La función de distribución logarítmicamente normal se usó ampliamente en el análisis de la confiabilidad de los objetos de tecnología, biología, economía, etc., por ejemplo, la función se utiliza con éxito para describir la operación a cojinetes de cojinetes, dispositivos electrónicos y otros productos.

Los valores aleatorios no negativos de algún parámetro se distribuyen logarítmicamente normalmente, si su logaritmo se distribuye normalmente. La densidad de distribución para diferentes valores σ se muestra en la FIG. 4.3.

Higo. 4.3.

La densidad de distribución se describe por la adicción.

dónde METRO.x y σ - parámetros medidos por resultados pAG Pruebas de rechazo:

(4.4)

Para la ley de distribución logarítmicamente normal, la función de fiabilidad.

(4.5)

La probabilidad de que la operación sin problemas se puede determinar mediante tablas para la distribución normal (consulte la tabla. P6.1 Anexo 6) Dependiendo del valor del cuantil

Expectativa matemática de los desarrollos antes de la negativa.

El promedio de desviación cuadrática y coeficiente de variación respectivamente será igual

Si un v.x. ≤ 0.3, se cree que ν x \u003d σ, y el error no es más 1%.

Los registros de dependencias a menudo se aplican a la ley de distribución logarítmicamente normal en logaritmos decimales. De acuerdo con esta ley, la densidad de distribución.

Estimaciones de los parámetros de LG. x.0 y σ se determinan por los resultados de las pruebas:

Valor esperado METRO.x, desviación cuadrática secundaria σ x y coeficiente de variación ν x Extensiones al fracaso, respectivamente, igual

Ejemplo 4.6.

Determinar la probabilidad de operación sin problemas de la caja de cambios para t. \u003d 103 horas Si el recurso se distribuye logarítmicamente normalmente con los parámetros LG t.0 \u003d 3.6; σ \u003d 0.3.

Decisión

Encontraremos el valor de la cantidad y determinaremos la probabilidad de operación sin problemas:

Respuesta: R.(t.) = 0,0228.

Distribución de Waibulla

La función de distribución de Waibulla es una distribución de dos parámetros. La ley descrita por IT es universal, ya que en los valores correspondientes de los parámetros se convierte en tipos de distribuciones normales, exponenciales y de otro tipo. El autor de esta ley de la distribución de V. WEIBULL la usó al describir y analizar los dispersos observados experimentalmente de la fuerza de fatiga del acero, los límites de su elasticidad. La ley de WEIBULLA describe satisfactoriamente el desarrollo del cojinete, los elementos de los equipos electrónicos, se utiliza para evaluar la confiabilidad de las piezas y los componentes de la máquina, incluidos los automóviles, así como para evaluar la confiabilidad de las máquinas en el proceso de su precisión. La densidad de distribución se describe por la adicción.

donde α es el parámetro de la forma de la curva de distribución; λ es el parámetro de escala de curva de distribución.

La gráfica de la función de densidad de distribución se muestra en la FIG. 4.4.

Higo. 4.4.

Función de distribución de Waibulla

Función de confiabilidad para esta ley de distribución.

Expectativa matemática de una variable aleatoria. h. Igualmente

donde r ( x.) - Función gamma.

Para valores continuos. h.

Para valores enteros h. La función gamma se calcula por la fórmula.

también fórmula verdadera

La varianza aleatoria es igual a

El uso amplio en el análisis y los cálculos de la confiabilidad de los productos de la Ley de Distribución de Waibulla se explica por el hecho de que esta ley, que resume la distribución exponencial, contiene un parámetro adicional α.

Al seleccionar los parámetros necesarios de los parámetros A y λ, es posible obtener un mejor cumplimiento con los valores calculados de los datos experimentales en comparación con la ley exponencial, que es un parámetro (parámetro λ).

Por lo tanto, para los productos que tienen defectos ocultos, pero que no se usan durante mucho tiempo (y, por lo tanto, se acuerdan más lentamente), el peligro de rechazo es del mayor valor en el período inicial, y luego cae rápidamente. La función de confiabilidad para tal producto está bien descrita por la ley de Waibulla con el parámetro α< 1.

Por el contrario, si el producto está bien controlado en la fabricación y casi no tiene defectos ocultos, pero se somete a un envejecimiento rápido, la función de confiabilidad se describe por la ley de Weibulla con el parámetro α\u003e 1. con α \u003d 3.3, Waibulla. La distribución está cerca de la normalidad.

La variable aleatoria Y tiene una distribución logarítmicamente normal con parámetros μ y σ, si la variable aleatoria X \u003d LNY tiene una distribución normal con los mismos parámetros μ y σ. Conocer la naturaleza de la conexión entre las variables X e Y puede construir fácilmente un gráfico de una probabilidad de una variable aleatoria con una distribución logarítmicamente normal (Figura 4.2).

Figura 4.2 - Las curvas de densidad de la distribución logarítmicamente normal en diferentes valores de los parámetros μ y σ

Si la variable aleatoria X tiene una función de densidad de probabilidad definida por la fórmula (4.6), y si x \u003d LNY, entonces:

Donde tenemos para Y\u003e 0:

A partir de la definición, se deduce que una variable aleatoria sujeta a una distribución logarítmicamente normal solo puede tomar valores positivos. Como se muestra en la Figura 4.2, las curvas de la función F (y) tienen asimetría izquierda, que es más fuerte que el valor de los parámetros μ y σ. Cada curva tiene un máximo y se define para todos los valores positivos.

El cálculo de la expectativa matemática y la dispersión de una variable aleatoria con una distribución logarítmicamente normal no es particularmente difícil:

Al sustituir e ingresar nuevas variables en integrales 4.15 y 4.16, obtenemos:

En general, para calcular la probabilidad de que la variable aleatoria y con la distribución y la densidad logarítmicamente normal F (Y, μ, σ) tomarán un valor en el intervalo (A, B), se debe tomar la integral:

Sin embargo, en la práctica, es más conveniente utilizar el hecho de que el logaritmo de una variable aleatoria y tiene una distribución normal. La probabilidad de que una ≤ y ≤ b sea equivalente a la probabilidad de que
Lna ≤ lny ≤ lnb.

Calculamos la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución logarítmicamente μ \u003d 1, σ \u003d 0.5, tomará un valor en el intervalo (2, 5). Tenemos:

Desde las tablas de logaritmos encontramos LN2 \u003d 0.6932 y LN5 \u003d 1,6094.

Diseñado lny \u003d x, podemos escribir:

Además, la variable aleatoria X está subordinada a la distribución normal con el valor promedio μ \u003d 1 y la desviación estándar σ \u003d 0.5. Ahora, la probabilidad deseada es fácil de calcular en las tablas de la función integral de la distribución normal:

Preguntas para el autocontrol

1 Definición de distribución rectangular.

2 gráfico de la probabilidad de una variable aleatoria con una distribución rectangular

3 Distribución rectangular fundamental.

4 Expectativas matemáticas y dispersión de una variable aleatoria en la distribución rectangular.

5 El papel de la distribución normal en estadísticas matemáticas.

6 ¿Cuál es la distribución normal y cómo se relaciona con el binomio?

7 Carta de la densidad de probabilidad de una variable aleatoria con distribución normal.

8 ¿Qué parámetros estadísticos se pueden establecer en la distribución normal?

9 ¿Por qué la distribución normal es continua?

10 Ecuación de una curva normal.

11 ¿Cuál es la desviación normalizada?

12 La ecuación de la curva de distribución normal en la forma normalizada.

13 ¿Qué valores de μ y σ es el conjunto normal en forma normalizada?

14 ¿Qué parte de estas muestras se coloca dentro de ± 1σ, ± 2σ, ± 3σ?

15 ¿Qué muestran la tabla de la integral normal de las probabilidades?

16 Ecuación de una curva logarítmicamente normal.

17 Gráfico de la densidad de probabilidad de una variable aleatoria con una distribución logarítmicamente normal.

18 ¿Cuáles son las transformaciones necesarias para obtener una distribución normal de la distribución logarítmicamente normal?

19 ¿Qué parámetros estadísticos son la distribución logarítmicamente normal?

Tema 5 Distribución de parámetros de muestreo.

5.1 T - Distribución del alumno

5.2 F-DISTRIBUCION FISCHER-SEDEKORA

5.3 χ 2-DISTRIBUCION

5.1 T - Distribución del alumno

La ley de distribución normal se manifiesta con el número de signos N\u003e 20-30. Sin embargo, el experimentador a menudo realiza un número limitado de mediciones, basó sus conclusiones sobre muestras pequeñas. Con un pequeño número de observaciones, los resultados suelen ser cercanos y las desviaciones grandes que rara vez aparecen. Esto es fácil de explicar la ley de la distribución normal, según la cual la probabilidad de la aparición de pequeñas desviaciones es mayor que las desviaciones de lo significativo. Por lo tanto, la probabilidad de desviaciones que exceda el valor absoluto de ± 2σ es de 0.05, o una caja por 20 mediciones, y las desviaciones ± 3σ - 0.01, o un caso por 100.

Si se lleva a cabo la experiencia de campo, por ejemplo, en 4 a 6 reparaciones, es natural esperar que entre el testimonio de las cosechas en las delicias paralelas habrá desviaciones muy grandes. Por lo tanto, la desviación estándar S, calculada por una pequeña muestra, en la mayoría de los casos será menor que a través de toda la población general. En consecuencia, en estos casos, es imposible confiar en los criterios para la distribución normal en sus conclusiones.

Desde principios del siglo XX, se ha desarrollado una nueva dirección en estadísticas matemáticas, que se pueden llamar pequeñas estadísticas de muestra. La mayor importancia práctica para el trabajo experimental se inauguró en 1908 por la estadística inglesa y el químico V. Gosset T-Distribution, que se llamaba Distribución de estudiantes (inglés. Estudiante - Estudiante, Pseudónimo V. Gosset).

La distribución del estudiante T para medio de muestra está determinada por la igualdad:

El numerador de fórmulas significa la desviación del medio de muestra en medio de toda la totalidad, y el denominador:

- Es un indicador que estima el valor del error estándar del agregado selectivo promedio.

Por lo tanto, el valor T se mide por la desviación del medio de la muestra en el agregado medio, expresado en las acciones del error de muestreo adoptado por unidad.

El máximo de la frecuencia de la distribución normal y T coincide, pero la forma de la curva de distribución de T es totalmente depende del número de grados de libertad. Con valores muy pequeños de grados de libertad, toma la forma de una curva a término plana, y el área de la curva es mayor que durante la distribución normal, y con un aumento en el número de observaciones (N\u003e 30 ), la distribución T se acerca a la normalidad y las transiciones a él en N \u003d ∞.

La Figura 1.1 muestra la distribución diferencial e integral de T-Student a 10 grados de libertad.

Figura 5.1 - Diferencial (izquierda) e integral (derecha) Distribución de estudiantes T

La distribución de T-Student es importante cuando se trabaja con muestras pequeñas: le permite determinar el intervalo de confianza que cubre el agregado promedio y echa un vistazo a una u otra hipótesis con respecto a la población general. Sin embargo, no hay necesidad de conocer las configuraciones del agregado. y , Es suficiente tener sus estimaciones μ y σ para una cierta cantidad de muestreo N.

5.1.1 Problema de Berens-Fisher

Verificar la hipótesis sobre los grupos promedio generales con distribución normal y dispersiones desiguales en las estadísticas matemáticas se denomina problema de Beens-Fisher y solo tiene soluciones aproximadas. ¿Por qué es tan importante exigir la igualdad de dispersiones en los grupos comparados? Sin entrar en detalles de este problema, observamos que los mayores, las dispersiones y los volúmenes de muestra difieren entre sí, más fuertes la distribución del "criterio T calculado" de la distribución del criterio T del estudiante. En este caso, el valor diferente del CR-Criterio en sí, y un parámetro de este tipo de estas distribuciones, como el número de grados de libertad. A su vez, el número de grados de libertad afecta la magnitud del nivel de significado (crítico) alcanzado (P< ...) определяемого для вычисленного значения t-критерия.

El abandono de los investigadores enumerados por encima de las condiciones para la admisibilidad del uso del criterio T de los estudiantes conduce a una distorsión significativa de los resultados de la inspección de las hipótesis sobre la igualdad de medio. Por lo tanto, en las obras donde se realizó la prueba de las hipótesis sobre la igualdad de los dos promedio utilizando el criterio T del estudiante, y no se menciona los criterios para verificar la normalidad de la distribución y la igualdad de dispersiones, hay motivos para asumir incorrectamente utilizando los autores de este criterio, y por lo tanto la dudosa de las conclusiones declaradas por ellos.

Otro error común es el uso de los criterios T estudiante para probar las hipótesis sobre la igualdad de tres y más promedios grupales. En este caso, es necesario aplicar el llamado modelo lineal general implementado en el procedimiento de análisis de dispersión de un solo factor con efectos fijos.

Considere con más detalle las características del uso del criterio T del estudiante. La mayoría de las veces, el criterio T se utiliza en dos casos. En el primer caso, se utiliza para probar la hipótesis sobre la igualdad del promedio general de dos muestras independientes, no relacionadas (el llamado criterio T de dos descargas). En este caso, hay un grupo de control y un grupo experimentado que consiste en diferentes objetos, el número de los cuales en grupos puede ser diferente. En el segundo caso, se usa el llamado par de T-criterio T, cuando el mismo grupo de objetos genera un material numérico para verificar las hipótesis sobre el promedio. Por lo tanto, estas muestras se denominan dependientes relacionadas. Por ejemplo, el contenido de leucocitos se mide en animales sanos, y luego en los mismos animales después de la irradiación de una determinada dosis de radiación. En ambos casos, se debe realizar el requisito de la normalidad de la distribución de la característica estudiada en cada uno de los grupos comparados. La dominación del criterio T Estudiantil en la gran mayoría de trabajo refleja dos aspectos importantes.

En segundo lugar, también habla que estos autores desconocen cualquier alternativa a este criterio, o no pueden usarlos de forma independiente. Es posible sin exagerar que en la actualidad, el uso innumerable del criterio T estudiante en la mayoría de los trabajos biológicos aporta más daño que el beneficio.

5.2 F-DISTRIBUCION FISCHER-SEDEKORA

Si desde un conjunto normal distribuido de dos muestras independientes con volumen N 1 y N 2 y calcule la dispersión. y con grados de libertad ν 1 \u003d N -1 y ν 2 \u003d n 2 -1, puede determinar la relación de dispersión:

La relación de dispersión se toma de modo que una gran dispersión esté en el numerador y, por lo tanto, f ≥ 1.

La distribución F depende solo de la cantidad de grados de la libertad ν 1 y ν 2 (la ley de la distribución F abierta R.A. Multa). Cuando las dos muestras comparadas son independientes aleatorias del agregado total con el promedio general, el valor real F no se lanzará para ciertos límites y no excederá el valor crítico para los datos ν 1 y ν 2 valor teórico del criterio f (f hecho< F теор). Если генеральные параметры сравниваемых групп различны, то F факт > F los horarios. Los valores teóricos de F para un nivel de importancia del 5% y 1% se dan en la tabla, donde solo los puntos críticos a la derecha se tabulan para F ≥ 1, ya que siempre se toma para encontrar una proporción de mayor dispersión a menos.

Las curvas obtenidas de la función de distribución para todos los valores posibles de F, especialmente con un pequeño número de observaciones, tienen una forma asimétrica, una "cola" larga de valores grandes y una gran concentración de pequeños valores f ( Figura 5.2).

Figura 5.2 - Diferencial (izquierda) e integral (derecha)
F-Distribución de Fisher-Snedel

Tenga en cuenta que la distribución t de los estudiantes es un caso especial de distribución F con el número de grados de libertad ν 1 \u003d 1 y ν 2 \u003d ν, es decir, igual a la cantidad de grados de libertad para la distribución t. En este caso, se observa la siguiente relación entre F y T:

5.3 χ 2-DISTRIBUCION

Muchas distribuciones reales corresponden a los modelos de distribuciones teóricas (Normal, Binomial, Poisson), sin embargo, en la práctica hay distribuciones que son muy diferentes de lo normal. Para evaluar el grado de discrepancias o el grado de acuerdo entre el número de distribuciones reales y teóricas, se introducen los criterios estadísticos de consentimiento, por ejemplo, el criterio de 2. Este criterio se aplica para resolver problemas de análisis estadístico, por ejemplo, para la prueba de hipótesis: la independencia de los dos principios basados \u200b\u200ben la agrupación de resultados de observación de una combinación; sobre homogeneidad de grupos en relación con algunas características; En el consentimiento de curvas teóricas y experimentales de números. El criterio χ 2 puede denominarse el criterio de consentimiento y el criterio de la independencia, el criterio de homogeneidad. La Ley de Distribución de χ 2 (Chi-Square) abrió K. Pearson. La curva de distribución obtenida de la función Chi-Square:

donde f son las frecuencias reales y f - teóricas del número de objetos de muestra. Su forma a un fuerte depende del número de grados de libertad. Para un pequeño número de grados de libertad ν, la curva asimétrica (Figura 5.3), pero con un aumento en la asimetría de ν disminuye y en ν \u003d ∞, la curva se vuelve normal gaussiana.

Distribución χ 2, así como distribución T, caso privada.
F - Distribución con ν 1 \u003d ν y ν 2 \u003d ∞.

Figura 5.3 - Diferencial (izquierda) e integral (derecha)
χ 2-DISTRIBUCION

Preguntas para el autocontrol

1 ¿En qué casos, es preferible utilizar la distribución T del estudiante, y no una distribución normal?

2 ¿Qué valores deben evaluarse para utilizar la distribución T del estudiante?

3 ¿Cuál es la esencia del problema de Beens-Fisher?

4 ¿Qué está expresado numéricamente por la distribución F para dos muestras independientes del conjunto total de variables?

5 ¿De qué valores característicos de las variables aleatorias depende de la distribución F?

6 ¿Qué preguntas puedo responder al valor del criterio de χ 2 durante el procesamiento estadístico de los datos experimentales?

Tema 6 Conceptos básicos de las estadísticas matemáticas.

6.1 Valores medianos

6.2 aritmética media

6.3 geométrico medio

6.4 Armón medio

La variable aleatoria Y tiene una distribución logarítmicamente normal con parámetros μ y σ, si la variable aleatoria X \u003d LNY tiene una distribución normal con los mismos parámetros μ y σ. Conocer la naturaleza de la conexión entre las variables X e Y puede construir fácilmente un gráfico de una probabilidad de una variable aleatoria con una distribución logarítmicamente normal (Figura 4.2).

Figura 4.2 - Las curvas de densidad de la distribución logarítmicamente normal en diferentes valores de los parámetros μ y σ

Si la variable aleatoria X tiene una función de densidad de probabilidad definida por la fórmula (4.6), y si x \u003d LNY, entonces:

Donde tenemos para Y\u003e 0:

A partir de la definición, se deduce que una variable aleatoria sujeta a una distribución logarítmicamente normal solo puede tomar valores positivos. Como se muestra en la Figura 4.2, las curvas de la función F (y) tienen asimetría izquierda, que es más fuerte que el valor de los parámetros μ y σ. Cada curva tiene un máximo y se define para todos los valores positivos.

El cálculo de la expectativa matemática y la dispersión de una variable aleatoria con una distribución logarítmicamente normal no es particularmente difícil:

Al sustituir e ingresar nuevas variables en integrales 4.15 y 4.16, obtenemos:

En general, para calcular la probabilidad de que la variable aleatoria y con la distribución y la densidad logarítmicamente normal F (Y, μ, σ) tomarán un valor en el intervalo (A, B), se debe tomar la integral:

Sin embargo, en la práctica, es más conveniente utilizar el hecho de que el logaritmo de una variable aleatoria y tiene una distribución normal. La probabilidad de que una ≤ y ≤ b sea equivalente a la probabilidad de que
Lna ≤ lny ≤ lnb.

Calculamos la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución logarítmicamente μ \u003d 1, σ \u003d 0.5, tomará un valor en el intervalo (2, 5). Tenemos:

Desde las tablas de logaritmos encontramos LN2 \u003d 0.6932 y LN5 \u003d 1,6094.

Diseñado lny \u003d x, podemos escribir:

Además, la variable aleatoria X está subordinada a la distribución normal con el valor promedio μ \u003d 1 y la desviación estándar σ \u003d 0.5. Ahora, la probabilidad deseada es fácil de calcular en las tablas de la función integral de la distribución normal:

Preguntas para el autocontrol

1 Definición de distribución rectangular.

2 gráfico de la probabilidad de una variable aleatoria con una distribución rectangular

3 Distribución rectangular fundamental.

4 Expectativas matemáticas y dispersión de una variable aleatoria en la distribución rectangular.

5 El papel de la distribución normal en estadísticas matemáticas.

6 ¿Cuál es la distribución normal y cómo se relaciona con el binomio?

7 Carta de la densidad de probabilidad de una variable aleatoria con distribución normal.

8 ¿Qué parámetros estadísticos se pueden establecer en la distribución normal?

9 ¿Por qué la distribución normal es continua?

10 Ecuación de una curva normal.

11 ¿Cuál es la desviación normalizada?

12 La ecuación de la curva de distribución normal en la forma normalizada.

13 ¿Qué valores de μ y σ es el conjunto normal en forma normalizada?

14 ¿Qué parte de estas muestras se coloca dentro de ± 1σ, ± 2σ, ± 3σ?

15 ¿Qué muestran la tabla de la integral normal de las probabilidades?

16 Ecuación de una curva logarítmicamente normal.

17 Gráfico de la densidad de probabilidad de una variable aleatoria con una distribución logarítmicamente normal.

18 ¿Cuáles son las transformaciones necesarias para obtener una distribución normal de la distribución logarítmicamente normal?

19 ¿Qué parámetros estadísticos son la distribución logarítmicamente normal?

Tema 5 Distribución de parámetros de muestreo.

5.1 T - Distribución del alumno

5.2 F-DISTRIBUCION FISCHER-SEDEKORA

5.3 χ 2-DISTRIBUCION

5.1 T - Distribución del alumno

La ley de distribución normal se manifiesta con el número de signos N\u003e 20-30. Sin embargo, el experimentador a menudo realiza un número limitado de mediciones, basó sus conclusiones sobre muestras pequeñas. Con un pequeño número de observaciones, los resultados suelen ser cercanos y las desviaciones grandes que rara vez aparecen. Esto es fácil de explicar la ley de la distribución normal, según la cual la probabilidad de la aparición de pequeñas desviaciones es mayor que las desviaciones de lo significativo. Por lo tanto, la probabilidad de desviaciones que exceda el valor absoluto de ± 2σ es de 0.05, o una caja por 20 mediciones, y las desviaciones ± 3σ - 0.01, o un caso por 100.

Si se lleva a cabo la experiencia de campo, por ejemplo, en 4 a 6 reparaciones, es natural esperar que entre el testimonio de las cosechas en las delicias paralelas habrá desviaciones muy grandes. Por lo tanto, la desviación estándar S, calculada por una pequeña muestra, en la mayoría de los casos será menor que a través de toda la población general. En consecuencia, en estos casos, es imposible confiar en los criterios para la distribución normal en sus conclusiones.

Desde principios del siglo XX, se ha desarrollado una nueva dirección en estadísticas matemáticas, que se pueden llamar pequeñas estadísticas de muestra. La mayor importancia práctica para el trabajo experimental se inauguró en 1908 por la estadística inglesa y el químico V. Gosset T-Distribution, que se llamaba Distribución de estudiantes (inglés. Estudiante - Estudiante, Pseudónimo V. Gosset).

La distribución del estudiante T para medio de muestra está determinada por la igualdad:

El numerador de fórmulas significa la desviación del medio de muestra en medio de toda la totalidad, y el denominador:

- Es un indicador que estima el valor del error estándar del agregado selectivo promedio.

Por lo tanto, el valor T se mide por la desviación del medio de la muestra en el agregado medio, expresado en las acciones del error de muestreo adoptado por unidad.

El máximo de la frecuencia de la distribución normal y T coincide, pero la forma de la curva de distribución de T es totalmente depende del número de grados de libertad. Con valores muy pequeños de grados de libertad, toma la forma de una curva a término plana, y el área de la curva es mayor que durante la distribución normal, y con un aumento en el número de observaciones (N\u003e 30 ), la distribución T se acerca a la normalidad y las transiciones a él en N \u003d ∞.

La Figura 1.1 muestra la distribución diferencial e integral de T-Student a 10 grados de libertad.

Figura 5.1 - Diferencial (izquierda) e integral (derecha) Distribución de estudiantes T

La distribución de T-Student es importante cuando se trabaja con muestras pequeñas: le permite determinar el intervalo de confianza que cubre el agregado promedio y echa un vistazo a una u otra hipótesis con respecto a la población general. Sin embargo, no hay necesidad de conocer las configuraciones del agregado. y , Es suficiente tener sus estimaciones μ y σ para una cierta cantidad de muestreo N.

5.1.1 Problema de Berens-Fisher

Verificar la hipótesis sobre los grupos promedio generales con distribución normal y dispersiones desiguales en las estadísticas matemáticas se denomina problema de Beens-Fisher y solo tiene soluciones aproximadas. ¿Por qué es tan importante exigir la igualdad de dispersiones en los grupos comparados? Sin entrar en detalles de este problema, observamos que los mayores, las dispersiones y los volúmenes de muestra difieren entre sí, más fuertes la distribución del "criterio T calculado" de la distribución del criterio T del estudiante. En este caso, el valor diferente del CR-Criterio en sí, y un parámetro de este tipo de estas distribuciones, como el número de grados de libertad. A su vez, el número de grados de libertad afecta la magnitud del nivel de significado (crítico) alcanzado (P< ...) определяемого для вычисленного значения t-критерия.

El abandono de los investigadores enumerados por encima de las condiciones para la admisibilidad del uso del criterio T de los estudiantes conduce a una distorsión significativa de los resultados de la inspección de las hipótesis sobre la igualdad de medio. Por lo tanto, en las obras donde se realizó la prueba de las hipótesis sobre la igualdad de los dos promedio utilizando el criterio T del estudiante, y no se menciona los criterios para verificar la normalidad de la distribución y la igualdad de dispersiones, hay motivos para asumir incorrectamente utilizando los autores de este criterio, y por lo tanto la dudosa de las conclusiones declaradas por ellos.

Otro error común es el uso de los criterios T estudiante para probar las hipótesis sobre la igualdad de tres y más promedios grupales. En este caso, es necesario aplicar el llamado modelo lineal general implementado en el procedimiento de análisis de dispersión de un solo factor con efectos fijos.

Considere con más detalle las características del uso del criterio T del estudiante. La mayoría de las veces, el criterio T se utiliza en dos casos. En el primer caso, se utiliza para probar la hipótesis sobre la igualdad del promedio general de dos muestras independientes, no relacionadas (el llamado criterio T de dos descargas). En este caso, hay un grupo de control y un grupo experimentado que consiste en diferentes objetos, el número de los cuales en grupos puede ser diferente. En el segundo caso, se usa el llamado par de T-criterio T, cuando el mismo grupo de objetos genera un material numérico para verificar las hipótesis sobre el promedio. Por lo tanto, estas muestras se denominan dependientes relacionadas. Por ejemplo, el contenido de leucocitos se mide en animales sanos, y luego en los mismos animales después de la irradiación de una determinada dosis de radiación. En ambos casos, se debe realizar el requisito de la normalidad de la distribución de la característica estudiada en cada uno de los grupos comparados. La dominación del criterio T Estudiantil en la gran mayoría de trabajo refleja dos aspectos importantes.

En segundo lugar, también habla que estos autores desconocen cualquier alternativa a este criterio, o no pueden usarlos de forma independiente. Es posible sin exagerar que en la actualidad, el uso innumerable del criterio T estudiante en la mayoría de los trabajos biológicos aporta más daño que el beneficio.

5.2 F-DISTRIBUCION FISCHER-SEDEKORA

Si desde un conjunto normal distribuido de dos muestras independientes con volumen N 1 y N 2 y calcule la dispersión. y con grados de libertad ν 1 \u003d N -1 y ν 2 \u003d n 2 -1, puede determinar la relación de dispersión:

La relación de dispersión se toma de modo que una gran dispersión esté en el numerador y, por lo tanto, f ≥ 1.

La distribución F depende solo de la cantidad de grados de la libertad ν 1 y ν 2 (la ley de la distribución F abierta R.A. Multa). Cuando las dos muestras comparadas son independientes aleatorias del agregado total con el promedio general, el valor real F no se lanzará para ciertos límites y no excederá el valor crítico para los datos ν 1 y ν 2 valor teórico del criterio f (f hecho< F теор). Если генеральные параметры сравниваемых групп различны, то F факт > F los horarios. Los valores teóricos de F para un nivel de importancia del 5% y 1% se dan en la tabla, donde solo los puntos críticos a la derecha se tabulan para F ≥ 1, ya que siempre se toma para encontrar una proporción de mayor dispersión a menos.

Las curvas obtenidas de la función de distribución para todos los valores posibles de F, especialmente con un pequeño número de observaciones, tienen una forma asimétrica, una "cola" larga de valores grandes y una gran concentración de pequeños valores f ( Figura 5.2).

Figura 5.2 - Diferencial (izquierda) e integral (derecha)
F-Distribución de Fisher-Snedel

Tenga en cuenta que la distribución t de los estudiantes es un caso especial de distribución F con el número de grados de libertad ν 1 \u003d 1 y ν 2 \u003d ν, es decir, igual a la cantidad de grados de libertad para la distribución t. En este caso, se observa la siguiente relación entre F y T:

5.3 χ 2-DISTRIBUCION

Muchas distribuciones reales corresponden a los modelos de distribuciones teóricas (Normal, Binomial, Poisson), sin embargo, en la práctica hay distribuciones que son muy diferentes de lo normal. Para evaluar el grado de discrepancias o el grado de acuerdo entre el número de distribuciones reales y teóricas, se introducen los criterios estadísticos de consentimiento, por ejemplo, el criterio de 2. Este criterio se aplica para resolver problemas de análisis estadístico, por ejemplo, para la prueba de hipótesis: la independencia de los dos principios basados \u200b\u200ben la agrupación de resultados de observación de una combinación; sobre homogeneidad de grupos en relación con algunas características; En el consentimiento de curvas teóricas y experimentales de números. El criterio χ 2 puede denominarse el criterio de consentimiento y el criterio de la independencia, el criterio de homogeneidad. La Ley de Distribución de χ 2 (Chi-Square) abrió K. Pearson. La curva de distribución obtenida de la función Chi-Square:

donde f son las frecuencias reales y f - teóricas del número de objetos de muestra. Su forma a un fuerte depende del número de grados de libertad. Para un pequeño número de grados de libertad ν, la curva asimétrica (Figura 5.3), pero con un aumento en la asimetría de ν disminuye y en ν \u003d ∞, la curva se vuelve normal gaussiana.

Distribución χ 2, así como distribución T, caso privada.
F - Distribución con ν 1 \u003d ν y ν 2 \u003d ∞.

Figura 5.3 - Diferencial (izquierda) e integral (derecha)
χ 2-DISTRIBUCION

Preguntas para el autocontrol

1 ¿En qué casos, es preferible utilizar la distribución T del estudiante, y no una distribución normal?

2 ¿Qué valores deben evaluarse para utilizar la distribución T del estudiante?

3 ¿Cuál es la esencia del problema de Beens-Fisher?

4 ¿Qué está expresado numéricamente por la distribución F para dos muestras independientes del conjunto total de variables?

5 ¿De qué valores característicos de las variables aleatorias depende de la distribución F?

6 ¿Qué preguntas puedo responder al valor del criterio de χ 2 durante el procesamiento estadístico de los datos experimentales?

Tema 6 Conceptos básicos de las estadísticas matemáticas.

6.1 Valores medianos

6.2 aritmética media

6.3 geométrico medio

6.4 Armón medio

El modelo de distribución logarítmico de la famosa matemática inglesa Fisher fue el primer intento de describir la relación entre el número de especies y el número de individuos de estas especies. Este modelo ha sido especialmente exitoso en estudios entomológicos y fue aplicado por primera vez por Fisher como un modelo teórico para describir la distribución de especies en colecciones. Un estudio detallado de L. R. Taylor con co-autores se dedicó a este modelo y estadísticas de diversidad.

La distribución de la frecuencia de las especies para la distribución logarítmica se describe mediante la siguiente secuencia:

donde  h.- el número de especies representadas por un individuo, x 2/2 - el número de especies representadas por dos individuos, etc.

El modelo logarítmico tiene dos parámetros  y x.. Esto significa que para el muestreo. NORTE. y el número de especies S. Solo hay una posible distribución de las frecuencias de especies de acuerdo con su abundancia relativa, ya que ambos  y H. son funciones NORTE. y S.. Cuanta más muestra se extrae de esta comunidad, mayor será el valor. h. Y menos la proporción de individuos relacionados con las especies presentadas por un individuo en la muestra. Dos parámetros S. y NORTE. (El número total de individuos) es la adicción relacionada.
, donde - - El índice de diversidad que se puede obtener de la ecuación:

,

¿Dónde está la suma de todos los individuos? NORTE.pertenencia S. Puntos de vista:

El modelo de la distribución logarítmica, caracterizada por un pequeño número de especies abundantes y una gran fracción de "rara", con la mayor probabilidad de tales comunidades, cuya estructura está determinada por uno o pocos factores ambientales.

Como estudios realizados por Maharran en Irlanda, tal fila corresponde a la distribución de abundancia de plantas del nivel de tierra en cultivos de coníferas en condiciones de poca luz.

5.3.3. Distribución sólida logarítmica

Para la mayoría de las comunidades, la distribución de registro normal de abundancia de especies es característica, pero generalmente este modelo indica una comunidad grande, madura y diversa. Dicha distribución es típica de los sistemas cuando el valor de alguna variable está determinado por una gran cantidad de factores.

Este modelo se aplicó por primera vez a la distribución de abundancia de especies de Preston. En una variedad de material empírico, mostró que las frecuencias de especies en grandes muestras se distribuyen de acuerdo con la ley logarítmica. Según el procedimiento desarrollado por él, las especies con el número de individuos celebradas en los intervalos, que están limitados por el número de progresión geométrica se agrupan. Preston infligió en el eje de la atmósfera en la escala del logaritmo basado en la base 2 (registro 2) y se llama las clases resultantes con los OCTAS. Pero para describir el modelo, puedes usar cualquier base del logaritmo. La gráfica de la frecuencia de frecuencia de las especies de acuerdo con las clases calculadas obtenidas en este método corresponde a la curva conocida de la distribución normal truncada a la izquierda, en el rango de frecuencia de especies raras.

La distribución generalmente se escribe en la forma:

dónde

S. R. - Número teórico de especies en Octave, ubicado en R Octas de Octave modal; S. mes. - el número de especies en octava modal;  - Desviación estándar de la curva teórica de registro normal, expresada entre octava.

Higo. 5.3.2. Distribución normal de registro

La distribución de registro normal se describe por "Normal" simétrica, es decir, la curva en forma de campana (Fig. 5.3.2.). Sin embargo, si los datos con los que corresponde se obtienen de una muestra limitada, la parte izquierda de la curva (I.E., especies raras, no recontadas) se expresará borrosa. Preston llamó a este punto de truncamiento de la curva en la izquierda "Línea de cortina". La "línea de cortina" puede moverse hacia la izquierda con un aumento en el tamaño de la muestra. En la figura se indica por la flecha. Para la mayoría de las muestras, solo la parte de la curva se expresa a la derecha del derecho de la moda. Solo con una gran cantidad de datos recopilados en territorios biogeográficos extensos, se puede rastrear una curva completa. S.- La curva de oro indica la naturaleza compleja de la diferenciación y el nicho de superposición. La mayoría de las especies en ecosistemas abiertos naturales existen en las condiciones de competencia por los recursos, y no sobre los términos de la competencia directa; Muchas adaptaciones permiten dividir los nichos sin una exclusión competitiva del hábitat. Este modelo es más probable para las comunidades no perturbadas.

Si aún tiene términos negativos o cero, puede agregar algo constante a cada miembro de la serie, por ejemplo. Una de las propiedades de la expectativa matemática, esta operación no cambiará las características estadísticas principales de la fila. Esta operación le permite pasar a la distribución loggnormal en el caso especificado.

Como resultado de la aplicación de la operación de logarition (36), la dispersión entre los datos se reduce a la serie de estudio. Esto se puede ver en la FIG. 9.16: Obviamente, eso.

La función de la distribución de la nueva fila será igual.

(37)

Pero entonces

(38)

(39)

Y finalmente

(40)

Fórmulas (37) - (40) Dar el vínculo entre las distribuciones de inicio de sesión y fuente.

Higo. 9.16.

Ley de distribución de Poisson (la ley de distribución de fenómenos raros)

Todas las distribuciones con un número suficientemente grande de pruebas que buscan la ley de distribución normal. Sin embargo, si hay resultados excepcionales y excepcionales entre los datos, entonces la distribución de estos fenómenos raros, mientras que la masa principal está comprometida con una ley normal, busca otra ley. distribuciones de Poisson. Para esta ley, es característico que cuando las probabilidades tienden a cero. En este caso distribución binominal Poisson va B.

(41)

Donde tiene el mismo significado que en la distribución normal.

Ley distribuciones de PoissonLa fórmula (41) definida por la fórmula (41) describe la probabilidad de aparición de eventos que se producen después de aproximadamente intervalos iguales, siempre que todos los eventos ocurran independientemente entre sí y con cierta intensidad, incluso sean muy pequeños, pero necesariamente constantes. El número de pruebas es grande, y la probabilidad de la aparición del evento esperado es muy pequeña e igual. El parámetro caracterizará la intensidad de la aparición del evento esperado en la secuencia de prueba.

En este caso, intentaremos calcular los Matchmakers.

La característica característica de este tipo de distribución será la siguiente proporción matemática:

Ejemplo 5.. En el relleno sanitario, se seleccionaron 150 muestras. Algunos de ellos encontraron la presencia de un elemento raro:

Determinar la ley de distribución del elemento deseado.

Decisión. Para responder a la pregunta de la tarea, debe verificar la implementación de la igualdad (45), que es una característica característica distribuciones de Poisson. Para la simplicidad de los cálculos, no tomaremos centésimas, y los números se agrandaron 100 veces, es decir.

Debido al hecho de que concluimos que la distribución del elemento deseado está sujeta a la ley distribuciones de Poisson. Ahora, utilizando relaciones (42), calcule a través de lo teórico, comparable con su frecuencia original, y