Основи сопромату. Визначення дотичних напруг. Сопромат.in.ua: Напруження Значення нормальної напруги в точці

Напруги характеризуються числовим значенням і напрямком, тобто напруга являє собою вектор, нахилений під тим чи іншим кутом до перерізу, що розглядається.

Нехай у точці М будь-якого перерізу тіла на деякому малому майданчику A діє сила F під деяким кутом до майданчика (рис. 63, а). Поділивши цю силу F на площу А, знайдемо середню напругу, що виникає в точці М (рис. 63, б):

Істинна напруга в точці М визначається при переході до межі

Векторна величина рназивається повною напругоюу точці.

Повна напруга рможна розкласти на складові: за нормаллю (перпендикуляром) до майданчика А і по дотичній до неї (рис, 63, в).

Складову напруги за нормаллю називають нормальною напругою в даній точці перерізу і позначають грецькою літерою (сигма); складову по дотичній називають дотичною напругою та позначають грецькою літерою (тау).

Нормальну напругу, спрямовану від перерізу, вважають позитивною, спрямовану до перетину - негативною.

Нормальна напруга виникає, коли під дією зовнішніх сил частинки, розташовані по обидва боки від перерізу, прагнуть відійти одна від одної або зблизитися. Дотичні напруження виникають, коли частинки прагнуть зрушити одна відносно іншої в площині перерізу.

Дотичну напругу можна розкласти по координатних осях на дві складові (рис.1.6, в). Перший індекс показує, яка вісь перпендикулярна перерізу, другий - паралельно якій осі діє напруга. Якщо у розрахунках напрямок дотичної напруги немає значення, його позначають без індексів.

Між повною напругою та її складовими існує залежність

Напруга, при якій відбувається руйнування матеріалу або виникають помітні пластичні деформації, називають граничним.

Завдання 4.1.1:Сукупність напруги, що виникають на безлічі майданчиків, що проходять через точку, називають …

2) повною напругою;

3) нормальною напругою;

4) дотичною напругою.

Рішення:

1) Відповідь вірна. Напружений стан у точці повністю визначається шістьма компонентами тензора напруги: σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz, τ zx. Знаючи ці компоненти, можна визначити напруги на будь-якому майданчику, що проходить цю точку. Сукупність напруг, що діють по безлічі майданчиків (перетинів), що проходять цю точку, називається напруженим станом у точці.

2) Відповідь неправильна! Незнання визначення повної напруги у точці (сила, що припадає на одиницю площі перерізу).

3) Відповідь неправильна! Нагадаємо, що проекція вектора повної напруги на нормаль до перерізу називається нормальною напругою.

4) Відповідь неправильна! Допущено помилку у визначенні терміна «стосування».
Проекція вектора повної напруги на вісь, що лежить у площині перерізу називається дотичною напругою.

Завдання 4.1.2:Майданчики в досліджуваній точці напруженого тіла, на яких дотичні напруги дорівнюють нулю, називають …

1) орієнтованими; 2) головними майданчиками;

Рішення:

1) Відповідь неправильна! Термін не відповідає заданою умовою. Під орієнтованими розуміються майданчики, які проходять через точку заздалегідь заданим напрямом.

2) Відповідь вірна.

При повороті елементарного обсягу 1 можна знайти таку його просторову орієнтацію 2, при якій дотичні напруги на його гранях зникнуть і залишаться тільки нормальні напруги (деякі з них можуть бути рівними нулю). Майданчики (грані), на яких дотичні напруги дорівнюють нулю, називаються головними майданчиками.

3) Відповідь неправильна! Термін не відповідає заданій умові. Октаедричними називають майданчики рівнонахилені до головних. Дотичні напруги на октаедричних майданчиках не дорівнюють нулю.

4) Відповідь неправильна! Нагадуємо, що під січними розуміють майданчики, проведені через точку, в якій досліджується напружений стан.

Завдання 4.1.3:Головні напруги для напруженого стану, показаного на малюнку, рівні ... (Значення напруги вказані в МПа).

1) σ 1 = 150 МПа, σ 2 = 50 МПа; 2) σ 1 =0 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =150 МПа;

3) σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =0 МПа;

4) σ 1 =100 МПа, σ 2 =100 МПа, σ 3 =0 МПа;

Рішення:

1) Відповідь неправильна! Не вказано значення головної напруги 3 =0 МПа.

2) Відповідь неправильна! Позначення головної напруги не відповідають правилу нумерації.

3) Відповідь правильна. Одна грань елемента вільна від дотичних напруг. Тому це головний майданчик, а нормальна напруга (головна напруга) на цьому майданчику також дорівнює нулю.
Для визначення двох інших значень головної напруги скористаємося формулою
,
де позитивні напрямки напруги показані малюнку.

Для наведеного прикладу маємо , , . Після перетворень знайдемо
Відповідно до правила нумерації головної напруги маємо , , , тобто. плоский напружений стан.

4) Відповідь неправильна! Це не головна напруга, а задані значення нормальних напруг, що діють на виділений елемент.

Завдання 4.1.4:У досліджуваній точці напруженого тіла на трьох головних майданчиках визначено значення нормальних напруг: Головні напруги в цьому випадку рівні...

1)σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =-100 МПа;

2) σ 1 =150 МПа, σ 2 =-100 МПа, σ 3 =50 МПа;

3) σ 1 =50 МПа, σ 2 =-100 МПа, σ 3 =150 МПа;

4) σ 1 = -100 МПа, σ 2 = 50 МПа, σ 3 = 150 МПа;

Рішення:

1) Відповідь вірна. Головним напругам надають індекси 1, 2, 3 так, щоб виконувалася умова . Отже,

2), 3), 4) Відповідь невірна! Головним напругам надають індекси 1, 2, 3 так, щоб виконувалася умова (в сенсі алгебри).

Завдання 4.1.5:На гранях елементарного об'єму (див. малюнок) визначено значення напруги в МПа. Кут між позитивним напрямком осі xта зовнішньою нормаллю до головного майданчика, на якому діє мінімальна головна напруга, дорівнює …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Рішення:

1), 2), 4) Відповідь неправильна! Очевидно, неправильно записана формула визначення кута. Правильний запис:

3) Відповідь правильна.

Кут визначається за формулою
Підставляючи числові значеннянапруги, отримуємо Оскільки кут негативний, відкладаємо кут за годинниковою стрілкою.

Завдання 4.1.6:Значення головних напруг визначають рішення кубічного рівняння Коефіцієнти , , називають…

1) інваріантами напруженого стану; 2) пружними постійними;

4) коефіцієнтами пропорційності.

Рішення:

1) Відповідь вірна. Коріння рівняння – головна напруга – визначається характером напруженого стану в точці і не залежить від вибору вихідної системи координат. Отже, при повороті системи осей координат коефіцієнти



повинні залишатися незмінними. Вони називаються інваріантами напруженого стану.

2) Відповідь неправильна! Помилка у визначенні терміна. Пружні постійні характеризують властивості матеріалу.

3) Відповідь неправильна! Напрямні косинуси - це косинуси кутів, які утворює нормаль з осями координат.

4) Відповідь неправильна! Термін не відповідає умові питання

Через будь-яку точку напруженого тіла можна провести, як правило, _____________ взаємно перпендикулярні майданчики (-ок), на яких дотичні напруги дорівнюватимуть нулю.

			три
			дві
			чотири
			шість

Рішення:

На малюнку показано тіло, навантажене зовнішніми силами, та елементарний об'єм з напругою на його гранях. При уявному повороті елементарного обсягу можна знайти таку його просторову орієнтацію, коли дотичні напруги на гранях дорівнюють нулю. Ці грані будуть головними майданчиками.

Тема: Напружений стан у точці. Головні майданчики та головна напруга
Головними осями напруженого стану називаються...

Рішення:

На малюнку показаний елементарний об'єм, виділений на околиці довільної точки навантаженого тіла. Якщо при даній орієнтації елементарного обсягу дотичні напруги на його гранях дорівнюють нулю, то осі x, y, zназиваються головними осями напруженого стану. При переході від однієї точки до іншої напрямки основних осей у випадку змінюються.

Тема: Напружений стан у точці. Головні майданчики та головна напруга
Нормальна напруга, що діє на головних майданчиках, називаються …

Рішення:
Три взаємно перпендикулярні майданчики, у яких відсутні дотичні напруги, називаються головними майданчиками. Нормальні напруги, що діють на головних майданчиках, називаються головними напругами. Максимальна з трьох головних напруг є одночасно найбільшою повною напругою, що діє по безлічі майданчиків, що проходять цю точку. Мінімальна з трьох головних напруг є найменшою з безлічі повних напруг.

Тема: Напружений стан у точці. Головні майданчики та головна напруга

Напружений стан елементарного об'єму, показаний на малюнку, – плоский. Верхня грань елементарного обсягу є головним майданчиком. Положення двох інших основних майданчиків визначається кутом

Рішення:

На малюнку показано елементарний об'єм (вигляд зверху). Напрямок нормалі до головного майданчика визначимо за формулою де кут між позитивним напрямком осі xта нормаллю до одного з головних майданчиків. Для нашого випадку Підставляючи ці значення у формулу, отримуємо звідки.

Тема: Напружений стан у точці. Головні майданчики та головна напруга

На малюнку показаний стрижень, розтягнутий силами F, та елементарний об'єм виділений гранями, паралельними площинам стрижня. При повороті елементарного об'єму навколо осі u» на кут, що дорівнює 45 0 , напружений стан …

Рішення:
На малюнку елементарний обсяг виділено головними майданчиками. Головні напруження: Напружений стан – лінійний. Вид напруженого стану залежить від просторової орієнтації елементарного обсягу і за будь-якому куті повороту залишається лінійним.

4.2. Види напруженого стану

Завдання 4.2.1:Стрижень круглого перерізу діаметром dвідчуває деформації чистий вигин та кручення. Напружений стан у точці Впоказано на малюнку.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Рішення:

1) Відповідь неправильна! Крутний момент викликає появу дотичних напруг у площині перпендикулярної осі стрижня.

2) Відповідь неправильна! Напрямок дотичної напруги в точці Впоперечного перерізу повинно відповідати напрямку моменту, що крутить, в даному перерізі.

3) Відповідь правильна. Посіченими площинами, орієнтованими вздовж і поперек осі стрижня, виділимо об'ємний елемент. У перерізі стрижня біля закладення діють згинальний момент Мі крутний момент 2М. Від згинального моменту Му точці Ввиникає нормальна розтягуюча напруга. Обертаючий момент 2М, що діє в площині перпендикулярної осі стрижня, викликає дотичну напругу . Напрямок дотичної напруги повинен бути узгоджений з напрямком крутного моменту. Тому напружений стан елемента малюнку 4 відповідає напруженому стану в точці В.

4) Відповідь неправильна! Від моменту, що крутить, у точці Впоперечного перерізу виникає дотична напруга. Напрямок дотичної напруги повинен бути узгоджений з напрямком крутного моменту.

Завдання 4.2.2:Стрижень відчуває деформації розтягування та чистий вигин. Напружений стан, що виникає у небезпечній точці, називається…

1) плоским; 2) об'ємним; 3) лінійним; 4) чистим зрушенням.

Рішення:

1) Відповідь неправильна! При плоскому напруженому стані одне значення головної напруги дорівнює нулю.

2) Відповідь неправильна! У небезпечній точці відмінно від нуля лише одна головна напруга. При об'ємному напруженому стані відмінні від нуля три основні напруги.

3) Відповідь правильна. Небезпечні точки розташовані нескінченно близько до верхньої грані елемента. У них виникають тільки нормальні напруги, що розтягують, від поздовжньої сили і згинального моменту. Епюри розподілу напруги від кожного внутрішнього силового фактора і результуюча епюра показані на малюнку.

Отже, у небезпечній точці буде лінійний напружений стан.

4) Відповідь неправильна! При чистому зрушенні дві основні напруги рівні, але протилежні за знаком, а третє дорівнює нулю.

Завдання 4.2.3:Напружений стан «чисте зрушення» показано на малюнку.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Рішення:

1) Відповідь неправильна! На малюнку показано плоске напружене стан – двоосьове розтягнення.

2) Відповідь неправильна! Елемент перебуває у умовах плоского напруженого стану – двовісного змішаного напруженого стану.

3) Відповідь правильна.

Чистий зсув – напружений стан, коли на гранях виділеного елементарного об'єму діють лише дотичні напруги. Якщо елементарний обсяг повернути на кут, рівний , то дотичні напруги на його гранях (майданчиках) дорівнюватимуть нулю, але з'являться нормальні (головні) напруги і . Таким чином, чистий зсув може бути реалізований розтягуванням та стисненням у двох взаємно перпендикулярних напрямках напругами, рівними по абсолютній величині.
Отже, напружений стан «чисте зрушення» показано малюнку 3.

4) Відповідь неправильна! Цей елемент відчуває лінійний напружений стан.

Завдання 4.2.4:Тип напруженого стану, що показаний на малюнку, називається…

1) лінійним; 2) плоским; 3) об'ємним; 4) чистим зрушенням.

Рішення:

1) Відповідь вірна. Тип напруженого стану визначається залежно від значень основних напруг. У прикладі одна грань вільна від дотичних напруг – це головний майданчик. Нормальну напругу, що діє на головному майданчику, називають головною напругою. У цьому випадку воно дорівнює нулю. Використовуючи формулу, знайдемо дві інші головні напруги. Після перетворень отримаємо , . Відповідно до прийнятих позначень маємо , . Дві головні напруги дорівнюють нулю. Отже, малюнку показано лінійний напружений стан.

2) Відповідь неправильна! При плоскому напруженому стані одна головна напруга дорівнює нулю. У цьому випадку дві основні напруги дорівнюють нулю.

3) Відповідь неправильна! При об'ємному напруженому стані У цьому випадку дві головні напруги дорівнюють нулю. Тому цей напружений стан не є об'ємним.

4) Відповідь неправильна! При чистому зрушенні, . Розрахунки показують, що для цього випадку це не так.

Завдання 4.2.5:Напружений стан при значеннях , , називають…

1) об'ємним; 2) чистим зрушенням; 3) плоским; 4) лінійним.

Рішення:

1) Відповідь неправильна! При об'ємному напруженому стані відмінні від нуля всі три основні напруги.

2) Відповідь неправильна! При чистому зрушенні одне значення головної напруги дорівнює нулю, а два інших рівні за величиною, але протилежні за знаком.

3) Відповідь правильна. Тип напруженого стану визначається значеннями основних напруг. У випадку, коли всі три основні напруження відмінні від нуля, маємо об'ємний напружений стан. Якщо одна головна напруга дорівнює нулю - плоский напружений стан, а коли два рівні нулю - лінійне. Отже, в даному прикладібуде плоский напружений стан.

4) Відповідь неправильна! При лінійному напруженому стані тільки одна основна напруга відмінно від нуля.

Завдання 4.2.6:На гранях елементарного об'єму (див. малюнок) діють напруги, задані в МПа. Напружений стан у точці …

1) лінійне; 2) плоске (чисте зрушення); 3) плоске; 4) об'ємне.

Рішення:

1) Відповідь неправильна! Фронтальна грань елементарного обсягу вільна від дотичних напруг. Це означає, що дана грань є головним майданчиком і одна з трьох головних напруг дорівнює (-50 МПа). Дві інші головні напруги визначте за формулою

2) Відповідь неправильна! Нагадаємо, що при чистому зрушенні одна з головних напруг дорівнює нулю. Два інших рівні за абсолютною величиною та протилежні за знаком.

3) Відповідь правильна. Передня грань елементарного обсягу вільна від дотичних напруг. Це означає, що вона є головним майданчиком і одна з трьох головних напруг дорівнює (-50 МПа). Дві інші головні напруги визначимо за формулою

Поставляючи числові значення, отримуємо


Привласнюючи головним напруженням індекси, маємо:

Таким чином, напружений стан плоский (двохосний стиск).

4) Відповідь неправильна! Фронтальна грань елементарного обсягу вільна від дотичних напруг. Це означає, що дана грань є головним майданчиком і одна з трьох головних напруг дорівнює (-50 МПа). Дві інші головні напруги можна визначити за формулою
Результати розрахунків покажуть, яке напружене стан зображено малюнку.

Напружений стан елементарного об'єму, показаний на малюнку, є …

Рішення:
Головні напруження є корінням кубічного рівняння
де:



У нашому випадку, і кубічне рівняння набуває вигляду звідки.
Таким чином, напружений стан елементарного об'єму лінійний (одновісне розтягнення).

Тема: Види напруженого стану

Сталевий кубик вставлений без зазору в жорстку обойму (див. мал.). На верхню грань кубика діє рівномірно розподілений тиск інтенсивності р. Поверхні кубика та обойми абсолютно гладкі. Напружений стан кубика показано на малюнку.

			в
			г
			б
			а

Рішення:

Сили тертя між абсолютно гладкими поверхнями кубика та обойми відсутні. Тому дотичні напруги на гранях кубика дорівнюють нулю, і всі грані є головними майданчиками. У процесі стиснення ребра кубика, спрямовані вздовж осей xі y, прагнуть подовжитися. Подовження вздовж осі yвідбувається вільно. Подовження вздовж осі xнеможливо (заважає жорстка обойма). У зв'язку з неможливістю подовження вздовж осі xз боку вертикальних площин обойми на кубик діють зусилля у вигляді рівномірно розподілених за площею навантажень з деякою інтенсивністю. Інтенсивності рі слід розглядати як головну напругу. Таким чином, із трьох головних напруг одна (по фронтальній грані кубика). Тому напружений стан кубика плоский (мал. в).

Тема: Види напруженого стану

На малюнку показаний стрижень, який працює на кручення з розтягуванням. Напружений стан у точці Доє – …

Рішення:

У точці Допоперечного перерізу діє нормальна напруга від сили F. Епюра дотичних напруг від моменту, що крутить, показана на малюнку 1. У кутових точках Тому напружений стан у точці До− лінійне (одновісне розтягування, рис. 2).

Тема: Види напруженого стану

Напружений стан елементарного об'єму є …

Рішення:

Верхня грань елементарного обсягу є головним майданчиком, тому одна головна напруга дорівнює Дві інші головні напруги обчислюємо за формулою
В даному випадку (див. рис.) підставляючи у формулу, отримуємо
Привласнюючи головним напруженням відповідні індекси, отримуємо
Напружений стан – об'ємний.

Тема: Види напруженого стану

На тіло діє рівномірно розподілений по поверхні тиск р(Див. мал.). Напружений стан елементарного об'єму є …

Рішення:

Якщо на тіло діє рівномірно розподілений по поверхні тиск р(див. рис.), то напружений стан у будь-якій точці тіла об'ємний (трьохосний стиск). При цьому за будь-якої просторової орієнтації елементарного обсягу.

Напруга є вектором і як будь-який вектор може бути представлений нормальною (стосовно майданчика) і дотичною складовими (рис. 2.3). Нормальну складову вектора напруг позначатимемо дотичну . Експериментальними дослідженнями встановлено, що вплив нормальних та дотичних напруг на міцність матеріалу по-різному, і тому надалі виявиться необхідним завжди окремо розглядати складові вектора напруг.

Рис. 2.3. Нормальна та дотична напруга в майданчику

Рис. 2.4. Відносна напруга при зрізі болта

При розтягуванні болта (див. рис. 2.2) у поперечному перерізі діє нормальна напруга

При роботі болта на зріз (рис. 2.4) в сеченйі П повинно виникати зусилля, що врівноважує зусилля.

З умов рівноваги випливає, що

Насправді останнє співвідношення визначає деяку середню напругу перерізу, яким іноді користуються для наближених оцінок міцності. На рис. 2.4 показаний вид болта після дії значних зусиль. Почалося руйнування болта, і його половина змістилася щодо інший: відбулася деформація зсуву чи зрізу.

Приклади визначення напруги в елементах конструкцій.

Розберемо найпростіші приклади, у яких припущення рівномірному розподілі напруг, вважатимуться практично прийнятним. У разі величини напруг визначаються з допомогою методу перерізів з рівнянь статики (рівнянь рівноваги).

Кручення тонкостінного круглого валу.

Тонкостінний круглий вал (труба) передає крутний момент (наприклад, від авіаційного двигуна на повітряний гвинт). Потрібно визначити напруги в поперечному перерізі валу (рис. 2.5 а). Проведемо площину перерізу П перпендикулярно до осі валу і розглянемо рівновагу відсіченої частини (рис. 2.5, б).

Рис. 2.5. Кручення тонкостінного круглого валу

З умови осьової симетрії, враховуючи малу товщину стінки, можна прийняти, що напруги у всіх точках поперечного перерізу однакові.

Строго кажучи, таке припущення справедливе лише при дуже малій товщині стінки, але в практичних розрахунках його використовують, якщо товщина стінки

де – середній радіус перерізу.

Зовнішні сили, прикладені до відсіченої частини валу, зводяться тільки до моменту, що крутить, і тому нормальні напруги в поперечному перерізі повинні бути відсутніми. Крутний момент врівноважується дотичною напругою, момент якої дорівнює

З останнього співвідношення знаходимо дотичну напругу в перерізі валу:

Напруги в тонкостінному циліндричному посудині (трубі).

У тонкостінному циліндричному посудині діє тиск (рис. 2.6, а).

Проведемо переріз площиною П, перпендикулярної до осі циліндричної оболонки, і розглянемо рівновагу відсіченої частини. Тиск, що діє на кришку судини, створює зусилля

Це зусилля врівноважується силами, що виникають у поперечному перерізі оболонки, і інтенсивність - зазначених сил - напруга - дорівнюватиме

Товщина оболонки 5 передбачається малою в порівнянні з середнім радіусом напруги вважаються рівномірно розподіленими у всіх точках поперечного перерізу (рис. 2.6 б).

Однак на матеріал труби діють не тільки напруги в поздовжньому напрямку, але і окружні (або кільцеві) напруги в перпендикулярному напрямку. Для їх виявлення виділимо двома перерізами кільце довжиною I (рис. 2.7), а потім проведемо діаметральний переріз, що відокремлює половину кільця.

На рис. 2.7 а показані напруги на поверхнях перерізу. На внутрішню поверхню труби радіусом діє тиск

Рис. 2.8. Тріщина в циліндричній оболонці при дії руйнівного внутрішнього тиску

напругоюназивається інтенсивність дії внутрішніх сил у точці тіла, тобто напруга - це внутрішнє зусилля, що припадає на одиницю площі. За своєю природою напруга - це , що виникає на внутрішніх поверхнях дотику частин тіла. Напруга, як і інтенсивність зовнішнього поверхневого навантаження, виявляється у одиницях сили, віднесених до одиниці площі:Па=Н/м 2 (МПа = 10 6 Н/м 2 , кгс/см 2 =98 066 Па ≈ 10 5 Па, тс/м 2 і т. д.).

Виділимо невеликий майданчик ∆A. Внутрішнє зусилля, яке діє на неї, позначимо ∆\vec(R). Повна середня напруга на цьому майданчику \vec(р) = ∆\vec(R)/∆A. Знайдемо межу цього відношення за ∆A \to 0 . Це і буде повним напруга на даному майданчику (точці) тіла.

\textstyle \vec(p) = \lim_(\Delta A \to 0) (\Delta\vec(R)\over \Delta A)

Повна напруга \vec p, як і рівнодіюча внутрішніх сил, прикладених на елементарному майданчику, є векторною величиною і може бути розкладено на дві складові: перпендикулярне до майданчика, що розглядається – нормальна напруга σ nі дотичне до майданчика - дотичне напруження \tau_n. Тут n- Нормаль до виділеного майданчика.

Відносна напруга, у свою чергу, може бути розкладена на дві складові, паралельні координатним осям. x, y, Пов'язаним з поперечним перетином - \tau_(nx), \tau_(ny). У назві дотичної напруги перший індекс вказує нормаль до майданчика, другий індекс - напрямок дотичної напруги.

$$\vec(p) = \left[\matrix(\sigma _n \\ \tau _(nx) \\ \tau _(nx)) \right]$$

Зазначимо, що надалі матимемо справу головним чином не з повною напругою \vec p , а з його складовими σ_x, tau _(xy), tau _(xz) . У загальному випадку на майданчику можуть виникати два види напруги: нормальне σ і дотичне τ .

Тензор напруг

При аналізі напруг в околиці цієї точки виділяється нескінченно малий об'ємний елемент (паралелепіпед зі сторонами dx, dy, dz), по кожній грані якого діють, у загальному випадку, три напруги, наприклад, для грані перпендикулярної осі x (майданчик x) – σ_x,\tau _(xy), \tau _(xz)

Компоненти напруги за трьома перпендикулярними гранями елемента утворюють систему напруг, що описується спеціальною матрицею – тензором напруг

$$ T _\sigma = \left[\matrix(
\sigma _x & \tau _(yx) & \tau _(zx) \\
\tau _(xy) & \sigma _y & \tau _(zy) \\ \tau _(xz) & \tau _(yz) & \sigma _z
)\right]$$

Тут перший стовпець представляє компоненти напруги на майданчиках,
нормальних до осі x, другий та третій – до осі y та z відповідно.

При повороті осей координат, що збігаються з нормалями до меж виділеного
елемента, компоненти напруги змінюються. Обертаючи виділений елемент навколо осей координат, можна знайти таке положення елемента, при якому всі дотичні напруги на гранях елемента дорівнюють нулю.

Майданчик, на якому дотичні напруги дорівнюють нулю, називається головним майданчиком .

Нормальна напруга на головному майданчику називається головною напругою

Нормаль до головного майданчика називається головною віссю напруг .

У кожній точці можна провести три взаємно-перпендикулярні головні майданчики.

При повороті осей координат змінюються компоненти напруги, але не змінюється напружено-деформований стан тіла (ПДВ).

Внутрішні зусилля є результатом приведення до центру поперечного перерізу внутрішніх сил, прикладених до елементарних майданчиків. Напруги – міра, що характеризує розподіл внутрішніх сил із перетином.

Припустимо, що нам відома напруга у кожному елементарному майданчику. Тоді можна записати:

Поздовжнє зусилля на майданчику dA: dN = σ z dA
Поперечна сила вздовж осі х: dQ x = \tau (zx) dA
Поперечна сила вздовж осі y: dQ y = \tau (zy) dA
Елементарні моменти навколо осей x,y,z: $$\begin(array)(lcr) dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \tau _(zy) dA \cdot x - \tau _(zx) dA \cdot y \end(array)$$

Виконавши інтегрування за площею поперечного перерізу отримаємо:

Тобто, кожне внутрішньо зусилля є сумарним результатом дії напруги по всьому поперечному перерізу тіла.

Напружений та деформований стан пружного тіла. Зв'язок між напругами та деформаціями

Поняття про напругу тіла у цій точці. Нормальна та дотична напруга

Внутрішні силові фактори, що виникають при навантаженні пружного тіла, характеризують стан того чи іншого перерізу тіла, але не дають відповіді на питання про те, яка саме точка поперечного перерізу є найбільш навантаженою, або, як кажуть, небезпечною точкою. Тому необхідно ввести на розгляд якусь додаткову величину, що характеризує стан тіла у цій точці.

Якщо тіло, якого прикладені зовнішні сили, перебуває у рівновазі, то будь-якому його перетині виникають внутрішні сили опору. Позначимо через внутрішній зусилля, що діє на елементарний майданчик, а нормаль до цього майданчика через тоді величина

(3.1)

називається повною напругою.

У загальному випадку повна напруга не збігається у напрямку з нормаллю до елементарного майданчика, тому зручніше оперувати його складовими вздовж координатних осей.

Якщо зовнішня нормаль збігається з якоюсь координатною віссю, наприклад, з віссю Х, то складові напруги набудуть вигляду при цьому складова виявляється перпендикулярною перерізу і називається нормальною напругою, а складові будуть лежати у площині перерізу та називаються дотичною напругою.

Щоб легко розрізняти нормальні та дотичні напруження зазвичай застосовують інші позначення: - нормальне напруження, - дотичне.

Виділимо з тіла, що під дією зовнішніх сил, нескінченно малий паралелепіпед, грані якого паралельні координатним площинам, а ребра мають довжину . На кожній грані такого елементарного паралелепіпеда діють по три складові напруги, паралельні координатним осям. Усього на шести гранях отримаємо 18 складових напруг.

Нормальна напруга позначається у вигляді , де індекс позначає нормаль до відповідної грані (тобто може приймати значення ). Дотичні напруги мають вигляд; тут перший індекс відповідає нормалі до того майданчика, де діє дане дотичне напруга, а другий вказує вісь, паралельно якої це напруга направлено (рис.3.1).

Рис.3.1. Нормальна та дотична напруга

Для цих напруг прийнято наступне правило знаків. Нормальна напругавважається позитивним при розтягуванні, або, що те саме, коли воно збігається з напрямком зовнішньої нормалі до майданчика, на якому діє. Відносна напругавважається позитивним, якщо на майданчику, нормаль до якої збігається з напрямом паралельної їй координатної осі, воно направлено у бік відповідної напруги позитивної координатної осі.

Складові напруги є функціями трьох координат. Наприклад, нормальну напругу в точці з координатами можна позначати

У точці, яка віддалена від розглянутої на нескінченно малій відстані, напругу з точністю до нескінченно малих першого порядку можна розкласти в ряд Тейлора:

Для майданчиків, які паралельні площині змінюється лише координата х, А прирощення Тому на межі паралелепіпеда, що збігається з площиною нормальна напруга буде , а на паралельній грані, що віддаляється на нескінченно малій відстані , - Напруги на інших паралельних гранях паралелепіпеда пов'язані аналогічним чином. Отже, із 18 складових напруги невідомими є лише дев'ять.

Теоретично пружності доводиться закон парності дотичних напруг, згідно з яким за двома взаємно перпендикулярними майданчиками складові дотичних напруг, перпендикулярні лінії перетину цих майданчиків, рівні один одному:

Можна показати, що напруги (3.3) не просто характеризують напружений стан тіла у цій точці, але визначають його однозначно. Сукупність цих напруг утворює симетричну матрицю, що називається тензором напруг:

(3.4)

Так як у кожній точці буде свій тензор напруг, то в тілі є полетензорів напруг.

При множенні тензора на скалярну величину вийде новий тензор, всі компоненти якого в рази більше компонентів вихідного тензора.