Efecto piel en plasma. Efecto piel y su aplicación. Uso práctico del efecto piel.

Considere la propagación de una onda electromagnética en un medio conductor. Para ello, usamos las ecuaciones de Maxwell (45.9) y tomamos el rotor de la segunda de ellas. Tomando y usando las ecuaciones primera y cuarta, así como la identidad vectorial y la ley de Ohm, obtenemos la ecuación para campo magnético:

Esto implica la ecuación de dispersión

Considere la evolución del estado inicial del campo (con un dado Resolviendo (87.2) con respecto a y, obtenemos

En , el campo magnético decae con el tiempo característico. En un medio con buena conductividad, hay dos tiempos de caída característicos

Tenga en cuenta que para un decaimiento rápido a para un o lento.

De manera similar, se puede obtener una ecuación para el campo eléctrico en un medio, que tiene la forma

donde es la densidad de cargas libres. Si están ausentes, entonces el campo eléctrico decae de la misma manera que el magnético. En presencia de cargas, el campo eléctrico se puede representar como

ya que la ecuación (87.6) es equivalente a la ecuación de relajación de cargas en un medio (23.1) considerada anteriormente, lo cual es fácil de verificar tomando la divergencia de su lado izquierdo. Por tanto, como las cargas, la componente potencial del campo siempre decae con el tiempo característico (87.4).

Consideremos ahora otro problema: una onda electromagnética de una frecuencia dada u incide en la frontera de un medio conductor. ¿Cuál es la atenuación de la onda en el espacio? Está determinada por la parte imaginaria. de (87.2):

donde está la profundidad característica de penetración de un campo electromagnético alterno en un medio conductor, llamado espesor de la capa de la piel (del inglés skin - skin).

En un entorno con mala conductividad

donde tiene la forma habitual. En el límite opuesto

y la velocidad de fase

Para una frecuencia industrial de 50 Hz (km), el espesor de la capa superficial en cobre es cm, y en hierro, mm, cm/s. En el rango de radio mm; (para cobre).

Encontremos ahora la relación entre los campos eléctrico y magnético de la onda amortiguada, la forma más fácil de obtenerla es a partir de la primera ecuación (45.9): o, dado que

Dado que para buenos conductores (cobre) y luego en el rango de radio, entonces estamos hablando sobre la amortiguación del campo magnético. Un valor tan grande se debe a la reflexión de la onda desde la superficie de un buen conductor (ver § 72), en el que los campos eléctricos de las ondas incidente y reflejada casi se anulan entre sí. La relación (87.10) determina así las llamadas condiciones de contorno de Leontovich para la reflexión de ondas de un conductor con conductividad finita para los componentes de campo tangenciales a la superficie.

Tarea 1. Calcular la resistencia del conductor, teniendo en cuenta el efecto piel. A partir de la ley de Ohm, encontramos la corriente total en la capa de piel:

La parte real de esta expresión determina la resistencia óhmica del conductor (por unidad de longitud y unidad de tamaño transversal): imaginaria - su inductancia interna:

Calculemos ahora las pérdidas de energía en el conductor. Para ello, encontramos el módulo del vector de Poynting sobre la superficie del conductor. En primer lugar, obtenemos una expresión para el producto vectorial de vectores complejos: donde es el ángulo entre ellos, dirigido desde el vector a Representando, obtenemos Así,

Esta expresión tiene un significado físico muy simple: el flujo de energía es igual a la densidad de energía en el conductor cerca de su límite, multiplicada por la velocidad de la onda dentro del conductor.

También se puede obtener el mismo resultado integrando directamente las pérdidas Joule dentro del conductor:

La aplicación más común del efecto piel es protegerse de un campo magnético alterno. Este último puede ser dañino tanto en sí mismo como debido al campo eléctrico de vórtice asociado con él, que crea varios arranques eléctricos. El blindaje se lleva a cabo rodeando el equipo protegido con una pantalla conductora suficientemente gruesa. La dificultad práctica surge del hecho de que, por lo general, la pantalla no puede cerrarse por completo. Por ejemplo, se necesitan varias aberturas para suministrar energía al equipo, monitorearlo, etc. Es interesante notar que tales pantallas debilitan el campo más que según una simple ley exponencial (ver problemas 2, 3).

Tarea 2. Encuentra el coeficiente de apantallamiento de una pantalla cilíndrica con un espesor de pared mucho menor que la capa superficial. El campo magnético es paralelo al eje del cilindro.

En vista de las condiciones del campo dentro de las paredes, y por lo tanto la densidad de corriente, puede considerarse uniforme. Entonces la corriente en la pantalla (por unidad de longitud) se puede determinar simplemente por la ley de Faraday:

donde está el campo dentro de la pantalla. La ley de conservación de la circulación del campo magnético da donde está el campo externo. Para el factor de cribado, obtenemos

Aquí, además del factor pequeño que ocurre al expandir el exponente, aparece un factor grande. El mismo multiplicador aparece con un fuerte efecto piel. razón física el debilitamiento adicional del campo en el espacio protegido se debe al hecho de que la "cola" del flujo en metal sólido se distribuye en un área grande. Esto da como resultado la siguiente estimación simple para el factor de detección:

Otra aplicación importante del efecto piel es la formación de un campo magnético de la configuración deseada, que sigue la forma de la superficie conductora hasta el espesor de la capa de piel.

El efecto pelicular conduce a una peculiar interacción de la corriente alterna con la pared conductora (Fig. XII.5). Dado que las líneas de fuerza no penetran profundamente en el conductor, entonces, con un espesor suficientemente pequeño de la capa superficial, el componente normal del campo magnético en la superficie es cercano a cero. Por lo tanto, la configuración del campo magnético

Arroz. XII.5. Campos de un haz de electrones pulsados ​​cerca de una superficie conductora.

el campo de corriente cerca de una pared plana conductora es equivalente al campo de dos corrientes de diferentes direcciones. Una de ellas suele denominarse imagen de la corriente por analogía con la imagen electrostática de la carga. Por lo tanto, la corriente es "repelida" desde la superficie conductora.

Si la corriente es creada por un haz de partículas cargadas, además de la interacción de la corriente con la pared, también existe la interacción de la carga, que conduce a la atracción del haz por la pared. Este último es siempre más fuerte, de modo que el resultado es una atracción a la pared que es igual por unidad de longitud de la viga (cf. (30.4))

Si se compensa la carga eléctrica del haz, la fuerza resultante cambiará de dirección; dicha viga será repelida por la pared (Fig. XII.6). Un método interesante de enfoque de haz en un tubo de metal se basa en este fenómeno, que se llama ingeniosamente enfoque FUCO. Dado que el haz es repelido por el tubo "desde todos los lados", se mueve constantemente a lo largo del eje del tubo. Tal focalización permite transportar un haz suficientemente intenso a lo largo de un tubo curvado y, en particular, mantenerlo en un tubo anular.

Arroz. XII.6. Reflexión de un haz de electrones en una placa de metal.

El nombre de este autoenfoque se debe a que las corrientes inducidas por un campo alterno en un conductor se conocen como corrientes de Foucault, en honor al científico francés que describió por primera vez este fenómeno.

Problema 3. Estime el campo magnético cerca del centro de un disco conductor delgado de radio y espesor colocado en un campo magnético alterno uniforme si

Las corrientes de Foucault excitadas en el disco crean un campo en su eje (ver (28.4))

A su vez, la corriente en el anillo doncéntrico con el disco,

La resistencia del anillo, es el campo total en el plano del anillo. Destacamos que aquí se tiene en cuenta la inductancia del anillo, ya que la FEM de inducción se calcula mediante la suma del campo externo y el campo de las corrientes de Foucault (cf. (48.4) y problema 2).

El sistema de ecuaciones no se puede resolver analíticamente. Para la evaluación, podemos tomar dónde está el campo en el centro del disco. Luego

(compare el problema 2 y el comentario).

Consideremos ahora el efecto de piel no estacionario, cuando la dependencia del campo magnético con el tiempo en el límite del conductor no es armónica. Si aún despreciamos las corrientes de desplazamiento en comparación con las corrientes de conducción, entonces de (87.1) llegamos a una ecuación de tipo difusión:

La ecuación del calor tiene la misma forma (ver (87.37) a continuación). Coeficiente de difusión del campo magnético

El caso más simple del efecto piel no estacionario corresponde al crecimiento exponencial del campo externo. Tal dependencia se obtiene del cambio formal armónico

Espesor efectivo de la piel

no depende del tiempo, como en el caso estacionario. La solución (87.16) se puede interpretar como la propagación por difusión del frente del campo magnético en el interior del conductor

con velocidad

La última desigualdad es la condición para la aplicabilidad de la aproximación de difusión (87.14), es decir, despreciar las corrientes de desplazamiento. Por ejemplo, para cobre con una tasa de difusión

Consideremos ahora un problema más complejo del efecto de piel no estacionario con un encendido rápido ("instantáneo") de un campo armónico:

Suponemos que la frecuencia de campo y el espesor de la capa superficial estacionaria son iguales a la unidad. Espectro de Fourier del campo (87.20)

contiene bajas frecuencias que determinarán una penetración mucho más fuerte del campo en el conductor en comparación con el efecto de piel estacionario en la frecuencia. Despreciando esto último (cf. espectros (87.21) y (78.8)) y considerando el rango de frecuencia característico (ver más abajo), podemos escribir la solución en forma de integral de Fourier:

Hemos utilizado aquí la expresión para el efecto de piel estacionario en la frecuencia armónica de Fourier ω en la forma

Es fácil comprobar que esta expresión es válida para ambos

El cálculo de la integral (87.22) se realiza cambiando la variable: y llevando el exponente al cuadrado completo (cf. (85.6)). Como resultado, obtenemos

donde esta la nueva variable. Dado que el campo externo (87.20) se puede representar como la expresión

describe el efecto de piel no estacionario cuando se enciende un campo externo y coincide exactamente con el resultado del trabajo obtenido por otro método.

A una profundidad fija, la función alcanza su valor máximo

en el momento del tiempo Por lo tanto, el campo máximo disminuye con la profundidad mucho más lentamente que en el caso de un efecto de piel estacionario. Tenga en cuenta que en un momento dado de tiempo, el campo dentro del conductor tiene un máximo en igual a

En la aproximación aceptada, todas las expresiones resultantes son válidas solo para (ver 87.23). Por lo tanto, la solución (87.24) no satisface la condición de contorno donde también es necesario tener en cuenta la contribución estacionaria descartada al efecto piel, que corresponde a frecuencias en espectro completo(78.8) campo externo (87.20).

A altas frecuencias, la corriente que fluye a través del conductor se distribuye de manera desigual en su sección transversal. Bajo la influencia de fuertes campos magnéticos de corriente alterna, la corriente es "empujada" desde el centro del conductor hacia su superficie (efecto pelicular). Como resultado, la corriente fluye sobre un área de sección transversal más pequeña, lo que parece una disminución en el diámetro del cable. Cuanto mayor sea la frecuencia, menor será el grosor de la capa superficial (capa superficial), a través de la cual fluye la corriente, y mayor será la resistencia del conductor a la corriente que fluye. La profundidad de la piel se define como la distancia debajo de la superficie donde la densidad de corriente cae en 1/e del valor en la superficie (e es la base del logaritmo natural).

Para minimizar las pérdidas debidas al efecto piel, se utilizan conductores de un diseño especial, que consisten en una gran cantidad de hilos delgados aislados entre sí. Los núcleos están entrelazados entre sí para que cada uno pase a lo largo de la superficie y en cualquier lugar de la sección transversal a lo largo del cable; esto promedia la impedancia de cada hilo, lo que hace que lleven corrientes iguales. En un conductor de este tipo, llamado cable litz (Litzen alemán - hilos y Draht - alambre), la corriente fluye sobre la superficie de cada núcleo, como resultado, el área de la sección transversal de trabajo del conductor aumenta significativamente , y la resistencia a las corrientes de alta frecuencia disminuye.

Como regla general, cuando se diseñan dispositivos que requieren el uso de un cable trenzado, los valores de la frecuencia de operación y la corriente en el conductor se conocen de antemano. Dado que la principal ventaja del cable Litz es la reducción de la resistencia de CA en comparación con el cable sólido de tamaño equivalente, el parámetro principal que se tiene en cuenta al elegir el diseño y el tamaño del cable es la frecuencia de operación. La Tabla 1 muestra la relación entre la resistencia de CA y CC (factor H) frente al factor X para un solo conductor redondo aislado:

Tabla 1.

donde: d – diámetro del cable, mm, f – frecuencia, MHz.

De la Tabla 1 y de otra información empírica se obtuvo la Tabla 2, que muestra los diámetros recomendados de un solo torón de un torón aislado de un cable trenzado, dependiendo de la frecuencia de operación.

Tabla 2.

Después de elegir el diámetro del núcleo, la relación entre las resistencias de CA y CC de un cable litz ideal, es decir, uno en el que cada hilo "penetra" secuencialmente cada punto del área de la sección transversal se puede determinar mediante la siguiente fórmula:

donde: H es el coeficiente de las Tablas 1 y 2,

G - factor de corrección para corrientes de Foucault, determinado por la fórmula:

N es el número de núcleos en el cable, d1 es el diámetro del núcleo, mm,

d0 es el diámetro del haz, mm, f es la frecuencia, Hz,

K es una constante que depende del número de conductores del cable, determinada a partir de la siguiente tabla:

Tabla 3

La resistencia de CC de un cable trenzado depende de los siguientes factores:

1. sección del núcleo,

2. número de núcleos,

3. coeficiente de elongación de un solo núcleo en comparación con una unidad de longitud del paquete resultante del tejido de núcleos. Se considera que los valores típicos son 1,5% para cada orden de la operación de tejer los hilos en un paquete y 2,5% para

cada orden de la operación de torcer los paquetes en un cable.

La siguiente fórmula le permite determinar la resistencia de CC de un cable litz de cualquier diseño:

donde: RS es la resistencia de un solo núcleo, Ohm (ver Tabla 2), NB es el número de órdenes de la operación de tejer en un paquete,

NC es el número de órdenes de la operación de torcer los paquetes en un cable, NS es el número total de núcleos en el cable.

Ejemplo 1 . Calculemos la resistencia de un cable tipo 2 (ver Fig. 2), que consta de 450 cables con un diámetro de 0,079 mm a una frecuencia de 100 kHz. Este alambre se produce torciendo cinco haces (torciendo los haces en un cable de primer orden), cada uno de los cuales, a su vez, se obtiene torciendo tres haces (torciendo de segundo orden), formados por

30 vivido con un diámetro de 0,079 mm (tejido primer orden).

1. definamos resistencia activa alambres según la fórmula (4):

R \u003d 3780.5 * (1.015) 2 (1.025) 1 \u003d 8.87 ohmios / km,

2. Calcular la relación R AC utilizando la fórmula (2):

La ventaja del alambre Litz se hace evidente cuando se compara con un alambre redondo de 1,67 mm que tiene un área de sección transversal equivalente. La resistencia activa de un cable de un solo núcleo será de unos 7,853 Ohm/km, sin embargo, a una frecuencia de 100 kHz, la relación entre las resistencias AC y DC aumenta a unos 21,4; Por lo tanto, la resistencia a la corriente alterna será

Ejemplo 2 . Calculemos la resistencia de un cable tipo 2 (ver Fig. 2), que consta de 1260 cables con un diámetro de 0,100 mm a una frecuencia de 66 kHz. Este alambre está formado por siete mazos (torciendo los mazos en un cable de primer orden), cada uno de los cuales, a su vez, se obtiene al torcer seis mazos (trenzando de segundo orden) formados por 30 hilos con un diámetro de 0,100 mm ( trenzado de primer orden).

1. Determine la resistencia activa del cable según la fórmula (4):

Un alambre sólido con un diámetro de 3,55 mm tiene la misma área de sección transversal, pero es obvio que con una profundidad de piel de 0,257 mm, dicho alambre puede considerarse como un cilindro de paredes delgadas con un espesor de pared igual al de la piel. profundidad.

Cortesía de New England Wire

Al penetrar en la profundidad del conductor, la amplitud de las ondas electromagnéticas disminuye gradualmente. Este es el efecto piel, que es otro nombre para el efecto de superficie. Por ejemplo, si una corriente que tiene una alta frecuencia fluye a través de un conductor, entonces su distribución no ocurre en toda la sección transversal, sino principalmente en las capas superficiales.

Cómo funciona el efecto piel

Esta acción debe considerarse en el ejemplo de un conductor cilíndrico relativamente largo, que se ve afectado por un voltaje alterno que tiene una cierta frecuencia con variación en el tiempo.

Si tomamos un voltaje constante, cuya frecuencia es cero, entonces, en este caso, la distribución de la corriente eléctrica será sobre toda la sección transversal del conductor. Esto se debe al hecho de que el voltaje de CC será el mismo en cada punto de la sección transversal del conductor. Las líneas de fuerza del campo magnético creado por la corriente se forman en forma de círculos concéntricos, cuyo centro coincide con el eje del conductor. Así, la corriente continua se distribuye sobre la sección transversal, independientemente de la acción del campo magnético.

En el caso de corriente alterna en un conductor, cambia con el tiempo con un cambio simultáneo en el campo magnético. Cuando cambia el flujo del campo magnético, se observa la aparición de una fuerza electromotriz. Es este EMF el que desplaza la electricidad a la superficie del conductor con la ayuda de un campo magnético. A frecuencias muy altas, toda la corriente fluirá solo a través de la capa delgada de la parte exterior del conductor.

Propiedades efecto piel

El efecto piel no solo está asociado con corrientes de alta frecuencia que cambian con el tiempo. Esto se debe a cualquier cambio temporal en las corrientes. La aparición del efecto piel se puede observar cuando el conductor está conectado directamente a Voltaje constante. Es en este momento que aparece una gran fem de inducción que compensa la acción de un campo eléctrico externo sobre el eje. El final de este proceso se nota durante la distribución uniforme de la corriente en el conductor en toda la sección transversal.

Con un cambio muy rápido en la corriente, hay un tiempo especial durante el cual la corriente y el campo magnético penetran en la profundidad del conductor. Este valor se denomina tiempo de piel nueva. Al mismo tiempo, se debe tener en cuenta el factor de que con una disminución en la resistividad del conductor, aumenta el tiempo de penetración de la corriente y el campo magnético.

En el caso de usar superconductores, el tiempo de piel, teóricamente, tendrá un valor infinitamente grande, no se observa ningún campo magnético y la corriente fluye exclusivamente a lo largo de la superficie.

Efecto en la piel

Efecto de piel (del inglés skin - skin, shell), efecto de superficie, el debilitamiento de las ondas electromagnéticas a medida que penetran profundamente en el medio conductor, como resultado de este efecto, por ejemplo, corriente alterna alta frecuencia o corriente alterna sobre la sección transversal del conductor o flujo magnético alterno sobre la sección transversal del circuito magnético, cuando fluye a través del conductor, no se distribuye uniformemente sobre la sección transversal, sino principalmente a la causa del efecto.

Razones del efecto.

El efecto pelicular se debe a que cuando una onda electromagnética se propaga en un medio conductor, surgen corrientes de Foucault, por lo que parte de la energía electromagnética se convierte en calor. Esto conduce a una disminución de la fuerza de los campos eléctricos y magnéticos y de la densidad de corriente, es decir, al amortiguamiento de la onda.

Corrientes de Foucault, corrientes de Foucault, corrientes eléctricas cerradas en un conductor masivo, que surgen cuando cambia el flujo magnético que lo penetra. Las corrientes de Foucault son corrientes inducidas y se forman en un cuerpo conductor, ya sea debido a un cambio en el tiempo del campo magnético en el que se encuentra el cuerpo, o debido al movimiento del cuerpo en un campo magnético, lo que lleva a un cambio en el campo magnético. flujo a través del cuerpo o cualquier parte de él. La magnitud de la corriente de Foucault es mayor cuanto más rápido cambia el flujo magnético.

Cuanto mayor sea la frecuencia n del campo electromagnético y mayor sea la permeabilidad magnética m del conductor, más fuerte (de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell) será el campo eléctrico de remolino creado por el campo magnético alterno, y mayor será la conductividad a del conductor, mayor es la densidad de corriente y la potencia disipada por unidad de volumen (en según las leyes de Ohm y Joule-Lenz). Por lo tanto, cuanto mayor sea n, m y s, mayor será la atenuación, es decir, el efecto piel se vuelve más pronunciado.

Ecuaciones de Maxwell, ecuaciones fundamentales de la electrodinámica macroscópica clásica, que describen fenómenos electromagnéticos en un medio arbitrario. Las ecuaciones de Maxwell fueron formuladas por J.K. Maxwell en los años 60 del siglo XIX a partir de una generalización de las leyes empíricas de los fenómenos eléctricos y magnéticos. Con base en estas leyes y desarrollando la fructífera idea de M. Faraday de que las interacciones entre cuerpos cargados eléctricamente se realizan por medio de un campo electromagnético, Maxwell creó una teoría de los procesos electromagnéticos, expresada matemáticamente por la ecuación de Maxwell. de la ecuación de Maxwell fue dada por el físico alemán G. Hertz y el físico inglés O. Heaviside. Las ecuaciones de Maxwell conectan las cantidades que caracterizan el campo electromagnético con sus fuentes, es decir, con la distribución de cargas y corrientes eléctricas en el espacio. En el vacío, un campo electromagnético se caracteriza por dos magnitudes vectoriales que dependen de las coordenadas espaciales y del tiempo: la intensidad del campo eléctrico E y la inducción magnética B. Estas magnitudes determinan las fuerzas que actúan a partir del campo sobre cargas y corrientes, cuya distribución en el espacio está dado por la densidad de carga r (la carga en la unidad de volumen) y la densidad de corriente j (la carga transferida por unidad de tiempo a través de una unidad de área perpendicular a la dirección del movimiento de la carga). Para describir procesos electromagnéticos en un entorno material (en la materia), además de los vectores E y B, se introducen magnitudes vectoriales auxiliares que dependen del estado y propiedades del medio: inducción eléctrica D e intensidad de campo magnético N. Las ecuaciones de Maxwell hacen Es posible determinar las principales características del campo (E, B, D y H) en cada punto del espacio en cualquier momento, si las fuentes del campo j y r se conocen como funciones de coordenadas y tiempo. Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma integral o diferencial (a continuación se dan en el sistema absoluto de unidades gaussianas; consulte el sistema de unidades CGS). Las ecuaciones de Maxwell en forma integral determinan, según cargas y corrientes dadas, no los vectores de campo E, B, D, H en puntos individuales del espacio, sino algunas cantidades integrales que dependen de la distribución de estas características de campo: la circulación de los vectores E y H a lo largo de contornos cerrados arbitrarios y vectores de flujo D y B a través de superficies cerradas arbitrarias. La primera ecuación de Maxwell es una generalización de la ley empírica de Ampère sobre la excitación de un campo magnético por corrientes eléctricas a campos variables. Maxwell planteó la hipótesis de que el campo magnético se genera no solo por corrientes que fluyen en los conductores, sino también por campos eléctricos alternos en dieléctricos o vacío. Maxwell llamó corriente de desplazamiento a la cantidad proporcional a la tasa de cambio del campo eléctrico en el tiempo. La corriente de desplazamiento excita el campo magnético según la misma ley que la corriente de conducción (más tarde esto se confirmó experimentalmente). La corriente total, igual a la suma de la corriente de conducción y la corriente de desplazamiento, siempre está cerrada.

El primer M. en. parece:

/

En el caso de una onda sinusoidal plana que se propaga a lo largo del eje x en un medio lineal homogéneo y bien conductor (las corrientes de desplazamiento pueden despreciarse en comparación con las corrientes de conducción), las amplitudes de las intensidades de los campos eléctrico y magnético decaen de acuerdo con la exponencial ley:

Coeficiente de atenuación, m0 - constante magnética A una profundidad x = d = 1/a, la amplitud de onda disminuye por un factor de e. Esta distancia se denomina profundidad de penetración o grosor de la piel. Por ejemplo, a una frecuencia de 50 Hz en cobre (s = 580 ksim/cm; m = 1) s = 9,4 mm, en acero (a = 100 ksim/cm, (m = 1000) d = 0,74 mm. A una aumento de frecuencia a 0,5 MHz, d disminuirá en un factor de 100. Una onda electromagnética no penetra en absoluto en un conductor ideal (con una conductividad infinitamente alta), se refleja por completo en él Cuanto más corta es la distancia que viaja la onda , en comparación con d, más débil se manifiesta S.-e.

Constante magnética, el coeficiente de proporcionalidad m0, que aparece en varias fórmulas de magnetismo cuando se escribe en forma racionalizada (en el Sistema Internacional de Unidades). Entonces, la inducción B del campo magnético y su intensidad H están relacionadas en el vacío por la relación

B \u003d m0H,

donde m0 = 4p ×10 -7 g/m2" 1 .26×10 -6 gn/m.)).

Para conductores con un efecto de piel muy pronunciado, cuando el radio de curvatura de la sección del cable es mucho mayor que d y el campo en el conductor es una onda plana, se introduce el concepto de resistencia superficial del conductor Zs (impedancia superficial). Se define como la relación entre la amplitud compleja de la caída de voltaje por unidad de longitud del conductor y la amplitud compleja de la corriente que fluye a través de la sección transversal de la capa superficial de unidad de longitud.

Amplitud compleja, representación de la amplitud A y la fase y de una oscilación armónica x = Acos (wt + y) usando un número complejo =Aexp(ij)=Acosj + iAsenj. En este caso, la oscilación armónica se describe mediante la expresión

x = Re[( expiración)],

donde Re es la parte real del número complejo entre corchetes. K.a. suele utilizarse en el cálculo de circuitos eléctricos lineales (con dependencia lineal corriente de voltajes) que contienen elementos activos y reactivos. Si una fem armónica de frecuencia w actúa sobre dicho circuito, entonces el uso de K. a. corriente y voltaje le permite pasar de ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas. Comunicación entre A. y. la corriente I y la tensión U para la resistencia activa R están determinadas por la ley de Ohm: / = R. Para la inductancia L, esta conexión tiene la forma I = - y para el tanque C: I=iwCU. Así, las cantidades iwL y L/iwC juegan el papel de resistencias inductivas y capacitivas./

Resistencia compleja por unidad de longitud del conductor:

donde R0 es la resistencia activa del conductor, que determina las pérdidas de potencia en el mismo, X0 es la resistencia inductiva, teniendo en cuenta la inductancia del conductor, debido al flujo magnético en el interior del conductor, lc es el perímetro de la capa de piel sección transversal, w = 2pn; en este caso, R0 = X0. En fuertemente expresado S. - e. La resistencia superficial coincide con la resistencia de onda del conductor y, por lo tanto, es igual a la relación entre la intensidad del campo eléctrico y la intensidad del campo magnético en la superficie del conductor.

/! Impedancia de onda de las líneas de transmisión eléctrica, la relación entre el voltaje y la corriente en cualquier punto de la línea a lo largo de la cual se propagan las ondas electromagnéticas. V. s. representa la resistencia que la línea proporciona a la onda de tensión viajera. En una línea infinitamente larga o una línea de longitud finita, pero cargada con una resistencia igual a V. S., no hay reflexión de ondas electromagnéticas ni formación de ondas estacionarias. En este caso, la línea transfiere casi toda la energía del generador a la carga (sin pérdidas). V. s. es igual a:

/

En los casos en que el camino libre medio l de los portadores de corriente se hace mayor que el espesor d de la capa de piel (por ejemplo, en metales muy puros a bajas temperaturas), a frecuencias relativamente altas, el efecto piel adquiere una serie de características debido a lo que se llama anómalo. Dado que el campo a lo largo del camino libre de un electrón no es uniforme, la corriente en un punto dado depende del valor del campo eléctrico no solo en ese punto, sino también en su vecindad, que tiene dimensiones del orden de l. Por lo tanto, al resolver las ecuaciones de Maxwell, en lugar de la ley de Ohm, se debe usar la ecuación cinética de Boltzmann para calcular la corriente. Los electrones con un efecto Skin anómalo se vuelven desiguales en términos de su contribución a electricidad; para l >> d, la principal contribución la hacen aquellos que se mueven en la capa superficial paralelamente a la superficie del metal o en ángulos muy pequeños y pasan, es decir, más tiempo en la región de campo fuerte (electrones efectivos). La atenuación de la onda electromagnética en la capa superficial todavía tiene lugar, pero caracteristicas cuantitativas el efecto de piel anómalo es algo diferente. El campo en la capa de piel no decae exponencialmente (R0/X0= ).

En la región infrarroja de frecuencias, el electrón puede no tener tiempo para cubrir la distancia l durante el período del cambio de campo. En este caso, el campo en la trayectoria del electrón durante el período se puede considerar uniforme. Esto nos lleva de vuelta a la ley de Ohm y el efecto piel vuelve a ser normal. Así, a frecuencias bajas y muy altas, el efecto piel es siempre normal. En el rango de radio, dependiendo de las proporciones entre / y d, pueden ocurrir efectos Skin normales y anómalos. Todo lo anterior es cierto siempre que la frecuencia c sea menor que la del plasma: w< w0 «(4pne2/m) 1/2 (n - концентрация свободных электронов, е - заряд, m - масса электрона).

Efecto de lucha.

El efecto piel es a menudo indeseable. En los cables, la corriente alterna con un fuerte efecto pelicular fluye principalmente a través de la capa superficial; en este caso, la sección transversal del cable no se utiliza por completo, la resistencia del cable y la pérdida de potencia en él con un aumento de corriente dado. En placas o cintas ferromagnéticas de circuitos magnéticos de transformadores, máquinas eléctricas y otros dispositivos, un flujo magnético alterno con un fuerte efecto Skin pasa principalmente a través de su capa superficial; como resultado, se deteriora el uso de la sección transversal del circuito magnético, aumentan la corriente de magnetización y las pérdidas en el acero. El efecto “nocivo” del efecto Skin se debilita por la disminución del espesor de las placas o cintas, ya frecuencias suficientemente altas, por el uso de núcleos magnéticos hechos de magnetodieléctricos.

Magnetodieléctricos, materiales magnéticos, que son una mezcla de polvo ferromagnético y un aglutinante, un dieléctrico (por ejemplo, baquelita, poliestireno, caucho) unidos en un solo conglomerado; en macrovolúmenes tienen un alto resistencia eléctrica dependiendo de la cantidad y tipo de ligante. M. puede ser tanto materiales magnéticamente duros como magnéticamente blandos. Los imanes magnéticamente blandos se producen principalmente a partir de polvos finos de carbonilhierro, molibdeno permalloy y alsifer con diversos aglutinantes. Los imanes magnéticos blandos se utilizan para fabricar núcleos para inductores, filtros, estranguladores y núcleos blindados de radio que funcionan a frecuencias de 104 a 108 Hz.

Asimismo, con el aumento de la frecuencia de la corriente alterna, el efecto piel se manifiesta cada vez con mayor claridad, lo que obliga a tenerlo en cuenta en el diseño y cálculos. circuitos electricos trabajando con corriente alterna y pulsada. Por ejemplo, en lugar de alambres de cobre convencionales, se pueden usar alambres de cobre recubiertos con una fina capa de plata. La plata tiene la conductividad más alta entre todos los metales, y su fina capa, en la que, debido al efecto piel, más ́ La mayor parte de la corriente tiene una fuerte influencia en la resistencia activa del conductor. El efecto piel afecta significativamente las características de los circuitos oscilatorios, como el factor de calidad. Debido al hecho de que la corriente de alta frecuencia fluye a través de una capa superficial delgada del conductor, la resistencia activa del conductor aumenta significativamente, lo que conduce a una amortiguación rápida de las oscilaciones de alta frecuencia. Para combatir el efecto piel, se utilizan conductores de varias secciones: planos (en forma de cintas), tubulares (huecos por dentro), se aplica una capa de metal con una resistividad más baja a la superficie del conductor. Por ejemplo, en los equipos de alta frecuencia se utilizan circuitos de cobre plateado; en las líneas eléctricas de alta tensión se utiliza un cable en una cubierta de cobre o aluminio con un núcleo de acero; en los alternadores de alta potencia, el devanado está hecho de tubos a través de los cuales se hace pasar hidrógeno líquido para su enfriamiento. Además, para suprimir el efecto piel, se utiliza un sistema de varios cables entrelazados y aislados: cable litz. Todos estos métodos para combatir el efecto piel son ineficaces para los equipos de microondas. En este caso, se utilizan circuitos oscilatorios de forma especial: resonadores de cavidad y líneas de transmisión específicas Aplicando el efecto

Aplicar un efecto.

Por otro lado, el efecto piel encuentra aplicación en la práctica. La acción de las pantallas electromagnéticas se basa en el efecto Piel. Entonces, para proteger el espacio externo de la interferencia creada por el campo de un transformador de potencia que opera a una frecuencia de 50 Hz, se usa una pantalla hecha de acero ferromagnético relativamente grueso; para proteger un inductor que opera a altas frecuencias, los escudos están hechos de una capa delgada de Al. El efecto piel se basa en el endurecimiento superficial de productos de acero a alta frecuencia (ver Instalación de calentamiento por inducción).

Unidad de calentamiento por inducción, unidad electrotérmica para calentar piezas o piezas metálicas mediante calentamiento por inducción./

La acción de los generadores magnéticos explosivos (EMG), los generadores magnéticos explosivos de frecuencia (EMHF) y, en particular, los emisores de ondas de choque (SHF) también se basa en el efecto pelicular.

La profundidad de la capa conductora, en la que la intensidad del campo eléctrico disminuye por un factor de e, se denomina profundidad de piel. La dependencia de la profundidad de la piel con la frecuencia para un conductor de cobre se da en la tabla. - guías de ondas. capa superficial.

Fórmula para calcular la profundidad de la capa de piel en el metal (aproximada).

Aquí ε0 = 8.85419*10 -12 F/m - permitividad absoluta del vacío, ρ - resistividad, c - velocidad de la luz, milímetro - permeabilidad magnética relativa (cercana a la unidad para para- y diamagnets - cobre, plata, etc. ), ω = 2π * f. Todas las cantidades se expresan en el sistema SI.

Una fórmula más simple para calcular

ρ - resistividad, milímetro - permeabilidad magnética relativa, f - frecuencia.

Todo el mundo sabe que una bola de plasma no choca. Aunque a través de una persona pasa un voltaje de decenas de miles de voltios... ¿Por qué???

Si aplica un voltaje muy alto a la bola de plasma, más de 100 KV, las descargas comenzarán a salir de la bombilla de vidrio. Nuevamente, estas chispas se pueden "tocar", solo que no sentirás nada.

Saca la pelota del soporte.

Y por último, desconectaremos el propio soporte de la bobina de Tesla.

En los 4 casos, una corriente de 100-200 KV pasa a través de una persona, pero ¿por qué no tiene ningún efecto? ¿La corriente es baja? No, al incluir en el circuito> bobina de Tesla -> cable -> chispa -> hombre< лампу накаливания (если в ней будет хотя бы один виток волоска - опыт не получится), можно заставить волосок нагреться.

La respuesta es simple: la corriente de alta frecuencia pasa solo a lo largo de la superficie del conductor (piel), causando solo calentamiento. Pero no debes pensar que la descarga de la bobina de Tesla es completamente segura por 2 razones.

) algunas chispas pueden tener una frecuencia baja

) habrá una quemadura en el punto donde la chispa entra en el cuerpo.

Para evitar quemaduras, debe sostener en la mano un objeto pequeño de metal NO aislado (por ejemplo, un destornillador, un trozo de papel de aluminio o alambre).

Durante los experimentos se utilizó una bobina de Tesla de 450 W, encendida a media potencia para evitar daños. cámaras WEB quien estaba filmando.

El sistema SKIN es un complejo confiable y seguro diseñado para calentar tuberías de varias longitudes en tendidos submarinos, subterráneos y aéreos, así como en áreas con mayor riesgo de explosión.

El sistema SKIN es el único método de calentamiento posible para tuberías sin una red de acompañamiento, cuya longitud puede ser de hasta 30 mil metros;

· el sistema está diseñado con alta confiabilidad y durabilidad;

· El efecto SKIN permite calentar líneas de cualquier longitud;

· se puede utilizar en áreas de mayor riesgo de explosión;

· los elementos calefactores tienen una tasa de disipación de calor de hasta 120 vatios por metro;

· El sistema SKIN opera a temperaturas de hasta 200 grados;

· hay un permiso para uso en áreas de mayor riesgo de explosión del Servicio Federal de Supervisión Ecológica, Tecnológica y Nuclear y un certificado de conformidad GOST R;

· no hay potencial en las partes exteriores de los elementos que emiten calor, no necesitan aislamiento eléctrico, ya que están puestos a tierra.

Propósito

El sistema SKIN (sistema inductivo-resistivo) le permite mantener las temperaturas especificadas de las tuberías, las protege de la congelación y permite calentar tuberías de cualquier longitud.

El sistema SKIN es único, ya que por sí solo puede calentar un tramo de tubería con una longitud de línea de hasta 30.000 metros con suministro eléctrico sin red de acompañamiento. El efecto SKIN permite obtener un calentamiento económicamente ventajoso de líneas de cualquier longitud en presencia de una red de escolta.

Principio de operación

efecto piel electromagnético tesla

Las corrientes de la tubería y del conductor están dirigidas una hacia la otra, lo que provoca un efecto de proximidad y un efecto de piel. La corriente en la tubería pasa a través de la capa interna y no hay voltaje en su superficie. El conductor está hecho de aluminio o cobre (materiales no magnéticos), por lo que no hay un efecto pelicular significativo y la corriente alterna fluye a través de la sección del conductor. El elemento principal que genera calor en el sistema SKIN es la tubería, que consume alrededor del 80 por ciento de la energía del sistema.

Ventajas

Gran longitud de la sección calentada de la tubería.

Una pequeña resistencia del sistema por metro de longitud, combinada con una alta tensión de alimentación, permite alimentar hasta 30 mil metros de brazos calefactores.

La alimentación es de un extremo. En esencia, la solución de diseño del sistema le permite alimentar el área para calefacción desde un extremo.

Seguridad ELECTRICA. La parte exterior del elemento calefactor tiene un valor potencial de cero con respecto a la tierra y está conectado a tierra.

Buen contacto térmico. El elemento calefactor (metal) se fija (con sujetadores especiales) o se suelda a la tubería. Para mejorar el contacto (térmico), se utiliza una pasta con buena conductividad térmica.

Facilidad de instalación. No hay aislamiento térmico externo en los elementos combustibles, lo que hace que sea imposible dañarlos durante el trabajo de instalación.

Mayor confiabilidad. Una tubería de acero (bajo en carbono) garantiza la protección del conductor contra diversos daños y la resistencia mecánica, lo cual es importante para las carreteras que se colocan bajo el agua y la tierra.

Disipación de calor

El rango de temperatura de funcionamiento es de -50 grados a +200 grados. La energía eléctrica varía de 50 Hertz a 5 kilovatios.

Los elementos estructurales incluyen:

El elemento de liberación de calor es un tubo de acero con un diámetro de 20-60 mm y un espesor de pared de al menos 3 mm.

Conductor. Se utiliza un conductor especial como conductor de corriente, que resiste cargas mecánicas durante el trabajo de instalación, cargas térmicas de hasta 200 grados y Alto voltaje hasta 5 kw.

Protección contra la corrosión: si el cliente lo requiere, se puede aplicar una capa de epoxi.

Control

Para aumentar la eficiencia, el sistema IRSN está equipado con un dispositivo de control especial que reduce la potencia de calefacción cuando aumenta la temperatura exterior. Tal dispositivo de control garantiza un control cuidadoso sobre el estado del sistema y permite detectar situaciones de emergencia, lo cual es importante.

Ejemplo de calentamiento de una tubería con aislamiento térmico con tres elementos calefactores del sistema SKIN con una potencia total de 130 W/m.

Diámetro de tubería 530 mm, t env. Aire = - 20°

Esquema de suministro de energía de la sección de tubería calentada por el sistema SKIN

Sección de tubería con calefacción por sistema SKIN (esquema de suministro de energía). El sistema de alimentación incluye subestación de transformadores tipo completo (KTP), con celdas (distribución) de los lados de baja y alta, un transformador especial (balanceo), un sistema de control y monitoreo. Se instala una subestación transformadora completa en un contenedor sellado calentado.

Bibliografía

1)Netushil A.V., Polivanov K.M., Fundamentos de ingeniería eléctrica, volumen 3, M., 1956;

2)Polivanov KM, Bases teóricas ingeniería eléctrica, parte 3 - Teoría del campo electromagnético, M., 1975;

)Neiman L.R., Efecto de superficie en cuerpos ferromagnéticos, L. - M., 1949.

)Kalashnikov S.G., Electricity, M., 1956 (Curso general de física, vol. 2).

)Tolmassky IS, Metales y aleaciones para núcleos magnéticos, M., 1971.

1. Efecto de superficie……………………………………………………..2

2. Efecto de superficie eléctrica en el ejemplo de una barra colectora rectangular …………………………………………………….3

3. Cálculo de la resistencia compleja de la barra ………………………………...9

4. Efecto de superficie magnética ……………………………………………………………… 11

5. Cálculo de la potencia compleja en una lámina volada por un flujo magnético sinusoidal ……………………………………...15

6. Análisis de expresiones para potencia integrada específica ………………17

7. Métodos aproximados para el cálculo de la potencia compleja en una chapa de acero en un flujo magnético.…………………….....18

8. Efecto de superficie eléctrica en un conductor circular …………………………………………………………………….21

9. Efecto de proximidad ………………………………………………………………..26

10. Resistencia compleja del neumático en presencia del efecto de proximidad …………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …

11. Parámetros de un embarrado monofásico ……………………………………33

12. Campos electromagnéticos y parámetros de barras de una barra trifásica ……………………………………………………………………..34

13. Cálculo del campo en neumáticos C, B, A ……………………………………………...36

14. Cálculo de la resistencia compleja de la barra ………………………………38

15. Circuitos equivalentes equivalentes de una barra trifásica con un sistema simétrico de corrientes …………………………………………...40

16. Campo electromagnético en la cubierta del cable …………………………….45

17. Resistencia compleja de la coraza …………………………………….47

18. Referencias …………………………………………………………...49

efecto en la piel

Se ha establecido experimentalmente y se ha confirmado teóricamente que una corriente eléctrica alterna (incluida una sinusoidal), en contraste con una constante, se distribuye de manera desigual sobre la sección transversal del conductor. En este caso, siempre hay una tendencia a desplazar la corriente desde la parte interna del conductor hacia la periferia, es decir la densidad de corriente en el conductor aumenta a medida que se mueve desde la profundidad hasta la superficie del cable. Este fenómeno se llama efecto de superficie eléctrica. Se puede explicar de la siguiente manera.

Anteriormente se señaló que el vector de Poynting tiene una componente normal a la superficie lateral del conductor, y esto indica la penetración de energía en el conductor desde el espacio circundante a través de esta superficie. Al mismo tiempo, se observó que las ondas electromagnéticas se propagan en la dirección del vector de Poynting y decaen en la misma dirección en un medio conductor. Pero si esto es así, entonces en un conductor por el que fluye una corriente, la densidad de corriente, así como las fuerzas eléctricas y magnéticas, deberían ser mayores en la superficie que en la profundidad. Se puede dar otra explicación más ilustrativa al efecto de superficie eléctrica. Si un conductor de corriente circula con una corriente sinusoidal, entonces sus partes internas están acopladas con un gran flujo magnético en comparación con las periféricas y, por lo tanto, de acuerdo con la ley de inducción electromagnética, se inducirán grandes fuerzas electromotrices en ellas, impidiendo que la corriente cambie y quede prácticamente en antifase con el vector de densidad de corriente. Por esta razón, podemos suponer que en las partes internas del conductor, la intensidad eléctrica total y la densidad de corriente están interconectadas por la ley de Ohm. () , tendrá valores menores que en los periféricos.

Si la frecuencia y los parámetros actuales son tales que la profundidad de penetración de la onda es mucho menor que la sección transversal del conductor (Δ« D), entonces la corriente en el conductor se concentrará solo en una capa superficial delgada, cuyo espesor está prácticamente determinado por la profundidad de penetración de la onda. Este efecto de superficie se llama pronunciado. El desplazamiento de la corriente conduce a un aumento de la resistencia activa del conductor en comparación con su valor en corriente continua. Es por estos motivos que en las instalaciones de alta frecuencia el inductor se fabrica en forma de tubo de cobre, por cuyo interior pasa líquido para su refrigeración.

Si la profundidad de penetración de la onda es proporcional a las dimensiones generales, entonces el conductor se llama transparente y considere que la corriente se distribuye casi uniformemente sobre la sección transversal de este conductor.

Si un flujo magnético alterno se cierra en un ferromagnético conductor, también es forzado a salir a la superficie del circuito magnético, la inducción magnética y el aumento de intensidad en la capa superficial, y esto implica un aumento en la densidad de corriente de Foucault y pérdidas de Joule.

En el caso de un efecto pelicular magnético, también se tiene en cuenta la profundidad de penetración de la onda, y siempre que Δ« D, el efecto se considera pronunciado. El fenómeno del efecto de superficie magnética es muy utilizado en electrotermia, sin embargo, en máquinas eléctricas, transformadores y otras instalaciones similares, la manifestación de este efecto es altamente indeseable.

Efecto de piel eléctrica en el ejemplo de una barra colectora rectangular

En la fig. 1 muestra una barra colectora con una sección transversal rectangular, circulando con corriente I. El campo en el neumático satisface la ecuación de Helmholtz

Dentro del bus hay un campo electromagnético y una corriente de conducción. Fuera del neumático (conductividad (γ=0) corriente de conducción (δ=0) ausente, pero existen campos eléctricos y magnéticos. Dado que los campos electromagnéticos internos y externos están interconectados, al resolver el problema de calcular el campo dentro del neumático, es necesario conocer las leyes de distribución del campo y más allá.

Así, con un enfoque riguroso, resuelva el problema de calcular el campo en todo el espacio, dentro y fuera del neumático.

Dado que este problema es muy difícil para una solución analítica exacta, formulamos condiciones y suposiciones bajo las cuales el problema del efecto piel en un neumático puede resolverse aproximadamente con buena precisión. Primero, considere el campo en un alambre redondo (Fig. 2).

Las líneas magnéticas son círculos concéntricos. EN este ejemplo el flujo debido a la corriente en el cable se divide en dos componentes: interno y externo. Esta propiedad de un alambre redondo se usa en la práctica de la ingeniería para determinar la inductancia interna de un alambre. Como puede verse en la fig. 3, con una sección de alambre cuadrada, no se puede realizar una separación tan clara de los flujos, ya que el contorno de la sección ya no es una línea de fuerza.

Determinar el efecto de la geometría del neumático (h/2 a) sobre la distribución del campo en su volumen. De la fig. 4 se sigue que a medida que aumentan los tamaños relativos (h/2a) las líneas de fuerza dentro del neumático comienzan a tomar forma, acercándose a la forma del contorno exterior del neumático. Si la relación h/2 a » 1 (Fig. 5), entonces prácticamente en todo el volumen del neumático, el vector de intensidad magnética se dirige a lo largo de la superficie lateral más grande del neumático, es decir hacia la coordenada y.

Si ahora despreciamos los efectos de borde, entonces para el neumático en h» 2a es posible resolver el problema en el sistema de coordenadas (x, y,z) asumiendo que

,
,

,
.

Figura 4 cinco

PAGS dejar la tarea: calcular la distribución del campo mi Y H en el volumen de un bus rectangular (fig. PO) y calcule su resistencia compleja a la corriente sinusoidal si el bus h / 2a » 1 circula por la corriente I con frecuencia ω .

Arroz. figura 6 7

Configuración del entorno: μ , γ . Supuesto aceptado Ė=Ė X (z) conduce a la ecuación de Helmholtz (índice X omitir en el futuro) con respecto al vector de intensidad eléctrica

, (5.34)

donde
.

La solución de la ecuación (5.34) es el conjunto de funciones exponenciales

, (5.35)

. (5-36)

Escribimos la solución general para , utilizando la segunda ecuación de Maxwell
. Dado que en el caso que nos ocupa
, luego

. (5.37)

Teniendo en cuenta (5.35)

. (5.38)

A continuación, encontramos las constantes de integración DESDE 1 Y DESDE 2 . Dado que el campo en estudio tiene la simetría
, por lo tanto, de (5.35) tenemos

Obviamente, la última igualdad es verdadera si DESDE 1 = C 2 =C/2.

Entonces, teniendo en cuenta la condición de simetría, las expresiones (5.35) y (5.38) tendrán la forma, respectivamente

, (5.39)

. (5.40)

Constante de integración DESDE proporcional a la corriente ajustada en el bus I.

Selecciona alguna zona dS= hdz (Figura 7). Luego

(5.41)

j norte

A partir de aquí encontramos
. (5.42)

Como resultado, la decisión final de Ė parece:

. (5.43)

Sustituyendo (5.42) en (5.40), teniendo en cuenta (5.34), nos permite obtener una solución para la intensidad magnética:

. (5.44)

Así, (5.43) y (5.44) son las expresiones finales para las intensidades eléctrica y magnética Y en el volumen del neumático.

Es de interés un análisis cualitativo de la distribución de la densidad de corriente en el volumen del bus (Fig. 8). Según la ley de Ohm
para la densidad de corriente en el bus tenemos

.

Patrón de distribución δ(z) , obviamente, dependerá del coeficiente de propagación
.

si en bajas frecuencias parámetro un/∆ pequeña (real academia de bellas artes<< 1) , entonces por un pequeño argumento shpz≈1 , Shpa≈ Pensilvania y luego

Por lo tanto, en estas condiciones, la corriente se distribuye uniformemente sobre el bus y no hay efecto de superficie. A medida que aumenta la frecuencia, la imagen cambia, ya que con un aumento en el parámetro (real academia de bellas artes) aumenta la falta de uniformidad en la distribución de corriente sobre la sección de barras.