Не є елементарним перетворенням матриці. Елементарні матриці. Мінор. Алгебраїчне доповнення. Теорема Лапласа

Елементарнними перетвореннями рядківматриці називається перетворення наступних типів:

1) Множення кожного елемента деякого рядка на те саме ненульове число. Інші рядки залишаються без зміни (коротко: множення рядка на число).

2) Додаток до кожного елемента деякого рядка відповідних елементів іншого рядка, помножені на одне й те саме число. Інші рядки (у тому числі і додається) залишаються без зміни (коротко: додаток до рядка іншого, помноженого на число).

3) Зміна місцями деяких двох рядків матриці. Інші рядки залишаються без зміни.

Ці перетворення називаються відповідно перетвореннями першого , другого і третього типу (роду ). Послідовно застосовуючи їх, ми отримуємо складніші перетворення.

Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців матриці.

Теорема

Перетворення третього типу є деякою комбінацією перетворень першого та другого типів.

Таким чином, перетворенням третього типу можна віднести до складніших, ніж елементарні. Але його прийнято все-таки вважати елементарним задля зручності.

Теорема

Будь-яку матрицю елементарними перетвореннями рядків можна призвести до ступінчастої. Якщо до матриці застосувати елементарні перетворення рядків та стовпців, то її можна привести до трапецієдальному вигляду.

Наприклад,

á(1) Поміняли місцями перший і другий рядки (перетворення третього типу).

(2) Перший рядок, помножений на 2, додали до другого і відняли з третього, помножений на 3, додали до четвертого (перетворення другого типу).

(3) Другий рядок відняли з третього і другий рядок, помножений на 14/11 віднімали з четвертого.

(4) Поміняли місцями третій і четвертий рядки.

Таким чином, перетворили вихідну матрицю

у ступінчасту

Тепер, помінявши місцями другий і третій стовпець, а потім помінявши його ж з четвертим стовпцем, переміщуємо другий стовпець на місце четвертого, третій і четвертий стовпці виявляться відповідно на місці другого та третього стовпців:

цим перетворили вихідну матрицю в трапецієдальну.

Вправи

Привести матрицю до ступінчастого та трапецієдального видів:

Матрична алгебра - Елементарні перетворення матриць

Елементарні перетворення матриць

Елементарні перетворення матрицізнаходять широке застосування у різних математичних задачах. Наприклад, вони становлять основу відомого методу Гауса (методу виключення невідомих) на вирішення системи лінійних рівнянь .

До елементарних перетворень відносяться:
1) перестановка двох рядків (стовпців);
2) множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на деяке число, що не дорівнює нулю;
3) додавання двох рядків (стовпців) матриці, помножених на те саме число, відмінне від нуля.

Дві матриці називаються еквівалентнимиякщо одна з них може бути отримана з іншої після кінцевого числа елементарних перетворень. У загальному випадку еквівалентні матриці рівними не є, але мають один і той самий ранг.

Обчислення визначників за допомогою елементарних перетворень

За допомогою елементарних перетворень легко визначити обчислювач матриці. Наприклад, потрібно обчислити визначник матриці:

де ≠ 0.
Тоді можна винести множник:

тепер, віднімаючи з елементів j- го стовпця відповідні елементи першого стовпця, помножені на, отримаємо визначник:

який дорівнює: де

Потім повторюємо ті ж дії для і, якщо всі елементи то тоді остаточно отримаємо:

Якщо для якого-небудь проміжного визначника виявиться, що його лівий верхній елемент, то необхідно переставити рядки або стовпці так, щоб новий верхній лівий елемент був не дорівнює нулю. Якщо Δ ≠ 0, це завжди можна зробити. При цьому слід враховувати, що знак визначника змінюється в залежності від того, який елемент є головним (тобто коли матриця перетворена так, що). Тоді знак відповідного визначника дорівнює.

П р і м е р. За допомогою елементарних перетворень навести матрицю

Елементарні перетворення матриці- це перетворення матриці , у яких зберігається еквівалентність матриць. Таким чином, елементарні перетворення не змінюють безліч рішень системи лінійних рівнянь алгебри , яку представляє ця матриця.

Елементарні перетворення використовуються у методі Гауса для приведення матриці до трикутного або ступінчастого вигляду.

Визначення

Елементарними перетвореннями рядківназивають:

У деяких курсах лінійної алгебри перестановка рядків матриці не виділяється в окреме елементарне перетворення через те, що перестановку місцями будь-яких двох рядків матриці можна отримати, використовуючи множення будь-якого рядка матриці на константу , і додавання до будь-якого рядка матриці іншого рядка, помноженого на константу .

Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.

Елементарні перетворення оборотні.

Позначення вказує на те, що матриця може бути отримана шляхом елементарних перетворень (або навпаки).

Властивості

Інваріантність рангу при елементарних перетвореннях

Еквівалентність СЛАУ при елементарних перетвореннях

Назвемо елементарними перетвореннями над системою лінійних рівнянь алгебри :

перестановку рівнянь;
множення рівняння на ненульову константу;
складання одного рівняння з іншим, помноженим на деяку константу.

Тобто. елементарні перетворення над її розширеною матрицею. Тоді справедливе наступне твердження: Нагадаємо, що дві системи називаються еквівалентними, якщо множини їх рішень збігаються.

Знаходження зворотних матриць

Теорема (про перебування зворотної матриці).
Нехай визначник матриці не дорівнює нулю, нехай матриця визначається . Тоді при елементарному перетворенні рядків матриці до одиничної матриці у складі одночасно відбувається перетворення .

Приведення матриць до ступінчастого вигляду

Введемо поняття ступінчастих матриць: Матриця має ступінчастий вигляд якщо: Тоді справедливе наступне твердження:

Пов'язані визначення

Елементарна матриця.Матриця А є елементарною, якщо множення на неї довільної матриці призводить до елементарним перетворенням рядків у матриці В.

Література

Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Лінійна алгебра: Підручник для вузів. - 6-те вид., стер. – М.: ФІЗМАТЛІТ, 2004. – 280 с.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Елементарні перетворення матриці" в інших словниках:

Вступ. е. ч. у точному значенні цього терміна первинні, далі нерозкладні ч ци, з яких, за припущенням, складається вся матерія. У совр. фізики термін «Е. ч.» зазвичай використовується над своєму точному значенні, а менш строго для наименования… … Фізична енциклопедія

Вступ. е. ч. у точному значенні цього терміна первинні, далі нерозкладні частинки, з яких, за припущенням, складається вся матерія. У понятті «Е. ч.» у сучасній фізиці знаходить вираження ідея про першорядні сутності, … Велика Радянська Енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Матриця. Матриця математичний об'єкт, що записується у вигляді прямокутної таблиці елементів кільця або поля (наприклад, цілих, дійсних чи комплексних чисел), яка представляє… … Вікіпедія

Матриця математичний об'єкт, що записується у вигляді прямокутної таблиці чисел (або елементів кільця) і що допускає алгебраїчні операції (складання, віднімання, множення та ін) між ним та іншими подібними об'єктами. Правила виконання… … Вікіпедія

Елементарними перетвореннями називають наступні дії над рядками та стовпцями матриці A:

1) перестановку місцями двох рядків чи стовпців матриці;

2) множення рядка або стовпця матриці на число, відмінне від нуля;

3) додаток до одного рядка (стовпця) іншого рядка (стовпця).

Теорема.Елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, тобто якщо матриця B отримана з матриці A елементарними перетвореннями, то.

Доказ. 1). При перестановці місцями двох стовпців матриці максимальне число лінійно незалежних стовпців не змінюється, отже, не змінюється її ранг.

2). Нехай матриця B отримана з матриці A множенням i-ого рядка на число t0 і r(A) =k. Очевидно, будь-який мінор матриці B, що не містить i-ий рядок, дорівнює відповідному мінору матриці A, а будь-який мінор матриці B, що містить i-ий рядок, дорівнює відповідному мінору матриці A помноженому на число t. Отже, мінор порядкуkматриціB, відповідний базисному мінору матриціA, буде відмінний від нуля, а всі мінори порядкуk+1 матриціB, як і всі мінори порядкуk+1 матриціA, дорівнюватимуть нулю. І це означає, що r(B)=k=r(A).

3). Нехай матриця B отримана з матриці A додаваннямi-ого рядка до того рядка іr(A) =k. Мінори порядку k+1 матриці B, що не містять j-ту рядок, дорівнюють відповідним мінорам матриці A, і тому дорівнюють нулю. Мінори порядку k+1 матриці B, що містять i-ту іj-ту рядки, дорівнюватимуть сумі двох нульових визначників. Один з цих визначників містить два однакових рядки (вj-тому рядку розташовані елементиi–того рядка), а другий визначник є мінором порядкуk+1 матриціAі тому дорівнює нулю. Мінори порядку k + 1 матриці B, що містять j-ту рядок, але не містять i - той рядок, будуть дорівнювати сумі двох мінорів порядку k + 1 матриці A і тому теж будуть рівні нулю. Отже, всі мінори порядку k + 1 матриці B дорівнюють 0 і r (B)  k = r (A).

Нехай матриця отримана з матриціBумножениемi–того рядка на (-1). Тоді матриця A виходить з матриці C додаваннямi–того рядка доj-того рядка і множеннямi–того рядка на (-1). Отже, як було доведено вище, r(A)r(C) =r(B). Таким чином, одночасно справедливі нерівності r(B)r(A) іr(A)r(B) звідки слідує, щоr(A) =r(B).

Цю властивість елементарних перетворень використовують практично для обчислення рангу матриці. Для цього, за допомогою елементарних перетворень, наводять цю (ненульову) матрицю A до трапецієподібної форми, тобто до виду

B = ,

де елементи всім i = 1,2,...,k; елементи для всіх i > j та

i > k. Очевидно, що r(B) = k, тобто ранг матриці дорівнює числу ненульових рядків. Це випливає з того, що мінор порядку k матриці B, розташований на перетині перших k рядків та стовпців, є визначником діагонального вигляду та дорівнює; а будь-який мінор порядку k+1 матриці містить нульовий рядок, а значить, дорівнює 0 (або, якщо k = n, таких мінорів немає взагалі).

Теорема.Будь-яку ненульову матрицюAрозмірностіmnможна призвести до трапецеподібної форми за допомогою елементарних перетворень.

Доказ.Оскільки A0, то існує елемент матриці
. Переставивши місцями перший і-ий рядки, перший і-й стовпці, перемістимо елемент у лівий верхній кутматриці та позначимо
. Потім кi-тому рядку отриманої матриці (i= 2,3, …,m) додамо перший рядок, помножений на число . В результаті цих елементарних перетворень отримаємо матрицю

A
.

Якщо всі елементи
матриці A дорівнюють нулю, то теорема доведена. Якщо ж існує елемент
, то, перестановкою другого і i-того рядків, другого іj-того стовпців матриці A, перемістимо елемент на місце елемента і позначимо
(якщо
тоді відразу позначимо
). Потім до рядка отриманої матриці (i= 3, …,m) додамо другий рядок, помножений на число . В результаті отримаємо матрицю

Продовживши цей процес, за кінцеве число кроків отримаємо матрицю B, тобто наведемо матрицю як трапецеподібної формі.

приклад.Обчислимо ранг матриці



. Стрілками позначені такі елементарні перетворення: 1) переставили місцями перший і другий рядки; 2) додали до четвертого рядка третій; 3) додали до третього рядка перший, помножений на -2, і четвертий рядок поділили на 3; 4) поділили третій рядок на 5 та переставили місцями третій та четвертий рядки; 5) до третього рядка, помноженого на -3, додали другий рядок і до четвертого рядка додали третій. Видно, що матриця, отримана з матриці А вказаними елементарними перетвореннями, має трапецеподібну форму з трьома рядками. Отже, r(A) = 3.