A quoi sert le déterminant de la matrice ? Déterminants des matrices carrées. Méthodes de calcul des déterminants

- Lâchez la mésange à une mort certaine !
Que la liberté la caresse !
Et le navire vogue, et le réacteur rugit...
- Pash, t'es foutu ?

Je me souviens qu'avant la 8e, je n'aimais pas l'algèbre. Je n'ai pas du tout aimé. Elle m'a énervé. Parce que je n'y ai rien compris.

Et puis tout a changé, car je suis passé par un seul morceau :

En mathématiques en général (et en algèbre en particulier), tout repose sur un système de définitions compétent et cohérent. Vous connaissez les définitions, vous comprenez leur essence - il ne sera pas difficile de comprendre le reste.

Il en est ainsi du sujet de la leçon d'aujourd'hui. Nous examinerons en détail plusieurs questions et définitions connexes, grâce auxquelles vous traiterez une fois pour toutes des matrices, et des déterminants, et de toutes leurs propriétés.

Les déterminants sont un concept central en algèbre matricielle. Comme les formules de multiplication abrégées, elles vous hanteront tout au long de votre cours de mathématiques avancées. Par conséquent, nous lisons, regardons et comprenons parfaitement. :)

Et nous commencerons par le plus intime - et qu'est-ce qu'une matrice ? Et comment travailler correctement avec.

Disposition correcte des indices dans la matrice

Une matrice n'est qu'un tableau rempli de nombres. Néo n'a rien à voir là-dedans.

L'une des caractéristiques clés d'une matrice est sa dimension, c'est-à-dire le nombre de lignes et de colonnes qui le composent. Habituellement, ils disent qu'une matrice $ A $ a une taille $ \ left [m \ times n \ right] $ si elle a $ m $ lignes et $ n $ colonnes. Ils l'écrivent ainsi :

Ou comme ça :

Il existe d'autres désignations - tout dépend des préférences du conférencier / séminariste / auteur du manuel. Mais dans tous les cas, avec tous ces $ \ left [m \ times n \ right] $ et $ ((a) _ (ij)) $, le même problème se pose :

Quel indice est responsable de quoi ? Vient d'abord le numéro de ligne, puis la colonne ? Ou vice versa?

Lors de la lecture de conférences et de manuels, la réponse semblera évidente. Mais lorsque vous n'avez devant vous qu'un dépliant avec un problème à l'examen, vous pouvez être submergé et soudainement confus.

Alors traitons ce problème une fois pour toutes. Pour commencer, rappelons le système de coordonnées habituel du cours de mathématiques à l'école :

Présentation d'un système de coordonnées sur un plan

Souvenez vous d'elle? Il a pour origine (point $ O = \ left (0; 0 \ right) $) les axes $ x $ et $ y $, et chaque point du plan est déterminé de manière unique par des coordonnées : $ A = \ left (1; 2 \ droite) $, $ B = \ gauche (3; 1 \ droite) $, etc.

Prenons maintenant cette construction et plaçons-la à côté de la matrice de sorte que l'origine soit dans le coin supérieur gauche. Pourquoi là-bas? Oui, car quand on ouvre un livre, on commence à lire par la gauche coin supérieur les pages sont faciles à retenir.

Mais où doivent être orientés les axes ? Nous allons les orienter pour que toute notre "page" virtuelle soit couverte par ces axes. Certes, pour cela, vous devez faire pivoter notre système de coordonnées. Seul variante possible un tel arrangement :

Superposition du système de coordonnées sur la matrice

Maintenant, chaque cellule de la matrice a des coordonnées à valeur unique $ x $ et $ y $. Par exemple, écrire $ ((a) _ (24)) $ signifie que nous faisons référence à un élément dont les coordonnées sont $ x = 2 $ et $ y = 4 $. Les dimensions de la matrice sont également définies de manière unique par une paire de nombres :

Détermination des indices dans une matrice

Regardez bien cette image. Jouez avec les coordonnées (surtout lorsque vous travaillez avec de vraies matrices et déterminants) - et très vite vous vous rendrez compte que même dans les théorèmes et les définitions les plus complexes, vous comprenez parfaitement ce qui est en jeu.

Entendu? Eh bien, passons à la première étape de l'illumination - la définition géométrique du déterminant. :)

Définition géométrique

Tout d'abord, je voudrais noter que le déterminant n'existe que pour des matrices carrées de la forme $ \ left [n \ times n \ right] $. Un déterminant est un nombre qui est calculé selon certaines règles et est l'une des caractéristiques de cette matrice (il y a d'autres caractéristiques : rang, vecteurs propres, mais plus là-dessus dans d'autres leçons).

Quelle est donc cette caractéristique ? Qu'est-ce que ça veut dire? C'est simple:

Le déterminant de la matrice carrée $ A = \ left [n \ times n \ right] $ est le volume du parallélépipède $ n $ -dimensionnel, qui se forme si l'on considère les lignes de la matrice comme des vecteurs formant les arêtes de cette parallélépipède.

Par exemple, le déterminant d'une matrice 2x2 n'est que l'aire d'un parallélogramme, et pour une matrice 3x3 c'est déjà le volume d'un parallélépipède 3 dimensions - celui qui exaspère tous les lycéens en cours de stéréométrie.

À première vue, cette définition peut sembler complètement inadéquate. Mais ne sautons pas aux conclusions - regardons des exemples. En fait, tout est élémentaire, Watson :

Une tâche. Trouver les déterminants des matrices :

\ [\ gauche | \ début (matrice) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\ fin (matrice) \ droite | \ quad \ gauche | \ début (matrice) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\ fin (matrice) \ droite | \ quad \ gauche | \ début (matrice) 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\ fin (matrice) \ droite | \]

Décision. Les deux premiers qualificatifs sont 2x2. Par conséquent, ce ne sont que les zones de parallélogrammes. Dessinons-les et calculons l'aire.

Le premier parallélogramme est construit sur les vecteurs $ ((v) _ (1)) = \ left (1; 0 \ right) $ et $ ((v) _ (2)) = \ left (0; 3 \ right) $ :

Le déterminant 2x2 est l'aire du parallélogramme

Évidemment, ce n'est pas seulement un parallélogramme, mais tout un rectangle. Sa superficie est

Le deuxième parallélogramme est construit sur les vecteurs $ ((v) _ (1)) = \ left (1; -1 \ right) $ et $ ((v) _ (2)) = \ left (2; 2 \ right) ) $. Eh bien, et alors ? C'est aussi un rectangle :

Un autre déterminant 2x2

Les côtés de ce rectangle (en fait, les longueurs des vecteurs) se calculent facilement par le théorème de Pythagore :

\ [\ commencer (aligner) & \ gauche | ((v) _ (1)) \ droite | = \ sqrt (((1) ^ (2)) + ((\ left (-1 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (2); \\ & \ gauche | ((v) _ (2)) \ right | = \ sqrt (((2) ^ (2)) + ((2) ^ (2))) = \ sqrt (8) = 2 \ sqrt (2); \\ & S = \ gauche | ((v) _ (1)) \ droite | \ cdot \ gauche | ((v) _ (2)) \ right | = \ sqrt (2) \ cdot 2 \ sqrt (2) = 4. \\\ fin (aligner) \]

Il reste à traiter le dernier déterminant - il existe déjà une matrice 3x3. Il faudra se souvenir de la stéréométrie :

Le déterminant 3x3 est le volume du parallélépipède

Cela a l'air d'absorber le cerveau, mais en fait il suffit de rappeler la formule du volume d'un parallélépipède :

où $ S $ est l'aire de la base (dans notre cas, c'est l'aire du parallélogramme sur le plan $ OXY $), $ h $ est la hauteur tirée vers cette base (en fait, le $ z $ -coordonnée du vecteur $ ((v) _ (3) ) $).

L'aire d'un parallélogramme (nous l'avons dessiné séparément) est également facile à calculer :

\ [\ commencer (aligner) & S = 2 \ cdot 3 = 6; \\ & V = S \ cdot h = 6 \ cdot 4 = 24. \\\ fin (aligner) \]

C'est tout! Nous écrivons les réponses.

Réponse : 3 ; quatre ; 24.

Une note rapide sur le système de notation. Quelqu'un n'aimera probablement pas que j'ignore les "flèches" au-dessus des vecteurs. Apparemment, de cette façon, vous pouvez confondre un vecteur avec un point ou autre chose.

Mais soyons sérieux : vous et moi sommes déjà des garçons et des filles adultes, donc d'après le contexte, nous comprenons parfaitement quand il s'agit d'un vecteur, et quand à un point. Les flèches ne jonchent que l'histoire, qui est déjà bourrée de formules mathématiques.

Et plus loin. En principe, rien ne nous empêche de considérer le déterminant de la matrice 1x1 - une telle matrice n'est qu'une cellule, et le nombre écrit dans cette cellule sera le déterminant. Mais il y a une remarque importante ici :

Contrairement au volume classique, le déterminant nous donnera le soi-disant " volume orienté", C'est à dire. volume, en tenant compte de la séquence de prise en compte des vecteurs lignes.

Et si vous voulez obtenir le volume au sens classique du terme, vous devez prendre le module déterminant, mais maintenant vous ne devriez pas vous en soucier - de toute façon, en quelques secondes, nous apprendrons à compter n'importe quel déterminant avec n'importe quel signe , tailles, etc. :)

Définition algébrique

Malgré toute la beauté et la clarté de l'approche géométrique, elle a un sérieux inconvénient : elle ne nous dit rien sur la façon de compter ce même déterminant.

Par conséquent, nous allons maintenant analyser une définition alternative - algébrique. Pour ce faire, nous avons besoin d'une brève préparation théorique, mais à la fin nous obtiendrons un outil qui nous permettra de compter n'importe quoi dans des matrices et comme nous le souhaitons.

C'est vrai, il apparaîtra nouveau problème... Mais tout d'abord.

Permutations et inversions

Écrivons les nombres de 1 à $ n $ sur une ligne. Vous vous retrouvez avec quelque chose comme ceci :

Maintenant (purement pour le plaisir) échangeons quelques chiffres. Vous pouvez changer les adjacents :

Ou vous pouvez - pas particulièrement adjacent:

Et tu sais quoi? Mais rien! En algèbre, cette merde s'appelle une permutation. Et elle a un tas de propriétés.

Définition. La permutation de longueur $ n $ est une chaîne de $ n $ de nombres distincts, écrits dans n'importe quelle séquence. Habituellement, les premiers $ n $ entiers naturels sont considérés (c'est-à-dire uniquement les nombres 1, 2, ..., $ n $), puis ils sont mélangés pour obtenir la permutation souhaitée.

Les permutations sont désignées de la même manière que les vecteurs - juste une lettre et une liste séquentielle de leurs éléments entre parenthèses. Par exemple : $ p = \ gauche (1; 3; 2 \ droite) $ ou $ p = \ gauche (2; 5; 1; 4; 3 \ droite) $. La lettre peut être n'importe quoi, mais que ce soit $ p $. :)

De plus, par souci de simplicité, nous travaillerons avec des permutations de longueur 5 - elles sont déjà suffisamment sérieuses pour observer des effets suspects, mais pas encore aussi sévères pour un cerveau immature que les permutations de longueur 6 ou plus. Voici des exemples de telles permutations :

\ [\ commencer (aligner) & ((p) _ (1)) = \ gauche (1; 2; 3; 4; 5 \ droite) \\ & ((p) _ (2)) = \ gauche (1 ; 3; 2; 5; 4 \ droite) \\ & ((p) _ (3)) = \ gauche (5; 4; 3; 2; 1 \ droite) \\\ fin (aligner) \]

Naturellement, une permutation de longueur $ n $ peut être considérée comme une fonction définie sur l'ensemble $ \ left \ (1; 2; ...; n \ right \) $ et mappe bijectivement cet ensemble sur lui-même. En revenant aux permutations juste écrites de $ ((p) _ (1)) $, $ ((p) _ (2)) $ et $ ((p) _ (3)) $, on peut tout à fait légalement écrire :

\ [((p) _ (1)) \ gauche (1 \ droite) = 1; ((p) _ (2)) \ gauche (3 \ droite) = 2; ((p) _ (3)) \ gauche (2 \ droite) = 4; \]

Le nombre de différentes permutations de longueur $ n $ est toujours borné et égal à $ n! $ - c'est un fait facilement démontrable par la combinatoire. Par exemple, si nous voulons écrire toutes les permutations de longueur 5, alors nous serons très hésitants, car il y aura de telles permutations

L'une des caractéristiques clés de toute permutation est le nombre d'inversions qu'elle comporte.

Définition. Inversion en permutation $ p = \ gauche (((a) _ (1)); ((a) _ (2)); ...; ((a) _ (n)) \ droite) $ - toute paire $ \ left (((a) _ (i)); ((a) _ (j)) \ right) $ tel que $ i \ lt j $, mais $ ((a) _ (i)) \ gt ( ( a) _ (j)) $. En termes simples, une inversion se produit lorsqu'un plus grand nombre se trouve à gauche d'un plus petit (pas nécessairement celui adjacent).

Nous désignerons par $ N \ left (p \ right) $ le nombre d'inversions dans la permutation $ p $, mais soyez prêt à rencontrer d'autres désignations dans différents manuels et différents auteurs - il n'y a pas de normes uniformes ici. Le sujet des inversions est très vaste et une leçon distincte lui sera consacrée. Maintenant, notre tâche est simplement d'apprendre à les compter dans des problèmes réels.

Par exemple, comptons le nombre d'inversions dans la permutation $ p = \ left (1; 4; 5; 3; 2 \ right) $ :

\ [\ gauche (4; 3 \ droite); \ gauche (4; 2 \ droite); \ gauche (5; 3 \ droite); \ gauche (5; 2 \ droite); \ gauche (3; 2 \ droite ). \]

Donc $ N \ gauche (p \ droite) = 5 $. Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de mal à cela. Autant vous le dire tout de suite : de plus nous nous intéresserons moins au nombre $ N\gauche (p\droite)$ qu'à sa régularité/impair. Et ici, nous passons en douceur au terme clé de la leçon d'aujourd'hui.

Qu'est-ce qu'un déterminant

Soit une matrice carrée $ A = \ left [n \ times n \ right] $ donnée. Puis:

Définition. Le déterminant de la matrice $ A = \ left [n \ times n \ right] $ est la somme algébrique de $ n!$ Termes, composée comme suit. Chaque terme est le produit de $ n $ éléments de matrice, pris un dans chaque ligne et chaque colonne, multiplié par (−1) à la puissance du nombre d'inversions :

\ [\ gauche | A\right |=\somme\limites_ (n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Le point fondamental dans le choix des facteurs pour chaque terme du déterminant est le fait qu'il n'y a pas deux facteurs sur la même ligne ou dans la même colonne.

De ce fait, on peut supposer sans perte de généralité que les indices $ i $ des facteurs $ ((a) _ (i; j)) $ "parcourent" les valeurs 1, ..., $ n $ , et les indices $ j $ sont une permutation de first :

Et lorsqu'il y a une permutation $ p $, on peut facilement calculer les inversions de $ N \ left (p \ right) $ - et le prochain terme du déterminant est prêt.

Naturellement, personne n'interdit d'échanger les multiplicateurs dans n'importe quel terme (ou dans tous à la fois - pourquoi perdre du temps sur des bagatelles?), Et puis les premiers indices représenteront également une certaine permutation. Mais au final, rien ne changera : le nombre total d'inversions dans les indices $ i $ et $ j $ préserve la parité sous de telles perversions, ce qui est assez cohérent avec la bonne vieille règle :

La permutation des facteurs ne change pas le produit des nombres.

N'ajoutez pas cette règle à la multiplication matricielle - contrairement à la multiplication de nombres, elle n'est pas commutative. Mais je m'égare. :)

Matrice 2x2

En fait, vous pouvez considérer la matrice 1x1 - ce sera une cellule et son déterminant, comme vous pouvez le deviner, est égal au nombre écrit dans cette cellule. Rien d'interessant.

Considérons donc une matrice carrée 2x2 :

\ [\ gauche [\ début (matrice) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) \\\ fin (matrice) \ droite] \]

Puisque le nombre de lignes qu'il contient est $ n = 2 $, le déterminant contiendra $ n! = 2! = 1 \ cdot 2 = 2 $ termes. Écrivons-les :

\ [\ begin (align) & ((\ left (-1 \ right)) ^ (N \ left (1; 2 \ right))) \ cdot ((a) _ (11)) \ cdot ((a) _ (22)) = ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (0)) \ cdot ((a) _ (11)) \ cdot ((a) _ (22)) = ((a) _ (11)) ((a) _ (22)); \\ & ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (N \ gauche (2; 1 \ droite))) \ cdot ((a) _ (12)) \ cdot ((a) _ (21)) = ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (1)) \ cdot ((a) _ (12)) \ cdot ((a) _ (21)) = ((a) _ (12)) ( (a) _ (21)). \\\ fin (aligner) \]

Évidemment, il n'y a pas d'inversions dans la permutation $ \ left (1; 2 \ right) $, qui se compose de deux éléments, donc $ N \ left (1; 2 \ right) = 0 $. Mais dans la permutation $ \ left (2; 1 \ right) $ il y a une inversion (en fait, 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Au total, la formule universelle de calcul du déterminant pour une matrice 2x2 ressemble à ceci :

\ [\ gauche | \ début (matrice) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) \\\ fin ( matrice) \ droite | = ((a) _ (11)) ((a) _ (22)) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21)) \]

Graphiquement, cela peut être représenté comme le produit des éléments sur la diagonale principale, moins le produit des éléments sur le côté :

Déterminant d'une matrice 2x2

Regardons quelques exemples :

\ [\ gauche | \ begin (matrice) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ end (matrice) \ right |; \ quad \ left | \ début (matrice) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite |. \]

Décision. Tout est compté sur une ligne. Première matrice :

Et le deuxième :

Réponse : -3 ; −161.

Cependant, c'était trop facile. Regardons les matrices 3x3 - c'est déjà intéressant là-bas.

Matrice 3x3

Considérons maintenant une matrice carrée 3x3 :

\ [\ gauche [\ début (matrice) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ((a) _ (13)) \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ((a) _ (23)) \\ ((a) _ (31)) & ((a) _ (32)) & ((a) _ (33) ) \\\ fin (matrice) \ droite] \]

Lors du calcul de son déterminant, nous obtenons 3 $! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 = 6 $ termes - pas trop pour paniquer, mais assez pour commencer à chercher des modèles. Tout d'abord, écrivons toutes les permutations de trois éléments et calculons les inversions dans chacun d'eux :

\ [\ begin (align) & ((p) _ (1)) = \ left (1; 2; 3 \ right) \ Rightarrow N \ left (((p) _ (1)) \ right) = N \ gauche (1; 2; 3 \ droite) = 0; \\ & ((p) _ (2)) = \ gauche (1; 3; 2 \ droite) \ Rightarrow N \ gauche (((p) _ (2)) \ droite) = N \ gauche (1; 3 ; 2 \ à droite) = 1; \\ & ((p) _ (3)) = \ gauche (2; 1; 3 \ droite) \ Rightarrow N \ gauche (((p) _ (3)) \ droite) = N \ gauche (2; 1 ; 3 \ à droite) = 1; \\ & ((p) _ (4)) = \ gauche (2; 3; 1 \ droite) \ Rightarrow N \ gauche (((p) _ (4)) \ droite) = N \ gauche (2; 3 ; 1 \ à droite) = 2; \\ & ((p) _ (5)) = \ gauche (3; 1; 2 \ droite) \ Rightarrow N \ gauche (((p) _ (5)) \ droite) = N \ gauche (3; 1 ; 2 \ à droite) = 2; \\ & ((p) _ (6)) = \ gauche (3; 2; 1 \ droite) \ Rightarrow N \ gauche (((p) _ (6)) \ droite) = N \ gauche (3; 2 ; 1 \ à droite) = 3. \\\ fin (aligner) \]

Comme prévu, un total de 6 permutations $ ((p) _ (1)) $, ... $ ((p) _ (6)) $ ont été écrites (bien sûr, on pourrait les écrire dans un autre séquence - l'essence de ceci n'est pas va changer), et le nombre d'inversions en eux passe de 0 à 3.

En général, nous aurons trois termes avec "plus" (où $ N\gauche (p\droite) $ est pair) et trois autres avec "moins". En général, le déterminant sera calculé selon la formule :

\ [\ gauche | \ begin (matrice) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ((a) _ (13)) \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ((a) _ (23)) \\ ((a) _ (31)) & ((a) _ (32)) & ((a) _ (33)) \\\ fin (matrice) \ droite | = \ début (matrice) ((a) _ (11)) ((a) _ (22)) ((a) _ (33)) + ((a) _ (12)) ( (a) _ (23)) ((a) _ (31)) + ((a) _ (13)) ((a) _ (21)) ((a) _ (32)) - \\ - ( (a) _ (13)) ((a) _ (22)) ((a) _ (31)) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21)) ((a) _ (33)) - ((a) _ (11)) ((a) _ (23)) ((a) _ (32)) \\\ fin (matrice) \]

Ne vous asseyez pas et fourrez férocement tous ces indices maintenant ! Au lieu de nombres incompréhensibles, il vaut mieux se souvenir de la règle mnémotechnique suivante :

Règle du triangle. Pour trouver le déterminant d'une matrice 3x3, vous devez ajouter trois produits d'éléments sur la diagonale principale et aux sommets des triangles isocèles avec un côté parallèle à cette diagonale, puis soustraire les trois mêmes produits, mais sur la diagonale latérale. Schématiquement, cela ressemble à ceci :

Déterminant matriciel 3x3 : règle triangulaire

Ce sont ces triangles (ou pentagrammes - comme vous voulez) qu'ils aiment dessiner dans toutes sortes de manuels et de manuels d'algèbre. Cependant, ne parlons pas de choses tristes. Mieux vaut calculer un tel déterminant - pour l'échauffement avant le vrai étain. :)

Une tâche. Calculer le déterminant :

\ [\ gauche | \ début (matrice) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite | \]

Décision. Nous travaillons selon la règle des triangles. Comptons d'abord trois termes constitués d'éléments sur la diagonale principale et parallèles à celle-ci :

\ [\ début (aligner) & 1 \ cdot 5 \ cdot 1 + 2 \ cdot 6 \ cdot 7 + 3 \ cdot 4 \ cdot 8 = \\ & = 5 + 84 + 96 = 185 \\\ fin (aligner) \]

Nous abordons maintenant la diagonale latérale :

\ [\ début (aligner) & 3 \ cdot 5 \ cdot 7 + 2 \ cdot 4 \ cdot 1 + 1 \ cdot 6 \ cdot 8 = \\ & = 105 + 8 + 48 = 161 \\\ fin (aligner) \]

Il ne reste plus qu'à soustraire le second du premier nombre - et nous obtenons la réponse :

C'est tout!

Cependant, les déterminants matriciels 3x3 ne sont pas encore le summum de la compétence. La chose la plus intéressante nous attend ensuite. :)

Schéma général de calcul des déterminants

Comme nous le savons, à mesure que la dimension de la matrice $ n $ augmente, le nombre de termes dans le déterminant est de $ n!$ et croît rapidement. Après tout, la factorielle n'est pas une fonction à croissance rapide pour vous.

Déjà pour les matrices 4x4, il devient en quelque sorte pas très bon de considérer les déterminants directement (c'est-à-dire par le biais de permutations). Environ 5x5 et plus généralement se taire. Par conséquent, certaines propriétés du déterminant entrent en jeu, mais un peu de formation théorique est nécessaire pour les comprendre.

Prêt? Va!

Qu'est-ce que Matrix Minor

Soit une matrice arbitraire $ A = \ left [m \ times n \ right] $. Remarque : pas nécessairement carré. Contrairement aux déterminants, les mineurs sont de telles choses qui n'existent pas seulement dans des matrices carrées dures. Choisissons plusieurs (par exemple, $ k $) lignes et colonnes dans cette matrice, avec $ 1 \ le k \ le m $ et $ 1 \ le k \ le n $. Puis:

Définition. Le mineur d'ordre $ k $ est le déterminant de la matrice carrée apparaissant à l'intersection des colonnes et des lignes $ k $ sélectionnées. Nous appellerons également cette nouvelle matrice mineure.

Un tel mineur est noté $ ((M) _ (k)) $. Naturellement, une matrice peut avoir tout un tas de mineurs de l'ordre de $ k $. Voici un exemple d'ordre mineur 2 pour la matrice $ \ left [5 \ times 6 \ right] $ :

Sélection de $ k = 2 $ colonnes et lignes pour former un mineur

Il n'est pas nécessaire que les lignes et les colonnes sélectionnées soient côte à côte, comme dans l'exemple ci-dessus. L'essentiel est que le nombre de lignes et de colonnes sélectionnées soit le même (c'est le nombre $ k $).

Il y a aussi une autre définition. Peut-être que quelqu'un l'aimera plus :

Définition. Soit une matrice rectangulaire $ A = \ left [m \ times n \ right] $ donnée. Si après avoir supprimé une ou plusieurs colonnes et une ou plusieurs lignes, une matrice carrée de taille $ \ left [k \ times k \ right] $ est formée, alors son déterminant est le mineur $ ((M) _ (k) ) $ ... Nous appellerons aussi parfois la matrice elle-même mineure - cela ressortira clairement du contexte.

Comme mon chat avait l'habitude de le dire, il vaut parfois mieux s'envelopper du 11e étage pour manger une fois que de miauler assis sur le balcon.

Exemple. Étant donné une matrice

En choisissant la ligne 1 et la colonne 2, nous obtenons un mineur de premier ordre :

\ [((M) _ (1)) = \ gauche | 7 \ droite | = 7 \]

En choisissant les lignes 2, 3 et les colonnes 3, 4, on obtient un mineur du second ordre :

\ [((M) _ (2)) = \ gauche | \ début (matrice) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite | = 5-18 = -13 \]

Et si vous sélectionnez les trois lignes, ainsi que les colonnes 1, 2, 4, il y aura un mineur de troisième ordre :

\ [((M) _ (3)) = \ gauche | \ début (matrice) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite | \]

Il ne sera pas difficile pour le lecteur de trouver d'autres mineurs d'ordre 1, 2 ou 3. Passons donc à autre chose.

Compléments algébriques

"Eh bien d'accord, et que nous donnent ces serviteurs ?" - vous demandez probablement. Par eux-mêmes, rien. Mais dans les matrices carrées, chaque mineur a un "compagnon" - un mineur supplémentaire, ainsi qu'un complément algébrique. Et ensemble, ces deux astuces nous permettront de cliquer sur les qualificatifs comme des fous.

Définition. Soit une matrice carrée $ A = \ left [n \ times n \ right] $, dans laquelle le mineur $ ((M) _ (k)) $ est sélectionné. Ensuite, le mineur supplémentaire pour le mineur $ ((M) _ (k)) $ est un morceau de la matrice d'origine $ A $, qui reste après avoir supprimé toutes les lignes et colonnes impliquées dans la composition du mineur $ ((M) _ ( k)) $ :

Mineur supplémentaire à mineur $ ((M) _ (2)) $

Précisons un point : une mineure supplémentaire n'est pas simplement un "morceau de la matrice", mais le déterminant de ce morceau.

Les mineurs supplémentaires sont signalés par un astérisque : $ M_ (k) ^ (*) $ :

où l'opération $ A \ nabla ((M) _ (k)) $ signifie littéralement "supprimer de $ A $ les lignes et colonnes incluses dans $ ((M) _ (k)) $". Cette opération n'est généralement pas acceptée en mathématiques - je viens de l'inventer moi-même pour la beauté de l'histoire. :)

Les mineurs complémentaires sont rarement utilisés seuls. Ils font partie d'une construction plus complexe, le complément algébrique.

Définition. Le complément mineur $ ((M) _ (k)) $ est le mineur supplémentaire $ M_ (k) ^ (*) $ multiplié par $ ((\ left (-1 \ right)) ^ (S)) $ , où $ S $ est la somme des nombres de toutes les lignes et colonnes impliquées dans le mineur d'origine $ ((M) _ (k)) $.

En règle générale, le complément algébrique du mineur $ ((M) _ (k)) $ est noté $ ((A) _ (k)) $. Par conséquent:

\ [((A) _ (k)) = ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (S)) \ cdot M_ (k) ^ (*) \]

Compliqué? A première vue, oui. Mais ce n'est pas exactement. Parce qu'en réalité tout est facile. Prenons un exemple :

Exemple. Étant donné une matrice 4x4 :

Choisissons une mineure du second ordre

\ [((M) _ (2)) = \ gauche | \ début (matrice) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\ fin (matrice) \ droite | \]

Captain Obvious nous laisse entendre que les lignes 1 et 4, ainsi que les colonnes 3 et 4, ont été impliquées dans la compilation de cette mineure. Rayez-les - nous obtenons une mineure supplémentaire :

Il reste à trouver le nombre $ S $ et à obtenir le complément algébrique. Puisque nous connaissons les numéros des lignes (1 et 4) et des colonnes (3 et 4) concernées, tout est simple :

\ [\ commencer (aligner) & S = 1 + 4 + 3 + 4 = 12; \\ & ((A) _ (2)) = ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (S)) \ cdot M_ (2) ^ (*) = ((\ gauche (-1 \ droite) ) ^ (12)) \ cdot \ gauche (-4 \ droite) = - 4 \ fin (aligner) \]

Réponse : $ ((A) _ (2)) = - 4 $

C'est tout! En fait, toute la différence entre un mineur supplémentaire et un complément algébrique n'est que dans le moins devant, et même alors pas toujours.

Le théorème de Laplace

Et donc nous sommes arrivés à pourquoi, en fait, tous ces mineurs et compléments algébriquesétaient nécessaires.

Théorème de Laplace sur le développement du déterminant. Soit $ k $ lignes (colonnes) sélectionnées dans une matrice de taille $ \ left [n \ times n \ right] $, avec $ 1 \ le k \ le n-1 $. Alors le déterminant de cette matrice est égal à la somme de tous les produits des mineurs d'ordre $ k $ contenus dans les lignes (colonnes) sélectionnées par leurs compléments algébriques :

\ [\ gauche | A \ right | = \ sum (((M) _ (k)) \ cdot ((A) _ (k))) \]

De plus, il y aura exactement $ C_ (n) ^ (k) $ de tels termes.

D'accord, d'accord : à propos de $ C_ (n) ^ (k) $ - J'en parle déjà, il n'y avait rien de tel dans le théorème original de Laplace. Mais personne n'a annulé la combinatoire, et littéralement un coup d'œil rapide sur la condition vous permettra de vous assurer par vous-même qu'il y aura exactement autant de termes. :)

Nous ne le prouverons pas, bien que cela ne présente pas de difficulté particulière - tous les calculs se réduisent à de bonnes vieilles permutations et inversions paires/impaires. Néanmoins, la preuve sera présentée dans un paragraphe séparé, et nous avons aujourd'hui une leçon purement pratique.

Par conséquent, nous passons à un cas particulier de ce théorème, lorsque les mineurs sont des cellules distinctes de la matrice.

Décomposition des déterminants par ligne et colonne

Ce qui va maintenant être discuté est précisément l'outil principal pour travailler avec les déterminants, pour lequel tout ce jeu avec des permutations, des mineurs et des additions algébriques a été lancé.

Lisez et profitez :

Corollaire du théorème de Laplace (développement ligne/colonne du déterminant). Soit une ligne sélectionnée dans la matrice de taille $ \ left [n \ times n \ right] $. Les mineurs de cette ligne seront $ n $ cellules individuelles :

\ [((M) _ (1)) = ((a) _ (ij)), \ quad j = 1, ..., n \]

Les mineurs supplémentaires sont également faciles à calculer : il suffit de prendre la matrice d'origine et de supprimer la ligne et la colonne contenant $ ((a) _ (ij)) $. Appelons ces mineurs $ M_ (ij) ^ (*) $.

Pour le complément algébrique, le nombre $ S $ est également nécessaire, mais dans le cas d'un mineur d'ordre 1, il s'agit simplement de la somme des "coordonnées" de la cellule $ ((a) _ (ij)) $ :

Et puis le déterminant original peut être écrit en termes de $ ((a) _ (ij)) $ et $ M_ (ij) ^ (*) $ selon le théorème de Laplace :

\ [\ gauche | A \ droite | = \ somme \limites_ (j = 1) ^ (n) (((a) _ (ij)) \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (i + j)) \ cdot ((M) _ (ij))) \]

C'est ce que c'est une formule pour l'expansion d'un déterminant en une chaîne... Mais il en est de même pour les colonnes.

Plusieurs conclusions peuvent être tirées de ce corollaire :

1. Ce schéma fonctionne aussi bien pour les lignes que pour les colonnes. En fait, le plus souvent, l'expansion se fera par colonne plutôt que par ligne.
2. Le nombre de termes dans le développement est toujours exactement $ n $. C'est nettement moins que $ C_ (n) ^ (k) $ et encore plus $ n!$.
3. Au lieu d'un déterminant $\left [n\times n\right]$, vous devrez compter plusieurs déterminants de taille un de moins : $\left [\left (n-1\right)\times\left (n-1 \ droite) \ droite ] $.

Ce dernier fait est particulièrement important. Par exemple, au lieu du déterminant brutal 4x4, il suffira maintenant de compter plusieurs déterminants 3x3 - nous allons en quelque sorte y faire face. :)

Une tâche. Trouvez le déterminant :

\ [\ gauche | \ début (matrice) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\ fin (matrice) \ droite | \]

Décision. Développons ce déterminant le long de la première ligne :

\ [\ commencer (aligner) \ gauche | A \ droite | = 1 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ gauche | \ début (matrice) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ fin (matrice) \ droite | + & \\ 2 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ gauche | \ début (matrice) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\ fin (matrice) \ droite | + & \\ 3 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ gauche | \ début (matrice) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\ fin (matrice) \ droite | = & \\\ fin (aligner) \]

\ [\ begin (align) & = 1 \ cdot \ left (45-48 \ right) -2 \ cdot \ left (36-42 \ right) +3 \ cdot \ left (32-35 \ right) = \\ & = 1\cdot\gauche (-3\droite) -2\cdot\gauche (-6\droite) +3\cdot\gauche (-3\droite) = 0. \\\ fin (aligner) \]

Une tâche. Trouvez le déterminant :

\ [\ gauche | \ début (matrice) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ fin (matrice) \ droite | \ ]

Décision. Pour changer, travaillons avec des colonnes cette fois. Par exemple, la dernière colonne contient deux zéros à la fois - évidemment, cela réduira considérablement les calculs. Maintenant, vous verrez pourquoi.

Donc, nous développons le déterminant par la quatrième colonne:

\ [\ commencer (aligner) \ gauche | \ début (matrice) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ fin (matrice) \ droite | = 0 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (1 + 4)) \ cdot \ gauche | \ début (matrice) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite | + & \\ +1 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (2 + 4)) \ cdot \ gauche | \ début (matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite | + & \\ +1 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (3 + 4)) \ cdot \ gauche | \ début (matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite | + & \\ +0 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (4 + 4)) \ cdot \ gauche | \ début (matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fin (matrice) \ droite | & \\\ fin (aligner) \]

Et puis - oh, un miracle ! - deux termes tombent immédiatement à l'eau, puisqu'ils ont un multiplicateur « 0 ». Il y a encore deux déterminants 3x3 que nous pouvons facilement traiter :

\ [\ commencer (aligner) & \ gauche | \ début (matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite | = 0 + 0 + 1-1-1-0 = -1; \\ & \ gauche | \ début (matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite | = 0 + 1 + 1-0-0-1 = 1. \\\ fin (aligner) \]

Nous retournons à la source et trouvons la réponse :

\ [\ gauche | \ début (matrice) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ fin (matrice) \ droite | = 1\cdot\gauche (-1\droite) +\gauche (-1\droite)\cdot 1 = -2\]

C'est ça. Et non 4 ! = 24 termes n'avaient pas à être comptés. :)

Réponse : -2

Propriétés de base du déterminant

Dans le dernier problème, nous avons vu comment la présence de zéros dans les lignes (colonnes) d'une matrice simplifie grandement le développement du déterminant et, en général, tous les calculs. Une question naturelle se pose : est-il possible de faire apparaître ces zéros même dans la matrice où ils n'étaient pas à l'origine ?

La réponse est sans équivoque : pouvez... Et ici les propriétés du déterminant viennent à notre secours :

1. Si vous permutez deux lignes (colonnes) par endroits, le déterminant ne changera pas ;
2. Si une ligne (colonne) est multipliée par le nombre $ k $, alors le déterminant entier est également multiplié par le nombre $ k $ ;
3. Si vous prenez une ligne et l'ajoutez (soustrayez) autant de fois que vous le souhaitez d'une autre, le déterminant ne changera pas ;
4. Si deux lignes du déterminant sont identiques, soit proportionnelles, soit si l'une des lignes est remplie de zéros, alors tout le déterminant est nul ;
5. Toutes les propriétés ci-dessus sont également vraies pour les colonnes.
6. Lorsqu'une matrice est transposée, le déterminant ne change pas ;
7. Le déterminant du produit matriciel est égal au produit des déterminants.

La troisième propriété est particulièrement intéressante : on peut en soustraire une autre d'une ligne (colonne) jusqu'à ce que des zéros apparaissent aux bons endroits.

Le plus souvent, les calculs se résument à "mettre à zéro" la colonne entière partout, à l'exception d'un élément, puis à étendre le déterminant le long de cette colonne, obtenant une matrice de 1 taille de moins.

Voyons comment cela fonctionne en pratique :

Une tâche. Trouvez le déterminant :

\ [\ gauche | \ début (matrice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite | \ ]

Décision. Il n'y a aucun zéro ici, vous pouvez donc "marteler" n'importe quelle ligne ou colonne - le nombre de calculs sera approximativement le même. Ne perdons pas de temps sur des bagatelles et "zéro" la première colonne: elle a déjà une cellule avec une, alors prenez simplement la première ligne et soustrayez-la 4 fois de la deuxième, 3 fois de la troisième et 2 fois de la dernière.

En conséquence, nous obtiendrons une nouvelle matrice, mais son déterminant sera le même :

\ [\ début (matrice) \ gauche | \ début (matrice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ fin (matrice) \ droite | \ begin (matrice) \ downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\ end (matrice) = \\ = \ left | \ begin (matrice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4 \ cdot 1 & 1-4 \ cdot 2 & 2-4 \ cdot 3 & 3-4 \ cdot 4 \\ 3-3 \ cdot 1 & 4-3 \ cdot 2 & 1-3 \ cdot 3 & 2-3 \ cdot 4 \\ 2-2 \ cdot 1 & 3-2 \ cdot 2 & 4-2 \ cdot 3 & 1-2 \ cdot 4 \ \\ fin (matrice) \ droite | = \\ = \ gauche | \ début (matrice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \ fin (matrice) \ droite | \\\ fin (matrice) \]

Maintenant, avec l'équanimité de Porcinet, nous développons ce déterminant selon la première colonne :

\ [\ begin (matrice) 1 \ cdot ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ left | \ begin (matrice) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ end (matrice) \ right | +0 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ gauche | ... \ droite | + \\ +0 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (3 + 1)) \ cdot \ gauche | ... \ droite | +0 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (4 + 1)) \ cdot \ gauche | ... \ droit | \\\ fin (matrice) \]

Il est clair que seul le premier terme "survivra" - ​​dans le reste, je n'ai même pas écrit les déterminants, car ils sont de toute façon multipliés par zéro. Le coefficient avant le déterminant est égal à un, c'est-à-dire vous n'avez pas à l'écrire.

Mais vous pouvez retirer les "moins" des trois lignes du déterminant. En fait, nous avons déplacé le facteur (−1) trois fois :

\ [\ gauche | \ début (matrice) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ fin (matrice) \ droite | = \ cdot \ gauche | \ début (matrice) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ fin (matrice) \ droite | \]

Nous avons un petit déterminant 3x3, qui peut déjà être calculé en utilisant la règle des triangles. Mais on va essayer de le décomposer selon la première colonne - heureusement, la dernière ligne en contient fièrement une :

\ [\ begin (align) & \ left (-1 \ right) \ cdot \ left | \ début (matrice) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ fin (matrice) \ droite | \ début (matrice) -7 \\ -2 \\ \ uparrow \ \\ end (matrice) = \ left (-1 \ right) \ cdot \ left | \ début (matrice) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\ fin (matrice) \ droite | = \\ & = \ cdot \ gauche | \ début (matrice) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ fin (matrice) \ droite | = \ gauche (-1 \ droite) \ cdot \ gauche | \ début (matrice) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ fin (matrice) \ droite | \\\ fin (aligner) \]

Vous pouvez, bien sûr, vous amuser un peu plus et développer la matrice 2x2 d'affilée (colonne), mais nous sommes adéquats, nous allons donc simplement calculer la réponse :

\ [\ gauche (-1 \ droite) \ cdot \ gauche | \ début (matrice) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ fin (matrice) \ droite | = \ gauche (-1 \ droite) \ cdot \ gauche (16 + 144 \ droite) = - 160 \ ]

C'est ainsi que les rêves sont brisés. Seulement -160 dans la réponse. :)

Réponse : -160.

Quelques notes avant de passer à la dernière tâche :

1. La matrice d'origine était symétrique par rapport à la diagonale latérale. Tous les mineurs de l'expansion sont également symétriques par rapport à la même diagonale latérale.
2. À proprement parler, nous ne pourrions rien décomposer du tout, mais simplement amener la matrice à la forme triangulaire supérieure, lorsqu'il y a des zéros pleins sous la diagonale principale. Alors (en accord exact avec l'interprétation géométrique, soit dit en passant) le déterminant est égal au produit de $ ((a) _ (ii)) $ - nombres sur la diagonale principale.

Une tâche. Trouvez le déterminant :

\ [\ gauche | \ début (matrice) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ fin (matrice) \ droite | \ ]

Décision. Eh bien, ici, la première ligne demande à être "mise à zéro". Nous prenons la première colonne et soustrayons exactement une fois de toutes les autres :

\ [\ commencer (aligner) & \ gauche | \ début (matrice) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ fin (matrice) \ droite | = \\ & = \ gauche | \ début (matrice) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\ fin (matrice) \ droite | = \\ & = \ gauche | \ début (matrice) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\ fin (matrice) \ droite | \\\ fin (aligner) \]

Nous développons sur la première ligne, puis nous retirons les facteurs communs des lignes restantes :

\ [\ cdot \ gauche | \ début (matrice) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\ fin (matrice) \ droite | = \ cdot \ gauche | \ début (matrice) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ fin (matrice) \ droite | \]

Encore une fois, nous observons de " beaux " nombres, mais déjà dans la première colonne - nous développons le déterminant en fonction:

\ [\ begin (align) & 240 \ cdot \ left | \ début (matrice) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ fin (matrice) \ droite | \ début (matrice) \ flèche descendante \\ -1 \\ -1 \ \\ end (matrice) = 240 \ cdot \ left | \ début (matrice) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\ fin (matrice) \ droite | = \\ & = 240 \ cdot ((\ gauche (-1 \ droite)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ gauche | \ début (matrice) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\ fin (matrice) \ droite | = \\ & = 240 \ cdot 1 \ cdot \ gauche (24-18 \ droite) = 1440 \\\ fin ( aligner) \]

Ordre. Le problème a été résolu.

Réponse : 1440

Déterminants et leurs propriétés. Permutation nombres 1, 2, ..., n est tout arrangement de ces nombres dans un certain ordre. En algèbre élémentaire, il est prouvé que le nombre de toutes les permutations qui peuvent être formées à partir de n nombres est 12 ... n = n !. Par exemple, à partir de trois nombres 1, 2, 3 vous pouvez former 3 ! = 6 permutations : 123, 132, 312, 321, 231, 213. On dit que dans cette permutation les nombres i et j font renversement(désordre), si i> j, mais i est dans cette permutation avant j, c'est-à-dire si le plus grand nombre est à gauche du plus petit.

La permutation s'appelle même(ou alors impair) si le nombre total d'inversions y est pair (impair). L'opération par laquelle on passe d'une permutation à une autre, composée des mêmes n nombres, s'appelle substitution nième degré.

Une substitution qui transfère une permutation à une autre est écrite sur deux lignes entre parenthèses communes, et les nombres qui occupent les mêmes places dans les permutations considérées sont appelés approprié et sont écrits l'un sous l'autre. Par exemple, le symbole désigne une substitution dans laquelle 3 va à 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. La substitution est appelée même(ou alors impair) si le nombre total d'inversions dans les deux chaînes de substitution est pair (impair). Toute substitution du n-ième degré peut être écrite sous la forme, c'est-à-dire avec une disposition naturelle des nombres dans la ligne supérieure.

Soit une matrice carrée d'ordre n

Considérons tous les produits possibles de n éléments de cette matrice, pris un et un seul dans chaque ligne et chaque colonne, c'est-à-dire œuvres de la forme :

, (4.4)

où les indices q 1, q 2, ..., q n constituent une permutation des nombres
1, 2, ..., n. Le nombre de ces produits est égal au nombre de permutations différentes de n symboles, c'est-à-dire est égal à n !. Le signe du produit (4.4) est égal à (- 1) q, où q est le nombre d'inversions dans la permutation des seconds indices des éléments.

Déterminant L'ordre n correspondant à la matrice (4.3) est appelé somme algébrique n! termes de la forme (4.4). Pour écrire le déterminant, le symbole est utilisé ou detA = (déterminant, ou déterminant, matrice A).

Propriétés déterminantes

1. Le déterminant ne change pas lorsqu'il est transposé.

2. Si l'une des lignes du déterminant est constituée de zéros, alors le déterminant est égal à zéro.

3. Si deux lignes sont réarrangées dans le déterminant, le déterminant changera de signe.

4. Le déterminant contenant deux droites identiques est égal à zéro.

5. Si tous les éléments d'une certaine rangée du déterminant sont multipliés par un certain nombre k, alors le déterminant lui-même est multiplié par k.

6. Le déterminant contenant deux chaînes proportionnelles est égal à zéro.

7. Si tous les éléments i-ème ligne déterminant sont présentés comme une somme de deux termes aij = bj + cj (j = 1, ..., n), alors le déterminant est égal à la somme des déterminants dans laquelle toutes les lignes, à l'exception de la i-ième, sont les comme dans le déterminant donné, et i-ème ligne dans l'un des termes il se compose d'éléments b j, dans l'autre - d'éléments c j.

8. Le déterminant ne change pas si les éléments correspondants de l'autre ligne, multipliés par le même nombre, sont ajoutés aux éléments d'une de ses lignes.

Commenter. Toutes les propriétés restent valides si des colonnes sont prises au lieu de lignes.

Mineur M i j de l'élément a i j du déterminant d d'ordre n est appelé déterminant d'ordre n-1, qui est obtenu à partir de d en supprimant la ligne et la colonne contenant l'élément donné.

Complément algébrique l'élément a i j du déterminant d est appelé son mineur M i j, pris avec le signe (-1) i + j. Le complément algébrique d'un élément a i j sera noté A i j. Ainsi, A i j = (-1) i + j M i j.

Le théorème suivant donne des méthodes de calcul pratique des déterminants basées sur le fait que le déterminant d'ordre n peut être exprimé en termes de déterminants d'ordre inférieur.

Théorème (expansion du déterminant par ligne ou colonne).

Le déterminant est égal à la somme des produits de tous les éléments de sa ligne (ou colonne) arbitraire par leurs compléments algébriques. En d'autres termes, d est développé dans éléments du i-ème chaînes

d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ... + a i n A i n (i = 1, ..., n)

ou j-ième colonne

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ... + a n j A n j (j = 1, ..., n).

En particulier, si tous les éléments d'une ligne (ou colonne) sauf un sont égaux à zéro, alors le déterminant est égal à cet élément multiplié par son complément algébrique.

Formule de calcul du déterminant du troisième ordre.

Pour rendre cette formule plus facile à retenir :

Exemple 2.4. Sans calculer le déterminant, montrez qu'il est égal à zéro.

Décision. Soustrayez la première ligne de la deuxième ligne, nous obtenons le déterminant égal à celui d'origine. Si vous soustrayez également la première de la troisième ligne, vous obtenez un déterminant dans lequel les deux lignes sont proportionnelles. Ce déterminant est nul.

Exemple 2.5. Calculez le déterminant D = en le développant en fonction des éléments de la deuxième colonne.

Décision. Développons le déterminant par les éléments de la deuxième colonne :

D = un 12 A 12 + un 22 A 22 + un 32 A 32 =

.

Exemple 2.6. Calculer le déterminant

,

dans laquelle tous les éléments d'un côté de la diagonale principale sont égaux à zéro.

Décision. On développe le déterminant A le long de la première ligne :

.

Le déterminant de droite peut être à nouveau étendu le long de la première ligne, on obtient alors :

.

Exemple 2.7. Calculer le déterminant .

Décision. Si à chaque ligne du déterminant, à partir de la seconde, ajoutez la première ligne, alors vous obtenez un déterminant dans lequel tous les éléments en dessous de la diagonale principale seront égaux à zéro. A savoir, on obtient le déterminant : égal à celui d'origine.

En argumentant comme dans l'exemple précédent, nous trouvons qu'il est égal au produit des éléments de la diagonale principale, c'est-à-dire n !. La méthode par laquelle ce déterminant est calculé s'appelle la méthode de réduction à la forme triangulaire.

Souvent, à l'université, il y a des problèmes en mathématiques supérieures, dans lesquelles il est nécessaire calculer le déterminant d'une matrice... Soit dit en passant, le déterminant ne peut être que dans des matrices carrées. Ci-dessous, nous examinerons les définitions de base, les propriétés du déterminant et comment le calculer correctement.Nous montrerons également une solution détaillée avec des exemples.

Qu'est-ce qu'un déterminant matriciel : calculer un déterminant à l'aide d'une définition

Déterminant d'une matrice

Le deuxième ordre est un nombre.

Le déterminant de la matrice est noté - (abrégé du nom latin des déterminants), ou.

Si : alors il s'avère

Rappelons encore quelques définitions auxiliaires :

Définition

Un ensemble ordonné de nombres constitué d'éléments est appelé un ordre de permutation.

Pour un ensemble qui contient des éléments, il existe une factorielle (n), qui est toujours notée point d'exclamation:. Les permutations ne diffèrent les unes des autres que par l'ordre de séquence. Pour que ce soit plus clair pour vous, donnons un exemple :

Considérons un ensemble de trois éléments (3, 6, 7). Il y a 6 permutations au total, depuis. :

Définition

Une inversion dans une permutation d'ordre est un ensemble ordonné de nombres (également appelé bijection), où deux d'entre eux forment une sorte de désordre. C'est lorsque le plus grand des nombres dans une permutation donnée est situé à gauche du plus petit nombre.

Ci-dessus, nous avons examiné un exemple avec une permutation inverse, où il y avait des nombres. Alors, prenons la deuxième ligne, où, à en juger par les nombres donnés, il s'avère que, a, puisque le deuxième élément est supérieur au troisième élément. Prenons la sixième ligne à titre de comparaison, où se trouvent les nombres :. Il y a trois paires ici :, a, puisque title = "(! LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Rendu par QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Rendu par QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Nous n'étudierons pas l'inversion elle-même, mais les permutations nous seront très utiles dans la poursuite de l'examen du sujet.

Définition

Le déterminant de la matrice x est un nombre :

Est une permutation de nombres de 1 à un nombre infini, et est le nombre d'inversions dans la permutation. Ainsi, le déterminant comprend des termes qui sont appelés « membres du déterminant ».

Vous pouvez calculer le déterminant d'une matrice du deuxième ordre, troisième et même quatrième. A signaler également :

Définition

le déterminant d'une matrice est un nombre égal

Pour comprendre cette formule, nous allons la décrire plus en détail. Le déterminant d'une matrice carrée x est une somme qui contient des termes, et chaque terme est un produit Un certain montantéléments matriciels. De plus, dans chaque produit, il y a un élément de chaque ligne et de chaque colonne de la matrice.

Il peut apparaître avant un certain terme si les éléments de la matrice dans le produit sont dans l'ordre (par numéro de ligne), et le nombre d'inversions dans la permutation est un ensemble impair de numéros de colonne.

Il a été mentionné ci-dessus que le déterminant d'une matrice est noté ou, c'est-à-dire que le déterminant est souvent appelé déterminant.

Alors, revenons à la formule :

On peut voir à partir de la formule que le déterminant d'une matrice du premier ordre est un élément de la même matrice.

Calcul du déterminant d'une matrice du second ordre

Le plus souvent, en pratique, le déterminant de la matrice est résolu par des méthodes du deuxième, du troisième et moins souvent du quatrième ordre. Considérez comment le déterminant d'une matrice du second ordre est calculé :

Dans une matrice du second ordre, il suit cette factorielle. Avant d'appliquer la formule

Il est nécessaire de déterminer quelles données nous obtenons :

2. permutations d'ensembles : et ;

3. le nombre d'inversions dans la permutation : et, puisque title = "(! LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. travaux pertinents : et.

Il s'avère:

Sur la base de ce qui précède, nous obtenons une formule pour calculer le déterminant d'une matrice carrée du deuxième ordre, c'est-à-dire x :

Considérez à exemple précis comment calculer le déterminant d'une matrice carrée du second ordre :

Exemple

Une tâche

Calculer le déterminant de la matrice x :

Décision

Donc, nous obtenons ,,,.

Pour le résoudre, vous devez utiliser la formule considérée précédemment :

Remplacez les nombres de l'exemple et trouvez :

Répondre

Déterminant de la matrice du second ordre =.

Calcul du déterminant d'une matrice du troisième ordre : un exemple et solution par la formule

Définition

Le déterminant d'une matrice du troisième ordre est un nombre obtenu à partir de neuf nombres donnés disposés dans un tableau carré,

Le déterminant du troisième ordre se retrouve à peu près de la même manière que le déterminant du deuxième ordre. La seule différence réside dans la formule. Par conséquent, si vous êtes bien orienté dans la formule, la solution ne posera aucun problème.

Considérons une matrice carrée du troisième ordre * :

Sur la base de cette matrice, nous comprenons que, par conséquent, le factoriel =, ce qui signifie que les permutations totales sont

Pour appliquer la bonne formule, vous devez trouver les données :

Donc, les permutations totales de l'ensemble :

Le nombre d'inversions dans la permutation, et les produits correspondants =;

Nombre d'inversions dans la permutation title = "(! LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inversions dans la permutation title = "(! LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

... ; inversions dans la permutation title = "(! LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

... ; inversions dans la permutation title = "(! LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

... ; inversions dans la permutation title = "(! LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

On obtient maintenant :

Ainsi, nous avons obtenu une formule pour calculer le déterminant d'une matrice d'ordre x :

Trouver une matrice du troisième ordre en utilisant la règle du triangle (règle de Sarrus)

Comme mentionné ci-dessus, les éléments du déterminant de 3ème ordre sont situés dans trois lignes et trois colonnes. Si vous entrez une désignation d'élément commun, le premier élément désigne le numéro de ligne et le deuxième élément des indices est le numéro de colonne. Il existe une diagonale principale (éléments) et secondaire (éléments) du déterminant. Les termes du côté droit sont appelés les membres du déterminant).

On voit que chaque membre du déterminant n'est dans le schéma qu'un élément par ligne et par colonne.

Le déterminant peut être calculé à l'aide de la règle du rectangle, qui est représentée sous la forme d'un diagramme. Les membres du déterminant des éléments de la diagonale principale sont surlignés en rouge, ainsi que les termes des éléments qui sont au sommet des triangles, qui d'un côté sont parallèles à la diagonale principale (schéma de gauche), pris avec un signe.

Les membres avec des flèches bleues des éléments de la diagonale latérale, ainsi que des éléments qui sont aux sommets des triangles qui ont des côtés parallèles à la diagonale latérale (diagramme de droite) sont pris avec un signe.

Dans l'exemple suivant, nous allons apprendre à calculer le déterminant d'une matrice carrée du troisième ordre.

Exemple

Une tâche

Calculer le déterminant d'une matrice du troisième ordre :

Décision

Dans cet exemple :

Nous calculons le déterminant en utilisant la formule ou le schéma considéré ci-dessus :

Répondre

Déterminant de la matrice du troisième ordre =

Propriétés de base des déterminants d'une matrice du troisième ordre

Sur la base des définitions et formules précédentes, nous considérerons les principaux propriétés déterminantes matricielles.

1. La taille du déterminant ne changera pas lorsque les lignes et les colonnes correspondantes seront remplacées (un tel remplacement est appelé transposition).

A l'aide d'un exemple, on va s'assurer que le déterminant de la matrice est égal au déterminant de la matrice transposée :

Rappelons la formule de calcul du déterminant :

Transposez la matrice :

On calcule le déterminant de la matrice transposée :

Nous nous sommes assurés que le déterminant de la matrice transportée est égal à la matrice d'origine, ce qui indique la bonne solution.

2. Le signe de l'identifiant sera inversé si deux de ses colonnes ou deux lignes y sont permutées.

Prenons un exemple :

Deux matrices du troisième ordre (x) sont données :

Il faut montrer que les déterminants de ces matrices sont opposés.

Décision

Dans la matrice et dans la matrice, les lignes ont changé (la troisième à partir de la première et de la première à la troisième). D'après la seconde propriété, les déterminants des deux matrices doivent différer de signe. C'est-à-dire qu'une matrice est positive et l'autre négative. testons cette propriété en appliquant une formule pour calculer le déterminant.

La propriété est vraie depuis.

3. Le déterminant est égal à zéro s'il a les mêmes éléments correspondants sur deux lignes (colonnes). Soit le déterminant avoir les mêmes éléments des première et deuxième colonnes :

En échangeant les mêmes colonnes, nous recevrons, selon la propriété 2, un nouveau déterminant : =. D'autre part, le nouveau qualificatif coïncide avec celui d'origine, puisque les mêmes réponses sont des éléments, c'est-à-dire =. De ces égalités on obtient : =.

4. Le déterminant est égal à zéro si tous les éléments d'une ligne (colonne) sont nuls. Cette affirmation vient du fait que chaque terme du déterminant selon la formule (1) a un, et un seul élément de chaque ligne (colonne), qui n'a que des zéros.

Prenons un exemple :

Montrons que le déterminant de la matrice est égal à zéro :

Notre matrice a deux colonnes identiques (deuxième et troisième), donc basée sur de cette propriété, le déterminant doit être égal à zéro. Allons vérifier:

En effet, le déterminant d'une matrice à deux colonnes identiques est nul.

5. Le facteur commun des éléments de la première ligne (colonne) peut être pris en dehors du signe déterminant :

6. Si les éléments d'une ligne ou d'une colonne du déterminant sont proportionnels aux éléments correspondants de la deuxième ligne (colonne), alors ce déterminant est égal à zéro.

En effet, après la propriété 5, le coefficient de proportionnalité peut être pris en dehors du signe du déterminant, puis la propriété 3 peut être utilisée.

7. Si chacun des éléments des lignes (colonnes) du déterminant est la somme de deux termes, alors ce déterminant peut être soumis comme la somme des déterminants correspondants :

Pour vérification, il suffit d'écrire sous forme développée selon (1) le déterminant qui se trouve à gauche de l'égalité, puis de grouper séparément les termes qui contiennent les éléments et. Chacun des groupes de termes résultants sera le premier et les seconds déterminants du côté droit de l'égalité, respectivement.

8. Les valeurs de définition ne changeront pas si les éléments correspondants de la deuxième ligne (colonne), multipliés par le même nombre, sont ajoutés à un élément d'une ligne ou d'une colonne :

Cette égalité est obtenue à partir des propriétés 6 et 7.

9. Le déterminant de la matrice,, est égal à la somme des produits des éléments de n'importe quelle ligne ou colonne par leurs compléments algébriques.

On entend ici le complément algébrique de l'élément de matrice. En utilisant cette propriété, vous pouvez calculer non seulement des matrices du troisième ordre, mais aussi des matrices d'ordre supérieur (x ou x). En d'autres termes, c'est une formule récursive qui est nécessaire pour calculer le déterminant d'une matrice de n'importe quel ordre. Souvenez-vous-en, car il est souvent utilisé dans la pratique.

Il faut dire qu'en utilisant la neuvième propriété, on peut calculer les déterminants des matrices non seulement du quatrième ordre, mais aussi des ordres supérieurs. Cependant, dans ce cas, vous devez effectuer de nombreuses opérations de calcul et être prudent, car la moindre erreur dans les signes entraînera une décision incorrecte. Les matrices d'ordre supérieur sont résolues plus commodément par la méthode gaussienne, et nous en parlerons plus tard.

10. Le déterminant du produit de matrices du même ordre est égal au produit de leurs déterminants.

Prenons un exemple :

Exemple

Une tâche

Assurez-vous que le déterminant de deux matrices et est égal au produit de leurs déterminants. Deux matrices sont données :

Décision

Tout d'abord, nous trouvons le produit des déterminants des deux matrices et.

Nous allons maintenant effectuer la multiplication des deux matrices et ainsi calculer le déterminant :

Répondre

Nous nous sommes assurés que

Calcul du déterminant d'une matrice par la méthode gaussienne

Déterminant d'une matrice mise à jour : 22 novembre 2019 par l'auteur : Articles scientifiques.Ru

Quelque numéro, calculé selon une certaine règle et appelé déterminant.

La nécessité d'introduire le concept déterminant - les nombres caractérisant carré matrice de commande m , est étroitement liée à la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires.

Déterminant d'une matrice MAIS on notera : | MAIS| ou D.

Le déterminant de la matrice du premier ordreMAIS = (mais 11) est appelé un élément mais Onze . Par exemple, pour MAIS= (-4) nous avons | MAIS| = -4.

Le déterminant d'une matrice du second ordre appelé numéro déterminé par la formule

|MAIS| = .

Par exemple, | MAIS| = .

En mots, cette règle peut s'écrire comme suit : avec votre propre signe, vous devez prendre le produit des éléments connectés diagonale principale, et les produits des éléments reliés par les sommets des triangles, pour lesquels base parallèle à la diagonale principale... Avec le signe opposé, nous prenons des produits similaires, uniquement par rapport à la diagonale latérale.

Par example,

Détermination du déterminant d'une matrice m Nous ne donnerons pas le ième ordre, mais montrerons seulement la méthode pour le trouver.

De plus, au lieu de mots déterminant d'une matrice m-ème ordre disons simplement déterminant m-ème ordre... Introduisons de nouveaux concepts.

Étant donné une matrice carrée mème ordre.

MineurMélément ij mais matrices ij MAIS appelé déterminant (m-1) ème ordre obtenu à partir de la matrice MAIS suppression je-ème ligne et jème colonne.

Le complément algébrique А ij de l'élément а ij de la matrice А est appelé son mineur, pris avec le signe (-1) i + j :

MAIS ij = (-1) i + j M je,

ceux. un complément algébrique soit coïncide avec son mineur lorsque la somme des numéros de ligne et de colonne est un nombre pair, soit en diffère en signe lorsque la somme des numéros de ligne et de colonne est un nombre impair.

Par exemple, pour les éléments mais 11 et mais 12 matrices A = mineurs

M 11 = MAIS 11 = ,

M 12 = ,

mais MAIS 12 = (-1) 1+2 M 12 = -8.

Théorème (sur le développement du déterminant) . Le déterminant d'une matrice carrée est égal à la somme des produits des éléments de n'importe quelle ligne (colonne) par leurs compléments algébriques, c'est-à-dire

|MAIS| = mais i1 UNE i1 + mais i2 UNE i2 + ... + mais dans UNE dans,
pour tout le monde je = 1, 2, …, m

|MAIS| = mais 1j UNE 1j + mais 2j UNE 2j + ... + mais New Jersey UNE New Jersey,

pour tout le monde j = 1, 2, …, m

La première formule s'appelle je-ème ligne, et le second est expansion du déterminant en éléments jème colonne.

Il est facile de comprendre qu'à l'aide de ces formules tout déterminant m-ème ordre peut être réduit à la somme des déterminants, dont l'ordre sera 1 de moins, etc. jusqu'à atteindre des déterminants du 3e ou du 2e ordre dont le calcul n'est plus difficile.

Pour trouver le déterminant, les propriétés de base suivantes peuvent être appliquées :

1. Si une ligne (ou une colonne) du déterminant est constituée de zéros, alors le déterminant lui-même est égal à zéro.

2. Lors de l'échange de deux lignes (ou deux colonnes), le déterminant est multiplié par -1.

3. Déterminant avec deux lignes (ou colonnes) identiques ou proportionnelles est égal à zéro.

4. Le facteur commun des éléments de n'importe quelle ligne (ou colonne) peut être retiré du signe déterminant.

5. La valeur du déterminant ne changera pas si toutes les lignes et colonnes sont permutées.

6. La valeur du déterminant ne changera pas si une autre ligne (colonne) multipliée par n'importe quel nombre est ajoutée à l'une des lignes (ou à l'une des colonnes).

7. La somme des produits des éléments d'une ligne (ou colonne) d'une matrice par les compléments algébriques des éléments d'une autre ligne (colonne) de cette matrice est égale à zéro.

8. Le déterminant du produit de deux matrices carrées est égal au produit de leurs déterminants.

L'introduction du concept de déterminant d'une matrice nous permet de définir une action supplémentaire avec les matrices - trouver la matrice inverse.

Pour chaque nombre non nul, il existe un nombre inverse tel que le produit de ces nombres donne un. Il existe également un tel concept pour les matrices carrées.

La matrice MAIS-1 est appelé sens inverse envers carré matrice MAIS si multiplier cette matrice par celle donnée à droite et à gauche donne matrice d'identité, c'est à dire.

MAIS× MAIS -1 = MAIS-1 × MAIS= E.

Il résulte de la définition que seule une matrice carrée a un inverse ; dans ce cas, la matrice inverse sera carrée du même ordre. Cependant, toutes les matrices carrées n'ont pas leur propre inverse.

Dans le cas général, la règle de calcul des déterminants du $ n $ ième ordre est assez lourde. Pour les déterminants du deuxième et du troisième ordre, il existe des moyens rationnels de les calculer.

Calculs des déterminants du second ordre

Pour calculer le déterminant d'une matrice du second ordre, soustrayez le produit des éléments de la diagonale secondaire du produit des éléments de la diagonale principale :

$$ \ gauche | \ begin (array) (ll) (a_ (11)) & (a_ (12)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) \ end (array) \ right | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ (12) \ cdot a_ (21) $$

Exemple

La tâche. Calculer le déterminant du second ordre $ \ left | \ begin (array) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ end (array) \ right | $

Décision.$ \ gauche | \ begin (array) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ end (array) \ right | = 11 \ cdot 5 - (- 2) \ cdot 7 = 55 + 14 = 69 $

Répondre.$ \ gauche | \ begin (array) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ end (array) \ right | = 69 $

Méthodes de calcul des déterminants du troisième ordre

Il existe de telles règles pour le calcul des déterminants du troisième ordre.

Règle du triangle

Schématiquement, cette règle peut être représentée comme suit :

Le produit des éléments du premier déterminant qui sont reliés par des lignes droites est pris avec un signe plus ; de même, pour le second déterminant, les produits correspondants sont pris avec un signe moins, c'est-à-dire

$$ \ gauche | \ begin (array) (ccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (a_ (13)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) & (a_ (23)) \\ (a_ (31)) & (a_ (32)) & (a_ (33)) \ end (array) \ right | = a_ (11) a_ (22) a_ (33) + a_ (12) a_ ( 23) a_ (31) + a_ (13) a_ (21) a_ (32) - $$

$$ - a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) -a_ (13) a_ (22) a_ (31) $$

Exemple

La tâche. Calculer le déterminant $ \ left | \ début (tableau) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ fin (array) \ right | $ en utilisant la méthode du triangle.

Décision.$ \ gauche | \ début (tableau) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ fin (array) \ right | = 3 \ cdot 1 \ cdot (-2) +4 \ cdot (-2) \ cdot (-1) + $

$$ + 3 \ cdot 3 \ cdot 1 - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot (-2) \ cdot 3-4 \ cdot 3 \ cdot (-2) = 54 $$

Répondre.

Règle de Sarrus

A droite du déterminant, les deux premières colonnes sont ajoutées et les produits des éléments sur la diagonale principale et sur les diagonales qui lui sont parallèles sont pris avec un signe plus ; et les produits des éléments de la diagonale latérale et des diagonales qui lui sont parallèles, avec le signe moins :

$$ - a_ (13) a_ (22) a_ (31) -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) $$

Exemple

La tâche. Calculer le déterminant $ \ left | \ début (tableau) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ fin (tableau) \ right | $ en utilisant la règle de Sarrus.

Décision.

$$ + (- 1) \ cdot 4 \ cdot (-2) - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot 3 \ cdot (-2) -3 \ cdot 4 \ cdot (-2) = 54 $$

Répondre.$ \ gauche | \ début (tableau) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ fin (tableau) \ droite | = 54 $

Décomposition d'un déterminant par ligne ou colonne

Le déterminant est égal à la somme des produits des éléments de la chaîne déterminante par leurs compléments algébriques. Sélectionnez généralement la ligne / la colonne dans laquelle / oh il y a des zéros. La ligne ou la colonne, le long de laquelle la décomposition est effectuée, sera indiquée par une flèche.

Exemple

La tâche. En développant sur la première ligne, calculez le déterminant $ \ left | \ begin (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (array) \ droit | $

Décision.$ \ gauche | \ begin (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (array) \ droite | \ flèche gauche = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) = $

$ 1 \ cdot (-1) ^ (1 + 1) \ cdot \ gauche | \ begin (array) (cc) (5) & (6) \\ (8) & (9) \ end (array) \ right | +2 \ cdot (-1) ^ (1 + 2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (4) & (6) \\ (7) & (9) \ end (array) \ right | +3 \ cdot (-1) ^ (1 + 3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (4) & (5) \\ (7) & (8) \ end (array) \ right | = -3 + 12-9 = 0 $

Répondre.

Cette méthode permet de réduire le calcul d'un déterminant au calcul d'un déterminant d'ordre inférieur.

Exemple

La tâche. Calculer le déterminant $ \ left | \ begin (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (array) \ droit | $

Décision. Effectuons les transformations suivantes sur les lignes déterminantes: soustrayons les quatre premières de la deuxième ligne et la première ligne multipliée par sept de la troisième, en conséquence, selon les propriétés du déterminant, nous obtenons le déterminant égal à celui donné.

$$ \ gauche | \ début (tableau) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ fin (tableau) \ droite | = \ gauche | \ begin (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4-4 \ cdot 1) & (5-4 \ cdot 2) & (6-4 \ cdot 3) \\ ( 7-7 \ cdot 1) & (8-7 \ cdot 2) & (9-7 \ cdot 3) \ end (array) \ right | = $$

$$ = \ gauche | \ begin (array) (rrr) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12) \ fin (tableau) \ droite | = \ gauche | \ begin (tableau) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \ cdot (-3)) & (2 \ cdot (-6)) \ end (array) \ right | = 0 $$

Le déterminant est nul car les deuxième et troisième lignes sont proportionnelles.

Répondre.$ \ gauche | \ begin (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (array) \ droite | = 0 $

Pour calculer les déterminants du quatrième ordre et plus, on applique soit l'expansion des lignes/colonnes, soit la réduction à une forme triangulaire, soit l'utilisation du théorème de Laplace.

Décomposition d'un déterminant en éléments de ligne ou de colonne

Exemple

La tâche. Calculer le déterminant $ \ left | \ begin (array) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (array) \ right | $, en l'étendant en éléments d'une ligne ou d'une colonne.

Décision. Tout d'abord, effectuons des transformations élémentaires sur les lignes du déterminant, en faisant autant de zéros que possible soit dans la ligne, soit dans la colonne. Pour ce faire, soustrayez d'abord neuf tiers de la première ligne, cinq tiers de la deuxième et trois troisièmes lignes de la quatrième, nous obtenons :

$$ \ gauche | \ begin (tableau) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ fin (tableau) \ droite | = \ gauche | \ début (tableau) (cccc) (9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ fin (tableau) \ droite | = \ gauche | \ begin (tableau) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ fin (tableau) \ droite | $$

Nous développons le déterminant résultant dans les éléments de la première colonne :

$$ \ gauche | \ begin (tableau) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (array) \ right | = 0 + 0 + 1 \ cdot (-1) ^ ( 3 + 1) \ cdot \ gauche | \ begin (array) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ fin (tableau) \ droite | + 0 $$

Le déterminant obtenu du troisième ordre est également développé en termes d'éléments de ligne et de colonne, ayant préalablement obtenu des zéros, par exemple, dans la première colonne. Pour ce faire, soustrayez les deux deuxièmes lignes de la première ligne et la deuxième de la troisième :

$$ \ gauche | \ begin (array) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ fin (tableau) \ droite | = \ gauche | \ début (tableau) (rrr) (0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8) \ fin ( tableau) \ droite | = 4 \ cdot (-1) ^ (2 + 2) \ cdot \ gauche | \ begin (array) (ll) (2) & (4) \\ (4) & (8) \ end (array) \ right | = $$

$$ = 4 \ cdot (2 \ cdot 8-4 \ cdot 4) = 0 $$

Répondre.$ \ gauche | \ begin (tableau) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ fin (tableau) \ droite | = 0 $

Commenter

Le dernier et l'avant-dernier déterminant n'ont pas pu être calculés, mais ont immédiatement conclu qu'ils sont égaux à zéro, car ils contiennent des chaînes proportionnelles.

Réduire le déterminant à la forme triangulaire

Passant par transformations élémentaires sur des lignes ou des colonnes le déterminant est réduit à une forme triangulaire et alors sa valeur, selon les propriétés du déterminant, est égale au produit des éléments sur la diagonale principale.

Exemple

La tâche. Calculer le déterminant $ \ Delta = \ left | \ begin (tableau) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ end (array) \ right | $ en le rendant triangulaire.

Décision. Tout d'abord, nous faisons des zéros dans la première colonne sous la diagonale principale. Toutes les conversions seront plus faciles si l'élément $ a_ (11) $ est égal à 1. Pour ce faire, nous allons permuter les première et deuxième colonnes du déterminant, ce qui, selon les propriétés du déterminant, le fera changer son signe contraire :

$$ \ Delta = \ gauche | \ begin (tableau) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ fin (tableau) \ droite | = - \ gauche | \ begin (tableau) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3) \ fin (tableau) \ droite | $$

$$ \ Delta = - \ gauche | \ begin (tableau) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ fin (tableau) \ droite | $$

Ensuite, nous obtenons des zéros dans la deuxième colonne à la place des éléments sous la diagonale principale. Encore une fois, si l'élément diagonal est égal à $ \ pm 1 $, alors les calculs seront plus faciles. Pour ce faire, nous échangeons les deuxième et troisième lignes (et en même temps passons au signe opposé du déterminant):

$$ \ Delta = \ gauche | \ begin (tableau) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ fin (tableau) \ droite | $$