique I – V de tout NE (Fig. 1).

Tension

détermine la position du point de fonctionnement et, par conséquent, le mode de fonctionnement statique du NE.

Figure. 1. Un exemple de caractéristique I - V typique d'un NE

Habituellement, toute la caractéristique du NE n'est pas approximative, mais seulement la zone de travail, dont la taille est déterminée par l'amplitude du signal d'entrée, et la position sur la caractéristique est déterminée par l'amplitude du déplacement constant

... Le polynôme approximatif s'écrit sous la forme (2)

où les coefficients

sont définis par des expressions.

L'approximation par un polynôme de puissance consiste à trouver les coefficients de la série

... Pour une forme donnée de la caractéristique I - V, ces coefficients dépendent de manière significative du choix du point de fonctionnement, ainsi que de la largeur de la section utilisée de la caractéristique. À cet égard, il est conseillé de considérer certains des cas les plus typiques et les plus importants pour la pratique.

1. Le point de fonctionnement est situé au milieu de la section linéaire (Fig. 2).

Figure. 2. Point de fonctionnement de la caractéristique I - V - au milieu de la section linéaire

La zone sur la caractéristique, où la loi de changement de courant est proche de linéaire, est relativement étroite, donc l'amplitude de la tension d'entrée

ne doit pas dépasser cette zone. Dans ce cas, vous pouvez écrire :, (3) - courant de repos ; ; - pente différentielle de la caractéristique.

Ce cas n'est applicable que lorsque le signal est faible.

D'habitude, I - V caractéristiques des éléments non linéaires i = F (u) obtenir expérimentalement, donc le plus souvent ils sont donnés sous forme de tableaux ou de graphiques ... À traiter les expressions analytiques , il est nécessaire recourir à l'approximation.

Notons le donné dans le tableau ou graphiquement CVC élément non linéaire i = F V (u), mais fonction analytique, se rapprochantétant donné caractéristique, i = F (u, un 0, un 1, un 2, ..., un N ). Où un 0, un 1, ..., un N – chances cette fonction, trouver à la suite du rapprochement.

A) Dans la méthode Chebyshev chances une 0 , une 1 , … , une fonction N F (u) sont de l'état :

c'est-à-dire qu'ils sont déterminés dans le processus de minimisation de l'écart maximal de la fonction analytique par rapport à celle donnée. Ici uk, k = 1, 2, ..., G - valeurs de tension sélectionnées vous.

Dans l'approximation rms chances une 0 , une 1 , …, une N devrait être comme ça pour minimiser la grandeur :

, (2.6)

B) Approximation de Taylor de la fonction basé sur la représentation une fonction i = F (u) par la série de Taylor au voisinage du point u = U 0 :

et déterminer les coefficients de cela décomposition. Si un se limiter aux deux premiers termes du développement dans une série de Taylor, alors nous parlerons de remplacer une dépendance non linéaire complexe F (u) plus simple relation linéaire ... Tel le remplacement est appelé linéarisation des caractéristiques.

D'abord terme d'expansion F (U 0) = I 0 représente D.C. au point de fonctionnement à u = U 0, mais deuxième heure lin

pente différentielle de la caractéristique courant-tension au point de fonctionnement , je mange u = U 0 .

DANS) Les plus approche commune une fonction donnée est l'interpolation(méthode des points sélectionnés), avec lequel chances une 0 , une 1 , …, une N fonction d'approximation F (u) se trouvent à partir de l'égalité de cette fonction et la donnée F x (u) aux points sélectionnés (nœuds d'interpolation) u k = 1, 2, ..., N + 1.

E) Puissance (polynôme ) approximation. Ce nom a été donné approximation de la caractéristique I - V par des polynômes de puissance :

parfois il est commode de résoudre le problème d'approximation caractéristiques données au voisinage du point U 0 appelé travail... Puis utiliser le polynôme de puissance

Approximation de la loi de puissance large utilisé dans l'analyse travail de non-linéaire appareils auxquels relativement petites influences extérieures , donc une reproduction suffisamment précise de la non-linéarité de la caractéristique est requise à proximité du point de fonctionnement.

E) Approximation linéaire par morceaux. Dans les cas où l'élément non linéaire est affecté par des contraintes de grandes amplitudes, Suite remplacement approximatif de la caractéristique d'un élément non linéaire et utiliser Suite fonctions d'approximation simples ... Les plus souvent lors de l'analyse du fonctionnement d'un élément non linéaire dans ce mode réel la caractéristique est remplacée segments de droites avec des pentes différentes .

D'un point de vue mathématique, cela signifie que les polynômes de puissance du premier degré ( N = 1 ) avec différentes valeurs des coefficients une 0 , une 1 , … , une N.

De cette façon, le problème d'approximation de la caractéristique I - V des éléments non linéaires consiste à choisir la forme de la fonction d'approximation et à déterminer ses coefficients par l'une des méthodes ci-dessus.

En règle générale, les caractéristiques I – V des éléments non linéaires sont obtenues expérimentalement; moins souvent, il est possible de les trouver à partir de l'analyse théorique. Pour l'étude, il est nécessaire de sélectionner une fonction d'approximation telle qu'étant assez simple, elle reflète toutes les caractéristiques possibles des caractéristiques expérimentales mesurées avec un degré de précision suffisant. Le plus souvent, les méthodes suivantes d'approximation des caractéristiques courant-tension des dispositifs à deux bornes sont utilisées: approximation linéaire par morceaux, loi de puissance, approximation exponentielle.

Approximation linéaire par morceaux

Une telle approximation est généralement utilisée lors du calcul des processus dans les équations non linéaires dans le cas de grandes amplitudes d'influences externes. Cette méthode basée sur l'approximation des caractéristiques d'éléments non linéaires, c'est-à-dire sur le remplacement approximatif de la caractéristique réelle par des segments de droite avec des pentes différentes. La figure montre la caractéristique d'entrée d'un transistor réel, approximée par deux segments de ligne droite.

L'approximation est déterminée par deux paramètres - la tension du début de la caractéristique Uн et la pente S. La forme mathématique de la caractéristique I - V approchée est la suivante :

La tension de début des caractéristiques d'entrée des transistors bipolaires est de l'ordre de 0,2-0,8 V : la pente de la caractéristique de courant de base ib (Ube) est d'environ 10 mA/V. La pente de la caractéristique ik (Ube) du courant collecteur en fonction de la tension base-émetteur, puis la valeur de 10mA / V doit être multipliée par h21e - le facteur d'amplification du courant de base. Puisque h21e = 100-200, la pente indiquée est de l'ordre de quelques ampères par volt.

Approximation de la loi de puissance

L'approximation de la loi de puissance est largement utilisée dans l'analyse du fonctionnement de dispositifs non linéaires auxquels des influences externes relativement faibles sont appliquées. Cette méthode est basée sur l'expansion de la caractéristique courant-tension non linéaire i (u) dans une série de Taylor convergeant au voisinage du point de fonctionnement U0.

le nombre de termes dans le développement dépend de la précision spécifiée. Considérer Exemple:

Caractéristique d'entrée du transistor. Point de fonctionnement U0 = 0,7V. Nous sélectionnons 0,5 points comme nœuds d'approximation ; 0,7 et 0,9 V.

Il faut résoudre le système d'équations :

Composition spectrale du courant dans un élément non linéaire avec action harmonique externe

Considérons un circuit constitué d'une connexion en série d'une source de signal harmonique Uс (t) = coswt, d'une source de tension de polarisation continue U0 et d'un élément non linéaire non inertiel. Pour ce faire, considérez la figure.

Le courant dans le circuit est sinusoïdal.

La forme du courant et de la tension est différente.

La raison de la distorsion de la courbe de courant est simple : des incréments de courant inégaux correspondent aux mêmes incréments de tension, puisque , et la pente différentielle de la caractéristique I - V dans différentes sections est différente.

Considérons le problème analytiquement.

Connaître la fonction non linéaire i (u) = i (Uc, U0). La tension de signal Uc (t) = Umcos (wt + j) agit sur l'élément non linéaire.

Quantité sans dimension x = wt + j, alors I (x) = I (Umcosx, U0) est une fonction périodique par rapport à l'argument x avec une période de 2T. Imaginons-le à côté de Fourier avec des coefficients .

La fonction i (x) est paire, donc la série de Fourier ne contiendra que des composantes cosinus : .

Coefficients d'harmonie d'amplitude

Les deux dernières formules donnent décision commune problèmes du spectre de courant dans un élément non linéaire sous action extérieure harmonique :

ceux. le courant, en plus de la composante constante I0, contient une séquence infinie d'harmonie avec les amplitudes In. Les amplitudes d'harmonie dépendent des paramètres Um et U0, ainsi que de la forme de la fonction d'approximation.

Voyons comment cela dépend du type de la fonction d'approximation.

Linéaire par morceaux

i (U) =

Tension u (t) = U0 + Umcoswt appliqué.

Le graphique actuel a la forme d'impulsions de cosinus de coupure. L'angle de coupure des impulsions de courant est déterminé à partir de l'égalité :

U0 + Umcosq = Un Þ .

Approximation de la loi de puissance.

Soit au voisinage du point de fonctionnement U0 la caractéristique I - V de l'élément non linéaire

Bon nombre des processus les plus importants (amplification non linéaire, modulation, détection, génération, multiplication, division et conversion de fréquence) sont effectués dans appareils électroniques utilisant des circuits non linéaires et paramétriques.

Dans le cas général, l'analyse du processus de conversion du signal dans les circuits non linéaires est une tâche très difficile, qui est associée au problème de la résolution des équations différentielles non linéaires. Dans ce cas, le principe de superposition est inapplicable, car les paramètres d'un circuit non linéaire lorsqu'il est exposé à une source d'un signal d'entrée diffèrent de ses paramètres lorsque plusieurs sources sont connectées. Cependant, l'étude des circuits non linéaires peut être réalisée comparativement méthodes simples si l'élément non linéaire satisfait aux conditions d'inertie. Physiquement, l'absence d'inertie d'un élément non linéaire (NE) signifie l'établissement instantané d'une réponse à sa sortie suite à un changement dans l'action d'entrée. A strictement parler, les éléments non linéaires sans inertie n'existent pratiquement pas. Tous les éléments non linéaires - diodes, transistors, microcircuits analogiques et numériques ont des propriétés inertielles. En même temps, les dispositifs semi-conducteurs modernes sont tout à fait parfaits dans leurs paramètres de fréquence et ils peuvent être idéalisés du point de vue de leur absence d'inertie.

La plupart des circuits et dispositifs radio non linéaires sont définis par le schéma fonctionnel illustré à la figure 2.1. Selon ce circuit, le signal d'entrée affecte directement l'élément non linéaire, à la sortie duquel le filtre est connecté (circuit linéaire).

Photo. 2.1. Schéma structurel dispositif non linéaire.

Dans ces cas, le processus dans un circuit électronique non linéaire peut être caractérisé par deux opérations indépendantes l'une de l'autre. À la suite de la première opération dans l'élément non linéaire sans inertie, la forme du signal d'entrée est transformée de telle sorte que de nouvelles composantes harmoniques apparaissent dans son spectre. La deuxième opération est effectuée par un filtre, mettant en évidence les composantes spectrales requises du signal d'entrée converti.En modifiant les paramètres des signaux d'entrée et en utilisant divers éléments et filtres non linéaires, il est possible d'effectuer la transformation requise du spectre. De nombreux schémas de modulateurs, détecteurs, oscillateurs, redresseurs, multiplicateurs, diviseurs et convertisseurs de fréquence sont réduits à un modèle théorique aussi pratique.

En règle générale, les circuits non linéaires sont caractérisés par une relation complexe entre le signal d'entrée et la réponse de sortie, qui en vue générale peut s'écrire ainsi :

U out (t) = f

Dans les circuits non linéaires avec des éléments de réseau sans inertie, il est plus pratique de considérer la tension d'entrée U in (t) comme l'impact et le courant de sortie i out (t) comme la réponse, dont la connexion est déterminée par la dépendance fonctionnelle non linéaire :

je sort (t) = f

Ce rapport peut représenter analytiquement la caractéristique courant-tension habituelle du NE. Cette caractéristique est également possédée par un dispositif bipolaire non linéaire (transistor, amplificateur opérationnel, microcircuit numérique) fonctionnant en mode non linéaire à différentes amplitudes du signal d'entrée. Caractéristiques courant-tension (pour les éléments non linéaires, ils sont obtenus expérimentalement, la plupart des éléments non linéaires ont une forme complexe, leur représentation par des expressions analytiques est donc une tâche assez difficile. Les méthodes de représentation analytiques sont largement utilisées dans les appareils électroniques. caractéristiques non linéaires divers appareils avec des fonctions relativement simples (ou un ensemble de celles-ci) qui reflètent approximativement les caractéristiques réelles. Trouver une fonction analytique à partir de la caractéristique expérimentale d'un élément non linéaire est appelé approximation. Il existe plusieurs façons d'approximer les caractéristiques - loi de puissance, exponentielle, linéaire par morceaux (approximation linéaire brisée). Les plus répandues sont l'approximation par un polynôme de puissance et l'approximation linéaire par morceaux.

Approximation par un polynôme de puissance. Ce type d'approximation est particulièrement efficace à de petites amplitudes (en règle générale, des fractions de volt) des signaux d'entrée dans les cas où la caractéristique du NE a la forme d'une courbe lisse, c'est-à-dire la courbe et ses dérivées sont continues et sans sauts. La série de Taylor est le plus souvent utilisée dans l'approximation comme un polynôme de puissance

i (u) = a o + a 1 (u-U o) + a 2 (u-U o) 2 +… + a n (u-U o) n, (2.1)

où a o, a 1,… a n - coefficients constants ; U o - la valeur de la tension u, par rapport à laquelle l'expansion est effectuée en série et appelée point de fonctionnement. Notez qu'ici et ci-dessous l'argument t pour les fonctions de courant et de tension est omis par souci de simplicité. Les coefficients constants de la série de Taylor sont déterminés par la formule bien connue

Le nombre optimal de membres de la série est pris en fonction de la précision d'approximation du tuyau. Plus le nombre de membres de la série est sélectionné, plus l'approximation est précise. Il est généralement possible d'approcher les caractéristiques avec une précision suffisante par un polynôme ne dépassant pas le deuxième - troisième degré. Pour trouver les coefficients inconnus de la série, il faut régler la plage U 1, U 2 de plusieurs valeurs de tension possibles u et la position du point de fonctionnement U o dans cette plage. S'il est nécessaire de déterminer n coefficients d'une série, alors n + 1 points avec leurs coordonnées (i n, u n) sont sélectionnés sur une caractéristique donnée. Pour simplifier les calculs, un point est associé au point de travail U o, qui a des coordonnées (I o, U o) ; deux autres points sont sélectionnés aux limites de la plage u = U 1 et u = U 2. Le reste des points est localisé arbitrairement, mais en tenant compte de l'importance de la section caractéristique I - V approchée. En substituant les coordonnées des points sélectionnés dans la formule (2.1), ils forment un système de leurs n + 1 équations, qui est résolu pour les coefficients inconnus a n de la série de Taylor.

Graphique 2.2. Approximation des caractéristiques du transistor par un polynôme de puissance.

Exemple 2.1. En figue. 2.2 la ligne pointillée montre la caractéristique d'entrée I b = f (U bs) du transistor KT601A. Approximation de la caractéristique donnée du transistor dans la plage de 0,4 ... 0,8 V avec le polynôme de Taylor du deuxième degré ib = ao + a 1 (u be -U o) + a 2 (u be -U o) 2 relatif au point de fonctionnement U o = 0 , 6 B.

Décision... Pour simplifier les calculs, on sélectionne les valeurs de contraintes aux bornes de la plage et au point de fonctionnement comme points d'approximation, c'est à dire. 0,4 ; 0,6 et

0,8 V. Puisque les points sélectionnés correspondent à des courants de 0,1 ; 0,5 et 1,5 mA, alors pour un polynôme donné on obtient le système d'équations suivant :

0,1 = a o + a 1 (0,4-0,6) + a 2 (0,4-0,6) 2 = a o -0,2a 1 +0,04 a 2

0,5 = un o + un 1 (0,6-0,6) + un 2 (0,6-0,6) 2 = un o

1,5 = a o + a 1 (0,8-0,6) + a 2 (0,8-0,6) 2 = a o + 0,2a 1 +0,04 a 2

La solution de ce système d'équations donne les valeurs des coefficients a o = 0,5 mA, a 1 = 3,5 mA / V, a 2 = 7,5 mA / V 2. En les substituant dans la formule (2.1), on trouve la fonction d'approximation (son graphique est représenté sur la figure par un trait plein) : i b = 0,5 + 3,5 (u b -0.6) +7,5 (u b -0.6) 2.

Approximation linéaire par morceaux. Dans la plupart des cas pratiques, lorsqu'un signal d'entrée d'amplitude significative agit sur un élément non linéaire du circuit électronique, la caractéristique courant-tension réelle de l'élément non linéaire peut être approximée par une ligne linéaire par morceaux constituée de plusieurs segments de ligne droite avec différents angles de inclinaison par rapport à l'axe des abscisses. Cette approximation est directement liée à deux paramètres importantsélément non linéaire - la tension du début de la caractéristique E n et sa pente S. Dans le cas général, la pente différentielle de la caractéristique au point de fonctionnement est déterminée par le rapport de l'incrément de courant à l'incrément de tension, et pour leur petites valeurs que nous avons

L'équation d'un segment de droite avec une approximation linéaire par morceaux de la caractéristique s'écrit sous la forme :

je = (0, tu

i = (S (u-E n), u> E n (2.4)

Dans de nombreux dispositifs d'ingénierie radio, la caractéristique d'un élément non linéaire auquel un signal de grande amplitude est fourni ne peut être approchée avec une précision acceptable que par deux segments de ligne droite.

Exemple 2.2. La caractéristique d'entrée prise expérimentalement Ib = f (Ube) du transistor KT601A est illustrée à la Fig. 2.3. ligne pointillée. Effectuer une approximation linéaire par morceaux de cette caractéristique au voisinage du point de fonctionnement U o = 0,6 V.

Décision... Conformément à la caractéristique courant-tension donnée du transistor, nous trouvons que la valeur du courant au point de fonctionnement I environ = 0,5 mA. La pente de la caractéristique au point de fonctionnement est calculée approximativement par la formule (2.3). En fixant l'incrément de tension linéaire u be = 0,8 - 0,6 = 0,2 V, on trouve l'incrément de courant ∆i b =

1,5-0,5 = 1 mA. Alors S = ∆i b / ∆u b = 1 / 0,2 = 5 mA / V.

Graphique 2.3. Approximation linéaire par morceaux des caractéristiques du transistor.

À la suite de l'approximation des caractéristiques, le courant de base du transistor au voisinage du point de fonctionnement avec les coordonnées I o = 0,5 mA, U o = 0,6 V. Il est déterminé comme : ib = 0,5 + 5 (u être -0,6) = 5 (u être -0,5).

Il résulte de cette formule que pour u soit<0,5 В ток базы транзистора должен принимать отрицательные значения, что не отражается заданной характеристикой. Значит, полученная функция будет аппроксимировать заданную зависимость только при амплитуде входного напряжения u бэ >0,5 V. Si la tension d'entrée u est<0,5 В, то можно принять i б =0. Таким образом, аппроксимирующая функция (сплошная линия на рисунке), отражающая характеристику транзистора, запишется в следующем виде:

i = (0, tu sois<0,5

i = (5 (u soit -0,5), u soit > 0,5

Une augmentation de la précision de l'approximation des caractéristiques des éléments non linéaires est obtenue en augmentant le nombre de segments de ligne. Cependant, cela complique l'expression analytique de la fonction d'approximation.

Leçon numéro 9.

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