Знайти матрицю оператора в проекції на вісь. Оператори проекції. Розглянемо деякі приклади лінійних операторів

Матриця лінійного оператора

Нехай - лінійний оператор, причому простору і скінченномірні, і.

Задамо довільно базиси: в і в.

Поставимо задачу: для довільного вектора обчислити координати вектора в базисі.

Вводячи векторну матрицю-рядок, що складається з образів векторів базису, отримаємо:

Зауважимо, що останнім в цьому ланцюжку рівність має місце як раз в силу лінійності оператора.

Розкладемо систему векторів за базисом:

де - перший стовпець матриці є стовпець координат вектора в базисі.

Остаточно матимемо:

Отже, для того, щоб обчислити стовпець координат вектора в обраному базисі другого простору, досить помножити стовпець координат вектора в обраному базисі першого простору зліва на матрицю, що складається з стовпців координат образів базисних векторів першого простору в базисі другого простору.

матриця називається матрицею лінійного оператора в заданій парі базисів.

Матрицю лінійного оператора домовимося позначати тієї ж буквою, що і сам оператор, але без курсиву. Іноді будемо використовувати і таке позначення: , Опускаючи найчастіше використання на базиси (якщо це не шкодить точності).

Для лінійного перетворення (тобто, коли ) Можна говорити про його матриці в даному базисі.

Як приклад розглянемо матрицю оператора проектування з прикладу п. 1.7 (вважаючи його перетворенням простору геометричних векторів). В якості базису виберемо звичайний базис.

Отже, матриця оператора проектування на площину в базисі має вигляд:

Зауважимо, що якщо б ми розглядали оператор проектування як відображення в, розуміючи під останнім простір всіх геометричних векторів, що лежать в площині, то, беручи в якості базису базис, отримаємо вже таку матрицю:

Розглядаючи довільну матрицю розміру як лінійний оператор, що відображає арифметичне простір в арифметичне простір, і вибираючи в кожному з цих просторів канонічний базис, отримаємо, що матриця даного лінійного оператора в такій парі базисів є та сама матриця, яка визначає даний оператор - тобто, в даному випадку матриця і лінійний оператор є одне і те ж (точно так само, як при виборі канонічного базису в арифметичному векторному просторі вектор і стовпець його координат в даному базисі можна ототожнити). Але було б грубою помилкою ототожнювати вектор як такої і лінійний оператор як такийз їх поданням в тому чи іншому базисі (як шпальти або матриці). І вектор, і лінійний оператор суть геометричні, інваріантні об'єкти, визначаються незалежно від будь-якого базису. Так, коли ми, наприклад, малюємо геометричний вектор як спрямований відрізок, то він визначений абсолютно інваріантної, тобто нам, коли ми його малюємо, немає ніякого діла до базисів, систем координат та т. п., і ми можемо їм оперувати чисто геометрично. Інша справа, що для зручностіцього оперування, для зручності обчислень з векторами, ми будуємо певний алгебраїчний апарат, вводячи системи координат, базиси і пов'язану з ними чисто алгебраїчну техніку обчислень над векторами. Образно кажучи, вектор, як «голий» геометричний об'єкт, «одягається» в різні координатні уявлення в залежності від вибору базису. Але людина може надіти на себе найрізноманітніше плаття, від чого його суть як людини не змінюється, але вірно і те, що не будь-яке плаття підходить до тієї чи іншої ситуації (на пляж не підеш в концертному фраку), та й голим теж не скрізь пройдешся. Так і не будь-який базис годиться для вирішення даного завдання, так само як і чисто геометричне рішення може виявитися занадто складним. Ми побачимо в нашому курсі, як для вирішення такого, здавалося б, суто геометричній завдання, як класифікація поверхонь другого порядку, будується досить складна і красива теорія алгебри.

Розуміння відмінності геометричного об'єкта від його уявлення в тому чи іншому базисі становить основу сприйняття лінійної алгебри. І геометричним об'єктом зовсім не зобов'язаний бути саме геометричний вектор. Так, якщо ми поставимо арифметичний вектор , То його можна ототожнити зі стовпцем його координат в канонічному базисі , Бо (див. Перший семестр):

Але введемо інший базис в, що складається з векторів і (перевірте, що це дійсно базис!) І, використовуючи матрицю переходу, перерахуємо координати нашого вектора:

Ми отримали зовсім інший стовпець, але він представляє в іншому базисі той же самий арифметичний вектор.

Сказане про вектори застосовно і до лінійним операторам. Те, чим для вектора є його координатне уявлення, тим для лінійного оператора є його матриця.

Отже (повторимо ще раз), потрібно чітко розмежовувати самі по собі інваріантні, геометричні, об'єкти, які вектор і лінійний оператор, і їх уявлення у тому чи іншому базисі (Мова, зрозуміло, йде про скінченновимірних лінійних просторах).

Займемося тепер якраз завданням перетворення матриці лінійного оператора при переході від однієї пари базисів до іншої.

нехай - нова пара базисів в івідповідно.

Тоді (позначаючи матрицю оператора в парі «штрихованих» базисів) отримаємо:

Але з іншого боку,

звідки, в силу єдиності розкладання вектора по базису

Для лінійного перетворення формула приймає більш простий вигляд:

Матриці і, пов'язані таким співвідношенням, називаються подібними.

Легко бачити, що детермінанти подібних матриць збігаються.

Введемо тепер поняття рангу лінійного оператора.

За визначенням це число, рівне розмірності образу даного оператора:

Доведемо наступне важливе твердження:

Твердження 1. 10 Ранг лінійного оператора збігається з рангом його матриці, незалежно від вибору базисів.

Доведення. Перш за все, зауважимо, що образ лінійного оператора є лінійна оболонка системи, де - базис в просторі.

дійсно,

які б не були числа, але це і означає, що є зазначеної лінійної оболонкою.

Розмірність лінійної оболонки, як ми знаємо (див. П. 1.2) збігається з рангом відповідної системи векторів.

Ми раніше довели (п. 1.3), що якщо система векторів розкладена по деякому базису у вигляді

то за умови незалежності системи стовпці матриці лінійно незалежні. Можна довести і більш сильне твердження (це доказ ми опускаємо): ранг системи дорівнює рангу матриці, причому, цей результат не залежить від вибору базису, так як множення матриці на невироджених матрицю переходу не змінює її рангу.

оскільки

Так як, очевидно, ранги подібних матриць збігаються, то даний результат не залежить від вибору конкретного базису.

Затвердження доведено.

для лінійного перетворення деякого конечномерного лінійного простору ми можемо ввести і поняття детермінанта даного перетворення як детермінанта його матриці в довільно фіксованому базисі, бо матриці лінійного перетворення в різних базисах подібні і мають, отже, однакові детермінанти.

Використовуючи поняття матриці лінійного оператора, доведемо наступну важливу співвідношення: для будь-якого лінійного перетворення -мірного лінійного простору

Виберемо довільно базис в просторі. Тоді ядро \u200b\u200bскладається з тих і тільки тих векторів, стовпці координат яких суть рішення однорідної системи

а саме, вектор тоді і тільки тоді, коли стовпчик є рішення системи (1).

Іншими словами, має місце ізоморфізм ядра на простір рішень системи (1). Отже, розмірності цих просторів збігаються. Але розмірність простору рішень системи (1) дорівнює, як ми вже знаємо,, де - ранг матриці. Але ми тільки що довели, що

1. Оператори проектування і ідемпотентів кільця

Нехай векторне простір V одно прямий сумі підпросторів W і L:. За визначенням прямої суми це означає, що кожен вектор vV однозначно представимо у вигляді v \u003d w + l, wW. lL.

Визначення 1. Якщо, так що v \u003d w + l, то відображення, що зіставляє кожному вектору vV його компоненту (проекцію) wW, називається проектором простору V на простір W. називають також оператором проектування, або проекційним оператором.

Очевидно, якщо wW, то (w) \u003d w. Звідси випливає, що володіє таким чудовим властивістю 2 \u003d Р.

Визначення 2. Елемент е кільця K називається ідемпотентів (т. Е. Подібним одиниці), якщо е 2 \u003d е.

У кільці цілих чисел є всього два ідемпотентів: 1 і 0. Інша річ в кільці матриць. Наприклад, матриці, - ідемпотентів. Матриці операторів проектування також ідемпотентів. Відповідні їм оператори називаються Ідемпотентний операторами.

Розглянемо тепер пряму суму n підпросторів простору V:

Тоді аналогічно нагоди прямий суми двох підпросторів можемо отримати n операторів проектування, ...,. Вони мають властивість \u003d\u003d 0 при ij.

Визначення 3. Ідемпотентів e i і e j (ij) називаються ортогональними, якщо e i e j \u003d e j e i \u003d 0. Отже, і - ортогональні ідемпотентів.

З того, що IV \u003d V, і з правила складання лінійних операторів слід, що

Це розкладання називається розкладанням одиниці в суму ідемпотентів.

Визначення 4. Ідемпотентів е називається мінімальним, якщо його не можна представити у вигляді суми ідемпотентів, відмінних від е і 0.

2. Канонічне розкладання уявлення

Визначення 5. Канонічним розкладанням уявлення Т (g) називається його розкладання виду Т (g) \u003d n 1 T 1 (g) + n 2 T 2 (g) + ... + nt T t (g), в якому еквівалентні Непріводімие уявлення Т i (g ) об'єднані разом, причому ni - кратність входження неприводимого уявлення T i (g) в розкладання T (g).

Теорема 1. Канонічний розклад подання визначається за допомогою проекційного оператора виду

I \u003d 1, 2, ..., t, (31)

де | G | - порядок групи G; m i - ступеня уявлень T i (g), де i \u003d 1, 2, ..., t; i (g), i \u003d 1, 2, ..., t - характери незвідних представлень T i (g). При цьому m i визначається за формулою

3. Проекційні оператори, пов'язані з матрицями непріводімих уявлень груп

За допомогою формул (31) можна отримати тільки канонічний розклад уявлення. У загальному випадку, треба скористатися матрицями непріводімих уявлень, які дозволяють побудувати відповідні оператори проектування.

Теорема 2. Нехай - матричні елементи неприводимого уявлення T r (g) групи G. Оператор виду

є оператором проектування і називається оператором Вигнера. У вираженні (33) m r - розмірність уявлення T r (g).

4. Розкладання уявлення в пряму суму непріводімих уявлень за допомогою оператора Вигнера

Позначимо через М модуль, пов'язаний з поданням Т. Нехай непріводімим уявленням Т 1, Т 2, ..., Т t з канонічного розкладання уявлення відповідно до методу, описаного раніше (див. § 4), відповідають Непріводімие підмодулі М 1, М 2, ..., М t. Розкладання модуля М виду

називається канонічним розкладанням модуля М. Позначимо niMi \u003d Li, так, що

Непріводімие підмодулі модулів L i позначимо

; i \u003d 1, 2, ..., t. (36)

Ці модулі нам необхідно знайти.

Припустимо, що задача вирішена. Отже, в кожному з модмодулей M i (s) (s \u003d 1, 2, ..., ni) знайдена ортонормированном база, в якій оператор представлений матрицею Т i (g) неприводимого уявлення Т, отриманого в результаті дії (за правилом з § 3 ) оператора на базу за формулою

J \u003d 1, 2, ..., m i. (37)

У цьому виразі можна вважати, що m i - розмірність неприводимого уявлення T i (i \u003d 1, 2, ..., t), причому - елементи бази з номером g з неприводимого підмодуля M i. Розмістимо тепер елементи бази L i при фіксованому i наступним чином:

Справа в вираженні (38) розташовані бази модулів M i (1), M i (2), ...,. Якщо ж i змінювати від 1 до t, то отримаємо шукану базу всього модуля М, що складається з m 1 n 1 + m 2 n 2 + ... + m t n t елементів.

Розглянемо тепер оператор

чинний в модулі М (j фіксоване). Згідно з теоремою 2, - оператор проектування. Тому цей оператор залишає без зміни все базисні елементи (s \u003d 1, 2, ..., n i), розташовані в j-му стовпці вираження (38), і звертає в нуль всі інші вектори бази. Позначимо через M ij векторний простір, натягнуте на ортогональну систему векторів, що стоять в j-му стовпці вираження (38). Тоді можна сказати, що є оператором проектування на простір M ij. Оператор відомий, так як відомі діагональні елементи матриць непріводімих уявлень груп, а також оператор T (g).

Тепер можна вирішити нашу задачу.

Виберемо n i довільних базисних векторів в M: і подействуем на них оператором проектування. Отримані вектори лежать в просторі M ij і є лінійно незалежними. Вони не обов'язково ортогональні і нормовані. Ортонорміруем отриману систему векторів згідно з правилом з § 2. Отриману систему векторів позначимо e ij (s) відповідно з позначками, які в припущенні, що завдання виконане. Як вже позначалося, тут j фіксоване, а s \u003d 1, 2, ..., n i. Позначимо e if (s) (f \u003d 1, 2, ..., j-1, j + 1, ..., m i), інші елементи бази модуля M i розмірності n i m i. Позначимо через наступний оператор:

Зі співвідношень ортогональности для матриць непріводімих уявлень випливає, що цей оператор дає можливість отримати e ig s за формулою

I \u003d 1, 2, ..., t. (41)

Все сказане можна виразити у вигляді наступного алгоритму.

Для того, щоб знайти базу модуля М з елементів, що перетворюються за непріводімим уявленням Т i, що містяться в поданні Т, пов'язаному з модулем М, необхідно:

За формулою (32) знайти розмірності підпросторів М ij, відповідних j-компоненті неприводимого уявлення T i.

Знайти за допомогою оператора проектування (39) все підпростору M ij.

У кожному підпросторі M ij вибрати довільну ортонормированном базу.

Використовуючи формулу (41), знайти всі елементи бази, перетворюються по інших компонентів неприводимого уявлення Т i.

Бра- та кет- вектори Дирака чудові тим, що за допомогою них можна записати різні типи творів.

Твір бра-вектора на кет- вектор називається скалярним твором або внутрішнім твором. По суті це стандартне матричне твір за правилом «рядок на стовпець». Результатом його є комплексне число.

Твір кет-вектора на інший кет-вектор дає вже не число, а інший кет-вектор. Він теж видається вектор-стовпцем, але з кількістю компонент рівному твору розмірностей вихідних векторів. Таке твір називається тензорним твором або твором Кронекера.

Аналогічно і для твору двох бра-векторів. Отримаємо велику вектор-рядок.

Останнім залишається варіант з перемножением кет-вектора на бра-вектор. Тобто необхідно перемножити стовпець на рядок. Таке твір також називається тензорним або зовнішнім твором. В його результаті виходить матриця, тобто оператор.

Розглянемо приклад використання таких операторів.

Візьмемо який-небудь довільний ермітів оператор А. Згідно постулатам йому відповідає якась спостерігається величина. Власні вектори ермітовим оператора формують базис. Найбільш загальний вектор стану можна розкласти по цим базисом. Тобто уявити сумою базисних векторів з певними комплексними коефіцієнтами. Даний факт відомий як принцип суперпозиції. Перепишемо вираз через знак суми.

Але коефіцієнти в розкладанні вектора за базисними є амплітуди ймовірності, тобто скалярний добуток вектора стану з відповідним базисним вектором. Запишемо цю амплітуду праворуч від вектора. Вираз під знаком суми можна розглядати як множення кет-вектора на комплексне число - амплітуду ймовірності. З іншого боку його можна розглядати як твір матриці, отриманої множенням кет-вектора на бра-вектор, і вихідного кет-вектора. Кет-вектор можна винести з під знаку суми за дужку. Праворуч і ліворуч знака рівності виявиться один і той же вектор пси. Це означає, що вся сума нічого не робить з вектором і відповідно дорівнює одиничної матриці.

Дана формула сама по собі дуже корисна при маніпулюванні виразами з творами бра- та кет- векторів. Адже одиницю можна вставити в будь-яке місце твори.

Подивимося що ж собою являють матриці, що входять в суму і одержувані тензорним твором базисного кет-вектора зі своїм ермітовим сполученням. Знову ж для наочності проведемо аналогію зі звичайними векторами в тривимірному просторі.

Виберемо поодинокі базисні вектори ex ey і ez, що збігаються за напрямком з осями координат. Тензорне твір вектора ex на своє сполучення буде представлятися наступній матрицею. Візьмемо довільний вектор v. Що ж буде при множенні цієї матриці на вектор? Дана матриця просто обнулила всі компоненти вектора крім х. В результаті вийшов вектор, спрямований уздовж осі х, тобто проекція вихідного вектора на базисний вектор ex. Виходить наша матриця є не що інше як оператор проекції.

Два оператора проекції на базисні вектори ey і ez представляються схожими матрицями і виконують аналогічну функцію - обнуляют все крім однієї компоненти вектора.

Що ж вийде при підсумовуванні операторів проекції? Складемо наприклад оператори Px і Py. Така матриця буде обнуляти тільки z-компоненту вектора. Підсумковий вектор завжди буде лежати в площині x-y. Тобто ми маємо оператор проекції на площину x-y.

Тепер зрозуміло чому сума всіх операторів проекції на базисні вектори дорівнює одиничної матриці. У нашому прикладі ми отримаємо проекцію тривимірного вектора на саме тривимірний простір. Одинична матриця по-суті і є проектор вектора самого на себе.

Виходить завдання оператора проекції еквівалентно завданням підпростору вихідного простору. В даному випадку тривимірного евклідового простору це може бути одномірна лінія, що задається одним вектором або двовимірна площина, що задається парою векторів.

Повертаючись до квантової механіки з її векторами стану в гільбертовому просторі, можна сказати що оператори проекції задають підпростір і проектують вектор стану в це Гільбертів підпростір.

Наведемо основні властивості операторів проекції.

Послідовне застосування одного і того ж оператора проекції еквівалентно одному оператору проекції. Зазвичай ця властивість записують як P 2 \u003d P. Дійсно, якщо перший оператор спроектували вектор в підпростір, то другий вже нічого з ним не зробить. Вектор адже вже буде знаходитися в цьому підпросторі.
Оператори проекції є ермітовим операторами, відповідно в квантовій механіці їм відповідають спостережувані величини.
Власні значення операторів проекції будь-якої розмірності це тільки числа одиниця і нуль. Знаходиться вектор в підпросторі або не виявляється. Через таку бінарної, описувану оператором проекції спостерігається величину можна сформулювати у вигляді питання, відповіддю на який буде «так» або «ні». Наприклад, чи направлений спин першого електрона в синглетному стані вгору по осі z? Такому питання можна поставити у відповідність оператор проекції. Квантова механіка дозволяє порахувати ймовірності для відповіді «так» і для відповіді «ні».

Надалі ми ще будемо говорити про операторів проекції.