Densitatea puterii spectrale. A) zgomot alb

Cea mai importantă caracteristică a proceselor staționare aleatorii este densitatea de putere spectrală care descrie distribuția puterii de zgomot asupra spectrului de frecvență. Luați în considerare un proces aleatoriu staționar, care poate fi reprezentat de o secvență aleatorie de impulsuri de tensiune sau de curent, urmându-se reciproc la intervale de timp aleator. Procesul cu o secvență aleator de impulsuri este nereperiodic. Cu toate acestea, putem vorbi despre spectrul unui astfel de proces, înțelegere în acest caz, distribuția puterii în frecvențe.

Pentru a descrie zgomotul, este introdus conceptul de densitate spectrală de zgomot (SPM), numit și o densitate spectrală (joint venture) de zgomot, care este determinată de raport:

unde . P.(f.) - Puterea de zgomot medie în banda de frecvență f.la frecvența de măsurare f..

După cum rezultă din raport (2.10), asociația în comun are dimensiunea W / Hz. În cazul general, SP este funcția de frecvență. Dependența zgomotului SPE de la frecvență este numită spectromul energetic.care transporta informații despre caracteristicile dinamice ale sistemului.

Dacă procesul aleator este ergodic, atunci spectrul energetic al unui astfel de proces poate fi găsit pe singura implementare, care este utilizată pe scară largă în practică.

Când se analizează caracteristicile spectrale ale procesului staționar aleatoriu, este adesea necesar să se utilizeze conceptul de lățime a spectrului de zgomot. Zona sub curba spectrului energetic al procesului aleator acoperit cu zgomot la o anumită frecvență caracteristică f. 0, numit lățimea eficientă a spectruluicare este determinată de formula:

(2.11)

Această amploare poate fi interpretată ca lățimea spectrului de energie uniform al procesului aleator în bandă
echivalentă cu puterea medie luată în considerare.

Puterea de zgomot P.Închis în banda de frecvență f. 1 …f. 2, egal

(2.12)

Dacă SP COF este în banda de frecvență f. 1 ...f. 2 Constant și egal S. 0, apoi pentru puterea de zgomot în această bandă de frecvență, avem:
unde " f.=f. 2 -f. 1 - bandă de frecvență trecută de un circuit sau un instrument de măsurare.

Un caz important al unui proces staționar aleatoriu este un zgomot alb pentru care densitatea spectrală nu depinde de frecvența într-o gamă largă de frecvențe (teoretic - într-o gamă de frecvență infinită). Spectrul de energie al zgomotului alb în intervalul de frecvență -∞< f. < + ∞ este dată de expresie:

= 2S. 0 \u003d const, (2.13)

Modelul de zgomot alb descrie procesul aleator fără memorie (fără ameriziune). Zgomot alb în sisteme cu un număr mare de elemente omogene simple și se caracterizează prin distribuirea amplitudinii fluctuațiilor conform legii normale. Proprietățile zgomotului alb sunt determinate de statisticile evenimentelor unice independente (de exemplu, mișcarea termică a transportatorilor de încărcare în conductor sau semiconductor). În același timp, un zgomot alb adevărat, cu o bandă de frecvență infinită, deoarece are o putere nesfârșită.

În fig. 2.3. Oscilograma tipică a zgomotului alb este dată (dependența valorilor de tensiune instantanee din timp) (figura 2.3a) și funcția de distribuție a probabilității a valorilor de tensiune instantanee e.care este o distribuție normală (figura 2.3b). Zona umbrită sub curbă corespunde probabilității apariției valorilor de tensiune instantanee e.depășind valoarea e. 1 .

Smochin. 2.3. O oscilogramă tipică a zgomotului alb (a) și funcția de distribuire a densității de probabilitate a valorilor instantanee ale amplitudinii tensiunii de zgomot (B).

În practică, atunci când se estimează amploarea zgomotului oricărui element sau a P / N, instrumentul este măsurat de obicei prin tensiunea medie a zgomotului mediu În unități din 2 sau în unitățile standard pentru TOKV A 2. În același timp, asociația în comun este exprimată în unități în 2 / hz sau 2 / hz și densitatea spectrală a fluctuațiilor de tensiune S. u. (f.) sau curent S. I. (f.) Calculați conform următoarelor formule:

(2.14)

unde
și - tensiune de zgomot medie medie și curent în banda de frecvență f.respectiv. Trăsăturile de mai sus înseamnă o medie de timp.

În probleme practice, atunci când se iau în considerare fluctuațiile diferitelor cantități fizice, este introdus conceptul de densitate spectrală generalizată a fluctuațiilor. În același timp, asociația articulațiilor de fluctuații, de exemplu, pentru rezistență R.acesta este exprimat în unitățile OM 2 / Hz; Fluctuațiile de inducție magnetică sunt măsurate în unități de TL 2 / Hz și fluctuațiile de frecvență ale autovehiculului - în unitățile Hz 2 / Hz \u003d Hz.

La compararea nivelului de zgomot în două hectare liniare de același tip, este convenabil să se utilizeze densitatea spectrală relativă a zgomotului, care este definită ca

=
, (2.15)

unde u.- Tensiune constantă care se încadrează pe un tricou liniar.

Așa cum se poate vedea din expresia (2.15), densitatea spectrală relativă a zgomotului S.(f.) Este exprimat în unități de HZ -1.

Următoarea este o scurtă descriere a unor semnale, iar densitățile lor spectrale sunt determinate. La determinarea densităților spectrale ale semnalelor care satisfac starea integrării absolute, folosim direct cu formula (4.41).

Densitatea spectrală a unui număr de semnale sunt prezentate în tabel. 4.2.

1) impuls dreptunghiular (Tabelul 4.2, POS. 4). Oscilația prezentată în fig. (4.28, a), poate fi scris ca

Densitatea sa spectrală

Graficul de densitate spectrală (figura 4.28, a) este construit pe baza unui spectru anterior de analiză a unei secvențe periodice de impulsuri unipolare și dreptunghiulare (4.14). După cum se poate vedea din (figura 4.28, b), funcția se adresează la zero la valorile argumentului \u003d n.Unde p. - 1, 2, 3, ... - Orice număr întreg. În acest caz, frecvențele unghiulare sunt egale \u003d.

Smochin. 4.28. Imprint forma dreptunghiulară (A) și densitatea spectrală (B)

Densitatea spectrală a pulsului este numerică egală cu zona sa, adică. G.(0)=A.. Această poziție este valabilă pentru impuls s.(t.) formă arbitrară. Într-adevăr, crezând în expresia generală (4.41) \u003d 0, ajungem

i.E. Piața Pulse s.(t.).

Tabelul 4.3.

	Semnal s.(t.)			Densitatea spectrală

Când pulsul care se întinde distanța dintre zerouri funcționează, adică spectrul. Valoarea în același timp crește. Dimpotrivă, atunci când pulsul este comprimat, spectrul său este extins și valoarea scade. Pe (Fig.4.29, A, B) prezintă grafice de corectoare de amplitudine și fază ale pulsului dreptunghiular.

Smochin. 4.29. Amplitudinea graficelor (a) Fig. 4.30 Pulsul formei dreptunghiulare și spectrele de fază (B) s-au mutat la momentul respectiv

Când pulsul se deplasează spre dreapta (întârziere) pentru o perioadă de timp (fig.430), spectrul de fază variază de valoarea determinată de argumentul multiplicăRexp (Tabelul 4.2, POS. 9). Spectrul de fază rezultat al impulsului întârziat este descris în fig. 4.29, B punctat.

2) Funcția Delta (Tabelul 4.3, POS. 9). Densitate spectrală - Formula funcțiilor (4.41), utilizând o proprietate de filtrare δ -Funcţie:

Astfel, spectrul de amplitudine este uniform și este o zonă determinată δ - Funcția [\u003d 1] și spectrul de fază este zero [\u003d 0].

Reverse transformarea Fourier din funcția \u003d 1 Utilizați ca una dintre definiții δ -Funcţie:

Folosind proprietatea schimbării temporare (Tabelul 4.2, POS. 9), determinați densitatea spectrală a funcției , întârzierea timpului relativ :

Amplitudinea și spectrul de fază a funcției sunt prezentate în tabel. 4.3, POS. 10. Transformarea Fourier inversă din funcție are forma

3) oscilarea armonică (Tabelul 4.3, POS. 12). Oscilarea armonică nu este un semnal absolut integrat. Cu toate acestea, pentru a determina densitatea spectrală, transformarea directă a formulei Fourier, înregistrarea (4.41) sub formă de:

Apoi, luând în considerare (4.47)

δ(ω) - funcțiile Delta, schimbate de-a lungul benzilor de frecvență, respectiv la dreapta și spre stânga relativ. După cum se poate observa din (4.48), densitatea spectrală a oscilațiilor armonice cu amplitudinea finală ia infinit importantă pe frecvența discretă.

Efectuarea de transformări similare, puteți obține densitatea spectrală a oscilației (Tabelul 4.3, POS. 13)

4) Tip de tip (Tabelul 4.3, POS. 11)

Densitatea spectrală a semnalului sub forma unui nivel constant DAR Determinată prin formula (4.48), punerea \u003d 0:

5) Funcția unică (sau saltul unității) (Tabelul 4.3, POS 8). Funcția nu este absolut integrabilă. Dacă vă trimiteți ca limită de impulsuri exponențială , adică

densitatea spectrală a funcției poate fi determinată ca o limită a densității spectrale a impulsului exponențial (Tabelul 4.3, POS. 1) la:

Termenul precis din partea dreaptă a acestei expresii este zero la toate frecvențele, cu excepția \u003d 0, unde se referă la infinit, iar zona sub funcția este egală cu o valoare constantă

Prin urmare, limita primului termen poate fi considerată o funcție. Limita celui de-al doilea mandat este o funcție. În cele din urmă ajunge

Prezența a doi termeni în expresie (4.51) este în concordanță cu prezentarea funcției 1/2 + 1 / 2SIGN ( t.). Componenta permanentă de 1/2 conform (4.50) corespunde densității spectrale și o funcție ciudată. - valoarea imaginară a densității spectrale.

Atunci când analizați efectul unui salt unic pe lanț, funcția de transfer a căror AT \u003d 0 este egală cu zero (adică pe lanțurile care nu trec prin curentul constant), în formula (4.51), puteți lua în considerare numai al doilea termen, reprezentând densitatea spectrală a unui singur salt sub formă de

6) Semnal exponențial complex (Tabelul 4.3, POS. 16). Dacă trimiteți o funcție

că, pe baza liniarării transformării Fourier și luând în considerare expresii (4.48) și (4.49), densitatea spectrală a semnalului exponențial complex

În consecință, semnalul complex are un spectru asimetric reprezentat de o funcție deltă deplasată în poziție de frecvență relativ.

7) Funcția periodică arbitrară. Imaginați-vă o funcție periodică arbitrară (figura 4.31, a) complexă lângă Fourier

unde - frecvența impulsurilor.

Coeficienții din seria Fourier.

exprimate prin valorile densității spectrale a unui singur impuls s.(t.) la frecvențe ( n.=0, ± 1, ± 2, ...). Substituirea (4.55) în (4.54) și utilizând raportul (4.53), determină densitatea spectrală a funcției periodice:

Conform (4.56), densitatea spectrală a unei funcții periodice arbitrare are forma unei funcții de secvență mutate reciproc, pe frecvența (figura 4.31, b). Coeficienți pentru δ - Funcționarea variază în conformitate cu impactul cu densitate spectrală s.(t.) (curba punctată în figura 4.31, b).

8) Secvența periodică a funcțiilor Δ (Tabelul 4.3, POS. 17). Densitatea spectrală a soluției periodice

determinată prin formula (4.56) ca un caz special de densitate spectrală a funcției periodice atunci când = 1:

Fig.4.31. Secvența de puls arbitrară (A) și densitatea spectrală (B)

Smochin. 4.32. Semnalul radio (A), densitatea spectrală radio (B) și plicul său (B)

și are vedere la o secvență periodică δ -Funcționalități multiplicate cu coeficientul.

9) semnal radio cu plic dreptunghiular. Semnalul radio prezentat pe (figura 4.32, a) poate fi scris ca

Conform postului. 11 Tabelul 4.2 Densitatea spectrală a semnalului radio este obținută prin deplasarea plicului de densitate spectrală pe axa de frecvență din dreapta și lăsată cu o scădere a ordonată, de două ori, adică.

Această expresie este obținută de la (4.42) prin înlocuirea frecvenței la deplasarea frecvenței spre dreapta și trecerea spre stânga. Transformarea spectrului de plicul (figura 4.32, b, c).

Exemple de calcul al spectrelor semnalelor nere periodice sunt de asemenea date în.

Măsurarea procesului aleatoriu, setul (ansamblul) al funcțiilor de timp, este necesar să se țină cont de faptul că funcțiile având o formă diferită corespund diferitelor caracteristici spectrale. Medierea densității spectrale complexe introduse în § 2.6 sau 2.1, în toate funcțiile conduce la un spectru zero al procesului (când) datorită accidentului și independenței fazelor componentelor spectrale în diferite implementări.

Cu toate acestea, este posibil să se introducă conceptul de densitate spectrală a pătratului mijlociu al funcției aleatorii, deoarece valoarea jumătății Piața nu depinde de raportul dintre fazele armonicii sumate. Dacă se înțelege tensiunea electrică sau curentul sub funcția aleator, atunci pătratul mediu al acestei funcții poate fi considerat ca o putere medie eliberată în rezistență la 1 ohm. Această putere este distribuită în termeni de frecvențe în unele benzi, în funcție de mecanismul de formare a unui proces aleatoriu. Densitatea spectrală a puterii medii este o putere medie la 1 Hz la o frecvență dată. Dimensiunea funcției care este raportul dintre puterea la banda Astot, este

Densitatea spectrală a procesului aleator poate fi găsită dacă este cunoscut mecanismul de formare a unui proces aleator. În ceea ce privește zgomotul asociat cu structura atomică a materiei și a energiei electrice, această sarcină va fi luată în considerare în § 7.3. Aici suntem limitați la mai multe definiții generale.

După excluderea oricărei realizări din ansamblu și limitând durata acestuia la intervalul final, puteți aplica transformarea obișnuită Fourier la acesta și găsiți densitatea spectrală (CO). Apoi, energia segmentului în cauză poate fi calculată utilizând formula (2.66):

Împărțirea acestei energii la obținerea puterii medii a implementării K pe segmentul T

Cu o creștere a t, energia crește, dar atitudinea caută o limită. După ce a comis limita

este densitatea spectrală a puterii medii a implementării în cauză.

În general, valoarea trebuie să fie medie pe o varietate de implementări. Restricționat în acest caz Prin luarea în considerare a procesului staționar și ergodic, se poate presupune că funcția descoperită prin medie pe o singură implementare caracterizează întregul proces în ansamblu.

Omiterea indexului K, obținem expresia finală pentru puterea medie a procesului aleator

Dacă un proces aleatoriu cu valoare medie non-zero, densitatea spectrală trebuie trimisă în formular

Curs 7.

Procesul de putere aleator spectral

Măsurarea procesului aleator al setului (ansamblului) implementărilor, este necesar să se țină cont de faptul că implementările cu diferite forme corespund diferitelor caracteristici spectrale. Media densității spectrale complexe în toate implementările conduce la un spectru zero al procesului (cu o medie \u003d 0) datorită accidentului și independenței fazelor componentelor spectrale în diferite implementări. Cu toate acestea, este posibil să se introducă conceptul de densitate spectrală a pieței mijlocii a variabilei aleatorie, deoarece amploarea pieței mediane nu depinde de raportul dintre fazele armonicii sumate. Dacă sub funcția aleatorie x (t) înseamnă tensiune electrică sau curent, atunci pătratul mediu al acestei funcții poate fi considerat ca puterea medie separată în rezistența de 1 Ohm. Această putere este distribuită în termeni de frecvențe în unele benzi, în funcție de mecanismul de formare a unui proces aleatoriu. Densitatea spectrală a puterii medii este o putere medie la 1 Hz la o frecvență dată ω . Densitatea spectrală introdusă astfel S.(ω) În viitor, vom numi spectrul energetic al funcției x.(t.) . Semnificația unui astfel de nume este determinată de dimensiunea funcției S.(ω) Care este raportul dintre puterea la banda de frecvență:

[S.(ω) ] \u003d [Star de putere / frecvență] \u003d [Power × Ora] \u003d [Energie],

Spectrul de energie poate fi găsit dacă este cunoscut mecanismul formării unui proces aleator. Aici suntem limitați la unele definiții ale naturii generale.

Metode de calculare a SPM.

Funcțiile densității spectrale pot fi determinate de trei metode echivalente diferite pe care le considerăm mai jos:

Cu funcții de covariance;

Folosind transformarea finită a lui Fourier;

Cu filtrare, construcție și medie.

Definiția spectrelor folosind funcții de corelație.

Din punct de vedere istoric, prima modalitate de a determina densitatea spectrală a apărut în matematică. Se compune în luarea transformării Fourier din funcția de corelare pre-calculată. După scăderea valorilor medii, o astfel de transformare (infinită) Fourier există de obicei, chiar dacă nu există o transformare (infinită) a procesului Fourier a sursei. Această abordare oferă o densitate spectrală față-verso definită pentru frecvență f. de la - la + și notat S.(f.) .

Să existe funcții de corelare și corelare reciprocă R X.(t.), R y.(t.) și R xy.(t.) . Să presupunem, de asemenea, că integralele din valorile lor absolute sunt finite

R.( d.

În practică, aceste condiții sunt întotdeauna efectuate pentru realizarea lungimii finale. Apoi funcțiile PF R.(t.) există și sunt determinate prin formule

S x (f) \u003d

S y (f) \u003d (1)

S xy (f) \u003d

Astfel de integrele pe implementările finite există întotdeauna. Funcții S X.(f.) și S y.(f.) Apelați funcțiile densității spectrale a proceselor x.(t.) și y.(t.) respectiv sau pur și simplu densități spectrale și funcția apelați densitatea spectrală reciprocă a două procese x.(t.) și y.(t.) .

Inversul PF din formule (1) dau

R X.(τ ) =

R y.(τ ) = (2)

R xy.(τ ) = dF..

Relațiile (1) și (2) se numesc formule Wiener Hinchin, care în anii 1930 au stabilit în mod independent relația dintre funcțiile de corelare și densitatea spectrală prin PF. La rezolvarea sarcinilor practice, trebuie să recunoașteți R.(t.) și S.(f.) Prezența funcțiilor Deltei.

Din proprietățile de simetrie a funcțiilor de covariance staționare urmează

S x (-f) \u003d S x (f) A. S xy (-f) \u003d s yx (f)

În consecință, densitatea spectrală S X.(f.) - Funcție uniformă uniformă, a S xy.(f.) - funcția complexă de la f..

Apoi, relațiile spectrale din (1) pot fi convertite în minte

Corporația internațională de învățământ

Facultatea de Științe Aplicate

abstract

pe subiect"Spectrul de densitate de putere și conexiunea sa cu funcția de corelație"

Prin disciplină"Teoria comunicării electrice »

Efectuat:grupul student

FPN-Rait (S) -4C *

Jumageldin D.

Verificat:Glukhova n.v.

Almaty, 2015.

INTRODUCERE

Partea principală

1. Densitatea spectrală de putere

1.1 variabile aleatoare

1.2 Densitatea probabilității funcției de la variabila aleatorie

2. Proces aleatoriu

3. Metodă pentru determinarea densității de putere spectrală prin funcție de corelare

Concluzie III.

Lista literaturii utilizate

Introducere

Teoria probabilității consideră variabile aleatorii și caracteristicile acestora în "static". Sarcinile descrierii și studiului semnalelor aleatorie "în dinamică" ca afișare a fenomenelor aleatorii care se dezvoltă în timp sau pe orice altă variabilă rezolvă teoria proceselor aleatorii.

Ca o coordonată universală pentru distribuția variabilelor aleatorii la o variabilă independentă, vom folosi, de regulă, variabila "t" și o interpretăm, curată pentru comoditate, ca o coordonată temporară. Distribuția variabilelor aleatorii în timp, precum și semnalele care sunt afișate în orice formă matematică, se numește de obicei procese aleatorii. În literatura tehnică, termenii "semnal aleator" și "proces aleatoriu" sunt folosite ca sinonime.

În procesul de prelucrare și analiză a datelor fizico-tehnice, este de obicei necesar să se ocupe de trei tipuri de semnale descrise prin metode statistice. În primul rând, aceste semnale de informație care prezintă procese fizice sunt probabiliste în natură, cum ar fi actele de înregistrare a particulelor de radiație ionizantă în timpul dezintegrării radionuclizilor. În al doilea rând, semnalele de informații dependente de anumiți parametri ai proceselor sau obiectelor fizice, valorile care sunt în avans sunt necunoscute și care de obicei sunt supuse unei definiții conform semnalelor de informare. În al treilea rând, acestea sunt zgomote și interferențe, variabile haotice în timp, care însoțesc semnalele de informare, dar, de regulă, sunt independente statistic ale acestora atât în \u200b\u200bvalorile lor, cât și de schimbările în timp.

Densitatea puterii spectrale

Densitatea puterii spectrale vă permite să judecați proprietățile de frecvență ale procesului aleator. Aceasta caracterizează intensitatea sa la frecvențe diferite sau, altfel, puterea medie pe unitate a benzii de frecvență.

Modelul distribuției puterii medii în frecvențe se numește spectrul de putere. Dispozitivul cu care se măsoară spectrul de putere este numit analizorul spectrului. Spectrul găsit ca rezultat al măsurătorilor se numește un spectru hardware.

Performanța analizorului de spectru se bazează pe următoarele metode de măsurare:

· Metoda de filtrare;

· Metoda de transformare pe teorema Hinsenine Wiener;

· Metoda de transformare Fourier;

· Metodă utilizând funcții iconice;

· Metoda utilizării hardware a funcțiilor ortogonale.

Caracteristica măsurării spectrului de putere constă într-o durată semnificativă a experimentului. Adesea depășește durata existenței implementării sau timpul în care staționarul procesului studiat persistă. Estimările spectrului de putere obținute printr-o implementare a procesului ergodic staționar nu sunt întotdeauna acceptabile. Este adesea necesar să se efectueze numeroase măsurători, deoarece este necesar să medieze implementările atât în \u200b\u200btimp, cât și în ansamblu. În multe cazuri, implementarea proceselor aleatoare care stau la baza este pre-memorabilă, ceea ce îi permite experimentului repetat cu o modificare a duratei analizei, utilizând diverse algoritmi de procesare și echipamente.

În cazul înregistrării preliminare a implementărilor de procesare aleatorii, erorile hardware pot fi reduse la valorile cauzate de durata finală de implementare și de nontationaritate.

Memorarea implementărilor analizate vă permite să accelerați analiza hardware și să o automatizați.

Variabile aleatoare

Valoarea aleatorie este descrisă de legile probabilistice. Probabilitatea ca valoarea continuă h. Când măsurarea va cădea în orice interval x 1.<х <х 2 , determinată de expresie:

Unde P (x) - Densitatea probabilității și. Pentru variabila aleatorii discrete x i p (x \u003d x i) \u003d p iUnde P I.- probabilitatea corespunzătoare I - la nivelul de mărime x.