Egy lépcsős formát hozva a megoldással. A mátrix vágása egy lépcsős formához. Elemi sorok és oszlopok átalakításai. A vektorok lineáris függőségének kritériuma

Ahhoz, hogy a mátrixot egy lépcsős típusra hozza (1.4. Ábra), a következő lépéseket kell végrehajtania.

1. Az első oszlopban válassza ki a nulla elemet ( Ólomelem ). Egy vezető elemű karakterlánc ( vezető string ) Ha ez nem az első, az első sorban (átalakítás i típus) átrendezéséhez. Ha az első oszlopban nincs mester (az összes elem nulla), akkor kizárjuk ezt az oszlopot, és továbbra is keressük az ólomelemet a mátrix többi részében. A konverzió véget ér, ha az összes oszlop kizárt, vagy a mátrix fennmaradó részében az összes nulla elem.

2. A fogadó karakterlánc összes elemét a vezetőelemre (II. Típusú átalakítás) osztja. Ha a vezető vonal az utóbbi, akkor ezt az átalakítást befejezni kell.

3. Az ólom alatt található minden sorhoz adjunk hozzá egy vezető vonalat, szorozva egy ilyen számmal, hogy az ólom alatt álló elemek nulla (II. Típusú transzformáció).

4. A vonal és az oszlop megfontolásával, amelynek metszéspontja a vezető elem, menjen az 1. pontba, amelyben a leírt valamennyi művelet a mátrix fennmaradó részére vonatkozik.

7. A tétel az elemes elemek sorának sorát jelenti.

A karakterlánc vagy oszlop elemeinek meghatározási tétele lehetővé teszi a determináns számításának csökkentését - rendelés () az eljárás meghatározóinak kiszámításához .

Ha a determináns egyenlő nulla elemekkel rendelkezik, akkor a legmegfelelőbb a determináns a sor vagy oszlop elemei számára, amely a legnagyobb számát tartalmazza a nullát.

A determinánsok tulajdonságai segítségével konvertálhatja a meghatározó anyagot - a megrendelés, hogy valamilyen sor vagy oszlop valamennyi eleme, kivéve az egyiket, egyenlővé válik nulla. Így a meghatározó számítása - annak érdekében, ha eltér a nullától, akkor az egyik meghatározó számítására csökken - rendelés.

3.1.1. feladat.Kiszámítja a meghatározó anyagot

Döntés. Először az első sor hozzáadása, a harmadik - az első, szorozva 2, a negyedik - az első, az első szorozva -5, kapunk

Az első oszlop elemeinek meghatározó tényezőjét megítélik, van

A 3. sorrend szerinti meghatározó meghatározójában nulla az első oszlop összes eleme, kivéve az elsőt. Ehhez a második sor hozzáadja az elsőt, szorozva (-1), a harmadik, szorozva 5, add hozzá az első, majd szorozva 8. Mivel a harmadik sort megszorozta 5-vel, akkor (annak érdekében, hogy a meghatározó, hogy nem változik), hogy megszorozzuk. Van

A kapott determináns az első oszlop elemeire kerül:

8. Laplace tétel (1). Tétel a Stranki dopname-ről (2)

1) azonosítja az IalgeBracius összes sorának elemeit.

2) A másik vonal megfelelő elemeinek algebrai kiegészítőkének meghatározó elemeinek összefoglalása nulla (a más emberek algebrai kiegészítőkének szorzási tétele).

9. aritmetikai vektor Darling.

A kiválasztott koordinátarendszer alatti sík bármely pontját a koordináták párja (α, β) adja meg; Az α és β számok a sugárvektor koordinátái is értelmezhetők ezen a ponton. Hasonlóképpen, a trojka térben (α, β, γ) határozza meg a pontot vagy vektort az α, β, γ koordinátákkal. Ez egy jól ismert olvasón alapul, amely két vagy három ismeretlen lineáris egyenletek rendszereinek geometriai értelmezése. Tehát két ismeretlen két lineáris egyenlet rendszer esetén

a 1 x + b 1 y \u003d c 1,

a 2 x + B 2 Y \u003d C 2

az egyenletek mindegyikét egyenesen a síkon értelmezzük (lásd a 26. ábrát), és az (α, β) oldat a közvetlen vagy a levegő koordinátákkal való metszéspontjaként történik (az ábra megfelel az esetnek A rendszer egyetlen megoldással rendelkezik).

Ábra. 26.

Hasonlóképpen be tudsz jelentkezhet a három ismeretlen lineáris egyenletek rendszerével, amelyek mindegyik egyenletet értelmeznek a sík térben.

A matematika és a különböző alkalmazások (különösen, a kódolási elméletben), meg kell kezelni a három ismeretlenet tartalmazó lineáris egyenletek rendszerét. Az N ismeretlen x 1, x 2, ..., x n lineáris egyenletek rendszerét a faj egyenleteinek nevezik

a 11 x 1 + A 12 x 2 + ... + és 1N x n \u003d b 1,

a 21 x 1 + A 22 x 2 + ... + A 2N X N \u003d B 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

és M1 x 1 + és m2 x 2 + ... + és mn x n \u003d b m,

ahol egy ij és b i önkényes érvényes számok. A rendszer egyenleteinek száma lehet bárki, és nem kapcsolódik az ismeretlen számhoz. Az ismeretlen és IJ-ben lévő együtthatók kettős számozással rendelkeznek: az első index I jelzi az egyenlet számát, a második J index J az ismeretlen szám, amely ennek az együtthatónak felel meg. A rendszer bármely megoldása az ismeretlen (α1, α2, ..., α n) értékeinek beállításainak (érvényes) értelme, az egyes egyenletek energiálása a hűséges egyenlőségben.

Bár a közvetlen geometriai értelmezése a rendszer (1) az N\u003e 3 már nem lehetséges, de ez nagyon is lehetséges, és sok szempontból célszerű kiterjeszteni, hogy egy tetszőleges N geometriai nyelv a tér két vagy három dimenzióban. Ez a cél, és további meghatározásokat szolgálnak fel.

Az N érvényes számok (α1, α2, ..., a α n) n-dimenziós aritmetikai vektor, és a vektor α1, α2, ..., α N koordinátái.

A vektorok megnevezéséhez általában az A-α 1, a 2, ..., az α n koordinátákkal ellátott A vektort használjuk rendes forma Records:

a \u003d (α1, α2, ..., α N).

Analógia egy hagyományos sík, a készlet minden n-dimenziós vektorok, amelyek megfelelnek a lineáris egyenlet n ismeretlen nevezik hipersík N-dimenziós térben. Ezzel a definícióval a rendszer összes megoldása (1) nem más, mint több hiperplán metszéspontja.

Az N-dimenziós vektorok hozzáadását és sokszorosítását ugyanolyan szabályok határozzák meg, mint a hagyományos vektorok. Nevezetesen, ha

a \u003d (α1, α2, ..., α N), B \u003d (β1, β2, ..., β N) (2)

Két n-dimenziós vektor, akkor az összegüket vektornak nevezik

α + β \u003d (α1 + β1, α2 + β2, ..., α n + β N). (3)

A vektor termékét és a λ számot vektornak hívják

λа \u003d (λα 1, λα2, ..., λα n). (négy)

Az összes N-dimenziós aritmetikai vektorok készletét a vektorok hozzáadásával és a vektor sokszorosításával kapcsolatos műveletekkel aritmetikai n-dimenziós vektoros térnek nevezzük.

A megadott műveletek használata lehetséges több vektor tetszőleges lineáris kombinációit, azaz a kifejezést

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ K A K,

ahol λ i érvényes számok. Például a vektorok lineáris kombinációja (2) λ és μ együtthatói egy vektor

λА + μB \u003d (λα 1 + μβ1, λα 2 + μβ2, λα n + μβ N).

A vektorok háromdimenziós térében, az I, J, K (koordináta orthops) vektorok teteje különleges szerepet játszik, amelyet bármely vektort lebomlik:

a \u003d XI + YJ + ZK,

ahol x, y, z érvényes számok (a vektor koordinátái).

N-dimenziós esetekben a következő vektorok ugyanazt a szerepet játsszák:

e 1 \u003d (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 \u003d (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 \u003d (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n \u003d (0, 0, 0, ..., 1).

Minden A vektor nyilvánvalóan az E 1, E 2, ..., E N vektorok lineáris kombinációja:

a \u003d A 1 E 1 + A 2 E 2 + ... + A N E N, (6)

ezenkívül az α1, α2, ..., α N együtthatók egybeesnek a vektor koordinátáival.

Jelölje 0 vektor, amelynek az összes koordináta nulla (röviden, nulla vektor), bemutatjuk a következő fontos meghatározást:

Az 1, és 2, ... és K vektorok rendszere lineárisan függő, ha egyenlő nulla vektoros lineáris kombinációval

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ K A K \u003d 0,

amelyben a H 1, λ 2, ..., λ K együtthatók közül legalább az egyik eltér a nullától. Ellenkező esetben a rendszert lineárisan függetlennek nevezik.

Tehát vektorok

a 1 \u003d (1, 0, 1, 1), A 2 \u003d (1, 2, 1, 1) és 3 \u003d (2, 2, 2, 2)

lineárisan függ, mert

a 1 + A 2 - A 3 \u003d 0.

Lineáris függőség, amint a definícióból látható, egyenértékű (k ≥ 2) azzal a ténnyel, hogy a rendszervektorok legalább egyike a fennmaradó lineáris kombinációja.

Ha a rendszer két, 1, 2-es vektorból áll, akkor a rendszer lineáris függése azt jelenti, hogy az egyik vektor arányos egy másik, mondás és 1 \u003d λa 2; Háromdimenziós esetben egyenértékű az A1 és A 2 vektorok kollinóritásával. Hasonlóképpen, a hagyományos térben lévő három vektoros I rendszer lineáris függése a vektorok összeállítását jelenti. Koncepció lineáris függőség Ezért a kollineárius és összehasonlítás fogalmának természetes generalizációja.

Könnyen győződjön meg róla, hogy az E 1, E 2, ..., E N vektorok a rendszerből (5) lineárisan függetlenek. Ezért vannak olyan rendszerek, amelyek n lineárisan független vektorok vannak n-dimenziós térben. Megmutatható, hogy a nagyobb számú vektorok bármely rendszere lineárisan függ.

Az 1, egy 2, ... és N rendszer az N-dimenziós tér lineárisan független vektoraiból az L N-nek az alapja.

Bármely vektor és az L N szóközök kibontakoznak, ráadásul egy tetszőleges alapú vektor által 1, és 2, ... és N vektorral:

a \u003d λ1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ n.

Ez a tény az alapdefiníció alapján könnyen kialakítható.

Háromdimenziós térrel történő analógia folytatása, az N-dimenziós tokban lehetséges, hogy meghatározzák a vektorok A · B skaláris termékét, hiszek

a · B \u003d α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

Ezzel a definícióval a háromdimenziós vektorok skaláris termékének összes alapvető tulajdonsága megmarad. Az A és B vektorokat ortogonálisnak nevezik, ha a skalár terméke nulla:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n \u003d 0.

A lineáris kódok elméletében egy másik fontos koncepciót használnak - az alterület fogalma. A V space L-t részhalmazát e tér alterületének nevezik, ha

1) Az A, B, B, B, az A + B összege is V;

2) bármely Vektorhoz, amely V, és bármilyen tényleges λ számához tartozik, a vektor λa is tartozik V.

Például az E 1, E 2 vektorok összes lineáris kombinációjának halmaza a rendszerből (5) az L N tér alterülete lesz.

Egy lineáris algebrában bebizonyosodott, hogy minden Subspace V, van ilyen lineárisan független vektorok egy 1, egy 2, ..., egy k, amelyet minden vektor és alterület lineáris kombinációja ezeknek a vektoroknak:

a \u003d λ1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ K A K.

A vektorok meghatározott rendszerét az V. alpont alapja lehet.

A tér és az alterület meghatározásából azonnal következik, hogy az L N tér a vektorok kialakulásához képest kapcsolódó kommutatáló csoport, és bármelyik Subspace a csoport alcsoportja. Ebben az értelemben például lehetséges, hogy figyelembe vegye az L N szomszédos osztályokat a Subspace V.

Következésképpen hangsúlyozzuk, hogy ha érvényes számok helyett az N-dimenziós aritmetikai tér elmélete (azaz az érvényes számok mezője) helyett az F, az összes definíció és a fent megadott tények elemeit figyelembe vesszük megmaradt volna.

A kódolási elméletben fontos szerepet játszik abban az esetben, amikor a Fi terület fázisa Z P, amely, amint azt természetesen tudjuk. Ebben az esetben a megfelelő N-dimenziós tér is tartalmaz, mivel nem nehéz látni, p n elemeket.

A tér koncepciója, valamint egy csoport és gyűrűk fogalma is lehetővé teszi az axiomatikus definíciót is. A részleteket illetően elküldjük az adagolót egy lineáris algebra peremére.

10. Lynіin Combіnatsiya. Lynіino zarezhnі tu inaktív rendszervektor.

Ebben a témában tekintse meg a mátrix fogalmát, valamint a mátrixok típusát. Mivel ebben a témában számos feltétel van, hozzáadom összefoglalóAz anyagban való navigálás érdekében könnyebb volt.

A mátrix és az elem meghatározása. Megnevezések.

A Mátrix - Ez egy $ M $ sorok és $ n $ oszlop. A mátrix tárgyai lehetnek teljesen sokszínű jellegű tárgyak: számok, változók vagy például más mátrixok. Például a $ \\ maradt mátrix (kezdő (tömb) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ end (tömb) \\ jobb) $ 3 sor és 2 oszlop; Elemei egész számok. Matrix $ \\ Left (megjelölés (tömb) (CCCC) A & A ^ 9 + 2 & 9 & SIN X \\\\ -9 & 3T ^ 2-4 & UT & 8 \\ end (tömb) \\ jobbra) $ 2 vonalak és 4 oszlop.

A mátrixok rögzítésének különböző módjai: megjelenítése / elrejtése

A mátrix nem csak kerek, hanem négyzet alakú vagy két közvetlen zárójelben is rögzíthető. Az alábbiakban ugyanaz a mátrix a különböző felvételi formában:

$$ \\ ti maradt (megjelölés (tömb) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 0 & 0 \\\\ 8 & 0 \\ end (tömb) \\ jobb); \\; \\; bal [kezdő (tömb) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\\\ 8 & 0 \\ vég (tömb) \\ jobb]; \\;;; Bal oldali (tömb) (CC) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ end (tömb) \\ jobb

A $ m time n $ -t hívják a mátrix mérete. Például, ha a mátrix 5 sort és 3 oszlopot tartalmaz, akkor azt mondják, hogy a mátrix a $ 5 idő $ 3. Matrix $ \\ Left (kezdet (tömb) (CC) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ '8 & 0 \\ end (tömb) \\ jobb) $ 3 $ 3-as $ 2

Általában a mátrixokat a latin ábécé nagy betűjei jelzik: $ A $, $ b $, $ C $ és így tovább. Például $ b \u003d \\ balra (megjelölés (tömb) (CCC) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ vég (tömb) \\ jobb) $. A húrok számozása lefelé kerül; Oszlopok - balról jobbra. Például a $ B $ Matrix első sora tartalmazza az 5. és 3. elemeket, és a második oszlop tartalmazza a 3., -87, 0 elemeket.

A mátrixok elemeit általában kis betűk jelölik. Például a $ A $ Matrix elemei $ A_ (IJ) $ -t jelölnek. Dual Index $ ij $ információt tartalmaz a mátrix elemének helyzetéről. A $ I $ szám a vonal száma, és a $ J $ szám az oszlop száma, amelynek metszéspontja $ A_ (IJ) $. Például a második sor metszéspontjára és a Matrix $ A \u003d \\ Bal (kezdő (tömb) 51 és 37 & -9 & 0 & 97 \\\\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ \\ -17 & -15 & -5 \\\\ 52 & -8 & -5 \\\\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \\ end (tömb) \\ jobbra) $ $ A_ (25) \u003d 59 $:

Ugyanígy, az első sor metszéspontjában és az első oszlopban van egy $ a_ (11) \u003d 51 dollár; A harmadik sor és a második oszlop metszéspontjában - az A (32) \u003d - 15 $ és így tovább. Megjegyzem, hogy a $ A_ (32) $ rekord olvasható "és három két", de nem "és harminc kettő".

A Matrix $ A $ rövidített megnevezése, amelynek mérete $ M Times N $, a $ A__ (M Times N) $ rögzítésére szolgál. Gyakran használják, és egy ilyen rekord:

$$ A_ (M Times (N)) \u003d (A_ (IJ)) $$

Itt $ (A_ (IJ)) $ jelöli a $ A $ A $ Matrix elemek megnevezését Azt javasolja, hogy a $ A $ Matrix elemeit $ A_ (IJ) $ -nak nevezzük. A Matrix $ A_ (M \\ Times N) \u003d (A_ (IJ)) $ telepítési formájában $ lehet írni:

$$ A_ (M Times N) \u003d bal (megjelölés (sor (tömb) (CCCC) A_ (11) & A_ (12) \\ LDOTS & A_ (1N) \\\\ A_ (21) & A_ (22) & \\ LDOTS & A_ (2N) \\\\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ A_ (M1) & A_ (M2) & \\ LDOTS & A_ (MN) \\ Vége (tömb) \\ jobbra)

Egy újabb kifejezést vezetünk be - egyenlő mátrixok.

Két azonos méretű mátrix $ A_ (M Time N) \u003d (A_ (IJ)) $ és $ b_ (m \\ time n) \u003d (b_ (ij)) $ hívott egyenlőHa az elemek egyenlőek, azaz. $ A_ (ij) \u003d b_ (ij) $ minden $ i \u003d \\ overline (1, m) $ és $ j \u003d overline (1, n) $.

A rekord magyarázata $ i \u003d \\ overline (1, m) $: Show / Hide

A "$ i \u003d \\ overline (1, m) $" felvétel azt jelenti, hogy a $ i $ paraméter 1-től m-ig változik. Például a Record $ i \u003d \\ overline (1.5) $ jelzi, hogy a $ I $ paraméter 1, 2, 3, 4, 5 értékeket vesz fel.

Tehát a mátrixok egyenlőségéhez két feltétel végrehajtása szükséges: a megfelelő elemek méretének és egyenlőségének egybeesése. Például a Matrix $ A \u003d \\ Bal (kezdő (tömb) (CC) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 0 & 0 \\\\ 8 & 0 \\ end (tömb) \\ jobb) $ nem egyenlő a Matrix $ b \u003d \\ ti maradt (kezdő (tömb) (cc) 8 & -9 \\\\ 0 & -87 \\ end (tömb) \\ end (tömb) \\ jobb) $ Mert a $ A $ Matrix mérete $ 3 \\ tim $ 2, és a $ B $ Matrix mérete $ 2 idő $ 2. Továbbá, a $ A $ Matrix nem egyenlő a $ c \u003d bal mátrix (kezdő (tömb) (cc) 5 & 3 \\\\ 98 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ vég (tömb) \\ jobb ) $, mivel $ A_ (21) \\ NEQ C_ (21) $ (21) $ (azaz $ 0 \\ NEQ $ 98). De a mátrix $ f \u003d balra (kezdő (tömb) (CC) 5 & 3 \\ ed (tömb) \\ jobbra) $ bátran éghet $ A \u003d F $ -t, és a méretek, valamint a Mátrixok megfelelő elemei egy $ és $ F $ egybeesik.

Példa №1

Határozza meg a MATRIX $ A \u003d ANT MATRIX méretét (megjelzés (tömb) (CCC) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\\\ -6 & 8 & 23 \\\\ 11 & -12 & -5 \\ \\ \\ 4 & 0 & -10 \\ end (tömb) \\ jobb) $. Jelölje meg, hogy mi az egyenlő az A (z) $ A_ (12) $, $ A_ (33) $, $ A_ (43) $ elemekkel.

Ez a mátrix 5 sort és 3 oszlopot tartalmaz, így a $ 5 időtartama 3 dollár. Ehhez a mátrixhoz a $ A__ (5 Times 3) $ megnevezést is használhatja.

Az $ A_ (12) $ elem az első sor és a második oszlop metszéspontjában van, ezért $ A_ (12) \u003d - $ 2. A $ A_ (33) $ elem a harmadik sor és a harmadik oszlop metszéspontjában van, ezért $ A_ (33) \u003d 23 $. A $ A_ (43) $ elem a negyedik sor és a harmadik oszlop metszéspontjában van, ezért $ A_ (43) \u003d - 5 $.

Válasz: $ A_ (12) \u003d - 2 $, $ A_ (33) \u003d 23 $, $ A_ (43) \u003d - 5 $.

Méretfajták méretétől függően. Otthoni és oldalsó átlós. Mátrixjel.

Hagyja, hogy egy bizonyos mátrix $ A_ (M Times N) $. Ha $ m \u003d 1 $ (a mátrix egy sorból áll), akkor a megadott mátrixot hívják mátrix-sztring. Ha $ n \u003d 1 $ (a mátrix egy oszlopból áll), akkor egy ilyen mátrixot hívnak mátrix-oszlop. Például $ \\ Left (megjelölés (tömb) (CCCCC) -1 & -2 & 0 és -9 és 8 \\ end (tömb) \\ jobbra) $ mátrix-string, és $ \\ Bal (Array ) (C) -1 \\\\ 5 \\\\ 6 vég (tömb) \\ jobb) $-oszlop mátrix.

Ha a $ A__ (M Times N) $ a $ M \\ NE $ állapot (azaz a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával), akkor gyakran azt mondják, hogy $ A $ a négyszögletes mátrix. Például a $ \\ Left Matrix (kezdő (tömb) (CCCC) -1 & -2 & 0 & 9 \\\\ 5 & 9 & 5 & 1 \\ end (tömb) \\ jobbra) $ 2 \\ t 4 dollár. 2 sort és 4 oszlopot tartalmaz. Mivel a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával, akkor ez a mátrix téglalap alakú.

Ha a Matrix $ A__ (M Times N) $, az állapot $ m \u003d n $ (azaz a sorok száma megegyezik az oszlopok számával), aztán azt mondják, hogy $ A $ egy négyzetmátrix körülbelül $ n $. Például $ \\ ti maradt (megjelzés (tömb) (cc) -1 & -2 \\\\ 5 és 9 \\ end (tömb) \\ jobbra) $ egy másodrendű négyzetmátrix; $ \\ Left (megkezdés (tömb) (CCC) -1 & -2 & 9 \\\\ 5 & 9 & 8 \\\\ 1 & 0 & 4 \\ vég (tömb) \\ jobbra) $ egy harmadik rendű négyzetmátrix. Általánosságban elmondható, hogy a négyzetmátrix $ A_ (N \\ Times n) $ rögzíthető, mint ez:

$$ A__ (N \\ Times n) \u003d \\ ti (megkezdők) (CCCC) A_ (11) & A_ (12) \\ LDOTS & A_ (1N) \\\\ A_ (21) & A_ (22) & \\ Ldots & A_ (2n) \\\\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ A_ (N1) & A_ (N2) & LDOTS & A_ (NN)

Azt mondják, hogy az elemek $ A_ (11) $, $ A_ (22) $, $ \\ ldots $, $ A_ (NN) $ fő átlós Matrix $ A_ (N \\ Times n) $. Ezeket az elemeket hívják a fő átlós elemek (vagy egyszerűen átlós elemek). Elemek $ A_ (1N) $, $ A_ (2 \\; N-1) $, $ \\ ldots $, $ A_ (N1) $ oldalsó (másodlagos) átlós; hívták őket Ásós elemek. Például a Matrix $ C \u003d \\ Bal (kezdő (tömb) (CCCC) 2 & 9 & 9 & 1 \\\\ 5 & 9 & 8 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4 & 6 \\ Jobb) $ Van:

Elements $ C_ (11) \u003d 2 $, $ C_ (22) \u003d 9 $, $ C_ (33) \u003d $ 4, $ C_ (44) \u003d 6 dollár a fő átlós elemek; Elemek $ C_ (14) \u003d 1 $, $ C_ (23) \u003d $ 8, $ C_ (32) \u003d 0 $, $ C_ (41) \u003d - $ 4 - oldalsó átlós elemek.

A fő átlós elemek összegét hívják a mátrix után és $ \\ tr egy $ (vagy $ \\ sp egy $) jelöli:

$$ TR A \u003d A_ (11) + A_ (22) + \\ ldots + A_ (NN) $$

Például a Matrix $ C \u003d \\ Bal (megjelzés (CCCC) 2 & -2 & 9 & 1 \\\\ 5 & 9 & 8 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4 & -7 \\\\ 4 & 4 & -9 & 5 és 6 \\ end (tömb) \\ jobbra) $ Mi van:

$$ \\ TR C \u003d 2 + 9 + 4 + 6 \u003d 21. $$.

Az átlós elemek fogalmát a nem kereskedelmi mátrixokra is használják. Például a mátrix $ b \u003d \\ balra (megjelzés (CCCCC) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\\\ 5 & -9 & 0 & 4 & - 6 \\\\ 1 & 0 & 4 & - 7 és -6 vég (tömb) \\ jobbra) $ fő átlós elemek $ b_ (11) \u003d 2 $, $ b_ (22) \u003d - 9 $, $ b_ (33) \u003d $ 4.

Mátrixok típusai az elemek értékétől függően.

Ha a Matrix $ A__ (M Times N) $ elemei nulla, akkor egy ilyen mátrixot hívnak nulla És általában a $ o $ betű jelöli. Például $ \\ Left (megjelölés (tömb) (cc) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ 'end (tömb) \\ jobbra) $, $ \\ t 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ t (tömb) \\ jobb) $ - nulla mátrixok.

Vegyünk fontolóra a $ A $ Matrix, azaz a $ A $ mátrix, azaz Olyan karakterlánc, amelyben legalább egy elem van nulla. Ólomelem A nonzero vonal először hívja (balról jobbra számol) egy nulla elem. Például, vegye figyelembe az ilyen mátrixot:

$$ W \u003d bal (kezdő (tömb) (CCCC) 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ ed (tömb) \\ ED (tömb) \\ jobb) $ $

A második sorban az ólom lesz a negyedik elem, azaz $ W_ (24) \u003d 12 $, és a harmadik sorban a mester lesz a második elem, azaz. $ w_ (32) \u003d - $ 9.

Matrix $ A_ (M Times N) \u003d \\ ti (A_ (IJ) \\ Jól) $ hívott sebességHa megfelel két feltételnek:

A nulla sorok, ha vannak ilyenek, az összes nem nulla vonal alatt találhatók.
A nem nulla sorok vezető elemeinek száma szigorúan növekvő szekvenciát, azaz Ha $ a_ (1k_1) $, $ A_ (2K_2) $, ..., $ A_ (RK_R) $ - a $ A $ A $, akkor $ k_1 \\ lt (K_2) \\ t l l'ldots \\ lt (k_r) $.

Példák a lépcsőzetes mátrixokra:

$$ \\ Left (megjelölés (CCCCCCC) 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 és 0 \\ end (tömb) \\ jobb); \\; Balra (megjelölés (tömb) (CCCC) 5 & -2 & 2 & -8 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ ed (tömb) \\ jobbra). $$.

Összehasonlításképpen: Matrix $ q \u003d \\ bal (megjelzés (tömb) (CCCCC) 2 & -2 & 0 & 1 és 9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 10 \\\\ 0 & 0 & 0 & 10 & 10 & 6 vég (tömb) \\ jobbra) $ nem lépcsőzetes, mivel a második feltétel megszakad a lépcsőzetes mátrix meghatározásában. A második és harmadik sor vezető elemei $ q_ (24) \u003d 7 $ és $ q_ (32) \u003d $ 10 számok $ K_2 \u003d $ 4 és $ K_3 \u003d $ 2. Egy lépcsőzetes mátrix esetében a $ K_2 LT (K_3) $ feltétel kell végrehajtani, amely ebben az esetben károsodott. Megjegyzem, hogy ha megváltoztatja a második és harmadik vonalakat a helyeken, akkor egy lépcsős mátrixot kapunk: $ \\ Left (megjelzés (CCCCC) 2 & -5 & 0 & 1 & 9 \\\\ 0 & -5 & 0 & 10 \\\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \\ end (tömb) \\ jobb) $.

Egy lépcsős mátrixot hívnak trapéz vagy trapézHa a vezető elemek $ A_ (1K_1) $, $ A_ (2K_2) $, $ A_ (2K_2) $, $ A_ (RK_R) $ K_1 \u003d 1 $, $ K_2 \u003d 2 $, ..., $ k_r \u003d R $, azaz Átlós elemek vezetnek. Általában a trapéz mátrix a következőképpen írható:

$$ A__ (M Times (N)) \u003d \\ Bal (megjelzés (sor (tömb) (CCCCCC) A_ (11) & A_ (12) \\ LDOTS & A_ (1R) & \\ ldots & A_ (1N) \\\\ 0 & A_ (22) & \\ ldots & A_ (2R) \\ ldots & A_ (2n) \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ 0 & 0 & \\ ldots & A_ ( Rr) \\ ldots & A_ (RN) \\\\ 0 & 0 & 0 \\ ldots & 0 & 0 \\ ldots & 0 & 0 \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\ t & 0 ldots & 0 & \\ ldots & 0 \\ end (tömb) \\ jobb) $$

Példák trapéz mátrixokra:

$$ \\ Bal (megjelzés (sor (tömb) 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 és 0 \\ end (tömb) \\ jobbra); \\; Balra (megjelölés (tömb) (CCCC) 5 & -2 & 2 & -8 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ ed (tömb) \\ jobbra). $$.

Adjunk még néhány definíciót a négyzetes mátrixok számára. Ha az összes elem négyszögletes mátrixA fő átló alatt található, nulla, akkor egy ilyen mátrixot hívnak felső háromszög mátrix. Például $ \\ Left (megkezdődés (CCCC) (CCCC) 2 & -2 & 9 & 1 \\\\ 0 & 9 & 8 & 0 \\\\ 0 & 0 & 6 & 6 \\\\ 0 & 0 & 6 & (Tömb) \\ jobb) $ - felső háromszög mátrix. Figyeljük meg, hogy a felső háromszög mátrix meghatározása során semmi sem mondható a fő átlós vagy a fő átlós elemek értékeiről. Ezek nulla lehetnek, vagy nem, jelentéktelen. Például $ \\ Left (megkezdődés (CCC) (CCC) 0 & 0 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ end (tömb)

Ha a négyszögletes mátrix összes eleme a fő átlós, nulla, akkor az ilyen mátrixot hívják alsó háromszög alakú mátrix. Például $ \\ lib (megjelölés (tömb) (CCCC) 3 & 0 & 0 & 0 \\\\-5 & 1 & 0 & 0 \\\\ 5 & 4 & 0 & 6 \\ Vége (tömb) \\ jobbra) $ - alacsonyabb háromszög mátrix. Ne feledje, hogy az alsó háromszög mátrix meghatározásakor semmit sem mondanak a fő átlós elemek alatt található elemek értékeiről. Ezek lehetnek nulla vagy nem, nem számít. Például $ \\ Left (megjelölés (tömb) (CCC) -5 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 9 \\ end (tömb) \\ jobbra) $ és $ \\ t Kezdje (tömb) (CCC) 0 és 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\ end (tömb) \\ jobb) $ - alacsonyabb háromszög mátrixok is.

A négyszögletes mátrixot hívják ÁtlósHa a mátrix összes eleme, amely nem fekszik a fő átlóson, nulla. Példa: $ \\ Left (megjelölés (tömb) (CCCC) 3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 (Tömb) \\ jobb) $. A fő átlós elemek lehetnek (egyenlőek nulla vagy nem), jelentéktelenek.

Átlós mátrixot hívnak egyetlenHa a fő átlós mátrix összes eleme megegyezik az 1. Például, $ \\ Left (megkezdi (sor (tömb) (CCCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 és 0 & 1 \\ end (tömb) \\ jobbra) $ egy negyedik sorrendű mátrix; $ \\ Bal (kezdő (tömb) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (tömb) \\ jobbra) $ egy másodrendű mátrix.

A NASA 2020 júliusában expedíciót indít a Marsnak. Az űrhajó elektronikus médiát szállít Marsnak az összes regisztrált expedíciójú résztvevő nevével.

A résztvevők nyilvántartása nyitva van. Szerezd meg a jegyét a Mars számára erre a linkre.

Ha ez a hozzászólás eldöntötte a problémát, vagy csak tetszett neked, ossza meg egy linket a barátaimmal a közösségi hálózatokon.

Az egyik kódolási lehetőséget át kell másolni, és helyezze be a weboldal kódja, lehetőleg a címkék között és Vagy közvetlenül a címke után . Az első verzió szerint a Mathjax gyorsabban van betöltve és lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan nyomon követi és betölti a legújabb Mathjax verziókat. Ha behelyezi az első kódot, akkor rendszeres időközönként frissíteni kell. Ha behelyezi a második kódot, az oldalak lassabbak lesznek, de nem kell folyamatosan felügyelni a Mathjax frissítéseket.

Connect Mathjax a legegyszerűbb módja a Bloggernek vagy a Wordpressnek: adjunk hozzá egy widget egy harmadik féltől származó JavaScript kód beillesztéséhez, hogy beillesszék a fent bemutatott letöltési kód első vagy második verzióját, és helyezzük közelebb a widgetet a sablon elejéhez (az úton , ez egyáltalán nem szükséges, mivel a mathjax szkript aszinkron módon van betöltve). Ez minden. Most olvassa el a Mathml, Latex és Asciimathml Markup szintaxist, és készen áll a beszúrásra matematikai képletek A webhely weboldalain.

Egy másik újév ... Fagyos időjárás és hópelyhek az ablaküvegen ... Mindez arra késztette, hogy újra írjak ... Fractálok, és arról, hogy mit tud ez az alfa tungshes. Ebben az alkalomban van egy érdekes cikk, amelyben példák a kétdimenziós fraktál struktúrákra. Itt összetettebb példákat fogunk tartani háromdimenziós fraktálokra.

A fraktál egyértelműen elképzelhető (leírható), geometriai alakként vagy testként (szem előtt tartva mindkettő sok, ebben az esetben egy sor pont), amelynek részletei ugyanolyan alakúak, mint maga az eredeti alak. Ez azt jelenti, hogy egy önálló szerkezetet, figyelembe véve a részleteket, amelyek a növekedés, látni fogjuk, az azonos formában növelése nélkül. Mivel hagyományos geometriai alakja esetén (nem fraktál), növelésével látni fogjuk a részleteket, amelyeknek több egyszerű alakmint maga az eredeti szám. Például, elég nagy növekedés esetén az ellipszis része egy egyenes vonalnak tűnik. A fraktálok, ez nem történik meg: minden emelkedik, akkor újra látni ugyanazt a bonyolult alakú, amely meg fogja ismételni újra és újra.

Benoit Mandelbrot (Benoit Mandelbrot), a fraktálok tudományának alapítója, cikkében fraktálok és művészet a tudomány nevében írta: "A fraktálok geometriai formák, amelyek ugyanolyan összetettek a részletekben, mint az általános formájában. Ha a fraktál egy része növekszik az egész méretéhez, akkor úgy néz ki, mint egy egész szám, vagy pontosan, vagy esetleg egy kis deformációval. "

Ahhoz, hogy a mátrixot egy lépcsős típusra hozza (1.4. Ábra), a következő lépéseket kell végrehajtania.

1. Az első oszlopban válassza ki a nulla elemet ( Ólomelem ). Egy vezető elemű karakterlánc ( vezető string ) Ha ez nem az első, az első sorban (átalakítás i típus) átrendezéséhez. Ha az első oszlopban nincs mester (az összes elem nulla), akkor kizárjuk ezt az oszlopot, és továbbra is keressük az ólomelemet a mátrix többi részében. A konverzió véget ér, ha az összes oszlop kizárt, vagy a mátrix fennmaradó részében az összes nulla elem.

2. A fogadó karakterlánc összes elemét a vezetőelemre (II. Típusú átalakítás) osztja. Ha a vezető vonal az utóbbi, akkor ezt az átalakítást befejezni kell.

3. Az ólom alatt található minden sorhoz adjunk hozzá egy vezető vonalat, szorozva egy ilyen számmal, hogy az ólom alatt álló elemek nulla (II. Típusú transzformáció).

4. A vonal és az oszlop megfontolásával, amelynek metszéspontja a vezető elem, menjen az 1. pontba, amelyben a leírt valamennyi művelet a mátrix fennmaradó részére vonatkozik.

A tétel az elemsor sorának sorát jelenti.

A karakterlánc vagy oszlop elemeinek meghatározási tétele lehetővé teszi a determináns számításának csökkentését - rendelés () az eljárás meghatározóinak kiszámításához .

Ha a determináns egyenlő nulla elemekkel rendelkezik, akkor a legmegfelelőbb a determináns a sor vagy oszlop elemei számára, amely a legnagyobb számát tartalmazza a nullát.

3.1.1. feladat.Kiszámítja a meghatározó anyagot

Döntés.Először az első sor hozzáadása, a harmadik - az első, szorozva 2, a negyedik - az első, az első szorozva -5, kapunk

Az első oszlop elemeinek meghatározó tényezőjét megítélik, van

A kapott determináns az első oszlop elemeire kerül:

Laplace tétel (1). Tétel a Stranki dopname-ről (2)

1) azonosítja az IalgeBracius összes sorának elemeit.

2) A másik vonal megfelelő elemeinek algebrai kiegészítőkének meghatározó elemeinek összefoglalása nulla (a más emberek algebrai kiegészítőkének szorzási tétele).

a 1 x + b 1 y \u003d c 1,

a 2 x + B 2 Y \u003d C 2

mind a egyenletek értelmezi egyenesen a síkban (ld. 26), és az oldatot (α, β) olyan, mint egy metszéspontja az e közvetlen, vagy egy vektor AIR koordinátáit (a szám megfelel az esetben, ha A rendszer egyetlen megoldással rendelkezik).

Ábra. 26.

Hasonlóképpen be tudsz jelentkezhet a három ismeretlen lineáris egyenletek rendszerével, amelyek mindegyik egyenletet értelmeznek a sík térben lévő egyenletként.

a 11 x 1 + A 12 x 2 + ... + és 1N x n \u003d b 1,

a 21 x 1 + A 22 x 2 + ... + A 2N X N \u003d B 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

és M1 x 1 + és m2 x 2 + ... + és mn x n \u003d b m,

ahol egy ij és b i önkényes érvényes számok. A rendszer egyenleteinek száma lehet bárki, és nem kapcsolódik az ismeretlen számhoz. Az együtthatók ismeretlen és ij kettős számozás: az első index azt jelzi a szám az egyenlet, a második index j száma ismeretlen, melynek ára az együtthatót. A rendszer bármely megoldása az ismeretlen (α1, α2, ..., α n) értékeinek beállításainak (érvényes) értelme, az egyes egyenletek energiálása a hűséges egyenlőségben.

Az N érvényes számok (α1, α2, ..., a α n) n-dimenziós aritmetikai vektor, és a vektor α1, α2, ..., α N koordinátái.

Ahhoz, hogy kijelölje vektorok, ez általában félkövér és a vektor egy koordinátákkal α 1, α 2, ..., α n, szabályos formája rögzítési menti:

a \u003d (α1, α2, ..., α N).

A hagyományos síkkal analógiával az N-dimenziós vektorok halmaza, amelyek megfelelnek az N ismeretlen lineáris egyenletnek, az N-Dimenziós térben. Ezzel a definícióval a rendszer összes megoldása (1) nem más, mint több hiperplán metszéspontja.

Az N-dimenziós vektorok hozzáadását és sokszorosítását ugyanolyan szabályok határozzák meg, mint a hagyományos vektorok. Nevezetesen, ha

a \u003d (α1, α2, ..., α N), B \u003d (β1, β2, ..., β N) (2)

Két n-dimenziós vektor, akkor az összegüket vektornak nevezik

α + β \u003d (α1 + β1, α2 + β2, ..., α n + β N). (3)

A vektor termékét és a λ számot vektornak hívják

λа \u003d (λα 1, λα2, ..., λα n). (négy)

Az összes N-dimenziós aritmetikai vektorok készletét a vektorok hozzáadásával és a vektor sokszorosításával kapcsolatos műveletekkel aritmetikai n-dimenziós vektoros térnek nevezzük.

A megadott műveletek használata lehetséges több vektor tetszőleges lineáris kombinációit, azaz a kifejezést

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ K A K,

ahol λ i érvényes számok. Például a vektorok lineáris kombinációja (2) λ és μ együtthatói egy vektor

λА + μB \u003d (λα 1 + μβ1, λα 2 + μβ2, λα n + μβ N).

A vektorok háromdimenziós térében, az I, J, K (koordináta orthops) vektorok teteje különleges szerepet játszik, amelyet bármely vektort lebomlik:

a \u003d XI + YJ + ZK,

ahol x, y, z érvényes számok (a vektor koordinátái).

N-dimenziós esetekben a következő vektorok ugyanazt a szerepet játsszák:

e 1 \u003d (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 \u003d (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 \u003d (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n \u003d (0, 0, 0, ..., 1).

Minden A vektor nyilvánvalóan az E 1, E 2, ..., E N vektorok lineáris kombinációja:

a \u003d A 1 E 1 + A 2 E 2 + ... + A N E N, (6)

ezenkívül az α1, α2, ..., α N együtthatók egybeesnek a vektor koordinátáival.

Jelölje 0 vektor, amelynek az összes koordináta nulla (röviden, nulla vektor), bemutatjuk a következő fontos meghatározást:

Az 1, és 2, ... és K vektorok rendszere lineárisan függő, ha egyenlő nulla vektoros lineáris kombinációval

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ K A K \u003d 0,

amelyben a H 1, λ 2, ..., λ K együtthatók közül legalább az egyik eltér a nullától. Ellenkező esetben a rendszert lineárisan függetlennek nevezik.

Tehát vektorok

a 1 \u003d (1, 0, 1, 1) és 2 \u003d (1, 2, 1, 1) és 3 \u003d (2, 2, 2, 2)

lineárisan függ, mert

a 1 + A 2 - A 3 \u003d 0.

Lineáris függőség, amint a definícióból látható, egyenértékű (k ≥ 2) azzal a ténnyel, hogy a rendszervektorok legalább egyike a fennmaradó lineáris kombinációja.

Ha a rendszer két, 1, 2-es vektorból áll, akkor a rendszer lineáris függése azt jelenti, hogy az egyik vektor arányos egy másik, mondás és 1 \u003d λa 2; Háromdimenziós esetben egyenértékű az A1 és A 2 vektorok kollinóritásával. Hasonlóképpen, a hagyományos térben lévő három vektoros I rendszer lineáris függése a vektorok összeállítását jelenti. A lineáris függőség fogalma tehát a kollineárius és társa fogalmának természetes generalizációja.

Az 1, egy 2, ... és N rendszer az N-dimenziós tér lineárisan független vektoraiból az L N-nek az alapja.

Bármely vektor és az L N szóközök kibontakoznak, ráadásul egy tetszőleges alapú vektor által 1, és 2, ... és N vektorral:

a \u003d λ1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ n.

Ez a tény az alapdefiníció alapján könnyen kialakítható.

Háromdimenziós térrel történő analógia folytatása, az N-dimenziós tokban lehetséges, hogy meghatározzák a vektorok A · B skaláris termékét, hiszek

a · B \u003d α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

Ezzel a definícióval a háromdimenziós vektorok skaláris termékének összes alapvető tulajdonsága megmarad. Az A és B vektorokat ortogonálisnak nevezik, ha a skalár terméke nulla:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n \u003d 0.

A lineáris kódok elméletében egy másik fontos koncepciót használnak - az alterület fogalma. A V space L-t részhalmazát e tér alterületének nevezik, ha

1) Az A, B, B, B, az A + B összege is V;

2) bármely Vektorhoz, amely V, és bármilyen tényleges λ számához tartozik, a vektor λa is tartozik V.

Például az E 1, E 2 vektorok összes lineáris kombinációjának halmaza a rendszerből (5) az L N tér alterülete lesz.

a \u003d λ1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ K A K.

A vektorok meghatározott rendszerét az V. alpont alapja lehet.

A tér meghatározása és altér azonnal következik, hogy a tér az L n jelentése a kommutatív csoport képest kialakulását vektorok, és annak bármelyik altér V egy alcsoportja ennek a csoportnak. Ebben az értelemben például lehetséges, hogy figyelembe vegye az L N szomszédos osztályokat a Subspace V.

A kódolási elméletben fontos szerepet játszik abban az esetben, amikor a Fi terület fázisa Z P, amely természetesen. Ebben az esetben a megfelelő N-dimenziós tér is tartalmaz, mivel nem nehéz látni, p n elemeket.

A tér koncepciója, valamint egy csoport és gyűrűk fogalma is lehetővé teszi az axiomatikus definíciót is. A részleteket illetően elküldjük az adagolót egy lineáris algebra peremére.

Lynіin Kombіnatsiya. Lynіino zarezhnі tu inaktív rendszervektor.

vektoros Instyer kombinációja

Vektorok lineáris kombinációja hívásvektor

hol - Lineáris kombinációs együtthatók. Ha egy a kombinációt triviálisnak nevezzük, ha nem triviális.

A vektorok lineáris függése és függetlensége

Rendszer lineárisan függő

Rendszer lineárisan független

A vektorok lineáris függőségének kritériuma

Vektorokhoz (r\u003e 1.) Lineárisan függött, szükség van és elegendő, hogy ezek közül a vektorok közül legalább egy lineáris kombinációja a többi.

A lineáris tér dimenziója

Lineáris tér V.hívott n.- dimenziós (dimenzióval rendelkezik n.), ha benne van:

1) létezik n.lineáris független vektorok;

2) bármely rendszer n + 1.a vektorok lineárisan függenek.

Megnevezések: n.homályos V.;.

A vektorok rendszerét hívják lineárisan függőha létezik nenulevalineáris kombinációval állítva

A vektorok rendszerét hívják lineárisan függetlenha az egyenlőségről nulla lineáris kombináció

egyenlőnek kell lennie nulla mindenkoefficiensek

A vektorok lineáris függőségének kérdése az általános ügyben a nem nulla megoldás létezésének kérdésével csökken, a lineáris egyenletek homogén rendszerében, az ilyen vektorok megfelelő koordinátáival megegyező koefficiensekkel.

Annak érdekében, hogy jól hozzárendelje a "lineáris függőség", a "lineáris függetlenség" vektorok koncepcióját, hasznos a következő típusú feladatok megoldása:

Lynіin zarezhnіsthіst.і і critia lіnіinoїni.

Rendszervektorok lineárisan függ, és csak akkor, ha az egyik rendszer vektor a rendszer maradék vektorai lineáris kombinációja.

Bizonyíték. Hagyja, hogy a vektorok rendszere lineárisan függ a vektoroktól. Aztán van ilyen együtthatók hogy legalább egy együttható nulla. Tegyük fel, hogy. Azután

vagyis a fennmaradó rendszer vektorok lineáris kombinációja.

Hagyja, hogy az egyik rendszer vektor legyen a maradék vektorok lineáris kombinációja. Tegyük fel, hogy ez egy vektor, azaz . Nyilvánvaló, hogy. Azt kaptuk, hogy a rendszervektorok lineáris kombinációja nulla, és az egyik együtthatók eltérnek nulla (egyenlő).

Mondat10 . 7 Ha a vektorok rendszer egy lineárisan függő alrendszert tartalmaz, akkor a teljes rendszer lineárisan függ.

Bizonyíték.

Hagyja az alrendszer vektorok rendszerét , Lineárisan függ, vagyis legalább egy együttható eltér a nullától. Ezután készítsen lineáris kombinációt. Nyilvánvaló, hogy ez a lineáris kombináció nulla, és az együtthatók között nincs nonzero.

A Vector_V alaprendszere, a hatóságok.

A nemzero-rendszer alapját a lineárisan független alrendszerrel egyenértékűnek nevezik. A bázis nulla rendszere nem rendelkezik.

Ingatlan 1:A lineáris független rendszer alapja egybeesik vele.

Példa: A lineáris független vektorok rendszere, mivel a vektorok egyike sem lehet lineárisan kilélegezve a többieken keresztül.

Tulajdon 2: (kritériumok alapja)A rendszer lineárisan független alrendszere az alapja, ha és csak akkor, ha a leginkább lineárisan független.

Bizonyíték:Dana rendszer Szükségesség Hagyja az alapot. Ezután a meghatározásnak, ha akkor, amikor a rendszer lineárisan függ, hiszen lineárisan talán át, emiatt a lineárisan független. KielégülésHagyja, hogy a leginkább lineárisan független alrendszer, akkor hol. Lineárisan függő lineárisan gyakorolják a rendszer alapját.

Tulajdonság 3: (alapvető alapanyag)Minden rendszervektor az adatbázison keresztül szól.

BizonyítékHagyja, hogy a vektor két módon történjen az adatbázison keresztül, akkor :, majd

Rangsor vektor.

Meghatározás:A lineáris vektorok nonzero rendszerének rangját a bázis vektorai számának hívják. A nulla rendszer definíció szerinti rangja nulla.

Rang tulajdonságai:1) A lineárisan független rendszer rangja egybeesik a vektorok számával. 2) A lineárisan függő rendszer rangja kisebb, mint a vektorok száma. 3) Az egyenértékű rendszerek sorai egybeesnek -Rankrank. 4) A rendszer alatt a rangsor kisebb vagy egyenlő a rangsor rendszerével. 5) Ha rangrank, akkor a teljes bázis. 6) A rendszer rangja nem változik, ha a vektor hozzá van adva, ami a rendszer hátralévő vektorai lineáris kombinációja. 7) A rendszer rangja nem változik, ha a vektor eltávolításra kerül, ami más vektorok lineáris kombinációja.

A vektorok rangsorrendszerének megtalálásához a Gaussi módszert a rendszer háromszög alakú vagy trapéz alakú formájához kell használnia.

Ekwіvalent_ rendszer vektor.

Példa:

Átalakítjuk a vektor adatai a mátrixban megtalálni az alapot. Kapunk:

Most a Gauss módszer segítségével a mátrixot a trapéz alakú formára konvertáljuk:

1) a mi fő mátrix, akkor táplálja az egész első oszlopban, amellett, hogy az első sorban a második, az első sokszorozódik, a harmadik, az első sokszorozódik, és nem fogunk semmit a negyedik , Mivel a negyedik sor első eleme, vagyis az első oszlop metszéspontja és a negyedik sor nulla. Kapunk egy mátrixot: 2) Most a mátrixban változtassa meg a 2., 3. és 4. vonalat a megoldás egyszerűségére, amely az elem helyén lenne. Megváltoztatom a negyedik sort, hogy a második, a második helyett a harmadik és a harmadik helyett a negyedik helyen. Kapunk egy mátrixot: 3) A mátrixban semmisítse meg az elemeket az elem alatt. Mivel ismét a matreunk eleme nulla, nulla, nem veszünk részt a negyedik sorból, és hozzáadjuk a harmadik a harmadik szorozva. Kapunk egy mátrixot: 4) Ismét megváltoztatjuk a 3-as és 4 helyszírt mátrixban. Kapunk egy mátrixot: 5) A matriarpetrybavim, a harmadik sorban, szorozva 5 Kapunk egy mátrix, amely egy háromszög megjelenés:

Rendszerek, rangjaik egybeesnek a rang tulajdonságainak és azok rangsorának

Megjegyzések:1) Ellentétben a hagyományos Gauss módszer, ha minden elemét vannak osztva egy bizonyos számot a mátrix húr, nincs joga, hogy csökkentsék a mátrix sor alapján a tulajdonságok a mátrixban. Ha szeretnénk csökkenteni a karakterláncot egy bizonyos számra, akkor meg kell vágnia a teljes mátrixot ehhez a számhoz. 2) Abban az esetben, ha lineárisan függő karakterláncot kapunk, eltávolíthatjuk a mátrixunkból, és helyettesíthetjük a nulla karakterláncot. Példa: Azonnal látható, hogy a második sor az első, ha az első az első és 2. A Tiak esetében a teljes második karakterláncot nullára cserélhetjük. Kapunk: Ennek eredményeképpen mátrix vagy háromszög alakú vagy trapéz alakú forma, ahol nincs lineárisan függő vektorok, a mátrix összes nulla vektora, és a mátrix alapja, de a rangsoruk száma.

Ez egy példa egy olyan vektorok rendszerére, amelyek grafikon formájában vannak: egy rendszer van megadva, ahol és. A rendszer alapja nyilvánvalóan vektor lesz, és mivel a vektorokat rajta keresztül fejezzük ki. Ez a rendszer grafikus formában megnéz:

Elehentarnі Shuttering. A fúrási forma rendszerei.

Elemi átalakítási mátrix - Ezek a mátrix ilyen konverziói, amelynek eredményeképpen a mátrixok egyenértékűsége továbbra is fennáll. Így az elemi transzformációk nem változtatják meg a lineáris algebrai egyenletek rendszerének beállított oldatait, amelyeket ez a mátrix képvisel.

Az elemi transzformációkat a Gauss módszerben használják, hogy a mátrix háromszög alakú vagy lépcsős formában legyen.

Elemi sor átalakítások Hívott:

Egyes kurzusok a lineáris algebra, a mátrix húrok ne kerülhessenek külön elemi átalakítás annak a ténynek köszönhető, hogy a permutációs bármely két sor a mátrix alkalmazásával állíthatjuk elő szaporodását karakterlánc a mátrix az állandó és Egy másik vonal hozzáadásával megszorozzuk a mátrix bármely karakterláncát.

Hasonlóképpen határozzák meg elemi oszlop transzformációk.

Elemi transzformációk megfordítható.

A kijelölés azt jelzi, hogy a mátrix az elemi transzformációkból (vagy fordítva) nyerhető.

Meghatározás

A négyszögletes mátrixot hívják ÁtlósHa a fő átlóson kívül álló összes elem nulla.

Megjegyzés. A mátrix átlós elemei (azaz a fő átlós elemek) is nulla lehetnek.

Példa

Meghatározás

Skalár A diagonális mátrixot hívják, amelyben minden átlós elem egyenlő egymással.

Megjegyzés. Ha a nulla mátrix négyzet, akkor ez is skalár.

Példa

Meghatározás

Egyetlen mátrix A megrendelés skaláris mátrixát hívják, amelyek átlós elemei 1-nek felelnek meg.

Megjegyzés. A felvétel csökkentése érdekében egyetlen mátrix sorrendjét nem lehet írni, akkor egyetlen mátrixot egyszerűen jeleznek.

Példa

- Egy másodperces megrendelő mátrix.

2.10. A mátrix vágása átlóra

Normál (különösen szimmetrikus) mátrix A. az átlós típushoz a hasonlóság átalakításával hozható be -

A. = Txt −1

Itt Λ \u003d Diag (λ 1, ..., λ N.) egy átlós mátrix, amelynek elemei a mátrix sajátértékei A., de T. - Ez egy mátrix, amely a megfelelő mátrix eigenevetsből áll A.. T. = (v. 1 ,...,v. N.).

Például,

Ábra. 23 átlós formában

Lépésmátrix

Meghatározás

Sebesség úgynevezett mátrix, amely megfelel a következő feltételeknek:

Meghatározás

Sebesség Úgy nevezik, hogy olyan mátrixnak nevezzük, amely húrokat tartalmaz, és amelyben az első átlós elemek nem nulla, és a fő átlós és az utolsó sorok elemei nulla, azaz ez az űrlap mátrixa:

Meghatározás

A fő elem A mátrix bizonyos sorát az első nulla elemnek nevezik.

Példa

A feladat. Keresse meg a mátrix minden sorának fő elemeit

Döntés. Az első sor fő eleme a vonal első nem-szolgáltató eleme, ezért - az 1. számú karakterlánc fő eleme; Hasonlóképpen, a második sor fő eleme.

Egy lépcsős mátrix másik meghatározása.

Meghatározás

A mátrixot hívják sebesség, Ha egy:

minden nulla vonal a nonzero után áll;

minden egyes nulla vonalon, a másodiktól kezdve, fő eleme jobbra (egy oszlopban nagyszámú) az előző sor fő eleme.

A Mátrixok meghatározásával egy nulla mátrixot, valamint egy sort tartalmazó mátrixot vonzunk.

Példa

Példák a lépcsőzetes mátrixokra:

, , , ,