Лекція № 16

Апроксимації ВАХ нелінійних ЕЛЕМЕНТІВ. МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ НЕДІНЕЙНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

навчальні питання

1. Апроксимація ВАХ нелінійних елементів. Поліноміальна апроксимація.

2. Кусково-лінійна апроксимація.

3. Класифікація методів аналізу не лінійних ланцюгів.

4. Аналітичні і чисельні методи аналізу нелінійних ланцюгів постійного струму.

7. Струм в нелінійному резисторі при впливі синусоїдальної напруги.

8. Основні перетворення, здійснювані за допомогою нелінійних електричних ланцюгів змінного струму.

1. Апроксимація вольтамперних характеристик нелінійних елементів

Вольт-амперні характеристики реальних елементів електричних ланцюгів зазвичай мають складний вид і представляються у вигляді графіків або таблиць експериментальних даних. У ряді випадків безпосереднє застосування ВАХ, що задаються в такій формі, виявляється незручним і їх прагнуть описати за допомогою досить простих аналітичних співвідношень, якісно відображають характер розглянутих ВАХ.

Заміна складних функцій наближеними аналітичними виразами називаєтьсяаппроксимацией .

Аналітичні вирази, аппроксимирующие ВАХ нелінійних резистивних елементів, повинні якомога точніше описувати хід реальних характеристик.

Отже, завдання апроксимації ВАХ включає в себе дві самостійні завдання:

1) вибір апроксимуючої функції;

2) визначення значень що входять в цю функцію постійних коефіцієнтів найбільш часто використовуються два види апроксимації ВАХ нелінійних елементів:

поліноміальна;

Кусково-лінійна.

1.1. поліноміальна апроксимація

Апроксимація степеневим поліномом виконується на основі формули ряду Тейлора для ВАХ НЕ:

тобто ВАХ в даному випадку повинна бути безперервною, однозначною і абсолютно гладкою (повинна мати похідні будь-якого порядку).

У практичних розрахунках зазвичай ВАХ не диференціює, а вимагають, наприклад, щоб апроксимуюча кривлячи (16.5) пройшла через задані струми.

У так званому методі трьох точок необхідно, щоб деякі три точки ВАХ:

(i 1 , u 1), (i 2 , u 2), (i 3 , u 3) - відповідали номіналу (16.5) (ріс.16.9).

з рівнянь

нескладно знайти шукані коефіцієнти a 0 , a 1 , a 2, оскільки щодо їх система (16.6) лінійна.

Якщо ВАХ сильно порізана і потрібно відобразити її особливості, необхідно враховувати більшу кількість точок ВАХ. Система типу (16.6) стає складною, однак її рішення може бути знайдено за формулою Лагранжа, що визначає рівняння полінома, що проходить через n точок:

(16.7)

де A k ( u) = (u – u 1) ... (u – u k-1) ( u – u k + 1) ... ( u – u n).

приклад. Нехай нелінійний елемент має ВАХ, задану графічно (ріс.16.10).

Потрібно апроксимувати ВАХ ІЕ степеневим поліномом.

На графіку ВАХ виділяються чотири точки з координатами:

На підставі формули Лагранжа (16.7) отримаємо

Таким чином, апроксимуюча функція має вигляд

і не \u003d -6,7 i 3 + 30i 2 – 13,3i.

2. Кусково-лінійна апроксимація

при кусочно-лінійноїапроксимації ВАХ НЕ апроксимується сукупністю лінійних ділянок(Шматків) поблизу можливих робочих точок.

приклад. Для двох ділянок нелінійної ВАХ (ріс.16.11) отримаємо:

приклад. Нехай потрібно линеаризировать ділянку ВАХ між струмами Аі В, Який використовується в якості робочої області близько робочої точки Р(Ріс.16.12).

Тоді рівняння линеаризировать ділянки ВАХ поблизу робочої точки Р буде

Очевидно, що аналітична апроксимація ВАХ вірна тільки для вибраної ділянки лінеаризації.

академія Росії

Кафедра Фізики

Реферат на тему:

«Апроксимації ХАРАКТЕРИСТИК нелінійних ЕЛЕМЕНТІВ І АНАЛІЗ КІЛ ПРИ гармонійного впливу»

навчальні питання

1. Апроксимація характеристик нелінійних елементів

2. Графо-аналітичний та аналітичний методи аналізу

3. Аналіз ланцюгів методом кута відсічення

4. Вплив двох гармонійних коливань на безінерційний

нелінійний елемент

література

вступ

Для всіх розглянутих раніше лінійних ланцюгів справедливий принцип суперпозиції, з якого випливає просте і важливе наслідок: гармонійний сигнал, проходячи через лінійну стаціонарну систему, залишається незмінним за формою, набуваючи лише інші амплітуду і початкову фазу. Саме тому лінійна стаціонарна ланцюг не здатна збагатити спектральний склад вхідного коливання.

Особливістю НЕ, в порівнянні з лінійними, є залежність параметрів НЕ від величини прикладеної напруги або сили струму, що протікає. Тому на практиці при аналізі складних нелінійних ланцюгів користуються різними наближеними методами (наприклад, замінюють нелінійну ланцюг лінійної в області малих змін вхідного сигналу і використовують лінійні методи аналізу) або обмежуються якісними висновками.

Важливою властивістю нелінійних електричних ланцюгів є можливість збагачення спектру вихідного сигналу. Ця важлива особливість використовується при побудові модуляторів, перетворювачів частоти, детекторів і т. Д.

Рішення багатьох задач, пов'язаних з аналізом і синтезом радіотехнічних пристроїв і ланцюгів, вимагає знання процесів, що відбуваються при одночасному впливі на нелінійний елемент двох гармонійних сигналів. Це пов'язано з необхідністю перемноження двох сигналів при реалізації таких пристроїв, як перетворювачі частоти, модулятори, демодулятори і т. Д. Природно, що спектральний склад вихідного струму НЕ при бігармонічні впливі буде набагато багатшими, ніж при моногармоніческом.

Нерідко виникає ситуація, коли один з двох впливають на НЕ сигналів малий по амплітуді. Аналіз в цьому випадку значно спрощується. Можна вважати, що по відношенню до малого сигналу НЕ є лінійним, але зі змінним параметром (в даному випадку крутизною ВАХ). Такий режим роботи НЕ називається параметричним.

1. Апроксимація характеристик нелінійних елементів

При аналізі нелінійних ланцюгів (НЦ) зазвичай не розглядають процеси, що відбуваються всередині елементів, що складають цю ланцюг, а обмежуються лише зовнішніми їх характеристиками. Зазвичай це залежність вихідного струму від прикладеної вхідної напруги

, (1)

яку прийнято називати вольт-амперної характеристикою (ВАХ).

Найпростіше - використовувати наявну табличну форму ВАХ для чисельних розрахунків. Якщо ж аналіз ланцюга повинен проводитися аналітичними методами, то виникає задача підбору такого математичного виразу, яке відображало б все найважливіші особливості експериментально знятої характеристики.

Це не що інше, як завдання апроксимації. При цьому вибір апроксимуючих виразів визначається як характером нелінійності, так і використовуваними розрахунковими методами.

Реальні характеристики мають досить складний вид. Це ускладнює їх точний математичний опис. Крім того, табличная форма уявлення ВАХ робить характеристики дискретними. У проміжках між цими точками значення ВАХ невідомі. Перш ніж переходити до апроксимації, необхідно якось визначитися з невідомими значеннями ВАХ, зробити її безперервної. Тут виникає задача інтерполяції (від лат. inter - між, polio - пригладжував) - це відшукання проміжних значень функції щодо деяких відомих її значень. Наприклад, відшукання значень

в точках лежачих між точками по відомих значеннях. Якщо, то аналогічна процедура носить завдання екстраполяції.

Зазвичай апроксимують лише ту частину характеристики, яка є робочою областю, т. Е. В межах зміни амплітуди вхідного сигналу.

При апроксимації вольт-амперних характеристик необхідно вирішити два завдання: вибрати певну аппроксимирующую функцію і визначити відповідні коефіцієнти. Функція повинна бути простою і в той же час досить точно передавати апроксимується характеристику. Визначення коефіцієнтів апроксимуючих функцій здійснюється методами інтерполяції, середньоквадратичного або рівномірного наближення, які розглядаються в математиці.

Математично постановка задачі інтерполяції може бути сформульована таким чином.

знайти многочлен

ступені не більше n такий, що i = 0, 1, …, n, Якщо відомі значення вихідної функції в фіксованих точках, i = 0, 1, …, n. Доводиться, що завжди існує тільки один інтерполяційний многочлен, який може бути представлений в різних формах, наприклад у формі Лагранжа або Ньютона. (Розглянути самостійно на самопідготовки по рекомендованій літературі).

Апроксимація статечними полиномами і кусочно-лінійна

Вона заснована на використанні добре відомих з курсу вищої математики рядів Тейлора і Маклорена і полягає в розкладанні нелінійної ВАХ

в безконечномірний ряд, що сходиться в деякій околиці робочої точки. Оскільки такий ряд фізично не реалізуємо, доводиться обмежувати число членів ряду, виходячи з необхідної точності. Статечна апроксимація застосовується при відносно малій зміні амплітуди впливу відносно.

Розглянемо типову форму ВАХ будь-якого НЕ (рис. 1).

напруга

визначає положення робочої точки і, отже, статичний режим роботи НЕ.

Мал. 1. Приклад типової ВАХ НЕ

Зазвичай апроксимується не вся характеристика НЕ, а лише робоча область, розмір якої визначається амплітудою вхідного сигналу, а положення на характеристиці - величиною постійного зміщення

. Аппроксимирующий поліном записується у вигляді, (2)

де коефіцієнти

визначаються виразами.

Апроксимація степеневим поліномом полягає в знаходженні коефіцієнтів ряду

. При заданій формі ВАХ ці коефіцієнти істотно залежать від вибору робочої точки, а також від ширини використовуваного ділянки характеристики. У зв'язку з цим доцільно розглянути деякі найбільш типові і важливі для практики випадки.

1. Робоча точка розташована на середині лінійної ділянки (рис. 2).

Мал. 2. Робоча точка ВАХ - на середині лінійної ділянки

Ділянка на характеристиці, де закон зміни струму близький до лінійного, щодо неширокий, тому амплітуда вхідної напруги

не повинна виходити за межі цієї ділянки. В цьому випадку можна записати:, (3) - струм спокою; ; - диференціальна крутизна характеристики.

Цей випадок можна застосувати тільки при слабкому сигналі

Як правило, ВАХ нелінійних елементовi \u003d F (u) отримують експериментально, тому найчастіше вони задані у вигляді таблиць або графіків . щоб мати справу з аналітичними виразами , доводиться вдаватися до апроксимації.

Обозначімзаданную таблично або графічно ВАХ нелінійного елементаi \u003d F V (u), а аналітичну функцію, аппроксимирующуюзадану характеристику, i \u003d F (u, a 0, a 1, a 2, ..., a N ). де a 0, a 1, ..., a N – коефіцієнти цієї функції, які потрібно знайти в результаті апроксимації.

А) У методі Чебишева коефіцієнти a 0 , a 1 , … , a N функції F (u) знаходяться з умови:

т. е. вони визначаються в процесі мінімізації максимального ухилення аналітичної функції від заданої. тут u k, k \u003d 1, 2, ..., G - обрані значення напруги u.

При среднеквадратичном наближенні коефіцієнти a 0 , a 1 , …, a N повинні бути такими, щоб мінімізувати величину:

, (2.6)

Б) Наближення функції по Тейлору засноване на уявленні функції i \u003d F (u) поруч Тейлора в околиці точкіu \u003d U 0:

і визначенні коефіцієнтів цього розкладання. якщо обмежитися першими двома членами розкладання в ряд Тейлора, то мова піде про заміну складної нелінійної залежності F (u) більш простий лінійною залежністю . така заміна називаємося лінеаризацією характеристик.

перший член розкладання F (U 0) \u003d I 0 являє собою постійний струм в робочій точці при u \u003d U 0, а другий чльон

диференціальну крутизну вольт-амперної характеристики в робочій точці , Т. Е. При u \u003d U 0 .

В) найбільш поширеним способом наближення заданої функції є інтерполяція (Метод вибраних точок), при якій коефіцієнти a 0 , a 1 , …, a N апроксимуючої функції F (u) знаходяться з рівності цієї функції і заданої F x (u) в обраних точках (Вузлах інтерполяції) u k \u003d 1, 2, ..., N + 1.

Д) Статечна (поліноміальна ) Апроксимація. Таку назву отримала апроксимація ВАХ статечними полиномами:

іноді буває зручно вирішувати задачу апроксимації заданої характеристики в околиці точкіU 0 , званої робочої. тоді використовують статечної поліном

статечна апроксимація широко використовується при аналізі роботи нелінійних пристроїв, на які подаються щодо малі зовнішні впливи , тому потрібно досить точне відтворення нелінійності характеристики в околиці робочої точки.

Е) Кусково-лінійна апроксимація. У тих випадках, коли на нелінійний елемент впливають напруги з великими амплітудами, можна допустити більш наближену заміну характеристики нелінійного елемента і використовувати більше прості аппроксимирующие функції . найбільш часто при аналізі роботи нелінійного елемента в такому режимі реальна характеристика замінюється відрізками прямих ліній з різними нахилами .

З математичної точки зору це означає, що на кожному замінюють ділянці характеристики використовуються статечні поліноми першого ступеня ( N \u003d 1 ) З різними значеннями коефіцієнтів a 0 , a 1 , … , a N.

Таким чином, задача апроксимації ВАХ нелінійних елементів полягає у виборі виду апроксимуючої функції і визначення її коефіцієнтів одним із зазначених вище методів.

Як правило, ВАХ нелінійних елементів отримують експериментально; рідше вдається знайти їх з теоретичного аналізу. Для дослідження необхідно підібрати функцію апроксимації таку, яка, будучи досить простий, відображала б всі можливі особливості експериментальної знятої характеристики з достатнім ступенем точності. Найчастіше використовують такі способи апроксимації вольт-амперних характеристик двухполюсников: кусочно-лінійна, статечна, показова апроксимація.

Кусково-лінійна апроксимація

Таку апроксимацію зазвичай застосовують при розрахунку процесів в нелінійних рівняннях в разі великих амплітуд зовнішніх впливів. даний спосіб заснований на апроксимації характеристик нелінійних елементів, тобто на наближеною заміні реальної характеристики відрізками прямих ліній з різними нахилами. На малюнку показана вхідна характеристика реального транзистора, аппроксимированная двома відрізками прямих.

Апроксимація визначається двома параметрами - напругою початку характеристики Uн і крутизною S. Математична форма апроксимувати ВАХ така:

Напруга початку вхідних характеристик біполярних транзисторів має порядок 0,2-0,8 В: крутизна характеристики струму бази Іб (Uбе) близько 10мА / В. Крутизна характеристики Ік (Uбе) струму колектора в залежності від напруги база-емітер, то величина 10мА / В повинна бути помножена на h21е - коефіцієнт посилення струму бази. Оскільки h21е \u003d 100-200, зазначена крутизна має порядок декількох ампер на вольт.

статечна апроксимація

Ступеневу апроксимацію широко використовують при аналізі роботи нелінійних пристроїв, на які подаються відносно малі зовнішні впливи. Цей спосіб заснований на розкладанні нелінійної вольт-амперної характеристики i (u) в ряд Тейлора, що сходиться в околиці робочої точки U0.

кількість членів розкладання залежить від заданої точності. Розглянемо приклад:

Вхідна характеристика транзистора. Робоча точка U0 \u003d 0,7 В. Вибираємо в якості вузлів апроксимації точки 0,5; 0,7 і 0,9 В.

Необхідно вирішити систему рівнянь:

Спектральний склад струму в нелінійній елементі при зовнішньому гармонійному впливі

Розглянемо ланцюг, що складається з послідовного з'єднання джерела гармонійного сигналу Uс (t) \u003d coswt, джерела постійної напруги зміщення U0 і безінерційного нелінійного елемента. Для цього розглянемо малюнок.

Струм в ланцюзі має синусоїдальну форму.

Форма струму і напруги виявляються різними.

Причина спотворення кривої струму проста: однаковим приращениям напруги відповідають неоднакові збільшення струму, тому що , А диференціальна крутизна ВАХ на різних ділянках різна.

Розглянемо задачу аналітично.

Нехай нам відома нелінійна функція i (u) \u003d i (Uc, U0). На нелінійний елемент діє напруга сигналу Uc (t) \u003d Umcos (wt + j).

Безрозмірна величина x \u003d wt + j, тоді I (x) \u003d I (Umcosx, U0) - переодическая функція щодо аргументу x з періодом 2T. Уявімо її поруч Фур'є з коефіцієнтами .

Функція i (x) парна, тому ряд Фур'є буде містити тільки косинусні складові: .

Амплітудні коефіцієнти гармонії

Дві останні формули дають загальне рішення завдання про спектрі струму в нелінійній елементі при гармонійному зовнішньому впливі:

тобто ток, крім постійної складової I0, містить нескінченну послідовність гармонії з амплітудами In. Амплітуди гармонії залежать від параметрів Um і U0, а також від виду апроксимуючої функції.

Розглянемо яким чином залежить від виду апроксимуючої функції.

Кусково-лінійна

i (U) \u003d

Подано напругу u (t) \u003d U0 + Umcoswt.

Графік струму має вигляд косинусоидальной імпульсів з відсіченням. Кут відсічення імпульсів струму визначається з рівності:

U0 + Umcosq \u003d Uн Þ .

Статечна апроксимація.

Нехай в околиці робочої точки U0 ВАХ нелінійного елемента

Безліч найважливіших процесів (нелінійне посилення, модуляція, детектування, генерація, множення, ділення і перетворення частоти) здійснюється в радіоелектронних пристроях за допомогою нелінійних і параметричних кіл.

У загальному випадку аналіз процесу перетворення сигналів в нелінійних колах досить складне завдання, що пов'язане з проблемою вирішення нелінійних диференціальних рівнянь. При цьому непридатний принцип суперпозиції, так як параметри нелінійної ланцюга при впливі одного джерела вхідного сигналу відрізняються від її параметрів при підключенні декількох джерел. Однак дослідження нелінійних ланцюгів вдається здійснити порівняльно простими методами, Якщо нелінійний елемент відповідає умовам безінерційного. Фізично безінерційність нелінійного елемента (НЕ) означає миттєве встановлення відгуку на його виході слідом за зміною вхідного впливу. Якщо говорити строго, то безінерційних нелінійних елементів практично не існує. Всі нелінійні елементи - діоди, транзистори, аналогові і цифрові мікросхеми мають інерційними властивостями. Разом з тим, сучасні напівпровідникові прилади досить досконалі за своїми частотним параметрами і їх вдається ідеалізувати з точки зору їх безінерційного.

Більшість нелінійних радіотехнічних ланцюгів і пристроїв визначається структурною схемою, представленої на рис.2.1. Відповідно до цієї схеми, вхідний сигнал безпосередньо впливає на нелінійний елемент, до виходу якого підключений фільтр (лінійна ланцюг).

Малюнок. 2.1. Структурна схема нелінійного пристрою.

У цих випадках процес в радіоелектронної нелінійної ланцюга можна охарактеризувати двома незалежними один від одного операціями. В результаті першої операції в безінерційного нелінійному елементі відбувається таке перетворення форми вхідного сигналу, при якому в його спектрі з'являються нові гармонійні складові. Другу операцію здійснює фільтр, виділяючи потрібні спектральні складові перетвореного вхідного сигналу .. Змінюючи параметри вхідних сигналів і використовуючи різні нелінійні елементи і фільтри, можна здійснити необхідну трансформацію спектра. До такої зручної теоретичної моделі зводяться багато схем модуляторів, детекторів, автогенераторів, випрямлячів, умножителей, подільників та перетворювачів частоти.

Як правило, нелінійні ланцюги характеризуються складною залежністю між вхідним сигналом і вихідний реакцією, яку в загальному вигляді можна записати так:

U вих (t) \u003d f

У нелінійних колах з безінерційний НЕ найзручніше в якості впливу розглядати вхідна напруга U вх (t), а відгуку - вихідний струм i вих (t), зв'язок між якими визначається нелінійної функціональної залежністю:

i вих (t) \u003d f

Дане співвідношення аналітично може являти собою звичайну вольт-амперну характеристику НЕ. Такий характеристикою володіють і нелінійний двухполюсник (транзистор, ОУ, цифрова мікросхема), що працює в нелінійному режимі при різних амплітудах вхідного сигналу. Вольт-амперні характеристики (для нелінійних елементів їх отримують експеріментально0 більшості нелінійних елементів мають складний вид, тому уявлення їх аналітичними виразами є досить важким завданням. У радіоелектронних пристроях широко використовуються аналітичні методи подання нелінійних характеристик різних приладів відносно простими функціями (або їх набором), наближено відображають реальні характеристики. Знаходження аналітичної функції по експериментальної характеристиці нелінійного елемента називається апроксимацією. Існують кілька способів апроксимації характеристик - статечна, показова, кусочно-лінійна (лінійно-ламана апроксимація). Найбільшого поширення набули апроксимація статечним поліномом і кусочно-лінійна апроксимація.

Апроксимація степеневим поліномом.Даний вид апроксимації особливо ефективний при малих амплітудах (як правило, частки вольта) вхідних сигналів в тих випадках, коли характеристика НЕ \u200b\u200bмає вигляд гладкої кривої, тобто крива і її похідні неперервні і не мають стрибків. Найбільш часто при апроксимації як статечного полінома використовується ряд Тейлора

i (u) \u003d a o + a 1 (u-U o) + a 2 (u-U o) 2 + ... + a n (u-U o) n, (2.1)

де a o, a 1, ... a n - постійні коефіцієнти; U o - значення напруги u, щодо якого ведеться розкладання в ряд і зване робочою точкою.Відзначимо, що тут і далі аргументt у функцій струму і напруги для спрощення опущений. Постійні коефіцієнти ряду Тейлора визначаються відомою формулою

Оптимальне число членів ряду береться в залежності від трубуемой точності апроксимації. Чим більше вибрано членів ряду, тим точніше апроксимація. Апроксимацію характеристик зазвичай вдається досить точно здійснити полиномом не вище другого - третього ступеня. Для відшукання невідомих коефіцієнтів ряду необхідно задатися діапазоном U 1, U 2 декількох можливих значень напруги u і положенням робочої точки U o в цьому діапазоні. Якщо потрібно визначити n коефіцієнтів ряду, то на заданій характеристиці вибирається n + 1 точок зі своїми координатами (i n, u n). Для спрощення розрахунків одну точку поєднують з робочою точкою U o, що має координати (I o, U o); ще дві точки вибираються на кордонах діапазону u \u003d U 1 і u \u003d U 2. Решта точки розташовуються довільно, але з урахуванням важливості апроксимується ділянки ВАХ. Підставляючи координати обраних точок в формулу (2.1), складають систему їх n + 1 рівнянь, яка вирішується щодо невідомих коефіцієнтів a n ряду Тейлора.

Рис.2.2. Апроксимація характеристики транзистора степеневим поліномом.

Приклад 2.1. На рис. 2.2 штриховий лінією представлена \u200b\u200bвхідна характеристика I б \u003d f (U бе) транзистора КТ601А. Апроксимувати задану характеристику транзистора в діапазоні 0,4 ... 0,8 У полиномом Тейлора другого ступеня i б \u003d ao + a 1 (u бе -U o) + a 2 (u бе -U o) 2 щодо робочої точки U o \u003d 0 , 6 В.

Рішення. Для спрощене розрахунків в якості точок апроксимації виберемо значення напруг на кордонах діапазону і в робочій точці, тобто 0,4; 0,6 і

0,8 В. Оскільки обраним точкам відповідають струми 0,1; 0,5 і 1,5 мА, то для заданого полінома отримаємо наступну систему рівнянь:

0,1 \u003d a o + a 1 (0.4-0.6) + a 2 (0.4-0.6) 2 \u003d a o -0.2a 1 +0.04 a 2

0.5 \u003d a o + a 1 (0.6-0.6) + a 2 (0.6-0.6) 2 \u003d a o

1.5 \u003d a o + a 1 (0.8-0.6) + a 2 (0.8-0.6) 2 \u003d a o + 0.2a 1 +0.04 a 2

Вирішення цієї системи рівнянь дає значення коефіцієнтів a o \u003d 0,5 мА, a 1 \u003d 3,5 мА / В, a 2 \u003d 7,5 мА / В 2. Підставивши їх у формулу (2.1), знаходимо аппроксимирующую функцію (її графік показаний на малюнку суцільною лінією): i б \u003d 0.5 + 3.5 (u б -0.6) +7.5 (u б -0.6) 2.

Кусково-лінійна апроксимація. У більшості практичних випадків, коли на нелінійний елемент радіоелектронної ланцюга впливає вхідний сигнал значний амплітуди, реальну вольт-амперну характеристику нелінійного елемента можна апроксимувати кусочно-лінійної лінією, що складається з декількох відрізків прямих з різними кутами нахилу до осі абсцис. Дана апроксимація пов'язана безпосередньо з двома важливими параметрами нелінійного елемента - напругою початку характеристики Е н і її крутизною S. У загальному випадку диференціальна крутизна характеристики в робочій точці визначається відношенням приросту струму до приросту напруги, і при малих їх значеннях маємо

Рівняння відрізка прямої при кусочно-лінійної апроксимації характеристики записується у вигляді:

i \u003d (0, u

i \u003d (S (u-E н), u\u003e E н (2.4)

У багатьох радіотехнічних пристроях характеристику нелінійного елемента, до якого підводиться сигнал великої амплітуди, вдається з прийнятною точністю апроксимувати лише двома відрізками прямих ліній.

Приклад 2.2. Експериментально знята вхідні характеристика I б \u003d f (U бе) транзистора КТ601А представлена \u200b\u200bна рис. 2.3. штриховий лінією. Виконати кусочно-лінійну апроксимацію даної характеристики в околиці робочої точки U o \u003d 0,6 В.

Рішення. Відповідно до заданої вольтамперної характеристикою транзистора знаходимо, що величина струму в робочій точці I о \u003d 0,5 мА. Крутизну характеристики в робочій точці обчислимо наближено за формулою (2.3). Задавши лінійне збільшення напруги Δu бе \u003d 0.8 - 0.6 \u003d 0.2 B, знаходимо приріст струму Δi б \u003d

1.5-0.5 \u003d 1 мА. Тоді S \u003d Δi б / Δu б \u003d 1 / 0.2 \u003d 5 мА / В.

Рис.2.3. Кусково-лінійна аппроксіма- ція характеристики транзистора.

В результаті проведеної апроксимації характеристики струм бази транзистора в околиці робочої точки з коордінатаміI про \u003d 0,5 мА, U o \u003d 0,6 В. Визначитися як: i б \u003d 0,5 + 5 (u бе -0,6) \u003d 5 (u бе -0,5).

З цієї формули випливає, що при u бе<0,5 В ток базы транзистора должен принимать отрицательные значения, что не отражается заданной характеристикой. Значит, полученная функция будет аппроксимировать заданную зависимость только при амплитуде входного напряжения u бэ >0,5 В. Якщо ж вхідна напруга u бе<0,5 В, то можно принять i б =0. Таким образом, аппроксимирующая функция (сплошная линия на рисунке), отражающая характеристику транзистора, запишется в следующем виде:

i \u003d (0, u бе<0,5

i \u003d (5 (u бе -0,5), u бе\u003e 0,5

Підвищення точності апроксимації характеристик нелінійних елементів досягається збільшенням кількості відрізків ліній. Однак це ускладнює аналітичний вираз апроксимуючої функції.

Лекція №9.

Схожа інформація.