Лінійно залежні і лінійно незалежні рядки матриці. Лінійна незалежність. §4.9. Ранг матриці

Рядки і стовпці матриць можна розглядати як матриці-рядка і відповідно, матриці-стовпці. Тому над ними, як і над будь-якими іншими матрицями, можна виконувати лінійні операції. Обмеження на операцію складання полягає в тому, що рядки (стовпці) повинні бути однакової довжини (висоти), але ця умова завжди виконано для рядків (стовпців) однієї матриці.

Лінійні операції над рядками (стовпцями) дають можливість складати рядки (стовпці) у вигляді виразів α 1 а 1 + ... + α sas, де а 1, ..., as - довільний набір рядків (стовпців) однакової довжини (висоти) , а α 1, ..., α s - дійсні числа. Такі вирази називають лінійними комбінаціями рядків (стовпців).

Визначення 12.3. Рядки (стовпчики) а 1, ..., a s називають лінійно незалежними, якщо рівність

α 1 а 1 + ... + α s a s \u003d 0, (12.1)

де 0 в правій частині - нульова рядок (стовпець), можливо лише при α 1 \u003d ... \u003d as \u003d 0. В іншому випадку, коли існують такі дійсні числа α 1, ..., α s, нерівні нулю одночасно, що виконується рівність (12.1), ці рядки (стовпці) називають лінійно залежними.

Наступне твердження відоме як критерій лінійної залежності.

Теорема 12.3. Рядки (стовпчики) а 1, ..., a s, s\u003e 1, лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли хоча б одна (один) з них є лінійною комбінацією інших.

◄ Доказ проведемо для рядків, а для стовпців воно аналогічно.

Необхідність. Якщо рядки a 1, ..., as лінійно залежні, то, згідно з визначенням 12.3, існують такі дійсні числа α 1, ..., α s, нерівні нулю одночасно, що α 1 a 1 + ... + α sas \u003d 0. Виберемо ненульовий коефіцієнт αα i. Для визначеності хай це буде α 1. Тоді α 1 a 1 \u003d (-α 2) a 2 + ... + (-α s) as і, отже, a 1 \u003d (-α 2 / α 1) a 2 + ... + (-α s / α 1) as, тобто рядок a 1 представляється у вигляді лінійної комбінації інших рядків.

Достатність. Нехай, наприклад, a 1 \u003d λ 2 a 2 + ... + λ s a s. Тоді 1a 1 + (-λ 2) a 2 + ... + (- λ s) a s \u003d 0. Перший коефіцієнт лінійної комбінації дорівнює одиниці, тобто він ненульовий. Згідно з визначенням 12.3, рядки a 1, ..., a s лінійно залежні.

Теорема 12.4. Нехай рядки (стовпці) а 1, ..., a s лінійно незалежні, а хоча б одна з рядків (стовпців) b 1, ..., b l є їх лінійною комбінацією. Тоді всі рядки (стовпці) a 1, ..., a s, b 1, ..., b l лінійно залежні.

◄ Нехай, наприклад, b 1 є лінійна комбінація a 1, ..., a s, тобто b 1 \u003d α 1 a 1 + ... + α s a s, α i ∈R, i \u003d 1, s. У цю лінійну комбінацію додамо рядки (стовпці) b 2, ..., bl (при l\u003e 1) з нульовими коефіцієнтами: b 1 \u003d α 1 a 1 + ... + α sas + 0b 2 + ... + 0b l. Згідно з теоремою 12.3, рядки (стовпці) a 1, ..., a s, b 1, ..., b i лінійно залежні.

Зауважимо, що рядки і стовпці матриці можна розглядати як арифметичні вектори розмірів m і n, Відповідно. Таким чином, матрицю розмірів можна інтерпретувати як сукупність m n-мірних або n m-мірних арифметичних векторів. За аналогією з геометричними векторами введемо поняття лінійної залежності і лінійної незалежності рядків і стовпців матриці.

4.8.1. Визначення. рядок
називається лінійною комбінацією рядків з коефіцієнтами
, Якщо для всіх елементів цього рядка справедливо рівність:

,
.

4.8.2. Визначення.

рядки
називаються лінійно залежними, Якщо існує їх нетривіальна лінійна комбінація, рівна нульовий рядку, тобто існують такі не всі рівні нулю числа

,
.

4.8.3. Визначення.

рядки
називаються лінійно незалежними, Якщо тільки їх тривіальна лінійна комбінація дорівнює нульовий рядку, тобто

,

4.8.4. Теорема. (Критерій лінійної залежності рядків матриці)

Для того, щоб рядки були лінійно залежними, необхідно і достатньо, щоб хоча б одна з них була лінійною комбінацією інших.

Доведення:

Необхідність. нехай рядки
лінійно залежні, тоді існує їх нетривіальна лінійна комбінація, рівна нульовий рядку:

.

Без обмеження спільності припустимо, що перший з коефіцієнтів лінійної комбінації відмінний від нуля (в іншому випадку можна перенумерувати рядка). Розділивши це співвідношення на , отримаємо

,

тобто перший рядок є лінійною комбінацією інших.

Достатність. Нехай одна з рядків, наприклад, , Є лінійною комбінацією інших, тоді

тобто існує нетривіальна лінійна комбінація рядків
, Що дорівнює нульовий рядку:

а значить, рядки
лінійно залежні, що й треба було довести.

Зауваження.

Аналогічні визначення та затвердження можуть бути сформульовані і для стовпців матриці.

§4.9. Ранг матриці.

4.9.1. Визначення. мінором порядку матриці розміру
називається визначник порядку з елементами, розташованими на перетині деяких її рядків і стовпців.

4.9.2. Визначення. Відмінний від нуля мінор порядку матриці розміру
називається базисним мінор, Якщо все мінори матриці порядку
дорівнюють нулю.

Зауваження. Матриця може мати кілька базисних мінорів. Очевидно, що всі вони будуть одного порядку. Також можливий випадок, коли у матриці розміру
мінор порядку відмінний від нуля, а миноров порядку
не існує, тобто
.

4.9.3. Визначення. Рядки (стовпчики), що утворюють базисний мінор, називаються базисними рядками (стовпцями).

4.9.4. Визначення. рангомматриці називається порядок її базисного мінору. Ранг матриці позначається
або
.

Зауваження.

Відзначимо, що в силу рівноправності рядків і стовпців визначника ранг матриці не змінюється при її транспонировании.

4.9.5. Теорема. (Инвариантность рангу матриці щодо елементарних перетворень)

Ранг матриці не змінюється при її елементарних перетвореннях.

Без докази.

4.9.6. Теорема. (Про базисному мінорі).

Базисні рядки (стовпці) лінійно незалежні. Будь-яка рядок (стовпець) матриці може бути представлена \u200b\u200bу вигляді лінійної комбінації її базисних рядків (стовпців).

Доведення:

Проведемо доказ для рядків. Доведення твердження для стовпців може бути проведено за аналогією.

Нехай ранг матриці розмірів
дорівнює , а
- базисний мінор. Без обмеження на спільність припустимо, що базисний мінор розташований в лівому верхньому кутку (В іншому випадку можна привести матрицю до цього виду за допомогою елементарних перетворень):

.

Доведемо спочатку лінійну незалежність базисних рядків. Доказ проведемо від супротивного. Припустимо, що базисні рядки лінійно залежні. Тоді згідно з теоремою 4.8.4 одна з рядків може бути представлена \u200b\u200bу вигляді лінійної комбінації інших базисних рядків. Отже, якщо відняти з цього рядка зазначену лінійну комбінацію, то ми отримаємо нульову рядок, а це означає, що мінор
дорівнює нулю, що суперечить визначенню базисного мінору. Таким чином, ми отримали протиріччя, отже, лінійна незалежність базисних рядків доведена.

Доведемо тепер, що будь-яка рядок матриці може бути представлена \u200b\u200bу вигляді лінійної комбінації базисних рядків. Якщо номер даної рядки від 1 до r, То тоді, очевидно, вона може бути представлена \u200b\u200bу вигляді лінійної комбінації c коефіцієнтом, рівним 1 при рядку і нульовими коефіцієнтами при інших рядках. Покажемо тепер, що якщо номер рядка від
до
, Вона може бути представлена \u200b\u200bу вигляді лінійної комбінації базисних рядків. Розглянемо мінор матриці
, Отриманий з базисного мінору
додаванням рядка і довільного стовпця
:

Покажемо, що даний мінор
від
до
і для будь-якого номера стовпчика від 1 до .

Дійсно, якщо номер стовпця від 1 до r, То маємо визначник з двома однаковими стовпцями, який, очевидно, дорівнює нулю. Якщо ж номер стовпця від r+1 до , А номер рядка від
до
, то
є мінор вихідної матриці більшого порядку, ніж базисний мінор, а це означає, що він дорівнює нулю з визначення базисного мінору. Таким чином, доведено, що мінор
дорівнює нулю для будь-якого номера рядка від
до
і для будь-якого номера стовпчика від 1 до . Розкладаючи його за останнім стовпцем, отримаємо:

тут
- відповідні алгебраїчні доповнення. Зауважимо, що
, Так як отже,
є базисним мінор. Отже, елементи рядка k можуть бути представлені у вигляді лінійної комбінації відповідних елементів базисних рядків з коефіцієнтами, що не залежать від номера стовпчика :

Таким чином, ми довели, що довільна рядок матриці може бути представлена \u200b\u200bу вигляді лінійної комбінації її базисних рядків. Теорема доведена.

лекція 13

4.9.7. Теорема. (Про ранзі невироджених квадратної матриці)

Для того, щоб квадратна матриця була невироджених, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнює розміру цієї матриці.

Доведення:

Необхідність. Нехай квадратна матриця розміру n є невироджених, тоді
, Отже, визначник матриці є базисним мінор, тобто

Достатність. нехай
тоді порядок базисного мінору дорівнює розміру матриці, отже, базисним мінор є визначник матриці , Тобто
за визначенням базисного мінору.

Слідство.

Для того, щоб квадратна матриця була невироджених, необхідно і достатньо, щоб її рядки були лінійно незалежними.

Доведення:

Необхідність.Так як квадратна матриця є невироджених, то її ранг дорівнює розміру матриці
тобто визначник матриці є базисним мінор. Отже, за теоремою 4.9.6 про базисному мінорі рядки матриці є лінійно незалежними.

Достатність.Так як всі рядки матриці лінійно незалежні, то її ранг не менш розміру матриці, а значить,
отже, за попередньою теоремою 4.9.7 матриця є невироджених.

4.9.8. Метод оздоблюють мінорів для знаходження рангу матриці.

Зауважимо, що частково цей метод вже був неявно описаний в доведенні теореми про базисному мінорі.

4.9.8.1. Визначення. мінор
називається окаймляющим по відношенню до мінору
, Якщо він отриманий з мінору
додаванням однієї нового рядка і одного нового стовпця вихідної матриці.

4.9.8.2. Процедура знаходження рангу матриці методом оздоблюють мінорів.

Знаходимо будь-якої поточний мінор матриці відмінний від нуля.

Обчислюємо все оздоблюють його мінори.

Якщо всі вони дорівнюють нулю, то поточний мінор є базисним, і ранг матриці дорівнює порядку поточного мінору.

Якщо серед оздоблюють мінорів знаходиться хоча б один відмінний від нуля, то він покладається поточним і процедура триває.

Знайдемо за допомогою методу оздоблюють мінорів ранг матриці

.

Легко вказати поточний мінор другого порядку, відмінний від нуля, наприклад,

.

Обчислюємо оздоблюють його мінори:

Отже, так як всі оздоблюють мінори третього порядку дорівнюють нулю, то мінор
є базисним, тобто

Зауваження. З розглянутого прикладу видно, що метод є досить трудомістким. Тому на практиці набагато частіше використовується метод елементарних перетворень, мова про який піде нижче.

4.9.9. Знаходження рангу матриці методом елементарних перетворень.

На підставі теореми 4.9.5 можна стверджувати, що ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях (тобто ранги еквівалентних матриць рівні). Тому ранг матриці дорівнює рангу ступінчастою матриці, отриманої з вихідної елементарними перетвореннями. Ранг ж ступінчастою матриці, Очевидно, дорівнює кількості її ненульових рядків.

Визначимо ранг матриці

методом елементарних перетворень.

Наведемо матрицю до ступінчастому увазі:

Кількість ненульових рядків отриманої ступінчастою матриці дорівнює трьом, отже,

4.9.10. Ранг системи векторів лінійного простору.

Розглянемо систему векторів
деякого лінійного простору. Якщо вона є лінійно залежною, то в ній можна виділити лінійно незалежну підсистему.

4.9.10.1. Визначення. Рангом системи векторів
лінійного простору називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів цієї системи. Ранг системи векторів
позначається як
.

Зауваження. Якщо система векторів лінійно незалежна, то її ранг дорівнює кількості векторів системи.

Сформулюємо теорему, яка ніколи зв'язок понять рангу системи векторів лінійного простору і рангу матриці.

4.9.10.2. Теорема. (Про ранзі системи векторів лінійного простору)

Ранг системи векторів лінійного простору дорівнює рангу матриці, стовпцями або рядками якої є координати векторів в деякому базисі лінійного простору.

Без докази.

Слідство.

Для того, щоб система векторів лінійного простору була лінійно незалежної, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці, стовпцями або рядками якої є координати векторів в деякому базисі, дорівнював кількості векторів системи.

Доказ очевидно.

4.9.10.3. Теорема (Про розмірності лінійної оболонки).

Розмірність лінійної оболонки векторів
лінійного простору дорівнює рангу цієї системи векторів:

Без докази.

де - якісь числа (деякі з цих чисел або навіть всі можуть бути рівні нулю). Це означає наявність таких рівностей між елементами стовпців:

З (3.3.1) випливає, що

Якщо рівність (3.3.3) справедливо тоді і тільки тоді, коли, то рядки називаються лінійно незалежними. Співвідношення (3.3.2) показує, що якщо одна з рядків лінійно виражається через інші, то рядки лінійно залежні.

Легко бачити і зворотне: якщо рядки лінійно залежні, то знайдеться рядок, яка буде лінійною комбінацією інших рядків.

Нехай, наприклад, в (3.3.3), тоді .

Визначення. Нехай в матриці А виділений деякий мінор r-го порядку і нехай мінор (r + 1) -го порядку цієї ж матриці цілком містить в собі мінор. Будемо говорити, що в цьому випадку мінор оздоблює мінор (або є окаймляющим для).

Тепер доведемо важливу лему.

Лемма про оздоблюють мінор. Якщо мінор порядку r матриці А \u003d відмінний від нуля, а всі оздоблюють його мінори дорівнюють нулю, то будь-який рядок (стовпець) матриці А є лінійною комбінацією її рядків (стовпців), що становлять.

Доведення. Не порушуючи спільності міркувань, будемо вважати, що відмінний від нуля мінор r-го порядку варто в лівому верхньому кутку матриці А \u003d:

.

Для перших k рядків матриці А твердження леми очевидно: досить в лінійну комбінацію включити цю ж рядок з коефіцієнтом, рівним одиниці, а решта - з коефіцієнтами, рівними нулю.

Доведемо тепер, що і інші рядки матриці А лінійно виражаються через перші k рядків. Для цього побудуємо мінор (r + 1) -го порядку шляхом додавання до мінору k-го рядка () і l-го стовпця ():

.

Отриманий мінор дорівнює нулю при всіх k і l. Якщо, то він дорівнює нулю як містить два однакових стовпця. Якщо, то отриманий мінор є окаймляющим мінор для і, отже, дорівнює нулю за умовою леми.

Розкладемо мінор за елементами останнього l-го стовпця:

Вважаючи, отримаємо:

(3.3.6)

Вираз (3.3.6) означає, що k-й рядок матриці А лінійно виражається через перші r рядків.

Так як при транспонировании матриці значення її мінорів не змінюються (з огляду на властивості визначників), то все доведене справедливо і для стовпців. Теорема доведена.

Слідство I. Будь-яка рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців). Дійсно, базисний мінор матриці відмінний від нуля, а всі оздоблюють його мінори дорівнюють нулю.

Слідство II. Визначник n-го порядку тоді і тільки тоді дорівнює нулю, коли він містить лінійно залежні рядки (стовпці). Достатність лінійної залежності рядків (стовпців) для рівності визначника нулю доведена раніше як властивість визначників.

Доведемо необхідність. Нехай задана квадратна матриця n-го порядку, єдиний мінор якої дорівнює нулю. Звідси випливає, що ранг цієї матриці менше n, тобто знайдеться хоча б один рядок, яка є лінійною комбінацією базисних рядків цієї матриці.

Доведемо ще одну теорему про ранзі матриці.

Теорема. максимальне число лінійно незалежних рядків матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних стовпців і дорівнює рангу цієї матриці.

Доведення. Нехай ранг матриці А \u003d дорівнює r. Тоді будь-які її k базисних рядків є лінійно незалежними, інакше базисний мінор був би рівний нулю. З іншого боку, будь-які r + 1 і більше рядків лінійно залежні. Припустивши протилежне, ми могли б знайти мінор порядку більш ніж r, відмінний від нуля по слідству 2 попередньої леми. Останнє суперечить тому, що максимальний порядок миноров, відмінних від нуля, дорівнює r. Все доведене для рядків справедливо і для стовпців.

На закінчення викладемо ще один метод знаходження рангу матриці. Ранг матриці можна визначити, якщо знайти мінор максимального порядку, відмінний від нуля.

На перший погляд, це вимагає обчислення хоча і кінцевого, але можливо, дуже великого числа миноров цієї матриці.

Наступна теорема дозволяє, однак, внести в цей значні спрощення.

Теорема. Якщо мінор матриці А відмінний від нуля, а всі оздоблюють його мінори дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r.

Доведення. Досить показати, що будь-яка підсистема рядків матриці при S\u003e r буде в умовах теореми лінійно залежною (звідси буде слідувати, що r - максимальне число лінійно незалежних рядків матриці або будь-які її мінори порядку більше ніж k дорівнюють нулю).

Припустимо гидке. Нехай рядки лінійно незалежні. За лемі про оздоблюють мінор кожна з них буде лінійно виражатися через рядки, в яких варто мінор і які, з огляду на те, що відмінний від нуля, лінійно незалежні:

Тепер розглянемо наступну лінійну комбінацію:

або

Використовуючи (3.3.7) і (3.3.8), отримуємо

,

що суперечить лінійної незалежності рядків.

Отже, наше припущення не так і, отже, будь-які S\u003e r рядків в умовах теореми лінійно залежні. Теорема доведена.

Розглянемо правило обчислення рангу матриці - метод оздоблюють мінорів, заснований на даній теоремі.

При обчисленні рангу матриці слід переходити від мінорів менших порядків до минорам високих порядків. Якщо вже знайдений мінор r-го порядку, відмінний від нуля, то потрібно обчислити лише мінори (r + 1) -го порядку, оздоблюють мінор. Якщо вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r. Цей метод застосовується і в тому випадку, якщо ми не тільки обчислюємо ранг матриці, але і визначаємо, які стовпці (рядки) складають базисний мінор матриці.

Приклад. Обчислити методом оздоблюють мінорів ранг матриці

Рішення. Мінор другого порядку, що стоїть в лівому верхньому кутку матриці А, відмінний від нуля:

.

Однак все оздоблюють його мінори третього порядку дорівнюють нулю:

;	;
;	;
;	.

Отже, ранг матриці А дорівнює двом:.

Перша і друга рядки, перший і другий стовпці в даній матриці є базисними. Решта рядків і стовпці є їх лінійними комбінаціями. Справді, для рядків справедливі такі рівності:

На закінчення відзначимо справедливість наступних властивостей:

1) ранг твору матриць не більш рангу кожного із співмножників;

2) ранг твори довільної матриці А справа або зліва на невироджених квадратну матрицю Q дорівнює рангу матриці А.

багаточленні матриці

Визначення. Багаточленної матрицею або матрицею називається прямокутна матриця, елементи якої є многочленами від одного змінного з числовими коефіцієнтами.

Над матрицею можна здійснювати елементарні перетворення. До них відносяться:

Перестановка двох рядків (стовпців);

Множення рядка (стовпчика) на число, відмінне від нуля;

Додаток до одного рядка (колонки) інший рядки (стовпці), помноженої на будь-який многочлен.

Дві -матриці і однакових розмірів називаються еквівалентними:, якщо від матриці до можна перейти за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень.

Приклад. Довести еквівалентність матриць

,

.

1. Змінимо місцями в матриці перший і другий стовпці:

.

2. З другого рядка віднімемо першу, помножену на ():

.

3. Помножимо другий рядок на (-1) і зауважимо, що

.

4. Віднімемо з другого шпальти перший, помножений на, отримаємо

.

Безліч всіх матриць даних розмірів розбивається на непересічні класи еквівалентних матриць. Матриці, еквівалентні між собою, утворюють один клас, не еквівалентні - інший.

Кожен клас еквівалентних матриць характеризується канонічної, або нормальної, матрицею даних розмірів.

Визначення. Канонічної, або нормальної, матрицею розмірів називається матриця, у якої на головній діагоналі стоять многочлени, де р - менше із чисел m і n ( ), Причому не рівні нулю многочлени мають старші коефіцієнти, що дорівнюють 1, і кожен наступний многочлен ділитися на попередній. Всі елементи поза головною діагоналі рівні 0.

З визначення випливає, що якщо серед многочленів є многочлени нульового ступеня, то вони на початку головної діагоналі. Якщо є нулі, то вони стоять в кінці головної діагоналі.

Матриця попереднього прикладу є канонічна. матриця

також канонічна.

Кожен клас матриць містить єдину канонічну -Матриця, тобто кожна матриця еквівалентна єдиною канонічною матриці, яка називається канонічної формою або нормальною формою даної матриці.

Багаточлени, що стоять на головній діагоналі канонічної форми даної -матриці, називаються інваріантними множниками даної матриці.

Один з методів обчислення інваріантних множників полягає у приведенні даної -матриці до канонічної формі.

Так, для матриці попереднього прикладу інваріантними множниками є

Зі сказаного випливає, що наявність однієї і тієї ж сукупності інваріантних множників є необхідною і достатньою умовою еквівалентності матриць.

Приведення матриць до канонічного виду зводиться до визначення інваріантних множників

, ; ,

де r - ранг -матриці; - найбільший спільний дільник миноров k-го порядку, взятий зі старшим коефіцієнтом, рівним 1.

Приклад. Нехай дана матриця

.

Рішення. Очевидно, найбільший спільний дільник першого порядку, тобто .

Визначимо мінори другого порядку:

,

і т.д.

Уже цих даних достатньо для того, щоб зробити висновок:, отже,.

визначаємо

,

отже, .

Таким чином, канонічної формою даної матриці є наступна матриця:

.

Матричним многочленом називається вираз виду

де - змінне; - квадратні матриці порядку n з числовими елементами.

Якщо, то S називають ступенем матричного многочлена, n - порядком матричного многочлена.

Будь-яку квадратичну -Матриця можна представити у вигляді матричного многочлена. Справедливо, очевидно, і зворотне твердження, тобто будь-матричний многочлен можна представити у вигляді деякої квадратної -матриці.

Справедливість даних тверджень з усією очевидністю випливає з властивостей операцій над матрицями. Зупинимося на таких прикладах:

Приклад. Уявити многочленів матрицю

у вигляді матричного многочлена можна наступним чином

.

Приклад. матричний многочлен

можна представити у вигляді такої багаточленної матриці (-матриці)

.

Ця взаємозамінність матричних многочленів і багаточленних матриць відіграє істотну роль в математичному апараті методів факторного і компонентного аналізу.

Матричні многочлени однакового порядку можна складати, віднімати і множити аналогічно звичайним многочленів з числовими коефіцієнтами. Слід, однак, пам'ятати, що множення матричних многочленів, взагалі кажучи, не коммутативно, тому що НЕ коммутативно множення матриць.

Два матричних многочлена називаються рівними, якщо рівні їх коефіцієнти, тобто відповідні матриці при однакових ступенях змінного.

Сумою (різницею) двох матричних многочленів і називається такий матричний многочлен, у якого коефіцієнт при кожній ступеня змінного дорівнює сумі (різниці) коефіцієнтів при тій же мірі в многочленах і.

Щоб помножити матричний многочлен на матричний многочлен, треба кожний член матричного многочлена помножити на кожний член матричного многочлена, скласти отримані твори і привести подібні члени.

Ступінь матричного многочлена - твори менше або дорівнює сумі ступенів співмножників.

Операції над матричними многочленами можна здійснювати за допомогою операцій над відповідними -Матриця.

Щоб скласти (відняти) матричні многочлени, досить скласти (відняти) відповідні -матриці. Те ж відноситься до множенню. матриця твори матричних многочленів дорівнює добутку матриць сомножителей.

З іншого боку і можна записати у вигляді

де В 0 - невироджена матриця.

При розподілі на існує однозначно певна праве приватне і правий залишок

де ступінь R 1 менше ступеня, або (поділ без залишку), а також ліве приватне і лівий залишок тоді і тільки тоді, коли, де порядку

Поняття лінійної залежності і лінійної незалежності визначаються для рядків і стовпців однаково. Тому властивості, пов'язані з цими поняттями, сформульовані для стовпців, зрозуміло, справедливі і для рядків.

1. Якщо в систему стовпців входить нульовий стовпець, то вона лінійно залежна.

2. Якщо в системі стовпців є два рівних стовпці, то вона лінійно залежна.

3. Якщо в системі стовпців є два пропорційних стовпчика, то вона лінійно залежна.

4. Система з стовпців лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один із стовпців є лінійна комбінація інших.

5. Будь-які стовпці, що входять до лінійно незалежну систему, утворюють лінійно незалежну підсистему.

6. Система стовпців, що містить лінійно залежну підсистему, лінійно залежна.

7. Якщо система стовпців - лінійно незалежна, а після приєднання до неї шпальти - виявляється лінійно залежною, то стовпець можна розкласти по стовпцях, і до того ж єдиним чином, тобто коефіцієнти розкладання знаходяться однозначно.

Доведемо, наприклад, остання властивість. Так як система стовпців лінійно залежна, то існують числа не всі рівні 0, що

У цій рівності. Справді, якщо, то

Значить, нетривіальна лінійна комбінація стовпців дорівнює нульовому стовпцю, що суперечить лінійної незалежності системи. Отже, і тоді, тобто стовпець є лінійна комбінація стовпців. Залишилося показати єдиність такого уявлення. Припустимо гидке. Нехай є два розкладання і, причому не всі коефіцієнти розкладів відповідно рівні між собою (наприклад,). Тоді з рівності

Отримуємо (\\ alpha_1- \\ beta_1) A_1 + \\ ldots + (\\ alpha_k- \\ beta_k) A_k \u003d o

послідовно, лінійна комбінація стовпців дорівнює нульовому стовпцю. Так як не всі її коефіцієнти дорівнюють нулю (по крайней мере), то ця комбінація нетривіальна, що суперечить умові лінійної незалежності стовпців. Отримане протиріччя підтверджує одиничність розкладання.

Приклад 3.2. Довести, що два ненульових шпальти і лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони пропорційні, тобто .

Рішення. Справді, якщо стовпчики і лінійно залежні, то існують такі числа, не рівні нулю одночасно, що. Причому в цій рівності. Дійсно, припустивши, що, отримаємо протиріччя, оскільки і стовпець - ненульовий. Значить,. Тому знайдеться число таке, що. Необхідність доведена.

Навпаки, якщо, то. Отримали нетривіальну лінійну комбінацію стовпців, рівну нульового колонки. Значить, стовпці лінійно залежні.

Приклад 3.3. Розглянути всілякі системи, утворені з стовпців

Досліджувати кожну систему на лінійну залежність.
Рішення. Розглянемо п'ять систем, що містять по однім стовпці. Згідно п.1 зауважень 3.1: системи, лінійно незалежні, а система, що складається з одного нульового стовпчика, лінійно залежна.

Розглянемо системи, що містять по два стовпці:

- кожна з чотирьох систем і лінійно залежна, тому що містить нульовий стовпець (властивість 1);

- система лінійно залежна, так як стовпці пропорційні (властивість 3):;

- кожна з п'яти систем і лінійно незалежна, так як стовпці непропорційні (див. Твердження прикладу 3.2).

Розглянемо системи, що містять три стовпці:

- кожна з шести систем і лінійно залежна, тому що містить нульовий стовпець (властивість 1);

- системи лінійно залежні, так як містять лінійно залежну підсистему (властивість 6);

- системи і лінійно залежні, так як останній рядок лінійно виражається через інші (властивість 4): і відповідно.

Нарешті, системи з чотирьох або з п'яти стовпців лінійно залежні (по властивості 6).

Ранг матриці

У цьому розділі розглянемо ще одну важливу числову характірістіки матриці, пов'язану з тим, наскільки її рядки (стовпці) залежать один від одного.

визначення 14.10 Нехай дана матриця розмірів і число, яке не перевищує найменшого з чисел і: . Виберемо довільно рядків матриці і стовпців (номери рядків можуть відрізнятися від номерів стовпців). Визначник матриці, складеної з елементів, що стоять на перетині вибраних рядків і стовпців, називається мінор порядку матриці.

приклад 14.9 нехай .

Мінором першого порядку є будь-який елемент матриці. Так 2,, - мінори першого порядку.

Мінори другого порядку:

1. візьмемо рядки 1, 2, стовпці 1, 2, отримаємо мінор ;

2. візьмемо рядки 1, 3, стовпці 2, 4, отримаємо мінор ;

3. візьмемо рядки 2, 3, стовпчики 1, 4, отримаємо мінор

Мінори третього порядку:

рядки тут можна вибрати тільки одним способом,

1. візьмемо стовпці 1, 3, 4, отримаємо мінор ;

2. візьмемо стовпці 1, 2, 3, отримаємо мінор .

пропозиція 14.23 Якщо все мінори матриці порядку дорівнюють нулю, то всі мінори порядку, якщо такі існують, теж дорівнюють нулю.

Доведення. Візьмемо довільний мінор порядку. Це визначник матриці порядку. Розкладемо його по першому рядку. Тоді в кожному доданку розкладання один з множників буде мінор порядку вихідної матриці. За умовою мінори порядку дорівнюють нулю. Тому і мінор порядку буде дорівнює нулю.

визначення 14.11 Рангом матриці називається найбільший з порядків мінорів матриці, відмінних від нуля. Ранг нульової матриці вважається рівним нулю.

Єдине, стандартне, позначення рангу матриці відсутня. Дотримуючись підручника, ми будемо позначати його.

приклад 14.10 Матриця прикладу 14.9 має ранг 3, так як є мінор третього порядку, відмінний від нуля, а миноров четвертого порядку немає.

Ранг матриці дорівнює 1, так як є ненульовий мінор першого порядку (елемент матриці), а все мінори другого порядку дорівнюють нулю.

Ранг невироджених квадратної матриці порядку дорівнює, так як її визначник є мінор порядку і у невироджених матриці відмінний від нуля.

пропозиція 14.24 При транспонировании матриці її ранг не змінюється, тобто .

Доведення. Транспонований мінор вихідної матриці буде мінор транспонованою матриці, і навпаки, будь-який мінор є транспоновану мінор вихідної матриці. При транспонировании визначник (мінор) не змінюється (пропозиція 14.6). Тому якщо все мінори порядку у вихідній матриці дорівнюють нулю, то всі мінори того ж порядку в теж дорівнюють нулю. Якщо ж мінор порядку у вихідній матриці відмінний від нуля, то в є мінор того ж порядку, відмінний від нуля. отже, .

визначення 14.12 Нехай ранг матриці дорівнює. Тоді будь-який мінор порядку, відмінний від нуля, називається базисним мінор.

приклад 14.11 нехай . Визначник матриці дорівнює нулю, так як третій рядок дорівнює сумі перших двох. Мінор другого порядку, розташований в перших двох рядках і перших двох стовпчиках, дорівнює . Отже, ранг матриці дорівнює двом, і розглянутий мінор є базисним.

Базовим мінор є також мінор, розташований, скажімо, в першій і третій рядках, першому і третьому стовпчиках: . Базовим буде мінор у другій і третій рядках, першому і третьому стовпчиках: .

Мінор в першій і другій рядках, другому і третьому стовпчиках дорівнює нулю і тому не буде базисним. Читач може самостійно перевірити, які ще мінори другого порядку будуть базисними, а які ні.

Так як стовпці (рядки) матриці можна складати, множити на числа, утворювати лінійні комбінації, то можна ввести визначення лінійної залежності і лінійної незалежності системи стовпців (рядків) матриці. Ці визначення аналогічні таким же визначень 10.14, 10.15 для векторів.

визначення 14.13 Система стовпців (рядків) називається лінійно залежною, якщо існує такий набір коефіцієнтів, з яких хоча б один відмінний від нуля, що лінійна комбінація стовпців (рядків) з цими коефіцієнтами буде дорівнює нулю.

визначення 14.14 Система стовпців (рядків) є лінійно незалежної, якщо з рівності нулю лінійної комбінації цих стовпців (рядків) слід, що всі коефіцієнти цієї лінійної комбінації дорівнюють нулю.

Вірно також следующеее пропозицію, аналогічне пропозицією 10.6.

пропозиція 14.25 Система стовпців (рядків) є лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли один із стовпців (одна з рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків) цієї системи.

Сформулюємо теорему, яка називається теорема про базисному мінорі.

теорема 14.2 Будь-стовпець матриці є лінійною комбінацією стовпців, що проходять через базисний мінор.

Доказ можна знайти в підручниках з лінійної алгебри, наприклад, в,.

пропозиція 14.26 Ранг матриці дорівнює максимальному числу її стовпців, що утворюють лінійно незалежну систему.

Доведення. Нехай ранг матриці дорівнює. Візьмемо стовпці, що проходять через базисний мінор. Припустимо, що ці стовпці утворюють лінійно залежну систему. Тоді один із стовпців є лінійною комбінацією інших. Тому в базисному мінорі один стовпець буде лінійною комбінацією інших стовпців. За пропозиціями 14.15 і 14.18 цей базисний мінор має дорівнювати нулю, що суперечить визначенню базисного мінору. Отже, припущення про те, що стовпчики, що проходять через базисний мінор, лінійно залежні, не вірно. Отже, максимальне число стовпців, що утворюють лінійно незалежну систему, більше або дорівнює.

Припустимо, що стовпців утворюють лінійно незалежну систему. Складемо з них матрицю. Все мінори матриці є минорами матриці. Тому базисний мінор матриці має порядок не більше. По теоремі про базисному мінорі, стовпець, що не проходить через базисний мінор матриці, є лінійною комбінацією стовпців, що проходять через базисний мінор, тобто стовпці матриці утворюють лінійно залежну систему. Це суперечить вибору стовпців, що утворюють матрицю. Отже, максимальне число стовпців, що утворюють лінійно незалежну систему, не може бути більше. Значить, воно одно, що і стверджувалося.

пропозиція 14.27 Ранг матриці дорівнює максимальному числу її рядків, що утворюють лінійно незалежну систему.

Доведення. За пропозицією 14.24 ранг матриці при транспонировании не змінюється. Рядки матриці стають її стовпцями. Максимальне число нових стовпців транспонованою матриці, (колишніх рядків вихідної) утворюють лінійно незалежну систему, так само рангу матриці.

пропозиція 14.28 Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то один з його стовпців (одна з рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків).

Доведення. Нехай порядок матриці дорівнює. Визначник є єдиним мінор квадратної матриці, що має порядок. Так як він дорівнює нулю, то. Отже, система з стовпців (рядків) є лінійно залежною, тобто один із стовпців (одна з рядків) є лінійною комбінацією інших.

Результати пропозицій 14.15, 14.18 і 14.28 дають наступну теорему.

теорема 14.3 Визначник матриці дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли один з її стовпців (одна з рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків).

Знаходження рангу матриці за допомогою обчислення всіх її мінорів вимагає занадто великий обчислювальної роботи. (Читач може перевірити, що в квадратної матриці четвертого порядку 36 миноров другого порядку.) Тому для знаходження рангу застосовується інший алгоритм. Для його опису потрібно ряд додаткових відомостей.

визначення 14.15 Назвемо елементарними перетвореннями матріцследующіе дії над ними:

1) перестановка рядків або стовпців;
2) множення рядка або стовпця на число відмінне від нуля;
3) додавання до однієї з рядків іншого рядка, помноженої на число або додавання до одного зі стовпців іншого шпальти, помноженого на число.

пропозиція 14.29 При елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється.

Доведення. Нехай ранг матриці дорівнює, - матриця, що вийшла в результаті виконання елементарного перетворення.

Розглянемо перестановку рядків. Нехай - мінор матриці, тоді в матриці є мінор, який або збігається з, або відрізняється від нього перестановкою рядків. І навпаки, будь-якого мінору матриці можна зіставити мінор матриці або співпадає з, або відрізняється від нього порядком рядків. Тому з того, що в матриці всі мінори порядку дорівнюють нулю, слід, що в матриці теж все мінори цього порядку дорівнюють нулю. І так як в матриці є мінор порядку, відмінний від нуля, то і в матриці теж є мінор порядку, відмінний від нуля, тобто.

Розглянемо множення рядка на число, відмінне від нуля. Мінору з матриці відповідає мінор з матриці або співпадає з, або відрізняється від нього тільки одним рядком, яка виходить з рядка мінору множенням на число, відмінне від нуля. В останньому випадку. У всіх випадках або й одночасно дорівнюють нулю, або одночасно відмінні від нуля. Отже,.