Aducând la o formă pas cu soluție. Tăind matricea la o formă treptată. Rânduri elementare și transformări ale coloanelor. Criteriul dependenței liniare a vectorilor

Pentru a aduce matricea la un tip pas cu pas (figura 1.4), trebuie să efectuați următorii pași.

1. În prima coloană, selectați un alt element decât zero ( element de plumb. ). Un șir cu un element de conducere ( Șir de conducere ) Dacă nu este prima, să rearanjați în prima linie (tip de conversie I). Dacă nu există nici un maestru în prima coloană (toate elementele sunt zero), atunci vom exclude această coloană și continuăm să căutăm elementul de plumb în restul matricei. Conversia se termină dacă toate coloanele sunt excluse sau în partea rămasă a matricei toate elementele zero.

2. Împărțiți toate elementele șirului gazdă la elementul de plumb (transformarea tipului II). Dacă linia de lider este aceasta din urmă, atunci pe această transformare ar trebui să fie terminată.

3. Pentru fiecare rând situat sub plumb, adăugați o linie de lider înmulțită cu un astfel de număr, respectiv, astfel încât elementele care stau sub plumb sunt egale cu zero (transformarea de tip III).

4. Prin eliminarea liniei și a coloanei din considerație, asupra cărei intersecție este elementul principal, mergeți la clauza 1, în care toate acțiunile descrise sunt aplicate restului matricei.

7. Teorema este despre rândul unui rând de un rând de elemente elementate.

Teorema definiției pentru elementele unui șir sau a unei coloane vă permite să reduceți calculul determinantului - () pentru a calcula determinanții procedurii .

Dacă determinantul are elemente de zero egale, atunci cel mai convenabil pentru a descompune determinantul pentru elementele rândului sau coloanei, care conține cel mai mare număr de zerouri.

Folosind proprietățile determinanților, puteți converti determinantul - ordinea, astfel încât toate elementele unui rând sau a unei coloane, cu excepția unuia, devin egali cu zero. Astfel, calculul determinantului - comanda, dacă este diferită de zero, va fi redusă la calculul unui determinant - ordin.

Sarcina 3.1.Calculați determinantul

Decizie. Adăugarea primei linii mai întâi, la al treilea - primul, înmulțit cu 2, până la al patrulea - primul, înmulțit cu -5, ajungem

Descompunerea factorului determinant pentru elementele primei coloane, avem

În determinantul rezultat al ordinului 3, vom transforma în zero toate elementele primei coloane, cu excepția primului. Pentru a face acest lucru, a doua linie va adăuga primul, înmulțit cu (-1), la al treilea, înmulțit cu 5, se adaugă primul, înmulțit cu 8. Deoarece a treia linie a fost multiplicată cu 5, apoi (în ordine pentru determinant să nu se schimbe) pentru a multiplica. Avea

Determinantul rezultat va fi descompus pe elementele primei coloane:

8. Teorema Laplace (1). Teorema despre Stranki Dopname (2)

1) Identifică determinarea elementelor oricărui rând asupra iAalgebrației lor.

2) summificatoare ale elementelor determinante pe add-on-uri algebrice Elementele corespunzătoare ale celeilalte linii sunt zero (teorema de multiplicare pe suplimentele algebrice ale altor persoane).

9. Dragostea vectorului aritmetic.

Orice punct din plan sub sistemul de coordonate selectat este dat de o pereche (α, β) a coordonatelor sale; Numerele α și β pot fi, de asemenea, înțelese ca coordonatele vectorului razei cu sfârșitul în acest moment. În mod similar, în spațiul troicii (α, β, γ) determină punctul sau vectorul cu coordonatele α, β, γ. Acest lucru se bazează pe un cititor bine-cunoscut Interpretarea geometrică a sistemelor de ecuații liniare cu două sau trei necunoscute. Deci, în cazul unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute

a 1 x + B 1 y \u003d C 1,

a 2 x + B 2 Y \u003d C 2

fiecare dintre ecuații este interpretată ca fiind dreaptă pe plan (vezi fig.26), iar soluția (α, β) este ca punct de intersecție a acestor direct sau ca vector cu coordonatele de aer (cifra corespunde cazului în care Sistemul are o singură soluție).

Smochin. 26.

În mod similar, vă puteți înscrie cu sistemul de ecuații liniare cu trei necunoscute, interpretând fiecare ecuație ca ecuația planului în spațiu.

În matematică și diverse aplicații (în special în teoria codării), este necesar să se ocupe de sistemele de ecuații liniare care conțin mai mult de trei necunoscute. Sistemul de ecuații liniare cu n necunoscut x 1, x 2, ..., x N este numit un set de ecuații ale speciei

a 11 x 1 + A 12 x 2 + ... + și 1N XN \u003d B 1,

a 21 x 1 + A 22 x 2 + ... + A 2N XN \u003d B 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

și m1 x 1 + și m2 x 2 + ... + și mn x n \u003d b m,

unde un IJ și B sunt numerele arbitrare valabile. Numărul de ecuații din sistem poate fi oricine și nu este asociat cu numărul de necunoscut. Coeficienții la necunoscut și ij au o dublă numerotare: primul indice I indică numărul ecuației, al doilea indice j este numărul de necunoscut, care costă acest coeficient. Orice soluție a sistemului este înțeleasă ca un set (valabil) de valorile necunoscute (α1, α2, ..., α n), energizând fiecare ecuație în egalitatea fidelă.

Deși interpretarea geometrică directă a sistemului (1) la n\u003e 3 nu mai este posibilă, dar este foarte posibilă și în mai multe moduri este convenabil să se extindă la o limbă geometrică arbitrară a spațiului de două sau trei dimensiuni. Acest obiectiv și serviți alte definiții.

Orice set comandat de numere valide N (α1, α2, ..., α n) se numește un vector aritmetic n-dimensional și numerele α 1, α2, ..., α n coordonate ale acestui vector.

Pentru desemnarea vectorilor, se utilizează, de regulă, cu caractere aldine și pentru vectorul A cu coordonatele α 1, α2, ..., α n se păstrează forma obișnuită Înregistrări:

a \u003d (α 1, α2, ..., α n).

Prin analogie cu un plan convențional, setul tuturor vectorilor n-dimensional care satisfac ecuația liniară cu N necunoscut se numește hiperplane în spațiul n-dimensional. Cu această definiție, setul de soluții ale sistemului (1) nu este altceva decât intersecția mai multor hiperplane.

Adăugarea și multiplicarea vectorilor n-dimensionali sunt determinate de aceleași reguli ca și pentru vectorii convenționali. Și anume, dacă

a \u003d (α1, α2, ..., α n), b \u003d (β1, β2, ..., βN) (2)

Două vectori n-dimensionali, apoi suma lor este numită vector

a + β \u003d (α + p1, α2 + β2, ..., α n + βN). (3)

Produsul vectorului și numărul λ este numit vector

λа \u003d (λα 1, λα2, ..., λα n). (patru)

Setul tuturor vectorilor aritmetici n-dimensionali cu operațiunile de adăugare a vectorilor și multiplicarea vectorului se numește un spațiu vectorial n-dimensional aritmetic l n.

Folosind operațiunile introduse, este posibil să se ia în considerare combinații liniare arbitrare ale mai multor vectori, adică expresia

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k A K,

unde λ i sunt numere valide. De exemplu, o combinație liniară de vectori (2) cu coeficienți λ și μ este un vector

λа + μb \u003d (λα1 + μβ1, λα2 + μβ2, ..., λα n + μβ n).

În spațiul tridimensional al vectorilor, partea de sus a vectorilor I, J, K (coordonate ortop-uri) joacă un rol special, care este descompus de orice vector A:

a \u003d xi + yj + zk,

În cazul în care x, y, z sunt numere valide (coordonatele vectorului A).

În cazul n-dimensional, următorii vectori joacă același rol:

e 1 \u003d (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 \u003d (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 \u003d (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n \u003d (0, 0, 0, ..., 1).

Fiecare vector A este, evident, o combinație liniară de vectori E 1, E 2, ..., E N:

a \u003d A 1 E 1 + A 2 E 2 + ... + A N E N, (6)

mai mult, coeficienții α 1, α2, ..., α n coincid cu coordonatele vectorului A.

Denotați de 0 vector, toate coordonatele sunt zero (pe scurt, zero vector), introducem următoarea definiție importantă:

Sistemul de vectori A 1, și 2, ... și K este numit dependent liniar, dacă există o combinație liniară legată de zero

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k A K \u003d 0,

În care cel puțin unul dintre coeficienții H 1, λ 2, ..., λ k este diferit de zero. În caz contrar, sistemul este numit independent liniar.

Deci, vectori

a 1 \u003d (1, 0, 1, 1) și 2 \u003d (1, 2, 1, 1) și 3 \u003d (2, 2, 2, 2)

dependent liniar din cauza faptului că

a 1 + A 2 - A 3 \u003d 0.

Dependența liniară, așa cum se poate observa din definiție, este echivalentă (la K ≥ 2) la faptul că cel puțin unul dintre vectorii de sistem este o combinație liniară a celorlalte.

Dacă sistemul constă din doi vectori A 1, A 2, atunci dependența liniară a sistemului înseamnă că unul dintre vectori este proporțional cu altul, spun și 1 \u003d λa 2; Într-un caz tridimensional, acesta este echivalent cu colinearitatea vectorilor A 1 și A 2. În mod similar, dependența liniară a sistemului I a trei vectori în spațiul convențional înseamnă compatiția acestor vectori. Concept dependența liniară Este astfel generalizarea naturală a conceptelor de colinearitate și comparitate.

Este ușor să se asigure că vectorii E 1, E 2, ..., E n din sistem (5) sunt independenți liniar. Prin urmare, există sisteme de la noi vectori independenți în spațiu n-dimensional. Se poate demonstra că orice sistem de număr mai mare de vectori este dependent liniar.

Orice sistem A 1, A 2, ... și n din N vectori independenți liniar ai spațiului n-dimensional l N se numește baza.

Orice vector și spațiile l N se desfășoară și, în plus, de către vectorul unei baze arbitrare A 1, și 2, ... și N:

a \u003d λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ N A n.

Acest fapt este ușor stabilit pe baza definiției bazei.

Continuând o analogie cu un spațiu tridimensional, este posibil în cazul n-dimensional pentru a determina produsul scalar A · B a vectorilor, a crede

a · B \u003d a 1 β1 + a2 p 2 + ... + α n β n.

Cu această definiție, sunt păstrate toate proprietățile de bază ale produsului scalar al vectorilor tridimensionali. Vectorii A și B se numesc ortogonal dacă produsul lor scalar este zero:

a 1 β1 + α2 p 2 + ... + α n β n \u003d 0.

În teoria codurilor liniare, se utilizează un alt concept important - conceptul de subspațiu. Subsetul de spațiu V n este numit subspațiul acestui spațiu dacă

1) Pentru orice vectori A, B, aparținând V, suma lor A + B aparține și V;

2) Pentru orice vector A, aparținând V, și pentru orice număr real λ, vectorul λa aparține și V.

De exemplu, setul de combinații liniare ale vectorilor E 1, E 2 din sistem (5) va fi un subspațiu al spațiului l n.

Într-o algebră liniară, se dovedește că, în fiecare subspațial V, există un astfel de sistem independent de vectori A 1, A 2, ..., un K, pe care fiecare vector și subspațiu este o combinație liniară a acestor vectori:

a \u003d λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k A k.

Sistemul specificat de vectori se numește baza subspațiului V.

Din definiția spațiului și a subspațiunii urmează imediat că spațiul l N este grupul comutativ față de formarea vectorilor și oricare dintre subspațiale sale V este un subgrup al acestui grup. În acest sens, este posibil, de exemplu, să luăm în considerare clasele adiacente ale spațiului l N prin subspațiu V.

În concluzie, subliniem că, dacă în teoria spațiului aritmetic n-dimensional în loc de numere valide (adică elementele câmpului de numere valide) ia în considerare elementele unui câmp arbitrar F, apoi toate definițiile și faptele date mai sus ar fi păstrat puterea.

În teoria codificării, un rol important joacă cazul atunci când câmpul Field F de deducere z P, care, după cum știm, desigur. În acest caz, spațiul n-dimensional corespunzător conține, de asemenea, deoarece nu este greu de văzut, elemente P n.

Conceptul de spațiu, precum și conceptul de grup și inele, permite, de asemenea, o definiție axiomatică. Pentru detalii, trimitem alimentatorul în orice fel de algebră liniară.

10. Lynіin Combіnatsiya. Lynіino Zarezhnі Tu vector de sistem inepless.

În acest subiect, luați în considerare conceptul matricei, precum și tipurile de matrice. Deoarece există mulți termeni în acest subiect, voi adăuga rezumatPentru a naviga în material a fost mai ușor.

Definiția matricei și elementul său. Denumiri.

Matricea - Acesta este un tabel de $ M $ rânduri și $ n $ coloane. Obiectele matricei pot fi obiecte de natură complet diversă: numere, variabile sau, de exemplu, alte matrice. De exemplu, matricea $ \\ stânga (\\ începe (matrice) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $ conține 3 linii și 2 coloane; Elementele sale sunt numere întregi. Matrix $ \\ left (\\ begin (Array) (CCCC) A & A ^ 9 + 2 & 9 & SIN X -9 \\\\ & 3T ^ 2-4 & UT & 8 \\ END (Array) \\ dreapta) $ conține 2 linii și 4 coloane.

Diferite moduri de înregistrare a matricelor: Afișați / Ascundeți

Matricea poate fi înregistrată nu numai în rundă, ci și în paranteze directe pătrate sau duble. Mai jos este aceeași matrice în diferite forme de înregistrare:

$$ \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta); \\; \\ stânga [\\ început (matrice) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta]; \\; \\ Stânga \\ Vert \\ Begin (matrice) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta \\ ver $

Produsul $ M \\ Times N $ este numit dimensiunea matricei. De exemplu, dacă matricea conține 5 linii și 3 coloane, atunci se spune despre matricea dimensiunii de 5 $ 3. Matrix $ \\ stânga (\\ begin (Array) (CC) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ End (Array) \\ dreapta) $ are o dimensiune de $ 3 \\ $ Times sau 2.

În mod obișnuit, matricele sunt desemnate de literele mari ale alfabetului latin: $ A $, $ B $, $ C $ și așa mai departe. De exemplu, $ b \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $. Numerotarea corzilor este înrădăcinată; Coloane - de la stânga la dreapta. De exemplu, prima linie a matricei $ B $ conține elemente 5 și 3, iar cea de-a doua coloană conține elemente 3, -87, 0.

Elementele matricelor sunt, de obicei, denumite cu litere mici. De exemplu, elementele matricei $ A $ sunt denumite $ A_ (IJ) $. Indexul dual $ ij $ conține informații despre poziția elementului din matrice. Numărul $ i $ este numărul liniei, iar numărul $ J $ este numărul de coloană, pe intersecția căreia există un element $ a_ (IJ) $. De exemplu, la intersecția celei de-a doua linii și a celei de-a cincea coloană a matricei $ a \u003d \\ stânga (\\ începe (Array) (CCCCCC) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\\\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ \\ -17 & -15 & -5 \\\\ 52 & -8 & -5 \\\\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \\ END (Array) \\ dreapta) $ Situat $ A_ (25) \u003d $ 59:

În același mod, la intersecția primei linii și prima coloană avem un element $ a_ (11) \u003d $ 51; La intersecția celui de-al treilea rând și cea de-a doua coloană - elementul $ a_ (32) \u003d - $ 15 și așa mai departe. Observ că înregistrarea $ a_ (32) $ este citită ca "și trei", dar nu "și treizeci și doi".

Pentru desemnarea abreviată a matricei $ a $, a căror dimensiune este $ m \\ ori n $, este folosit pentru a înregistra $ a_ (m \\ ori n) $. Este adesea folosit și o astfel de înregistrare:

$$ a_ (m \\ ori (n)) \u003d (a_ (ij)) $$

Aici $ (A_ (ij)) $ Indică desemnarea elementelor matricei $ a $, adică. Sugerează că elementele matricei $ A $ sunt denumite $ a_ (IJ) $. În forma de implementare a matricei $ a_ (M \\ Times N) \u003d (A_ (IJ)) $ poate fi scris ca:

$$ A_ (M \\ Times N) \u003d \\ stânga (\\ begin (Array) (CCCC) A_ (11) & A_ (12) \\ ldots & A_ (1N) \\\\ A_ (21) & A_ (22) & \\ ldots & A_ (2N) \\\\ \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ A_ (M1) & A_ (M2) & \\ ldots & A_ (MN) \\ END (Array) \\ dreapta) $$

Introducem un alt termen - matricele egale..

Două matrice de aceeași dimensiune $ a_ (M \\ Times N) \u003d (A_ (IJ)) $ și $ B_ (M \\ Times N) \u003d (B_ (IJ)) $ egalDacă elementele lor respective sunt egale, adică. $ A_ (ij) \u003d B_ (ij) $ pentru toate $ i \u003d \\ overline (1, M) $ și $ j \u003d \\ overline (1, N) $.

Explicația înregistrării $ i \u003d \\ supraline (1, m) $: Afișați / Ascundeți

Înregistrarea "$ I \u003d \\ supraline (1, m) $" înseamnă că parametrul $ i $ variază de la 1 la m. De exemplu, înregistrarea $ i \u003d \\ supraline (1.5) $ indică faptul că parametrul $ i $ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.

Deci, pentru egalitatea matricelor, este necesară executarea a două condiții: coincidența dimensiunii și egalității elementelor corespunzătoare. De exemplu, matricea $ a \u003d \\ stânga (\\ începe (matrice) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $ nu este egal cu matricea $ b \u003d \\ stânga (\\ begin (Array) (CC) 8 -9 & \\\\ 0 & -87 \\ END (Array) \\ dreapta) $ deoarece o matrice $ de $ are o dimensiune de 3 $ \\ Times $ 2, iar $ b dimensiunea matrice $ are $ 2 \\ $ Times sau 2. De asemenea, matricea $ a $ a nu este egală cu matricea de $ C \u003d \\ stânga (\\ begin (matrice) (cc) 5 & 3 \\\\ 98 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta ) $, deoarece $ A_ (21) \\ NEQ C_ (21) $ (adică $ 0 \\ NEQ $ 98). Dar pentru matricea $ f \u003d \\ stânga (\\ începe (array) (CC) 5 & 3 \\ ED (Array) \\ dreapta) $ poate arde cu curaj $ a \u003d F $ , deoarece și dimensiuni, precum și elementele corespunzătoare ale matricelor $ un $ și $ f coincid.

Exemplu №1.

Determinați dimensiunea matricei $ a \u003d \\ stânga (\\ începe (array) (CCC) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\\\ -6 & 8 & 23 \\\\ 11 & -12 & -5 \\ \\ 4 & 0 & -10 \\ END (Array) \\ dreapta) $. Indicați ce este egal cu elementele $ a_ (12) $, $ a_ (33) $, $ a_ (43) $.

Această matrice conține 5 linii și 3 coloane, deci dimensiunea lui $ de 5 \\ ori $ 3. Pentru această matrice, puteți folosi și desemnarea $ a_ (5 \\ ori 3) $.

Un element $ a_ (12) $ este la intersecția primei linii și a doua coloană, prin urmare $ a_ (12) \u003d - $ 2. Un element $ a_ (33) $ este la intersecția a treia linie și a treia coloană, prin urmare $ a_ (33) \u003d 23 $. Elementul $ a_ (43) $ se află la intersecția liniei a patra și a treia coloană, prin urmare $ a_ (43) \u003d - $ 5.

Răspuns: $ A_ (12) \u003d - 2 $, $ a_ (33) \u003d 23 $, $ a_ (43) \u003d - $ 5.

Tipuri de matrice în funcție de dimensiunea lor. Acasă și diagonală laterală. Matrice marcaj.

Lăsați o anumită matrice de $ a_ (M \\ Times N) $. Dacă $ m \u003d 1 $ (matricea constă dintr-un rând), atunci matricea specificată este apelată string Matrix.. Dacă $ n \u003d 1 $ (matricea constă dintr-o coloană), atunci se numește o astfel de matrice matrix-coloană. De exemplu, $ \\ stânga (\\ început (matrice) (CCCCC) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $ - Matrix-String, și $ \\ stânga (\\ începe (matrice ) (C) -1 \\\\ 5 \\\\ 6 \\ END (Array) \\ dreapta) $ - matricea coloană.

Dacă matricea $ a_ (M \\ Times N) $ este corectă pentru starea $ M \\ ne $ (adică numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane), atunci se spune adesea că $ A $ este a matricea dreptunghiulară. De exemplu, matricea de $ \\ stânga (\\ începe (matrice) (CCCC) -1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ dreapta) $ are o dimensiune $ 2 \\ Times $ 4 cele. Conține 2 linii și 4 coloane. Deoarece numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane, atunci această matrice este dreptunghiulară.

Dacă pentru matrice $ a_ (m \\ ori n) $, starea este $ m \u003d n $ (de exemplu, numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane), apoi spun că $ a $ este o matrice pătrată aproximativ $ n $. De exemplu, $ \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) -1 & -2 \\\\ 5 & 9 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $ este o matrice pătrată de ordinul secundar; $ \\ Stânga (\\ începe (array) (CCC) -1 -2 & 9 \\\\ 5 & 9 & 8 \\\\ 1 & 0 & 4 \\ END (Array) \\ dreapta) $ este o matrice pătrată de ordinul trei. ÎN general Matricea pătrată $ a_ (n \\ ori n) $ poate fi înregistrată astfel:

$$ A_ (N \\ Times N) \u003d \\ stânga (\\ begin (Array) (CCCC) A_ (11) & A_ (12) \\ ldots & A_ (1N) \\\\ A_ (21) & A_ (22) & \\ LDOTS & A_ (2N) \\\\ \\ \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ a_ (n1) & \\ ldots & A_ (nn) \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $$

Se spune că elementele de $ a_ (11) $, $ A_ (22) $, $ \\ ldots $, $ A_ (NN) $ sunt pe diagonala principală Matrix $ a_ (n \\ ori n) $. Aceste elemente sunt numite elementele principale diagonale (sau pur și simplu elemente diagonale). Elemente $ a_ (1n) $, $ a_ (2 \\; n-1) $, $ \\ Ldots $, $ a_ (n1) $ sunt on side (secundar) diagonală; ei sunt numiti, cunoscuti elementele by-diagonale. De exemplu, pentru matrice $ c \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCCC) 2 & 9 & 1 \\\\ 5 & 9 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4 & 6 \\ capătul (matrice) \\ Dreapta) $ Avem:

Elemente $ c_ (11) \u003d 2 $, $ c_ (22) \u003d 9 $, $ c_ (33) \u003d $ 4, $ c_ (44) \u003d $ 6 sunt elementele principale diagonale; Elemente $ C_ (14) \u003d 1 $, $ C_ (23) \u003d $ 8, $ C_ (32) \u003d 0 $, $ C_ (41) \u003d - Elemente diagonale laterale de 4 $.

Se numește suma principalelor elemente diagonale urmând matricea și denotă $ \\ tr A $ (sau $ \\ SP A $):

$$ \\ TR A \u003d A_ (11) + A_ (22) + \\ Ldots + A_ (NN) $$

De exemplu, pentru matrice $ c \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCCC) 2 & 9 & 1 \\\\ 5 & 9 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4 & -7 \\\\ - 4 & 4 & 5 -9 & & 6 \\ End (Array) \\ dreapta) $ Avem:

$$ \\ tr c \u003d 2 + 9 + 4 + 6 \u003d 21. $.

Conceptul de elemente diagonale este de asemenea utilizat pentru matricele necomerciale. De exemplu, pentru matrice $ b \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCCCC) 2 & 9 & 1 & 0 \\\\ 5 & -9 & 0 & 4 & 6 \\\\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \\ END (Array) \\ dreapta) $ Principalele elemente diagonale va fi de $ B_ (11) \u003d 2 $, $ B_ (22) \u003d - 9 $, $ B_ (33) \u003d 4 $.

Tipuri de matrice în funcție de valorile elementelor lor.

Dacă toate elementele matricei $ a_ (m \\ ori n) $ sunt zero, atunci se numește o astfel de matrice nul Și este de obicei denotată de scrisoarea $ o $. De exemplu, $ \\ stânga (\\ începe (matrice) (cc) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $, $ \\ stânga (\\ începe (matrice) (CCC) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ ED (Array) \\ dreapta) $ - de la zero matrici.

Luați în considerare unele șiruri non-zero de $ a Matrix, adică. Un astfel de șir în care există cel puțin un alt element decât zero. Element de plumb. Linia nonzero o va numi mai întâi (numărând de la stânga la dreapta) un element nonzero. De exemplu, ia în considerare o astfel de matrice:

$$ \u003d \\ left w (\\ începe (Array) (CCCC) 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ ED (Array) \\ dreapta) $ $

În a doua linie, conducătorul va fi al patrulea element, adică. $ W_ (24) \u003d 12 $, iar în a treia linie, comandantul va fi al doilea element, adică. $ w_ (32) \u003d - $ 9.

Matrice $ a_ (m \\ ori n) \u003d \\ stânga (A_ (ij) \\ dreapta) $ numit vitezăDacă satisface două condiții:

Zero Lines, dacă există, sunt situate sub toate liniile non-zero.
Numărul elementelor principale ale rândurilor non-zero formează o secvență strict în creștere, adică Dacă $ A_ (1K_1) $, $ A_ (2K_2) $, ..., $ A_ (rk_r) $ - cele mai importante elemente ale nenuli linii ale matricei $ a $, atunci $ k_1 \\ lt (k_2) \\ l \\ ldots \\ lt (k_r) $.

Exemple de matricele pasate:

$$ \\ stânga (\\ begin (Array) (CCCCCC) 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta); \\ Stânga (\\ begin (Array) (CCCC) 5 & -2 & 2 & -8 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ ED (Array) \\ dreapta). $.

În comparație: Matrix $ Q \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCCCC) 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 6 \\ END (Array) \\ dreapta) $ nu este o treaptă, din moment ce a doua condiție este rupt în determinarea matricei în trepte. Elemente de lider din liniile a doua și a treia $ Q_ (24) \u003d 7 $ și $ Q_ (32) \u003d $ 10 au numere $ k_2 \u003d $ 4 și $ k_3 \u003d $ 2. Pentru o matrice pasitată, trebuie să se efectueze condiția $ k_2 \\ lt (k_3) $, care în acest caz este afectată. Observ că, dacă schimbați liniile a doua și a treia în locuri, vom obține o matrice pas cu pas: $ \\ stânga (\\ început (matrice) (CCCCC) 2 & 5 & 0 & 1 & 9 \\\\ 0 & -5 & 0 & 10 \\\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \\ END (Array) \\ dreapta) $.

Se numește o matrice pasitată trapezoidal sau trapezoidaldacă pentru elementele de conducere $ a_ (1k_1) $, $ a_ (2k_2) $, ..., $ a_ (rk_r) Conditii de $ k_1 \u003d 1 $, $ k_2 \u003d 2 $ $, ..., $ k_r \u003d R $, adică Elementele diagonale conduc. În general, matricea trapezoidă poate fi scrisă după cum urmează:

$$ A_ (M \\ Times (N)) \u003d \\ stânga (\\ begin (Array) (CCCCCC) A_ (11) & A_ (12) \\ ldots & A_ (1R) & \\ ldots & A_ (1N) \\\\ 0 & a_ (22) & \\ ldots & a_ (2R) \\ ldots & A_ (2N) \\\\ \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ 0 & 0 & \\ ldots & A_ ( Rr) \\ ldots & a_ (rn) \\\\ 0 & 0 & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\ ldots \\\\ 0 & 0 \\ ldots & 0 & \\ ldots & 0 \\ END (Array) \\ dreapta) $$

Exemple de matrice trapezoidale:

$$ \\ stânga (\\ begin (Array) 4 & 0 & 0 & -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 \\\\ \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ END (Array) \\ dreapta); \\; \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CCCC) 5 & -2 & 2 & -8 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ ed (matry) \\ dreapta). $.

Să dăm mai multe definiții pentru matricele pătrate. Dacă toate elementele matrice pătratSituat sub diagonala principală sunt zero, atunci se numește o astfel de matrice matricea triunghiulară superioară. De exemplu, $ \\ stânga (\\ begin (Array) (CCCC) 2 & -2 & 9 & 1 \\\\ 0 & 9 & 8 & 0 \\\\ 0 & 0 & 4 & 6 \\\\ 0 & 0 & 6 \\ END (Matrice) \\ dreapta) $ - matrice triunghiulară superioară. Observați că, în definiția matricei triunghiulare superioare, nu se spune nimic despre valorile elementelor situate deasupra diagonalei principale sau pe diagonala principală. Ele pot fi zero sau nu, sunt nesemnificative. De exemplu, $ \\ stânga (\\ începe (array) (CCC) 0 & 0 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ END (Array) \\ dreapta) $ este, de asemenea, o matrice triunghiulară superior.

Dacă toate elementele matricei pătrate, situate deasupra diagonalei principale, sunt zero, atunci se numește o astfel de matrice matricea triunghiulară inferioară. De exemplu, $ \\ stânga (\\ început (matrice) (CCCC) 3 & 0 & 0 & 0 \\\\ -5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 5 & 4 & 0 & 6 \\ End (Array) \\ dreapta) $ - matrice triunghiular inferior. Rețineți că, în definirea matricei triunghiulare inferioare, nu se spune nimic despre valorile elementelor situate sub sau pe diagonala principală. Ele pot fi zero sau nu, nu contează. De exemplu, $ \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) -5 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 9 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $ și $ \\ stânga (\\ începe (Array) (CCC) 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\ END (Array) \\ dreapta) $ - mai mici , de asemenea , matrici triunghiulare.

Se numește matrice pătrat diagonalăDacă toate elementele acestei matrice care nu se află pe diagonala principală sunt zero. Exemplu: $ \\ stânga (\\ început (matrice) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 6 \\ capătul (Matrice) \\ dreapta) $. Elementele de pe diagonala principală pot fi oricăreia (egală zero sau nu), este nesemnificativă.

Matricea diagonală este numită singurDacă toate elementele acestei matrice situate pe diagonala principală sunt egale cu 1. De exemplu, $ \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CCCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $ este o singură matrice de comandă a patra; $ \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $ este o singură matrice de ordinul secundar.

În iulie 2020, NASA lansează o expediție la Marte. Spațiul navei va livra un suport electronic către Marte cu numele tuturor participanților la expediție înregistrată.

Înregistrarea participanților este deschisă. Obțineți biletul pentru Marte pe acest link.

Dacă acest post a decis problema dvs. sau v-a plăcut, împărtășiți un link cu prietenii mei pe rețelele sociale.

Unul dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiat și inserat în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă . Conform primei versiuni, Mathjax este încărcată mai repede și încetinește pagina. Dar a doua opțiune urmărește automat și încărcăturile versiuni proaspete Mathjax. Dacă introduceți primul cod, va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile vor fi încărcate mai lent, dar nu veți avea nevoie să monitorizați în mod constant actualizările Mathjax.

Conectați Mathjax este cea mai ușoară cale spre blogger sau WordPress: Adăugați un widget pentru introducerea unui cod JavaScript terț pentru a introduce prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo , nu este deloc necesar deoarece scriptul Mathjax este încărcat în mod asincron). Asta e tot. Acum citiți sintaxa MathML, Latex și Asciimathml Markup și sunteți gata să introduceți formulele matematice Pe paginile web ale site-ului dvs.

Un alt Anul Nou ... vremea înghețată și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei ... Toate acestea mi-au determinat să scriu din nou despre ... Fractali și despre ceea ce știe despre acest tuburi alfa. Cu această ocazie există un articol interesant în care există exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici vom lua în considerare exemple mai complexe de fracturi tridimensionale.

Fracalul poate fi clar imaginat (descrie), ca o formă geometrică sau corp (având în vedere că ambele sunt multe, în acest caz, a căror set), detaliile au aceeași formă ca și figura originală în sine. Adică, este o structură de sine, având în vedere detaliile cărora cu o creștere, vom vedea aceeași formă ca și fără a crește. Întrucât, în cazul unei forme geometrice convenționale (nu fractale), cu o creștere vom vedea detaliile care au mai mult forma simplădecât figura originală în sine. De exemplu, cu suficient mărire mare O parte din elipsă arată ca o linie dreaptă. Cu fractali, acest lucru nu se întâmplă: Cu orice creștere, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care se va repeta din nou și din nou.

Benoit Mandelbrot (Benoit Mandelbrot), fondatorul științei fractalelor, în fractalul său și arta sa în numele științei a scris: "Fractalii sunt forme geometrice care sunt la fel de complexe în detaliile lor, ca și în forma sa generală. Asta este, Dacă o parte din fractal va fi mărită la dimensiunea întregului, va arăta ca un număr întreg, fie exact sau, eventual, cu o mică deformare ".

Pentru a aduce matricea la un tip pas cu pas (figura 1.4), trebuie să efectuați următorii pași.

1. În prima coloană, selectați un alt element decât zero ( element de plumb. ). Un șir cu un element de conducere ( Șir de conducere ) Dacă nu este prima, să rearanjați în prima linie (tip de conversie I). Dacă nu există nici un maestru în prima coloană (toate elementele sunt zero), atunci vom exclude această coloană și continuăm să căutăm elementul de plumb în restul matricei. Conversia se termină dacă toate coloanele sunt excluse sau în partea rămasă a matricei toate elementele zero.

Teorema este despre rândul unui rând de un rând de element.

Teorema definiției pentru elementele unui șir sau a unei coloane vă permite să reduceți calculul determinantului - () pentru a calcula determinanții procedurii .

Dacă determinantul are elemente de zero egale, atunci cel mai convenabil pentru a descompune determinantul pentru elementele rândului sau coloanei, care conține cel mai mare număr de zerouri.

Sarcina 3.1.Calculați determinantul

Decizie.Adăugarea primei linii mai întâi, la al treilea - primul, înmulțit cu 2, până la al patrulea - primul, înmulțit cu -5, ajungem

Descompunerea factorului determinant pentru elementele primei coloane, avem

Determinantul rezultat va fi descompus pe elementele primei coloane:

Teorema Laplace (1). Teorema despre Stranki Dopname (2)

1) Identifică determinarea elementelor oricărui rând asupra iAalgebrației lor.

2) Rezumatul elementelor determinante pentru suplimentele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale celeilalte linii este zero (teorema de multiplicare pe suplimentele algebrice ale altor persoane).

a 1 x + B 1 y \u003d C 1,

a 2 x + B 2 Y \u003d C 2

Smochin. 26.

În mod similar, vă puteți înscrie cu sistemul de ecuații liniare cu trei necunoscute, interpretând fiecare ecuație ca ecuația planului în spațiu.

a 11 x 1 + A 12 x 2 + ... + și 1N XN \u003d B 1,

a 21 x 1 + A 22 x 2 + ... + A 2N XN \u003d B 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

și m1 x 1 + și m2 x 2 + ... + și mn x n \u003d b m,

unde un IJ și B sunt numerele arbitrare valabile. Numărul de ecuații din sistem poate fi oricine și nu este asociat cu numărul de necunoscut. Coeficienții de la necunoscută și IJ au o dublă numerotare: Primul indice I indică numărul ecuației, al doilea indice J este numărul necunoscutului, care costă acest coeficient. Orice soluție a sistemului este înțeleasă ca un set (valabil) de valorile necunoscute (α1, α2, ..., α n), energizând fiecare ecuație în egalitatea fidelă.

Orice set comandat de numere valide N (α1, α2, ..., α n) se numește un vector aritmetic n-dimensional și numerele α 1, α2, ..., α n coordonate ale acestui vector.

Pentru a desemna vectori, este de obicei îndrăzneț și pentru vectorul A cu coordonate α 1, α2, ..., α n, o formă obișnuită de înregistrare este salvată:

a \u003d (α 1, α2, ..., α n).

Adăugarea și multiplicarea vectorilor n-dimensionali sunt determinate de aceleași reguli ca și pentru vectorii convenționali. Și anume, dacă

a \u003d (α1, α2, ..., α n), b \u003d (β1, β2, ..., βN) (2)

Două vectori n-dimensionali, apoi suma lor este numită vector

a + β \u003d (α + p1, α2 + β2, ..., α n + βN). (3)

Produsul vectorului și numărul λ este numit vector

λа \u003d (λα 1, λα2, ..., λα n). (patru)

Setul tuturor vectorilor aritmetici n-dimensionali cu operațiunile de adăugare a vectorilor și multiplicarea vectorului se numește un spațiu vectorial n-dimensional aritmetic l n.

Folosind operațiunile introduse, este posibil să se ia în considerare combinații liniare arbitrare ale mai multor vectori, adică expresia

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k A K,

unde λ i sunt numere valide. De exemplu, o combinație liniară de vectori (2) cu coeficienți λ și μ este un vector

λа + μb \u003d (λα1 + μβ1, λα2 + μβ2, ..., λα n + μβ n).

În spațiul tridimensional al vectorilor, partea de sus a vectorilor I, J, K (coordonate ortop-uri) joacă un rol special, care este descompus de orice vector A:

a \u003d xi + yj + zk,

În cazul în care x, y, z sunt numere valide (coordonatele vectorului A).

În cazul n-dimensional, următorii vectori joacă același rol:

e 1 \u003d (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 \u003d (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 \u003d (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n \u003d (0, 0, 0, ..., 1).

Fiecare vector A este, evident, o combinație liniară de vectori E 1, E 2, ..., E N:

a \u003d A 1 E 1 + A 2 E 2 + ... + A N E N, (6)

mai mult, coeficienții α 1, α2, ..., α n coincid cu coordonatele vectorului A.

Denotați de 0 vector, toate coordonatele sunt zero (pe scurt, zero vector), introducem următoarea definiție importantă:

Sistemul de vectori A 1, și 2, ... și K este numit dependent liniar, dacă există o combinație liniară legată de zero

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k A K \u003d 0,

În care cel puțin unul dintre coeficienții H 1, λ 2, ..., λ k este diferit de zero. În caz contrar, sistemul este numit independent liniar.

Deci, vectori

a 1 \u003d (1, 0, 1, 1) și 2 \u003d (1, 2, 1, 1) și 3 \u003d (2, 2, 2, 2)

dependent liniar din cauza faptului că

a 1 + A 2 - A 3 \u003d 0.

Dependența liniară, așa cum se poate observa din definiție, este echivalentă (la K ≥ 2) la faptul că cel puțin unul dintre vectorii de sistem este o combinație liniară a celorlalte.

Dacă sistemul constă din doi vectori A 1, A 2, atunci dependența liniară a sistemului înseamnă că unul dintre vectori este proporțional cu altul, spun și 1 \u003d λa 2; Într-un caz tridimensional, acesta este echivalent cu colinearitatea vectorilor A 1 și A 2. În mod similar, dependența liniară a sistemului I a trei vectori în spațiul convențional înseamnă compatiția acestor vectori. Conceptul de dependență liniară este astfel generalizarea naturală a conceptelor de colinearitate și de însoțitor.

Orice sistem A 1, A 2, ... și n din N vectori independenți liniar ai spațiului n-dimensional l N se numește baza.

Orice vector și spațiile l N se desfășoară și, în plus, de către vectorul unei baze arbitrare A 1, și 2, ... și N:

a \u003d λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ N A n.

Acest fapt este ușor stabilit pe baza definiției bazei.

Continuând o analogie cu un spațiu tridimensional, este posibil în cazul n-dimensional pentru a determina produsul scalar A · B de vectori, crezând

a · B \u003d a 1 β1 + a2 p 2 + ... + α n β n.

Cu această definiție, sunt păstrate toate proprietățile de bază ale produsului scalar al vectorilor tridimensionali. Vectorii A și B se numesc ortogonal dacă produsul lor scalar este zero:

a 1 β1 + α2 p 2 + ... + α n β n \u003d 0.

În teoria codurilor liniare, se utilizează un alt concept important - conceptul de subspațiu. Subsetul de spațiu V n este numit subspațiul acestui spațiu dacă

1) Pentru orice vectori A, B, aparținând V, suma lor A + B aparține și V;

2) Pentru orice vector A, aparținând V, și pentru orice număr real λ, vectorul λa aparține și V.

De exemplu, setul de combinații liniare ale vectorilor E 1, E 2 din sistem (5) va fi un subspațiu al spațiului l n.

a \u003d λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k A k.

Sistemul specificat de vectori se numește baza subspațiului V.

Conceptul de spațiu, precum și conceptul de grup și inele, permite, de asemenea, o definiție axiomatică. Pentru detalii, trimitem alimentatorul în orice fel de algebră liniară.

Lynіin Kombіnatsiya. Lynіino Zarezhnі Tu vector de sistem inepless.

instyer combinație de vectori

Combinație liniară de vectori vector de apel

unde - coeficienți de combatere liniară. În cazul în care un combinația este numită trivială, dacă este non-trivială.

Dependența liniară și independența vectorilor

Sistem dependente liniar

Sistem independent liniar

Criteriul dependenței liniare a vectorilor

Pentru vectori (r\u003e 1.) A fost dependentă liniar, este necesar și suficient pentru ca cel puțin unul dintre acești vectori să fie o combinație liniară a restului.

Dimensiunea spațiului liniar

Spațiu liniar V.numit n.- dimensional (are dimensiuni n.), dacă este în ea:

1) există n.vectori independenți liniari;

2) orice sistem n + 1.vectorii sunt dependenți liniar.

Denumiri: n.\u003d Dim V.;.

Sistemul de vectori este numit dependente liniardacă există nenuleva.setat cu o combinație liniară

Sistemul de vectori este numit independent liniardacă de la combinația liniară de egalitate zero

ar trebui să fie egal cu zero toatecoeficienți

Întrebarea dependenței liniare a vectorilor din cauza generală este redusă la problema existenței unei soluții non-zero într-un sistem omogen de ecuații liniare cu coeficienți egali cu coordonatele relevante ale acestor vectori.

Pentru a atribui bine conceptul de "dependență liniară", sistemul de "independență liniară" de vectori, este util să rezolvăm sarcinile de tipul următor:

Lynіin Zarezhnіst.Il este critia în rândul lor.

Vectori de sistem. este dependentă liniar atunci și numai dacă unul dintre vectorii de sistem este o combinație liniară a vectorilor rămași ai acestui sistem.

Dovezi. Lăsați sistemul vectorilor să depindă liniar de vectori. Apoi, există un astfel de set de coeficienți că, cu cel puțin un coeficient diferă de zero. Să presupunem asta. Atunci

aceasta este, este o combinație liniară a vectorilor de sistem rămași.

Fie ca unul dintre vectorii de sistem să fie o combinație liniară a vectorilor rămași. Să presupunem că acesta este un vector, adică . Este evident că. Sa obținut că combinația liniară a vectorilor de sistem este zero și unul dintre coeficienți diferă de zero (egal).

Sentință.10 . 7 Dacă sistemul vectorilor cuprinde un subsistem dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Dovezi.

Lăsați în sistemul vectorilor de subsistemici , este dependentă liniar, adică și cel puțin un coeficient este diferit de zero. Apoi faceți o combinație liniară. Evident, această combinație liniară este zero și că există un nonzero printre coeficienți.

Sistemul de bază al vector_v, їsts autoritățile.

Baza sistemului nonzero al vectorilor se numește echivalentă cu subsistemul independent liniar. Sistemul zero al bazei nu are.

Proprietate 1:Baza sistemului independent liniar coincide cu ea însăși.

Exemplu: Sistemul vectorilor independenți liniari, deoarece niciunul dintre vectori nu poate fi expirat liniar prin restul.

Proprietatea 2: (Baza de criterii)Subsistemul independent liniar al acestui sistem este baza sa dacă și numai dacă este cel mai independent.

Dovezi:Sistemul Dana Necesitate Lăsați baza. Apoi, prin definiție și, dacă, în cazul în care sistemul este dependent liniar, deoarece este probabil liniar, prin urmare, cel mai independent cel mai liniar. AdecvareLăsați subsistemul cel mai independent liniar, atunci unde. Exerciții liniar dependente de în mod liniar prin baza sistemului.

Proprietate 3: (Proprietatea de bază de bază)Fiecare vector de sistem este dat prin baza de date singular.

DoveziLăsați vectorul să aibă loc prin baza de date în două moduri, apoi:, atunci

Clasament Vector de sistem.

Definiție:Rangul sistemului nonzero al vectorilor liniari se numește numărul de vectori ai bazei sale. Rangul sistemului zero prin definiție este zero.

Proprietăți de rang:1) Rangul sistemului independent liniar coincide cu numărul vectorilor săi. 2) Rangul sistemului dependent liniar este mai mic decât numărul vectorilor săi. 3) Rangurile sistemelor echivalente coincide-lankrank. 4) Poziția din sistem este mai mică sau egală cu sistemul de rang. 5) Dacă Rankrank, atunci baza totală. 6) Rangul sistemului nu se modifică dacă vectorul este adăugat la acesta, care este o combinație liniară a vectorilor rămași ai sistemului. 7) Rangul sistemului nu se modifică dacă vectorul este scos din acesta, care este o combinație liniară a altor vectori.

Pentru a găsi sistemul de rang de vectori, trebuie să utilizați metoda Gaussai pentru a aduce sistemul la formular triunghiular sau trapezoidal.

Ekwіvalent_ vector de sistem.

Exemplu:

Transformăm datele vectorului în matrice pentru a găsi baza. Primim:

Acum, cu ajutorul metodei Gauss, vom transforma o matrice la forma trapezoidală:

1) În matricea noastră principală, vom hrăni întreaga primă coloană, în plus față de prima linie de la cel de-al doilea, primul înmulțit, de la al treilea, primul înmulțit și nu vom lua nimic de la al patrulea , de la primul element al liniei a patra, adică intersecția primei coloane și a patra linie este zero. Avem o matrice: 2) Acum în matrice, schimbați liniile 2, 3 și 4 la simplitatea soluției, care ar fi la locul elementului. Voi schimba linia a patra pentru a pune în locul celui de-al doilea, al doilea în loc de al treilea și al treilea la locul al patrulea. Avem o matrice: 3) În matrice, anulați toate elementele sub element. Deoarece din nou, elementul Matei noastre este zero este zero, nu luăm nimic de la linia a patra și adăugăm al treilea la al treilea înmulțit cu. Avem o matrice: 4) Revenim din nou în matricea șirului și 4 locuri. Avem o matrice: 5) În Matriarherrybavim, a treia linie, înmulțită cu 5. Obținem o matrice care va avea un aspect triunghiular:

Sisteme, rândurile lor coincide din cauza proprietăților rangului și rangul lor este rang rang

Observații:1) Spre deosebire de metoda tradițională Gauss, dacă toate elementele sunt împărțite într-un anumit număr în șirul matricei, nu avem dreptul de a reduce șirul matricei în virtutea proprietăților matricei. Dacă vrem să reducem șirul la un anumit număr, va trebui să tăiați întreaga matrice la acest număr. 2) În cazul în care obținem un șir dependent liniar, îl putem scoate din matricea noastră și îl putem înlocui la șirul zero. Exemplu: Este imediat văzut că a doua linie este exprimată prin prima, dacă primul este primul la 2. În cazul Thiak, putem înlocui întregul șir al doilea la zero. Primim: Ca rezultat, aducând o matrice sau la una triunghiulară sau la o formă trapezoidală, unde nu are vectori dependenți liniari, toți vectorii zero ai matricei și vor fi baza matricei, dar numărul lor de rang.

Acesta este, de asemenea, un exemplu al unui sistem de vectori sub forma unui grafic: un sistem este dat în cazul în care, și. Baza acestui sistem va fi, evident, un vector și, deoarece vectorii sunt exprimați prin ele. Acest sistem în formă grafică se va uita la:

Elentarnі Cofrare. Sisteme de formă de zgârietură.

Matrice de conversie elementară - Acestea sunt astfel de conversii ale matricei, ca rezultat al căruia persistă echivalența matricelor. Astfel, transformările elementare nu modifică soluțiile setate ale unui sistem de ecuații algebrice liniare, pe care o reprezintă această matrice.

Transformările elementare sunt utilizate în metoda Gauss pentru a aduce matricea la forma triunghiulară sau pasivă.

Transformări ale rândului elementar Chemat:

În unele cursuri ale algebrei liniare, șirurile de matrice nu sunt eliberate într-o conversie elementară separată datorită faptului că permutarea oricărei două linii din matrice poate fi obținută utilizând multiplicarea oricărui șir de matrice la constantă și Adăugarea unei linii diferite înmulțită cu o constantă la orice șir de matrice.

În mod similar sunt determinate transformări de coloană elementară.

Transformări elementare reversibil.

Desemnarea indică faptul că matricea poate fi obținută din transformările elementare (sau invers).

Definiție

Se numește matrice pătrat diagonalăDacă toate elementele sale care stau în afara diagonalei principale sunt zero.

Cometariu. Elemente diagonale ale matricei (adică, elementele care stau pe diagonala principală) pot fi, de asemenea, zero.

Exemplu

Definiție

Scalar Se numește o matrice diagonală, în care toate elementele diagonale sunt egale unul cu celălalt.

Cometariu. Dacă matricea zero este pătrată, atunci este, de asemenea, scalară.

Exemplu

Definiție

Un singur matrice Se numește o matrice scalară de ordine, elementele diagonale ale căror sunt egale cu 1.

Cometariu. Pentru a reduce înregistrarea, ordinea unei matrice unică nu poate fi scrisă, apoi o singură matrice este indicată pur și simplu.

Exemplu

- Matrice de ordinul secundar singuratic.

2.10. Tăierea matricei la diagonală

Materiale normale (în special simetrice) A. pot fi aduse la tipul diagonali prin conversia asemănării -

A. = Tht. −1

Aici Λ \u003d Diag (λ 1, ..., λ N.) este o matrice diagonală, elementele care sunt valorile proprii ale matricei A., dar T. - Aceasta este o matrice alcătuită din matricea corespondentă Eigenvets A.. T. = (v. 1 ,...,v. N.).

De exemplu,

Smochin. 23 Aduceți la formularul diagonal

Pasul matrice

Definiție

Viteză Numit o matrice care satisface următoarele condiții:

Definiție

Viteză Se numește matrice care conține șiruri și în care primele elemente diagonale sunt nonzero, iar elementele care stau la baza diagonalei principale și elementele ultimelor rânduri sunt zero, adică, aceasta este o matrice a formei:

Definiție

Elementul principal Un anumit rând al matricei este numit primul său element nonzero.

Exemplu

Sarcina. Găsiți elementele principale ale fiecărui rând al matricei

Decizie. Elementul principal al primei linii este primul element nonzero al acestei linii și, prin urmare, elementul principal al șirului la numărul 1; În mod similar, elementul principal al celei de-a doua linii.

O altă definiție a unei matrice pas cu pas.

Definiție

Matricea se numește viteză, în cazul în care un:

toate liniile zero sunt în picioare după Nonzero;

În fiecare linie nonzero, pornind de la al doilea, elementul său principal este la dreapta (într-o coloană cu un număr mare) al elementului principal al liniei anterioare.

Prin definiție până la matricele pas, vom atrage o matrice zero, precum și o matrice care conține o linie.

Exemplu

Exemple de matricele pasate:

, , , ,