Для чого потрібен визначник матриці. Визначники квадратних матриць. Методи обчислень визначників

- Відпустіть синицю на вірну смерть!
Нехай її приголубить свобода!
І корабель пливе, і реактор реве ...
- Паш, ти упоролся?

Пам'ятаю, класу до 8-го мені не подобалася алгебра. Взагалі не подобалася. Дратувала вона мене. Тому що я там нічого не розумів.

А потім все змінилося, тому що я просік одну фішку:

В математиці взагалі (і алгебрі зокрема) все будується на грамотній і послідовній системі визначень. Знаєш визначення, розумієш їх суть - розібратися в іншому не складе труднощів.

Ось так і з темою сьогоднішнього уроку. Ми детально розглянемо кілька суміжних питань і визначень, завдяки чому ви раз і назавжди розберетеся і з матрицями, і з визначниками, і з усіма їх властивостями.

Визначники - центральне поняття в алгебрі матриць. Подібно формулами скороченого множення, вони будуть переслідувати вас протягом усього курсу вищої математики. Тому читаємо, дивимося і розбираємося досконально. :)

І почнемо ми з самого потаємного - а що таке матриця? І як правильно з нею працювати.

Правильна розстановка індексів в матриці

Матриця - це просто таблиця, заповнена числами. Нео тут ні при чому.

Одна з ключових характеристик матриці - це її розмірність, тобто кількість рядків і стовпців, з яких вона складається. Зазвичай кажуть, що якась матриця $ A $ має $ \\ left [m \\ times n \\ right] $, якщо в ній є $ m $ рядків і $ n $ стовпців. Записують це так:

Або ось так:

Бувають і інші позначення - тут все залежить від уподобань лектора / семінариста / автора підручника. Але в будь-якому випадку з усіма цими $ \\ left [m \\ times n \\ right] $ і $ ((a) _ (ij)) $ виникає одна і та ж проблема:

Який індекс за що відповідає? Спочатку йде номер рядка, потім - стовпці? Або навпаки?

При читанні лекцій і підручників відповідь буде здаватися очевидним. Але коли на іспиті перед вами - тільки листочок із завданням, можна перехвилюватися і раптово заплутатися.

Тому давайте розберемося з цим питанням раз і назавжди. Для початку згадаємо звичайну систему координат з шкільного курсу математики:

Введення системи координат на площині

Пам'ятайте її? У неї є початок координат (точка $ O \u003d \\ left (0; 0 \\ right) $) осі $ x $ і $ y $, а кожна точка на площині однозначно визначається за координатами: $ A \u003d \\ left (1; 2 \\ А тепер давайте візьмемо цю конструкцію і поставимо її поруч з матрицею так, щоб початок координат знаходилося в лівому верхньому кутку. Чому саме там? Та тому що відкриваючи книгу, ми починаємо читати саме з лівого

верхнього кута сторінки - запам'ятати це легше легкого. Але куди направити осі? Ми направимо їх так, щоб вся наша віртуальна «сторінка» була охоплена цими осями. Правда, для цього доведеться повернути нашу систему координат. єдино

можливий варіант такого розташування: Накладення системи координат на матрицю

Тепер будь-яка клітина матриці має однозначні координати $ x $ і $ y $. Наприклад запис $ ((a) _ (24)) $ означає, що ми звертаємося до елементу з координатами $ x \u003d 2 $ і $ y \u003d 4 $. Розміри матриці теж однозначно задаються парою чисел:

Визначення індексів в матриці

Просто вдивіться в цю картинку уважно. Пограйте з координатами (особливо коли будете працювати зі справжніми матрицями і визначниками) - і дуже скоро зрозумієте, що навіть в найскладніших теоремах і визначеннях ви прекрасно розумієте, про що йде мова.

Розібралися? Що ж, переходимо до першого кроку просвітлення - геометричному визначенню визначника. :)

геометричне визначення

Перш за все хотів би відзначити, що визначник існує тільки для квадратних матриць виду $ \\ left [n \\ times n \\ right] $. Визначник - це число, яке Вважається за певними правилами і є однією з характеристик цієї матриці (є інші характеристики: ранг, власні вектора, але про це в інших уроках).

Ну і що це за характеристика? Що він означає? Все просто:

Визначник квадратної матриці $ A \u003d \\ left [n \\ times n \\ right] $ - це обсяг $ n $ -мірного паралелепіпеда, який утворюється, якщо розглянути рядки матриці в якості векторів, що утворюють ребра цього паралелепіпеда.

Наприклад, визначник матриці розміру 2x2 - це просто площа паралелограма, а для матриці 3x3 це вже обсяг 3-мірного паралелепіпеда - того самого, який так дратує всіх старшокласників на уроках стереометрії.

На перший погляд це визначення може здатися абсолютно неадекватним. Але давайте не будемо поспішати з висновками - глянемо на приклади. Насправді все елементарно, Ватсон:

Завдання. Знайдіть визначники матриць:

\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) 1 & 0 \\\\ 0 & 3 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\ quad \\ left | \\ Begin (matrix) 1 & -1 \\\\ 2 & 2 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\ quad \\ left | \\ Begin (matrix) 2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\]

Рішення. Перші два визначника мають розмір 2x2. Значить, це просто площі паралелограма. Накреслимо їх і порахуємо площу.

Перший паралелограм побудовано на векторах $ ((v) _ (1)) \u003d \\ left (1; 0 \\ right) $ і $ ((v) _ (2)) \u003d \\ left (0; 3 \\ right) $:
Визначник 2x2 - це площа паралелограма
Очевидно, це не просто паралелограм, а цілком собі прямокутник. Його площа дорівнює

Другий паралелограм побудовано на векторах $ ((v) _ (1)) \u003d \\ left (1; -1 \\ right) $ і $ ((v) _ (2)) \u003d \\ left (2; 2 \\ right) $. Ну і що з того? Це теж прямокутник:
Ще один визначник 2x2
Сторони цього прямокутника (по суті - довжини векторів) легко вважаються по теоремі Піфагора:

\\ [\\ Begin (align) & \\ left | ((V) _ (1)) \\ right | \u003d \\ sqrt (((1) ^ (2)) + ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (2); \\\\ & \\ left | ((V) _ (2)) \\ right | \u003d \\ sqrt (((2) ^ (2)) + ((2) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (8) \u003d 2 \\ sqrt (2); \\\\ & S \u003d \\ left | ((V) _ (1)) \\ right | \\ cdot \\ left | ((V) _ (2)) \\ right | \u003d \\ sqrt (2) \\ cdot 2 \\ sqrt (2) \u003d 4. \\\\\\ end (align) \\]

Залишилося розібратися з останнім визначником - там уже матриця 3x3. Доведеться згадувати стереометрию:

Визначник 3x3 - це обсяг паралелепіпеда
Виглядає мозговиносяще, але по факту досить згадати формулу обсягу паралелепіпеда:

де $ S $ - площа підстави (в нашому випадку це площа паралелограма на площині $ OXY $), $ h $ - висота, проведена до цього підстави (по суті, $ z $ -коордіната вектора $ ((v) _ (3) ) $).

Площа паралелограма (ми накреслили його окремо) теж вважається легко:

\\ [\\ Begin (align) & S \u003d 2 \\ cdot 3 \u003d 6; \\\\ & V \u003d S \\ cdot h \u003d 6 \\ cdot 4 \u003d 24. \\\\\\ end (align) \\]

От і все! Записуємо відповіді.

Відповідь: 3; 4; 24.

Невелике зауваження з приводу системи позначень. Кому-то напевно не сподобається, що я ігнорую «стрілочки» над векторами. Нібито так можна сплутати вектор з точкою або ще з чим.

Але давайте серйозно: ми з вами вже дорослі хлопчики і дівчатка, тому з контексту прекрасно розуміємо, коли мова йде про вектор, а коли - про точку. Стрілки лише засмічують оповідання, і без того доверху нашпиговані математичними формулами.

І ще. В принципі, ніщо не заважає розглянути і визначник матриці 1x1 - така матриця являє собою просто одну клітку, а число, записане в цій клітці, і буде визначником. Але тут є важливе зауваження:

На відміну від класичного обсягу, визначник дасть нам так званий « орієнтований обсяг», Тобто обсяг з урахуванням послідовності розгляду векторів-рядків.

І якщо ви хочете отримати обсяг в класичному сенсі цього слова, доведеться взяти модуль визначника, але зараз не варто паритися про це - все одно через кілька секунд ми навчимося вважати будь-визначник з будь-якими знаками, розмірами і т.д. :)

алгебраїчне визначення

При всій красі і наочності геометричного підходу у нього є серйозний недолік: він нічого не говорить нам про те, як цей самий визначник вважати.

Тому зараз ми розберемо альтернативне визначення - алгебраїчне. Для цього нам буде потрібно коротка теоретична підготовка, зате на виході ми отримаємо інструмент, що дозволяє вважати в матрицях що і як завгодно.

Правда, там з'явиться нова проблема... але про все по порядку.

Перестановки і інверсії

Давайте випишемо в рядок числа від 1 до $ n $. Вийде щось типу цього:

Тепер (чисто по приколу) поміняємо парочку чисел місцями. Можна поміняти сусідні:

А можна - не особливо сусідні:

І знаєте, що? А нічого! В алгебрі ця хрень називається перестановкою. І у неї є купа властивостей.

Визначення. Перестановка довжини $ n $ - рядок з $ n $ різних чисел, записаних в будь-якій послідовності. Зазвичай розглядаються перші $ n $ натуральних чисел (тобто якраз числа 1, 2, ..., $ n $), а потім їх перемішують для одержання потрібної перестановки.

Позначаються перестановки так само, як і вектори - просто буквою і послідовним перерахуванням своїх елементів в дужках. Наприклад: $ p \u003d \\ left (1; 3; 2 \\ right) $ або $ p \u003d \\ left (2; 5; 1; 4; 3 \\ right) $. Буква може бути будь-який, але нехай буде $ p $. :)

Далі для простоти викладу будемо працювати з перестановками довжини 5 - вони вже досить серйозні для спостереження всяких підозрілих ефектів, але ще не настільки суворі для незміцнілого мозку, як перестановки довжини 6 і більше. Ось приклади таких перестановок:

\\ [\\ Begin (align) & ((p) _ (1)) \u003d \\ left (1; 2; 3; 4; 5 \\ right) \\\\ & ((p) _ (2)) \u003d \\ left (1 ; 3; 2; 5; 4 \\ right) \\\\ & ((p) _ (3)) \u003d \\ left (5; 4; 3; 2; 1 \\ right) \\\\\\ end (align) \\]

Природно, перестановку довжини $ n $ можна розглядати як функцію, яка визначена на безлічі $ \\ left \\ (1; 2; ...; n \\ right \\) $ і биективно відображає це безліч на себе ж. Повертаючись до щойно записаним перестановок $ ((p) _ (1)) $, $ ((p) _ (2)) $ і $ ((p) _ (3)) $, ми цілком законно можемо написати:

\\ [((P) _ (1)) \\ left (1 \\ right) \u003d 1; ((p) _ (2)) \\ left (3 \\ right) \u003d 2; ((p) _ (3)) \\

Кількість різних перестановок довжини $ n $ завжди обмежена і дорівнює $ n! $ - це легко доказовий факт з комбінаторики. Наприклад, якщо ми захочемо виписати всі перестановки довжини 5, то ми дуже заколебёмся, оскільки таких перестановок буде

Однією з ключових характеристик всякої перестановки є кількість інверсій в ній.

Визначення. Інверсія в перестановці $ p \u003d \\ left (((a) _ (1)); ((a) _ (2)); ...; ((a) _ (n)) \\ right) $ - будь-яка пара $ \\ left (((a) _ (i)); ((a) _ (j)) \\ right) $ така, що $ i \\ lt j $, але $ ((a) _ (i)) \\ gt ( (a) _ (j)) $. Простіше кажучи, інверсія - це коли більше стоїть лівіше меншого (не обов'язково сусіднього).

Ми будемо позначати через $ N \\ left (p \\ right) $ кількість інверсій в перестановці $ p $, але будьте готові зустрітися і з іншими позначеннями в різних підручниках і у різних авторів - єдиних стандартів тут немає. Тема інверсій дуже велика, і їй буде присвячений окремий урок. Зараз же наше завдання - просто навчитися рахувати їх в реальних задачах.

Наприклад, порахуємо кількість інверсій в перестановці $ p \u003d \\ left (1; 4; 5; 3; 2 \\ right) $:

\\ [\\ Left (4; 3 \\ right); \\ left (4; 2 \\ right); \\ left (5; 3 \\ right); \\ left (5; 2 \\ right); \\ left (3; 2 \\ right ). \\]

Таким чином, $ N \\ left (p \\ right) \u003d 5 $. Як бачите, нічого страшного в цьому немає. Відразу скажу: далі нас буде цікавити не стільки саме число $ N \\ left (p \\ right) $, скільки його парність / непарність. І тут ми плавно переходимо до ключового терміну сьогоднішнього уроку.

Що таке визначник

Нехай дана квадратна матриця $ A \u003d \\ left [n \\ times n \\ right] $. тоді:

Визначення. Визначник матриці $ A \u003d \\ left [n \\ times n \\ right] $ - це алгебраїчна сума $ n! $ Доданків, складених таким чином. Кожне складова - це твір $ n $ елементів матриці, узятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця, помножене на (-1) в ступені кількість інверсій:

\\ [\\ Left | A \\ right | \u003d \\ sum \\ limits_ (n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Принциповим моментом при виборі множників для кожного доданка в визначнику є той факт, що ніякі два множники не варті в одному рядку або в одному стовпці.

Завдяки цьому можна без обмеження спільності вважати, що індекси $ i $ множників $ ((a) _ (i; j)) $ «пробігають» значення 1, ..., $ n $, а індекси $ j $ є деякою перестановкою від перше:

А коли є перестановка $ p $, ми легко порахуємо інверсії $ N \\ left (p \\ right) $ - і чергове доданок визначника готове.

Природно, ніхто не забороняє поміняти місцями множники в будь-якому слагаемом (або у всіх відразу - чого розмінюватися на дрібниці-то?), І тоді перші індекси теж будуть являти собою деяку перестановку. Але в підсумку нічого не зміниться: сумарна кількість інверсій в індексах $ i $ і $ j $ зберігає парність при подібних збоченнях, що цілком відповідає старому-доброму правилу:

Від перестановки множників добуток чисел не змінюється.

Ось тільки не треба приплітати це правило до множення матриць - на відміну від множення чисел, воно не коммутативно. Але це я відволікся. :)

матриця 2x2

Взагалі-то можна розглянути і матрицю 1x1 - це буде одна клітина, і її визначник, як неважко здогадатися, дорівнює числу, записаному в цій клітці. Нічого цікавого.

Тому давайте розглянемо квадратну матрицю розміром 2x2:

\\ [\\ Left [\\ begin (matrix) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) \\\\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\]

Оскільки кількість рядків в ній $ n \u003d 2 $, то визначник буде містити $ n! \u003d 2! \u003d 1 \\ cdot 2 \u003d 2 $ доданків. Випишемо їх:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (N \\ left (1; 2 \\ right))) \\ cdot ((a) _ (11)) \\ cdot ((a) _ (22)) \u003d ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (0)) \\ cdot ((a) _ (11)) \\ cdot ((a) _ (22)) \u003d ((a) _ (11)) ((a) _ (22)); \\\\ & ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (N \\ left (2; 1 \\ right))) \\ cdot ((a) _ (12)) \\ cdot ((a) _ (21)) \u003d ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (1)) \\ cdot ((a) _ (12)) \\ cdot ((a) _ (21)) \u003d ((a) _ (12)) ( (a) _ (21)). \\\\\\ end (align) \\]

Очевидно, що в перестановці $ \\ left (1; 2 \\ right) $, що складається з двох елементів, немає інверсій, тому $ N \\ left (1; 2 \\ right) \u003d 0 $. А ось в перестановці $ \\ left (2; 1 \\ right) $ одна інверсія є (власне, 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Разом універсальна формула обчислення визначника для матриці 2x2 виглядає так:

\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) \\\\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) \\\\\\ end ( matrix) \\ right | \u003d ((a) _ (11)) ((a) _ (22)) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21)) \\]

Графічно це можна представити як добуток елементів, що стоять на головній діагоналі, мінус твір елементів на побічної:

Визначник матриці 2x2

Розглянемо кілька прикладів:

\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) 5 & 6 \\\\ 8 & 9 \\\\\\ end (matrix) \\ right |; \\ quad \\ left | \\ Begin (matrix) 7 & 12 \\\\ 14 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right |. \\]

Рішення. Все вважається в один рядок. Перша матриця:

І друга:

Відповідь: -3; -161.

Втім, це було занадто просто. Давайте розглянемо матриці 3x3 - там вже цікаво.

матриця 3x3

Тепер розглянемо квадратну матрицю розміру 3x3:

\\ [\\ Left [\\ begin (matrix) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ((a) _ (13)) \\\\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ((a) _ (23)) \\\\ ((a) _ (31)) & ((a) _ (32)) & ((a) _ (33) ) \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\]

При обчисленні її визначника ми отримаємо $ 3! \u003d 1 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \u003d 6 $ доданків - ще не дуже багато для паніки, але вже досить, щоб почати шукати якісь закономірності. Для початку випишемо всі перестановки з трьох елементів і порахуємо інверсії в кожній з них:

\\ [\\ Begin (align) & ((p) _ (1)) \u003d \\ left (1; 2; 3 \\ right) \\ Rightarrow N \\ left (((p) _ (1)) \\ right) \u003d N \\ \\\\ & ((p) _ (2)) \u003d \\ left (1; 3; 2 \\ right) \\ Rightarrow N \\ left (((p) _ (2)) \\ right) \u003d N \\ left (1; 3 ; 2 \\ right) \u003d 1; \\\\ & ((p) _ (3)) \u003d \\ left (2; 1; 3 \\ right) \\ Rightarrow N \\ left (((p) _ (3)) \\ right) \u003d N \\ left (2; 1 ; 3 \\ right) \u003d 1; \\\\ & ((p) _ (4)) \u003d \\ left (2; 3; 1 \\ right) \\ Rightarrow N \\ left (((p) _ (4)) \\ right) \u003d N \\ left (2; 3 ; 1 \\ right) \u003d 2; \\\\ & ((p) _ (5)) \u003d \\ left (3; 1; 2 \\ right) \\ Rightarrow N \\ left (((p) _ (5)) \\ right) \u003d N \\ left (3; 1 ; 2 \\ right) \u003d 2; \\\\ & ((p) _ (6)) \u003d \\ left (3; 2; 1 \\ right) \\ Rightarrow N \\ left (((p) _ (6)) \\ right) \u003d N \\ left (3; 2 ; 1 \\ right) \u003d 3. \\\\\\ end (align) \\]

Як і передбачалося, всього виписано 6 перестановок $ ((p) _ (1)) $, ... $ ((p) _ (6)) $ (природно, можна було б виписати їх в іншій послідовності - суть від цього не зміниться), а кількість інверсій в них змінюється від 0 до 3.

Загалом, у нас буде три доданків з «плюсом» (там, де $ N \\ left (p \\ right) $ - парне) і ще три з «мінусом». А в цілому визначник буде вважатися за формулою:

\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ((a) _ (13)) \\\\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ((a) _ (23)) \\\\ ((a) _ (31)) & ((a) _ (32)) & ((a) _ (33)) \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d \\ begin (matrix) ((a) _ (11)) ((a) _ (22)) ((a) _ (33)) + ((a) _ (12)) ( (a) _ (23)) ((a) _ (31)) + ((a) _ (13)) ((a) _ (21)) ((a) _ (32)) - \\\\ - ( (a) _ (13)) ((a) _ (22)) ((a) _ (31)) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21)) ((a) _ (33)) - ((a) _ (11)) ((a) _ (23)) ((a) _ (32)) \\\\\\ end (matrix) \\]

Ось тільки не треба зараз сідати і люто зубрити всі ці індекси! Замість незрозумілих цифр краще запам'ятайте наступне мнемонічне правило:

Правило трикутника. Для знаходження визначника матриці 3x3 потрібно скласти три твори елементів, що стоять на головній діагоналі і в вершинах рівнобедрених трикутників зі стороною, паралельної цієї діагоналі, а потім відняти такі ж три твори, але на побічної діагоналі. Схематично це виглядає так:

Визначник матриці 3x3: правило трикутників

Саме ці трикутники (або пентаграми - кому як більше подобається) люблять малювати у всяких підручниках і методички з алгебри. Втім, не будемо про сумне. Давайте краще порахуємо один такий визначник - для розминки перед справжньою бляхою. :)

Завдання. Обчисліть визначник:

\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\]

Рішення. Працюємо за правилом трикутників. Спочатку порахуємо три доданків, складених з елементів на головній діагоналі і паралельно їй:

\\ [\\ Begin (align) & 1 \\ cdot 5 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot 6 \\ cdot 7 + 3 \\ cdot 4 \\ cdot 8 \u003d \\\\ & \u003d 5 + 84 + 96 \u003d 185 \\\\\\ end (align) \\]

Тепер розбираємося з побічної діагоналлю:

\\ [\\ Begin (align) & 3 \\ cdot 5 \\ cdot 7 + 2 \\ cdot 4 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 6 \\ cdot 8 \u003d \\\\ & \u003d 105 + 8 + 48 \u003d 161 \\\\\\ end (align) \\]

Залишилося лише відняти від першого числа друге - і ми отримаємо відповідь:

От і все!

Проте, визначники матриць 3x3 - це ще не вершина майстерності. Найцікавіше чекає нас далі. :)

Загальна схема обчислення визначників

Як ми знаємо, з ростом розмірності матриці $ n $ кількість доданків в визначнику становить $ n! $ І швидко росте. Все-таки факторіал - це вам не хрін собачий досить швидко зростаюча функція.

Уже для матриць 4x4 вважати визначники напролом (тобто через перестановки) стає якось не оч. Про 5x5 і більше взагалі мовчу. Тому до справи підключаються деякі властивості визначника, але для їх розуміння потрібна невелика теоретична підготовка.

Чи готові? Поїхали!

Що таке мінор матриці

Нехай дана довільна матриця $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $. Зауважте: не обов'язково квадратна. На відміну від визначників, мінори - це такі няшки, які існують не тільки в суворих квадратних матрицях. Виберемо в цій матриці кілька (наприклад, $ k $) рядків і стовпців, причому $ 1 \\ le k \\ le m $ і $ 1 \\ le k \\ le n $. тоді:

Визначення. Мінор близько $ k $ - визначник квадратної матриці, що виникає на перетині вибраних $ k $ стовпців і рядків. Також мінор ми будемо називати і саму цю нову матрицю.

Позначається такий мінор $ ((M) _ (k)) $. Природно, у однієї матриці може бути ціла купа миноров близько $ k $. Ось приклад мінору порядку 2 для матриці $ \\ left [5 \\ times 6 \\ right] $:
Вибір $ k \u003d 2 $ стовпців і рядків для формування мінору

Зовсім необов'язково, щоб вибрані рядки і стовпці стояли поруч, як в розглянутому прикладі. Головне, щоб кількість обраних рядків і стовпців було однаковим (це і є число $ k $).

Є й інше визначення. Можливо, комусь воно більше припаде до душі:

Визначення. Нехай дана прямокутна матриця $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $. Якщо після викреслювання в ній одного або декількох стовпців і однієї або декількох рядків утворюється квадратна матриця розміру $ \\ left [k \\ times k \\ right] $, то її визначник - це і є мінор $ ((M) _ (k)) $ . Саму матрицю ми теж іноді будемо називати мінор - це буде ясно з контексту.

Як казав мій кіт, іноді краще один раз навернутися з 11-го поверху є корм, ніж нявкати, сидячи на балконі.

Приклад. Нехай дана матриця

Вибираючи рядок 1 і стовпець 2, отримуємо мінор першого порядку:

\\ [((M) _ (1)) \u003d \\ left | 7 \\ right | \u003d 7 \\]

Вибираючи рядки 2, 3 і стовпці 3, 4, отримуємо мінор другого порядку:

\\ [((M) _ (2)) \u003d \\ left | \\ Begin (matrix) 5 & 3 \\\\ 6 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d 5-18 \u003d -13 \\]

А якщо вибрати всі три рядки, а також стовпці 1, 2, 4, буде мінор третього порядку:

\\ [((M) _ (3)) \u003d \\ left | \\ Begin (matrix) 1 & 7 & 0 \\\\ 2 & 4 & 3 \\\\ 3 & 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\]

Читачеві не важко буде знайти і інші мінори порядків 1, 2 або 3. Тому йдемо далі.

алгебраїчні доповнення

«Ну ok, і що дають нам ці міньйон мінори?» - напевно запитаєте ви. Самі по собі - нічого. Але в квадратних матрицях у кожного мінору з'являється «компаньйон» - додатковий мінор, а також алгебраїчне доповнення. І разом ці два ушлёпка дозволять нам клацати визначники як горішки.

Визначення. Нехай дана квадратна матриця $ A \u003d \\ left [n \\ times n \\ right] $, в якій обраний мінор $ ((M) _ (k)) $. Тоді додатковий мінор для мінору $ ((M) _ (k)) $ - це шматок вихідної матриці $ A $, який залишиться при викреслювання всіх рядків і стовпців, задіяних при складанні мінору $ ((M) _ (k)) $:
Додатковий мінор до мінору $ ((M) _ (2)) $
Уточнимо один момент: додатковий мінор - це не просто «шматок матриці», а визначник цього шматка.

Позначаються додаткові мінори за допомогою «зірочки»: $ M_ (k) ^ (*) $:

де операція $ A \\ nabla ((M) _ (k)) $ буквально означає «викреслити з $ A $ рядки і стовпці, що входять до $ ((M) _ (k)) $». Ця операція не є загальноприйнятою в математиці - я її сам тільки що придумав для краси оповідання. :)

Додаткові мінори рідко використовуються самі по собі. Вони є частиною більш складної конструкції - алгебраїчного доповнення.

Визначення. Алгебраїчне доповнення мінору $ ((M) _ (k)) $ - це додатковий мінор $ M_ (k) ^ (*) $, помножений на величину $ ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (S)) $ , де $ S $ - сума номерів всіх рядків і стовпців, задіяних у вихідному мінорі $ ((M) _ (k)) $.

Як правило, алгебраїчне доповнення мінору $ ((M) _ (k)) $ позначається через $ ((A) _ (k)) $. Тому:

\\ [((A) _ (k)) \u003d ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (S)) \\ cdot M_ (k) ^ (*) \\]

Складно? На перший погляд - так. Але це не точно. Тому що насправді все легко. Розглянемо приклад:

Приклад. Дана матриця 4x4:

Виберемо мінор другого порядку

\\ [((M) _ (2)) \u003d \\ left | \\ Begin (matrix) 3 & 4 \\\\ 15 & 16 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\]

Капітан Очевидність як би натякає нам, що при складанні цього мінору були задіяні рядки 1 і 4, а також стовпці 3 і 4. викреслює їх - отримаємо додатковий мінор:

Залишилося знайти число $ S $ і отримати алгебраїчне доповнення. Оскільки ми знаємо номера задіяних рядків (1 і 4) і стовпців (3 і 4), все просто:

\\ [\\ Begin (align) & S \u003d 1 + 4 + 3 + 4 \u003d 12; \\\\ & ((A) _ (2)) \u003d ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (S)) \\ cdot M_ (2) ^ (*) \u003d ((\\ left (-1 \\ right) ) ^ (12)) \\ cdot \\ left (-4 \\ right) \u003d - 4 \\ end (align) \\]

Відповідь: $ ((A) _ (2)) \u003d - 4 $

От і все! По суті, все відмінність між додатковим мінор і алгебраїчним доповненням - тільки в мінусі спереду, та й то не завжди.

теорема Лапласа

І ось ми прийшли до того, навіщо, власне, всі ці мінори та алгебраїчні доповнення були потрібні.

Теорема Лапласа про розкладанні визначника. Нехай в матриці розміру $ \\ left [n \\ times n \\ right] $ вибрано $ k $ рядків (стовпців), причому $ 1 \\ le k \\ le n-1 $. Тоді визначник цієї матриці дорівнює сумі всіх творів миноров близько $ k $, що містяться в обраних рядках (стовпчиках), на їх алгебраїчні доповнення:

\\ [\\ Left | A \\ right | \u003d \\ sum (((M) _ (k)) \\ cdot ((A) _ (k))) \\]

Причому таких доданків буде рівно $ C_ (n) ^ (k) $.

Гаразд, гаразд: про $ C_ (n) ^ (k) $ - це я вже понти, в оригінальній теоремі Лапласа нічого такого не було. Але комбінаторики ніхто не відміняв, і буквально побіжний погляд на умова дозволить вам самостійно переконатися, що доданків буде саме стільки. :)

Ми не будемо її доводити, хоч це і не становить особливих труднощів - все викладки зводяться до старих-добрих перестановок і парності / непарності інверсій. Проте, доказ буде представлено в окремому параграфі, а сьогодні у нас суто практичний урок.

Тому переходимо до окремого випадку цієї теореми, коли мінори представляють собою окремі клітини матриці.

Розкладання визначника по рядку і стовпцю

Те, про що зараз піде мова - як раз і є основний інструмент роботи з визначниками, заради якого затівались вся ця дичину з перестановками, минорами і алгебраїчними доповненнями.

Читайте і насолоджуйтеся:

Слідство з Теореми Лапласа (розкладання визначника по рядку / колонки). Нехай в матриці розміру $ \\ left [n \\ times n \\ right] $ обрана одна рядок. Минорами в цьому рядку будуть $ n $ окремих клітин:

\\ [((M) _ (1)) \u003d ((a) _ (ij)), \\ quad j \u003d 1, ..., n \\]

Додаткові мінори теж легко вважаються: просто беремо вихідну матрицю і викреслюємо рядок і стовпець, що містять $ ((a) _ (ij)) $. Назвемо такі мінори $ M_ (ij) ^ (*) $.

Для алгебраїчного доповнення ще потрібно число $ S $, але у випадку з мінор порядку 1 це просто сума «координат» клітини $ ((a) _ (ij)) $:

І тоді вихідний визначник можна розписати через $ ((a) _ (ij)) $ і $ M_ (ij) ^ (*) $ відповідно до теореми Лапласа:

\\ [\\ Left | A \\ right | \u003d \\ sum \\ limits_ (j \u003d 1) ^ (n) (((a) _ (ij)) \\ cdot ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (i + j)) \\ cdot ((M) _ (ij))) \\]

Це і є формула розкладання визначника по рядку. Але то ж вірно і для стовпців.

З цього слідства можна відразу сформулювати кілька висновків:

Ця схема однаково добре працює як для рядків, так і для стовпців. Насправді найчастіше розкладання буде йти саме по стовпцях, ніж на один рядок.
Кількість доданків в розкладанні завжди рівно $ n $. Це істотно менше $ C_ (n) ^ (k) $ і вже тим більше $ n! $.
Замість одного визначника $ \\ left [n \\ times n \\ right] $ доведеться рахувати кілька визначників розміру на одиницю менше: $ \\ left [\\ left (n-1 \\ right) \\ times \\ left (n-1 \\ right) \\ right ] $.

Останній факт особливо важливий. Наприклад, замість звірячого визначника 4x4 тепер достатньо буде порахувати кілька визначників 3x3 - з ними ми вже якось впораємося. :)

Завдання. Знайдіть визначник:

\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\]

Рішення. Розкладемо цей визначник по першому рядку:

\\ [\\ Begin (align) \\ left | A \\ right | \u003d 1 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (1 + 1)) \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) 5 & 6 \\\\ 8 & 9 \\\\\\ end (matrix) \\ right | + & \\\\ 2 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (1 + 2)) \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) 4 & 6 \\\\ 7 & 9 \\\\\\ end (matrix) \\ right | + & \\\\ 3 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (1 + 3)) \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) 4 & 5 \\\\ 7 & 8 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d & \\\\\\ end (align) \\]

\\ [\\ Begin (align) & \u003d 1 \\ cdot \\ left (45-48 \\ right) -2 \\ cdot \\ left (36-42 \\ right) +3 \\ cdot \\ left (32-35 \\ right) \u003d \\\\ \\\\\\ end (align) \\]

Завдання. Знайдіть визначник:

\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\

Рішення. Для різноманітності давайте в цей раз працювати зі стовпцями. Наприклад, в останньому стовпці присутні відразу два нуля - очевидно, це значно скоротить обчислення. Зараз побачите чому.

Отже, розкладаємо визначник по четвертому стовпчику:

\\ [\\ Begin (align) \\ left | \\ Begin (matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d 0 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (1 + 4)) \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right | + & \\\\ +1 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ \\ Begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right | + & \\\\ +1 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ \\ Begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right | + & \\\\ +0 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ \\ Begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right | & \\\\\\ end (align) \\]

І тут - о, диво! - два доданків відразу відлітають коту під хвіст, оскільки в них є множник «0». Залишається ще два визначника 3x3, з якими ми легко розберемося:

\\ [\\ Begin (align) & \\ left | \\ Begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d 0 + 0 + 1-1-1-0 \u003d -1; \\\\ & \\ left | \\ Begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d 0 + 1 + 1-0-0-1 \u003d 1. \\\\\\ end (align) \\]

Повертаємося до ісходнику і знаходимо відповідь:

\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d 1 \\ cdot \\ left (-1 \\ right) + \\ left (-1 \\ right) \\ cdot 1 \u003d -2 \\]

Ну от і все. І ніяких 4! \u003d 24 доданків вважати не довелося. :)

Відповідь: -2

Основні властивості визначника

В останній завданню ми бачили, як наявність нулів в рядках (стовпчиках) матриці різко спрощує розкладання визначника і взагалі все обчислення. Виникає природне запитання: а чи не можна зробити так, щоб ці нулі з'явилися навіть в тій матриці, де їх спочатку не було?

Відповідь однозначна: можна, можливо. І тут нам на допомогу приходять властивості визначника:

Якщо поміняти два рядки (стовпці) місцями, визначник не зміниться;
Якщо один рядок (стовпець) помножити на число $ k $, то весь визначник теж примножиться на число $ k $;
Якщо взяти один рядок і додати (відняти) її скільки завгодно разів з іншого, визначник не зміниться;
Якщо два рядки визначника однакові, або пропорційні, або одна з рядків заповнена нулями, то весь визначник дорівнює нулю;
Всі зазначені вище властивості вірні і для стовпців.
При транспонировании матриці визначник не змінюється;
Визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників.

Особливу цінність представляє третя властивість: ми можемо віднімати з одного рядка (стовпця) іншу до тих пір, поки в потрібних місцях не з'являться нулі.

Найчастіше розрахунки зводиться до того, щоб «обнулити» весь стовпець всюди, крім одного елемента, а потім розкласти визначник по цьому стовпцю, отримавши матрицю розміром на 1 менше.

Давайте подивимося, як це працює на практиці:

Завдання. Знайдіть визначник:

\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4 & 1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 4 & 1 & 2 \\\\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\ Рішення. Нулів тут як би взагалі не спостерігається, тому можна «довбати» по будь-якому рядку або стовпцю - обсяг обчислень буде приблизно однаковим. Давайте не будемо дріб'язковими і «обнулив» перший стовпець: в ньому вже є клітина з одиницею, тому просто візьмемо перший рядок і віднімемо її 4 рази з другої, 3 рази з третьої і 2 рази з останньої.

В результаті ми отримаємо нову матрицю, але її визначник буде тим же:

\\ [\\ Begin (matrix) \\ left | \\ Begin (matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4 & 1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 4 & 1 & 2 \\\\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\ \\ Begin (matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4-4 \\ cdot 1 & 1-4 \\ cdot 2 & 2-4 \\ cdot 3 & 3-4 \\ cdot 4 \\\\ 3-3 \\ cdot 1 & 4-3 \\ cdot 2 & 1-3 \\ cdot 3 & 2-3 \\ cdot 4 \\\\ 2-2 \\ cdot 1 & 3-2 \\ cdot 2 & 4-2 \\ cdot 3 & 1-2 \\ cdot 4 \\ \\ Begin (matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & -7 & -10 & -13 \\\\ 0 & -2 & -8 & -10 \\\\ 0 & -1 & -2 & -7 \\\\ \\\\\\ end (matrix) \\]

Тепер з незворушністю П'ятачка розкладаємо цей визначник по першому стовпцю:

\\ [\\ Begin (matrix) 1 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (1 + 1)) \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) -7 & -10 & -13 \\\\ -2 & -8 & -10 \\\\ -1 & -2 & -7 \\\\\\ end (matrix) \\ right | +0 \\ cdot ((\\ ... \\ right | + \\\\ +0 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (3 + 1)) \\ cdot \\ left | ... \\ right | +0 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ right)) ^ (4 + 1)) \\ cdot \\ left | ... \\ right | \\\\\\ end (matrix) \\]

Зрозуміло, що «виживе» лише перший доданок - в інших я навіть визначники газети не передплачував, оскільки вони все одно треба помножити на нуль. Коефіцієнт перед визначником дорівнює одиниці, тобто його можна не записувати.

Зате можна винести «мінуси» з усіх трьох рядків визначника. По суті, ми тричі винесли множник (-1):

\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) -7 & -10 & -13 \\\\ -2 & -8 & -10 \\\\ -1 & -2 & -7 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) 7 & 10 & 13 \\\\ 2 & 8 & 10 \\\\ 1 & 2 & 7 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\]

Отримали невеликий визначник 3x3, який вже можна порахувати за правилом трикутників. Але ми спробуємо розкласти і його по на одну колонку - благо в останній сходинці гордо стоїть одиниця:

\\ [\\ Begin (align) & \\ left (-1 \\ right) \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) 7 & 10 & 13 \\\\ 2 & 8 & 10 \\\\ 1 & 2 & 7 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\ begin (matrix) -7 \\\\ -2 \\\\ \\ uparrow \\ \\ Begin (matrix) 0 & -4 & -36 \\\\ 0 & 4 & -4 \\\\ 1 & 2 & 7 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d \\\\ & \u003d \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) -4 & -36 \\\\ 4 & -4 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d \\ left (-1 \\ right) \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) -4 & -36 \\\\ 4 & -4 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\\\\\ end (align) \\]

Можна, звичайно, ще поприколюватися і розкласти матрицю 2x2 по рядку (стовпцю), але ми ж з вами адекватні, тому просто порахуємо відповідь:

\\ [\\ Left (-1 \\ right) \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) -4 & -36 \\\\ 4 & -4 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d \\ left (-1 \\ right) \\ cdot \\ left (16 + 144 \\ right) \u003d - 160 \\ Ось так і розбиваються мрії. Всього-то -160 у відповіді. :)

Відповідь: -160.

Парочка зауважень перед тим, як ми перейдемо до останньої задачі:

Вихідна матриця була симетрична щодо побічної діагоналі. Все мінори в розкладанні теж симетричні щодо тієї ж побічної діагоналі.

Строго кажучи, ми могли взагалі нічого не розкладати, а просто привести матрицю до верхнетреугольному увазі, коли під головною діагоналлю стоять суцільні нулі. Тоді (в точній відповідності з геометричною інтерпретацією, до речі) визначник дорівнює добутку $ ((a) _ (ii)) $ - чисел на головній діагоналі.
\\ [\\ Left | \\ Begin (matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 4 & 8 & 16 \\\\ 3 & 9 & 27 & 81 \\\\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\ Рішення. Ну, тут перший рядок прямо-таки напрошується на «обнуління». Беремо перший стовпець і віднімаємо рівно один раз з усіх інших:

Завдання. Знайдіть визначник:

\\ [\\ Begin (align) & \\ left | \\ Begin (matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 4 & 8 & 16 \\\\ 3 & 9 & 27 & 81 \\\\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d \\\\ & \u003d \\ left | \\ Begin (matrix) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\\\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\\\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\\\ \\ Begin (matrix) 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & 6 & 14 \\\\ 3 & 6 & 24 & 78 \\\\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\\\\\ end (align) \\]

Розкладаємо по першому рядку, а потім виносимо загальні множники з решти рядків:

\\ [\\ Cdot \\ left | \\ Begin (matrix) 2 & 6 & 14 \\\\ 6 & 24 & 78 \\\\ 20 & 120 & 620 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) 1 & 3 & 7 \\\\ 1 & 4 & 13 \\\\ 1 & 6 & 31 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\]

Знову спостерігаємо «красиві» числа, але вже в першому стовпці - розкладаємо визначник по ньому:

\\ [\\ Begin (align) & 240 \\ cdot \\ left | \\ Begin (matrix) 1 & 3 & 7 \\\\ 1 & 4 & 13 \\\\ 1 & 6 & 31 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \\ begin (matrix) \\ downarrow \\\\ -1 \\\\ -1 \\ \\ Begin (matrix) 1 & 3 & 7 \\\\ 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 3 & 24 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d \\\\ & \u003d 240 \\ cdot ((\\ left (-1 \\ \\ Begin (matrix) 1 & 6 \\\\ 3 & 24 \\\\\\ end (matrix) \\ right | \u003d \\\\ & \u003d 240 \\ cdot 1 \\ cdot \\ left (24-18 \\ right) \u003d 1440 \\\\\\ end ( align) \\]

Порядок. Завдання вирішена.

Відповідь 1440

Визначники та їх властивості. перестановкою чисел 1, 2, ..., n називається будь-яке розташування цих чисел у певному порядку. У елементарної алгебрі доводиться, що число всіх перестановок, які можна утворити з n чисел, одно 12 ... n \u003d n !. Наприклад, з трьох чисел 1, 2, 3 можна утворити 3! \u003d 6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Кажуть, що в даній перестановці числа i і j становлять інверсію (Безлад), якщо i\u003e j, але i стоїть в цій перестановці раніше j, тобто якщо більше стоїть лівіше меншого.

перестановка називається парної (або непарної), Якщо в ній відповідно парне (непарне) загальне число інверсій. Операція, за допомогою якої від однієї перестановки переходять в іншу, складеної з тих же n чисел, називається підстановкою n-го ступеня.

Підстановка, яка переводить одну перестановку в іншу, записується двома рядками в загальних дужках, причому числа, що займають однакові місця в розглянутих перестановках, називаються відповідними і пишуться одне за іншим. Наприклад, символ позначає підстановку, в якій 3 перетворюється на 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Підстановка називається парної (або непарній), Якщо загальна кількість інверсій в обох рядках підстановки парне (непарне). Будь-яка підстановка n-го ступеня може бути записана у вигляді, тобто. з натуральним розташуванням чисел у верхньому рядку.

Нехай нам дана квадратна матриця порядку n

Розглянемо всі можливі твори по n елементів цієї матриці, узятих по одному і тільки по одному з кожного рядка і кожного шпальти, тобто творів виду:

, (4.4)

де індекси q 1, q 2, ..., q n становлять деяку перестановку з чисел
1, 2, ..., n. Число таких творів одно числу різних перестановок з n символів, тобто одно n !. Знак твори (4.4) дорівнює (- 1) q, де q - число інверсій в перестановці других індексів елементів.

визначником n -го порядку, відповідним матриці (4.3), називається алгебраїчна сума n! членів виду (4.4). Для запису визначника вживається символ або detA \u003d (Детермінант, або визначник, матриці А).

властивості визначників

1. Визначник не змінюється при транспонировании.

2. Якщо один з рядків визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

3. Якщо у визначнику переставити два рядки, визначник змінить знак.

4. Визначник, що містить дві однакові рядки, дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякого рядка визначника помножити на деяке число k, то сам визначник множиться на k.

6. Визначник, у якому дві пропорційні рядки, дорівнює нулю.

7. Якщо всі елементи i-го рядка визначника представлені у вигляді суми двох доданків a i j \u003d b j + c j (j \u003d 1, ..., n), то визначник дорівнює сумі визначників, у яких всі рядки, крім i-ой, - такі ж, як в заданому визначнику, а i-й рядок в одному з доданків складається з елементів b j, в іншому - з елементів c j.

8. Визначник не змінюється, якщо до елементів однієї з його рядків додаються відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.

Зауваження. Всі властивості залишаються справедливими, якщо замість рядків взяти стовпчики.

міноромM i j елемента a i j визначника d n-го порядку називається визначник порядку n-1, який виходить з d викреслюванням рядка і стовпця, що містять цей елемент.

алгебраїчним доповненням елемента a i j визначника d називається його мінор M i j, взятий зі знаком (-1) i + j. Алгебраїчне доповнення елемента a i j будемо позначати A i j. Таким чином, A i j \u003d (-1) i + j M i j.

Способи практичного обчислення визначників, засновані на тому, що визначник порядку n може бути виражений через визначники нижчих порядків, дає наступна теорема.

теорема (Розкладання визначника по рядку або стовпцю).

Визначник дорівнює сумі творів всіх елементів довільної його рядки (чи шпальти) на їх алгебраїчні доповнення. Інакше кажучи, має місце розкладання d по елементам i-й рядки

d \u003d a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ... + a i n A i n (i \u003d 1, ..., n)

або j- го стовпчика

d \u003d a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ... + a n j A n j (j \u003d 1, ..., n).

Зокрема, якщо всі елементи рядка (або стовпця), крім одного, дорівнюють нулю, то визначник дорівнює цьому елементу, помноженому на його алгебраїчне доповнення.

Формула обчислення визначника третього порядку.

Для полегшення запам'ятовування цієї формули:

Приклад 2.4.Не вважаючи визначника, показати, що він дорівнює нулю.

Рішення.Віднімемо з другого рядка першу, отримаємо визначник, що дорівнює вихідному. Якщо з третього рядка також відняти першу, то вийде визначник, в якому два рядки пропорційні. Такий визначник дорівнює нулю.

Приклад 2.5.Обчислити визначник D \u003d, розклавши його по елементах другого стовпця.

Рішення.Розкладемо визначник за елементами другого стовпця:

D \u003d a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 \u003d

Приклад 2.6. обчислити визначник

в якому всі елементи по одну сторону від головної діагоналі дорівнюють нулю.

Рішення.Розкладемо визначник А по першому рядку:

Визначник, що стоїть праворуч, можна знову розкласти по першому рядку, тоді отримаємо:

Приклад 2.7. обчислити визначник .

Рішення.Якщо до кожного рядка визначника, починаючи з другої, додати перший рядок, то вийде визначник, в якому всі елементи, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюватимуть нулю. А саме, отримаємо визначник: , Рівний вихідному.

Розмірковуючи, як в попередньому прикладі знайдемо, що він дорівнює добутку елементів головної діагоналі, тобто n !. Спосіб, за допомогою якого обчислений даний визначник, називається способом приведення до трикутного вигляду.

Часто у ВНЗ трапляються завдання з вищої математики, в яких необхідно обчислити визначник матриці. До слова, визначник може бути тільки в квадратних матрицях. Нижче розглянемо основні визначення, якими властивостями володіє визначник і як його правильно обчислити .. Також на прикладах покажемо докладний рішення.

Що таке визначник матриці: обчислення визначника за допомогою визначення

визначник матриці

Другого порядку - це число.

Визначник матриці позначається - (скорочено від латинської назви детермінант), або.

Якщо :, тоді виходить

Нагадаємо ще кілька допоміжних визначень:

визначення

Упорядкований набір чисел, який складається з елементів називається перестановкою порядку.

Для безлічі, яке містить елементів є факторіал (n), який завжди позначається оклику:. Перестановки відрізняються один від одного лише порядком проходження. Щоб вам було зрозуміліше, наведемо приклад:

Розглянемо безліч з трьох елементів (3, 6, 7). Всього перестановок 6, так як.:

визначення

Інверсія в перестановці порядку - це упорядкований набір чисел (його ще називають біекція), де з них два числа утворюють певний безлад. Це коли більше з чисел в даній перестановці розташоване лівіше меншого числа.

Вище ми розглядали приклад з інверсією перестановки, де були числа. Так ось, візьмемо другий рядок, де судячи з даних числах виходить, що, а, так як другий елемент більше третього елемента. Візьмемо для порівняння шостий рядок, де розташовані числа:. Тут є три пари:, а, так як title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Саму інверсію ми вивчати не будемо, а ось перестановки нам дуже знадобляться в подальшому розгляді теми.

визначення

Визначник матриці x - число:

- перестановка чисел від 1 до нескінченного числа, а - число інверсій в перестановці. Таким чином, в визначник входить доданків, які називаються "членами визначника".

Можна обчислювати визначник матриці другого порядку, третього і навіть четвертого. Також варто згадати:

визначення

визначник матриці - це число, яке дорівнює

Щоб зрозуміти цю формулу, опишемо її більш детально. Визначник квадратної матриці x - це сума, яка містить доданків, а кожний доданок є собою твором певної кількості елементів матриці. При цьому, в кожному творі є елемент з кожного рядка і кожного стовпця матриці.

Перед певним складовою може з'явиться в тому випадку, якщо елементи матриці в творі йдуть по порядку (за номером рядок), а кількість інверсій в перестановці безліч номерів стовпців непарній.

Вище згадувалося про те, що визначник матриці позначається або, тобто, визначник часто називають детермінантом.

Отже, повернемося до формули:

З формули видно, що визначник матриці першого порядку - це елемент цієї ж матриці.

Обчислення визначника матриці другого порядку

Найчастіше на практиці визначник матриці вирішується методами другого, третього і рідше, четвертого порядку. Розглянемо, як обчислюється визначник матриці другого порядку:

У матриці другого порядку, це означає, що факторіал. Перш ніж застосувати формулу

Необхідно визначити, які дані у нас виходять:

2. перестановки множин: і;

3. кількість інверсій в перестановці: і, так як title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. відповідні твори: і.

виходить:

Виходячи з вищесказаного ми отримуємо формулу для обчислення визначника квадратної матриці другого порядку, тобто x:

Розглянемо на конкретному прикладі, Як обчислювати визначник квадратної матриці другого порядку:

приклад

завдання

Обчислити визначник матриці x:

Рішення

Отже, у нас виходить,,,.

Для вирішення необхідно скористатися раніше розглянутої формулою:

Підставляємо числа з прикладу і знаходимо:

відповідь

Визначник матриці другого порядку \u003d.

Обчислення визначника матриці третього порядку: приклад і рішення по формулі

визначення

Визначник матриці третього порядку - це число, отримане з дев'яти заданих чисел, розташованих у вигляді квадратної таблиці,

Визначник третього порядку знаходиться майже так само, як і визначник другого порядку. Різниця лише в формулі. Тому, якщо добре орієнтуватися у формулі, тоді і проблем з рішенням не буде.

Розглянемо квадратну матрицю третього порядку *:

Виходячи з даної матриці, розуміємо, що, відповідно, факторіал \u003d, а це значить, що все перестановок виходить

Щоб застосувати правильно формулу, необхідно знайти дані:

Отже, всього перестановок безлічі:

Кількість інверсій в перестановці, а відповідні твори \u003d;

Кількість інверсій в перестановці title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Інверсій в перестановці title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; інверсій в перестановці title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; інверсій в перестановці title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Тепер у нас виходить:

Таким чином у нас отримана формула для обчислення визначника матриці порядку x:

Знаходження матриці третього порядку за правилом трикутника (правило Саррюс)

Як говорилося вище, елементи визначника 3-го порядку розташовані в трьох рядках і трьох стовпцях. Якщо ввести позначення загального елемента, тоді перший елемент позначає номер рядка, а другий елемент з індексів - номер стовпчика. Є головна (елементи) і побічна (елементи) діагоналі визначника. Складові в правій частині називаються членами визначника).

Видно, що кожен член визначника знаходиться в схемі тільки по одному елементу в кожному рядку і кожному за шпальти.

Обчислювати визначник можна за допомогою правила прямокутника, який зображений у вигляді схеми. Червоним кольором виділені члени визначника з елементів головної діагоналі, а також члени з елементів, які знаходяться в вершині трикутників, що мають по одній стороні, паралельні головній діагоналі (лева схема), беруться зі знаком.

Члени з синіми стрілками з елементів побічної діагоналі, а також з елементів, які знаходяться в вершинах трикутників, що мають боку, паралельні побічної діагоналі (права схема) беруться зі знаком.

На наступному прикладі навчимося, як обчислювати визначник квадратної матриці третього порядку.

приклад

завдання

Обчислити визначник матриці третього порядку:

Рішення

У цьому прикладі:

Обчислюємо визначник, застосовуючи формулу або схему, які розглядалися вище:

відповідь

Визначник матриці третього порядку \u003d

Основні властивості визначників матриці третього порядку

На підставі попередніх визначень і формул розглянемо основні властивості визначника матриці.

1. Розмір визначника не зміниться при заміні відповідних рядків, стовпців (така заміна називається Транспонированием).

На прикладі переконаємося, що визначник матриці дорівнює визначнику транспонованою матриці:

Згадаймо формулу для обчислення визначника:

Транспоніруем матрицю:

Обчислюємо визначник транспонованою матриці:

Ми переконалися, що визначник транспортованої матриці дорівнює вихідній матриці, що говорить про правильне рішення.

2. Знак визначника зміниться на протилежний, якщо в ньому поміняти місцями будь-які два його шпальти чи два простих рядки.

Розглянемо на прикладі:

Дано дві матриці третього порядку (x):

Потрібно показати, що визначники даних матриць протилежні.

Рішення

У матриці і в матриці помінялися рядки (третя з першої, і з першої на третю). Згідно з другим властивості визначники двох матриць повинні відрізнятися знаком. Тобто, одна матриця з позитивним знаком, а друга - з негативним. давайте перевіримо дане властивість, застосувавши формулу для обчислення визначника.

Властивість вірно, так як.

3. Визначник дорівнює нулю, якщо в ньому є однакові відповідні елементи в двох рядках (стовпчиках). Нехай у визначника однакові елементи першого і другого стовпчиків:

Помінявши місцями однакові стовпці, ми, відповідно до властивості 2 отримаємо новий визначник: \u003d. З іншого боку, новий визначник збігається з початковим, оскільки однакові відповіді елементи, тобто \u003d. З цих рівностей у нас виходить: \u003d.

4. Визначник дорівнює нулю, якщо всі елементи одного рядка (стовпця) нулі. Це твердження випливає з того, що у кожного члена визначника за формулою (1) є по одному, і тільки по одному елементу з кожного рядка (стовпчика), у якого одні нулі.

Розглянемо на прикладі:

Покажемо, що визначник матриці дорівнює нулю:

В нашій матриці є два однакових шпальти (другий і третій), тому, виходячи з даного властивості, Визначник повинен дорівнювати нулю. перевіримо:

І дійсно, визначник матриці з двома однаковими стовпцями дорівнює нулю.

5. Загальний множник елементів першого рядка (стовпчика) можна винести за знак визначника:

6. Якщо елементи одного рядка чи одного шпальти визначника пропорційні відповідним елементам другого рядка (стовпця), тоді такий визначник дорівнює нулю.

Дійсно, за властивістю 5 коефіцієнт пропорційності можна винести за знак визначника, і тоді скористатися властивістю 3.

7. Якщо кожен з елементів рядків (стовпців) визначника є сумою двох доданків, то цей визначник можна подати у вигляді суми відповідних визначників:

Для перевірки достатньо записати в розгорнутому вигляді по (1) визначник, що в лівій частині рівності, тоді окремо згрупувати члени, в яких містяться елементи і .Каждая з отриманих груп доданків буде відповідно першим і другим визначником з правій частині рівності.

8. Значення визначення не зміняться, якщо до елементу одного рядка чи одного шпальти додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те ж число:

Це рівність виходить виходячи з властивостей 6 і 7.

9. Визначник матриці,, дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.

Тут по мається на увазі алгебраїчне доповнення елемента матриці. За допомогою даного властивості можна обчислювати не тільки матриці третього порядку, а й матриці більше вищих порядків (x або x) .Інші словами - це рекуррентная формула, яка потрібна для того, щоб обчислити визначник матриці будь-якого порядку. Запам'ятайте її, так як вона часто застосовується на практиці.

Варто сказати, що за допомогою дев'ятого властивості можна обчислювати визначники матриць не тільки четвертого порядку, а й більш вищих порядків. Однак, при цьому потрібно здійснювати дуже багато обчислювальних операцій і бути уважним, тому що найменша помилка в знаках призведе до невірного рішення. Матриці вищих порядків найзручніше вирішувати методом Гаусса, і про це поговоримо пізніше.

10. Визначник добутку матриць одного порядку дорівнює добутку їх визначників.

Розглянемо на прикладі:

приклад

завдання

Переконайтеся, що визначник двох матриць і дорівнює добутку їх визначників. Дано дві матриці:

Рішення

Спочатку знаходимо твір визначників двох матриць і.

Тепер виконаємо множення обох матриць і таким чином, обчислимо визначник:

відповідь

Ми переконалися, що

Обчислення визначника матриці за допомогою методу Гаусса

визначник матриці оновлено: 22 листопад, 2019 автором: наукові Статьі.Ру

Можна поставити у відповідність деякий число, Що обчислюється за певним правилом і зване визначником.

Необхідність введення поняття визначника - числа, що характеризує квадратну матрицю порядку n , Тісно пов'язане з рішенням систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

визначник матриці А будемо позначати: | А| або D.

Визначником матриці першого порядкуА = (а 11) називається елемент а 11. Наприклад, для А \u003d (-4) маємо | А| = -4.

Визначником матриці другого порядкуназивається число, Що визначається за формулою

|А| = .

Наприклад, | А| = .

Словами це правило можна записати так: зі своїм знаком треба взяти твір елементів, з'єднаних головною діагоналлю, І твори елементів, з'єднаних вершинами трикутників, у яких підставу паралельно головній діагоналі. З зворотним знаком беруться аналогічні твори, тільки щодо побічної діагоналі.

наприклад,

Визначення визначника матриці n-го порядку давати не будемо, а лише покажемо метод його знаходження.

Надалі, замість слів визначник матриці n-го порядку будемо говорити просто визначник n-го порядку. Введемо нові поняття.

Нехай дана квадратна матриця n-го порядку.

міноромМ ij елемента а ij матриці Аназивається визначник (n-1) -го порядку, отриманий з матриці А викреслюванням i-ої рядки і j-го стовпчика.

Алгебраїчним доповненням А ij елемента а ij матриці А називається його мінор, взятий зі знаком (-1) i + j:

А ij \u003d (-1) i + j М ij,

тобто алгебраїчне доповнення або збігається зі своїм мінор, коли сума номерів рядка і стовпця - парне число, або відрізняється від нього знаком, коли сума номерів рядка і стовпця - непарне число.

Наприклад, для елементів а 11 і а 12 матриці А \u003d мінори

М 11 = А 11 = ,

М 12 = ,

а А 12 = (-1) 1+2 М 12 = -8.

Теорема (про розкладанні визначника) . Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення, тобто

|А| = а i1 A i1 + а i2 A i2 + ... + а in A in,
для будь-якого i = 1, 2, …, n

|А| = а 1j A 1j + а 2j A 2j + ... + а nj A nj,

для будь-якого j = 1, 2, …, n

Перша формула називається i-ої рядки, а друга - розкладанням визначника за елементами j-го стовпчика.

Неважко зрозуміти, що за допомогою цих формул будь-визначник n-го порядку можна звести до суми визначників, порядок яких буде на 1 менше і т.д. поки не дійдемо до визначників 3-го або 2-го порядків, обчислення яких вже не представляє труднощі.

Для знаходження визначника можуть бути застосовані такі основні властивості:

1. Якщо якась рядок (або стовпчик) визначника складається з нулів, то і сам визначник дорівнює нулю.

2. При перестановці будь-яких двох рядків (або двох стовпців) визначник множиться на -1.

3. Визначник з двома однаковими або пропорційними рядками (чи стовпчиками) дорівнює нулю.

4. Загальний множник елементів будь-якого рядка (або стовпця) можна винести за знак визначника.

5. Величина визначника не зміниться, якщо всі рядки і стовпці поміняти місцями.

6. Величина визначника не зміниться, якщо до однієї з рядків (або до одного з стовпців) додати інший рядок (стовпець), помножену на будь-яке число.

7. Сума добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця) матриці на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) цієї матриці дорівнює нулю.

8. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників.

Введення поняття визначника матриці дозволяє визначити ще одну дію з матрицями - знаходження оберненої матриці.

Для кожного ненульового числа існує зворотне число, таке, що твір цих чисел дає одиницю. Для квадратних матриць теж існує таке поняття.

матриця А -1 називається зворотногопо відношенню до квадратної матриці А, Якщо при множенні цієї матриці на дану як справа, так і зліва виходить одинична матриця, Тобто

А× А -1 = А -1 × А= Е.

З визначення випливає, що тільки квадратна матриця має зворотну; в цьому випадку і зворотна матриця буде квадратної того ж порядку. Однак не кожна квадратна матриця має свою зворотну.

У загальному випадку правило обчислення визначників $ n $ -го порядку є досить громіздким. Для визначників другого і третього порядку існують раціональні способи їх обчислень.

Обчислення визначників другого порядку

Щоб обчислити визначник матриці другого порядку, треба від твору елементів головної діагоналі відняти твір елементів побічної діагоналі:

$$ \\ left | \\ Begin (array) (ll) (a_ (11)) & (a_ (12)) \\\\ (a_ (21)) & (a_ (22)) \\ end (array) \\ right | \u003d a_ (11) \\ приклад

Завдання.

Обчислити визначник другого порядку $ \\ left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | $ $ \\ Left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | \u003d 11 \\ cdot 5 - (- 2) \\ cdot 7 \u003d 55 + 14 \u003d 69 $

Рішення. Відповідь.

$ \\ Left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | \u003d 69 $ Методи обчислення визначників третього порядку

Для обчислення визначників третього порядку існує такі правила.

правило трикутника

Схематично це правило можна зобразити таким чином:

Твір елементів в першому визначнику, які з'єднані прямими, береться зі знаком "плюс"; аналогічно, для другого визначника - відповідні твори беруться зі знаком "мінус", тобто

$$ \\ left | \\ Begin (array) (ccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (a_ (13)) \\\\ (a_ (21)) & (a_ (22)) & (a_ (23)) \\\\ (a_ (31)) & (a_ (32)) & (a_ (33)) \\ end (array) \\ right | \u003d a_ (11) a_ (22) a_ (33) + a_ (12) a_ ( 23) a_ (31) + a_ (13) a_ (21) a_ (32) - $$

$$ - a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) -a_ (13) a_ (22) a_ (31) $$

Завдання.

Обчислити визначник другого порядку $ \\ left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | $ Обчислити визначник $ \\ left | \\ Begin (array) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\\\ (4) & (1) & (3) \\\\ (1) & (-2) & (-2) \\ end (array) \\ right | $ методом трикутників.

Рішення. $ \\ Left | \\ Begin (array) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\\\ (4) & (1) & (3) \\\\ (1) & (-2) & (-2) \\ end (array) \\ right | \u003d 3 \\ cdot 1 \\ cdot (-2) +4 \\ cdot (-2) \\ cdot (-1) + $

$$ + 3 \\ cdot 3 \\ cdot 1 - (- 1) \\ cdot 1 \\ cdot 1-3 \\ cdot (-2) \\ cdot 3-4 \\ cdot 3 \\ cdot (-2) \u003d 54 $$

$ \\ Left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | \u003d 69 $

правило Саррюс

Праворуч від визначника дописують перших два стовпці і твори елементів на головній діагоналі і на діагоналях, їй паралельних, беруть зі знаком "плюс"; а твори елементів побічної діагоналі і діагоналей, їй паралельних, зі знаком "мінус":

$$ - a_ (13) a_ (22) a_ (31) -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) $$

Завдання.

Рішення.

$$ + (- 1) \\ cdot 4 \\ cdot (-2) - (- 1) \\ cdot 1 \\ cdot 1-3 \\ cdot 3 \\ cdot (-2) -3 \\ cdot 4 \\ cdot (-2) \u003d 54 $$

$ \\ Left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | \u003d 69 $ $ \\ Left | \\ Begin (array) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\\\ (4) & (1) & (3) \\\\ (1) & (-2) & (-2) \\ end (array) \\ right | \u003d 54 $

Розкладання визначника по рядку або стовпцю

Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка визначника на їх алгебраїчні доповнення. Зазвичай вибирають ту рядок / стовпець, в якій / ом є нулі. Рядок або стовпець, по якій / ому ведеться розкладання, буде позначати стрілкою.

Завдання.

Обчислити визначник другого порядку $ \\ left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | $ Розклавши по першому рядку, обчислити визначник $ \\ left | \\ Begin (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\\\ (4) & (5) & (6) \\\\ (7) & (8) & (9) \\ end (array) \\ right | $

Рішення. $ \\ Left | \\ Begin (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\\\ (4) & (5) & (6) \\\\ (7) & (8) & (9) \\ end (array) \\ right | \\ Leftarrow \u003d a_ (11) \\ cdot A_ (11) + a_ (12) \\ cdot A_ (12) + a_ (13) \\ cdot A_ (13) \u003d $

$ 1 \\ cdot (-1) ^ (1 + 1) \\ cdot \\ left | \\ Begin (array) (cc) (5) & (6) \\\\ (8) & (9) \\ end (array) \\ right | +2 \\ cdot (-1) ^ (1 + 2) \\ cdot \\ left | \\ Begin (array) (cc) (4) & (6) \\\\ (7) & (9) \\ end (array) \\ right | +3 \\ cdot (-1) ^ (1 + 3) \\ cdot \\ left | \\ Begin (array) (cc) (4) & (5) \\\\ (7) & (8) \\ end (array) \\ right | \u003d -3 + 12-9 \u003d 0 $

$ \\ Left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | \u003d 69 $

Цей метод дозволяє обчислення визначника звести до обчислення визначника нижчого порядку.

Завдання.

Обчислити визначник другого порядку $ \\ left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | $ Обчислити визначник $ \\ left | \\ Begin (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\\\ (4) & (5) & (6) \\\\ (7) & (8) & (9) \\ end (array) \\ right | $

Рішення. Виконаємо такі перетворення над рядками визначника: з другого рядка віднімемо чотири перших, а з третьої перший рядок, помножену на сім, в результаті, згідно властивостям визначника, отримаємо визначник, рівний даному.

$$ \\ left | \\ Begin (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\\\ (4) & (5) & (6) \\\\ (7) & (8) & (9) \\ end (array) \\ right | \u003d \\ left | \\ Begin (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\\\ (4-4 \\ cdot 1) & (5-4 \\ cdot 2) & (6-4 \\ cdot 3) \\\\ ( 7-7 \\ cdot 1) & (8-7 \\ cdot 2) & (9-7 \\ cdot 3) \\ end (array) \\ right | \u003d $$

$$ \u003d \\ left | \\ Begin (array) (rrr) (1) & (2) & (3) \\\\ (0) & (-3) & (-6) \\\\ (0) & (-6) & (-12) \\ \\ Begin (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\\\ (0) & (-3) & (-6) \\\\ (0) & (2 \\ cdot (-3)) & (2 \\ cdot (-6)) \\ end (array) \\ right | \u003d 0 $$

Визначник дорівнює нулю, так як другий і третій рядки є пропорційними.

$ \\ Left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | \u003d 69 $ $ \\ Left | \\ Begin (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\\\ (4) & (5) & (6) \\\\ (7) & (8) & (9) \\ end (array) \\ right | \u003d 0 $

Для обчислення визначників четвертого порядку і вище застосовується або розкладання по рядку / колонки, або приведення до трикутного вигляду, або за допомогою теореми Лапласа.

Розкладання визначника за елементами рядка або стовпця

Завдання.

Обчислити визначник другого порядку $ \\ left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | $ Обчислити визначник $ \\ left | \\ Begin (array) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\\\ (5) & (4) & (3) & (2) \\\\ (1) & (0) & (1) & (2) \\\\ (3) & (4) & (5) & (6) \\ end (array) \\ right | $, розклавши його по елементах якийсь рядки або якогось стовпця.

Рішення. Попередньо виконаємо елементарні перетворення над рядками визначника, зробивши якомога більше нулів або в рядку, або в стовпці. Для цього спочатку від першого рядка віднімемо дев'ять третє, від другої - п'ять третє і від четвертої - три третіх рядки, отримуємо:

$$ \\ left | \\ Begin (array) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\\\ (5) & (4) & (3) & (2) \\\\ (1) & (0) & (1) & (2) \\\\ (3) & (4) & (5) & (6) \\ end (array) \\ right | \u003d \\ left | \\ Begin (array) (cccc) (9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\\\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\\\ (1) & (0) & (1) & (2) \\\\ (0) & (4) & (2) & (0) \\ end (array) \\ right | \u003d \\ \\ Begin (array) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\\\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\\\ (1) & (0) & (1) & (2) \\\\ (0) & (4) & (2) & (0) \\ end (array) \\ right | $$

Отриманий визначник розкладемо за елементами першого стовпця:

$$ \\ left | \\ Begin (array) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\\\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\\\ (1) & (0) & (1) & (2) \\\\ (0) & (4) & (2) & (0) \\ end (array) \\ right | \u003d 0 + 0 + 1 \\ cdot (-1) ^ ( 3 + 1) \\ cdot \\ left | \\ Begin (array) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\\\ (4) & (-2) & (-8) \\\\ (4) & (2) & (0) \\

Отриманий визначник третього порядку також розкладемо за елементами рядка і стовпця, попередньо отримавши нулі, наприклад, в першому стовпці. Для цього від першого рядка віднімаємо дві другі рядки, а від третьої - другу:

$$ \\ left | \\ Begin (array) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\\\ (4) & (-2) & (-8) \\\\ (4) & (2) & (0) \\ \\ Begin (array) (rrr) (0) & (2) & (4) \\\\ (4) & (-2) & (-8) \\\\ (0) & (4) & (8) \\ end ( array) \\ right | \u003d 4 \\ cdot (-1) ^ (2 + 2) \\ cdot \\ left | \\ Begin (array) (ll) (2) & (4) \\\\ (4) & (8) \\ end (array) \\ right | \u003d $$

$$ \u003d 4 \\ cdot (2 \\ cdot 8-4 \\ cdot 4) \u003d 0 $$

$ \\ Left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | \u003d 69 $ $ \\ Left | \\ Begin (array) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\\\ (5) & (4) & (3) & (2) \\\\ (1) & (0) & (1) & (2) \\\\ (3) & (4) & (5) & (6) \\ end (array) \\ right | \u003d 0 $

зауваження

Останній і передостанній визначники можна було б і не обчислювати, а відразу зробити висновок про те, що вони дорівнюють нулю, так як містять пропорційні рядки.

Приведення визначника до трикутного вигляду

За допомогою елементарних перетворень над рядками або стовпцями визначник приводиться до трикутного вигляду і тоді його значення, відповідно до властивостями визначника, дорівнює добутку елементів що стоять на головній діагоналі.

Завдання.

Обчислити визначник другого порядку $ \\ left | \\ Begin (array) (rr) (11) & (-2) \\\\ (7) & (5) \\ end (array) \\ right | $ Обчислити визначник $ \\ Delta \u003d \\ left | \\ Begin (array) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\\\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\\\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\\\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \\ end (array) \\ right | $ приведенням його до трикутного вигляду.

Рішення. Спочатку робимо нулі в першому стовпчику під головною діагоналлю. Всі перетворення буде виконувати простіше, якщо елемент $ a_ (11) $ дорівнюватиме 1. Для цього ми поміняємо місцями перший і другий стовпці визначника, що, згідно з властивостями визначника, призведе до того, що він змінить знак на протилежний:

$$ \\ Delta \u003d \\ left | \\ Begin (array) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\\\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\\\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\\\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \\ end (array) \\ right | \u003d - \\ left | \\ Begin (array) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\\\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\\\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\\\ (-1) & (4) & (2) & (-3) \\ end (array) \\ right | $$

$$ \\ Delta \u003d - \\ left | \\ Begin (array) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\\\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\\\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\\\ (0) & (2) & (5) & (-1) \\ end (array) \\ right | $$

Далі отримуємо нулі в другому стовпці на місці елементів, що стоять під головною діагоналлю. І знову, якщо діагональний елемент буде дорівнює $ \\ pm 1 $, то обчислення будуть більш простими. Для цього міняємо місцями другу і третю рядки (і при цьому змінюється на протилежний знак визначника):

$$ \\ Delta \u003d \\ left | \\ Begin (array) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\\\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\\\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\\\ (0) & (2) & (5) & (-1) \\ end (array) \\ right | $$