Tables de vérité des opérations logiques comment résoudre. Conversions identiques d'expressions logiques

Aujourd'hui, nous allons parler d'un sujet appelé informatique. Table de vérité, types de fonctions, ordre de leur exécution - telles sont nos principales questions, auxquelles nous essaierons de trouver des réponses dans l'article.

Habituellement, ce cours est enseigné au lycée, mais le grand nombre d'étudiants est la raison d'un manque de compréhension de certaines caractéristiques. Et si vous allez y consacrer votre vie, vous ne pouvez tout simplement pas vous passer de l'examen d'État unifié en informatique. Table de vérité, transformation d'expressions complexes, résolution de problèmes logiques - tout cela se trouve dans le ticket. Nous allons maintenant examiner de plus près ce sujet et vous aider à obtenir plus de points à l'examen.

Le sujet de la logique

Quel est ce sujet - l'informatique? Table de vérité - comment la construire ? Pourquoi la science de la logique est-elle nécessaire ? Nous allons maintenant répondre à toutes ces questions.

L'informatique est un sujet assez fascinant. Cela ne peut pas causer de difficultés dans la société moderne, car tout ce qui nous entoure, d'une manière ou d'une autre, fait référence à un ordinateur.

Les bases de la science de la logique sont enseignées par des professeurs du secondaire dans les cours d'informatique. Tables de vérité, fonctions, simplification des expressions - tout cela devrait être expliqué par le professeur d'informatique. Cette science est tout simplement nécessaire dans notre vie. A y regarder de plus près, tout obéit à certaines lois. Vous avez lancé le ballon, il s'est envolé, mais est ensuite retombé au sol, cela était dû à la présence des lois de la physique et de la force de gravité. Maman fait de la soupe et ajoute du sel. Pourquoi n'avons-nous pas de céréales quand nous les mangeons ? C'est simple, le sel se dissout dans l'eau, obéissant aux lois de la chimie.

Faites maintenant attention à la façon dont vous parlez.

"Si j'emmène mon chat à la clinique vétérinaire, il sera vacciné."
"Aujourd'hui a été une journée très difficile parce que le chèque est arrivé."
« Je ne veux pas aller à l'université parce qu'aujourd'hui il y aura un colloque », etc.

Tout ce que vous dites doit obéir aux lois de la logique. Cela s'applique à la fois aux conversations d'affaires et amicales. C'est pour cette raison qu'il est nécessaire de comprendre les lois de la logique afin de ne pas agir au hasard, mais d'être sûr de l'issue des événements.

Les fonctions

Afin de compiler une table de vérité pour le problème qui vous est proposé, vous devez connaître les fonctions logiques. Ce que c'est? Une fonction logique a des variables qui sont des déclarations (vrai ou faux), et la valeur de la fonction elle-même devrait nous donner la réponse à la question : « L'expression est-elle vraie ou fausse ?

Toutes les expressions prennent les valeurs suivantes :

Vrai ou faux.
Et ou L.
1 ou 0.
Plus ou moins.

Ici, privilégiez la méthode qui vous convient le mieux. Afin de composer une table de vérité, nous devons lister toutes les combinaisons de variables. Leur nombre est calculé par la formule : 2 à la puissance n. Le résultat du calcul est le nombre de combinaisons possibles, la variable n dans cette formule désigne le nombre de variables dans la condition. Si l'expression a de nombreuses variables, alors vous pouvez utiliser une calculatrice ou vous faire un petit tableau avec l'augmentation de deux à une puissance.

Au total, sept fonctions ou connexions sont distinguées dans la logique qui relient les expressions :

Multiplication (conjonction).
Addition (disjonction).
Corollaire (implication).
Équivalence.
Inversion.
L'AVC de Schaeffer.
La flèche de Pierce.

La première opération de la liste est appelée "multiplication logique". Il peut être marqué graphiquement avec une coche inversée, & ou *. La deuxième opération de notre liste est l'addition logique, indiquée graphiquement par une coche, +. Une implication est appelée une conséquence logique, elle est indiquée par une flèche pointant d'une condition à une conséquence. L'équivalence est indiquée par une flèche à double pointe, la fonction n'a de vraie valeur que si les deux valeurs prennent soit la valeur "1" soit "0". L'inversion est appelée négation logique. Le trait de Schaeffer s'appelle une fonction qui nie la conjonction, et la flèche de Peirce s'appelle une fonction qui nie la disjonction.

Fonctions binaires de base

La table de vérité logique aide à trouver la réponse dans le problème, mais pour cela, vous devez vous souvenir des tables de fonctions binaires. Ils seront fournis dans cette section.

Conjonction (multiplication). S'il y en a deux, alors nous obtenons la vérité, dans tous les autres cas, nous obtenons un mensonge.

Le résultat est faux avec addition logique, on n'en a que dans le cas de deux fausses entrées.

Une conséquence logique a un résultat faux uniquement lorsque la condition est vraie et l'effet est faux. Ici, vous pouvez donner un exemple tiré de la vie : « Je voulais acheter du sucre, mais le magasin était fermé », par conséquent, le sucre n'a jamais été acheté.

L'équivalence n'est vraie que dans les cas où les valeurs des données d'entrée sont les mêmes. C'est-à-dire avec des paires : "0; 0" ou "1; 1".

Dans le cas de l'inversion, tout est élémentaire, s'il y a une expression vraie en entrée, alors elle est convertie en fausse, et vice versa. L'image montre comment il est indiqué graphiquement.

Le trait de Schiffer ne produira un résultat faux que s'il y a deux expressions vraies.

Dans le cas de la flèche de Pierce, la fonction ne sera vraie que si nous n'avons que des expressions fausses en entrée.

Dans quel ordre effectuer les opérations logiques

Veuillez noter que la construction de tables de vérité et la simplification d'expressions ne sont possibles que si l'ordre des opérations est correct. Rappelez-vous dans quel ordre ils doivent être effectués, ceci est très important pour obtenir le bon résultat.

négation logique;
multiplication;
une addition;
conséquence;
équivalence;
négation de la multiplication (coup de Schaeffer) ;
négation de l'addition (flèche de Pierce).

Exemple 1

Nous proposons maintenant de considérer un exemple de construction d'une table de vérité pour 4 variables. Il faut savoir dans quels cas F = 0 pour l'équation : notA + B + C * D

La réponse à cette tâche sera d'énumérer les combinaisons suivantes : "1; 0; 0; 0", "1; 0; 0; 1" et "1; 0; 1; 0". Comme vous pouvez le voir, faire une table de vérité est assez simple. Encore une fois, je voudrais attirer votre attention sur l'ordre d'exécution des actions. Dans un cas précis, c'était comme suit :

Inversion de la première expression simple.
La conjonction des troisième et quatrième expressions.
Disjonction de la deuxième expression avec les résultats des calculs précédents.

Exemple n°2

Nous allons maintenant considérer une autre tâche qui nécessite la construction d'une table de vérité. L'informatique (des exemples ont été tirés du cours de l'école) peut aussi avoir comme devoir. Jetons un coup d'œil rapide à l'un d'eux. Est-ce que Vanya est coupable d'avoir volé le ballon si ce qui suit est connu :

Si Vanya n'a pas volé ou Petya a volé, alors Seryozha a participé au vol.
Si Vanya n'est pas coupable, Seryozha n'a pas non plus volé le ballon.

Introduisons les désignations : I - Vanya a volé la balle ; P - Étole Petya; S - Seryozha a volé.

D'après cette condition, on peut composer l'équation : F = ((pas И + П) implication С) * (pas et implication pasС). Nous avons besoin de ces options où la fonction prend une vraie valeur. Ensuite, vous devez créer une table, puisque cette fonction a jusqu'à 7 actions, nous les omettrons. Nous n'entrerons que les données d'entrée et le résultat.

Notez que dans ce problème nous avons utilisé plus et moins au lieu des signes "0" et "1". Ceci est également acceptable. Nous nous intéressons aux combinaisons où F = +. Après les avoir analysés, nous pouvons tirer la conclusion suivante : Vanya a participé au vol du ballon, puisque dans tous les cas où F prend la valeur +, Et a une valeur positive.

Exemple n° 3

Nous vous proposons maintenant de trouver le nombre de combinaisons lorsque F = 1. L'équation a la forme suivante : F = notA + B * A + notB. On compose une table de vérité :

Réponse : 4 combinaisons.

Opérations logiques de base

Négation (inversion), du latin inversio - retournez :

Correspond à la particule NON, la phrase est MAL QUOI ;

Désignation : pas A, A, -A ;

table de vérité:

L'inverse d'une variable booléenne est vrai si la variable elle-même est fausse, et inversement, l'inverse est faux si la variable est vraie.

Exemple : A = (Il neige dehors).

A = (Ce n'est pas vrai qu'il neige dehors)

A = (Il ne neige pas dehors);

Addition logique (disjonction), du latin disjunctio - je distingue :

Correspond à l'union OU ;

Désignation : +, ou, ou, V ;

Table de vérité:

La disjonction est fausse si et seulement si les deux affirmations sont fausses.

Exemple : F = (Le soleil brille dehors ou un vent fort souffle) ;

Multiplication logique (conjonction), du latin conjunctio - je connecte :

Correspond à l'union ET

(en langage naturel : à la fois A et B, à la fois A et B, A avec B, A, malgré B, A, tandis que B) ;

Désignation : Ч,, &, et, ^, et ;

Table de vérité:

Une conjonction est vraie si et seulement si les deux affirmations sont vraies.

Exemple : F = (Le soleil brille dehors et un vent fort souffle) ;

Toute instruction complexe peut être écrite à l'aide des opérations logiques de base ET, OU, NON Avec l'aide de circuits logiques ET, OU, il n'est PAS possible de mettre en œuvre une fonction logique qui décrit le fonctionnement de divers dispositifs informatiques.

2) La table de vérité est une table décrivant une fonction logique.

Dans ce cas, une "fonction logique" signifie une fonction dans laquelle les valeurs des variables (paramètres de la fonction) et la valeur de la fonction elle-même expriment la vérité logique. Par exemple, dans la logique à deux valeurs, ils peuvent prendre les valeurs "vrai" ou "faux" (soit, soit).

La définition tabulaire des fonctions se trouve non seulement dans la logique, mais les tableaux se sont avérés particulièrement pratiques pour les fonctions logiques, et dès le début du 20ème siècle, ce nom spécial leur a été attribué. Les tables de vérité sont particulièrement souvent utilisées en algèbre booléenne et dans des systèmes logiques à valeurs multiples similaires.

Une conjonction est une opération logique qui, dans son application, est aussi proche que possible de la conjonction « et ». Multiplication logique, parfois simplement « ET ».

La disjonction est une opération logique, qui dans son application se rapproche le plus possible de la conjonction « ou » au sens de « soit ceci, soit cela, soit les deux à la fois ». addition logique, parfois juste "OU".

L'implication est un connecteur logique binaire, dans son application proche des conjonctions "si... alors..." L'implication s'écrit comme prémisse d'une conséquence ; des flèches de forme différente et dirigées dans l'autre sens sont également utilisées (le point indique toujours l'effet).

L'équivalence (ou l'équivalence) est une opération logique à deux positions. Généralement indiqué par le symbole ≡ ou ↔.

7. Expressions logiques, tables de vérité des expressions logiques.

Une expression logique est un enregistrement ou un énoncé verbal qui, avec les constantes, inclut nécessairement des quantités variables (objets). En fonction des valeurs de ces variables, l'expression logique peut prendre l'une des deux valeurs possibles : TRUE (logique 1) ou FALSE (logique 0)

Une expression logique complexe est une expression logique composée d'une ou plusieurs expressions logiques simples (ou complexes) associées à des opérations logiques.

Opérations logiques et tables de vérité

Multiplication logique CONJONCTION - cette nouvelle expression complexe ne sera vraie que si les deux expressions simples d'origine sont vraies. La conjonction définit la connexion de deux expressions logiques en utilisant l'union de I.

Addition logique - DISJONCTION - cette nouvelle expression complexe sera vraie si et seulement si au moins une des expressions originales (simples) est vraie. La disjonction définit la connexion de deux expressions logiques à l'aide de la conjonction OU

Négation logique : INVERSION - si l'expression originale est vraie, alors le résultat de la négation sera faux, et vice versa, si l'expression originale est fausse, le résultat de la négation sera vrai / Cette opération signifie que la particule PAS ou le mot WRONG est ajouté à l'expression logique d'origine, WHAT

Inférence logique : IMPLICATION - relie deux expressions logiques simples, dont la première est une condition (A) et la seconde (B) est une conséquence de cette condition. Le résultat de IMPLICATION est FAUX uniquement si la condition A est vraie et la conséquence B est fausse. Il est désigné par le symbole "donc" et exprimé par les mots SI..., ALORS...

Équivalence logique : ÉQUIVALENCE - détermine le résultat de la comparaison de deux expressions logiques simples A et B. Le résultat d'ÉQUIVALENCE est une nouvelle expression logique qui sera vraie si et seulement si les deux expressions originales sont simultanément vraies ou fausses. Indiqué par le symbole "équivalence"

L'ordre d'exécution des opérations logiques dans une expression logique complexe :

1.inversion

2. conjonction

3.disjonction

4.implication

5.équivalence

Les parenthèses sont utilisées pour modifier l'ordre spécifié des opérations.

Construire des tables de vérité pour des expressions complexes :

Nombre de lignes = 2n + deux lignes pour le titre (n est le nombre d'énoncés simples)

Nombre de colonnes = nombre de variables + nombre d'opérations logiques

Lors de la construction du tableau, toutes les combinaisons possibles des valeurs logiques 0 et 1 des expressions d'origine doivent être prises en compte. Ensuite, déterminez l'ordre des actions et dressez un tableau en tenant compte des tables de vérité des principales opérations logiques.

EXEMPLE : compiler une table de vérité d'une expression logique complexe D = notA & (B + C)

A, B, C - trois déclarations simples, donc :

nombre de lignes = 23 +2 = 10 (n = 3, puisqu'il y a trois éléments A, B, C en entrée)

nombre de colonnes : 1) A

4) non A est l'inverse de A (notez E)

5) B + C est une opération de disjonction (notez F)

6) D = notA & (B + C), c'est-à-dire D = E & F est une opération de conjonction

A B C E = pas A (pas 1) F = B + C (2 + 3) D = E&F (4 * 5)

Algèbre de la logique

Algèbre de la logique(eng. algèbre de la logique) - l'une des principales sections de la logique mathématique, dans laquelle les méthodes de l'algèbre sont utilisées dans les transformations logiques.

Le fondateur de l'algèbre de la logique est le mathématicien et logicien anglais J. Boole (1815-1864), qui a basé son enseignement logique sur l'analogie entre l'algèbre et la logique. Il a écrit toute déclaration en utilisant les symboles du langage qu'il a développé et a reçu des "équations", dont la vérité ou la fausseté pouvait être prouvée sur la base de certaines lois logiques, telles que les lois de commutativité, de distributivité, d'associativité, etc.

Moderne algèbre de la logique est une branche de la logique mathématique et étudie les opérations logiques sur les énoncés du point de vue de leur valeur de vérité (vrai, faux). Les affirmations peuvent être vraies, fausses ou contenir vrai et faux dans des proportions différentes.

Énoncé logique Est-ce toute phrase déclarative pour laquelle il peut être affirmé sans ambiguïté que son contenu est vrai ou faux.

Par exemple, « 3 fois 3 égale 9 », « Arkhangelsk au nord de Vologda » sont des affirmations vraies et « Cinq est inférieur à trois », « Mars est une étoile » sont faux.

De toute évidence, toutes les phrases ne peuvent pas être une déclaration logique, car il n'est pas toujours logique de parler de sa fausseté ou de sa vérité. Par exemple, l'énoncé « L'informatique est un sujet intéressant » est vague et nécessite des informations supplémentaires, et l'énoncé « Pour un élève de 10e année AA Ivanov, l'informatique est un sujet intéressant », selon les intérêts de AA Ivanov, peut prendre sur le sens de « vérité » ou de « mensonge ».

sauf algèbre propositionnelle à deux valeurs, dans lequel seules deux valeurs sont acceptées - "vrai" et "faux", il y a algèbre propositionnelle multivaluée. Dans une telle algèbre, en plus des significations "vrai" et "faux", des valeurs de vérité telles que "probablement", "possible", "impossible", etc. sont utilisées.

En algèbre, les logiques diffèrent Facile(élémentaire) énoncés, désigné par les lettres latines (A, B, C, D, ...), et complexe(composite), composé de plusieurs simples utilisant des connecteurs logiques, par exemple, tels que "Pas", "et", "ou", "alors et seulement alors", "si ... alors"... La vérité ou la fausseté des déclarations complexes obtenues de cette manière est déterminée par la signification des déclarations simples.

Notons par UNE l'énoncé "L'algèbre de la logique est appliquée avec succès dans la théorie des circuits électriques", et à travers V- "L'algèbre de la logique est utilisée dans la synthèse des circuits relais-contact."

Ensuite, l'énoncé composé "L'algèbre de la logique est appliquée avec succès dans la théorie des circuits électriques et dans la synthèse des circuits relais-contact" peut être brièvement écrit comme A et B; ici "et" est un connecteur logique. Évidemment, puisque les énoncés élémentaires A et B sont vraies, alors l'énoncé composé A et B.

Chaque connecteur logique est considéré comme une opération sur des instructions logiques et a son propre nom et sa propre désignation.

Il n'y a que deux valeurs logiques : vrai vrai) et faux (FAUX)... Cela correspond à la représentation numérique - 1 et 0 ... Les résultats de chaque opération logique peuvent être enregistrés sous forme de tableau. De telles tables sont appelées tables de vérité.

Opérations de base de l'algèbre booléenne

1. Négation logique, inversion(lat. renversement- inversion) - une opération logique, à la suite de laquelle une nouvelle instruction est obtenue à partir d'une instruction donnée (par exemple, A) ( pas un), qui est appelée négation de la déclaration originale, symbolisé par une barre au-dessus ($ A↖ (-) $) ou par des conventions telles que ¬, "pas", et lit : "Pas A", "A est faux", "ce n'est pas vrai que A", "négation de A"... Par exemple, « Mars est une planète du système solaire » (en disant A) ; « Mars n'est pas une planète du système solaire » ($ A↖ (-) $) ; l'énoncé « 10 est un nombre premier » (énoncé B) est faux ; l'énoncé « 10 n'est pas un nombre premier » (énoncé B) est vrai.

Une opération utilisée par rapport à une quantité est appelée unaire... Le tableau des valeurs de cette opération a la forme

L'énoncé $ A↖ (-) $ est faux lorsque A est vrai et vrai lorsque A est faux.

Géométriquement, la négation peut être représentée comme suit : si A est un ensemble de points, alors $ A↖ (-) $ est le complément de l'ensemble A, c'est-à-dire tous les points qui n'appartiennent pas à l'ensemble A.

2.Conjonction(lat. conjonction- connexion) - multiplication logique, une opération qui nécessite au moins deux valeurs logiques (opérandes) et relie deux ou plusieurs instructions à l'aide d'un lien "et"(par exemple, "A et B"), qui est symboliquement désigné par le signe (A ∧ B) et se lit comme suit : « A et B ». Les signes suivants sont également utilisés pour indiquer la conjonction : A B; A & B, A et B, et parfois aucun signe n'est mis entre les énoncés : AB. Un exemple de multiplication logique : "Ce triangle est isocèle et rectangle." Une déclaration donnée ne peut être vraie que si les deux conditions sont remplies, sinon la déclaration est fausse.

UNE	B	A B
1	0	0
0	1	0
0	0	0
1	1	1

Énonciation UNE ∧ V n'est vrai que si les deux affirmations - UNE et V sont vrai.

Géométriquement, une conjonction peut être représentée comme suit : si UN B UNE ∧ V il y a une intersection d'ensembles UNE et V.

3. Disjonction(lat. disjonction- séparation) - addition logique, une opération qui relie deux ou plusieurs instructions à l'aide d'un bundle "ou"(par exemple, "A ou B"), qui est symboliquement désigné par le signe ∨ (UNE∨ V) et lit : "A ou B"... Les signes suivants sont également utilisés pour indiquer la disjonction : A + B ; A ou B; A | B... Un exemple d'addition logique : "Le nombre x est divisible par 3 ou 5". Cette déclaration sera vraie si les deux conditions sont remplies, ou au moins une des conditions.

La table de vérité de l'opération a la forme

UNE	B	UNE ∨ B
1	0	1
0	1	1
0	0	0
1	1	1

Énonciation UNE∨ V faux seulement si les deux déclarations - UNE et V sont faux.

L'addition géométriquement logique peut être représentée comme suit : si UN B Y a-t-il des ensembles de points, alors UNE ∨ V est l'union des ensembles UNE et V, c'est-à-dire la figure unissant à la fois le carré et le cercle.

4. Disjonction strictement séparative, addition modulo deux- une opération logique qui relie deux instructions à l'aide d'un lien "ou", utilisé dans un sens exclusif, qui est symboliquement désigné par les signes ∨ ou ⊕ ( UNE ∨ ∨ B, A ⊕ V) et lit : "A ou B"... Un exemple d'addition modulo deux est le dicton "Ce triangle est obtus ou à angle aigu". La déclaration est vraie si l'une des conditions est vraie.

La table de vérité de l'opération a la forme

UNE	V	UNE⊕ B
1	0	1
0	1	1
0	0	0
1	1	0

L'énoncé A B n'est vrai que lorsque les énoncés A et B ont des significations différentes.

5. Implication(lat. implicite- étroitement liés) - une opération logique qui relie deux instructions à l'aide d'un bundle "Si donc" en un énoncé complexe, qui est symboliquement désigné par le signe → ( UNE → V) et lit : "Si A, alors B", "A implique B", "B découle de A", "A implique B"... Le signe (A ⊃ B) est également utilisé pour désigner l'implication. Un exemple d'implication : « Si le quadrilatère résultant est un carré, alors un cercle peut être décrit autour de lui. Cette opération lie deux expressions logiques simples, la première étant une condition et la seconde étant une conséquence. Le résultat d'une opération n'est faux que lorsque la prémisse est vraie et que l'effet est faux. Par exemple, « Si 3 * 3 = 9 (A), alors le Soleil est une planète (B) », le résultat de l'implication A → B est faux.

La table de vérité de l'opération a la forme

UNE	V	UNE→V
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Pour l'opération d'implication, il est vrai que tout peut découler d'un mensonge, et que seule la vérité peut découler de la vérité.

6. Équivalence, double implication, équivalence(lat. égalis- égal et valentin- valide) - une opération logique qui permet deux déclarations UNE et V obtenir une nouvelle déclaration A B qui dit : "A est équivalent à B"... Les symboles suivants sont également utilisés pour désigner l'équivalence : ⇔, ∼. Cette opération peut être exprimée par des ligaments "Alors et seulement alors", "nécessaire et suffisant", "équivalent"... Un exemple d'équivalence est la déclaration : « Un triangle sera rectangulaire si et seulement si l'un des angles est de 90 degrés.

La table de vérité de l'opération d'équivalence a la forme

UNE	V	UNE∼ V
1	0	0
0	1	0
0	0	1
1	1	1

L'opération d'équivalence est l'inverse de l'addition modulo deux et a le résultat "vrai" si et seulement si les valeurs des variables coïncident.

Connaissant la signification d'énoncés simples, il est possible de déterminer la signification d'énoncés complexes sur la base de tables de vérité. Il est important de savoir que trois opérations suffisent pour représenter n'importe quelle fonction de l'algèbre de la logique : la conjonction, la disjonction et la négation.

La priorité d'exécution des opérations logiques est la suivante : négation ( "ne pas") a la priorité la plus élevée, puis la conjonction ( "et"), après conjonction - disjonction ( "ou").

À l'aide de variables logiques et d'opérations logiques, tout énoncé logique peut être formalisé, c'est-à-dire remplacé par une formule logique. Dans le même temps, les énoncés élémentaires qui forment un énoncé composé peuvent être totalement indépendants du point de vue du sens, mais cela n'interfère pas avec la détermination de la vérité ou de la fausseté d'un énoncé composé. Par exemple, l'énoncé « Si cinq est plus que deux ( UNE), le mardi vient toujours après le lundi ( V) " - implication UNE→ V, et le résultat de l'opération dans ce cas est "true". Dans les opérations logiques, le sens des énoncés n'est pas pris en compte, seule leur vérité ou leur fausseté est prise en compte.

Considérons, par exemple, la construction d'un énoncé composé à partir d'énoncés UNE et V ce qui serait faux si et seulement si les deux affirmations sont vraies. Dans la table de vérité pour l'opération d'addition modulo deux, on trouve : 1 1 = 0. Et l'énoncé peut être, par exemple, ceci : « Cette boule est complètement rouge ou complètement bleue. Par conséquent, si la déclaration UNE"Cette balle est complètement rouge" est vrai, et la déclaration V"Cette balle est complètement bleue" est vrai, alors l'énoncé composé est un mensonge, car la balle ne peut pas être à la fois rouge et bleue.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1. Déterminer pour les valeurs indiquées de X la valeur de l'énoncé logique ((X> 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1 ; 2) X = 12 ; 3) X = 3.

Solution. La séquence des opérations est la suivante : d'abord, les opérations de comparaison entre parenthèses sont effectuées, puis la disjonction, et la dernière est l'opération d'implication. L'opération de disjonction est fausse si et seulement si les deux opérandes sont faux. La table de vérité pour l'implication est

UNE	B	A → B
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

De là, nous obtenons :

1) pour X = 1 :

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) pour X = 12 :

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) pour X = 3 :

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Exemple 2. Précisez l'ensemble des valeurs entières X pour lesquelles l'expression ((X> 2) → (X> 5)) est vraie.

Solution. L'opération de négation est appliquée à l'ensemble de l'expression ((X> 2) → (X> 5)), donc, lorsque l'expression ¬ ((X> 2) → (X> 5)) est vraie, l'expression ((X > 2) → (X > 5)) est faux. Par conséquent, il est nécessaire de déterminer pour quelles valeurs de X l'expression ((X> 2) → (X> 5)) est fausse. L'opération d'implication ne prend la valeur "faux" que dans un cas : quand du vrai suit faux. Et cela n'est fait que pour X = 3 ; X = 4 ; X = 5.

Exemple 3. Pour lequel des mots donnés l'énoncé ¬ (première lettre d'une voyelle ∧ troisième lettre d'une voyelle) ⇔ une chaîne de 4 caractères est-il faux ? 1) ass ; 2) kuku ; 3) maïs ; 4) erreur ; 5) homme fort.

Solution. Considérons tous les mots suggérés dans l'ordre :

1) pour le mot cul on obtient : ¬ (1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - l'énoncé est vrai ;

2) pour le mot kuku on obtient : ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - l'énoncé est vrai ;

3) pour le mot maïs on obtient : ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - l'énoncé est faux ;

4) pour le mot erreur nous obtenons : ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 - l'énoncé est vrai ;

5) pour le mot homme fort nous obtenons : ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - l'énoncé est faux.

Les expressions booléennes et leur transformation

Sous expression logique vous devez comprendre un tel enregistrement qui peut prendre la valeur logique "vrai" ou "faux". Avec cette définition, il faut distinguer parmi les expressions logiques :

expressions qui utilisent des opérations de comparaison ("supérieur à", "inférieur à", "égal", "différent", etc.) et prennent des valeurs logiques (par exemple, l'expression a> b, où a = 5 et b = 7, est égal à la valeur "faux");
expressions logiques directes associées à des valeurs logiques et à des opérations logiques (par exemple, A B ∧ C, où A = vrai, B = faux et C = vrai).

Les expressions booléennes peuvent inclure des fonctions, des opérations algébriques, des opérations de comparaison et des opérations logiques. Dans ce cas, la priorité d'exécution des actions est la suivante :

calcul des dépendances fonctionnelles existantes ;
effectuer des opérations algébriques (d'abord multiplication et division, puis soustraction et addition);
effectuer des opérations de comparaison (sans ordre particulier) ;
exécution d'opérations logiques (au début des opérations de négation, puis des opérations de multiplication logique, d'addition logique, les dernières opérations d'implication et d'équivalence sont effectuées).

Les expressions booléennes peuvent utiliser des parenthèses qui modifient l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées.

Exemple. Trouver la valeur d'une expression :

1 $ a ∨ A ∨ sin (π / a - π / b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B) $ pour a = 2, b = 3, A = vrai, B = faux.

Solution. L'ordre de comptage des valeurs :

1) b a + a b> a + b, après substitution on obtient : 3 2 + 2 3> 2 + 3, soit 17> 2 + 3 = vrai ;

2) A ∧ B = vrai ∧ faux = faux.

Par conséquent, l'expression entre parenthèses est (b a + a b> a + b A ∧ B) = vrai ∨ faux = vrai ;

3) 1≤ a = 1 2 = vrai ;

4) péché (π / a - π / b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Après ces calculs, on obtient finalement : vrai ∨ А ∧ vrai ∧ ¬В ∧ ¬vrai.

Les opérations de négation doivent maintenant être effectuées, suivies d'une multiplication et d'une addition logiques :

5) ¬В = ¬faux = vrai ; vrai = faux;

6) A ∧ vrai ∧ vrai ∧ faux = vrai ∧ vrai ∧ vrai ∧ faux = faux;

7) vrai ∨ faux = vrai.

Ainsi, le résultat d'une expression booléenne à valeurs données est "vrai".

Noter. Considérant que l'expression originale est, en fin de compte, la somme de deux termes, et la valeur de l'un d'eux est 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = vrai, sans autres calculs, nous pouvons dire que le résultat pour l'expression entière est également "vrai".

Conversions identiques d'expressions logiques

Dans l'algèbre de la logique, les lois fondamentales sont remplies, ce qui permet d'effectuer des transformations identiques d'expressions logiques.

Loi	Pour	Pour
Propulser	A B = B A	A B = B A
Combinatif	A (B C) = (B ∨ A) C	A (B C) = (A ∧ B) C
Jonction	A (B C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)	A B ∧ C = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Les règles de De Morgan	$ (A B) ↖ (-) $ = $ A↖ (-) ∧ B↖ (-) $	$ (A ∧ B) ↖ (-) $ = $ A↖ (-) ∨ B↖ (-) $
Idempotences	A A = A	A A = A
Absorption	A A ∧ B = A	A (A B) = A
Collage	(A B) ∨ (A↖ (-) ∧ B) = B	(A B) ∧ (A↖ (-) ∨ B) = B
Fonctionnement variable avec son inversion	$ A A↖ (-) $ = 1	$ A A↖ (-) $ = 0
Fonctionnement avec des constantes	A 0 = A A 1 = 1	A 1 = A A 0 = 0
Double négation	$ A↖ (=) $ = A

Les preuves de ces affirmations sont faites sur la base de la construction de tables de vérité pour les enregistrements correspondants.

Les transformations équivalentes de formules logiques ont le même but que les transformations de formules en algèbre ordinaire. Ils servent à simplifier des formules ou à les amener à une certaine forme en utilisant les lois fondamentales de l'algèbre de la logique. Sous simplification de la formule, qui ne contient pas les opérations d'implication et d'équivalence, s'entend comme une transformation équivalente qui conduit à une formule qui contient soit moins que le nombre initial d'opérations, soit moins de variables.

Certaines transformations de formules logiques sont similaires aux transformations de formules en algèbre ordinaire (en prenant le facteur commun hors des parenthèses, en utilisant les lois de déplacement et de combinaison, etc.), tandis que d'autres transformations sont basées sur des propriétés que les opérations de l'algèbre ordinaire n'ont pas. (en utilisant la loi de distribution pour la conjonction, les lois d'absorption, de collage, de Morgan, etc.).

Regardons des exemples de certaines des techniques et méthodes utilisées pour simplifier les formules logiques :

1) X1 ∧ X2 X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2.

Pour la transformation ici, vous pouvez appliquer la loi d'idempotence, la loi de distribution ; une opération variable inverse et une opération constante.

2) X1 X1 ∧ X2 = X1 (1 1 ∧ X2) = X1 (1 ∨ X2) = X1.

Ici, pour simplifier, la loi d'absorption est appliquée.

3) (X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1.

Lors de la conversion, règle de Morgan, l'opération d'une variable avec son inversion, une opération avec une constante sont appliquées

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1. Trouvez une expression booléenne équivalente à A ¬ (¬B ∨ C).

Solution. On applique la règle de de Morgan pour B et C : ¬ (¬B ∨ C) = B ∧ ¬C.

On obtient une expression équivalente à celle d'origine : A ¬ (¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C.

Réponse: A B ¬C.

Exemple 2. Indiquer la valeur des variables logiques A, B, C, pour lesquelles la valeur de l'expression logique (A B) → (B ∨ ¬C ∨ B) est fausse.

Solution. L'opération d'implication n'est fausse que dans le cas où un mensonge découle de la prémisse vraie. Par conséquent, pour une expression donnée, la prémisse A B doit prendre la valeur « vrai », et la conséquence, c'est-à-dire l'expression B ¬C ∨ B, doit être « faux ».

1) A ∨ B - le résultat de la disjonction est « vrai » si au moins un des opérandes est « vrai » ;

2) B ∨ ¬C ∨ B - l'expression est fausse si tous les termes ont la valeur « faux », c'est-à-dire B - « faux » ; ¬C - « faux », et par conséquent, la variable C a la valeur « vrai » ;

3) si nous considérons la prémisse et prenons en compte que B est « faux », alors nous obtenons que la valeur de A est « vraie ».

Réponse: A est vrai, B est faux, C est vrai.

Exemple 3. Quel est le plus grand entier X pour lequel l'instruction (35

Solution.Écrivons la table de vérité pour l'opération d'implication :

UNE	B	A → B
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Expression X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Réponse: X = 5.

Utilisation d'expressions booléennes pour décrire des régions géométriques

Des expressions booléennes peuvent être utilisées pour décrire des zones géométriques. Dans ce cas, le problème est formulé comme suit : pour une région géométrique donnée, écrivez une expression logique qui prend la valeur "vrai" pour les valeurs x, y si et seulement si un point de coordonnées (x; y) appartient à la région géométrique.

Considérons la description d'une zone géométrique à l'aide d'une expression logique à l'aide d'exemples.

Exemple 1. Une image d'une zone géométrique est spécifiée. Écrivez une expression booléenne décrivant l'ensemble des points qui lui appartiennent.

1) .

Solution. Une région géométrique donnée peut être représentée comme un ensemble des régions suivantes : la première région - D1 - demi-plan $ (x) / (- 1) + (y) / (1) 1 $, la seconde - D2 - cercle de centre à l'origine $ x ^ 2 + y ^ 2 1 $. Leur intersection D1 $ ∩ $ D2 est le domaine recherché.

Résultat: expression booléenne $ (x) / (- 1) + (y) / (1) ≤ 1 ∧ x ^ 2 + y ^ 2 1 $.

Cette zone peut être écrite comme ceci : |x | 1 ∧ y 0 y ≥ -1.

Noter. Lors de la construction d'une expression logique, de faibles inégalités sont utilisées, ce qui signifie que les limites des chiffres appartiennent également à la zone ombrée. Si des inégalités strictes sont utilisées, les frontières ne seront pas prises en compte. Les frontières qui n'appartiennent pas à la région sont généralement représentées par une ligne pointillée.

Vous pouvez résoudre le problème inverse, à savoir : tracer une aire pour une expression logique donnée.

Exemple 2. Dessiner et ombrer une zone pour les points dont la condition logique est satisfaite y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y< 2 .

Solution. La région recherchée est l'intersection de trois demi-plans. On construit sur le plan (x, y) des droites y = x ; y = -x; y = 2. Ce sont les limites de la zone, et la dernière limite y = 2 n'appartient pas à la zone, nous la traçons donc avec une ligne pointillée. Pour remplir l'inégalité y ≥ x, il faut que les points soient à gauche de la ligne y = x, et l'inégalité y = -x est satisfaite pour les points qui sont à droite de la ligne y = -x. Condition y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Utiliser des fonctions logiques pour décrire des circuits électriques

Les fonctions logiques sont très utiles pour décrire le fonctionnement des circuits électriques. Ainsi, pour le circuit illustré à la Fig., où la valeur de la variable X est l'état de l'interrupteur (s'il est allumé, la valeur de X est "vraie", et s'il est éteint, elle est "faux") , cette valeur de Y est l'état de l'ampoule (si elle est allumée - la valeur est "vrai", et sinon - "faux"), la fonction logique s'écrira comme suit : Y = X. La fonction Y est appelée fonction de la conductivité.

Pour le circuit illustré à la Fig., la fonction logique Y a la forme : Y = X1 X2, puisqu'un interrupteur allumé suffit pour que la lumière brûle. Dans le diagramme de la Fig., Pour que la lumière brûle, les deux interrupteurs doivent être allumés, par conséquent, la fonction de conductivité a la forme : Y = X1 ∧ X2.

Pour un circuit plus complexe, la fonction de conductance sera : Y = (X11 (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Le circuit peut également contenir des contacts de fermeture. Dans ce cas, le contact ouvert en tant qu'interrupteur garantit que la lumière s'allume lorsque le bouton est relâché, et non enfoncé. Pour de tels circuits, le sectionneur est décrit par négation.

Les deux schémas sont appelés Équivaut à si le courant passe par l'un d'eux alors qu'il passe aussi par l'autre. Des deux circuits équivalents, le plus simple est le circuit dont la fonction de conductivité contient moins d'éléments. La tâche de trouver les schémas les plus simples parmi les équivalents est très importante.

Utilisation de l'appareil d'algèbre logique dans la conception de circuits logiques

L'algèbre des mathématiques logiques est très pratique pour décrire le fonctionnement du matériel informatique. Lors du traitement sur un ordinateur, toute information est représentée sous forme binaire, c'est-à-dire qu'elle est codée par une séquence de 0 et 1. Le traitement des signaux binaires correspondant à 0 et 1 est effectué dans l'ordinateur par des éléments logiques. Portes logiques qui effectuent des opérations logiques de base ET, OU, NON, sont représentés sur la Fig.

Les symboles des éléments logiques sont standard et sont utilisés lors de l'élaboration des circuits logiques d'un ordinateur. En utilisant ces circuits, vous pouvez implémenter n'importe quelle fonction logique qui décrit le fonctionnement d'un ordinateur.

Techniquement, un élément logique informatique est mis en œuvre sous la forme d'un circuit électrique, qui est une connexion de différentes parties : diodes, transistors, résistances, condensateurs. L'entrée d'un élément logique, également appelé porte, reçoit des signaux électriques de niveaux de tension haut et bas, et un signal de sortie est également fourni, haut ou bas, à la sortie. Ces niveaux correspondent à l'un des états du système binaire : 1 - 0 ; VRAI est FAUX. Chaque élément logique a son propre symbole, qui exprime sa fonction logique, mais n'indique pas quel type de circuit électronique y est implémenté. Cela facilite l'écriture et la compréhension de circuits logiques complexes. Le fonctionnement des circuits logiques est décrit à l'aide de tables de vérité. Désignation conventionnelle sur le circuit OU, le signe "1" - de la désignation obsolète de disjonction comme "> = 1" (la valeur de la disjonction est 1 si la somme des deux opérandes est supérieure ou égale à 1). Le signe "&" dans le diagramme AND est une abréviation du mot anglais and.

Les circuits logiques électroniques sont composés d'éléments logiques qui effectuent des opérations logiques plus complexes. Un ensemble d'éléments logiques constitués d'éléments NON, OU ET ET, à l'aide desquels vous pouvez construire une structure logique de toute complexité, s'appelle fonctionnellement complet.

Construire des tables de vérité d'expression booléenne

Pour une formule logique, vous pouvez toujours écrire table de vérité, c'est-à-dire représenter une fonction logique donnée sous forme tabulaire. Dans ce cas, le tableau doit contenir toutes les combinaisons possibles d'arguments de fonction (formules) et les valeurs de fonction correspondantes (résultats de formule sur un ensemble de valeurs donné).

Une forme de notation pratique pour trouver les valeurs d'une fonction est un tableau contenant, en plus des valeurs des variables et des valeurs de fonction, également les valeurs des calculs intermédiaires. Considérons un exemple de construction d'une table de vérité pour la formule $ (X1) (-) X2 ∨ (X1 ∨ X2) ↖ (-) X1 $.

X1	X2	$ (X1) ↖ (-) $	$ (X1) (-) $ \ X2	X1 ∧ X2	$ (X1 X2) ↖ (-) $	$ (X1) ↖ (-) $ ∧ X2 ∨ $ (X1 ∨ X2) ↖ (-) $	$ (X1) ↖ (-) $ ∧ X2 ∨ $ (X1 ∨ X2) ↖ (-) $ ∨ X1
1	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	1	1	0	1	1
0	0	1	0	0	1	1	1

Si une fonction prend la valeur 1 pour tous les ensembles de valeurs variables, elle est identiquement vrai; si pour tous les ensembles de valeurs d'entrée la fonction prend la valeur 0, c'est à l'identique faux; si l'ensemble des valeurs de sortie contient à la fois 0 et 1, la fonction est appelée réalisable... L'exemple ci-dessus est un exemple d'une fonction identiquement vraie.

Connaissant la forme analytique d'une fonction logique, vous pouvez toujours passer à la forme tabulaire des fonctions logiques. A l'aide d'une table de vérité donnée, il est possible de résoudre le problème inverse, à savoir : pour une table donnée, construire une formule analytique pour une fonction logique. Il existe deux formes de construction de la dépendance analytique d'une fonction logique selon une fonction de table donnée.

1. Forme normale disjonctive (DNF)- la somme des produits formés à partir des variables et de leurs négations pour les fausses valeurs.

L'algorithme de construction du DNF est le suivant :

dans la table de vérité de la fonction, on sélectionne des ensembles d'arguments dont les formes logiques sont égales à 1 ("vrai");
tous les ensembles logiques sélectionnés sont écrits comme des produits logiques d'arguments, les reliant séquentiellement les uns aux autres par l'opération d'une somme logique (disjonction);
pour les arguments faux, l'opération de négation est appliquée à l'enregistrement construit.

Exemple. Construisez une fonction qui détermine que le premier nombre est égal au second en utilisant la méthode DNF. La table de vérité de la fonction a la forme

X1	X2	F (X1, X2)
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Solution. Nous sélectionnons les ensembles de valeurs d'arguments dans lesquels la fonction est égale à 1. Ce sont les première et quatrième lignes du tableau (la ligne d'en-tête n'est pas prise en compte lors de la numérotation).

Nous écrivons les produits logiques des arguments de ces ensembles, en les combinant avec une somme logique : X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2.

On écrit la négation par rapport aux arguments des ensembles sélectionnés qui ont une valeur fausse (la quatrième ligne du tableau ; le deuxième ensemble dans la formule ; les premier et deuxième éléments) : X1 ∧ X2 ∨ $ (X1) ↖ ( -) $ ∧ $ (X2) (-) $.

Réponse: F (X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ $ (X2) (-) $.

2. Forme normale conjonctive (CNF)- le produit des sommes formées à partir des variables et de leurs négations pour les vraies valeurs.

L'algorithme de construction du CNF est le suivant :

dans la table de vérité, on sélectionne des ensembles d'arguments dont les formes logiques sont égales à 0 ("faux");
tous les ensembles logiques sélectionnés en tant que sommes logiques d'arguments sont écrits séquentiellement, les reliant ensemble par l'opération d'un produit logique (conjonction) ;
pour les arguments qui sont vrais, l'opération de négation est inscrite dans l'enregistrement construit.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1. Considérons l'exemple précédent, c'est-à-dire construisez une fonction qui détermine que le premier nombre est égal au second, à l'aide de la méthode CNF. Pour une fonction donnée, sa table de vérité est de la forme

X1	X2	F (X1, X2)
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Solution. On sélectionne des ensembles de valeurs d'arguments dans lesquels la fonction est égale à 0. Ce sont les deuxième et troisième lignes (la ligne de titre n'est pas prise en compte lors de la numérotation).

Nous écrivons les sommes logiques des arguments de ces ensembles, en les combinant avec un produit logique : X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2.

On écrit la négation par rapport aux arguments des ensembles sélectionnés qui ont une vraie valeur (la deuxième ligne du tableau, le premier ensemble de la formule, le deuxième élément ; pour la troisième ligne, c'est le deuxième ensemble de la formule , le premier élément) : X1 ∨ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ ( X1) ↖ (-) $ ∨ X2.

Ainsi, un enregistrement de la fonction logique dans le CNF a été obtenu.

Réponse: X1 ∨ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∨ X2.

Les valeurs de fonction obtenues par les deux méthodes sont équivalentes. Pour prouver cette affirmation, nous utilisons les règles de la logique : F (X1, X2) = X1 ∨ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∨ X2 = X1 ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∨ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $ (X2 ) ↖ (- ) $ ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ $ (X2) ↖ (-) $.

Exemple 2... Construire une fonction booléenne pour une table de vérité donnée :

La formule recherchée : X1 ∧ X2 ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ X2.

Il peut être simplifié : X1 ∧ X2 ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $ (X1) ↖ (-) $) = X2 ∧ 1 = X2.

Exemple 3. Pour la table de vérité donnée, construisez une fonction logique en utilisant la méthode DNF.

X1	X2	X3	F (X1, X2, X3)
1	1	1	1	X1 X2 X3
1	0	1	0
0	1	1	1	$ (X1) (-) $ ∧ X2 ∧ X3
0	0	1	0
1	1	0	1	X1 ∧ X2 ∧ $ (X3) ↖ (-) $
1	0	0	1	X1 ∧ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ (X3) ↖ (-) $
0	1	0	0
0	0	0	0

La formule recherchée : X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $ (X3) ↖ (-) $ ∪ X1 ∧ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ (X3) (-) $.

La formule est assez lourde et devrait être simplifiée :

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $ (X3) ↖ (-) $ ∨ X1 ∧ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ (X3) ↖ (-) $ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $ (X1) ↖ (-) $) ∨ X1 ∧ $ (X3) ↖ (-) $ ∧ (X2 ∨ $ (X2) ↖ (-) $) = X2 X3 ∨ X1 ∧ $ (X3) ↖ (-) $.

Tables de vérité pour résoudre des problèmes logiques

La compilation de tables de vérité est l'un des moyens de résoudre des problèmes logiques. Lors de l'utilisation de cette solution, les conditions que contient le problème sont corrigées à l'aide de tables spécialement compilées.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1. Créez une table de vérité pour un dispositif de sécurité qui utilise trois capteurs et se déclenche lorsque seulement deux d'entre eux sont fermés.

Solution. De toute évidence, la solution se traduira par un tableau dans lequel la fonction souhaitée Y (X1, X2, X3) aura la valeur "vrai" si deux variables ont la valeur "vrai".

X1	X2	X3	Y (X1, X2, X3)
1	1	1	0
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	0

Exemple 2. Créez un programme de cours pour la journée, en tenant compte du fait qu'un cours d'informatique ne peut être que le premier ou le deuxième, un cours de mathématiques - le premier ou le troisième et de physique - le deuxième ou le troisième. Est-il possible de créer un horaire qui répond à toutes les exigences ? Combien y a-t-il d'options de planification ?

Solution. Le problème est facilement résolu si vous établissez le tableau approprié :

	1ère leçon	2ème leçon	3ème leçon
L'informatique	1	1	0
Mathématiques	1	0	1
La physique	0	1	1

Le tableau montre qu'il existe deux options pour l'horaire souhaité :

mathématiques, informatique, physique;
informatique, physique, mathématiques.

Exemple 3. Trois amis sont venus au camp sportif - Peter, Boris et Alexey. Chacun d'eux aime deux sports. On sait qu'il existe six sports de ce type : football, hockey, ski, natation, tennis, badminton. On sait aussi que :

Boris est le plus âgé ;
celui qui joue au football est plus jeune que celui qui joue au hockey;
jouer au football et au hockey et Peter vivent dans la même maison;
lorsqu'une querelle éclate entre un skieur et un joueur de tennis, Boris les réconcilie ;
Peter ne peut pas jouer au tennis ou au badminton.

Quels types de sports chacun des garçons apprécie-t-il ?

Solution. Composons un tableau et reflétons les conditions du problème qu'il contient, en remplissant les cellules correspondantes avec les nombres 0 et 1, selon que l'énoncé correspondant est faux ou vrai.

Comme il existe six types de sports, il s'avère que tous les garçons sont friands de sports différents.

De la condition 4 il s'ensuit que Boris n'aime pas le ski ou le tennis, mais des conditions 3 et 5 que Peter ne sait pas jouer au football, au hockey, au tennis et au badminton. Par conséquent, les sports préférés de Peter sont le ski et la natation. Entrons cela dans le tableau et remplissons les cellules restantes des colonnes "Ski" et "Natation" avec des zéros.

Le tableau montre que seul Alexei peut jouer au tennis.

Des conditions 1 et 2, il s'ensuit que Boris n'est pas un joueur de football. Ainsi, Alexey joue au football. Continuons à remplir le tableau. Entrons des zéros dans les cellules vides de la ligne "Alexey".

Enfin, on comprend que Boris aime le hockey et le badminton. La table finale ressemblera à ceci :

Réponse: Peter aime le ski et la natation, Boris joue au hockey et au badminton, et Alexey joue au football et au tennis.

Tâche 1 # 10050

\ ((x \ coin y) \ vee (x \ coin \ overline y) \ vee (y \ coin z) \ vee (z \ coin x) \)

Faites sa table de vérité. Pour votre réponse, entrez le nombre d'ensembles \ ((x, \) \ (y, \) \ (z), \) pour lesquels la fonction est 1.

1. Simplifier \ ((x \ coin y) \ vee (x \ coin \ overline y). \)

Par la loi de distribution \ ((y \ coin x) \ vee (x \ coin \ overline y) \) = \ (x \ coin (y \ vee \ overline y). \)\ (y \ vee \ overline y = 1 \) (si \ (y = 0, \) alors \ (\ surligner y \ vee y = 1 \ vee 0 = 1, \) si \ (y = 1, \) alors \ (\ surligner y \ vee y = 0 \ vee 1 = 1). \) Puis \ (x \ coin (y \ vee \ overline y) = x \ coin 1 = x. \)

2. Simplifier \ ((y \ coin z) \ vee (z \ coin x). \) Par la loi de distribution \ ((y \ coin z) \ vee (z \ coin x) = z \ coin (y \ vee x). \)

3. On obtient : \ ((x \ coin y) \ vee (x \ coin \ overline y) \ vee (y \ coin z) \ vee (z \ coin x) = x \ vee z \ coin (y \ vee x).\)

4. La table de vérité contient 8 lignes (les lignes sont toujours \ (2 ^ n, \) où \ (n \) est le nombre de variables). Dans notre cas, il y a 3 variables.

5. Remplissez la table de vérité.

\ [\ begin (array) (| c | c | c | c | c | c | c |) \ hline x & y & z & y \ vee x & z \ wedge (y \ vee x) & F = x \ vee z \ coin (y \ vee x) \\ \ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \ hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ ligne 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \ ligne 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \ ligne 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \ hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline \ end (tableau) \]

Depuis la disjonction \ (x \ vee z \ coin (y \ vee x) \) est vrai si au moins une des déclarations qu'il contient est vraie, alors pour \ (x = 1 \) \ (F = 1 \) pour tout \ (y \) et \ (z \) (lignes 5-8 dans la table de vérité).

Considérons le cas où \ (x = 0. \) Alors la valeur de la fonction dépendra de la valeur \ (z \ coin (y \ vee x). \) Si \ (z \ coin (y \ vee x) \ ) est vrai, alors et \ (F \) est vrai, si faux alors \ (F \) est faux. Considérons le cas où \ (F = 1. \) La conjonction \ ((z \ wedge (y \ vee x)) \) est vraie si toutes les affirmations qu'elle contient sont vraies, c'est-à-dire \ (y \ vee x = 1 \) et \ (z = 1. \) \ (x = 0, \) signifie \ (y \ vee x = 1, \) lorsque \ (y = 1 \) (ligne 4).

Si l'une des affirmations incluses dans la conjonction est fausse, alors toute la conjonction est fausse. Si \ (x = 0 \) et \ (y = 0, \) alors \ (y \ vee x = 0. \) Alors \ (z \ coin (x \ vee y) = 0 \) pour tout \ (z \) (lignes 1-2). Puisque \ (x = 0, \) et le deuxième énoncé dans la disjonction \ ((z \ wedge (x \ vee y)), \) est également faux, alors toute la fonction est fausse. Si \ (x = 0 \) et \ (y = 1, \) alors \ (y \ vee x = 1. \) Si \ (z = 0, \) \ (z \ coin (y \ vee x) = 0. \) Puis \ (F = 0 \) (ligne 3). Le cas où \ (z = 1, \) \ (y = 1, \) \ (x = 0, \) a été considéré dans le paragraphe précédent.

Nous avons construit une table de vérité. Nous voyons qu'il contient 5 ensembles, pour lesquels \ (F = 1. \) Par conséquent, la réponse est 5.

Réponse : 5

Quête 2 # 10051

La fonction logique \ (F \) est donnée par l'expression :

\ ((x \ coin \ overline y \ coin z) \ vee (x \ rightarrow y) \)

Faites sa table de vérité. Pour votre réponse, entrez le nombre d'ensembles \ ((x, \) \ (y, \) \ (z), \) pour lesquels la fonction est 0.

\ [\ begin (array) (| c | c | c | c | c | c | c | c | c |) \ hline x & y & z & \ overline y & x \ wedge \ overline y & x \ wedge \ overline y \ wedge z & \ overline x & \ overline x \ vee y & x \ wedge \ overline y \ wedge z \ vee \ overline x \ vee y \\ \ hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ ligne 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ ligne 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ ligne 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ ligne 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ ligne 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \ ligne 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ ligne 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ hline \ end (tableau) \]

1. \ (x \ rightarrow y \) = \ (\ overline x \ vee y. \)

2. Notez que pour \ (y = 1 \) \ (F = 1, \) puisque la disjonction est vraie si au moins une expression qu'elle contient est vraie (lignes 3-4, 7-8 dans la table de vérité). De même, pour \ (\ overline x = 1, \) c'est-à-dire pour \ (x = 0, \) \ (F = 1 \) (lignes 1-4).

3. Pour \ (x = 1 \) et \ (y = 0 \) \ (\ overline x \ vee y = 0, \) \ (x \ wedge \ overline y = 1. \) Pour \ (z = 1 \) \ (x \ coin \ surligne y \ coin z = 1 \) et \ (F = 1, \) puisque l'une des expressions (ligne 6) est vraie, et pour \ (z = 0 \) \ (x \ coin \ surligne y \ coin z = 0 \) et \ (F = 0, \) puisque les deux expressions incluses dans la disjonction sont fausses (ligne 5).

D'après la table de vérité construite, on voit que pour un ensemble \ ((x, \) \ (y, \) \ (z) \) \ (F = 0. \)

Réponse 1

Tâche 3 # 10052

La fonction logique \ (F \) est donnée par l'expression :

\ ((\ overline (z \ vee \ overline y)) \ vee (w \ wedge (z \ equiv y)) \)

Faites sa table de vérité. Comme réponse, entrez la somme des valeurs \ (z, \) \ (y \) et \ (w, \) pour lesquelles \ (F = 1. \)

\ [\ begin (array) (| c | c | c | c | c | c | c | c | c |) \ hline w & y & z & \ overline y & z \ vee \ overline y & \ overline ( z \ vee \ overline y) & z \ equiv y & w \ wedge (z \ equiv y) & \ overline z \ vee \ overline y \ vee w \ wedge (z \ equiv y) \\ \ hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ ligne 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ ligne 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \ ligne 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ ligne 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ ligne 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ ligne 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \ ligne 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline \ end (tableau) \]

1. \ ((\ surligner (z \ vee \ surligner y)) = \ surligner z \ coin y \)

2. La table de vérité aura \ (2 ^ 3 = 8 \) lignes.

3. Si \ (z = 1 \) et \ (y = 1, \) \ (alors (z \ equiv y) = 1 \) (puisque l'équivalence est vraie si et seulement si les deux affirmations sont simultanément fausses ou vraies) ... \ (\ surligner z \ coin y = 0 \) \ ((0 \ coin 1 = 0). \) Si \ (w = 1, \) \ (w \ coin (z \ equiv y) = 1 \) \ ((1 \ coin 1 = 1) \) et \ (F = 1, \) puisque la disjonction est vraie si au moins une des affirmations qu'elle contient est vraie (ligne 8 de la table de vérité). Si \ (w = 0, \) \ (w \ coin (z \ equiv y) = 0 \) \ ((0 \ coin 1 = 0) \) et \ (F = 0, \) puisque les deux énoncés, inclus dans la disjonction sont faux (ligne 4).

4. De même pour \ (z = 0, y = 0. \) \ ((z \ equiv y) = 1, \) \ (\ overline z \ wedge y = 0 \) \ ((1 \ wedge 0 = 0 ). \) Là encore la valeur de la fonction dépendra de \ (w. \) Pour \ (w = 1 \) \ (w \ coin (z \ equiv y) = 1, \)\ (F = 1, \) puisque l'un des énoncés inclus dans la disjonction est vrai (ligne 5), et pour \ (w = 0 \) \ (w \ coin (z \ equiv y) = 0, \)\ (F = 0, \) puisque toutes les déclarations sont fausses (ligne 1).

5. Si \ (z = 0 \) et \ (y = 1, \) alors \ (\ surligner z \ coin y = 1 \) \ ((1 \ coin 1 = 1). \) Depuis \ (( z \ equiv y) = 0 \) (après tout, les valeurs \ (z \) et \ (y \) sont différentes), sera faux pour tout \ (w. \) Alors, puisque la valeur de la variable \ (w \) n'affectera pas la valeur de la fonction, pour \ (z = 0 \) et \ (y = 1 \) \ (w \) peut être 0 ou 1. \ (F = 1, \ ) puisque l'un des énoncés inclus dans la disjonction, vrai (lignes 3, 7).

6. Si \ (z = 1 \) et \ (y = 0, \) alors \ (\ surligner z \ coin y = 0 \ coin 0 = 0. \) Puisque \ ((z \ equiv y) = 0, \) \ (w \ coin (z \ equiv y) = w \ coin 0 \) sera faux pour tout \ (w \) (c'est-à-dire que \ (w \) peut être 0 et 1). Par conséquent, pour \ (z = 1 \) et \ (y = 0 \) \ (F \) sera toujours faux (puisque les deux énoncés inclus dans la disjonction sont faux, lignes 2, 5).

7. \ (F = 1 \) pour les ensembles suivants \ (z, \) \ (y, \) \ (w: \) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 0). Si nous additionnons les valeurs, nous obtenons 7.

Réponse : 7

Quête 4 # 10053

La fonction logique \ (F \) est donnée par l'expression :

\ (a \ wedge ((\ overline (b \ wedge c)) \ vee (a \ wedge \ overline b) \ vee (\ overline c \ wedge a)) \)

Faites sa table de vérité. En réponse, entrez la somme des valeurs \ (a, \) \ (b \) et \ (c, \) pour lesquelles \ (F = 1. \)

\ [\ begin (array) (| c | c | c | c |) \ hline a & b & c & F \\\ hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ hline 0 & 0 & 1 & 0 \ \ \ hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \ hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \ hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \ hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \ hline \ end (tableau) \]

1. Dans la table de vérité \ (2 ^ 3 = 8 \) lignes.

2. Pour \ (a = 0 \) \ (F = 0 \) pour toutes les valeurs \ (b \) et \ (c, \) puisque la conjonction est vraie si et seulement si toutes les déclarations qu'elle contient sont vraies (lignes 1 à 4 de la table de vérité).

3. Considérons les cas où \ (a = 1. \) Si \ (\ overline ((b \ wedge c)) \ vee (a \ wedge \ overline b) \ vee (\ overline c \ wedge a) = 1, \) alors \ (F = 1 \) (puisque les deux déclarations seront vraies), sinon \ (F = 0 \) (puisqu'une déclaration sera fausse). La loi de De Morgan \ (\ surligner (b \ coin c) = \ surligner b \ vee \ surligner c. \) Alors, en tenant compte du fait que \ (a = 1, \) \ (\ overline ((b \ wedge c)) \ vee (a \ wedge \ overline b) \ vee (\ overline c \ wedge a) = \ overline b \ vee \ overline c \ vee \ overline b \ vee \ overline c = \ surligne b \ vee \ surligne c. \)

4. Si \ (\ overline b = 0 \) et \ (\ overline c = 0 \) (simultanément, c'est-à-dire pour \ (b = 1 \) et \ (c = 1), \) alors \ (\ surligne b \ vee \ surligne c = 0 \) et \ (F = 0 \) (ligne 8). Dans d'autres cas \ (\ surligne b \ vee \ surligne c = 1 \) et \ (F = 1 \) (lignes 5-7).

5. Les ensembles \ ((x, \) \ (y, \) \ (z), \) pour lesquels \ (F = 1 : \) (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1). La somme des valeurs est 5.

Réponse : 5

Tâche 5 # 10054

La fonction logique \ (F \) est donnée par l'expression :

\ (((a \ coin b) \ vee (b \ coin c)) \ equiv ((d \ rightarrow a) \ vee (b \ coin \ overline c)) \)

Faites une table de vérité. Comme réponse, entrez la somme des valeurs \ (a, \) à laquelle \ (F = 0. \)

\ [\ begin (array) (| c | c | c | c | c |) \ hline a & b & c & d & F \\\ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \ hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \ ligne 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \ ligne 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \ ligne 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \ ligne 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ ligne 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \ ligne 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ ligne 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \ hline 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \ hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \ hline \ end (tableau) \]

1. Selon la loi de distribution \ ((a \ coin b) \ vee (b \ coin c) = b \ coin (a \ vee c). \)

2. \ (d \ rightarrow a = \ overline d \ vee a. \)

3. \ (((a \ coin b) \ vee (b \ coin c)) \ equiv ((d \ rightarrow a) \ vee (b \ coin \ overline c)) = b \ coin (a \ vee c) \ equiv (\ overline d \ vee a \ vee (b \ wedge \ overline c)). \)

4. Si \ (b = 0, \) alors le côté gauche de la fonction est égal à 0 \ ((0 \ coin (a \ vee c) = 0). \) \ (b \ coin \ surligne c = 0 \ coin \ surligne c = 0. \) Cela signifie que pour \ (b = 0 \) \ (c \) peut être n'importe quoi, car cela n'affecte pas la valeur de la fonction. \ (F = 1, \) si \ (\ overline d \ vee a = 0 \) (alors une des expressions incluses dans la disjonction sera vraie). Cela se fait avec \ (\ overline d = 0 \) \ ((d = 1) \) et \ (a = 0 \) (lignes 2, 3). Pour les autres \ (d \) et \ (a \) \ (\ overline d \ vee a = 0, \) cela signifie \ (F = 0, \) puisque l'opération d'équivalence est vraie si et seulement si les deux déclarations sont simultanément vrai ou faux (lignes 1, 10 de la table de vérité).

5. Si \ (b = 1, \) alors \ (b \ coin (a \ vee c) = 1 \ coin (a \ vee c) = a \ vee c. \) \ (b \ coin \ surligne c = 1 \ coin \ surligne c = \ surligne c. \) Ensuite on a ça \ (a \ vee c \ equiv \ overline d \ vee a \ vee \ overline c. \) Si \ (a = 1, \) alors \ (a \ vee c = 1 \) et \ (\ surligner d \ vee a \ vee \ surligner c = 1, \) puisque la disjonction est vraie si au moins une des expressions est vraie (et les deux disjonctions contiennent \ (a = 1). \) Alors, si \ (b = 1 \) et \ (a = 1, \) \ (F = 1 \) pour tout \ (c \) et \ (d \) (lignes 5, 7, 8, 11).

Si \ (a = 0, \) alors \ (a \ vee c = 0 \ vee c = c, \) et \ (\ surligner d \ vee a \ vee \ surligner c = \ surligner d \ vee \ surligner c. \) Nous avons: \ (c \ equiv (\ overline d \ vee \ overline c). \) Pour \ (c = 1 \) \ (1 \ equiv \ overline d. \) Pour \ (d = 1 \) \ (F = 0, \) puisque les énoncés sont différents (ligne 4), pour \ (d = 0 \) \ (F = 1, \) puisque les deux affirmations sont vraies (ligne 14). Pour \ (c = 0 \) \ (0 \ equiv (\ overline d \ vee 1). \) Puisque \ (\ overline d \ vee 1 \) est une disjonction dans laquelle l'un des énoncés est vrai, toute la disjonction est vraie. Alors \ (0 \ equiv 1, \) ce qui n'est pas vrai, ce qui veut dire \ (F = 0 \) pour tout \ (d \) (lignes 9, 16).

D'après le tableau construit, on voit que \ (F = 0 \) pour \ (a = 0 \) (lignes 1, 4, 9, 10, 16) et pour \ (a = 1 \) (lignes 6, 12 , 13, 15). Alors la somme des valeurs est 0 * 5 + 1 * 4 = 4.

Réponse : 4

Tâche 6 # 10055

La fonction logique \ (F \) est donnée par l'expression :

\ ((a \ equiv (b \ vee \ overline c)) \ rightarrow (c \ wedge (b \ vee a)) \)

Faites une table de vérité. En réponse, entrez la somme des valeurs \ (c, \) pour lesquelles \ (F = 1. \)

\ [\ begin (array) (| c | c | c | c |) \ hline a & b & c & F \\\ hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ hline 0 & 0 & 1 & 0 \ \ \ hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \ hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \ hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \ hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \ hline \ end (tableau) \]

Le tableau contient \ (2 ^ 3 = 8 \) lignes.

1. Une implication est fausse si et seulement si fausse découle d'un énoncé vrai. D'où \ (F = 0, \) si a \ (c \ coin (b \ vee a) = 0. \) Dans d'autres cas \ (F = 1. \) Considérons pour quelles valeurs \ (a, \ ) \ (b \) et \ (c \) \ (a \ equiv (b \ vee \ overline c) = 1 \)(si \ (a \ equiv (b \ vee \ overline c) = 0, \) alors \ (F = 1 \) pour toute valeur \ (c \ coin (b \ vee a) = 0). \)

Si \ (a = 0, \) alors exécuter \ (a \ equiv (b \ vee \ overline c) = 1, \) nécessaire \ (b \ vee \ overline c = 0 \) (après tout, l'opération d'équivalence est vraie si et seulement si les deux affirmations sont vraies ou les deux sont fausses). Pour que la disjonction \ ((b \ vee \ overline c) \) soit fausse, les deux déclarations qu'elle contient doivent être fausses, c'est-à-dire \ (b = 0 \) et \ (\ overline c = 0 \) \ ( ( c = 1). \) Pour de telles valeurs \ (c \ coin (b \ vee a) = 1 \ coin (0 \ vee 0) = 0. \) Puis \ ((a \ equiv (b \ vee \ overline c)) \ rightarrow (c \ wedge (b \ vee a)) = 1 \ rightarrow 0 = 0, \)\ (F = 0. \) Ceci correspond à la ligne 2 de la table de vérité.

Si \ (a = 1, \) alors exécuter \ (a \ equiv (b \ vee \ overline c) = 1, \)\ (b \ vee \ overline c = 1. \) Cela se fait dans plusieurs cas. Si \ (b = 1, \) alors \ (c \) peut être à la fois égal à zéro et à un, car l'une des affirmations incluses dans la disjonction est déjà vraie. Pour \ (c = 1 \) \ (c \ coin (b \ vee a) = 1 \ coin 1 = 1, \) puis \ (F = 1 \) (depuis \ (1 \ rightarrow 1 = 1, \) ligne 7). Pour \ (c = 0 \) \ (c \ coin (b \ vee a) = 0 \ coin 1 = 0, \) par conséquent, \ (F = 0 \) \ ((1 \ rightarrow 0 = 0, \) ligne 6). Si \ (b = 0, \) then \ (\ overline c = 1 \) \ ((c = 0, \) alors l'une des déclarations incluses dans la disjonction sera vraie). Dans ce cas \ (c \ coin (b \ vee a) = 0 \ coin (0 \ vee 1) = 0. \)\ (F = 0, \) depuis \ (1 \ rightarrow 0 = 0 \) (ligne 5).

2. Pour les autres valeurs \ (a, \) \ (b \) et \ (c \) \ (F = 1, \) car \ (a \ equiv (b \ vee \ overline c) = 0 \)(lignes 1, 3, 7, 8).

3. De la table de vérité compilée, nous voyons que \ (F = 1 \) pour \ (c = 0 \) (lignes 1, 4) et pour \ (c = 1 \) (lignes 3, 7, 8). La somme des valeurs est 0 * 2 + 1 * 3 = 3. \ (2 ^ 4 = 16 \) lignes.

1. Puisque la conjonction est fausse, si au moins une des affirmations est fausse, alors pour \ (d = 0 \) \ (F = 0 \) pour tout \ (a, \) \ (b \) et \ ( c \) (lignes 1, 6-10, 12, 14 de la table de vérité).

2. Considérons le cas où \ (d = 1. \) Alors \ ((a \ rightarrow b) \ coin (b \ equiv c) \ coin d = (a \ rightarrow b) \ coin (b \ equiv c) \ coin 1 = (a \ rightarrow b) \ coin (b \ equiv c). \) Pour \ (b = 1 \) \ (a \ rightarrow b = a \ rightarrow 1 = 1 \) pour tout \ (a, \) puisque l'implication est fausse si et seulement si faux découle d'un énoncé vrai. Si \ (c = 1, \) alors \ (b \ equiv c = 1, \) puisque l'opération d'équivalence est vraie lorsque les deux expressions sont vraies ou les deux sont fausses, et \ (F = 1 \) (puisque toutes les expressions sont incluses en conjonction sont vraies). Ceci correspond aux lignes 4 et 5. Si \ (c = 0, \) alors \ (b \ equiv c = 0, \) \ (F = 0, \) puisque l'une des expressions incluses dans la conjonction est fausse (lignes 11 et 16).

Pour \ (b = 0 : \) si \ (a = 1, \) alors \ (a \ flèche droite b = 1 \ flèche droite 0 = 0, \) alors l'une des expressions incluses dans la conjonction est fausse, et \ (F = 0 \) pour tout \ (c \) (lignes 13 et 15). Si \ (a = 0, \) alors \ (a \ flèche droite b = 0 \ flèche droite 0 = 1. \) Si \ (c = 0, \) alors \ (b \ équiv c = 0 \ équiv 0 = 1, \)\ (F = 1, \) puisque les deux expressions incluses dans la conjonction sont vraies (ligne 2). Si \ (c = 1, \) alors \ (b \ équiv c = 0 \ équiv 1 = 0, \)\ (F = 0, \) car l'une des expressions incluses dans la conjonction est fausse (ligne 3).

Ainsi, \ (F = 1 \) pour \ (d = 1 \) (lignes 2, 4, 5). La somme des valeurs \ (d \) est 1 * 3 = 3.

Construction de tables de vérité pour des énoncés complexes.

Priorité booléenne

1) inversion 2) conjonction 3) disjonction 4) implication et équivalence

Comment faire une table de vérité ?

Par définition, la table de vérité d'une formule logique exprime la correspondance entre différents ensembles de valeurs de variables et les valeurs d'une formule.

Pour une formule qui contient deux variables, il n'y a que quatre ensembles de valeurs de variables :

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Si une formule contient trois variables, alors il y a huit ensembles possibles de valeurs de variables (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1) , (1, 0, 0 ), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Le nombre d'ensembles pour une formule à quatre variables est de seize, et ainsi de suite.

Une forme de notation pratique pour trouver les valeurs d'une formule est un tableau contenant, en plus des valeurs des variables et des valeurs de formule, également les valeurs des formules intermédiaires.

Exemples.

1. Créons une table de vérité pour la formule 96% "style =" width: 96.0% ">

Le tableau montre que pour tous les ensembles de valeurs des variables x et y, la formule prend la valeur 1, c'est-à-dire est identiquement vrai.

2. Table de vérité pour la formule 96% "style =" largeur: 96.0% ">

Le tableau montre que pour tous les ensembles de valeurs des variables x et y, la formule prend la valeur 0, c'est-à-dire est à l'identique faux .

3. Table de vérité pour la formule 96% "style =" largeur: 96.0% ">

Le tableau montre que formule 0 "style =" border-collapse: collapse; border: none ">

Conclusion : nous avons toutes les unités dans la dernière colonne. Cela signifie que la signification d'un énoncé complexe est vraie pour toutes les valeurs des énoncés simples K et C. Par conséquent, l'enseignant a raisonné logiquement correctement.