Apporter à une forme étamée avec la solution. Couper la matrice sur une forme étamée. Transformations de lignes et de colonnes élémentaires. Critère de la dépendance linéaire des vecteurs

Pour amener la matrice à un type étage (Fig. 1.4), vous devez effectuer les étapes suivantes.

1. Dans la première colonne, sélectionnez un élément autre que zéro ( Élément principal ). Une chaîne avec un élément de premier plan ( chaîne principale ) Si ce n'est pas le premier, de réorganiser la première ligne (Type de conversion I). S'il n'y a pas de maître dans la première colonne (tous les éléments sont zéro), nous excluons cette colonne et continuons à rechercher l'élément principal dans le reste de la matrice. La conversion se termine si toutes les colonnes sont exclues ou dans la partie restante de la matrice tous les éléments zéro.

2. Divisez tous les éléments de la chaîne d'accueil à l'élément principal (transformation de type II). Si la dernière ligne est celle-ci, alors sur cette transformation devrait être terminée.

3. À chaque rangée située sous la plomb, ajoutez une ligne de pointe multipliée par un tel nombre, respectivement, de sorte que les éléments qui se tiennent sous le plomb sont égaux à zéro (transformation de type III).

4. En éliminant la ligne et la colonne de la considération, sur l'intersection de laquelle est l'élément leader, passez à la clause 1, dans laquelle toutes les actions décrites sont appliquées au reste de la matrice.

7. Le théorème porte sur la rangée d'une rangée d'une rangée d'éléments élémentaires.

Le théorème de définition des éléments d'une chaîne ou d'une colonne vous permet de réduire le calcul du déterminant - ordre () de calculer les déterminants de la procédure .

Si le déterminant a des éléments égaux zéro, le plus pratique de décomposer le déterminant des éléments de la rangée ou de la colonne contenant le plus grand nombre de zéros.

En utilisant les propriétés des déterminants, vous pouvez convertir le déterminant - l'ordre afin que tous les éléments de certaines lignes ou colonnes, sauf un, deviennent égaux à zéro. Ainsi, le calcul du déterminant - ordre, s'il est différent de zéro, sera réduit au calcul d'un déterminant - ordre.

Tâche 3.1.Calculer le déterminant

Décision. Ajouter la première ligne d'abord, au troisième - le premier, multiplié par 2, au quatrième - le premier, multiplié par -5, nous obtenons

Décomposer le déterminant pour les éléments de la première colonne, nous avons

Dans le déterminant résultant de la 3ème commande, nous nous transformons en zéro tous les éléments de la première colonne, à l'exception du premier. Pour ce faire, la deuxième ligne ajoutera le premier, multiplié par (-1), au troisième, multipliée par 5, ajoutez le premier, multiplié par 8. Étant donné que la troisième ligne a été multipliée par 5, puis (pour le déterminant de ne pas changer) pour la multiplier. Avoir

Le déterminant résultant sera décomposé sur les éléments de la première colonne:

8. Théorème de laplace (1). Théorème sur Stranki Dopname (2)

1) Identifie la détermination des éléments de toute ligne sur leur iaalgebray.

2) Le résumé des éléments du déterminant des suppléments algébriques des éléments correspondants de l'autre ligne est de zéro (le théorème de multiplication sur les suppléments algébriques d'autres personnes).

9. Vecteur arithmétique chéri.

Tout point de l'avion sous le système de coordonnées sélectionné est donné par une paire (α, β) de ses coordonnées; Les chiffres α et β peuvent également être compris comme les coordonnées du rayon-vector avec la fin à ce stade. De même, dans l'espace de troïka (α, β, γ) détermine le point ou le vecteur avec les coordonnées α, β, γ. Ceci est basé sur un lecteur bien connu l'interprétation géométrique des systèmes d'équations linéaires avec deux ou trois inconnues. Donc, dans le cas d'un système de deux équations linéaires avec deux inconnus

un 1 x + B 1 Y \u003d C 1,

a 2 x + b 2 y \u003d C 2

chacune des équations est interprétée comme droite sur le plan (voir figure 26), et la solution (α, β) est comme un point d'intersection de ceux-ci directs ou comme vecteur avec les coordonnées d'air (la figure correspond au boîtier lorsque Le système a une solution unique).

Figure. 26.

De même, vous pouvez vous inscrire au système d'équations linéaires avec trois inconnus, interprétant chaque équation comme équation du plan dans l'espace.

En mathématiques et diverses applications (en particulier, dans la théorie du codage), il est nécessaire de traiter des systèmes d'équations linéaires contenant plus de trois inconnus. Le système d'équations linéaires avec N inconnu X 1, X 2, ..., X N s'appelle un ensemble d'équations de l'espèce

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + et 1n x n \u003d b 1,

a 21 x 1 + A 22 x 2 + ... + A 2N x N \u003d B 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

et m1 x 1 + et m2 x 2 + ... + et mn x n \u003d b m,

où un IJ et B, je suis des nombres valides arbitraires. Le nombre d'équations dans le système peut être n'importe qui et n'est pas associé au nombre d'inconnus. Les coefficients de Inconnu et IJ ont une double numérotation: le premier index I indique le numéro de l'équation, le deuxième indice J est le numéro de l'inconnu, qui coûte ce coefficient. Toute solution du système est comprise comme un ensemble (valide) des valeurs d'inconnu (α 1, α 2, ..., α n), dynamisant chaque équation dans l'égalité fidèle.

Bien que l'interprétation géométrique directe du système (1) à N\u003e 3 n'est plus possible, mais il est tout à fait possible et de nombreuses manières qu'il est pratique de s'étendre à une langue géométrique arbitraire de l'espace de deux ou trois dimensions. Cet objectif et servir des définitions supplémentaires.

Tout ensemble commandé de n nombres valides (α 1, α 2, ..., α n) est appelé vecteur arithmétique n-dimensionnel, et les nombres α 1, α 2, ..., α n coordonnées de ce vecteur.

Pour la désignation des vecteurs, il est utilisé, en règle générale, audacieux et pour le vecteur A avec les coordonnées α 1, α 2, ..., α n est préservée forme ordinaire Enregistrements:

a \u003d (α 1, α 2, ..., α n).

Par analogie avec un plan conventionnel, l'ensemble de tous les vecteurs n-dimensions qui satisfont à l'équation linéaire avec N inconnu sont appelés l'hyperplan dans l'espace n-dimensionnel. Avec cette définition, l'ensemble de toutes les solutions du système (1) n'est rien que l'intersection de plusieurs hyperplanes.

L'ajout et la multiplication des vecteurs N-dimensionnels sont déterminés par les mêmes règles que pour les vecteurs classiques. Nommément si

a \u003d (α 1, α 2, ..., α n), B \u003d (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Deux vecteur n-dimensionnel, alors leur somme est appelée vecteur

α + β \u003d (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

Le produit du vecteur et le nombre λ est appelé vecteur

λа \u003d (λα 1, λα 2, ..., λα n). (quatre)

L'ensemble de tous les vecteurs arithmétiques n-dimensionnels avec les opérations de l'ajout de vecteurs et la multiplication du vecteur est appelé un espace vectoriel arithmétique N-dimensionnel L n.

L'utilisation des opérations entrées, il est possible d'envisager des combinaisons linéaires arbitraires de plusieurs vecteurs, c'est-à-dire l'expression

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

où λ i est des nombres valides. Par exemple, une combinaison linéaire de vecteurs (2) avec des coefficients λ et μ est un vecteur

λа + μB \u003d (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ N).

Dans l'espace tridimensionnel des vecteurs, le sommet des vecteurs I, J, K (coordonnées orthopes) joue un rôle particulier, qui est décomposé par n'importe quel vecteur A:

a \u003d XI + YJ + ZK,

où x, y, z sont des nombres valides (les coordonnées du vecteur a).

Dans l'affaire N-dimensionnelle, les vecteurs suivants jouent le même rôle:

e 1 \u003d (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 \u003d (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 \u003d (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n \u003d (0, 0, 0, ..., 1).

Chaque vecteur A est, évidemment, une combinaison linéaire de vecteurs E 1, E 2, ..., E N:

a \u003d A 1 E 1 + A 2 E 2 + ... + A N E N, (6)

de plus, les coefficients α 1, α 2, ..., α n coïncident avec les coordonnées du vecteur a.

Note par 0 vecteur, toutes les coordonnées sont zéro (brièvement, zéro vecteur), nous introduisons la définition importante suivante:

Le système de vecteurs a 1, et 2, et k s'appelle linéairement dépendant de manière linéaire, s'il y a une combinaison linéaire égale à zéro vecteur

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k a k \u003d 0,

dans lequel au moins un des coefficients H 1, λ 2, ..., λ k est différent de zéro. Sinon, le système s'appelle linéairement indépendant.

Donc, vecteurs

a 1 \u003d (1, 0, 1, 1), A 2 \u003d (1, 2, 1, 1) et 3 \u003d (2, 2, 2, 2)

dépendant linéairement parce que

a 1 + A 2 - A 3 \u003d 0.

La dépendance linéaire, comme on peut le voir à partir de la définition, est équivalente (à K ≥ 2) au fait qu'au moins l'un des vecteurs du système est une combinaison linéaire du reste.

Si le système se compose de deux vecteurs a 1, a 2, alors la dépendance linéaire du système signifie que l'un des vecteurs est proportionnel à un autre, disons et 1 \u003d λa 2; Dans un cas tridimensionnel, il équivaut à la colinéarité des vecteurs A 1 et A 2. De même, la dépendance linéaire du système I de trois vecteurs dans l'espace conventionnel signifie la compatition de ces vecteurs. Concept dépendance linéaire C'est donc la généralisation naturelle des concepts de colinéarité et de comparaison.

Il est facile de vous assurer que les vecteurs E 1, E 2, ..., E N du système (5) sont indépendants linéairement. Par conséquent, il existe des systèmes de n vecteurs indépendants linéaires dans l'espace N-dimensionnel. Il peut être montré que tout système de plus grand nombre de vecteurs dépend de linéairement.

Tout système A 1, A 2, ... et N des vecteurs indépendants linéairement de l'espace N-dimensionnel L n s'appelle sa base.

Tout vecteur et les espaces l n se dévoile, et de plus, par le vecteur d'une base arbitraire a 1, et 2, ... et n:

a \u003d λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ n a n.

Ce fait est facilement établi en fonction de la définition de la base.

Continuant une analogie avec un espace tridimensionnel, il est possible dans le boîtier N-dimensionnel de déterminer le produit scalaire A · B de vecteurs, croyant

a · B \u003d α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

Avec cette définition, toutes les propriétés de base du produit scalaire des vecteurs tridimensionnels sont préservées. Les vecteurs A et B sont appelés orthogonaux si leur produit scalaire est zéro:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n \u003d 0.

Dans la théorie des codes linéaires, un autre concept important est utilisé - le concept de sous-espace. Le sous-ensemble de V espace l n est appelé le sous-espace de cet espace si

1) Pour tous les vecteurs A, B, appartenant à V, leur somme A + B appartient également à V;

2) Pour tout vecteur A, appartenant à V, et pour tout nombre réel λ, le vecteur λa appartient également à V.

Par exemple, l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs E 1, E 2 du système (5) sera un sous-espace de l'espace l n.

Dans une algèbre linéaire, il est prouvé que, dans chaque sous-espace V, il y a un système de vecteurs aussi indépendant de manière linéaire A 1, a 2, ..., un K, que chaque vecteur et chaque sous-espace est une combinaison linéaire de ces vecteurs:

a \u003d λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k a k.

Le système spécifié des vecteurs est appelé base du sous-espace V.

À partir de la définition de l'espace et de la sous-espace suit immédiatement que l'espace L N est le groupe de commutation par rapport à la formation de vecteurs, et l'une de ses sous-espaces V est un sous-groupe de ce groupe. En ce sens, il est possible, par exemple, de considérer les classes adjacentes d'espace L n par sous-espace V.

En conclusion, nous soulignons que si dans la théorie de l'espace arithmétique N-dimensionnel au lieu de nombres valides (c.-à-d. Les éléments du champ des nombres valides) considèrent les éléments d'un champ arbitraire F, puis toutes les définitions et les faits donnés ci-dessus aurait retenu la force.

Dans la théorie de codage, un rôle important joue le cas lorsque le champ F champ de déduction Z P, qui, comme nous le savons, bien sûr. Dans ce cas, l'espace N-dimensionnel correspondant contient également, car il n'est pas difficile de voir, P N éléments.

Le concept d'espace, ainsi que le concept d'un groupe et de bagues, permet également une définition axiomatique. Pour plus de détails, nous envoyons le chargeur à n'importe quel cours d'algèbre linéaire.

10. Lynіin Combatiaya. Vecteur système d'inepless lynіino zarezhnі tu.

Dans ce sujet, considérez le concept de la matrice, ainsi que des types de matrices. Comme il y a beaucoup de termes dans ce sujet, j'ajouterai résuméPour naviguer dans le matériau, il était plus facile.

Définition de la matrice et de son élément. Désignations.

La matrice - Il s'agit d'une table de 1 $ M $ Rows et de colonnes $ N $. Les objets de la matrice peuvent être des objets de nature complètement variée: nombres, variables ou, par exemple, d'autres matrices. Par exemple, la matrice $ \\ Gauche (\\ Begn (Begin (Tray) (CC) 5 et 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ extrémité (tableau) \\ droite) $ contient 3 lignes et 2 colonnes; Ses éléments sont des entiers. Matrice $ \\ Gauche (\\ Begin (Array) (CCCC) A & A ^ 9 + 2 & 9 & SIN X \\\\ -9 & 3T ^ 2-4 & UT & 8 \\ fin (tableau) \\ Right) $ Contient 2 lignes et 4 colonnes.

Différentes façons d'enregistrer des matrices: montrer / masquer

La matrice peut être enregistrée non seulement au tour, mais également de crochets carrés ou directs. Vous trouverez ci-dessous la même matrice sous diverses forme d'enregistrement:

$$ \\ Gauche (\\ commencements (tableau) (cc) 5 et 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ fin (tableau) \\ à droite); \\; \\; \\ Gauche [\\ Begin (Array) (CC) 5 et 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ fin (tableau) \\ droite]; \\; \\; \\ Gauche \\ Vert \\ Begin (Array) (CC) 5 et 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ End (tableau) \\ Right \\ Vert $$

Le produit $ m \\ fois n $ est appelé la taille de la matrice. Par exemple, si la matrice contient 5 lignes et 3 colonnes, alors ils disent sur la matrice de la taille de 5 $ \\ fois 3 $. Matrice $ \\ Gauche (\\ Begin (tableau) (CC) 5 et 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ fin (tableau) \\ droite) $ a une taille de 3 \\ fois $ 2.

Typiquement, les matrices sont désignées par les grandes lettres de l'alphabet latin: $ A $, $ B $, $ C $ et ainsi de suite. Par exemple, $ B \u003d \\ Gauche (\\ Begin (tableau) (CCC) 5 et 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ fin (tableau) \\ droite) $. La numérotation des chaînes est surmontée; Colonnes - de gauche à droite. Par exemple, la première ligne de la matrice $ B $ contient des éléments 5 et 3, et la deuxième colonne contient des éléments 3, -87, 0.

Les éléments des matrices sont généralement désignés par de petites lettres. Par exemple, les éléments de la matrice $ A $ A sont notés $ A_ (IJ) $. Dual Index $ iJ $ contient des informations sur la position de l'élément dans la matrice. Le nombre de $ I $ est le numéro de la ligne et le numéro $ J $ est le numéro de la colonne, sur l'intersection de laquelle il existe un élément $ A_ (IJ) $. Par exemple, à l'intersection de la deuxième ligne et la cinquième colonne de la matrice $ A \u003d \\ Gauche (\\ Begin (Treat) (CCCCCC) 51 & 37 et -9 & 0 & 9 & 97 \\\\ 1 & 2 et 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -5 \\\\ 52 et -8 & -5 \\\\ 52 & 31 &--4 &--1 & 17 & 90 \\ fin (tableau) \\ droite) $ Situé $ A_ (25) \u003d 59 $:

De la même manière, à l'intersection de la première ligne et la première colonne, nous avons un élément $ A_ (11) \u003d 51 $; À l'intersection de la troisième rangée et de la deuxième colonne - l'élément $ A_ (32) \u003d 15 $ et ainsi de suite. Je note que le record $ a_ (32) $ est lu comme "et trois deux", mais pas "et trente deux".

Pour la désignation abrégée de la matrice $ A $, la taille est de $ m \\ fois N $, est utilisée pour enregistrer $ a_ (m \\ times n) $. Il est souvent utilisé et un tel enregistrement:

$$ a_ (m \\ fois (n)) \u003d (a_ (ij)) $$

Ici $ (a_ (ij)) $ Indique la désignation des éléments de la matrice $ A $, c'est-à-dire Il suggère que les éléments de la matrice $ A $ A sont appelés $ A_ (IJ) $. Dans la forme de déploiement de la matrice $ a_ (m \\ fois n) \u003d (a_ (ij)) $ peut être écrit comme suit:

$$ a_ (m \\ fois n) \u003d \\ Gauche (\\ begin (tableau) (CCCC) a_ (11) & a_ (12) \\ ldots & a_ (1n) \\\\ a_ (21) & a_ (22) & \\ Ldots & a_ (2n) \\\\ \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ a_ (m1) & \\ ldots & a_ (mn) \\ fin (tableau) \\ droite) $$

Nous introduisons un autre terme - matrices égales.

Deux matrices de la même taille $ a_ (m \\ fois n) \u003d (a_ (ij)) $ et $ b_ (m \\ fois n) \u003d (b_ (ij)) $ appelé égalSi leurs éléments respectifs sont égaux, c'est-à-dire $ A_ (ij) \u003d b_ (ij) $ pour tous $ i \u003d \\ \\ Overline (1, m) $ et $ j \u003d \\ Overline (1, n) $.

Explication du record $ i \u003d \\ Overline (1, M) $: Afficher / masquer

Enregistrement "$ i \u003d \\ Overline (1, m) $" signifie que le paramètre $ i $ varie de 1 à m. Par exemple, l'enregistrement $ i \u003d \\ Overline (1.5) $ indique que le paramètre $ i $ prend des valeurs 1, 2, 3, 4, 5.

Ainsi, pour l'égalité des matrices, l'exécution de deux conditions est requise: coïncidence de la taille et de l'égalité des éléments correspondants. Par exemple, la matrice $ A \u003d \\ Gauche (\\ commencements (tableau) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ extrémité (tableau) \\ droite) $ n'est pas égal à la matrice $ B \u003d \\ Gauche (\\ commencements (tableau) (cc) 8 et -9 \\\\ 0 & -87 \\ end (matrice) \\ droite) $ parce que la matrice $ A $ a une taille de 3 \\ fois $ 2, et le $ B $ matrice taille est de 2 \\ fois $ 2. En outre, la matrice $ A $ n'est pas égale à la matrice $ C \u003d \\ Gauche (\\ Begin (Begin (CC) 5 et 3 \\\\ 98 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ fin (tableau) \\ droite ) $, depuis $ A_ (21) \\ neq c_ (21) $ (c'est-à-dire $ 0 \\ NEQ 98 $). Mais pour la matrice $ f \u003d \\ goned (\\ commencements (tableau) (cc) 5 et 3 \\ ed (tableau) \\ droite) $ peut brûler hardiment $ A \u003d F $ depuis et dimensions et les éléments correspondants des matrices $ un $ et $ f $ coïncident.

Exemple №1

Déterminez la taille de la matrice $ A \u003d \\ Gauche (\\ Begin (TRAY) (CCC) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 et -8 \\\\ -6 & 8 et 23 \\\\ 11 & -12 & -5 \\ \\ 4 & 0 & -10 \\ fin (tableau) \\ à droite) $. Indiquez ce qui est égal aux éléments $ a_ (12) $, $ a_ (33) $, $ a_ (43) $.

Cette matrice contient 5 lignes et 3 colonnes, de sorte que la taille de ses 5 \\ fois $ 3 $. Pour cette matrice, vous pouvez également utiliser la désignation $ A_ (5 \\ fois 3) $.

Un élément $ A_ (12) $ est à l'intersection de la première ligne et de la deuxième colonne, donc $ a_ (12) \u003d 2 $. Un élément $ A_ (33) $ est à l'intersection de la troisième ligne et de la troisième colonne, donc $ a_ (33) \u003d 23 $. L'élément $ a_ (43) $ est à l'intersection de la quatrième ligne et de la troisième colonne, donc $ a_ (43) \u003d 5 $.

Répondre: $ A_ (12) \u003d - 2 $, $ a_ (33) \u003d 23 $, $ a_ (43) \u003d $ 5.

Types de matrices en fonction de leur taille. La maison et la diagonale latérale. Marque matricielle.

Laissez une certaine matrice de $ a_ (m \\ fois n) $. Si $ m \u003d 1 $ (la matrice est constituée d'une ligne), la matrice spécifiée est appelée. chaîne matricielle. Si $ n \u003d 1 $ (la matrice se compose d'une colonne), une telle matrice est appelée matrice-colonne. Par exemple, $ \\ Gauche (\\ commencements (tableau) (CCCCC) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \\ extrémité (tableau) \\ droite) $ - matrice-string et $ \\ Gauche (\\ Begin (tableau) ) (C) -1 \\\\ 5 \\\\ 6 \\ extrémité (tableau) \\ droite) $ - matrice de colonne.

Si la matrice $ A_ (m \\ times n) $ est correcte sur la condition $ M \\ NE $ (c'est-à-dire que le nombre de lignes n'est pas égal au nombre de colonnes), on dit souvent que $ a $ a matrice rectangulaire. Par exemple, la matrice $ \\ Gauche (\\ Begn (Begin (Treat) (CCCC) -1 & -2 & 0 & 9 \\\\ 5 & 9 & 5 et 1 \\ fin (tableau) \\ droite) $ a une taille $ 2 \\ \\ \\ Fois 4 $ celles-ci. Contient 2 lignes et 4 colonnes. Étant donné que le nombre de lignes n'est pas égal au nombre de colonnes, cette matrice est rectangulaire.

Si pour la matrice $ a_ (m \\ times n) $, la condition est $ M \u003d N $ (c'est-à-dire que le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes), puis dit que $ a $ est une matrice carrée de environ $ n $. Par exemple, $ \\ Gauche (\\ Begin (tableau) (CC) -1 & -2 \\\\\\ 5 & 9 \\ fin (tableau) \\ droite) $ est une matrice carrée de second ordre; $ \\ Gauche (\\ Begin (Array) (CCC) -1 & -2 & 9 \\\\ 5 & 9 & 8 \\\\ 1 & 0 & 4 \\ fin (Array) \\ Right) $ est une matrice carrée troisième ordre. En général, la matrice carrée $ a_ (n \\ times n) $ peut être enregistrée comme ceci:

$$ a_ (n \\ fois n) \u003d \\ Gauche (\\ commencements (tableau) (CCCC) a_ (11) & a_ (12) \\ ldots & a_ (1n) \\\\ a_ (21) & a_ (22) & \\ LDOTS & A_ (2N) \\\\ \\ LDOTS & \\ LDOTS & \\ LDOTS & \\ LDOT \\\\ A_ (N2) & \\ Ldots & a_ (NN) \\ End (tableau) \\ Right) $$

On dit que les éléments $ $ A_ (11) $, $ a_ (22) $, $ \\ ldots $, $ a_ (nn) $ sont sur diagonale principale Matrice $ a_ (n \\ fois n) $. Ces éléments sont appelés les principaux éléments diagonaux (ou simplement des éléments diagonaux). Éléments $ a_ (1n) $, $ a_ (2 \\; n-1) $, $ \\ ldots $, $ a_ (n1) $ est sur side (secondaire) diagonale; ils s'appellent Éléments de diagonale. Par exemple, pour la matrice $ C \u003d \\ Gauche (\\ Begn (Begin (Array) (CCCC) 2 & 9 & 9 & 9 & 1 \\\\ 5 & 9 & 8 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4 & 6 \\ fin (tableau) \\ Droite) $ Nous avons:

Éléments $ c_ (11) \u003d 2 $, $ c_ (22) \u003d 9 $, $ c_ (33) \u003d 4 $, $ c_ (44) \u003d 6 $ sont les principaux éléments diagonaux; Éléments $ $ C_ (14) \u003d 1 $, $ C_ (23) \u003d 8 $, $ C_ (32) \u003d 0 $, $ C_ (41) \u003d - éléments diagonaux latéraux de 4 $.

La somme des éléments diagonaux principaux est appelée suivre la matrice et désigne $ \\ tr a $ (ou $ \\ sp a $):

$$ \\ tr A \u003d a_ (11) + a_ (22) + \\ ldots + a_ (nn) $$

Par exemple, pour la matrice $ C \u003d \\ Gauche (\\ Begn (Tree) (CCCC) 2 & -2 & 9 & 9 & 1 \\\\ 5 & 9 & 8 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4 & -7 \\\\ - 4 & 4 et -9 & 5 & 6 \\ fin (tableau) \\ Right) $ Nous avons:

$$ \\ tr c \u003d 2 + 9 + 4 + 6 \u003d 21. $$.

Le concept d'éléments diagonaux est également utilisé pour les matrices non commerciales. Par exemple, pour la matrice $ B \u003d \\ Gauche (\\ Begin (Array) (CCCCC) 2 & -2 & 9 & 9 & 1 & 7 \\\\ 5 & -9 & 0 & 4 & - 6 \\\\ 1 & 0 & 4 & - 7 &--6 \\ fin (tableau) \\ droite) $ Les éléments diagonaux principaux seront $ b_ (11) \u003d 2 $, $ b_ (22) \u003d - 9 $, $ b_ (33) \u003d 4 $.

Types de matrices en fonction des valeurs de leurs éléments.

Si tous les éléments de la matrice $ a_ (m \\ times n) $ sont zéro, une telle matrice est appelée nul Et il est généralement noté par la lettre $ O $. Par exemple, $ \\ Gauche (\\ begin (tableau) (cc) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ extrémité (tableau) \\ droite) $, $ \\ Gauche (\\ begin (tableau) (CCC) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ ed (tableau) \\ droite) $ - zéro matrices.

Considérons une chaîne non nulle de la matrice $ A $, c'est-à-dire Une telle chaîne dans laquelle il y a au moins un élément autre que zéro. Élément principal La ligne non nulle l'appellera d'abord (compter de gauche à droite) un élément non nul. Par exemple, envisagez une telle matrice:

$$ W \u003d \\ Gauche (\\ Begin (Array) (CCCC) 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ ED (tableau) \\ Right) $ $

Dans la deuxième ligne, la tête sera le quatrième élément, c'est-à-dire $ w_ (24) \u003d 12 $ et dans la troisième ligne, le maître sera le deuxième élément, c'est-à-dire $ w_ (32) \u003d - 9 $.

Matrice $ a_ (m \\ fois n) \u003d \\ gauche (a_ (ij) \\ droite) $ appelé la vitesseSi cela satisfait deux conditions:

Les lignes zéro, le cas échéant, sont situées en dessous de toutes les lignes non nulles.
Les numéros des éléments de pointe des lignes non nulles forment une séquence strictement croissante, c'est-à-dire Si $ A_ (1k_1) $, $ a_ (2k_2) $, ..., $ a_ (rk_r) $ - les éléments de pointe des lignes non nulles de la matrice $ A $, puis $ k_1 \\ lt (k_2) \\ l \\ ldots \\ lt (k_r) $.

Exemples de matrices étamées:

$$ \\ Gauche (\\ Begin (Array) (CCCCCC) 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 et 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ fin (tableau) \\ à droite); \\; \\ Gauche (\\ Begin (Array) (CCCC) 5 et -2 & 2 & -8 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ ED (tableau) \\ Right). $$.

Pour comparaison: matrice $ q \u003d \\ Gauche (\\ begin (tableau) (CCCCC) 2 & -2 & 0 & 1 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 10 & 10 & 6 \\ fin (tableau) \\ Right) $ N'a pas piété, car la deuxième condition est cassée dans la détermination de la matrice étagère. Les éléments principaux des deuxième et troisième lignes $ q_ (24) \u003d 7 $ et $ q_ (32) \u003d 10 $ ont des chiffres $ k_2 \u003d $ 4 et $ k_3 \u003d $ 2. Pour une matrice étage, la condition $ K_2 \\ lt (k_3) $ doit être effectuée, ce qui est altéré dans ce cas. Je note que si vous modifiez les deuxième et troisième lignes dans des endroits, nous obtiendrons une matrice étage: $ \\ Gauche (\\ Begin (Treat) (CCCCC) 2 & -5 & 0 & 1 & 9 \\\\ 0 & -5 & 0 & 10 \\\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \\ fin (tableau) \\ Right) $.

Une matrice étagée est appelée trapézoïdal ou alors trapézoïdalSi pour les éléments de premier plan $ a_ (1k_1) $, $ a_ (2k_2) $, ..., $ a_ (rk_r) $ conditions de $ k_1 \u003d 1 $, $ k_2 \u003d 2 $, ..., $ k_r \u003d R $, c'est-à-dire Les éléments diagonaux sont en tête. En général, la matrice trapézoïdale peut être écrite comme suit:

$$ A_ (m \\ fois (n)) \u003d \\ Gauche (\\ Begin (tableau) (CCCCCC) A_ (11) & a_ (12) \\ Ldots & A_ (1R) & \\ Ldots & A_ (1N) \\\\ 0 & a_ (22) & \\ ldots & a_ (2R) \\ ldots & a_ (2n) \\\\\\ \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ 0 & 0 & \\ ldots & a_ ( RR) \\ LDOTS & A_ (RN) \\\\ 0 & 0 & 0 \\ LDOTS & 0 & 0 & 0 \\ LDOTS & \\ LDOTS & \\ LDOTS & \\ LDOTS & \\ LDOTS & \\ LDOTS & \\ LDOTS & \\ LDOT \\\\ 0 & 0 \\ ldots & 0 & \\ ldots & 0 \\ fin (tableau) \\ Right) $$

Exemples de matrices trapézoïdales:

$$ \\ Gauche (\\ Begin (Begin (Array) 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & à -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ fin (tableau) \\ à droite); \\; \\ Gauche (\\ Begin (Array) (CCCC) 5 et -2 & 2 & -8 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ ED (tableau) \\ Right). $$.

Donnons quelques autres définitions pour les matrices carrées. Si tous les articles matrice Carréesitué sous la diagonale principale sont zéro, une telle matrice est appelée. matrice supérieure triangulaire. Par exemple, $ \\ Gauche (\\ Begin (Array) (CCCC) 2 & -2 & 9 & 1 \\\\ 0 & 9 & 8 & 8 & 0 \\\\ 0 & 0 & 4 & 6 \\\\ 0 & 0 & 6 \\ fin (Array) \\ Right) $ - Matrice triangulaire supérieure. Notez que dans la définition de la matrice supérieure triangulaire, rien n'est dit sur les valeurs des éléments situés au-dessus de la diagonale principale ou sur la diagonale principale. Ils peuvent être zéro ou non, est insignifiant. Par exemple, $ \\ Gauche (\\ begin (tableau) (CCC) 0 & 0 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ fin (matrice) \\ droite) $ est également une matrice triangulaire supérieure.

Si tous les éléments de la matrice carrée, situés au-dessus de la diagonale principale, sont nuls, alors une telle matrice est appelée matrice triangulaire inférieure. Par exemple, $ \\ Gauche (\\ Begin (Array) (CCCC) 3 & 0 & 0 & 0 \\\\ -5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 8 & 2 & 1 & 0 \\\\ 5 & 4 & 0 & 6 \\ Fin (tableau) \\ droite) $ - matrice triangulaire inférieure. Notez que, dans la définition de la matrice triangulaire inférieure, rien n'est dit sur les valeurs des éléments situés sous ou sur la diagonale principale. Ils peuvent être zéro ou non, peu importe. Par exemple, $ \\ Gauche (\\ begin (tableau) (CCC) -5 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 9 \\ extrémité (tableau) \\ à droite) $ et $ \\ GAUCHE (\\ Begin (Array) (CCC) 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\ Fin (Array) \\ Right) $ - Aussi les matrices triangulaires inférieures.

La matrice carrée est appelée diagonaleSi tous les éléments de cette matrice qui ne mentent pas sur la diagonale principale sont zéro. Exemple: $ \\ Gauche (\\ Begin (Array) (CCCC) 3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ fin (Array) \\ Right) $. Les éléments sur la diagonale principale peuvent être tout (égaux zéro ou non), est insignifiant.

La matrice diagonale est appelée seulSi tous les éléments de cette matrice situés sur la diagonale principale sont égaux à 1. Par exemple, $ \\ Gauche (\\ Begin (Treat) (CCCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ fin (tableau) \\ droite) $ est une matrice de quatrième ordre unique; $ \\ Gauche (\\ commencements (tableau) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ fin (tableau) \\ droite) $ est une matrice de seconde commande unique.

En juillet 2020, la NASA lance une expédition à Mars. Le vaisseau spatial livrera un support électronique à Mars avec les noms de tous les participants à l'expédition enregistrés.

L'enregistrement des participants est ouvert. Obtenez votre billet pour Mars sur ce lien.

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Une autre réveillon du Nouvel An ... Météo et flocons de neige glacés sur la fenêtre Verre ... Tout cela m'a incité à écrire à nouveau sur ... fractales et sur ce qu'il connaît à propos de ces tungshes alpha. À cette occasion, il existe un article intéressant dans lequel il existe des exemples de structures fractales bidimensionnelles. Nous examinerons ici des exemples plus complexes de fractales en trois dimensions.

La fractale peut être clairement imaginée (décrire), comme une forme géométrique ou un corps (à l'esprit que, dans ce cas, un ensemble de points), dont les détails ont la même forme que la figure originale elle-même. C'est-à-dire qu'il s'agit d'une structure autonome, compte tenu des détails dont une augmentation, nous verrons la même forme que sans augmenter. Alors que dans le cas d'une forme géométrique conventionnelle (non fractale), avec une augmentation, nous verrons les détails qui ont plus forme simpleque la figure originale elle-même. Par exemple, avec une augmentation suffisamment importante, la partie de l'ellipse ressemble à une ligne droite. Avec des fractales, cela ne se produit pas: avec toutes les augmentations, nous verrons à nouveau la même forme complexe, qui répétera encore et encore.

Benoit Mandelbrot (Benoit Mandelbrot), le fondateur de la science des fractals, dans ses fractales et art au nom de la science a écrit: "Les fractales sont des formes géométriques qui sont également complexes dans leurs détails, comme dans sa forme générale. C'est dans sa forme générale. C'est dans sa forme générale. Si une partie de la fractale sera augmentée à la taille de l'ensemble, elle ressemblera à un entier ou exactement, ou éventuellement, avec une petite déformation. "

Pour amener la matrice à un type étage (Fig. 1.4), vous devez effectuer les étapes suivantes.

1. Dans la première colonne, sélectionnez un élément autre que zéro ( Élément principal ). Une chaîne avec un élément de premier plan ( chaîne principale ) Si ce n'est pas le premier, de réorganiser la première ligne (Type de conversion I). S'il n'y a pas de maître dans la première colonne (tous les éléments sont zéro), nous excluons cette colonne et continuons à rechercher l'élément principal dans le reste de la matrice. La conversion se termine si toutes les colonnes sont exclues ou dans la partie restante de la matrice tous les éléments zéro.

Le théorème porte sur la rangée d'une rangée d'une rangée d'élément.

Le théorème de définition des éléments d'une chaîne ou d'une colonne vous permet de réduire le calcul du déterminant - ordre () de calculer les déterminants de la procédure .

Si le déterminant a des éléments égaux zéro, le plus pratique de décomposer le déterminant des éléments de la rangée ou de la colonne contenant le plus grand nombre de zéros.

Tâche 3.1.Calculer le déterminant

Décision.Ajouter la première ligne d'abord, au troisième - le premier, multiplié par 2, au quatrième - le premier, multiplié par -5, nous obtenons

Décomposer le déterminant pour les éléments de la première colonne, nous avons

Le déterminant résultant sera décomposé sur les éléments de la première colonne:

Théorème Laplace (1). Théorème sur Stranki Dopname (2)

1) Identifie la détermination des éléments de toute ligne sur leur iaalgebray.

un 1 x + B 1 Y \u003d C 1,

a 2 x + b 2 y \u003d C 2

Figure. 26.

De même, vous pouvez vous inscrire au système d'équations linéaires avec trois inconnus, interprétant chaque équation comme équation du plan dans l'espace.

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + et 1n x n \u003d b 1,

a 21 x 1 + A 22 x 2 + ... + A 2N x N \u003d B 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

et m1 x 1 + et m2 x 2 + ... + et mn x n \u003d b m,

Tout ensemble commandé de n nombres valides (α 1, α 2, ..., α n) est appelé vecteur arithmétique n-dimensionnel, et les nombres α 1, α 2, ..., α n coordonnées de ce vecteur.

Pour désigner des vecteurs, il est généralement audacieux et pour le vecteur A avec coordonnées α 1, α 2, ..., α n, une forme régulière d'enregistrement est enregistrée:

a \u003d (α 1, α 2, ..., α n).

L'ajout et la multiplication des vecteurs N-dimensionnels sont déterminés par les mêmes règles que pour les vecteurs classiques. Nommément si

a \u003d (α 1, α 2, ..., α n), B \u003d (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Deux vecteur n-dimensionnel, alors leur somme est appelée vecteur

α + β \u003d (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

Le produit du vecteur et le nombre λ est appelé vecteur

λа \u003d (λα 1, λα 2, ..., λα n). (quatre)

L'utilisation des opérations entrées, il est possible d'envisager des combinaisons linéaires arbitraires de plusieurs vecteurs, c'est-à-dire l'expression

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

où λ i est des nombres valides. Par exemple, une combinaison linéaire de vecteurs (2) avec des coefficients λ et μ est un vecteur

λа + μB \u003d (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ N).

Dans l'espace tridimensionnel des vecteurs, le sommet des vecteurs I, J, K (coordonnées orthopes) joue un rôle particulier, qui est décomposé par n'importe quel vecteur A:

a \u003d XI + YJ + ZK,

où x, y, z sont des nombres valides (les coordonnées du vecteur a).

Dans l'affaire N-dimensionnelle, les vecteurs suivants jouent le même rôle:

e 1 \u003d (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 \u003d (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 \u003d (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n \u003d (0, 0, 0, ..., 1).

Chaque vecteur A est, évidemment, une combinaison linéaire de vecteurs E 1, E 2, ..., E N:

a \u003d A 1 E 1 + A 2 E 2 + ... + A N E N, (6)

de plus, les coefficients α 1, α 2, ..., α n coïncident avec les coordonnées du vecteur a.

Note par 0 vecteur, toutes les coordonnées sont zéro (brièvement, zéro vecteur), nous introduisons la définition importante suivante:

Le système de vecteurs a 1, et 2, et k s'appelle linéairement dépendant de manière linéaire, s'il y a une combinaison linéaire égale à zéro vecteur

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k a k \u003d 0,

dans lequel au moins un des coefficients H 1, λ 2, ..., λ k est différent de zéro. Sinon, le système s'appelle linéairement indépendant.

Donc, vecteurs

a 1 \u003d (1, 0, 1, 1), A 2 \u003d (1, 2, 1, 1) et 3 \u003d (2, 2, 2, 2)

dépendant linéairement parce que

a 1 + A 2 - A 3 \u003d 0.

La dépendance linéaire, comme on peut le voir à partir de la définition, est équivalente (à K ≥ 2) au fait qu'au moins l'un des vecteurs du système est une combinaison linéaire du reste.

Si le système se compose de deux vecteurs a 1, a 2, alors la dépendance linéaire du système signifie que l'un des vecteurs est proportionnel à un autre, disons et 1 \u003d λa 2; Dans un cas tridimensionnel, il équivaut à la colinéarité des vecteurs A 1 et A 2. De même, la dépendance linéaire du système I de trois vecteurs dans l'espace conventionnel signifie la compatition de ces vecteurs. Le concept de dépendance linéaire est donc la généralisation naturelle des concepts de colinéarité et de compagnie.

Tout système A 1, A 2, ... et N des vecteurs indépendants linéairement de l'espace N-dimensionnel L n s'appelle sa base.

Tout vecteur et les espaces l n se dévoile, et de plus, par le vecteur d'une base arbitraire a 1, et 2, ... et n:

a \u003d λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ n a n.

Ce fait est facilement établi en fonction de la définition de la base.

Continuant une analogie avec un espace tridimensionnel, il est possible dans le boîtier N-dimensionnel de déterminer le produit scalaire A · B des vecteurs, croyant

a · B \u003d α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n \u003d 0.

Dans la théorie des codes linéaires, un autre concept important est utilisé - le concept de sous-espace. Le sous-ensemble de V espace l n est appelé le sous-espace de cet espace si

1) Pour tous les vecteurs A, B, appartenant à V, leur somme A + B appartient également à V;

2) Pour tout vecteur A, appartenant à V, et pour tout nombre réel λ, le vecteur λa appartient également à V.

Par exemple, l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs E 1, E 2 du système (5) sera un sous-espace de l'espace l n.

a \u003d λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k a k.

Le système spécifié des vecteurs est appelé base du sous-espace V.

Lynіin kombіnatsiya. Vecteur système d'inepless lynіino zarezhnі tu.

combinaison d'instabilité de vecteurs

Combinaison linéaire de vecteurs vecteur d'appel

où - Coefficients combinés linéaires. Si un la combinaison s'appelle triviale, si non triviale.

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs

Système linéairement dépendant

Système linéairement indépendant

Critère de la dépendance linéaire des vecteurs

Pour les vecteurs (r\u003e 1.) Il était dépendant linéairement, il est nécessaire et suffisant pour que au moins un de ces vecteurs soit une combinaison linéaire du reste.

La dimension de l'espace linéaire

Espace linéaire V.appelé n.- dimensionnel (a une dimension n.), si dedans:

1) existe n.vecteurs indépendants linéaires;

2) tout système n + 1.les vecteurs dépendent linéairement.

Désignation: n.\u003d faible V.;.

Le système de vecteurs est appelé linéairement dépendantsi existe nenulevaserti d'une combinaison linéaire

Le système de vecteurs est appelé linéairement indépendantsi de l'égalité zéro combinaison linéaire

il devrait être égal à zéro toutcoefficients

La question de la dépendance linéaire des vecteurs dans l'affaire général est réduite à la question de l'existence d'une solution non nulle dans un système homogène d'équations linéaires avec des coefficients égaux aux coordonnées correspondantes de ces vecteurs.

Afin de bien attribuer le concept de «dépendance linéaire», système de vecteurs «indépendance linéaire», il est utile de résoudre les tâches du type suivant:

Lynіin Zarezhnait.і іe critia à la fois.

Vecteurs du système il dépend ensuite linéairement et uniquement si l'un des vecteurs système est une combinaison linéaire des vecteurs restants de ce système.

Preuve. Laissez le système des vecteurs dépendent de manière linéaire des vecteurs. Ensuite, il y a un tel ensemble de coefficients que, avec au moins un coefficient diffère de zéro. Prétendons que. Puis

c'est-à-dire une combinaison linéaire des vecteurs de système restants.

Laissez l'un des vecteurs système être une combinaison linéaire des vecteurs restants. Supposons que c'est un vecteur, c'est-à-dire . Il est évident que . Il a été obtenu que la combinaison linéaire des vecteurs système est nulle et l'un des coefficients diffère de zéro (égal).

Phrase10 . 7 Si le système de vecteurs comprend un sous-système dépendant de manière linéaire, l'ensemble du système est linéairement dépendant.

Preuve.

Soit dans le système des vecteurs du sous-système , il est linéairement dépendant, c'est-à-dire et au moins un coefficient est différent de zéro. Puis faites une combinaison linéaire. De toute évidence, cette combinaison linéaire est nulle et qu'il n'ya pas de zéro parmi les coefficients.

Le système de base de vector_v, їїst les autorités.

La base du système de vecteurs non nulle est appelé équivalent au sous-système indépendant linéairement. Le système zéro de la base n'a pas.

Propriété 1:La base du système indépendant linéaire coïncide avec elle elle-même.

Exemple: Le système de vecteurs indépendants linéaires, car aucun des vecteurs ne peut être expiré linéairement à travers le reste.

Propriété 2: (base de critères)Le sous-système linéairement indépendant de ce système est sa base si et uniquement s'il est le plus indépendant linéairement.

Preuve:DANA SYSTEM Nécessité Laisser la base. Ensuite, par définition et, si, lorsque, le système est linéairement dépendant, car il est peut-être linéairement, d'où le plus indépendant de manière linéaire. AdéquationLaissez le sous-système indépendant le plus linéaire, alors où. Linéairement dépend de linéairement à travers la base du système.

Propriété 3: (propriété de base de base)Chaque vecteur système est donné via la base de données séparément.

PreuveLaissez le vecteur se dérouler dans la base de données de deux manières, puis: puis

Vecteur du système de rang.

Définition:Le rang du système non nul de vecteurs linéaires est appelé le nombre de vecteurs de sa base. Le rang du système zéro par définition est zéro.

Propriétés de classement:1) Le rang du système indépendant linéaire coïncide avec le nombre de ses vecteurs. 2) Le rang du système dépendant linéairement est inférieur au nombre de ses vecteurs. 3) Les rangs des systèmes équivalents coïncident -RankRank. 4) Le rang dans le système est inférieur ou égal au système de rang. 5) Si RankRank, alors la base totale. 6) Le rang du système ne change pas si le vecteur y est ajouté, qui est une combinaison linéaire des vecteurs restants du système. 7) Le rang du système ne change pas si le vecteur est retiré de celui-ci, qui est une combinaison linéaire d'autres vecteurs.

Pour trouver le système de vecteurs de rang, vous devez utiliser la méthode Gaussai pour apporter le système à une forme triangulaire ou trapézoïdale.

Ekwіvalent_ vecteur système.

Exemple:

Nous transformons les données du vecteur dans la matrice pour trouver la base. On a:

Maintenant, avec l'aide de la méthode Gauss, nous convertirons une matrice en forme trapézoïdale:

1) Dans notre matrice principale, nous nourrirons toute la première colonne, en plus de la première ligne du second, le premier multiplié par le troisième, le premier multiplié, et nous ne prendrons rien de la quatrième Depuis le premier élément de la quatrième ligne, c'est-à-dire que l'intersection de la première colonne et la quatrième ligne est nulle. Nous avons une matrice: 2) Maintenant, dans la matrice, changez les lignes 2, 3 et 4 à la simplicité de la solution, qui serait sur le site de l'élément. Je changerai la quatrième ligne pour mettre au lieu de la seconde, la seconde au lieu des troisième et troisième à la quatrième place. Nous avons une matrice: 3) Dans la matrice, vous annulez tous les éléments sous l'élément. Depuis à nouveau, l'élément de notre matre est zéro est zéro, nous ne prenons rien de la quatrième ligne et ajoute le troisième au troisième multiplié par. Nous avons une matrice: 4) Nous changeons à nouveau dans la matrice des ficelles 3 et 4 places. Nous avons une matrice: 5) Dans la matriarpetrybavim, la troisième ligne, multipliée par 5. Nous obtenons une matrice qui aura un look triangulaire:

Systèmes, leurs rangs coïncident en raison des propriétés de rang et leur rang est un rang de rang.

Remarques:1) Contrairement à la méthode traditionnelle Gauss, si tous les éléments sont divisés en un certain nombre de la chaîne matricielle, nous n'avons pas le droit de réduire la chaîne matricielle en vertu des propriétés de la matrice. Si nous voulons réduire la chaîne à un certain nombre, vous devrez couper la matrice entière à ce nombre. 2) Dans le cas où nous obtenons une chaîne de dépendance linéaire, nous pouvons l'enlever de notre matrice et remplacer à zéro chaîne. Exemple: Il est immédiatement constaté que la deuxième ligne est exprimée à travers la première, si la première est la première à 2. Dans le cas Thiag, nous pouvons remplacer toute la deuxième chaîne à zéro. On a: En conséquence, apportant une matrice ou à une forme triangulaire, ou à une forme trapézoïdale, où il n'a pas de vecteurs dépendantes linéairement, tous les vecteurs zéro de la matrice et seront la base de la matrice, mais leur nombre de rangs.

Ceci est également un exemple d'un système de vecteurs sous la forme d'un graphique: un système est donné où, et. La base de ce système sera évidemment un vecteur et, puisque les vecteurs sont exprimés à travers eux. Ce système sous forme graphique examinera:

Elehen part Shuttering. Systèmes de la forme linaire.

Matrice de conversion élémentaire - Ce sont de telles conversions de la matrice, à la suite de laquelle l'équivalence des matrices persiste. Ainsi, les transformations élémentaires ne modifient pas les solutions définies d'un système d'équations algébriques linéaires, que cette matrice représente.

Les transformations élémentaires sont utilisées dans la méthode Gauss pour amener la matrice à une forme triangulaire ou étagère.

Transformations de ligne élémentaire Appelé:

Dans certains cours de l'algèbre linéaire, les chaînes matricielles ne sont pas libérées dans une conversion élémentaire distincte due au fait que la permutation de deux lignes de la matrice peut être obtenue à l'aide de la multiplication de toute chaîne de la matrice à la constante et L'ajout d'une ligne différente multipliée par une constante à n'importe quelle chaîne de la matrice.

De la même manière déterminée transformations de colonne élémentaire.

Transformations élémentaires réversible.

La désignation indique que la matrice peut être obtenue à partir des transformations élémentaires (ou inversement).

Définition

La matrice carrée est appelée diagonaleSi tous ses éléments debout en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Commenter. Les éléments diagonaux de la matrice (c'est-à-dire des éléments debout sur la diagonale principale) peuvent également être zéro.

Exemple

Définition

Scalaire Une matrice diagonale est appelée, dans laquelle tous les éléments diagonaux sont égaux les uns aux autres.

Commenter. Si la matrice zéro est carrée, c'est aussi scalaire.

Exemple

Définition

Matrice unique Une matrice scalaire d'ordre est appelée, dont les éléments diagonaux sont égaux à 1.

Commenter. Pour réduire l'enregistrement, l'ordre d'une matrice unique ne peut pas être écrit, puis une matrice unique est simplement indiquée.

Exemple

- Matrice de commande secondaire unique.

2.10. Couper la matrice en diagonale

Matrice normale (en particulier symétrique) UNE. peut être amené au type diagonal par la conversion de la similitude -

UNE. = Tλt. −1

Ici Λ \u003d Diag (λ 1, ..., λ N.) est une matrice diagonale, dont les éléments sont les valeurs propres de la matrice UNE., mais T. - Ceci est une matrice composée de la matrice correspondante Eigenvets UNE.. T. = (v. 1 ,...,v. N.).

Par example,

Figure. 23 amener à la forme diagonale

Étape matrice

Définition

La vitesse Appelé une matrice qui satisfait aux conditions suivantes:

Définition

La vitesse Il s'appelle une matrice contenant des chaînes et dans lesquelles les premiers éléments diagonaux sont non nulles et les éléments sous-jacents à la diagonale principale et les éléments des dernières lignes sont nuls, c'est-à-dire une matrice de la forme:

Définition

L'élément principal Une certaine rangée de la matrice s'appelle son premier élément non nul.

Exemple

La tâche. Trouvez les principaux éléments de chaque ligne de la matrice

Décision. L'élément principal de la première ligne est le premier élément non nul de cette ligne, et donc - l'élément principal de la chaîne au numéro 1; De même, l'élément principal de la deuxième ligne.

Une autre définition d'une matrice étagée.

Définition

La matrice est appelée la vitesse, si un:

toutes ses lignes zéro sont debout après non nulle;

dans chaque ligne non zéro, à partir du second, son élément principal est à droite (dans une colonne avec un grand nombre) de l'élément principal de la ligne précédente.

Par définition aux matrices d'étape, nous attirerons une matrice nulle, ainsi qu'une matrice contenant une ligne.

Exemple

Exemples de matrices étamées:

, , , ,