Mire jó a mátrix meghatározója? Négyzetes mátrixok meghatározói. A determinánsok kiszámításának módszerei

- Engedje el a cineget a biztos halálhoz!
Hadd simogassa őt a szabadság!
És a hajó elindul, és a reaktor zúg ...
- Pash, be vagy csapva?

Emlékszem, hogy a 8. osztály előtt nem szerettem az algebrát. Nekem egyáltalán nem tetszett. Feldühített. Mert ott nem értettem semmit.

És akkor minden megváltozott, mert egy darabon mentem keresztül:

A matematikában általában (és különösen az algebrában) minden hozzáértő és következetes definíciórendszerre épül. Ismeri a definíciókat, érti a lényegüket - a többit nem lesz nehéz kitalálni.

Így van ez a mai lecke témájával is. Részletesen megvizsgálunk néhány kapcsolódó kérdést és definíciót, amelyeknek köszönhetően egyszer és mindenkor foglalkozni fog a mátrixokkal, a determinánsokkal és azok minden tulajdonságával.

A determinánsok a mátrixalgebra központi fogalma. A rövidített szorzási képletekhez hasonlóan kísérteni fognak a haladó matematika tanfolyam során. Ezért alaposan olvasunk, nézünk és értünk. :)

És a legintimebbel kezdjük - mi az a mátrix? És hogyan kell helyesen dolgozni vele.

Az indexek helyes elhelyezése a mátrixban

A mátrix csak egy táblázat, tele számokkal. Neónak ehhez semmi köze.

A mátrix egyik legfontosabb jellemzője a mérete, azaz a sorok és oszlopok számát. Általában azt mondják, hogy néhány $ A $ mátrix $ \ left [m \ times n \ right] $ méretű, ha $ m $ sorokat és $ n $ oszlopokat tartalmaz. Így írják:

Vagy így:

Vannak más megnevezések is - mindez az oktató / szeminárista / a tankönyv szerzőjének preferenciáitól függ. De mindenesetre, mindezen $ \ left [m \ times n \ right] $ és $ ((a) _ (ij)) $ esetén ugyanaz a probléma fordul elő:

Melyik index miért felelős? Először a sorszám következik, aztán az oszlop? Vagy fordítva?

Előadások és tankönyvek olvasásakor a válasz nyilvánvalónak tűnik. De amikor a vizsgán csak egy szórólap van egy problémával, akkor elborulhat és hirtelen megzavarodhat.

Tehát foglalkozzunk ezzel a kérdéssel egyszer és mindenkorra. Először is emlékezzünk a szokásos koordináta -rendszerre az iskolai matematika tanfolyamból:

Koordináta -rendszer bevezetése síkon

Emlékszel rá? A kezdő ($ O = \ bal (0; 0 \ jobb) $) tengelyek $ x $ és $ y $, és a sík minden pontját egyedileg határozzák meg a koordináták: $ A = \ left (1; 2 \ jobb) $, $ B = \ bal (3; 1 \ jobb) $ stb.

Most vegyük ezt a konstrukciót, és helyezzük a mátrix mellé úgy, hogy az origó a bal felső sarokban legyen. Miért ott? Igen, mert amikor kinyitunk egy könyvet, balról olvasni kezdünk felső sarok az oldalak könnyen megjegyezhetők.

De hova kell irányítani a tengelyeket? Úgy irányítjuk őket, hogy a teljes virtuális "oldalunkat" lefedjék ezek a tengelyek. Igaz, ehhez el kell forgatni a koordináta -rendszerünket. Csak lehetséges változat ilyen elrendezés:

Koordinátarendszer -fedvény a mátrixon

Most a mátrix minden cellájának $ x $ és $ y $ egyértékű koordinátái vannak. Például a $ ((a) _ (24)) $ írás azt jelenti, hogy $ x = 2 $ és $ y = 4 $ koordinátájú elemre utalunk. A mátrix méreteit is egyedileg állítja be egy számpár:

Az indexek meghatározása mátrixban

Nézze csak meg alaposan ezt a képet. Játssz a koordinátákkal (különösen akkor, ha valódi mátrixokkal és determinánsokkal dolgozol) - és nagyon hamar rájössz, hogy még a legösszetettebb tételekben és definíciókban is tökéletesen megérted, mi a tét.

Megértette? Nos, térjünk át a megvilágosodás első lépésére - a determináns geometriai meghatározására. :)

Geometriai meghatározás

Először is szeretném megjegyezni, hogy a determináns csak a $ \ left [n \ times n \ right] $ alakú négyzetmátrixokra létezik. A determináns az a szám, amelyet bizonyos szabályok szerint számítanak ki, és ennek a mátrixnak az egyik jellemzője (vannak más jellemzők: rang, sajátvektorok, de erről bővebben más leckékben).

Tehát mi ez a jellemző? Mit jelent? Ez egyszerű:

A $ A = \ left [n \ times n \ right] $ $ négyzetmátrix determinánsa egy $ n $ dimenziós párhuzamos cső térfogata, amely akkor keletkezik, ha a mátrix sorait ennek széleit alkotó vektoroknak tekintjük. paralelepipedon.

Például a 2x2 -es mátrix meghatározója csak egy paralelogramma területe, a 3x3 -as mátrix esetében pedig már a 3 -dimenziós párhuzamos cső térfogata - az, amely minden középiskolás diákot feldühít a sztereometriaórákon.

Első pillantásra ez a meghatározás teljesen alkalmatlannak tűnhet. De ne vonjunk le következtetéseket - nézzünk példákat. Valójában minden elemi, Watson:

Egy feladat. Keresse meg a mátrixok meghatározóit:

\ [\ bal | \ start (mátrix) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\ end (mátrix) \ jobb | \ quad \ left | \ start (mátrix) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\ end (mátrix) \ jobb | \ quad \ left | \ start (mátrix) 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\ end (mátrix) \ jobb | \]

Megoldás. Az első két selejtező 2x2. Tehát ezek csak a paralelogrammák területei. Rajzoljuk le őket és számítsuk ki a területet.

Az első paralelogramma a $ ((v) _ (1)) = \ left (1; 0 \ right) $ és $ ((v) _ (2)) = \ left (0; 3 \ right) vektorokra épül $:
A 2x2 determináns a paralelogramma területe
Nyilvánvaló, hogy ez nem csak paralelogramma, hanem elég téglalap. Területe az

A második paralelogramma a $ ((v) _ (1)) = \ left (1; -1 \ right) $ és $ ((v) _ (2)) = \ left (2; 2 \ right) vektorokra épül ) $. Nos, akkor mi van? Ez is egy téglalap:
Egy másik meghatározó 2x2
Ennek a téglalapnak az oldalai (valójában a vektorok hossza) a Pitagorasz -tétel segítségével könnyen kiszámíthatók:

\ [\ kezdődik (igazítás) & \ balra | ((v) _ (1)) \ jobb | = \ sqrt (((1) ^ (2)) + ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (2))) = \ sqrt (2); \\ & \ bal | ((v) _ (2)) \ jobb | = \ sqrt (((2) ^ (2)) + ((2) ^ (2))) = \ sqrt (8) = 2 \ sqrt (2); \\ & S = \ bal | ((v) _ (1)) \ jobb | \ cdot \ bal | ((v) _ (2)) \ jobb | = \ sqrt (2) \ cdot 2 \ sqrt (2) = 4. \\\ vége (igazítás) \]

Marad az utolsó determináns kezelése - már létezik 3x3 mátrix. Emlékeznünk kell a sztereometriára:

A 3x3 determináns a párhuzamos cső térfogata
Agyabszorbeálónak tűnik, de valójában elegendő felidézni a párhuzamos cső térfogatának képletét:

ahol $ S $ az alap területe (esetünkben ez a $ OXY $ sík paralelogrammájának területe), $ h $ az alaphoz húzott magasság (valójában a $ z $ -$ ((v) _ (3)) $) vektor koordinátája.

A paralelogramma területe (külön rajzoltuk) is könnyen kiszámítható:

\ [\ begin (align) & S = 2 \ cdot 3 = 6; \\ & V = S \ cdot h = 6 \ cdot 4 = 24. \\\ vége (igazítás) \]

Ez minden! Leírjuk a válaszokat.

Válasz: 3; 4; 24.

Gyors megjegyzés a jelölési rendszerről. Valószínűleg valakinek nem fog tetszeni, hogy figyelmen kívül hagyom a vektorok feletti "nyilakat". Állítólag így összetéveszthet egy vektort egy ponttal vagy valami mással.

De legyünk komolyan: már felnőtt fiúk és lányok vagyunk, így a kontextusból tökéletesen megértjük, hogy mikor van szó vektorról, és mikor egy pontról. A nyilak csak lomtalanítják a történetet, amely már tele van matematikai képletekkel.

És tovább. Elvileg semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy figyelembe vegyük az 1x1 mátrix determinánsát - egy ilyen mátrix csak egy cella, és a cellába írt szám lesz a meghatározó. De van itt egy fontos megjegyzés:

A klasszikus kötettel szemben a determináns az ún. orientált hangerő", Azaz kötet, figyelembe véve a sorvektorok figyelembevételének sorrendjét.

És ha meg akarja kapni a kötetet a szó klasszikus értelmében, akkor el kell vennie a determináns modult, de most nem kell aggódnia emiatt - mindenesetre néhány másodperc múlva megtanuljuk megszámolni a determinánsokat bármilyen előjelekkel , méretek, stb. :)

Algebrai meghatározás

A geometriai megközelítés minden szépsége és egyértelműsége ellenére komoly hátránya van: semmit nem árul el arról, hogyan kell kiszámítani ezt a meghatározó tényezőt.

Ezért most egy alternatív definíciót fogunk elemezni - algebrai. Ehhez egy rövid elméleti előkészítésre van szükségünk, de a végén egy olyan eszközt kapunk, amely lehetővé teszi számunkra, hogy bármit számoljunk mátrixokban és ahogy akarunk.

Igaz, megjelenik új probléma... De először az első dolgokat.

Permutációk és inverziók

Írjuk fel a sorokat 1 -től $ n $ -ig. A végén valami ilyesmit kapsz:

Most (pusztán szórakozásból) cseréljünk pár számot. Megváltoztathatja a szomszédos elemeket:

Vagy teheti - nem különösebben a szomszédban:

És tudod mit? De semmi! Az algebrában ezt a baromságot permutációnak nevezik. És van egy csomó tulajdonsága.

Meghatározás. A $ n $ hosszúságú permutáció $ n $ különböző számokból álló karakterlánc, bármilyen sorrendben írva. Általában az első $ n $ természetes számokat veszik figyelembe (azaz csak az 1, 2, ..., $ n $ számokat), majd összekeverik a kívánt permutáció eléréséhez.

A permutációkat ugyanúgy jelölik, mint a vektorokat - csak egy betűt és az elemek egymás utáni felsorolását zárójelben. Például: $ p = \ bal (1; 3; 2 \ jobb) $ vagy $ p = \ bal (2; 5; 1; 4; 3 \ jobb) $. A levél bármi lehet, de legyen $ p $. :)

Továbbá a bemutatás egyszerűsége érdekében az 5 -ös permutációkkal fogunk dolgozni - ezek már elég komolyak ahhoz, hogy bármilyen gyanús hatást megfigyeljenek, de még nem olyan súlyosak az éretlen agy számára, mint a 6 -os vagy annál hosszabb permutációk. Íme néhány példa az ilyen permutációkra:

\ [\ begin (align) & ((p) _ (1)) = \ left (1; 2; 3; 4; 5 \ right) \\ & ((p) _ (2)) = \ left (1) ; 3; 2; 5; 4 \ jobb) \\ & ((p) _ (3)) = \ bal (5; 4; 3; 2; 1 \ jobb) \\\ vége (igazítás) \]

A $ n $ hosszúságú permutáció természetesen a $ \ left \ (1; 2; ...; n \ right \) $ halmazon meghatározott függvénynek tekinthető, és ezt a halmazt bijektív módon képezi le önmagára. Visszatérve a $ ((p) _ (1)) $, $ ((p) _ (2)) $ és $ ((p) _ (3)) $ imént írt permutációira, jogszerűen írhatjuk:

\ [((p) _ (1)) \ bal (1 \ jobb) = 1; ((p) _ (2)) \ bal (3 \ jobb) = 2; ((p) _ (3)) \ bal (2 \ jobb) = 4; \]

A $ n $ hosszúságú különböző permutációk száma mindig korlátos és egyenlő $ n! $ - ez a kombinatorika alapján könnyen bizonyítható tény. Például, ha ki akarjuk írni az 5 hosszúságú permutációkat, akkor nagyon tétovázunk, mivel lesznek ilyen permutációk

Minden permutáció egyik legfontosabb jellemzője az inverziók száma.

Meghatározás. Inverzió permutációban $ p = \ left (((a) _ (1)); ((a) _ (2)); ...; ((a) _ (n)) \ right) $ - bármely pár $ \ left (((a) _ (i)); ((a) _ (j)) \ right) $ úgy, hogy $ i \ lt j $, de $ ((a) _ (i)) \ gt (( a) _ (j)) $. Egyszerűen fogalmazva, az inverzió az, amikor egy nagyobb szám balra van a kisebbtől (nem feltétlenül a szomszédos).

$ N \ balra (p \ jobbra) $ jelöljük az inverziók számát a $ p $ permutációban, de készen állunk arra, hogy megfeleljünk más megnevezéseknek a különböző tankönyvekben és különböző szerzőknél - itt nincs egységes szabvány. Az inverziók témája meglehetősen kiterjedt, és külön leckét szentelnek neki. A mi feladatunk egyszerűen az, hogy megtanuljuk számítani őket valós problémákra.

Például számoljuk meg az inverziók számát a $ p = \ left (1; 4; 5; 3; 2 \ right) $ permutációban:

\ [\ bal (4; 3 \ jobb); \ bal (4; 2 \ jobb); \ bal (5; 3 \ jobb); \ bal (5; 2 \ jobb); \ bal (3; 2 \ jobb ). \]

Tehát $ N \ bal (p \ jobb) = 5 $. Amint látja, nincs ezzel semmi baj. Azonnal hadd mondjam el: tovább nem annyira a $ N \ left (p \ right) $ számra leszünk kíváncsiak, mint annak egyenletességére / páratlanságára. És itt simán áttérünk a mai lecke kulcsfogalmára.

Mi a meghatározó

Adjon meg egy $ A = \ left [n \ times n \ right] $ négyzetmátrixot. Azután:

Meghatározás. A $ A = \ left [n \ times n \ right] $ mátrix determinánsa a $ n! $ Feltételek algebrai összege, az alábbiak szerint. Mindegyik kifejezés $ n $ mátrixelem szorzata, minden sorból és oszlopból egyet, szorozva (−1) az inverziók számának hatványával:

\ [\ balra | A \ jobb | = \ összeg \ korlátok_ (n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

A determináns minden egyes tagjának tényezőinek kiválasztásánál az a lényeg, hogy nincs két tényező ugyanabban a sorban vagy oszlopban.

Emiatt az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a $ ($) $ ($) $ ($ a) _ (i; j)) $ indexek "átfutnak" az 1, ..., $ n $ értékeken , és a $ j $ indexek az első néhány permutációja:

És ha van $ p $ permutáció, könnyen kiszámíthatjuk a $ N \ left (p \ right) $ inverzióit - és a determináns következő tagja készen áll.

Természetesen senki sem tiltja meg a szorzók felcserélését semmilyen kifejezésben (vagy egyszerre mindegyikben - miért kell időt pazarolni az apróságokra?), És akkor az első indexek is némi permutációt képviselnek. De végül semmi sem fog változni: a $ i $ és a $ j $ indexek összes inverziója megőrzi a paritást az ilyen perverziók alatt, ami teljesen összhangban van a régi jó szabállyal:

A tényezők átrendezése nem változtatja meg a számok szorzatát.

Csak ne kösse ezt a szabályt a mátrixszorzáshoz - a számok szorzásával ellentétben nem kommutatív. De kitérek. :)

Mátrix 2x2

Valójában megfontolhatja az 1x1 mátrixot - ez egy cella lesz, és meghatározója, mint sejtheti, megegyezik a cellába írt számmal. Semmi érdekes.

Vegyünk tehát egy 2x2 négyzetmátrixot:

\ [\ bal [\ begin (mátrix) ((a) _ (11)) & (a) _ (12)) \\ ((a) _ (21)) és ((a) _ (22)) \\\ end (mátrix) \ right] \]

Mivel a sorok száma $ n = 2 $, a determináns $ n! = 2! = 1 \ cdot 2 = 2 $ kifejezést tartalmaz. Írjuk ki őket:

\ [\ begin (align) & ((\ left (-1 \ right)) ^ (N \ left (1; 2 \ right))) \ cdot ((a) _ (11)) \ cdot ((a) _ (22)) = ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (0)) \ cdot ((a) _ (11)) \ cdot ((a) _ (22)) = ((a) _ (11)) (a) _ (22)); \\ & ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (N \ bal (2; 1 \ jobb))) \ cdot ((a) _ (12)) \ cdot ((a) _ (21)) = ((\ \ bal (-1 \ jobb)) ^ (1)) \ cdot ((a) _ (12)) \ cdot ((a) _ (21)) = ((a) _ (12)) ( (a) _ (21)). \\\ vége (igazítás) \]

Nyilvánvalóan nincsenek inverziók a $ \ left (1; 2 \ right) $ permutációban, amely két elemből áll, tehát $ N \ left (1; 2 \ right) = 0 $. De a $ \ left (2; 1 \ right) $ permutációban van egy inverzió (valójában 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Összességében a 2x2 mátrix determinánsának kiszámítására szolgáló univerzális képlet így néz ki:

\ [\ balra | \ begin (mátrix) ((a) _ (11)) & (a) _ (12)) \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) \\\ end ( mátrix) \ jobb | = ((a) _ (11)) ((a) _ (22)) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21)) \]

Grafikailag ez a főátlón lévő elemek szorzataként ábrázolható, mínusz az oldalsó elemek szorzata:

A 2x2 mátrix meghatározója

Nézzünk egy -két példát:

\ [\ bal | \ start (mátrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ end (mátrix) \ jobb |; \ quad \ left | \ start (mátrix) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\ end (mátrix) \ jobb |. \]

Megoldás. Mindent egy sorban számolnak. Első mátrix:

És a második:

Válasz: −3; −161.

Ez azonban túl könnyű volt. Nézzük a 3x3 -as mátrixokat - ott már érdekes.

3x3 mátrix

Vegyünk most egy 3x3 négyzetmátrixot:

\ [\ bal [\ begin (mátrix) ((a) _ (11)) & (a) _ (12)) & (a) _ (13)) \\ ((a) _ (21)) & (a) _ (22)) & (a) _ (23)) \\ ((a) _ (31)) & (a) _ (32)) & (a) _ (33) ) \\\ end (mátrix) \ right] \]

A determináns kiszámításakor $ 3! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 = 6 $ kifejezést kapunk - nem túl sok a pánik miatt, de elég ahhoz, hogy elkezdjünk keresni néhány mintát. Először írjuk ki három elem összes permutációját, és számítsuk ki mindegyik inverzióját:

\ [\ begin (align) & ((p) _ (1)) = \ left (1; 2; 3 \ right) \ Rightarrow N \ left (((p) _ (1)) \ right) = N \ bal (1; 2; 3 \ jobb) = 0; \\ & ((p) _ (2)) = \ bal (1; 3; 2 \ jobb) \ Jobbra mutató nyilak N \ balra (((p) _ (2)) \ jobb) = N \ balra (1; 3 ; 2 \ jobb) = 1; \\ & ((p) _ (3)) = \ balra (2; 1; 3 \ jobbra) \ Jobbra mutató nyilak N \ balra (((p) _ (3)) \ jobbra) = N \ balra (2; 1 ; 3 \ jobb) = 1; \\ & ((p) _ (4)) = \ bal (2; 3; 1 \ jobb) \ Jobbra mutató nyilak N \ balra (((p) _ (4)) \ jobb) = N \ balra (2; 3 ; 1 \ jobb) = 2; \\ & ((p) _ (5)) = \ bal (3; 1; 2 \ jobb) \ Jobbra mutató nyilak N \ balra (((p) _ (5)) \ jobb) = N \ balra (3; 1 ; 2 \ jobb) = 2; \\ & ((p) _ (6)) = \ bal (3; 2; 1 \ jobb) \ Jobbra mutató nyilak N \ balra (((p) _ (6)) \ jobb) = N \ balra (3; 2 ; 1 \ jobb) = 3. \\\ vége (igazítás) \]

A várakozásoknak megfelelően összesen 6 $ ((p) _ (1)) $, ... $ ((p) _ (6)) $ permutáció változik meg), és az inverziók száma 0 -ról 3 -ig.

Általában három kifejezésünk lesz "plusz" (ahol $ N \ bal (p \ jobb) $ páros) és további három "mínusz". Általában a determinánst a következő képlet szerint kell kiszámítani:

\ [\ balra | \ begin (mátrix) ((a) _ (11)) & (a) _ (12)) & (a) _ (13)) \\ ((a) _ (21)) & (a) _ (22)) és (a) _ (23)) \\ ((a) _ (31)) & (a) _ (32)) & (a) _ (33)) \\\ vége (mátrix) \ jobb | = \ kezdődik (mátrix) ((a) _ (11)) ((a) _ (22)) ((a) _ (33)) + ((a) _ (12)) ( (a) _ (23)) ((a) _ (31)) + (a) _ (13)) ((a) _ (21)) ((a) _ (32)) - \\ - ( a) _ (13)) (a) _ (22)) (a) _ (31)) - (a) _ (12)) (a) _ (21)) (a) _ (33)) - ((a) _ (11)) ((a) _ (23)) ((a) _ (32)) \\\ end (mátrix) \]

Csak ne üljön le, és hevesen tömje be ezeket az indexeket most! Az érthetetlen számok helyett jobb emlékezni a következő mnemonikus szabályra:

Háromszög szabály. A 3x3 mátrix determinánsának megtalálásához három elem szorzatát kell hozzáadni a főátlóhoz és az egyenlő szárú háromszögek csúcsaihoz, amelyeknek oldala párhuzamos ezzel az átlóval, majd kivonja ugyanazt a három szorzatot, de az oldalátlón. Vázlatosan így néz ki:

3x3 mátrixhatározó: háromszög szabály

Ezeket a háromszögeket (vagy pentagramokat - ahogy tetszik) szeretik rajzolni mindenféle tankönyvekbe és kézikönyvekbe az algebráról. Ne beszéljünk azonban szomorú dolgokról. Számítsunk ki inkább egy ilyen meghatározót - a bemelegítéshez a valódi ón előtt. :)

Egy feladat. A determináns kiszámítása:

\ [\ balra | \ start (mátrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\ end (mátrix) \ right | \]

Megoldás. A háromszögek szabálya szerint dolgozunk. Először is számoljunk három, a főátlón lévő és vele párhuzamos elemekből álló kifejezést:

\ [\ begin (align) & 1 \ cdot 5 \ cdot 1 + 2 \ cdot 6 \ cdot 7 + 3 \ cdot 4 \ cdot 8 = \\ & = 5 + 84 + 96 = 185 \\\ end (igazítás) \]

Most az oldalsó átlóval foglalkozunk:

\ [\ begin (align) & 3 \ cdot 5 \ cdot 7 + 2 \ cdot 4 \ cdot 1 + 1 \ cdot 6 \ cdot 8 = \\ & = 105 + 8 + 48 = 161 \\\ end (igazítás) \]

Már csak a másodikat kell kivonni az első számból - és megkapjuk a választ:

Ez minden!

A 3x3 mátrix determinánsok azonban még nem a készség csúcsa. A legérdekesebb dolog vár ránk. :)

A determinánsok kiszámításának általános sémája

Mint tudjuk, a $ n $ mátrix dimenziójának növekedésével a determinánsban szereplő kifejezések száma $ n! $ És gyorsan növekszik. Végül is a faktoriális nem egy rohadt dolog számodra, hanem egy meglehetősen gyorsan növekvő funkció.

Már a 4x4 -es mátrixok esetében valahogy nem lesz túl jó, ha a determinánsokat egyenesen előre tekintjük (azaz permutációk révén). Körülbelül 5x5 és általában hallgatnak. Ezért a determináns egyes tulajdonságai kapcsolódnak az esethez, de ezek megértéséhez egy kis elméleti előkészítés szükséges.

Kész? Megy!

Mi az a Matrix Minor

Adjunk meg tetszőleges $ A = \ bal [m \ szor n \ jobb] $ mátrixot. Megjegyzés: Nem feltétlenül négyzet alakú. A determinánsokkal ellentétben a kiskorúak olyan dolgok, amelyek nemcsak a kemény négyzet mátrixokban léteznek. Válasszunk több (például $ k $) sort és oszlopot ebben a mátrixban, $ 1 \ le k \ le m $ és $ 1 \ le k \ le n $ értékkel. Azután:

Meghatározás. A $ k $ sorrend kisebbsége a kijelölt $ k $ oszlopok és sorok metszéspontjában keletkező négyzetmátrix meghatározója. Ezt az új mátrixot is kiskorúnak fogjuk nevezni.

Az ilyen kiskorúat $ ((M) _ (k)) $ jelöli. Természetesen egy mátrix egész csomó $ k $ nagyságú kiskorút tartalmazhat. Íme egy példa a $ 2 left [5 \ times 6 \ right] $ mátrix kisebb sorrendjére 2:
$ K = 2 $ oszlopok és sorok kiválasztása kiskorú létrehozásához

Nem szükséges, hogy a kiválasztott sorok és oszlopok egymás mellett legyenek, mint a fenti példában. A lényeg az, hogy a kijelölt sorok és oszlopok száma azonos (ez a $ k $ szám).

Van egy másik definíció is. Talán valakinek jobban tetszik:

Meghatározás. Adjunk meg egy $ A = \ left [m \ times n \ right] $ téglalap alakú mátrixot. Ha egy vagy több oszlop és egy vagy több sor törlése után $ \ left [k \ times k \ right] $ méretű négyzetes mátrix keletkezik, akkor annak meghatározója a minor $ ((M) _ (k) ) $ ... Néha magát a mátrixot is kiskorúnak fogjuk nevezni - ez a szövegkörnyezetből kiderül.

Ahogy a macskám szokta mondani, néha jobb, ha egyszer a 11. emeletről tekerünk enni, mint nyávogni az erkélyen ülve.

Példa. Adott egy mátrix

Az 1. sort és a 2. oszlopot választva elsőrendű kiskorút kapunk:

\ [((M) _ (1)) = \ bal | 7 \ jobb | = 7 \]

A 2., 3. sor és a 3., 4. oszlop kiválasztásával kapunk egy másodrendű mollot:

\ [((M) _ (2)) = \ bal | \ start (mátrix) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\ end (mátrix) \ right | = 5-18 = -13 \]

És ha mindhárom sort kijelöli, valamint az 1., 2., 4. oszlopot, akkor harmadrendű moll lesz:

\ [((M) _ (3)) = \ bal | \ start (mátrix) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\ end (mátrix) \ jobb | \]

Az olvasónak nem lesz nehéz más kiskorúakat találnia az 1., 2. vagy 3. sorrendben. Ezért lépjünk tovább.

Algebrai kiegészítések

- Rendben, és mit adnak nekünk ezek a csatlósok? - valószínűleg kérdezed. Önmagukban semmi. De a négyzet alakú mátrixokban minden kiskorúnak van egy társa - egy további kiskorú, valamint egy algebrai kiegészítés. És ez a két trükk együtt lehetővé teszi számunkra, hogy a selejtezőkre kattintva mutassunk.

Meghatározás. Legyen egy négyzetmátrix $ A = \ left [n \ times n \ right] $, amelyben a moll $ ((M) _ (k)) $ van kiválasztva. Ekkor a kiskorú kiegészítő mollja $ ((M) _ (k)) $ az eredeti $ A $ mátrix egy darabja, amely a $ ((M) _ ( k)) $:
További kiskorú és kiskorú $ ((M) _ (2)) $
Egy pontot tisztázzunk: egy további moll nem csak a "mátrix darabja", hanem ennek a darabnak a meghatározója.

További kiskorúakat csillaggal jelölünk: $ M_ (k) ^ (*) $:

ahol a $ A \ nabla ((M) _ (k)) $ művelet szó szerint azt jelenti: "törölje a $ A $ -ból a $ ((M) _ (k)) $ -ban szereplő sorokat és oszlopokat"). Ez a művelet nem általánosan elfogadott a matematikában - csak magam találtam ki a történet szépsége miatt. :)

A kiegészítő kiskorúakat ritkán használják önmagukban. Ezek egy összetettebb konstrukció részét képezik, az algebrai kiegészítést.

Meghatározás. A moll kiegészítés $ ((M) _ (k)) $ a további minor $ M_ (k) ^ (*) $ szorozva $ ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (S)) $ összeggel, ahol $ S $ az eredeti moll $ ((M) _ (k)) $ összes érintett sorának és oszlopának a száma.

Általában a $ ((M) _ (k)) $ algebrai kiegészítését $ ((A) _ (k)) $ jelöli. Ezért:

\ [((A) _ (k)) = ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (S)) \ cdot M_ (k) ^ (*) \]

Kemény? Első pillantásra igen. De nem pontosan. Mert a valóságban minden egyszerű. Vegyünk egy példát:

Példa. Adott egy 4x4 -es mátrix:

Válasszunk egy másodrendű kiskorút

\ [((M) _ (2)) = \ bal | \ start (mátrix) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\ end (mátrix) \ jobb | \]

Az Obvious kapitány arra utal, hogy az 1. és 4. sor, valamint a 3. és 4. oszlop részt vett ennek a mollnak az összeállításában. Húzd át őket - kapunk egy további kiskorút:

Marad a $ S $ szám megkeresése és az algebrai komplement megszerzése. Mivel ismerjük az érintett sorok (1 és 4) és oszlopok (3 és 4) számát, minden egyszerű:

\ [\ start (igazítás) & S = 1 + 4 + 3 + 4 = 12; \\ & ((A) _ (2)) = ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (S)) \ cdot M_ (2) ^ (*) = ((\ bal (-1 \ jobb)) ) ^ (12)) \ cdot \ left (-4 \ right) = - 4 \ end (align) \]

Válasz: $ ((A) _ (2)) = - 4 $

Ez minden! Valójában minden különbség egy további moll és egy algebrai kiegészítés között csak az előtte lévő mínuszban van, és akkor sem mindig.

Laplace -tétel

És így jutottunk el ahhoz, hogy valójában mindezek a kiskorúak és algebrai kiegészítések szükség volt.

Laplace tétele a determináns tágulásáról. Válasszon ki $ k $ sorokat (oszlopokat) $ \ left [n \ times n \ right] $ méretű mátrixban, $ 1 \ le k \ le n-1 $ értékkel. Ekkor ennek a mátrixnak a determinánsa egyenlő a $ k $ rendű kiskorúak összes termékének összegével, amelyet a kiválasztott sorok (oszlopok) tartalmaznak algebrai kiegészítéseik szerint:

\ [\ bal | A \ jobb | = \ összeg (((M) _ (k)) \ cdot ((A) _ (k))) \]

Sőt, pontosan $ C_ (n) ^ (k) $ lesz ilyen kifejezés.

Oké, oké: körülbelül $ C_ (n) ^ (k) $ - már beszélek róla, az eredeti Laplace -tételben semmi ilyesmi nem volt. De senki sem törölte a kombinatorikát, és szó szerint egy pillanatnyi pillantás az állapotra lehetővé teszi, hogy saját maga győződjön meg arról, hogy pontosan ennyi kifejezés lesz. :)

Nem fogjuk bizonyítani, bár ez nem jelent különösebb nehézséget - minden számítás a régi jó permutációkra és páros / páratlan inverziókra redukálódik. Ennek ellenére a bizonyítékot külön bekezdésben mutatjuk be, és ma tisztán gyakorlati leckét tartunk.

Ezért ennek a tételnek egy speciális esetére térünk át, amikor a kiskorúak a mátrix külön cellái.

Meghatározó bomlás sorok és oszlopok szerint

Amiről most beszélni fogunk, az éppen a determinánsokkal való munka fő eszköze, amelynek érdekében elkezdődött ez a játék permutációkkal, kiskorúakkal és algebrai kiegészítésekkel.

Olvassa el és élvezze:

Következtetés Laplace -tételből (a determináns sor / oszlop bővítése). Válasszon ki egy sort a $ \ left [n \ times n \ right] $ méretű mátrixban. Ebben a sorban kiskorúak lesznek $ n $ egyéni cellák:

\ [((M) _ (1)) = ((a) _ (ij)), \ quad j = 1, ..., n \]

További kiskorúak számítása is egyszerű: csak vegye az eredeti mátrixot, és törölje a $ ((a) _ (ij)) $ értékű sort és oszlopot. Nevezzük az ilyen kiskorúakat $ M_ (ij) ^ (*) $ -nak.

Az algebrai kiegészítéshez továbbra is szükség van a $ S $ számra, de az 1 -es rendű kiskorú esetében ez csak a $ ((a) _ (ij)) $ cella "koordinátáinak" összege:

És akkor az eredeti determináns $ ((a) _ (ij)) $ és $ M_ (ij) ^ (*) $ értékben írható fel Laplace tétele szerint:

\ [\ bal | A \ jobb | = \ összeg \ határok_ (j = 1) ^ (n) (((a) _ (ij)) \ cdot ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (i + j)) \ cdot ((M) _ (ij)))]]

Az az ami karakterlánc -bővítési képlet... De ugyanez igaz az oszlopokra is.

Ebből a következtetésből több következtetés vonható le:

Ez a séma egyformán jól működik mind a sorok, mind az oszlopok esetében. Valójában a bővítés leggyakrabban oszloponként, nem pedig soronként történik.
A bővítményben szereplő kifejezések száma mindig pontosan $ n $. Ez lényegesen kevesebb, mint $ C_ (n) ^ (k) $ és még inkább $ n! $.
Egy determináns $ \ left [n \ times n \ right] $ helyett több eggyel kisebb determinánst kell számolnia: $ \ left [\ left (n-1 \ right) \ times \ left (n-1 \ jobb) \ jobb] $.

Ez utóbbi tény különösen fontos. Például a brutális 4x4 -es determináns helyett most elég lesz több 3x3 -as determinánst számolni - valahogy megbirkózunk velük. :)

Egy feladat. Keresse meg a meghatározót:

\ [\ bal | \ start (mátrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\ end (mátrix) \ jobb | \]

Megoldás. Bővítsük ki ezt a meghatározót az első sor mentén:

\ [\ kezdődik (igazítás) \ balra | A \ jobb | = 1 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ bal | \ start (mátrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ end (mátrix) \ jobb | + & \\ 2 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ bal | \ begin (mátrix) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\ end (mátrix) \ jobb | + & \\ 3 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ bal | \ begin (mátrix) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\ end (mátrix) \ right | = & \\\ end (align) \]

\ [\ start (igazítás) & = 1 \ cdot \ left (45-48 \ right) -2 \ cdot \ left (36-42 \ right) +3 \ cdot \ left (32-35 \ right) = \\ & = 1 \ cdot \ left (-3 \ right) -2 \ cdot \ left (-6 \ right) +3 \ cdot \ left (-3 \ right) = 0. \\\ vége (igazítás) \]

Egy feladat. Keresse meg a meghatározót:

\ [\ bal | \ begin (mátrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end (mátrix) \ right | \ ]

Megoldás. Változásképpen ezúttal az oszlopokkal dolgozzunk. Például az utolsó oszlop egyszerre két nullát tartalmaz - nyilvánvalóan ez jelentősen csökkenti a számításokat. Most látni fogja, miért.

Tehát a determinánst kibővítjük a negyedik oszloppal:

\ [\ kezdődik (igazítás) \ balra | \ start (mátrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end (mátrix) \ right | = 0 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (1 + 4)) \ cdot \ bal | \ start (mátrix) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (mátrix) \ jobb | + & \\ +1 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobbra)) ^ (2 + 4)) \ cdot \ balra | \ start (mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (mátrix) \ jobb | + & \\ +1 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobbra)) ^ (3 + 4)) \ cdot \ balra | \ start (mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (mátrix) \ jobb | + & \\ +0 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (4 + 4)) \ cdot \ bal | \ start (mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (mátrix) \ jobb | & \\\ end (igazítás) \]

És akkor - ó, csoda! - két kifejezés azonnal lemerül, mert szorzójuk "0". Még mindig van két 3x3 determináns, amelyekkel könnyen megbirkózhatunk:

\ [\ kezdődik (igazítás) & \ balra | \ begin (mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (mátrix) \ right | = 0 + 0 + 1-1-1-0 = -1; \\ & \ bal | \ start (mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (mátrix) \ right | = 0 + 1 + 1-0-0-1 = 1. \\\ vége (igazítás) \]

Visszatérünk a forráshoz, és megtaláljuk a választ:

\ [\ bal | \ begin (mátrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end (mátrix) \ right | = 1 \ cdot \ left (-1 \ right) + \ left (-1 \ right) \ cdot 1 = -2 \]

Ez az. És nem 4! = 24 kifejezést nem kellett számolni. :)

Válasz: −2

A determináns alapvető tulajdonságai

Az utolsó feladatban azt láttuk, hogy a nullák jelenléte a mátrix soraiban (oszlopaiban) nagyban leegyszerűsíti a determináns bővülését és általában minden számítást. Felmerül egy természetes kérdés: lehetséges -e, hogy ezek a nullák még a mátrixban is megjelenjenek, ahol eredetileg nem voltak?

A válasz egyértelmű: tud... És itt segítenek a determináns tulajdonságai:

Ha két sor (oszlop) helyét felcseréli, a determináns nem változik;
Ha egy sort (oszlopot) megszorozunk a $ k $ számmal, akkor a teljes determinánst is megszorozzuk a $ k $ számmal;
Ha felvesz egy sort, és annyiszor összeveszi (kivonja), ahányszor csak akarod, akkor a determináns nem változik;
Ha a determináns két sora azonos, vagy arányos, vagy az egyik sor nullákkal van kitöltve, akkor a teljes determináns nulla;
A fenti tulajdonságok mindegyike igaz az oszlopokra is.
Mátrix transzponálásakor a determináns nem változik;
A mátrixtermék determinánsa egyenlő a determinánsok szorzatával.

A harmadik tulajdonság különösen értékes: megtehetjük vonjon le egy másikat az egyik sorból (oszlopból), amíg a nullák meg nem jelennek a megfelelő helyeken.

Leggyakrabban a számítások az összes oszlop "nullázására" kerülnek, kivéve egy elemet, majd kibővítve a determinánst ezen oszlop mentén, 1 -gyel kisebb mátrixot kapva.

Lássuk, hogyan működik ez a gyakorlatban:

Egy feladat. Keresse meg a meghatározót:

\ [\ bal | \ start (mátrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ end (mátrix) \ right | \ ]

Megoldás. Itt egyáltalán nincsenek nullák, így bármelyik sorban vagy oszlopban "kalapálhat" - a számítások mennyisége megközelítőleg azonos lesz. Ne vesztegessük az időt apróságokra, és "nullázzuk" az első oszlopot: már van cellája eggyel, ezért csak vegye az első sort, és vonja le 4 -szer a másodikból, 3 -szor a harmadikból és kétszer az utolsóból.

Ennek eredményeként új mátrixot kapunk, de meghatározója ugyanaz lesz:

\ [\ begin (mátrix) \ left | \ start (mátrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ end (mátrix) \ right | \ start (mátrix) \ downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\ end (mátrix) = \\ = \ left | \ begin (mátrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4 \ cdot 1 & 1-4 \ cdot 2 & 2-4 \ cdot 3 & 3-4 \ cdot 4 \\ 3-3 \ cdot 1 & 4-3 \ cdot 2 & 1-3 \ cdot 3 & 2-3 \ cdot 4 \\ 2-2 \ cdot 1 & 3-2 \ cdot 2 & 4-2 \ cdot 3 & 1-2 \ cdot 4 \ \\ vége (mátrix) \ jobb | = \\ = \ bal | \ start (mátrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \ vége (mátrix) \ jobb | \\\ end (mátrix) \]

Most, Malacka kiegyensúlyozottságával kibővítjük ezt a meghatározót az első oszlop szerint:

\ [\ begin (mátrix) 1 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ bal | \ begin (mátrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ end (mátrix) \ jobb | +0 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ bal | ... \ jobb | + \\ +0 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (3 + 1)) \ cdot \ bal | ... \ jobb | +0 \ cdot ((\ bal (-1 \ jobb)) ^ (4 + 1)) \ cdot \ bal | ... \ ugye | \\\ end (mátrix) \]

Világos, hogy csak az első kifejezés fog "túlélni" - a többinél nem is írtam ki a meghatározókat, hiszen úgyis megszorozzák nullával. A determináns előtti együttható egyenlő eggyel, azaz nem kell leírnia.

De ki lehet venni a "mínuszokat" a determináns mindhárom sorából. Valójában háromszor mozgattuk ki az (-1) tényezőt:

\ [\ bal | \ start (mátrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ end (mátrix) \ jobb | = \ cdot \ bal | \ start (mátrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ end (mátrix) \ jobb | \]

Kaptunk egy kicsi 3x3 determinánst, ami már a háromszögek szabályával kiszámítható. De megpróbáljuk felbontani az első oszlop szerint - szerencsére az utolsó sor büszkén tartalmaz egyet:

\ [\ begin (igazítás) & \ left (-1 \ right) \ cdot \ left | \ begin (mátrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ end (mátrix) \ right | \ begin (mátrix) -7 \\ -2 \\ \ uparrow \ \\ vége (mátrix) = \ bal (-1 \ jobb) \ cdot \ bal | \ start (mátrix) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\ end (mátrix) \ jobb | = \\ & = \ cdot \ left | \ start (mátrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ end (mátrix) \ jobb | = \ bal (-1 \ jobb) \ cdot \ left | \ start (mátrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ end (mátrix) \ jobb | \\\ vége (igazítás) \]

Természetesen játszhat még szórakoztatóbban, és kibővítheti a 2x2 mátrixot egy sorban (oszlop), de megfelelőek vagyunk, ezért csak kiszámítjuk a választ:

\ [\ bal (-1 \ jobb) \ cdot \ bal | \ start (mátrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ end (mátrix) \ jobb | = \ bal (-1 \ jobb) \ cdot \ bal (16 + 144 \ jobb) = -160 \ ]

Így törnek szét az álmok. Csak -160 a válasz. :)

Válasz: -160.

Néhány megjegyzés az utolsó feladatra való áttérés előtt:

Az eredeti mátrix az oldalátlóra szimmetrikus volt. A bővítésben lévő összes kiskorú szimmetrikus ugyanarra az oldalátlóra is.
Szigorúan véve egyáltalán nem tudtunk semmit felbontani, hanem egyszerűen a felső háromszög alakba hozni a mátrixot, amikor a főátló alatt szilárd nullák vannak. Ekkor (pontosan a geometriai értelmezésnek megfelelően egyébként) a determináns egyenlő a főátlón lévő $ ((a) _ (ii)) $ - számok szorzatával.

Egy feladat. Keresse meg a meghatározót:

\ [\ bal | \ start (mátrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ end (mátrix) \ right | \ ]

Megoldás. Nos, itt az első sor "nullázásra" könyörög. Vegyük az első oszlopot, és pontosan egyszer vonjunk le a többiből:

\ [\ kezdődik (igazítás) & \ balra | \ start (mátrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ end (mátrix) \ right | = \\ & = \ bal | \ start (mátrix) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 \\\ end (mátrix) \ jobb | = \\ & = \ bal | \ start (mátrix) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\ end (mátrix) \ jobb | \\\ vége (igazítás) \]

Bővítjük az első sort, majd a többi sorból kivesszük a közös tényezőket:

\ [\ cdot \ bal | \ start (mátrix) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\ end (mátrix) \ jobb | = \ cdot \ bal | \ start (mátrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ end (mátrix) \ right | \]

Ismét "gyönyörű" számokat figyelünk meg, de már az első oszlopban - bővítjük a meghatározót aszerint:

\ [\ begin (align) & 240 \ cdot \ left | \ begin (mátrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ end (mátrix) \ right | \ begin (mátrix) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\ end (mátrix) = 240 \ cdot \ left | \ begin (mátrix) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\ end (mátrix) \ right | = \\ & = 240 \ cdot ((\ left (-1 \ jobb))) ^ (1 + 1)) \ cdot \ bal | \ begin (mátrix) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\ end (mátrix) \ right | = \\ & = 240 \ cdot 1 \ cdot \ left (24-18 \ right) = 1440 \\\ end ( igazítsa) \]

Rendelés. A probléma megoldódott.

Válasz: 1440

Határozók és tulajdonságaik. Permutáció az 1, 2, ..., n számok ezeknek a számoknak egy bizonyos sorrendben történő elrendezése. Az elemi algebrában bebizonyosodott, hogy az n számokból létrehozható összes permutáció száma 12 ... n = n!. Például három 1, 2, 3 számból 3 -at alkothat! = 6 permutációt: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Azt mondják, hogy ebben a permutációban az i és j számok alkotják inverzió(rendetlenség), ha i> j, de i ebben a permutációban van j előtt, vagyis ha a nagyobb szám a kisebbtől balra van.

A permutációt ún még(vagy páratlan) ha az inverziók teljes száma ennek megfelelően páros (páratlan). Az a művelet, amellyel az egyik permutációról a másikra megy át, ugyanazon n számból áll helyettesítés n-edik fok.

Az egyik permutációt a másikba továbbító helyettesítést két sorban írjuk közös zárójelbe, és azokat a számokat, amelyek ugyanazokat a helyeket foglalják el a vizsgált permutációkban, ún. megfelelőés egymás alá vannak írva. Például a szimbólum olyan helyettesítést jelöl, amelyben 3 4 -re megy, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. A helyettesítést ún. még(vagy páratlan) ha az inverziók teljes száma mindkét helyettesítési karakterláncban páros (páratlan). Az n-edik fokozat bármilyen helyettesítése írható formában, azaz a számok természetes elrendezésével a felső sorban.

Adjunk meg egy n nagyságú négyzetmátrixot

Tekintsük e mátrix n elemének minden lehetséges termékét, minden sorból és minden oszlopból egyet és egyet, azaz az űrlap munkái:

, (4.4)

ahol a q 1, q 2, ..., q n indexek a számok némi permutációját alkotják
1, 2, ..., n. Az ilyen termékek száma megegyezik n szimbólum különböző permutációinak számával, azaz egyenlő n !. A szorzat előjele (4.4) egyenlő (- 1) q-val, ahol q az inverziók száma az elemek második indexeinek permutációjában.

Döntő A mátrixnak (4.3) megfelelő n-edik sorrendet n algebrai összegnek nevezzük! az űrlap feltételeit (4.4.). A determináns írásához a szimbólumot kell használni vagy detA = (determináns, vagy determináns, A mátrix).

Meghatározó tulajdonságok

1. A determináns nem változik transzponáláskor.

2. Ha a determináns egyik sora nullákból áll, akkor a determináns nulla.

3. Ha két sort átrendezünk a determinánsban, akkor a determináns előjelet vált.

4. A két azonos vonalat tartalmazó determináns nulla.

5. Ha a determináns egy sorának minden elemét megszorozzuk valamilyen k számmal, akkor magát a determinánst szorozzuk k -val.

6. A két arányos karakterláncot tartalmazó determináns nulla.

7. Ha minden elem i sor A determináns két tag összegeként kerül bemutatásra: aij = bj + cj (j = 1, ..., n), akkor a determináns megegyezik a determinánsok összegével, amelyben az i-edik kivételével minden sor a ugyanaz, mint az adott determinánsban, és i sor az egyik kifejezésben b j elemekből, a másikban - c j elemekből áll.

8. A determináns nem változik, ha az egyik sor elemeihez hozzáadjuk a másik sor megfelelő elemeit, megszorozva ugyanazzal a számmal.

Megjegyzés. Minden tulajdonság érvényes marad, ha oszlopokat vesz sorok helyett.

Kisebb Az n-edrendű d determináns a i j elemének M i j-jét az n-1 rendű determinánsnak nevezzük, amelyet a d-ből nyerünk az ezt az elemet tartalmazó sor és oszlop törlésével.

Algebrai kiegészítés a d determináns a i j elemét annak kicsi M i j-nek nevezzük, (-1) i + j előjellel. Egy a i j elem algebrai kiegészítését A i j jelöli. Így A i j = (-1) i + j M i j.

A következő tétel a determinánsok gyakorlati számításának módszereit adja meg azon a tényen alapulva, hogy az n rendű determináns alacsonyabb rendű determinánsokkal kifejezhető.

Tétel (a determináns bővítése sorral vagy oszloppal).

A determináns megegyezik tetszőleges sorának (vagy oszlopának) minden elemének szorzatának összegével azok algebrai kiegészítései alapján. Más szóval, d bővítve van elemei az i húrok

d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ... + a i n A i n (i = 1, ..., n)

vagy j-edik oszlop

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ... + a n j A n j (j = 1, ..., n).

Különösen, ha egy sor (vagy oszlop) elemeinek kivételével minden nulla, akkor a determináns egyenlő ezzel az elemmel, megszorozva annak algebrai kiegészítésével.

Képlet a harmadik rendű determináns kiszámítására.

Ennek a képletnek a könnyebb megjegyzése érdekében:

2.4. Példa A determináns kiszámítása nélkül mutasd meg, hogy az egyenlő nullával.

Megoldás. Ha kivonjuk az első sort a második sorból, megkapjuk az eredetivel egyenlő determinánst. Ha az elsőt is kivonja a harmadik sorból, akkor olyan determinánst kap, amelyben a két sor arányos. Ez a determináns nulla.

Példa 2.5. Számítsa ki a D = determinánst úgy, hogy kibővíti a második oszlop elemeivel.

Megoldás. Bővítsük ki a determinánst a második oszlop elemeivel:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =

Példa 2.6. Számítsa ki a determinánst

amelyben a főátló egyik oldalán lévő összes elem nulla.

Megoldás. Az A determinánst kibővítjük az első sor mentén:

A jobb oldali determináns ismét bővíthető az első sor mentén, majd kapjuk:

Példa 2.7. Számítsa ki a determinánst .

Megoldás. Ha a determináns minden sorához, a másodiktól kezdve, adjuk hozzá az első sort, akkor olyan determinánst kapunk, amelyben a főátló alatti összes elem nulla lesz. Nevezetesen, megkapjuk a meghatározót: egyenlő az eredetivel.

Az előző példához hasonlóan érvelve azt találjuk, hogy egyenlő a főátló elemeinek szorzatával, azaz n !. A meghatározó módszer kiszámításának módszerét háromszög alakú redukció módszerének nevezzük.

Az egyetemen gyakran felmerülnek olyan problémák a magasabb matematikában, amelyekre szükség van kiszámítja egy mátrix determinánsát... A determináns egyébként csak négyzetes mátrixokban lehet. Az alábbiakban megvizsgáljuk az alapvető definíciókat, milyen tulajdonságokkal rendelkezik a determináns, és hogyan kell helyesen kiszámítani, valamint részletes megoldást mutatunk példákkal.

Mi a mátrix determináns: determináns kiszámítása definíció segítségével

Egy mátrix meghatározója

A második sorrend egy szám.

A mátrix determinánsát - - jelöli (a determinánsok latin nevéből rövidítve), vagy.

Ha: akkor kiderül

Emlékezzünk még néhány kiegészítő meghatározásra:

Meghatározás

Az elemekből álló rendezett számhalmazt permutációs sorrendnek nevezzük.

Az elemeket tartalmazó halmazhoz van egy faktor (n), amelyet mindig jelölünk felkiáltójel:. A permutációk csak a sorrendben különböznek egymástól. Hogy érthetőbb legyen, mondjunk egy példát:

Tekintsünk egy három elemből álló készletet (3, 6, 7). Összesen 6 permutáció van, mivel:

Meghatározás

Az inverzió a sorrend permutációjában egy rendezett számhalmaz (más néven bijection), ahol két szám egyfajta rendellenességet képez. Ekkor az adott permutációban szereplő számok közül a nagyobbik a kisebb számtól balra található.

Fentebb megnéztünk egy példát fordított permutációval, ahol számok voltak. Vegyük tehát a második sort, ahol a megadott számokból ítélve kiderül, hogy a, mivel a második elem nagyobb, mint a harmadik. Vegyük az összehasonlítás hatodik sorát, ahol a számok találhatók :. Három pár van itt :, a, mivel title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Rendelte: QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Rendelte: QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Magát az inverziót nem fogjuk tanulmányozni, de a permutációk nagyon hasznosak lesznek számunkra a téma további vizsgálatában.

Meghatározás

Az x mátrix determinánsa egy szám:

A számok 1 -től végtelenig terjedő permutációja, és a permutációban az inverziók száma. Így a determináns magában foglalja azokat a kifejezéseket, amelyeket „a determináns tagjainak” neveznek.

Kiszámíthatja a második, harmadik és akár negyedik rendű mátrix determinánsát. Szintén érdemes megemlíteni:

Meghatározás

a mátrix meghatározója egy szám, amely egyenlő

Ennek a képletnek a megértéséhez részletesebben leírjuk. Az x négyzetmátrix determinánsa egy összeget, amely kifejezéseket tartalmaz, és minden tag egy szorzat egy bizonyos összeget mátrix elemek. Ezenkívül minden termékben van egy elem a mátrix minden sorából és minden oszlopából.

Előfordulhat egy bizonyos kifejezés előtt, ha a termék mátrixának elemei rendben vannak (sorszám szerint), és az inverziók száma a permutációban az oszlopszámok páratlan halmaza.

Fentebb már említettük, hogy a mátrix determinánsát jelöljük, vagy a determinánst gyakran determinánsnak nevezzük.

Tehát vissza a képlethez:

A képlet azt mutatja, hogy az elsőrendű mátrix meghatározója ugyanazon mátrix eleme.

Másodrendű mátrix determinánsának kiszámítása

A gyakorlatban leggyakrabban a mátrix determinánsát a második, harmadik és ritkábban negyedik rendű módszerekkel oldják meg. Fontolja meg, hogyan számítják ki a másodrendű mátrix determinánsát:

A másodrendű mátrixban ebből következik, hogy a faktoriális. A képlet alkalmazása előtt

Meg kell határozni, hogy milyen adatokat kapunk:

2. halmazok permutációi: és;

3. az inverziók száma a permutációban: és, mivel a cím = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. vonatkozó munkák: és.

Kiderül:

A fentiek alapján kapunk egy képletet a másodrendű négyzetmátrix determinánsának kiszámítására, azaz x:

Fontolja meg a konkrét példa hogyan kell kiszámítani a másodrendű négyzetmátrix determinánsát:

Példa

Egy feladat

Számítsa ki az x mátrix determinánsát:

Megoldás

Tehát kapjuk ,,,.

A megoldáshoz a korábban megfogalmazott képletet kell használnia:

Helyettesítse a példában szereplő számokat, és keresse meg:

Válasz

A másodrendű mátrix meghatározója =.

A harmadik rendű mátrix determinánsának kiszámítása: példa és megoldás a képlet alapján

Meghatározás

A harmadrendű mátrix determinánsa egy szám, amelyet kilenc adott számból kapunk négyzet alakú táblázatban,

A harmadik rendű determináns majdnem ugyanúgy található, mint a második rendű determináns. Az egyetlen különbség a képletben van. Ezért, ha jól tájékozódik a képletben, akkor nem lesz probléma a megoldással.

Vegyünk egy harmadrendű négyzetmátrixot *:

E mátrix alapján megértjük, hogy ennek megfelelően a faktoriális =, ami azt jelenti, hogy a teljes permutációk

A helyes képlet alkalmazásához meg kell találnia az adatokat:

Tehát a halmaz összes permutációja:

Az inverziók száma a permutációban és a megfelelő termékek =;

Az inverziók száma a permutáció címében = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inverziók a permutációban title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

... ; inversions in permutation title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

... ; inversions in permutation title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Most kapjuk:

Így egy képletet kaptunk az x rendű mátrix determinánsának kiszámításához:

Harmadrendű mátrix keresése a háromszög szabály használatával (Sarrus-szabály)

Amint fentebb említettük, a 3. rendű determináns elemei itt találhatók három sorés három oszlop. Ha közös elemmegjelölést ad meg, akkor az első elem a sorszámot jelöli, az indexek második eleme pedig az oszlop száma. A determinánsnak van egy fő (elemek) és másodlagos (elemek) átlója. A jobb oldali kifejezéseket a determináns tagjainak nevezzük).

Látható, hogy a determináns minden tagja a sémában csak egy elem minden sorban és minden oszlopban.

A determináns kiszámítható a téglalap szabály segítségével, amelyet diagram formájában mutatunk be. A determináns tagjai a főátló elemeiből pirossal vannak kiemelve, valamint a háromszögek csúcsán lévő elemekből származó kifejezések, amelyek az egyik oldalon párhuzamosak a főátlóval (bal ábra), jelzéssel.

Az oldalsó átló elemeiből, valamint azokból az elemekből álló kék nyilakkal ellátott elemeket, amelyek az oldalátlóval párhuzamos oldalakkal (jobb oldali ábra) vannak jelölve.

A következő példában megtanuljuk, hogyan kell kiszámítani a harmadik rendű négyzetmátrix determinánsát.

Példa

Egy feladat

Számítsa ki a harmadrendű mátrix determinánsát:

Megoldás

Ebben a példában:

A determinánst a fentiekben megadott képlet vagy séma segítségével számoljuk ki:

Válasz

A harmadrendű mátrix meghatározója =

Harmadrendű mátrix determinánsainak alapvető tulajdonságai

A korábbi meghatározások és képletek alapján a legfontosabbakat vesszük figyelembe mátrixdetermináns tulajdonságok.

1. A determináns mérete nem változik, ha a megfelelő sorokat, oszlopokat kicserélik (az ilyen helyettesítést transzponálásnak nevezik).

Egy példa segítségével meggyőződünk arról, hogy a mátrix determinánsa egyenlő az átültetett mátrix determinánsával:

Emlékezzünk a determináns kiszámításának képletére:

A mátrix transzponálása:

Kiszámítjuk az átültetett mátrix determinánsát:

Meggyőződtünk arról, hogy a szállított mátrix determinánsa egyenlő az eredeti mátrixszal, ami a helyes megoldást jelzi.

2. Az azonosító jele megfordul, ha bármelyik oszlopát vagy két sorát felcseréli.

Vegyünk egy példát:

A harmadik rendű (x) két mátrixot adjuk meg:

Meg kell mutatni, hogy ezeknek a mátrixoknak a meghatározói ellentétesek.

Megoldás

A mátrixban és a mátrixban a sorok megváltoztak (a harmadik az elsőből, és az elsőből a harmadikba). A második tulajdonság szerint a két mátrix determinánsainak előjelben kell különbözniük. Vagyis az egyik mátrix pozitív, a másik negatív. teszteljük ezt a tulajdonságot egy képlettel a determináns kiszámításához.

Az ingatlan azóta is igaz.

3. A determináns nulla, ha két sorban (oszlopban) ugyanazok a megfelelő elemek vannak. Legyen a determinánsnak ugyanaz az eleme az első és a második oszlopban:

Azonos oszlopok felcserélésével a 2. tulajdonság szerint új determinánst kapunk: =. Másrészt az új minősítő egybeesik az eredetivel, mivel ugyanazok a válaszok elemek, azaz =. Ezekből az egyenlőségekből kapjuk: =.

4. A determináns nulla, ha egy sor (oszlop) minden eleme nulla. Ez az állítás abból adódik, hogy az (1) képlet szerinti determináns minden tagjának van egy, és minden sorból (oszlopból) csak egy eleme, amely csak nullákat tartalmaz.

Vegyünk egy példát:

Mutassuk meg, hogy a mátrix determinánsa nulla:

Mátrixunknak két azonos oszlopa van (második és harmadik), tehát a ennek az ingatlannak, a determinánsnak egyenlőnek kell lennie nullával. Nézzük meg:

Valójában a két azonos oszlopot tartalmazó mátrix determinánsa nulla.

5. Az első sor (oszlop) elemeinek közös tényezője kivehető a determináns előjelen kívül:

6. Ha a determináns egy sorának vagy egy oszlopának elemei arányosak a második sor (oszlop) megfelelő elemeivel, akkor az ilyen determináns nulla.

Valójában az 5 tulajdonság után az arányossági együtthatót a determináns előjelén kívülre vihetjük, majd a 3 tulajdonságot használhatjuk.

7. Ha a determináns sorainak (oszlopainak) minden eleme két tag összege, akkor ezt a determinánst a megfelelő determinánsok összegeként lehet benyújtani:

Az ellenőrzéshez elegendő kibővített formában írni az (1) szerint azt a meghatározót, amely az egyenlőség bal oldalán található, majd külön csoportosítani az elemeket tartalmazó kifejezéseket és. és második meghatározók az egyenlőség jobb oldalán, ill.

8. A definíciós értékek nem változnak, ha a második sor (oszlop) megfelelő elemeit ugyanazzal a számmal megszorozva hozzáadjuk egy sor vagy egy oszlop eleméhez:

Ezt az egyenlőséget a 6. és a 7. tulajdonságból kapjuk.

9. A mátrix determinánsa ,, egyenlő bármely sor vagy oszlop elemeinek szorzatának összegével az algebrai kiegészítéseik alapján.

Itt a mátrix elem algebrai komplementjét jelenti. Ezzel a tulajdonsággal nemcsak a harmadik rendű mátrixokat, hanem a magasabb rendű (x vagy x) mátrixokat is kiszámíthatja. Más szóval ez egy rekurzív képlet, amely szükséges bármely mátrix determinánsának kiszámításához rendelés. Ne feledje, mivel a gyakorlatban gyakran használják.

Azt kell mondani, hogy a kilencedik tulajdonság használatával nemcsak a negyedik, hanem a magasabb rendű mátrixok determinánsai is kiszámíthatók. Ebben az esetben azonban sok számítási műveletet kell végrehajtania, és óvatosnak kell lennie, mivel a jelek legkisebb hibája helytelen döntéshez vezet. A magasabb rendű mátrixokat a legkényelmesebben a Gauss-módszer oldja meg, és erről később beszélünk.

10. Az azonos rendű mátrixok szorzatának determinánsa megegyezik determinánsaik szorzatával.

Vegyünk egy példát:

Példa

Egy feladat

Győződjön meg arról, hogy két mátrix determinánsa egyenlő a determinánsuk szorzatával. Két mátrixot adunk meg:

Megoldás

Először is megtaláljuk a két mátrix determinánsának szorzatát és.

Most elvégezzük mindkét mátrix szorzását, és így kiszámítjuk a determinánst:

Válasz

Erről megbizonyosodtunk

Egy mátrix determinánsának kiszámítása Gauss -módszerrel

Egy mátrix meghatározója frissítve: 2019. november 22 -én a szerzőtől: Tudományos cikkek.Ru

Néhány szám egy bizonyos szabály szerint kiszámítva és hívva döntő.

A koncepció bevezetésének szükségessége döntő - a számok jellemzi négyzet rendelési mátrix n , szorosan összefügg a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásával.

Egy mátrix meghatározója DE jelölni fogjuk: | DE| vagy D.

Az elsőrendű mátrix meghatározójaDE = (de 11) elemnek nevezzük de tizenegy. Például DE= (-4) van | DE| = -4.

Másodrendű mátrix meghatározója hívott szám képlet határozza meg

|DE| = .

Például | DE| = .

Szavakkal ez a szabály a következőképpen írható fel: saját jelzéssel kell felvenni az összekapcsolt elemek szorzatát főátlós, és a háromszögek csúcsaival összekötött elemek szorzatai, amelyekhez alap párhuzamos a főátlóval... Az ellenkező előjellel hasonló termékeket veszünk, csak az oldalátlóra tekintettel.

Például,

Egy mátrix determinánsának meghatározása n Nem adjuk meg a parancsot, hanem csak a megtalálás módszerét mutatjuk be.

Továbbá szavak helyett mátrix meghatározója n-a rend mondjuk csak azt hogy döntő n-a rend... Bemutatjuk az új fogalmakat.

Adott egy négyzet mátrix n sorrend.

KisebbM ij elem de ij mátrixok DE hívott döntő (n-1) a mátrixból kapott sorrend DE törlés én-a sor és j th oszlop.

Az А mátrix а ij elemének А ij algebrai kiegészítését annak mollnak nevezzük, az (-1) i + j előjellel:

DE ij = (-1) i + j M ij,

azok. az algebrai kiegészítés vagy egybeesik a minorjával, ha a sor- és oszlopszám összege páros szám, vagy előjelben különbözik attól, ha a sor- és oszlopszám összege páratlan szám.

Például az elemekhez de 11 és de 12 mátrix A = kiskorúak

M 11 = DE 11 = ,

M 12 = ,

de DE 12 = (-1) 1+2 M 12 = -8.

Tétel (a determináns tágulásáról) . A négyzetmátrix determinánsa egyenlő bármely sor (oszlop) elemeinek szorzatának összegével az algebrai kiegészítéseik szerint, azaz

|DE| = de i1 A i1 + de i2 A i2 + ... + de ban ben A ban ben,
bárkinek én = 1, 2, …, n

|DE| = de 1j A 1j + de 2j A 2j + ... + de nj A nj,

bárkinek j = 1, 2, …, n

Az első képletet ún én-a harmadik sor, a második pedig az a determináns elemekre bontása j th oszlop.

Könnyű megérteni, hogy ezen képletek segítségével bármilyen determináns n-adik sorrend a determinánsok összegére redukálható, amelyek sorrendje 1 -gyel kevesebb lesz stb. amíg el nem érjük a 3. vagy 2. rendű determinánsokat, amelyek kiszámítása már nem nehéz.

A determináns megtalálásához a következő alapvető tulajdonságok alkalmazhatók:

1. Ha a determináns bármely sora (vagy oszlopa) nullákból áll, akkor maga a determináns nulla.

2. Bármely két sor (vagy két oszlop) felcserélésekor a determinánst megszorozzuk -1 -gyel.

3. A két azonos vagy arányos sorral (vagy oszloppal) rendelkező determináns nulla.

4. Bármely sor (vagy oszlop) elemeinek közös tényezője kivehető a determináns előjelből.

5. A determináns értéke nem változik, ha minden sor és oszlop felcserélődik.

6. A determináns értéke nem változik, ha az egyik sorhoz (vagy az egyik oszlophoz) hozzáadunk egy másik sort (oszlopot) megszorozva bármilyen számmal.

7. A mátrix egyes sorai (vagy oszlopai) elemeinek szorzatai ezen mátrix egy másik sorának (oszlopának) elemeinek algebrai kiegészítéseivel összeadva nulla.

8. Két négyzetmátrix szorzatának determinánsa megegyezik determinánsuk szorzatával.

A mátrix determinánsának fogalmának bevezetése lehetővé teszi számunkra, hogy még egy műveletet definiáljunk mátrixokkal - az inverz mátrix megtalálásával.

Minden nullától eltérő számhoz van egy fordított szám, amelyet e számok szorzata ad. Van egy ilyen koncepció a négyzetes mátrixok esetében is.

A Mátrix DE-1 hívják fordított felé négyzet mátrix DE ha megszorozzuk ezt a mátrixot a jobb és a bal oldalon megadottal, akkor adunk identitás mátrix, azaz

DE× DE -1 = DE-1 × DE= E.

A definícióból következik, hogy csak négyzetmátrixnak van inverze; ebben az esetben az inverz mátrix azonos sorrendű négyzet lesz. Azonban nem minden négyzetmátrixnak van saját inverze.

Általános esetben a $ n $ -as sorrend meghatározóinak kiszámítására vonatkozó szabály meglehetősen nehézkes. A második és harmadik rendű determinánsok esetében ésszerű számítási módok léteznek.

Másodrendű determinánsok számítása

A másodrendű mátrix determinánsának kiszámításához ki kell vonni a másodlagos átló elemeinek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából:

$$ \ balra | \ begin (tömb) (ll) (a_ (11)) & (a_ (12)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) \ end (tömb) \ right | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ (12) \ cdot a_ (21) $$

Példa

A feladat. Számítsa ki a $ \ left | második rendű determinánst \ begin (tömb) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ end (tömb) \ jobb | $

Megoldás.$ \ bal | \ begin (tömb) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ end (tömb) \ right | = 11 \ cdot 5- (- 2) \ cdot 7 = 55 + 14 = 69 dollár

Válasz.$ \ bal | \ begin (tömb) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ end (tömb) \ right | = 69 $

A harmadik rendű determinánsok kiszámításának módszerei

Vannak ilyen szabályok a harmadik rendű determinánsok kiszámítására.

Háromszög szabály

Vázlatosan ez a szabály a következőképpen ábrázolható:

Az első determinánsban egyenes vonallal összekapcsolt elemek szorzatát pluszjellel vesszük; a második determinánshoz hasonlóan a megfelelő termékeket mínusz előjellel vesszük, azaz

$$ \ bal | \ begin (tömb) (ccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (a_ (13)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) & (a_ (23)) \\ (a_ (31)) & (a_ (32)) & (a_ (33)) \ end (tömb) \ right | = a_ (11) a_ (22) a_ (33) + a_ (12) a_ ( 23) a_ (31) + a_ (13) a_ (21) a_ (32) - $$

$$ -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) -a_ (13) a_ (22) a_ (31) $$

Példa

A feladat.$ \ Left | determináns kiszámítása \ begin (tömb) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (tömb) \ jobb | $ a háromszög módszerrel.

Megoldás.$ \ bal | \ begin (tömb) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (tömb) \ jobb | = 3 \ cdot 1 \ cdot (-2) +4 \ cdot (-2) \ cdot (-1) + $

$$ + 3 \ cdot 3 \ cdot 1-(-1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot (-2) \ cdot 3-4 \ cdot 3 \ cdot (-2) = 54 $$

Válasz.

Sarrus szabálya

A determinánstól jobbra az első két oszlop kerül hozzáadásra, és a főátlón és a vele párhuzamos átlókon lévő elemek szorzatait pluszjellel vesszük; valamint az oldalátló és a vele párhuzamos átlók elemeinek szorzatai, mínuszjellel:

$$ -a_ (13) a_ (22) a_ (31) -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) $$

Példa

A feladat.$ \ Left | determináns kiszámítása \ begin (tömb) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (tömb) \ jobb | $ a Sarrus -szabály használatával.

Megoldás.

$$ + (-1) \ cdot 4 \ cdot (-2)-(-1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot 3 \ cdot (-2) -3 \ cdot 4 \ cdot (-2) = 54 dollár

Válasz.$ \ bal | \ begin (tömb) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (tömb) \ jobb | = 54 $

Egy determináns bontása sor vagy oszlop szerint

A determináns megegyezik a determináns karakter elemeinek szorzatainak összegével az algebrai kiegészítéseik alapján. Általában válassza ki azt a sort / oszlopot, amelyben nullák vannak. A sort vagy oszlopot, amely mentén a bontást végzik, egy nyíl jelöli.

Példa

A feladat. Az első sorban kibontva számítsa ki a $ \ left | \ begin (tömb) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (tömb) \ ugye | $

Megoldás.$ \ bal | \ begin (tömb) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (tömb) \ ugye | \ leftarrow = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) = $

$ 1 \ cdot (-1) ^ (1 + 1) \ cdot \ left | \ begin (tömb) (cc) (5) & (6) \\ (8) & (9) \ end (tömb) \ jobb | +2 \ cdot (-1) ^ (1 + 2) \ cdot \ left | \ begin (tömb) (cc) (4) & (6) \\ (7) & (9) \ end (tömb) \ jobb | +3 \ cdot (-1) ^ (1 + 3) \ cdot \ left | \ begin (tömb) (cc) (4) & (5) \\ (7) & (8) \ end (tömb) \ right | = -3 + 12-9 = 0 $

Válasz.

Ez a módszer lehetővé teszi egy determináns kiszámítását egy alacsonyabb rendű determináns kiszámítására.

Példa

A feladat.$ \ Left | determináns kiszámítása \ begin (tömb) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (tömb) \ ugye | $

Megoldás. Végezzük el a következő transzformációkat a determináns sorain: vonjuk ki az első négyet a második sorból, és a harmadikból az első sort szorozzuk meg héttel, ennek eredményeként a determináns tulajdonságainak megfelelően kapjuk meg a az adott.

$$ \ balra | \ begin (tömb) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (tömb) \ jobb | = \ bal | \ begin (tömb) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4-4 \ cdot 1) & (5-4 \ cdot 2) & (6-4 \ cdot 3) \\ ( 7-7 \ cdot 1) & (8-7 \ cdot 2) & (9-7 \ cdot 3) \ end (tömb) \ right | = $$

$$ = \ bal | \ begin (tömb) (rrr) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12) \ vége (tömb) \ jobb | = \ bal | \ begin (tömb) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \ cdot (-3)) & (2 \ cdot (-6)) \ end (tömb) \ right | = 0 $$

A determináns nulla, mert a második és a harmadik sor arányos.

Válasz.$ \ bal | \ begin (tömb) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (tömb) \ ugye | = 0 $

A negyedik és magasabb rendű determinánsok kiszámításához vagy a sorok / oszlopok bővítését, vagy a háromszög alakú redukciót, vagy a Laplace -tétel alkalmazását alkalmazzuk.

Egy determináns bontása sor- vagy oszlopelemekre

Példa

A feladat.$ \ Left | determináns kiszámítása \ begin (tömb) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (tömb) \ right | $, kibontva néhány sor vagy oszlop elemeire.

Megoldás. Először hajtsunk végre elemi transzformációkat a determináns soraiban, és tegyünk a lehető legtöbb nullát akár a sorban, akár az oszlopban. Ehhez először vonjunk le kilenc harmadot az első sorból, öt harmadot a második és három harmadik sort a negyedikből, így kapjuk:

$$ \ balra | \ begin (tömb) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (tömb) \ jobb | = \ bal | \ begin (tömb) (cccc) (9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (tömb) \ right | = \ balra | \ begin (tömb) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (tömb) \ jobb | $$

A kapott determinánst kibővítjük az első oszlop elemeire:

$$ \ bal | \ begin (tömb) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (tömb) \ jobb | = 0 + 0 + 1 \ cdot (-1) ^ ( 3 + 1) \ cdot \ bal | \ begin (tömb) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ vége (tömb) \ jobb | + 0 $$

A harmadik sorrendben kapott determináns a sor- és oszlopelemek tekintetében is kibővül, miután korábban nullákat kapott, például az első oszlopban. Ehhez vonja le a második két sort az első sorból, a másodikat a harmadik sorból:

$$ \ bal | \ begin (tömb) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ vége (tömb) \ jobb | = \ bal | \ begin (array) (rrr) (0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8) \ end ( tömb) \ jobb | = 4 \ cdot (-1) ^ (2 + 2) \ cdot \ bal | \ begin (tömb) (ll) (2) & (4) \\ (4) & (8) \ end (tömb) \ right | = $$

$$ = 4 \ cdot (2 \ cdot 8-4 \ cdot 4) = 0 $$

Válasz.$ \ bal | \ begin (tömb) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (tömb) \ right | = 0 $

Megjegyzés

Az utolsó és az utolsó előtti determinánsokat nem lehetett volna kiszámítani, de azonnal arra a következtetésre jutottak, hogy egyenlőek a nullával, mivel arányos karakterláncokat tartalmaznak.

A determináns redukálása háromszög alakúra

Keresztül elemi átalakítások sorok vagy oszlopok felett a determináns háromszög alakúra redukálódik, majd értéke a determináns tulajdonságai szerint megegyezik a főátlón lévő elemek szorzatával.

Példa

A feladat. Számítsa ki a $ \ Delta = \ left | \ begin (tömb) (rrrr) (-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ end (tömb) \ jobb | $ háromszög alakúra.

Megoldás. Először nullákat írunk az első oszlopba a főátló alatt. Minden átalakítás könnyebb lesz, ha a $ a_ (11) $ elem egyenlő 1 -vel. Ehhez felcseréljük a determináns első és második oszlopát, ami a determináns tulajdonságainak megfelelően megváltoztatja jele az ellenkezője:

$$ \ Delta = \ bal | \ begin (tömb) (rrrr) (-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ end (tömb) \ jobb | =-\ bal | \ begin (tömb) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3) \ end (tömb) \ jobb | $$

$$ \ Delta = - \ bal | \ begin (tömb) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ end (tömb) \ jobb | $$

Ezután nullákat kapunk a második oszlopban a főátló alatti elemek helyett. Ismét, ha az átlós elem egyenlő $ \ pm 1 $, akkor a számítások könnyebbek lesznek. Ehhez felcseréljük a második és a harmadik sort (és ezzel egy időben a determináns ellentétes jelére váltunk):

$$ \ Delta = \ bal | \ begin (tömb) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ end (tömb) \ jobb | $$