Існування базису векторного простору. Лінійна залежність базис розмірність заміна базису Доповнити базис підпростору до базису всього простору

Головізін В.В. Лекції з алгебри та геометрії. 5

Лекції з алгебри та геометрії. Семестр 2

Лекція 23. векторного простору.

Короткий зміст: критерій лінійної залежності системи ненульових векторів, підсистеми системи векторів, система векторів, що породжує, мінімальна породжувальна система і максимальна лінійно незалежна система, базис векторного простору і 4 його рівносильні визначення, розмірність векторного простору, кінцеве векторне простір і існування його бази базису.

п.1. Критерій лінійної залежності системи ненульових векторів.

Теорема. Система ненульових векторів лінійно залежна тоді і лише тоді, коли знайдеться вектор системи, який лінійно виражається через попередні вектори системи.

Доказ. Нехай система складається з ненульових векторів та лінійно залежна. Розглянемо систему з одного вектора:
. Т.к.
, то система
- Лінійно незалежна. Приєднаємо до неї вектор . Якщо отримана система
лінійно незалежна, то приєднаємо до неї наступний вектор: . І т.д. продовжуємо доти, доки не отримаємо лінійно залежну систему
де . Такий номер обов'язково знайдеться. вихідна система
є лінійно залежною за умовою.

Отже, за побудовою, отримали лінійно залежну систему
, причому, система
є лінійно незалежною.

Система
представляє нульовий вектор нетривіально, тобто. знайдеться такий ненульовий набір скалярів
, що

де скаляр
.

Справді, інакше, якщо
, то ми мали б нетривіальне уявлення нульового вектора лінійно незалежною системою
, що неможливо.

Розділивши останню рівність на ненульовий скаляр
, ми можемо висловити з нього вектор :

,

Оскільки зворотне твердження очевидне, теорема доведена.

п.2. Підсистеми системи вектор векторного простору.

Визначення. Будь-яке непусте підмножина системи векторів
називається підсистемою цієї системи векторів.

приклад. Нехай
– система із 10 векторів. Тоді системи векторів:
;
,
- Підсистеми цієї системи векторів.

Теорема. Якщо система векторів містить лінійно залежну підсистему, то система векторів теж лінійно залежна.

Доказ. Нехай дана система векторів
і нехай для певності підсистема
, де
є лінійно залежною. Тоді вона представляє нульовий вектор нетривіально:

де серед коефіцієнтів
є хоча б один не рівний нулю. Але тоді така рівність є нетривіальне уявлення нульового вектора:

звідки, за визначенням, слідує лінійна залежність системи
, Ч.т.д.

Теорему доведено.

Наслідок. Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів є лінійно незалежною.

Доказ. Допустимо неприємне. Нехай якась підсистема цієї системи є лінійно залежною. Тоді з теореми випливає лінійна залежність цієї системи, що суперечить умові.

Наслідок доведено.

п.3. Системи стовпчиків арифметичного векторного простору стовпчиків.

З результатів попереднього параграфа, як окремий випадок, випливає теорема.

1) Система стовпців є лінійно залежною і тоді, як у системі знайдеться хоча б один стовпець, який лінійно виявляється через інші стовпці даної системи.

2) Система стовпців є лінійно незалежною і тоді, коли жоден стовпець системи лінійно не виражається через інші стовпці даної системи.

3) Система стовпців, що містить нульовий стовпець, є лінійно залежною.

4) Система стовпців, що містить два рівні стовпці є лінійно залежною.

5) Система стовпців, що містить два пропорційні стовпці є лінійно залежною.

6) Система стовпців, що містить лінійно залежну підсистему, є лінійно залежною.

7) Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи стовпців є лінійно незалежною.

Єдине, що, можливо, тут потрібно уточнити це поняття пропорційних стовпців.

Визначення. Два ненульові стовпці
називають пропорційними, якщо знайдеться скаляр
, такий, що
або

,
, …,
.

приклад. Система
є лінійно залежною, тому що її перші два стовпці пропорційні.

Зауваження. Ми вже знаємо (див. лекцію 21), що визначник дорівнює нулю, якщо система його стовпців (рядок) є лінійно залежною. Надалі буде доведено, що правильне і зворотне твердження: якщо визначник дорівнює нулю, то система його стовпців та система його рядків є лінійно залежними.

п.4. Базис векторний простір.

Визначення. Система векторів
векторного простору над полем називається породжуючої (утворюючої) системою векторів цього векторного простору, якщо вона представляє будь-який його вектор, тобто. якщо знайдеться такий набір скалярів
, що.

Визначення. Система векторів векторного простору називається мінімальною системою, що породжує, якщо при видаленні з цієї системи будь-якого вектора вона перестає бути породжувальною системою.

Зауваження. З визначення відразу ж випливає, що якщо система векторів, що породжує, не є мінімальною, то знайдеться хоча б один вектор системи, при видаленні якого із системи, система векторів, що залишилася, як і раніше буде породжувальною.

Лемма (Про лінійно залежну породжувальну систему.)

Якщо в лінійно залежній і породжувальній системі векторів один із векторів лінійно виражається через інші, то його можна видалити із системи і система векторів, що залишилася, буде породжувальною.

Доказ. Нехай система
лінійно залежна і породжує, і нехай один із її векторів лінійно виражається через інші вектори цієї системи.

Для певності та для простоти запису припустимо, що

Так як
- Що породжує система, то
знайдеться такий набір скалярів
, що

.

Звідси отримуємо,

тобто. будь-який вектор х лінійно виражається через вектори системи
, а це означає, що вона є системою, що породжує, ч.т.д.

Наслідок 1. Лінійно залежна та породжувальна система векторів не є мінімальною.

Доказ. Відразу ж випливає з леми і визначення мінімальної системи векторів, що породжує.

Наслідок 2. Мінімальна система векторів, що породжує, є лінійно незалежною.

Доказ. Допустивши неприємне, приходимо до суперечності зі слідством 1.

Визначення. Система векторів простору називається максимальною лінійно незалежною системою, якщо при додаванні до цієї системи будь-якого вектора вона стає лінійно залежною.

Зауваження. З визначення відразу ж випливає, що якщо система є лінійно незалежною, але не максимальною, то знайдеться вектор, при додаванні якого до системи виходить лінійно незалежна система.

Визначення. Базисом векторного простору над полем K називається впорядкована система його векторів, що представляє будь-який вектор векторного простору єдиним способом.

Інакше кажучи, система векторів
векторного простору V над полем K називається його базисом, якщо
існує єдиний набір скалярів
, такий, що .

Теорема. (Про чотири рівносильні визначення базису.)

Нехай
- Впорядкована система векторів векторного простору. Тоді такі твердження рівносильні:

1. Система
є базисом.

2. Система
є лінійно незалежною та породжувальною системою векторів.

3. Система
є максимальною лінійно незалежною системою векторів.

4. Система
є мінімальною системою векторів.

Доказ.

Нехай система векторів
є базисом. З визначення базису відразу ж випливає, що ця система векторів є системою векторів векторного простору, що породжує, тому нам потрібно тільки довести її лінійну незалежність.

Припустимо, що дана системавекторів лінійно залежна. Тоді існує два уявлення нульового вектора – тривіальне та нетривіальне, що суперечить визначенню базису.

Нехай система векторів
є лінійно незалежною та породжувальною. Нам потрібно довести, що ця лінійно незалежна система є максимальною.

Допустимо неприємне. Нехай ця лінійно незалежна система векторів не є максимальною. Тоді, через зауваження вище, знайдеться вектор, який можна буде додати до цієї системи та отримана система векторів залишається лінійно незалежною. Однак, з іншого боку, доданий до системи вектор може бути представлений у вигляді лінійної комбінації вихідної системи векторів через те, що вона є системою, що породжує.

І ми отримуємо, що в новій, розширеній системі векторів один із її векторів лінійно виражається через інші вектори цієї системи. Така система векторів є лінійно залежною. Набули протиріччя.

Нехай система векторів
векторного простору є максимальною лінійно незалежною. Доведемо, що вона є мінімальною системою, що породжує.

а) Спочатку доведемо, що вона є системою, що породжує.

Зауважимо, що через лінійної незалежності, система
не містить нульового вектора. Нехай довільний ненульовий вектор. Додамо його до даної системи векторів:
. Система ненульових векторів, що вийшла, є лінійно залежною, т.к. вихідна система векторів максимальна лінійно незалежна. Значить, у цій системі, знайдеться вектор, що лінійно виражається через попередні. У вихідній лінійно-незалежній системі
жоден із векторів не може виражатися через попередні, отже, лінійно виражається через попередні лише вектор х. Таким чином, система
представляє будь-який ненульовий вектор. Залишилося зауважити, що це система, зрозуміло, представляє і нульовий вектор, тобто. система
є породжувальною.

б) Тепер доведемо її мінімальність. Допустимо неприємне. Тоді один із векторів системи може бути видалений із системи і система векторів, що залишилася, як і раніше буде породжувальною системою і, отже, видалений із системи вектор теж лінійно виражається через решту вектора системи, що суперечить лінійній незалежності вихідної системи векторів.

Нехай система векторів
векторного простору є мінімальною системою, що породжує. Тоді вона представляє будь-який векторний простір. Нам треба довести єдиність уявлення.

Допустимо неприємне. Нехай якийсь вектор х лінійно виражається через вектори даної системи двома різними способами:

Віднімаючи з однієї рівності іншу, отримуємо:

Внаслідок слідства 2, система
є лінійно незалежною, тобто. представляє нульовий вектор тільки тривмально, тому всі коефіцієнти цієї лінійної комбінації повинні дорівнювати нулю:

Таким чином, будь-який вектор х лінійно виражається через вектори даної системи єдиним способом, т.д.

Теорему доведено.

п.5. Розмір векторного простору.

Теорема 1. (Про число векторів у лінійно незалежних і породжуючих системах векторів.) Число векторів у будь-якій лінійно незалежної системі векторів не перевищує числа векторів у будь-якій системі векторів цього ж векторного простору.

Доказ. Нехай
довільна лінійно незалежна система векторів,
- довільна система, що породжує. Припустимо, що .

Т.к.
породжуюча система, вона представляє будь-який вектор простору, зокрема і вектор . Приєднаємо його до цієї системи. Отримуємо лінійно залежну та породжувальну систему векторів:
. Тоді знайдеться вектор
цієї системи, який лінійно виражається через попередні вектори цієї системи і його, в силу леми, можна видалити з системи, причому система векторів, що залишилася, як і раніше породжує.

. Т.к. ця система породжує, вона представляє вектор
і, приєднуючи його до цієї системи, знову отримуємо лінійно залежну та породжувальну систему: .

Далі все повторюється. Знайдеться вектор у цій системі, який лінійно виражається через попередні, причому це не може бути вектор , т.к. вихідна система
лінійно незалежна та вектор не виражається лінійно через вектор
. Значить, це може бути лише один із векторів
. Видаляючи його із системи, отримуємо, після перенумерування, систему, яка буде породжувальною системою. Продовжуючи цей процес, через кроки отримаємо систему векторів, що породжує: , де
, т.к. за нашим припущенням. Отже, ця система, як породжує, представляє і вектор , що суперечить умові лінійної незалежності системи
.

Теорему 1 доведено.

Теорема 2. (Про кількість векторів у базисі.) У кожному базисі векторного простору міститься одне й теж число векторів.

Доказ. Нехай
і
– два довільні базиси векторного простору. Будь-який базис є лінійно незалежною системою векторів, що породжує.

Т.к. перша система лінійно незалежна, а друга – породжує, то, за теоремою 1,
.

Аналогічно, друга система лінійно незалежна, а перша – що породжує, то . Звідси слідує що
, Ч.т.д.

Теорему 2 доведено.

Ця теорема дозволяє ввести таке визначення.

Визначення. Розмірністю векторного простору над полем K називається число векторів у його базисі.

Позначення:
або
.

п.6. Існування базису векторного простору.

Визначення. Векторний простір називається кінцевим, якщо воно володіє кінцевою системою векторів, що породжує.

Зауваження. Ми вивчатимемо лише кінцеві векторні простори. Незважаючи на те, що ми вже багато знаємо про базис кінцевого векторного простору, у нас немає впевненості, що базис такого простору взагалі існує. Всі раніше отримані властивості були отримані у припущенні, що базис існує. Наступна теорема закриває це питання.

Теорема. (Про існування базису кінцевого векторного простору.) Будь-який кінцевий векторний простір має базис.

Доказ. За умовою існує кінцева система векторів даного кінцевого векторного простору V:
.

Зауважимо відразу ж, що й породжує система векторів є порожньою, тобто. не містить жодного вектора, за визначенням вважають, що це векторне простір є нульовим, тобто.
. І тут за визначенням вважають, що базисом нульового векторного простору є порожній базис та її розмірність за визначенням вважають рівної нулю.

Нехай далі, ненульовий векторний простір і
кінцева система, що породжує ненульові вектори. Якщо вона лінійно незалежна, все доведено, т.к. лінійно незалежна та породжувальна система векторів векторного простору є його базисом. Якщо ж дана система векторів є лінійно залежною, то один з векторів цієї системи лінійно виражається через ті, що залишилися і його можна видалити з системи, причому система векторів, що залишилася, в силу леми п.5, буде як і раніше породжує.

Перенумеруємо систему векторів, що залишилася:
. Далі міркування повторюються. Якщо ця система лінійно незалежна, вона є базисом. Якщо ж ні, то знову знайдеться вектор у цій системі, який можна видалити, а система, що залишилася, буде породжувальною.

Повторюючи цей процес, ми можемо залишитися з порожньою системою векторів, т.к. в крайньому випадку ми прийдемо до системи, що породжує, з одного ненульового вектора, яка є лінійно незалежною, а, отже, базисом. Тому, якомусь кроці ми приходимо до лінійно незалежної і породжує системі векторів, тобто. до базису.

Теорему доведено.

Лемма. Нехай. Тоді:

1. Будь-яка система вектора є лінійно залежною.

2. Будь-яка лінійно незалежна система векторів є його базисом.

Доказ. 1). За умовою леми, число векторів у базисі і базис є породжувальної системою, тому число векторів у будь-якій лінійно незалежної системі неспроможна перевищувати .

2). Як випливає з щойно доведеного, будь-яка лінійно незалежна система векторів цього векторного простору є максимальною, а отже, базисом.

Лемма доведена.

Теорема (Про доповнення до базису) Будь-яка лінійно незалежна система векторів векторного простору може бути доповнена до базису цього простору.

Доказ. Нехай векторний простір розмірності n та
деяка лінійно-незалежна система його векторів. Тоді
.

Якщо
, Щодо попередньої леми, ця система є базисом і доводити нічого.

Якщо ж
тоді ця система є не максимальною лінійною незалежною системою (інакше вона була б базисом, що неможливо, т.к.). Отже, знайдеться вектор
, такий, що система
- Лінійно незалежна.

Якщо, тепер, то система
є базисом.

Якщо ж
, все повторюється. Процес поповнення системи неспроможна продовжуватися нескінченно, т.к. на кожному кроці ми отримуємо лінійно незалежну систему векторів простору, а за попередньою лемою число векторів у такій системі не може перевищувати розмірності простору. Отже, на якомусь кроці ми прийдемо до базису даного простору.

Теорему доведено.

п.7. приклад.

1. Нехай К - довільне поле, - арифметичний векторний простір стовпців висоти. Тоді. Для підтвердження розглянемо систему стовпців цього простору.

Нехай Vвекторний простір над полем Р, S- система векторів з V.

Визначення 1. Базисом системи векторів Sназивається така впорядкована лінійно незалежна підсистема B 1, B 2, ..., B Rсистеми Sщо будь-який вектор системи Sлінійна комбінація векторів B 1, B 2, ..., B R.

Визначення 2. Рангом системи векторів Sназивається число векторів базису системи S. Позначається ранг системи векторів Sсимволом R= rang S.

Якщо S = ( 0 ), то система не має базису і передбачається, що rang S= 0.

приклад 1.Нехай дана система векторів A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1,3). Вектор A 1 , A 2 утворюють базис даної системи, оскільки вони лінійно незалежні (див. приклад 3.1) та A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2 . Ранг цієї системи векторів дорівнює двом.

Теорема 1(Теорема про базиси). Нехай S - кінцева система векторів із V, S ≠{0 }. Тоді справедливі твердження.

1 ° Будь-яку незалежну підсистему системи S можна доповнити до базису.

2 ° Система S має базис.

2 ° Будь-які два базиси системи S містять однакове число векторів, тобто ранг системи не залежить від вибору базису.

4 ° Якщо R= rang S, то будь-які r лінійно незалежних векторів утворюють базис системи S.

5 ° Якщо R= rang S, Будь-які k > r векторів системи S лінійно залежні.

6 ° Будь-який вектор A€ S єдиним чином лінійно виражається через вектор базису, тобто, якщо B 1, B 2, ..., B R базис системи S, то

A = A1 B 1 + A2 B 2 +...+ ARB R; A1 , A2 , ..., AN€ P,(1)

І таке уявлення єдине.

В силу 5° базис це Максимально лінійно незалежна підсистемасистеми S, а ранг системи Sчисло векторів у такій підсистемі.

Подання вектора A у вигляді (1) називається Розкладання вектора за векторами базису, А числа a1, a2 , ..., ar називаються Координати вектора A У цьому базисі.

Доказ. 1° Нехай B 1, B 2, ..., B K- лінійно незалежна підсистема системи S. Якщо кожен вектор системи SЛінійно виражається через вектор нашої підсистеми, то за визначенням вона є базисом системи S.

Якщо є вектор у системі S, який лінійно не виражається через вектор B 1, B 2, ..., B K, то позначимо його через B K+1. Тоді системи B 1, B 2, ..., B K, B K+1 – лінійно незалежна. Якщо кожен вектор системи SЛінійно виражається через вектор цієї підсистеми, то за визначенням вона є базисом системи S.

Якщо є вектор у системі S, який лінійно не виражається через B 1, B 2, ..., B K, B K+1, то повторимо міркування. Продовжуючи цей процес, ми або прийдемо до базису системи S, або збільшимо число векторів у лінійно-незалежній системі на одиницю. Бо в системі Sкінцева кількість векторів, то друга альтернатива не може продовжуватися нескінченно і на деякому кроці отримаємо базис системи S.

2° Нехай Sкінцева система векторів та S ≠{0 ). Тоді у системі Sє вектор B 1 ≠ 0, який утворює лінійно незалежну підсистему системи S. По першій частині його можна доповнити до базису системи S. Таким чином система Sмає базис.

3° Припустимо, що система Sмає два базиси:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

За визначенням базису система векторів (2) лінійно незалежна та (2) Í S. Далі визначення базису кожен вектор системи (2) лінійна комбінація векторів системи (3). Тоді за основною теоремою про дві системи векторів R £ S. Аналогічно доводиться, що S £ R. З цих двох нерівностей випливає R = S.

4° Нехай R= rang S, A 1, A 2, ..., A R- лінійно незалежна підсистема S. Покажемо, що вона є базисом систем S. Якщо вона не є базисом, то по першій частині її можна доповнити до базису та отримаємо базис A 1, A 2, ..., A R, A R+1,..., A R+T, що містить більш ніж R

5° Якщо Kвекторів A 1, A 2, ..., A K (K > R) системи S- лінійно незалежні, то по першій частині цю систему векторів можна доповнити до базису та отримаємо базис A 1, A 2, ..., A K, A K+1,..., A K+T, що містить більш ніж Rвекторів. Це суперечить доведеному у третій частині.

6° Нехай B 1, B 2, ..., B Rбазис системи S. За визначенням базису будь-який вектор A € Sє лінійна комбінація векторів базису:

A = a1 B 1+a2 B 2 +...+ ar B R.

Доводячи єдиність такого уявлення припустимо неприємне, що є ще одне уявлення:

A = b1 B 1 + b2 B 2 +...+ br B R.

Віднімаючи рівності почленно знаходимо

0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 +...+ (ar - br) B R.

Оскільки базис B 1, B 2, ..., B Rлінійно незалежна система, всі коефіцієнти ai - bi =0; I = 1, 2, ..., R. Отже, ai = bi; I = 1, 2, ..., Rта єдиність доведена.

Визначення. Система елементів хь..., хч лінійного простору V називається лінійно залежною, якщо знайдуться числа а»,..., otq, не всі рівні нулю і такі, що Якщо рівність (1) виконується тільки при а] = ... = aq = 0, система елементів xj,..., х9 називається лінійно незалежною. Справедливі такі твердження. Теорема 1. Система елементів Х\,..., xq (q ^ 2) лінійно залежна у цьому і лише тому випадку, якщо хоча б одне із її елементів можна у вигляді лінійної комбінації інших. Припустимо, що система елементів хь..., xq лінійно залежна. Вважатимемо для визначеності, що у рівності (1) відмінний від нуля коефіцієнт а9. Переносячи всі доданки, крім останнього, в праву частину, після поділу на otq Ф О отримаємо, що елемент xq є лінійною комбінацією елементів xi,..., xq: Назад, якщо один з елементів дорівнює лінійній комбінації інших, то, переносячи його в ліву частина, отримаємо лінійну комбінацію у якій є відмінні від нуля коефіцієнти (-1 Ф 0). Отже, система елементів Xi, _____ xq лінійно залежна. Теорема 2. Нехай система елементів Х|, ..., Х9 лінійно незалежна і у = а \ Х \ +. + Aqxq. Тоді коефіцієнти ori,... ,aq визначаються по елементу єдиним чином. м Нехай тоді Лінійна залежність Базис Розмір Заміна базису звідки. З лінійної незалежності елементів Х|,..., xq випливає, що а( і, отже, а Теорема 3. Система елементів, що містить лінійно залежну підсистему, лінійно залежна. Нехай перші q елементів системи хь... , xq, xg +l,... , хт лінійно залежні.Тоді знайдеться лінійна комбінація цих елементів така, що і не всі коефіцієнти від",..., aq рівні нулю. Додаючи елементи,..., хт з нульовими множниками, отримуємо, що і в лінійній комбінації рис-5 рівні нулю не всі коефіцієнти.Приклад. базисом цього лінійного простору, якщо елементи в|,..., є лінійно незалежні і кожен елемент з V можна представити у вигляді їх лінійної комбінації.Упорядкованість означає тут, що кожному елементу приписаний певний (порядковий) номер. побудувати п! упорядкованих систем Приклад, Нехай а.Ь.с - трійка не компланарних векторів із Vj (рис.6). Тоді впорядковані трійки - різні базиси Нехай з = (в! ... еп) - базис простору V. Тоді для будь-якого елемента х з V знайдеться набір чисел..., З такою, що в силу теореми 2 числа,..., З - координати елемента х у базисі - визначені однозначно. Подивимося, що відбувається з координатами елементів при найпростіших діях з ними. Нехай і для будь-якого числа а Таким чином, при складанні елементів їх відповідні координати складаються, а при множенні елемента на число всі його координати множаться на це число. Координати елемента часто зручно записувати як стовпця. Наприклад, п - координатний стовпець елемента в базисі. Розкладемо довільну систему елементів Х|,..., х, по базису с, і розглянемо координатні стовпці елементів Х|,..., х9 у цьому базисі: Теорема 4. Система елементів х\,... ,xq лінійно залежна тоді і лише тоді, коли лінійно залежна система їх координатних стовпців у якомусь базисі. * Нехай причому хоча б один з коефіцієнтів А * відмінний від нуля. Запишемо це докладніше Звідси з єдиності розкладання елемента по базису випливає, що Лінійна залежність Базис Розмірність Заміна базису Таким чином, лінійна комбінація координатних стовпців елементів xt,..., xq дорівнює нульовому стовпцю (з тими ж коефіцієнтами А|,..., А?). Це означає, що система координатних стовпців лінійно залежна. Якщо ж виконується рівність (2), то, проводячи міркування у зворотному порядку, отримуємо формулу (1). Тим самим, звернення в нуль деякої нетривіальної (хоча б один з коефіцієнтів відрізняється від нуля) лінійної комбінації елементів лінійного простору рівнозначно тому, що нетривіальна лінійна комбінація їх координатних стовпців (з тими самими коефіцієнтами) дорівнює нульовому стовпцю. Теорема 5. Нехай базис з лінійного простору V складається з п елементів. Тоді будь-яка система із т елементів, де т > п, лінійно залежна. або, що теж, В силу теореми 3 досить розглянути випадок Нехай Xj,..., хп+| - довільні елементи простору V. Розкладемо кожен елемент за базисом і запишемо координати елементів........... у вигляді матриці, відводячи стовпець координатам елемента. Отримаємо матрицю з п рядків ип+1 стовпців - З огляду на те, що ранг матриці К не перевищує числа п її рядків, стовпці матриці К (їх п + 1) лінійно залежні. Оскільки це координатні стовпці елементів, то відповідно до теореми 4 система елементів Х|.....х„+| також лінійно залежна. Наслідок. Всі базиси лінійного простору V складаються з однакового чииа елементів. Нехай базис складається з п елементів, а базис з п елементів. місцями, з цієї ж теореми отримуємо, що п ^ п". Тим самим, п = п. Лшкрність/олінійного простору V називається число елементів базису цього простору. Приклад 1. Базис координатного простору Еп утворюють елементи 4 Система елементів ei.ej,. .. ,еп лінійно незалежна: з рівності отримуємо, що і значить, Крім того, будь-який елемент Е, = ...з R" можна записати у вигляді лінійної комбінації елементів Тим самим, розмірність простору R дорівнює п. Приклад 2. Однорідна лінійна система має ненульові рішення, має фундаментальну систему рішень (ФСР). ФСР є базисом лінійного простору рішень однорідної системи. Розмірність цього лінійного простору дорівнює кількості елементів ФСР, тобто. п - р де г - ранг матриці коефіцієнтів однорідної системи, an - число невідомих. Приклад 3. Розмірність лінійного простору Мп багаточленів ступеня не вище п дорівнює п + 1. 4 Оскільки всякий многочлен /*(() ступеня не вище п має вигляд, то достатньо показати лінійну незалежність елементів у | =. Розглянемо рівність де t довільно. t = 0, отримуємо, що «о = 0. 5 Зак.750 Продиференціюємо рівність (3) по t: Знову ПОЛОЖИВ t = 0, отримаємо, ЩО 0| = 0. Продовжуючи цей процес, послідовно переконуємося в тому, що оо = «I = . .. = а„ =0. Це. означає, що система елементів у | = 1, ..., еп4) = *п лінійно незалежна. Отже, шукана розмірність дорівнює п+1. Угода. Далі у цьому розділі всюди вважається, а то й обумовлено неприємне, що розмірність лінійного простору V рівна. Ясно, що якщо W - підпростір n-вимірного лінійного простору V, то dim W ^ п. Покажемо, що в п-мірному лінійному просторі V є лінійні простори будь-якої розмірності до ^ п. Нехай з = - базис простору V. Легко переконатися в тому , Щолінійна оболонка має розмірність к. За визначенням Теорема б (про поповнення базису). Нехай система елементів лінійного простору V розмірності п лінійно незалежна і к. Тоді в просторі V знайдуться елементи а*+1,... , а такі, що система а„ - базис V. М Нехай b - довільний елемент лінійного простору V. Якщо система лінійно залежна, то як у нетривіальній лінійній комбінації коефіцієнт внаслідок лінійної незалежності системи a Якби розкладання виду (4) можна було б написати для будь-якого елемента b простору V, то вихідна система а|,..., а* була б базисом згідно з визначенням. Але через умови це неможливо. Тому має існувати елемент a*+i € V такий, що поповнена система ai,..., аь,а*+| буде лінійно незалежною. Якщо до + 1 = п, то ця система - базис простору V. Якщо до + 1, то для системи слід повторити попередні міркування. У такий спосіб будь-яку задану лінійно незалежну систему елементів можна добудувати до базису всього простору V. Приклад. Доповнити систему із двох векторів а| = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) простору R4 до базису цього простору. Візьмемо в просторі R4 вектори aj = (і покажемо, що система векторів ai.aj.aj, а4 - базис R4. Ранг матриці рядками якої є координати векторів ааг, аз, Е4, дорівнює чотирьом. Це означає, що рядки матриці А, а, отже, і вектори at аг аз, а^ лінійно незалежні > Подібний підхід використовується і в загальному випадку: щоб доповнити систему до лінійно незалежних елементів до базису простору, матриця формі, а потім доповнюється п - до рядками виду так, щоб ранг одержуваної матриці дорівнював п. Справедливо наступне твердження Теорема 7. Нехай - лінійні простори лінійного простору V, Тоді Заміна базису Нехай - базиси лінійного простору V. Розкладемо елементи базису з базису с. Маємо ці співвідношення зручно записати в матричній формі. ,... »е"п у базисі с. Тому (і внаслідок теореми 4) елементи е"і..., е"п повинні бути лінійно залежними. Останнє суперечить тому, що с" - базис. Отже, припущення, що det S = 0, не так. 2. Якщо..., і..., - координати елемента х у базисах с і с" відповідно, то _ Замінюючи у формулі їх висловлюваннями (1), отримуємо, що Звідси в силу єдиності розкладання елемента по базису маємо I Переходячи до матричного запису знайдених рівностей, переконуємось у справедливості якості 2. 3. S-1 - матриця переходу від базису с до базису с.

Називається кінцевомірним, якщо воно володіє кінцевою системою, що породжує векторів.

Зауваження. Ми вивчатимемо лише кінцеві векторні простори. Незважаючи на те, що ми вже багато знаємо про базис кінцевого векторного простору, у нас немає впевненості, що такого простору взагалі існує. Всі раніше отримані були отримані у припущенні, що базис існує. Наступна закриває це питання.

Теорема. (Про існування базису кінцевого векторного простору.)

Будь-який кінцевий векторний простір має базис.

Доказ. За умовою існує кінцева система, що породжує даного кінцевомірного векторного простору V: .

Зауважимо відразу ж, що й породжує система векторів є порожньою, тобто. не містить жодного вектора, за визначенням вважають, що це векторне простір є нульовим, тобто. . У цьому випадку за визначенням вважають, що базисом нульового векторного простору є порожній базис і його визначення вважають рівною нулю.

Якщо ця система незалежна, все доведено, т.к. лінійно незалежна та породжувальна система векторів векторного простору є його базисом.

Якщо ж дана система векторів є лінійно залежною, то один з векторів цієї системи лінійно виражається через ті, що залишилися і його можна видалити з системи, причому система векторів, що залишилася, буде як і раніше породжує.

Перенумеруємо систему векторів, що залишилася: . Далі міркування повторюються.

Якщо ця система лінійно незалежна, вона є базисом. Якщо ж ні, то знову знайдеться вектор у цій системі, який можна видалити, а система, що залишилася, буде породжувальною.

Повторюючи цей процес, ми можемо залишитися з порожньою системою векторів, т.к. в крайньому випадку ми прийдемо до системи, що породжує, з одного ненульового вектора, яка є лінійно незалежною, а, отже, базисом. Тому, якомусь кроці ми приходимо до лінійно незалежної і породжує системі векторів, тобто. до базису, ч.т.д.

Теорему доведено.

Лемма. (Про системи векторів у n-мірному векторному просторі.)

Нехай. Тоді:

1. Будь-яка система вектора є лінійно залежною.

2. Будь-яка лінійно незалежна система векторів є його базисом.

Доказ. 1). За умовою леми, число векторів у базисі і базис є породжуючої системою, тому число векторів у будь-який лінійно незалежної системі неспроможна перевищувати , тобто. будь-яка система, що містить вектор, є лінійно залежною.

2). Як випливає з щойно доведеного, будь-яка лінійно незалежна система векторів цього векторного простору є максимальною, а отже, базисом.

Лемма доведена.

Теорема (Про доповнення до базису) Будь-яка лінійно незалежна система векторів векторного простору може бути доповнена до базису цього простору.

Доказ. Нехай векторний простір розмірності n та деяка лінійно незалежна система його векторів. Тоді.

Якщо , то з попередньої лемі, ця система є базисом і доводити нічого.

Якщо ж тоді ця система є не максимальною незалежною системою (інакше вона була б базисом, що неможливо, т.к.). Отже, знайдеться вектор , такий, що система - Лінійно незалежна.

Якщо, тепер, то система є базисом.

Якщо ж, все повторюється. Процес поповнення системи неспроможна продовжуватися нескінченно, т.к. на кожному кроці ми отримуємо лінійно незалежну систему векторів простору, а за попередньою лемою число векторів у такій системі не може перевищувати розмірності простору. Отже, на якомусь кроці ми прийдемо до базису даного простору, т.д.

Визначення. Базис

арифметичного векторного простору стовпців висоти n називається канонічним чи природним.