Dépendance linéaire base la dimension de la base de la base. L'existence d'une base de vecteur complète le sous-espace de base à la base de l'espace entier

Définition. Le système d'éléments X ..., le HC de l'espace linéaire V est appelé linéairement dépendant de manière linéaire, s'il existe des chiffres A ", ..., OTQ, pas tous égaux zéro et de telle sorte que si l'égalité (1) n'est effectuée qu'à un ] \u003d ... \u003d aq \u003d 0, puis le système d'éléments XJ, ..., X9 est appelé linéairement indépendant. Juste les déclarations suivantes. Théorème 1. Le système d'éléments x \\ \\, ..., XQ (Q ^ 2) dépend linéairement de cela et que si au moins un de ses éléments peut être représenté comme une combinaison linéaire du reste. Supposons d'abord que le système d'éléments est X ..., XQ dépend linéairement. Nous examinerons la certitude que dans l'égalité (1) est différente de zéro coefficient A9. Transfert de tous les termes, à l'exception de ce dernier, au côté droit, après la division sur OTQ FO, nous obtenons cet élément X est une combinaison linéaire de XI, ..., XQ Éléments: le dos, si l'un des éléments est égal à La combinaison linéaire du reste, puis la transportant dans la partie gauche, nous obtenons une combinaison linéaire dans laquelle il existe différents coefficients (-1 F 0). Donc, le système d'élément XI, _____ xq dépendant linéairement. Théorème 2. Laissez le système d'éléments x |, ..., X9 est linéairement indépendant et y \u003d A \\ x \\ +. + AQXQ. Ensuite, l'ORI, ..., les coefficients AQ sont déterminés par l'élément du singulier. m laisse alors Dépendance linéaire Base la dimension de la base de la base de l'endroit. De indépendance linéaire ÉLÉMENTS X |, ..., XQ implique qu'un (et, cela signifie et théorème 3. Le système d'éléments contenant un sous-système dépendant de manière linéaire est linéairement dépendant. "Laissez les premiers éléments Q du système X ..., XQ , xg + l, ..., ht est dépendant linéairement. Ensuite, il existe une combinaison linéaire de ces éléments tels que tous les coefficients de ", ..., AQ sont zéro. Lors de l'ajout d'éléments, ..., HT avec zéro Les multiplicateurs, nous obtenons comme dans linéaire, la combinaison de RIS-5 n'est pas zéro pas tous les coefficients. Exemple. Les vecteurs de VJ dépendent linéairement si et uniquement s'ils sont compartiments (Fig. 5). Un système commandé d'éléments dans | .. ., E "L'espace linéaire V est appelé la base de ce linéaire. Espaces, si les éléments de |, ..., EP sont indépendants linéairement et que chaque élément de V peut être représenté comme une combinaison linéaire. Commande signifie ici que chaque élément est attribué un certain nombre (ordinal). à partir d'un système N éléments peut être construit P! Systèmes commandés. Exemple, ajoutez A.J - Troika de vecteurs non compensés de V J (fig. 6). Alors commandé trois sont des bases différentes, que ce soit C \u003d (B! ... EP) - La base de l'espace V. Puis pour tout élément X de V, il existe un ensemble de nombres ..., avec tel que celui qui est dû au théorème 2 ,. .. C - Les coordonnées de l'élément dans la base C sont définitivement définies. Voyons ce qui se passe avec les coordonnées des éléments dans la simplicité des tailles. Laissez-le être pour n'importe quel nombre et donc, lorsque les éléments sont ajoutés, leurs coordonnées correspondantes sont pliées et lorsque l'élément multipliant l'élément, toutes ses coordonnées sont multipliées par ce nombre. Les coordonnées sont primaires commodes pour enregistrer une colonne. Par exemple, p est une colonne d'élément de coordonnée de la base avec. Nous décomposons un système arbitraire d'éléments x |, ..., x, par base avec et considérons les colonnes de coordonnées des éléments x |, ..., X9 dans cette base: Théorème 4. Le système d'éléments x \\ \\ ,. .., XQ Linéairement selon alors et uniquement si le système de leurs colonnes de coordonnées dans une base est linéairement dépendant. * Laissez au moins un des coefficients A * diffère de zéro. Nous l'écrivons plus en détail d'ici, en raison de l'unicité de la décomposition de l'élément de base, il s'ensuit que la dépendance linéaire de la base de la base de la base de la base de la base, une combinaison linéaire de la Coordonner les colonnes d'éléments XT, ..., XQ est égale à une colonne zéro (avec les mêmes coefficients A |, ... mais?). Cela signifie que le système de colonne de coordonnées est linéairement dépendant. Si l'égalité (2) est effectuée, alors, en effectuant un raisonnement dans l'ordre inverse, nous obtenons une formule (1). Ainsi, l'appel à zéro est quelque peu non-trivial (au moins un des coefficients diffère de zéro) d'une combinaison linéaire d'éléments d'espace linéaire équivaut au fait qu'une combinaison linéaire non triviale de leurs colonnes de coordonnées (avec les mêmes coefficients) est égal à une colonne zéro. Théorème 5. Laissez la base de l'espace linéaire V consiste en n éléments. Ensuite, tout système d'éléments, où T\u003e P, dépendante linéairement. Ou aussi, aussi, * en vertu du théorème 3 suffisamment considéré comme étant suffisamment cités, que XJ, ..., HP + | - Les éléments arbitraires de l'espace V. répandent chaque élément sur la base et écrivent les coordonnées des éléments ........... sous la forme d'une matrice, réduisant ainsi la colonne des coordonnées de l'élément. Nous obtenons la matrice des lignes PI + 1 colonnes - Vu le fait que la bague de la matrice K ne dépasse pas le nombre de ses lignes, les colonnes de la matrice à (elles sont p + 1) dépendent de manière linéaire. Et comme ce sont ces colonnes de coordonnées des éléments, alors selon Theorem 4, le système d'éléments x | ..... x "+ | Aussi linéairement dépendant. Corollaire. Toutes les bases de l'espace linéaire v comprennent le même élément chiya. Laissez la base C consiste en p éléments et la base de «de P des éléments. Par juste prouvé théorème de l'indépendance linéaire du système E \\, ..., E», nous concluons que P "^ p. Changer les bases E et C "Dans certains endroits, en vertu du même théorème, nous obtenons que p ^ p". Ainsi, n \u003d p. L'espace lshkrity / olyaznar de V est appelé nombre d'éléments de cet espace . Exemple 1. La base de l'espace de coordonnée des éléments de formulaire EP 4 EI.EJ Éléments système. .., EP est linéairement indépendant: nous obtenons de l'égalité, ce qui signifie, en outre, n'importe quel élément E, \u003d ... De r, il peut être écrit sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de la même manière, la dimension de l'espace R est égale au paragraphe. Exemple 2. Uniforme linéaire Le système ayant des solutions non nulles a un système de solution fondamental. (FSR). FSER est la base de l'espace linéaire des solutions d'un système homogène. La dimension de cet espace linéaire est égale au nombre d'éléments de la FSR, c'est-à-dire P - G. Où R est le rang de la matrice des coefficients d'un système homogène, un nombre d'inconnus. Exemple 3. La dimension de l'espace linéaire de la députée des polynômes n'est pas supérieure à N est égale à P + 1. 4 puisque tout degré polynomial / * ((((((() n'est pas supérieur à N a la forme qu'il suffit de montrer le indépendance linéaire des éléments de | \u003d. Considérons l'égalité où T est arbitrairement. Croyant t \u003d 0, nous obtenons que "O \u003d 0. 5 Zak.750 Nous indifférons à l'égalité (3) par T: Mettre à nouveau t \u003d 0, nous obtenons Ça 0 | \u003d 0. Continuer ce processus, nous avons toujours convaincu que OO \u003d "I \u003d ... \u003d a" \u003d 0. Cela signifie que le système d'éléments in | \u003d 1, ..., EP4) \u003d * P linéairement indépendant. Par conséquent, la dimension souhaitée est égale à p + 1. Accord. En outre, ce chapitre est considéré comme étant partout, sauf indication contraire que la dimension de l'espace linéaire V est égale. Il est clair que si w est le sous-espace de l'espace linéaire N-dimensionnel V, puis Dim W ^ p. Nous montrons que dans l'espace linéaire p-dimensionnel V, il existe des sous-espaces linéaires de toute dimension à ^ p. Soit c \u003d - la base de l'espace V. Il est facile de veiller à ce que la gaine de Chône a une dimension. En définissant le théorème b (sur la reconstitution de la base). L'impestysystème des éléments de l'espace linéaire V dimension p linéairement indépendante et à. Ensuite dans l'espace V, il y a des éléments A * + 1, ..., AP tel que le système A "- base V. M Supposons B - Un arbitraire élément de l'espace linéaire V. Si le système dépend de linéairement dépendant de manière linéaire, alors dans une combinaison linéaire non triviale, le coefficient dû à l'indépendance linéaire du système A si la décomposition de la forme (4) pourrait être écrite pour n'importe quel élément B de L'espace V, puis le système d'origine A |, ... et * serait une base selon la définition. Mais en raison de la condition, il est impossible. Par conséquent, il doit y avoir un élément A * + I € V telle que le système reconstitué AI, ..., OH, A * + | Ce sera un indépendant. Si K + 1 \u003d P, alors ce système est la base de l'espace V. Si K + 1, puis pour le système A, les arguments précédents doivent être répétés. De cette manière, tout système d'éléments indépendant linéairement linéaire peut être complété avant la base de l'exemple de l'espace V. Exemple. Complétez le système de deux vecteurs A | \u003d (1,2,0,1), AJ \u003d (-1,1,0) espace R4 avant la base de cet espace. M Prenez dans l'espace R4 Vecteurs AJ \u003d (et montrez que le système de vecteurs AI.AJ.AJ, A4 - la base R4. Le rang de la matrice dont les coordonnées sont les coordonnées des vecteurs AEG, AZ, E4, est quatre . Cela signifie que les cordes de la matrice A et, par conséquent, des vecteurs. AG. AZ, un ^ indépendant linéairement.\u003e Cette approche est utilisée en général: Pour compléter le système à des éléments indépendants linéairement à la base spatiale, dépendance linéaire matricielle Base la dimension de la base de la base des transformations élémentaires des lignes est entraînée par une forme trapézoïde, puis complétée par des chaînes de la forme de la forme afin que le rang de la matrice résultante soit égal à p. Assez l'assertion suivante . Théorème 7. Laissez le sous-espace linéaire de l'espace linéaire V, puis remplaçant la base. Laisser - des bases linéaires linéaires. Écrivez les éléments de base en fonction de la base avec. Nous avons ces relations. Il est pratique d'enregistrer la matrice dans le formulaire matriciel appelé matrice de la transition de la base avec la base de la c ". Propriétés de la preuve de la matrice de transition Les propriétés de l'OMS sont effectuées de Nasty. À partir de l'égalité de DET S \u003d 0, la dépendance linéaire des colonnes de la matrice S est suivante. Ces colonnes sont coordonnées les colonnes éléments ", ..." E "p dans la base avec. Par conséquent (et à la suite de théorème 4) éléments, e "et ..., e" n devrait être linéairement dépendante. Ce dernier est contraire au fait qu'avec "- base. Cela signifie que l'hypothèse que Det S \u003d 0 est incorrecte. 2. Si ..., et ..., les coordonnées de l'élément x dans les bases avec et avec" respectivement, alors _ remplaçant dans la formule de leurs expressions (1), nous l'obtenons d'ici, en raison de l'unicité de la décomposition de l'élément sur la base, nous avons le dépôt de matrice des égalités trouvées, nous sont convaincus des propriétés de la FAIR 2. 3. S-1 - matrice de transition de la base avec "à la base de.

Laisser être V. Espace de vecteur sur le terrain R, S. - Système de vecteurs de V..

Définition 1. Vecteurs du système de base S. appelé sous-système indépendant de manière linéaire B. 1, B. 2, ..., B. R Système S.que n'importe quel vecteur système S. Combinaison linéaire de vecteurs B. 1, B. 2, ..., B. R.

Définition 2. Vecteurs du système de classement S. appelé le nombre de vecteurs de base système S.. Vecteur du système de rang indiqué S. symbole R \u003d Sonna S..

Si s \u003d ( 0 ), alors le système n'a pas de base et il est supposé que sonnait S.= 0.

Exemple 1. Laisser le système de vecteurs à donner UNE. 1 = (1,2), UNE. 2 = (2,3), UNE. 3 = (3,5), UNE. 4 \u003d (1,3). Vecteur UNE. 1 , UNE. 2 forment la base de ce système, car ils sont linéairement indépendants (voir exemple 3.1) et UNE. 3 = UNE. 1 + UNE. 2 , UNE. 4 = 3UNE. 1 - UNE. 2. Le rang de ce système de vecteurs est deux.

Théorème 1. (Théorèmes sur les bases). Sois le dernier système de vecteurs de V, S. ≠{0 }. Alors l'approbation.

1 ° Tout système de sous-système indépendant linéairement peut être complété avant la base.

2 ° Système S a une base.

2 ° Toute deux systèmes de base S contient le même nombre de vecteurs, c'est-à-dire que le rang du système ne dépend pas du choix de la base.

4 ° Si un R \u003d Sonna S., Ensuite, tous les vecteurs indépendants de RS forment une base système S.

5 ° Si un R \u003d Sonna S., Tous K\u003e R Verts du système S sont linéairement dépendants.

6 ° Tout vecteur UNE. € s est unique linéairement exprimé à travers la base de la base, c'est-à-dire si B.1, B.2, ..., B.R système de base S, puis

UNE. = UNE.1 B. 1 + UNE.2 B. 2 +...+ UNE.RB. R; UNE.1 , UNE.2 , ..., UNE.N. € p,(1)

Et une telle représentation est la seule.

En vertu de la base de 5 ° est Sous-système maximum indépendant linéairement Système S.et système de rang S. Le nombre de vecteurs dans un tel sous-système.

Présentation du vecteur UNE. sous la forme (1) appelée Décomposition des vecteurs de vecteuret chiffres A1, A2 , ..., AR appelé Coordonnées du vecteur UNE. Dans cette base.

Preuve. 1 ° B. 1, B. 2, ..., B. K. - Sous-système de système indépendant linéaire S.. Si chaque vecteur système S.Linéairement exprimé par le vecteur de notre sous-système, puis par définition c'est la base du système S..

S'il y a un vecteur dans le système S. qui n'est pas linéairement exprimé par le vecteur B. 1, B. 2, ..., B. K., nous l'indiquons à travers B. K.+1. Alors systèmes B. 1, B. 2, ..., B. K., B. K.+1 - Linéairement indépendant. Si chaque vecteur système S.Linéairement exprimé par le vecteur de ce sous-système, puis par définition c'est la base du système S..

S'il y a un vecteur dans le système S. qui n'est pas linéairement exprimé dans B. 1, B. 2, ..., B. K., B. K.+1, répétez le raisonnement. Continuer ce processus, nous allons soit sur la base du système S.ou augmenter le nombre de vecteurs dans un système indépendant linéairement par unité. Comme dans le système S. Le nombre final de vecteurs, puis la deuxième alternative ne peut pas continuer à infiniment et à une étape, nous avons la base du système. S..

2 ° S. Le système final de vecteurs et S. ≠{0 ). Puis dans le système S. Vecteur B. 1 ≠ 0, qui forme un sous-système de système indépendant linéaire S. . Dans la première partie, il peut être complété à la base du système. S. . Ainsi, le système S. Il a une base.

3 ° Supposons que le système S. Il a deux bases:

B. 1, B. 2, ..., B. R , (2)

C. 1, C. 2, ..., C. S. , (3)

En définissant la base du système de vecteurs (2) linéairement indépendante et (2) í S. . Ensuite, en définissant la base, chaque système de vecteur système (2) est une combinaison linéaire de vecteurs système (3). Puis par le théorème principal sur deux systèmes de vecteurs R £ S.. De même prouve que S. £ R. De ces deux inégalités suit R = S..

4 ° R \u003d Sonna S., UNE. 1, UNE. 2, ..., UNE. R - Sous-système indépendant linéairement S.. Nous montrons que c'est la base des systèmes S.. Si ce n'est pas une base, alors dans la première partie, il peut être complété à la base et nous obtenons la base UNE. 1, UNE. 2, ..., UNE. R, UNE. R+1,..., UNE. R+T. plus que R

5 ° si K. vecteurs UNE. 1, UNE. 2, ..., UNE. K. (K. > R) Systèmes S. - indépendant linéairement, puis sur la première partie, ce système de vecteurs peut être complété à la base et nous obtenons la base UNE. 1, UNE. 2, ..., UNE. K., UNE. K.+1,..., UNE. K.+T. plus que R vecteurs. Ceci est contraire à l'épreuve de la troisième partie.

6 ° B. 1, B. 2, ..., B. R Système de base S.. Par définition de la base tout vecteur UNE. € S. Il y a une combinaison linéaire de vecteurs de base:

UNE. \u003d A1. B. 1 + A2. B. 2 + ... + ar B. R

Prouver le caractère unique d'une telle présentation appropriée, qu'il y a une autre idée:

UNE. \u003d B1. B. 1 + b2. B. 2 + ... + br B. R

Equality égal Trouve montage

0 \u003d (A1 - B1) B. 1 + (A2 - B2) B. 2 + ... + (ar - fr) B. R

Depuis la base B. 1, B. 2, ..., B. R Système indépendant linéaire, puis tous les coefficients AI-BI \u003d 0; JE. = 1, 2, ..., R. Par conséquent, AI \u003d BI; JE. = 1, 2, ..., R Et le caractère unique est prouvé.

Golzizin V.V. Conférences sur l'algèbre et la géométrie. cinq

Conférences sur l'algèbre et la géométrie. Semestre 2.

Conférence 23. Base d'espace vectoriel.

Résumé: critère de la dépendance linéaire du système de vecteurs non nuls, sous-systèmes de système de vecteurs, génération de systèmes de vecteurs, système de génération minimale et système maximal indépendant linéaire, base de l'espace de vecteur et ses définitions équivalentes, dimension de l'espace vectoriel, espace vectoriel fini et dimensionnel et l'existence de sa base, ajout à la base.

p.1. Critère pour la dépendance linéaire du système des vecteurs non nulles.

Théorème. Le système de vecteurs non nulles dépend linéairement si et uniquement s'il existe un vecteur système, qui est linéairement exprimé par les vecteurs précédents de ce système.

Preuve. Laissez le système consistant en des vecteurs non nuls et de linéairement dépendants. Considérez le système du même vecteur:
. Parce que
, alors système
- Linéairement indépendant. Rejoindre son vecteur . Si le système reçu
De même indépendants, connectez-vous ensuite ce qui suit: . Etc. Nous continuons jusqu'à ce que nous obtenions un système linéairement dépendant
où. Un tel nombre sera trouvé, car Système source
Il dépend linéairement sous la condition.

Donc, sur la construction, le système linéairement dépendant a été obtenu.
, de plus, système
C'est linéairement indépendant.

Système
représente le vecteur zéro est de manière non traditionnelle, c'est-à-dire Il y a un tel ensemble de scalaires non zéro
, quelle

où scalaire
.

En effet, sinon, si
Ensuite, nous aurions une représentation non triviale du système zéro vecteur linéairement indépendant
C'est impossible.

Diviser la dernière égalité sur un scalaire non zéro
on peut exprimer de vecteur :

Étant donné que la déclaration opposée est évidente, le théorème a été prouvé.

p. Sous-systèmes de système de l'espace de vecteur.

Définition. Tout sous-ensemble non vide du système système
appelé le sous-système de ces vecteurs système.

Exemple. Laisser être
- Système de 10 vecteurs. Puis Systèmes de vecteurs:
;
,
- Sous-système de ce système de vecteurs.

Théorème. Si le système de vecteurs contient un sous-système dépendant de manière linéaire, le système de vecteurs lui-même dépend également de manière linéaire.

Preuve. Laisser le système de vecteurs à donner
Et même pour la certitude que le sous-système
où
Il dépend de linéairement. Ensuite, il représente le vecteur zéro est non provisoire:

où parmi les coefficients
Il y a au moins un pas égal à zéro. Mais ensuite, la prochaine égalité est une vue non triviale du vecteur zéro:

d'où, par définition, une dépendance linéaire du système
, Ch.t.d.

Le théorème est prouvé.

Corollaire. Tout sous-système d'un système de vecteurs indépendant linéairement est linéairement indépendant.

Preuve. Supposons le contraire. Soit un sous-système de ce système à dépendre linéairement. Ensuite, la dépendance linéaire de ce système découle du théorème qui contredit la condition.

L'enquête est prouvée.

p.3. Systèmes de colonne d'espace vectoriel arithmétique des colonnes.

Du résultat du paragraphe précédent, sous forme de cas particulier, suit le théorème.

1) Le système de colonne dépend linéairement si et uniquement s'il y a au moins une colonne dans le système, qui est linéairement exprimée dans d'autres colonnes de ce système.

2) Le système de colonne est indépendant linéairement si et uniquement si aucune colonne système n'est exprimée linéairement dans d'autres colonnes de ce système.

3) Le système de colonne contenant une colonne zéro dépend linéairement.

4) Le système de colonne contenant deux colonnes égales est linéairement dépendante.

5) Le système de colonne contenant deux colonnes proportionnelles est linéairement dépendant.

6) Le système de colonne contenant le sous-système dépendant de manière linéaire est dépendant linéairement.

7) Tout sous-système d'un système de colonne indépendant linéairement est linéairement indépendant.

La seule chose qui peut être nécessaire pour clarifier ce concept de colonnes proportionnelles.

Définition. Deux colonnes non nulles
appeler proportionnelle s'il y a un scalaire
, tel que
ou alors

,
, …,
.

Exemple. Système
Il dépend de linéairement, car ses deux premières colonnes sont proportionnelles.

Commenter. Nous savons déjà (voir la conférence 21) que le déterminant est zéro si le système de ses colonnes (chaînes) dépend de manière linéaire. À l'avenir, il sera prouvé que l'énoncé inverse: si le déterminant est égal à zéro, le système de ses colonnes et le système de ses lignes dépendent linéairement.

p.4. Espace de vecteur de base.

Définition. Vecteurs du système
L'espace vectoriel sur le champ K est appelé le système générateur (formation) de vecteurs de cet espace vectoriel, s'il représente l'un de son vecteur, c'est-à-dire S'il y a un tel ensemble de scalaires
, quelle .

Définition. Le système de vecteurs d'espace vectoriels s'appelle le système de génération minimum si, lors de la suppression de ce système de tout vecteur, il cesse de générer le système.

Commenter. À partir de la définition, suit immédiatement que si le système de génération des vecteurs n'est pas minimal, il y a au moins un système de vecteur, lorsque le système est retiré du système, le système restant des vecteurs générera toujours.

Lemme (sur le système de génération de personnes à charge linéaire.)

Si l'un des vecteurs est exprimé linéairement dans un système de vecteurs dépendant et de génération linéaire, il peut être retiré du système et le système de vecteurs restant générera.

Preuve. Laisser le système
Linéairement dépendante et générant, et laisse l'un de ses vecteurs sont linéairement exprimés par d'autres vecteurs de ce système.

Pour la certitude et pour la facilité d'enregistrement, nous supposons que

Comme
- système générateur, puis
Il y a un tel ensemble de scalaires
, quelle

D'ici nous obtenons

ceux. Tout vecteur x est linéairement exprimé par des vecteurs système
, ce qui signifie qu'il s'agit d'un système de génération, ch.t.d.

Corollaire 1. Le système de vecteurs de dépendants et de génération linéairement dépendants n'est pas minime.

Preuve. Déclit immédiatement du lemme et déterminant le système de vecteurs générant minimum.

Corollaire 2. Le système de vecteurs de génération minimum est indépendant linéairement.

Preuve. Autorisé le contraire, nous arrivons à une contradiction avec une conséquence de 1.

Définition. Le système de vecteurs d'espace vectoriel s'appelle le système maximum linéaire indépendant, si, lorsqu'il est ajouté à ce système de tout vecteur, il devient linéairement dépendant.

Commenter. À partir de la définition, il suit immédiatement que si le système est indépendant linéairement indépendant, mais pas maximum, il y a un vecteur, lors de l'ajout au système, un système linéairement indépendant est obtenu.

Définition. La base de l'espace vectoriel V au-dessus du champ K est un système ordonné de ses vecteurs, représentant tout vecteur d'espace vectoriel par le seul moyen.

Sinon, vecteurs système
espace vectoriel v sur le champ k est appelé sa base si
Il y a un seul ensemble de scalaires
, tel que.

Théorème. (Environ quatre définitions équivalentes de la base.)

Laisser être
- Système de vecteur de système de vecteur commandé. Ensuite, les affirmations suivantes sont équivalentes:

1. Système
est une base.

2. Système
C'est un système de vecteurs indépendant et générant linéairement indépendant.

3. Système
Il s'agit du système de vecteurs maximum indépendant linéaire.

4. Système
C'est le système de génération minimum de vecteurs.

Preuve.

Laissez les vecteurs du système
est une base. Dans la définition de la base, il suit immédiatement que ce système de vecteurs est un système de système d'espace vectoriel ingéré, nous n'avons donc besoin que de prouver son indépendance linéaire.

Supposer que ce système Les vecteurs dépendent linéairement. Ensuite, il y a deux représentations du vecteur zéro - trivial et non trivial, qui contredit la définition de la base.

Laissez les vecteurs du système
Il est linéairement indépendant et générant. Nous devons prouver que ce système linéairement indépendant est maximum.

Supposons le contraire. Laissez ce système indépendant linéairement des vecteurs ne sont pas maximum. Ensuite, en raison des commentaires ci-dessus, il existe un vecteur qui peut être ajouté à ce système et le système de vecteurs résultant reste linéairement indépendant. Cependant, d'autre part, le vecteur ajouté au système peut être représenté comme une combinaison linéaire du système source des vecteurs en raison du fait qu'il génère le système.

Et nous obtenons cela dans un nouveau système vectoriel étendu, un de ses vecteurs est linéairement exprimé dans d'autres vecteurs de vecteur de ce système. Un tel système de vecteurs est linéairement dépendant. Reçu une contradiction.

Laissez les vecteurs du système
L'espace vectoriel est le maximum indépendant linéairement. Nous prouvons que c'est le système de génération minimum.

a) Tout d'abord, nous prouvons qu'il s'agit d'un système de génération.

Notez qu'en raison de l'indépendance linéaire, le système
Ne contient pas de vecteur zéro. Let - vecteur non jérotalien arbitraire. Ajoutez-le à ce système Vecteurs:
. Le système de vecteurs non nuléreux résultant est linéairement dépendant, car Le système de vecteur initial est maximal linéairement indépendant. Donc, dans ce système, il y a un vecteur linéairement exprimé par les précédents. Dans le système indépendant linéaire d'origine
Aucun des vecteurs ne peut être exprimé à travers les précédents, par conséquent, d'exprimé linéairement à travers le précédent vecteur unique x. Ainsi, le système
Représente tout vecteur non nul. Il reste à noter que ce système représente évidemment et zéro vecteur, c'est-à-dire système
génère.

b) Maintenant, nous allons prouver son minimité. Supposons le contraire. Ensuite, l'un des vecteurs du système peut être retiré du système et le système vectoriel restant sera toujours le système de production et, par conséquent, le vecteur supprimé du système est également linéairement exprimé de manière linéaire dans les vecteurs de vecteur restants, qui contredit le linéaire indépendance du système original des vecteurs.

Laissez les vecteurs du système
L'espace vectoriel est le système de génération minimum. Ensuite, il représente un espace vectoriel de vecteur. Nous devons prouver le caractère unique de la présentation.

Supposons le contraire. Laissez un vecteur x linéairement exprimé par les vecteurs de ce système de deux manières différentes:

Élevé d'une égalité, nous obtenons:

En vertu de l'enquête 2, système
C'est linéairement indépendant, c'est-à-dire Représente le vecteur zéro seulement trivmalement, tous les coefficients de cette combinaison linéaire doivent être nuls:

Ainsi, tout vecteur x est exprimé linéairement à travers les vecteurs de ce système le seul moyen, BT.D.

Le théorème est prouvé.

p.5. La dimension de l'espace vectoriel.

Théorème 1. (sur le nombre de vecteurs dans des systèmes de vecteurs indépendants et générateurs linéaires.) Le nombre de vecteurs dans tout système de vecteurs indépendant linéairement ne dépasse pas le nombre de vecteurs dans un système de génération de vecteur de même espace vectoriel.

Preuve. Laisser être
Système de vecteurs de manière linéaire arbitraire,
- Système de génération arbitraire. Supposer que.

Parce que
Système de génération, alors il représente tout vecteur d'espace, y compris le vecteur . Joignez-le à ce système. Nous obtenons un système de vecteurs à charge linéairement dépendants et générant:
. Alors il y a un vecteur
Ce système, qui est linéairement exprimé par les vecteurs précédents de ce système et qu'il est dû au lemme, peut être retiré du système et le système de vecteurs restant générera toujours.

. Parce que Ce système génère, il représente un vecteur
Et, en l'attachant à ce système, encore une fois, nous obtenons un système de génération linéairement dépendant et de production :.

Ensuite, tout est répété. Il y a un vecteur dans ce système, qui est linéairement exprimé par les précédents, et il ne peut pas être vecteur car Système source
Linéairement indépendant et vecteur pas exprimé linéairement à travers le vecteur
. Donc, cela ne peut être que l'un des vecteurs.
. Le retirer du système, nous obtenons après des reprogrammes, le système qui générera le système. Continuer ce processus, après étapes, nous obtenons le système de génération de vecteurs: où
car Dans notre hypothèse. Donc, ce système, en tant que génération, représente à la fois le vecteur, qui contredit la condition de l'indépendance linéaire du système
.

Le théorème 1 est prouvé.

Théorème 2. (sur le nombre de vecteurs dans la base.) Dans n'importe quelle base de l'espace vectoriel, le nombre de vecteurs contient un.

Preuve. Laisser être
et
- Deux bases d'espace vecteur arbitraire. Toute base est un système de vecteurs indépendant et générateur linéairement indépendant.

Parce que Le premier système est indépendant linéairement et la seconde génération, puis, par le théorème 1,
.

De même, le deuxième système est indépendant linéairement et le premier génère, puis. Par conséquent, il suit que
, Ch.t.d.

Le théorème 2 est prouvé.

Ce théorème vous permet d'entrer la définition suivante.

Définition. La dimension de l'espace vectoriel V au-dessus du champ K est le nombre de vecteurs dans sa base.

La désignation:
ou alors
.

p.6. L'existence d'une base d'espace vectorielle.

Définition. L'espace vectoriel est appelé fini-dimensionnel s'il a un vecteur fini générant des vecteurs.

Commenter. Nous n'équiertons que des espaces de vecteur dimensionnels finis. Malgré le fait que nous connaissions déjà beaucoup sur la base de l'espace vectoriel fini-dimensionnel, nous n'avons pas la confiance que la base de cet espace existe généralement. Toutes les propriétés déjà obtenues ont été obtenues dans l'hypothèse que la base existe. Le théorème suivant ferme cette question.

Théorème. (Sur l'existence de la base de l'espace vectoriel fini-dimensionnel.) Tout espace vectoriel fini-dimensionnel a une base.

Preuve. Par état, il y a un système de génération fini de vecteurs de cet espace vectoriel dimensionnel fini V:
.

Notez immédiatement que si le système de génération des vecteurs est vide, c'est-à-dire Il ne contient pas de vecteur unique, puis par définition, on croit que cet espace vectoriel est zéro, c'est-à-dire
. Dans ce cas, par définition, on croit que la base de l'espace vectoriel zéro est une base vide et sa dimension est considérée comme nulle.

Que ce soit plus loin, espace de vecteur non nul et
Système de génération fini de vecteurs non nuls. S'il est linéairement indépendant, alors tout est prouvé, car Le système de vecteurs de vecteur indépendant et générant de manière linéaire est sa base. Si ce système de vecteurs dépend de linéairement, l'un des vecteurs de ce système est exprimé linéairement à travers le reste et peut être retiré du système, et le système de vecteurs restant, en vertu de la lemme p.5, générera toujours.

Purger le système de vecteurs restants:
. Ensuite, le raisonnement est répété. Si ce système est indépendant linéairement, c'est une base. Sinon, il y a à nouveau un vecteur dans ce système, qui peut être supprimé, et le système restant générera.

Répéter ce processus, nous ne pouvons pas rester avec un système vide de vecteurs, car Dans le cas le plus extrême, nous arriverons au système de génération d'un vecteur non nul, qui est indépendant linéairement et, par conséquent, la base. Par conséquent, à une étape, nous arrivons à un système de vecteurs indépendant et générateur linéairement indépendant, c'est-à-dire baser.

Le théorème est prouvé.

Lemme. Laisser être . Puis:

1. Tout système du vecteur est linéairement dépendant.

2. Tout système de vecteurs indépendant linéairement est sa base.

Preuve. une). Par la condition de lemme, le nombre de vecteurs de la base est égal à la base du système, de sorte que le nombre de vecteurs dans tout système indépendant linéairement ne peut pas dépasser.

2). Comme suit, tout simplement prouvé, tout système indépendant linéairement des vecteurs de cet espace vectoriel est maximum, et donc la base.

Le lemme est prouvé.

Théorème (sur le supplément à la base.) Tout système indépendant de vecteurs de vecteur de vecteur peut être complété à la base de cet espace.

Preuve. Laisser l'espace de vecteur de dimension n et
Un système indépendant de ses vecteurs de manière linéaire. Puis
.

Si un
, puis dans le précédent lemme, ce système est une base et il n'y a rien à prouver.

Si
, alors ce système n'est pas le système indépendant linéaire maximum (sinon, ce serait une base, ce qui est impossible, car). Par conséquent, il y a un vecteur
, tel que ce système
- Linéairement indépendant.

Si, maintenant, alors le système
est une base.

Si
, toutes les répétitions. Le processus de reconstitution du système ne peut pas continuer infiniment, car À chaque étape, nous obtenons un système de vecteurs spatiaux indépendant linéaire et, selon le lemme précédent, le nombre de vecteurs dans un tel système peut ne pas dépasser la dimension de l'espace. Par conséquent, à une étape, nous allons venir sur la base de cet espace.

Le théorème est prouvé.

p.7. Exemple.

1. Soit K un champ arbitraire - un espace vectoriel arithmétique d'une colonne de hauteur. Puis. Pour prouver, considérez le système de colonnes de cet espace.

Il est appelé fini-dimensionnel s'il a un système de vecteurs de génération fini.

Commenter. Nous n'équiertons que des espaces de vecteur dimensionnels finis. Malgré le fait que nous en connions déjà beaucoup sur la base de l'espace vectoriel fini-dimensionnel, nous n'avons aucune confiance qu'il existe un tel espace en général. Tous les reçus précédemment ont été obtenus dans l'hypothèse que la base existe. Le prochain ferme cette question.

Théorème. (Sur l'existence de la base de l'espace vectoriel dimensionnel fini.)

Tout espace vectoriel fini-dimensionnel a une base.

Preuve. Par état, il y a un système de génération fini de cet espace vectoriel fini-dimensionnel V :.

Notez immédiatement que si le système de génération des vecteurs est vide, c'est-à-dire Il ne contient pas de vecteur unique, puis par définition, on croit que cet espace vectoriel est zéro, c'est-à-dire . Dans ce cas, par définition, on pense que la base de l'espace vectoriel zéro est une base vide et on croit être zéro par définition.

Si ce système est indépendant, alors tout est prouvé, car Le système de vecteurs de vecteur indépendant et générant de manière linéaire est sa base.

Si ce système de vecteurs dépend de manière linéaire, l'un des vecteurs de ce système est exprimé linéairement à travers le reste et peut être retiré du système et le système de vecteurs restants générera toujours.

Purger le système de vecteurs restants :. Ensuite, le raisonnement est répété.

Si ce système est indépendant linéairement, c'est une base. Sinon, il y a à nouveau un vecteur dans ce système, qui peut être supprimé, et le système restant générera.

Le théorème est prouvé.

Lemme. (Sur les systèmes de vecteurs dans l'espace vectoriel N-dimensionnel.)

Laisser être . Puis:

1. Tout système du vecteur est linéairement dépendant.

2. Tout système de vecteurs indépendant linéairement est sa base.

Preuve. une). Par la condition du lemme, le nombre de vecteurs de la base est égal à la base du système, de sorte que le nombre de vecteurs dans tout système indépendant linéairement ne peut pas dépasser, c'est-à-dire Tout système contenant un vecteur est linéairement dépendant.

2). Comme suit, tout simplement prouvé, tout système indépendant linéairement des vecteurs de cet espace vectoriel est maximum, et donc la base.

Le lemme est prouvé.

Théorème (sur le supplément à la base.) Tout système indépendant de vecteurs de vecteur de vecteur peut être complété à la base de cet espace.

Preuve. Laissez l'espace vectoriel de la dimension N et du système indépendant linéairement de ses vecteurs. Puis.

Si, sur le lemme précédent, ce système est une base et il n'y a rien à prouver.

Si, alors ce système n'est pas le système indépendant maximum (sinon, ce serait une base, ce qui est impossible, car). Par conséquent, il y a un vecteur, tel que ce système - Linéairement indépendant.

Si, maintenant, alors le système est une base.

Si, tout est répété. Le processus de reconstitution du système ne peut pas continuer infiniment, car À chaque étape, nous obtenons un système de vecteurs spatiaux indépendant linéaire et, selon le lemme précédent, le nombre de vecteurs dans un tel système peut ne pas dépasser la dimension de l'espace. Par conséquent, à une étape, nous arriverons à la base de cet espace., Ch.t.d.

Définition. Base

l'espace vectoriel arithmétique des colonnes de hauteur n est appelé Canonical ou naturel.