Lineáris függőség alapja az alap alapjainak dimenziója. A vektorterek létezése kiegészíti az alap alterületet az egész tér alapjához

Meghatározás. Az X elemek rendszere ..., a lineáris tér V lineáris tér HC-je lineárisan függő, ha vannak a ", ..., az OTQ, nem mindegyike nulla, és ha az egyenlőség (1) csak a ] \u003d ... \u003d aq \u003d 0, akkor az XJ, ..., X9 elemek rendszere lineárisan független. A következő állítások tisztessége. Tétel 1. Az X \\, ..., XQ (q ^ 2) elemek rendszere lineárisan függ, és csak akkor, ha legalább az egyik eleme a többiek lineáris kombinációjaként jeleníthető meg. Tegyük fel, hogy először az elemek rendszere x ..., XQ lineárisan függ. Biztosítjuk, hogy az egyenlőségben (1) különbözik az A9 nulla koefficienstől. Az összes feltétel kivételével, az utóbbi kivételével, a jobb oldali oldalra, az OTQ FO-ra való megosztás után, az X elemet az XI, ..., XQ elemek lineáris kombinációja, ha az egyik elem egyenlő A többiek lineáris kombinációja, majd a bal oldali részbe történő hordozható, olyan lineáris kombinációt kapunk, amelyben különböző együtthatók vannak (-1 F 0). Tehát a XI elemrendszer, _____ XQ lineárisan függ. Tétel 2. Hagyja, hogy az x |, ..., x9 elemek rendszere lineárisan független legyen, y \u003d a \\ x \\ +. + Aqxq. Ezután az ori, ..., az AQ együtthatókat az egyszemélyes elem határozza meg. m enni Lineáris függőség Alapozza meg az alap alapján. Nak,-nek lineáris függetlenség Elemek X |, ..., XQ azt jelenti, hogy a (és ez azt jelenti, hogy a lineárisan függő alrendszert tartalmazó elemek rendszere lineárisan függ. , Xg + L, ..., HT lineárisan függ. Ezután ezek az elemek lineáris kombinációja, például nem minden együtthatók ", ..., AQ nulla. Elemek hozzáadása, ..., HT nulla Szorozók, mi lineárisan, a RIS-5 kombinációja nulla, nem minden együttható. Példa. ., E „lineáris tér V. nevezik ennek alapján lineáris. Spaces, ha tételek |, ..., EP lineárisan független és minden eleme a V is képviselteti magát a lineáris kombinációjaként. Rendelési eszközökkel van, hogy minden egyes elem egy bizonyos (ordinális) számot hozzárendelt. Az egyik rendszeren N elemek épülnek P! Rendelt rendszerek. Példa, hagyja, hogy A.j - a nem komplett vektorok trojka v J (6. ábra). Ezután elrendelte három különböző bázisok Legyen C \u003d (B! ... EP) - az V. tér alapja. Ezután bármelyik X elemre az V-ről van egy sor szám ..., hogy a 2. tétel miatt ... .. C - A C alapú elem koordinátái határozottan meghatározzák. Lássuk, mi történik az elemek koordinátáival a méretek egyszerűségében. Legyen bármilyen számra, és így, ha az elemek hozzáadása, a megfelelő koordináták hajtogatódnak, és amikor az elem megszorozzák az elemet, az összes koordinátát megszorozzák ezzel a számmal. A koordináták az oszlopként való részvételre alkalmasak. Például a P egy koordinátaelem oszlop a bázisban. Az X |, ..., X elemek tetszőleges rendszerét bontjuk le, és az X |, ..., X9 elemek koordináta oszlopait vizsgáljuk. Ebben az alapon: 4. tétel. .., XQ lineárisan függően, és csak akkor, ha a koordináta oszlopok rendszere lineárisan függ. * Hagyja, hogy legalább az A * együtthatók közül legalább az egyik eltérjen nulla. A báziselem bomlásának egyedisége miatt részletesebben írjuk le, következik, hogy a lineáris függőséget az alap alapján az alap alapjainak dimenziója, a Az XT elemek koordináta oszlopai, ..., XQ egyenlő egy nulla oszlopmal (ugyanazokkal az együtthatókkal, egy |, ... de?). Ez azt jelenti, hogy a koordináta oszloprendszer lineárisan függ. Ha az egyenlőséget (2) elvégezzük, akkor a fordított sorrendben érveléssel végezzük el az (1) képletet. Így a fellebbezés nullára van néhány nem triviális (legalább az egyik az együtthatók különböznek nulla) egy lineáris kombinációja lineáris tér elemei egyenértékű a tény, hogy egy nem triviális lineáris kombinációja a koordináta oszlopok (azonos együtthatók) egyenlő egy nulla oszlopmal. MEGJEGYZÉS 5. Hagyja, hogy a lineáris tér lineáris térből N elemekből álljon. Ezután bármilyen elemrendszer, ahol t\u003e p, lineárisan függ. Vagy, vagyis * a 3 tétel alapján kellően figyelembe vesszük az ügyet, hogy XJ, ..., HP + | - Önkényes elemek a tér V. Spread minden eleme alapján a és írni a koordinátákat a elemek ........... a mátrix formájában, csökkenti az oszlop az elem koordinátákat. A PI sorok + 1 oszlopainak mátrixát kapjuk - tekintettel arra a tényre, hogy a m mátrix gyűrűje nem haladja meg a vonalak számát, a mátrix oszlopai (ezek p + 1) lineárisan függenek. És mivel ezek az elemek koordináta oszlopai, majd a 4. tétel szerint az X | elemek rendszere Szintén lineárisan függ. Corollary. A lineáris tér minden alapja ugyanazon elemből áll Chiya. Hagyja, hogy a Bázis C áll p elemek, és ennek alapján a „P az elemek. Ezzel csak bizonyított tétel a lineáris függetlenség az E \\, ..., E” rendszer, arra a következtetésre jutunk, hogy a P „^ p. By Az E és C bázisok megváltoztatása "Egyes helyeken ugyanazon tétel értelmében megkapjuk ezt a p ^ p" -t. Így n \u003d p. az LsHKRITY / OLYAZNAR tér az e tér alapjainak számának számát hívják . 1. példa Az EP formanyomtatványok koordinátájának koordinátájának alapja. .., az EP lineárisan független: az egyenlőségből származik, ami azt jelenti, hogy bármely E, \u003d ... R-ről az elemek lineáris kombinációja ugyanolyan módon írható, az R tér dimenziója egyenlő a bekezdéssel. 2. példa Egységes lineáris A nem nulla megoldásokkal rendelkező rendszer alapvető megoldási rendszerrel rendelkezik (FSR). Az FSER a homogén rendszer megoldásainak lineáris térének alapja. A lineáris tér dimenziója megegyezik az FSR elemek számával, azaz P - G. ahol r a homogén rendszer együtthatóinak mátrixának rangja, az ismeretlenek száma. 3. példa A dimenziója lineáris tér MP polinomok nem nagyobb, mint n értéke P + 1 4 Mivel bármelyik polinom / * (() fokozat nem magasabb, mint n a formában, hogy ez elég ahhoz, hogy bemutassák a Az elemek lineáris függetlensége a | \u003d. Fontolja meg az egyenlőséget, ahol t önkényesen. Hiszünk a t \u003d 0, azt kapjuk, hogy "o \u003d 0. 5 zak.750 Mi indifferentiate Equition (3) t \u003d újra hogy 0 | \u003d 0. Ezen folyamat folytatása, következetesen meg volt győződve arról, hogy oo \u003d "i \u003d ... \u003d a" \u003d 0. Ez azt jelenti, hogy az elemek rendszere | \u003d 1, ..., EP4) \u003d * p lineárisan független. Következésképpen a kívánt dimenzió egyenlő P + 1. Megállapodással. Továbbá, ez a fejezet tekinthető mindenütt, kivéve, ha másként nem, hogy a dimenzió a lineáris tér V egyenlő. Nyilvánvaló, hogy ha W az N-dimenziós lineáris tér V, majd a Dim W ^ P. Megmutatjuk, hogy a p-dimenziós lineáris térben v V-e lineáris alterületek a ^ p. Legyen c \u003d - a tér alapja V. Könnyen győződjön meg róla, hogy a chtower burkolat dimenzióval rendelkezik. (az alap feltöltéséről). A impestsystem elemeinek a lineáris tér V p mérete lineárisan független és a. Majd a térben V vannak olyan elemei A * + 1, ..., AP úgy, hogy a rendszer egy „- Basis V. M Tegyük B - egy tetszőleges A lineáris tér eleme V. Ha a rendszer lineárisan függ, akkor ^ mint egy nem triviális lineáris kombinációban, a rendszer lineáris függetlenségének köszönhetően az A rendszer lineáris függetlensége, ha a forma (4) bomlása bármely B elemre írható SPACE V, majd az eredeti rendszer A |, ..., és * alapja lenne a definíciónak megfelelően. De a feltétel miatt lehetetlen. Ezért az A * + I € V elemnek kell lennie, hogy a feltöltött rendszer AI, ..., OH, A * + | Független lesz. Ha K + 1 \u003d P, akkor ez a rendszer az V. tér alapja. Ha K + 1, akkor az A rendszerhez az előző érveket meg kell ismételni. Ily módon az összes lineárisan független elemrendszer befejezhető az egész V. tér alapja előtt. Példa. Töltse ki a két vektor rendszerét a | \u003d (1,2,0,1), AJ \u003d (-1,1,0) R4 tér a tér alapja előtt. M a térben R4 Vektorok AJ \u003d (és azt mutatják, hogy a vektorok rendszere Ai.aj.aj, A4 - az R4 alapja. A mátrix rangja az AEG vektorok koordinátái, az AZ, E4 . Ez azt jelenti, hogy a mátrix húrja, és ezért a vektoroknál. AG. AZ, A ^ Lineárisan független.\u003e Ez a megközelítés általában: a rendszert a lineárisan független elemekre, a mátrix lineáris függőségre A sorok elemi átalakításának alapjául szolgáló dimenziót trapezoid formával hajtják, majd P - az űrlapszövegek, így a kapott mátrix rangja egyenlő. Megfelelően a következő állítás . Tétel 7. Hagyja, hogy a lineáris tér lineáris subspace v, akkor. Az alapok cseréje. Legyen - lineáris lineáris bázisok. Írja be az alapelemeket. Ezek a kapcsolatok vannak. Kényelmes rögzíteni a mátrixot a a mátrix formája az átmenet mátrixától a C "alapján alapul. Az átmeneti mátrix tulajdonságai Akik a tulajdonságokat csúsztatják. A DET S \u003d 0 egyenlőségéből a mátrix oszlopainak lineáris függése következik. Ezek az oszlopok koordináták oszlopok elemei ", ..." E "p a bázisban. Ezért (és a 4. tétel eredményeként) E "és ..., e" n lineárisan függ. Ez utóbbi ellentétes azzal, hogy "- alapul. Ez azt jelenti, hogy az a feltételezés, hogy a det s \u003d 0 helytelen. 2. Ha ..., és ..., az X elem koordinátái" Ezután a _ helyettesítjük kifejezésük képletét (1), ezt innen kapjuk meg, mivel az elem bomlásának az alapon történő bomlásának egyediségének köszönhetően az egyenlőtlenségek mátrixjegyére költözöm, mi meg van győződve arról, hogy a méltányos tulajdonságok 2. 3. S-1 - Átmenet mátrix az alaptól az "ig.

Legyen V. Vektoros tér a területen R, S. - vektorok rendszere V..

Meghatározás 1. Alaprendszer vektorok S. úgynevezett ilyen rendezett lineárisan független alrendszer B. 1, B. 2, ..., B. R. Rendszerek S.hogy bármilyen rendszervektor S. Vektorok lineáris kombinációja B. 1, B. 2, ..., B. R..

2. meghatározás. Rangsor rendszer vektorok S. úgynevezett rendszer alapvektorok száma S.. Kijelölt rangsor vektor S. szimbólum R. Csengett S..

Ha s \u003d ( 0 ), akkor a rendszernek nincs alapja, és feltételezzük, hogy csengetnek S.= 0.

1. példa. Hagyja adni a vektorok rendszerét A. 1 = (1,2), A. 2 = (2,3), A. 3 = (3,5), A. 4 \u003d (1,3). Vektor A. 1 , A. 2 a rendszer alapját képezi, mivel lineárisan függetlenek (lásd a 3.1 példát) és A. 3 = A. 1 + A. 2 , A. 4 = 3A. 1 - A. 2. A vektorok rangsora két.

1. tétel. (Tételek a bázisokon). Legyen S a Vektorok végső rendszere v, S. ≠{0 }. Ezután a jóváhagyás.

1 ° Bármely lineárisan független alrendszer S rendszere kiegészíthető az alap előtt.

2 ° A System S alapja van.

2 ° Bármely két alaprendszer ugyanazokat a vektorokat tartalmazza, azaz a rendszer rangja nem függ az alap kiválasztásától.

4 ° Ha egy R. Csengett S., Ezután minden r lineárisan független vektorok egy rendszer alapot képeznek.

5 ° Ha egy R. Csengett S., Az S rendszer összes k\u003e r hüvelyje lineárisan függ.

6 ° Bármely vektor A. € s lineárisan kifejezve az alap alapján, azaz ha B.1, B.2, ..., B.R, akkor

A. = A.1 B. 1 + A.2 B. 2 +...+ A.R.B. R.; A.1 , A.2 , ..., A.N. € p,(1)

És egy ilyen képviselet az egyetlen.

5 ° alap alapján van Maximális lineárisan független alrendszer Rendszerek S.és rangsor S. A vektorok száma egy ilyen alrendszerben.

A vektor bemutatása A. az (1) formában (1) A vektor vektorok bomlása, és az A1, A2 számok , ..., ar hívott A vektor koordinátái A. Ebben a bázisban.

Bizonyíték. 1 ° B. 1, B. 2, ..., B. K. - Lineárisan független rendszer alrendszer S.. Ha minden rendszervektor S.Lineárisan kifejezve az alrendszerünk vektorán keresztül, majd definíció szerint ez a rendszer alapja S..

Ha van egy vektor a rendszerben S. amely nem lineárisan fejeződik ki a vektoron keresztül B. 1, B. 2, ..., B. K., azt jelezzük B. K.+1. Ezután rendszerek B. 1, B. 2, ..., B. K., B. K.+1 - lineárisan független. Ha minden rendszervektor S.Lineárisan kifejezve az alrendszer vektorán keresztül, majd definíció szerint ez a rendszer alapja S..

Ha van egy vektor a rendszerben S. amely nem lineárisan fejeződött be B. 1, B. 2, ..., B. K., B. K.+1, majd ismételje meg az érvelést. A folyamat folytatása, mi vagy a rendszer alapján S.vagy növelje a vektorok számát egy lineárisan független rendszerenként. Mint a rendszerben S. A vektorok végső száma, majd a második alternatíva nem folytathatja végtelenül, és valamilyen lépésben megkapjuk a rendszer alapját S..

2 ° S. A vektorok végső rendszere és S. ≠{0 ). Ezután a rendszerben S. Étkezési vektor B. 1 ≠ 0, amely lineárisan független rendszer alrendszert képez S. . Az első részben kiegészíthető a rendszer alapjához. S. . Így a rendszer S. Ez alapja van.

3 ° Tegyük fel, hogy a rendszer S. Két bázissal rendelkezik:

B. 1, B. 2, ..., B. R. , (2)

C. 1, C. 2, ..., C. S. , (3)

A vektorok rendszerének (2) alapjainak meghatározásával lineárisan független és (2) í S. . Ezután az alapok meghatározásával minden rendszervektor-rendszer (2) a rendszervektorok lineáris kombinációja (3). Aztán a fő tétel két vektoros rendszeren R. £ S.. Hasonlóképpen bizonyítja S. £ R.. E két egyenlőtlenségből következik R. = S..

4 ° R. Csengett S., A. 1, A. 2, ..., A. R. - Lineárisan független alrendszer S.. Megmutatjuk, hogy ez a rendszerek alapja S.. Ha ez nem alapja, akkor az első részben kiegészíthető az alapnak, és megkapjuk az alapot A. 1, A. 2, ..., A. R., A. R.+1,..., A. R.+T. több mint R.

5 ° ha K. Vektorok A. 1, A. 2, ..., A. K. (K. > R.) Rendszerek S. - Lineárisan független, majd az első részben a vektorok rendszere kiegészíthető az alapnak, és megkapjuk az alapot A. 1, A. 2, ..., A. K., A. K.+1,..., A. K.+T. több mint R. Vektorok. Ez ellentétes a harmadik rész bizonyításával.

6 ° B. 1, B. 2, ..., B. R. Alaprendszer S.. A vektor alapjainak meghatározása A. € S. Az alapvektorok lineáris kombinációja:

A. \u003d A1. B. 1 + A2. B. 2 + ... + ar B. R.

Az ilyen előadás egyediségének igazolása, hogy megfelelő legyen, hogy van egy másik ötlet:

A. \u003d B1. B. 1 + B2. B. 2 + ... + br B. R.

Egyenlő egyenlőség keresése

0 \u003d (A1 - B1) B. 1 + (A2 - B2) B. 2 + ... + (AR - BR) B. R.

Alapján B. 1, B. 2, ..., B. R. Lineárisan független rendszer, majd az összes AI - BI \u003d 0 együttható; ÉN. = 1, 2, ..., R.. Következésképpen, AI \u003d BI; ÉN. = 1, 2, ..., R. És az egyediség bizonyult.

Golzizin v.v. Előadások az algebra és a geometria. öt

Előadások az algebra és a geometria. 2. félév.

Előadás 23. A vektor tér alapja.

Összefoglaló: A nonzero vektorok rendszerének lineáris függőségének kritériuma, Vektoros rendszer alrendszerek, vektorok rendszer létrehozása, minimális generáló rendszer és maximális lineárisan független rendszer, vektoros tér és egyenértékű meghatározása, a vektor tér dimenziója, a végesdimenziós vektor tér és a az alapja, az alapon való kiegészítés.

p.1. A nonzero vektorok rendszerének lineáris függőségének kritériuma.

Tétel. A nonzero vektorok rendszere lineárisan függ, ha és csak akkor, ha van egy rendszervektor, amelyet lineárisan expresszálnak a rendszer korábbi vektoraiban.

Bizonyíték. Hagyja, hogy a rendszer nem nulla vektorokból és lineárisan függő legyen. Tekintsük a rendszert ugyanabból a vektorból:
. Mivel
, akkor rendszer
- Lineárisan független. Csatlakozzon a vektorához . Ha a rendszer beérkezett
Hasonlóképpen független, majd csatlakoztassa a következőket: . Stb. Folytatjuk, amíg nem kapunk lineárisan függő rendszert
hol. Egy ilyen számot találnak, mert Forrásrendszer
Lineárisan függ az állapot alatt.

Tehát az építkezésen a lineárisan függő rendszert kaptuk.
, Sőt, rendszer
Lineárisan független.

Rendszer
a nulla vektor nem triviálisan, azaz. Van egy ilyen nonzero skalárkészlet
, mit

ha skalár
.

Valóban, máskülönben, ha
Ezután a nulla vektor lineárisan független rendszerének nem triviális ábrázolása lenne
az lehetetlen.

Az utolsó egyenlőség megosztása egy nonzero skaláron
Az informatikai vektorból kifejezhetjük :

Mivel az ellenkező kijelentés nyilvánvaló, a tétel bizonyított.

p. Vector Space System alrendszerek.

Meghatározás. A rendszerrendszer bármely nem üres részhalmaza
a rendszer vektorok alrendszere.

Példa. Legyen
- 10 vektoros rendszer. Ezután vektorok rendszerei:
;
,
- A vektorok rendszerének alrendszerei.

Tétel. Ha a vektorok rendszer egy lineárisan függő alrendszert tartalmaz, akkor a vektorok rendszere szintén lineárisan függ.

Bizonyíték. Hagyja adni a vektorok rendszerét
És még az alrendszer biztosan is
hol
Lineárisan függ. Ezután a nulla vektor nem triviális:

ahol az együtthatók között
Legalább egy nem egyenlő nulla. De akkor a következő egyenlőség a nulla vektor nem triviális nézete:

ahonnan a rendszer lineáris függősége
, Ch.t.d.

A tétel bizonyítható.

Corollary. A lineárisan független vektoros rendszer bármely alrendszere lineárisan független.

Bizonyíték. Tegyük fel, hogy az ellenkezője. Hagyja, hogy a rendszer alrendszere lineárisan függő legyen. Ezután a rendszer lineáris függősége a tételből következik, amely ellentmond az állapotnak.

A vizsgálat bizonyítható.

p.3. Az oszlopok aritmetikai vektoros oszloprendszerei.

Az előző bekezdés eredményei alapján különleges esetként követi a tételeket.

1) Az oszloprendszer lineárisan függ, ha és csak akkor, ha legalább egy oszlop van a rendszerben, amely lineárisan expresszálódik a rendszer más oszlopaiban.

2) Az oszloprendszer lineárisan független, ha és csak akkor, ha egyetlen rendszeroszlop sem lineárisan expresszálódik a rendszer más oszlopaiban.

3) A nulla oszlopot tartalmazó oszloprendszer lineárisan függ.

4) A két egyenlő oszlopot tartalmazó oszloprendszer lineárisan függ.

5) A két arányos oszlopot tartalmazó oszloprendszer lineárisan függ.

6) A lineárisan függő alrendszert tartalmazó oszloprendszer lineárisan függ.

7) Lineárisan független oszloprendszer alrendszere lineárisan független.

Az egyetlen dolog, ami szükséges ahhoz, hogy tisztázza az arányos oszlopok koncepcióját.

Meghatározás. Két nonzero oszlop
Hívás arányos, ha skalár van
, oly módon, hogy
vagy

,
, …,
.

Példa. Rendszer
Lineárisan függ, mivel az első két oszlop arányos.

Megjegyzés. Már tudjuk (lásd az 1. előadást), hogy a meghatározó nulla, ha az oszlopok (húrok) rendszere lineárisan függ. A jövőben bebizonyosodik, hogy az inverz kimutatás: Ha a determináns nulla, akkor az oszlopok rendszere és a sorok rendszere lineárisan függ.

p.4. Alapvektor tér.

Meghatározás. Rendszervektorok
A vektor tér a K mező fölött a vektor tér vektoros vektorok létrehozó (formáló) rendszerének, ha bármely vektorát képviseli, azaz. Ha ilyen skalár van
, mit .

Meghatározás. A vektortér vektorok rendszerét a minimális generáló rendszernek nevezik, ha bármely vektor rendszerének eltávolításakor megszűnik a rendszer létrehozása.

Megjegyzés. A meghatározást közvetlenül következik, hogy ha a generáló rendszer a vektorok nem minimális, akkor van legalább egy vektor rendszer, amikor a rendszer eltávolítja a rendszerből, a fennmaradó rendszer a vektorok továbbra is generáló.

Lemma (a lineárisan függő generáló rendszerről.)

Ha az egyik vektor lineárisan expresszálódik a vektorok lineárisan függő és generáló rendszerében, akkor eltávolítható a rendszerből, és a vektorok fennmaradó rendszere generálódik.

Bizonyíték. Hagyja a rendszert
Lineárisan függő és generál, és hagyja, hogy az egyik vektora lineárisan fejezzük ki a rendszer többi vektorát.

Biztonsági és könnyű felvétel érdekében azt feltételezzük, hogy

Mint
- akkor generáló rendszer
Olyan skalár van
, mit

Innen kapunk

azok. Az X vektor lineárisan expresszálódik a rendszervektorokon keresztül
, ami azt jelenti, hogy ez egy generáló rendszer, ch.t.d.

COROLLARY 1. A vektorok lineárisan függő és generáló rendszere nem minimális.

Bizonyíték. Azonnal következik a lemmából, és meghatározzák a minimális generáló vektorrendszert.

COROLLARY 2. A vektorok minimális generáló rendszere lineárisan független.

Bizonyíték. Ennek ellenkezője megengedte, hogy ellentmondást kapunk 1.

Meghatározás. A vektor tér vektorainak rendszerét a legmagasabb lineárisan független rendszernek nevezik, ha a vektor rendszerének hozzáadásával lineárisan függ.

Megjegyzés. A definícióból azonnal következik, hogy ha a rendszer lineárisan független, de nem maximum, akkor van egy vektor, a rendszer hozzáadásával, lineárisan független rendszert kapunk.

Meghatározás. A VILE VILE VIZSGÁLATI TERÜLET ALAPJÁNAK A KIZSŐ VESZÉLYEK SZÁMÁRA VONATKOZÓ RENDSZEREK, A vektorterek bármely vektorát ábrázolva.

Ellenkező esetben a rendszervektorok
vector space v a k mező felett, ha alapul szolgál, ha
Van egy sor skalár
, oly módon, hogy.

Tétel. (Az alap körülbelül négy egyenértékű meghatározása.)

Legyen
- megrendelt vektor rendszer vektor rendszer. Ezután a következő állítások egyenértékűek:

1. rendszer
alap.

2. rendszer
Ez egy lineárisan független és generálási rendszer vektorok.

3. rendszer
Ez a vektorok maximális lineárisan független rendszere.

4. rendszer
Ez a vektorok minimális generáló rendszere.

Bizonyíték.

Hagyja, hogy a rendszer vektorok
alap. A bázis definíciójától azonnal következik, hogy a vektorok rendszere egy Ingoing Vector Space System rendszer, ezért csak a lineáris függetlenségét kell bizonyítanunk.

Feltételezem, hogy ez a rendszer A vektorok lineárisan függenek. Ezután két ábrázolása van a nulla vektor - triviális és nem triviális, amely ellentmond az alapdefiníciónak.

Hagyja, hogy a rendszer vektorok
Lineárisan független és generál. Be kell bizonyítanunk, hogy ez a lineárisan független rendszer maximális.

Tegyük fel, hogy az ellenkezője. Hagyja, hogy a vektorok lineárisan független rendszere nem maximális. Ezután a fenti megjegyzések miatt van egy vektor, amely hozzáadható ehhez a rendszerhez, és az ebből eredő vektorok rendszere lineárisan független. Másrészt azonban a rendszerhez hozzáadott vektor a vektorok forrásrendszerének lineáris kombinációjaként jelenthető, mivel a rendszert generálja.

És ezt egy új, kiterjesztett, vektoros rendszerben kapjuk meg, az egyik vektora lineárisan kifejezve a rendszer más vektorvektorokban. A vektorok ilyen rendszere lineárisan függ. Ellentmondást kapott.

Hagyja, hogy a rendszer vektorok
A vektor tér a maximális lineárisan független. Bizonyítjuk, hogy ez a minimális generáló rendszer.

a) Először is bizonyítjuk, hogy ez egy generáló rendszer.

Ne feledje, hogy a lineáris függetlenség miatt a rendszer
Nem tartalmaz nulla vektorot. Legyen - önkényes nemherulikus vektor. Adja hozzá erre a rendszer vektorokra:
. A kapott nem nulla vektorok rendszer lineárisan függ, mert A kezdeti vektoros rendszer maximálisan lineárisan független. Tehát ebben a rendszerben van egy lineárisan kifejezett vektor az előzőekben. Az eredeti lineáris független rendszerben
A vektorok egyike sem fejezhető ki az előzőekben, ezért lineárisan expresszálható az előző x vektoron keresztül. Így a rendszer
Bármilyen nem nulla vektort képvisel. Továbbra is észreveszi, hogy ez a rendszer nyilvánvalóan képviseli és nulla vektor, azaz. rendszer
generál.

b) Most bizonyítjuk minimitását. Tegyük fel, hogy az ellenkezője. Ezután egyik vektor a rendszer lehet távolítani a rendszerből, és a fennmaradó vektor rendszer továbbra is a generáló rendszert, és ezért, a vektor eltávolítjuk a rendszer is lineárisan expresszálódik a maradék vektort vektor vektorok, ami ellentmond a lineáris A vektorok eredeti rendszerének függetlensége.

Hagyja, hogy a rendszer vektorok
A vektor tér a minimális generáló rendszer. Ezután bármilyen vektoros vektorteret képvisel. Meg kell bizonyítanunk a bemutató egyediségét.

Tegyük fel, hogy az ellenkezője. Hagyja, hogy néhány x vektor lineárisan fejezzen ki a rendszer vektoraiban két különböző módon:

Egy egyenlőségből kiszálltunk:

A vizsgálat alapján 2, rendszer
Lineárisan független, vagyis A nulla vektor csak trivikus, így a lineáris kombináció összes együtthatójának nulla lehet:

Így az X vektor lineárisan expresszálódik a rendszer vektoraiban, az egyetlen módja, Bt.d.

A tétel bizonyítható.

p.5. A vektor tér dimenziója.

Tétel 1. (a vektorok lineárisan független és generálási rendszereiben lévő vektorok számáról.) A vektorok számának száma bármilyen lineárisan független vektoros rendszerben nem haladja meg a vektorok számát bármely vektorterítő rendszerben ugyanazon vektorteret.

Bizonyíték. Legyen
Önkényes lineárisan független vektorok rendszer,
- önkényes generáló rendszer. Feltételezem, hogy.

Mivel
Generáló rendszer, akkor bármilyen térvektor, beleértve a vektort is . Csatolja ezt a rendszert. Lineárisan függő és generálási rendszert kapunk:
. Aztán van egy vektor
Ez a rendszer, amely lineárisan kifejezésre a korábbi vektorokban, a rendszer, és ez, mivel a lemma, el lehet távolítani a rendszerből, és a fennmaradó rendszer vektorok továbbra is generál.

. Mivel Ez a rendszer generál, vektor egy vektor
És rögzítve ezt a rendszert, ismét lineárisan függő és generáló rendszert kapunk :.

Ezután minden megismétlődik. Van egy vektor ebben a rendszerben, amelyet lineárisan expresszálnak az előzőekben, és nem lehet vektor mivel Forrásrendszer
lineárisan független és vektor nem fejezte ki lineárisan a vektoron keresztül
. Tehát csak az egyik vektor lehet.
. A rendszerből való eltávolítása után a rendszer, amely a rendszert generálja. A folyamat folytatása után a lépések után a vektorok generáló rendszerét kapjuk: ahol
mivel Feltételünkben. Tehát ez a rendszer, mint generáló, képviseli mind a vektor, amely ellentmond a rendszer lineáris függetlenségének feltétele
.

Az 1. tétel bizonyított.

Tétel 2. (az alapvektorok számáról.) A vektorteret bármely alapján a vektorok száma tartalmaz egy.

Bizonyíték. Legyen
és
- Két tetszőleges vektor tér bázis. Bármely alap a vektorok lineárisan független és generáló rendszere.

Mivel Az első rendszer lineárisan független, a második pedig az 1. tétel által generál,
.

Hasonlóképpen, a második rendszer lineárisan független, és az első generál. Ezért következik, hogy
, Ch.t.d.

A 2. tétel bizonyítható.

Ez a tétel lehetővé teszi a következő definíció megadását.

Meghatározás. A V. mező térfekvésének dimenziója a K mező felett a vektorok száma a bázisban.

Kijelölés:
vagy
.

p.6. Vektoros alap alapú létezése.

Meghatározás. A vektorteret végesdimenziósnak nevezik, ha véges vektoros vektorok vannak.

Megjegyzés. Csak végesdimenziós vektortereket fogunk tanulmányozni. Annak ellenére, hogy már nagyon sokat tudunk a végesdimenziós vektor tér alapjairól, nincs bizalmunk, hogy az ilyen tér alapja általában létezik. Minden korábban kapott tulajdonságot azzal a feltételezéssel kaptuk meg, hogy alapul szolgál. A következő tétel bezárja ezt a kérdést.

Tétel. (A véges-dimenziós vektor tér alapja.) Minden végesdimenziós vektoros térnek alapja.

Bizonyíték. A feltételezett állapotban van egy véges generáló rendszer a véges-dimenziós vektor tér v:
.

Ne feledje, hogy ha a vektorok generáló rendszere üres, azaz Nem tartalmaz egyetlen vektort, majd definíció szerint, úgy gondolják, hogy ez a vektor tér nulla, vagyis.
. Ebben az esetben a definíció szerint úgy vélik, hogy a nulla vektor tér alapja üres alap, és dimenziója nulla.

Legyen tovább, nonzero vektoros tér és
A nem nulla vektorok véges generáló rendszere. Ha lineárisan független, akkor minden bizonyított, mert Lineárisan független és generálja a vektor vektorok rendszerét. Ha ez a rendszer a vektorok lineárisan függ, akkor az egyik vektorok ez a rendszer lineárisan kifejezésre a maradék, és el lehet távolítani a rendszerből, és a fennmaradó rendszer vektorok alapján, a Lemma P.5, továbbra is generál.

Tisztítsa meg a fennmaradó vektorok rendszerét:
. Ezután az érvelés megismétlődik. Ha ez a rendszer lineárisan független, alapja. Ha nem, akkor van egy vektor ebben a rendszerben, amely törölhető, és a fennmaradó rendszer generál.

A folyamat megismétlése, nem maradhatunk üres vektoros rendszerrel, mert A legszélsőségesebb esetben az egyik nulla vektorból származó rendszerbe jutunk, amely lineárisan független, és következésképpen az alap. Ezért valamilyen lépésben egy lineárisan független és generáló vektorokból származunk, azaz. alapozni.

A tétel bizonyítható.

Lemma. Legyen . Azután:

1. A vektorból származó bármely rendszer lineárisan függ.

2. A vektorok lineárisan független rendszere alapja.

Bizonyíték. egy). A lemma állapota szerint a bázisban lévő vektorok száma megegyezik a rendszer alapjával, így a lineárisan független rendszerben lévő vektorok száma nem haladhatja meg.

2). A csak bizonyítottan bizonyított, minden lineárisan független rendszer a vektor tér vektoraiból maximum, ezért az alap.

A lemma bizonyítható.

Tétel (az alap kiegészítéséről.) A vektortér vektorok lineárisan független rendszere kiegészíthető e tér alapján.

Bizonyíték. Hagyja, hogy a vektor tér a dimenzió n és
Néhány vektoros lineárisan független rendszere. Azután
.

Ha egy
, Akkor az előző Lemmában ez a rendszer alapja, és nincs semmi bizonyíték.

Ha
, akkor ez a rendszer nem a maximális lineáris független rendszer (egyébként alapja lenne, ami lehetetlen, mert). Ezért van egy vektor
, hogy ez a rendszer
- Lineárisan független.

Ha most, akkor a rendszer
alap.

Ha
, Minden ismétlés. A rendszer feltöltésének folyamata nem folytatható végtelenül, mert Minden lépésnél lineárisan független térvektor-rendszert kapunk, és az előző lemma szerint az ilyen rendszerben lévő vektorok száma nem haladhatja meg a tér dimenzióját. Következésképpen, valamilyen lépésben az alapra fogunk jönni e térből.

A tétel bizonyítható.

7. o. Példa.

1. Legyen K egy tetszőleges mező - egy magasságoszlop aritmetikai vektortere. Azután. Bizonyítsuk be, vegye figyelembe a tér oszlopainak rendszerét.

Ezt úgynevezett végesdimenziósnak nevezik, ha véges vektoros rendszerrel rendelkezik.

Megjegyzés. Csak végesdimenziós vektortereket fogunk tanulmányozni. Annak ellenére, hogy már nagyon sokat tudunk a végesdimenziós vektor tér alapjairól, nincs bizalmunk, hogy általában van ilyen tér. Mindezt korábban beérkezett a feltételezés szerint, hogy alapul szolgál. A következő bezárja ezt a kérdést.

Tétel. (A végesdimenziós vektoros tér alapjául.)

Bármilyen végesdimenziós vektoros térnek van alapja.

Bizonyíték. Az állapot szerint van egy véges generáló rendszer ennek a véges-dimenziós vektor térben v :.

Ne feledje, hogy ha a vektorok generáló rendszere üres, azaz Nem tartalmaz egyetlen vektort, majd definíció szerint, úgy gondolják, hogy ez a vektor tér nulla, vagyis. . Ebben az esetben, fogalommeghatározás szerint úgy vélik, hogy a nulla vektor tér alapja üres alap, és úgy vélik, hogy nulla definíció szerint.

Ha ez a rendszer független, akkor minden bizonyított, mert Lineárisan független és generálja a vektor vektorok rendszerét.

Ha ez a rendszer a vektorok lineárisan függ, akkor az egyik vektorok ez a rendszer lineárisan kifejezésre a maradék, és el lehet távolítani a rendszerből, és a fennmaradó vektorok rendszer továbbra is generál.

Tisztítsa meg a távoli vektorok fennmaradó rendszerét :. Ezután az érvelés megismétlődik.

Ha ez a rendszer lineárisan független, alapja. Ha nem, akkor van egy vektor ebben a rendszerben, amely törölhető, és a fennmaradó rendszer generál.

A tétel bizonyítható.

Lemma. (Vektorok rendszerein N-dimenziós vektor térben.)

Legyen . Azután:

1. A vektorból származó bármely rendszer lineárisan függ.

2. A vektorok lineárisan független rendszere alapja.

Bizonyíték. egy). A feltétel az lemma, a vektorok számát a bázis egyenlő alapján a rendszer, így a több vektor bármely lineárisan független rendszer nem haladhatja meg, azaz a A vektort tartalmazó rendszer lineárisan függ.

2). A csak bizonyítottan bizonyított, minden lineárisan független rendszer a vektor tér vektoraiból maximum, ezért az alap.

A lemma bizonyítható.

Tétel (az alap kiegészítéséről.) A vektortér vektorok lineárisan független rendszere kiegészíthető e tér alapján.

Bizonyíték. Hagyja, hogy az N méret vektortere és a vektorok lineárisan független rendszere. Azután.

Ha az előző Lemmában ez a rendszer alapja, és nincs semmi bizonyíték.

Ha ez a rendszer nem a maximális független rendszer (egyébként alapja lenne, ami lehetetlen, mert). Ezért van egy vektor, így a rendszer - Lineárisan független.

Ha most, akkor a rendszer alap.

Ha minden megismétlődik. A rendszer feltöltésének folyamata nem folytatható végtelenül, mert Minden lépésben megkapjuk a lineárisan független rendszert tér vektorok, és aszerint, hogy az előző lemma a vektorok számát egy ilyen rendszerben nem haladhatja meg a dimenzió a tér. Következésképpen egy bizonyos lépésben ez a tér alapján fogunk jönni., Ch.t.d.

Meghatározás. Alapul

az N magasságú oszlopok aritmetikai vektorát kanonikus vagy természetesnek nevezik.