Función compleja diferencial de dos variables. Material teórico. Tareas con funciones indicativas y logaritmos.

Se da la prueba de la fórmula de la función compleja derivada. Los casos se consideran en detalle donde la función compleja depende de una y dos variables. Se realiza una generalización en caso de una cantidad arbitraria de variables.

Contenido

Ver también: Ejemplos de la aplicación de la fórmula de la función compleja derivada.

Fórmulas básicas

Aquí llevamos la conclusión de las siguientes fórmulas para una función compleja derivada.
Si, entonces
.
Si, entonces
.
Si, entonces
.

Función compleja derivada de una variable.

Deje que la función de la variable X pueda representarse como una función compleja de la siguiente manera:
,
Donde y hay algunas funciones. La función es diferenciable a un cierto valor de la variable x. La función es diferenciable cuando se valora el valor de la variable.
Luego, la función compleja (compuesta) es diferenciable en el punto X y su derivado está determinado por la fórmula:
(1) .

La fórmula (1) también se puede escribir de la siguiente manera:
;
.

Evidencia

Nosotros introducimos la siguiente notación.
;
.
Hay una función de las variables y, existe una función de las variables y. Pero bajaremos los argumentos de estas funciones para no agarrar los cálculos.

Dado que las funciones y los diferenciales en los puntos X y, en consecuencia, en estos puntos hay derivados de estas funciones, que son los siguientes límites:
;
.

Considere la siguiente función:
.
Con un valor fijo de la variable u, es una función de. Es obvio que
.
Luego
.

Dado que la función se diferencia por la función en el punto, es continuo en este punto. por lo tanto
.
Luego
.

Ahora encontramos un derivado.

.

La fórmula está probada.

Corolario

Si la función de la variable X puede representarse como una función compleja de una función compleja
,
Entonces su derivado está determinado por la fórmula.
.
Aquí, y hay algunas funciones diferenciables.

Para probar esta fórmula, calculamos constantemente la derivada de acuerdo con la regla de diferenciación de una función compleja.
Considerar una función compleja
.
Su derivado
.
Considerar la función fuente
.
Su derivado
.

Función compleja derivada de dos variables.

Ahora deje que la función compleja depende de varias variables. Primero considerar caso de la función compleja de dos variables..

Deje que la función dependiendo de la variable X pueda representarse como una función compleja de dos variables en el siguiente formulario:
,
Dónde
y hay funciones diferenciables con algún valor de la variable x;
- Función de dos variables, diferenciada en el punto ,. Luego, la función compleja se determina en algún vecindario del punto y tiene un derivado, que está determinado por la fórmula:
(2) .

Evidencia

Dado que las funciones y diferenciadas en el punto, se definen en algunos alrededores de este punto, son continuos en el punto y existen sus derivados en el punto, que son los siguientes límites:
;
.
Aquí
;
.
En virtud de la continuidad de estas funciones en el punto que tenemos:
;
.

Dado que la función es diferenciable en el punto, se define en algún vecindario de este punto, continuo en este punto y su incremento se puede escribir en el siguiente formulario:
(3) .
Aquí

- el incremento de la función en el incremento de sus argumentos por magnitud y;
;

- Derivados privados para las variables y.
A valores fijos y, y hay funciones de variables y. Se esfuerzan por cero con y:
;
.
Desde entonces
;
.

Función de protección:

. :
.
Sustituto (3):



.

La fórmula está probada.

Función compleja derivada de varias variables.

La salida anterior se generaliza fácilmente en el caso, cuando el número de variables de la función compleja es más de dos.

Por ejemplo, si f es función de tres variablesT.
,
Dónde
y hay funciones diferenciables a un cierto valor de la variable x;
- Función diferencial, de tres variables, en el punto ,,,.
Luego, a partir de la determinación de la diferenciabilidad de la función, tenemos:
(4)
.
Desde entonces, debido a la continuidad,
; ; ,
que
;
;
.

Dividiendo (4) en y completando el límite, obtenemos:
.

Y finalmente, considere el caso más común.
Deje que la función de la variable X pueda representarse como una función compleja de las variables n en el siguiente formulario:
,
Dónde
Hay funciones diferenciables con algún valor de la variable X;
- Función diferencial de n variables en el punto
, , ... , .
Luego
.

Ver también:

Los derivados privados se aplican en tareas con funciones de varias variables. Las reglas de ubicación son exactamente las mismas que para las funciones de una variable, con la diferencia solo en el hecho de que una de las variables debe considerarse en el momento de la diferenciación por constante (constante).

Fórmula

Los derivados privados para la función de dos variables $ z (x, y) $ se escriben en el siguiente formulario $ z "_x, z" _y $ y se encuentran de acuerdo con las fórmulas:

Derivados privados de primer orden.

$$ z "_x \u003d \\ frac (\\ parcial z) (\\ parcial x) $$

$$ Z "_Y \u003d \\ FRAC (\\ parcial z) (\\ parcial y) $$

Derivados privados de segundo orden

$$ Z "" _ (xx) \u003d \\ frac (\\ parcial ^ 2 z) (\\ parcial x \\ parcial x) $$

$$ z "" _ (yy) \u003d \\ frac (\\ parcial ^ 2 z) (\\ parcial y \\ parcial y) $$

Derivado mixto

$$ z "" _ (xy) \u003d \\ frac (\\ parcial ^ 2 z) (\\ parcial x \\ parcial y) $$

$$ z "" _ (yx) \u003d \\ frac (\\ parcial ^ 2 z) (\\ parcial y \\ parcial x) $$

Derivado parcial de la función compleja.

a) Deje $ z (t) \u003d f (x (t), y (t)) $, entonces el derivado de la función compleja está determinada por la fórmula:

$$ \\ FRAC (DZ) (DT) \u003d \\ FRAC (\\ parcial z) (\\ parcial x) \\ CDOT \\ FRAC (DX) (DT) + \\ FRAC (\\ parcial z) (\\ parcial y) \\ CDOT \\ FRAC (DY) (DT) $$

b) Deje $ z (u, v) \u003d z (x (u, v), y (u, v)) $, entonces los derivados parciales están en la fórmula:

$$ \\ frac (\\ parcial z) (\\ parcial u) \u003d \\ frac (\\ parcial z) (\\ parcial x) \\ cdot \\ frac (\\ parcial x) (\\ parcial u) + \\ frac (\\ parcial z) ( \\ Parcial y) \\ cdot \\ frac (\\ parcial y) (\\ parcial u) $$

$$ \\ FRAC (\\ parcial z) (\\ parcial V) \u003d \\ frac (\\ parcial z) (\\ parcial x) \\ CDOT \\ FRAC (\\ parcial X) (\\ parcial V) + \\ FRAC (\\ parcial z) ( \\ Parcial y) \\ cdot \\ frac (\\ parcial y) (\\ parcial v) $$

Derivados privados implícitamente especificados funcionan

a) Deje $ f (x, y (x)) \u003d 0 $, luego $$ \\ FRAC (DY) (DX) \u003d \\ FRAC (F "_X) (F" _Y) $$

b) Deje $ f (x, y, z) \u003d 0 $, luego $$ z "_x \u003d - \\ frac (F" _x) (F "_z); z" _y \u003d - \\ frac (F "_Y) ( F "_Z) $$

Ejemplos de soluciones

Ejemplo 1.

Encuentre derivados privados del primer pedido $ z (x, y) \u003d x ^ 2 - y ^ 2 + 4xy + $ 10

Decisión

Para encontrar un derivado privado de $ x $, consideraremos $ y $ valor constante (número): $$ z "_x \u003d (x ^ 2-y ^ 2 + 4xy + 10)" _ x \u003d 2x - 0 + 4y + 0 \u003d 2x + 4y $$ Para encontrar una función de derivado privado en $ y $, definimos $ y $ constante: $$ Z "_Y \u003d (x ^ 2-y ^ 2 + 4xy + 10)" _ y \u003d -2y + 4x $$ Si es imposible resolver su tarea, envíenosla. Proporcionaremos una decisión detallada. Puede familiarizarse con el curso de cálculo y aprender información. ¡Esto ayudará de manera oportuna en el profesor!

Respuesta

$$ z "_x \u003d 2x + 4y; z" _y \u003d -2y + 4x $$

Ejemplo 2.

Encuentre derivados privados de segundo orden $ z \u003d e ^ (xy) $

Decisión

Al principio, debe encontrar los primeros derivados, y luego conocerlos se pueden encontrar en un derivados de segundo orden. Asumimos $ y $ constante: $$ z "_x \u003d (e ^ (xy))" _ x \u003d e ^ (xy) \\ cdot (xy) "_ x \u003d ye ^ (xy) $$ Ahora ponemos $ X $ valor constante: $$ Z "_Y \u003d (E ^ (xy))" _ y \u003d e ^ (xy) \\ cdot (xy) "_ y \u003d xe ^ (xy) $$ Saber los primeros derivados son similares a los que son segundos. Instale $ y $ constante: $$ Z "" _ (XX) \u003d (Z "_x)" _ x \u003d (ye ^ (xy)) "_ x \u003d (y)" _ x e ^ (xy) + y (e ^ (xy)) "_ x \u003d 0 + ye ^ (xy) \\ cdot (xy)" _ x \u003d y ^ 2e ^ (xy) $$ Pedimos $ x $ constante: $$ Z "" _ (YY) \u003d (Z "_Y)" _ y \u003d (xe ^ (xy)) "_ y \u003d (x)" _ ye ^ (xy) + x (e ^ (xy)) " _ y \u003d 0 + x ^ 2e ^ (xy) \u003d x ^ 2e ^ (xy) $$ Ahora queda por encontrar un derivado mixto. Es posible indiferenciar $ z "_x $ por $ y $, y es posible $ z" _y $ a $ x $, ya que según el $ z "" "_ (xy) \u003d z" "_ (yx) PS $$ z "" _ (xy) \u003d (z "_x)" _ y \u003d (ye ^ (xy)) "_ y \u003d (y)" _ ye ^ (xy) + y (e ^ (xy)) " _ y \u003d ye ^ (xy) \\ cdot (xy) "_ y \u003d yxe ^ (xy) $$

Respuesta

$$ z "_x \u003d ye ^ (xy); z" _y \u003d xe ^ (xy); z "" _ (xy) \u003d yxe ^ (xy) $$

Ejemplo 4.

Deje $ 3x ^ 3Z - 2Z ^ 2 + 3YZ ^ 2-4x + Z-5 \u003d 0 $ Establece la función implícita $ f (x, y, z) \u003d 0 $. Encuentra derivados privados de primer orden.

Decisión

Escribimos la función en formato: $ f (x, y, z) \u003d 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 \u003d 0 $ y encontrar derivados: $$ z "_x (y, z - const) \u003d (x ^ 3 z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5)" _ x \u003d 3 x ^ 2 z - 4 $$ $$ Z "_Y (x, y - const) \u003d (x ^ 3 z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5)" _ y \u003d 3z ^ 2 $$

Respuesta

$$ Z "_X \u003d 3X ^ 2 Z - 4; Z" _Y \u003d 3Z ^ 2; $$.

Supongamos que la función Z - / (x, y) se define en alguna región D en el plano xow. Tome el punto interno (x, y) de la región D y dé X incremento ah es tal que el punto (x + ah, y) 6 d (Fig. 9). La magnitud se llama un incremento privado de la función Z a lo largo de x. Formaremos una relación para este punto (x, y) Esta relación es una función de la definición. Si en AH - * 0 relación ^ tiene un límite finito, este límite se llama un derivado privado de la función z \u003d / (x, y) en una variable independiente x en el punto (x, y) y se indica por el JFC Symbol (o / I (x, jj), o z "x (x, por ella, por definición o, eso es el más similar a él, si es una función de las variables independientes, entonces señala que se calcula ARZ Con el valor constante de la variable y, un ATZ, con el valor constante de la variable X, las definiciones de derivados privados pueden formularse de la siguiente manera: derivados privados del significado geométrico de los derivados parciales de las funciones de dos variables la diferenciabilidad de la función de varias variables Las condiciones necesarias de diferenciabilidad de la función Condiciones suficientes para funciones diferenciables de varias variables. Diferencial completo. Derivados de diferenciales privados de la función compleja del derivado parcial por X función Z \u003d / (x,) se llama la habitual derivado de esta función por x, calculada bajo el supuesto de que Y es la constante; derivado privado de la función z - / (x , y) se llama su derivado de acuerdo con Y, calculado bajo el supuesto de que X es constante. De ello se deduce que las reglas para calcular los derivados privados coinciden con las reglas demostradas para la función de una variable. Ejemplo. Encuentra derivados privados 4 Tenemos reemplazos *. Desde la existencia de la función r \u003d / (x, y) en este punto de derivados privados en todos los argumentos no eliminará la continuidad de la función en este punto. Por lo tanto, la función no es continua en el punto 0 (0.0). Sin embargo, en este punto, la función especificada tiene derivados privados a lo largo de X y por y. Esto se desprende del hecho de que / (x, 0) \u003d 0 y / (0, y) \u003d 0 y, por lo tanto, se establece el significado geométrico de los derivados particulares de las funciones de dos variables que se establece en la superficie del espacio tridimensional. por la ecuación donde f (x, y) es una función, continua en algún área D y con derivados privados allí a lo largo de x y por y. Descubrimos el significado geométrico de estos derivados en el punto de MO (HO, UO) 6 D, que en la superficie z \u003d f (x) y) corresponde al punto f (x0) yo)). Cuando se encuentra el derivado parcial de la M0, asumimos que Z es solo la función del argumento X, mientras que el argumento y conserva el valor constante de Y \u003d uh, es decir, la función fi (x) está geométricamente representada por la curva L a lo largo de los cuales la superficie se cruza el plano y \u003d u o En virtud del significado geométrico de la derivada de la función de una variable F \\ (XO) \u003d TG A, donde A es un ángulo formado por la tangente L en el punto JV0 con el eje OH (Fig. 10). Pero de tal manera, un derivado privado ($ |) es igual a ThenatanNesulag y entre el eje de OH y Tangente en el punto N0 a la curva obtenida en la sección de la superficie z \u003d / (x, y) del plano De la misma manera, obtenemos esa §6. Derreción de la función de varias variables. Deje que la función z \u003d / (x, y) se definen en alguna región D en el plano xow. Tome el punto (X, Y) € y los valores seleccionados de X y damos cualquier incremento de AH y DU, pero tal que el punto. Definición. La función r \u003d / (x, y) se llama un punto de referencia diferenciable (W, y) € 2E, si el aumento completo en esta función, corresponde a los incrementos de DH, los argumentos respectivamente, se pueden representar en la forma donde l y B no dependa de DH y D (pero generalmente dependen de X e Y), y A (DH, DU) y /? (DH, DU) tienden a cero cuando la oración por cero DH y hacer. . Si la función z \u003d / (x, y) es diferenciable en el punto (x, y), luego la parte A DH 4- En el incremento de una función, lineal en relación con DC y DF, se llama el diferencial completo de esta función En el punto (x, y) y está indicado por el símbolo DZ: De esta manera, un ejemplo. Sea r \u003d x2 + u2. En cada punto (g, y) y para cualquier DC y tenemos aquí. Tecnología que A y 3 tiende a cero con el deseo de cero DH y hacerlo. Según la definición, esta característica Diferencialmente en cualquier punto del plano XOW. Al mismo tiempo, observamos que en nuestros argumentos, el caso no se excluyó formalmente cuando el incremento de DX, DU PORN o incluso ambos son inmediatamente iguales a cero. La fórmula (1) se puede escribir más compactas si ingresa la expresión (la distancia entre los puntos (usándolos, podemos escribir la designación de la expresión que se encuentra en las conchas, a través de E, tendremos dónde dependerá de J, DU y tiende a cero si J 0 y DU 0, o más corta, si p 0. Fórmula (1), que expresa la condición de diferenciabilidad de la función Z \u003d F (XT y) en el punto (F, Y), ahora se puede escribir en La forma del Ejemplo 6.1. Requisitos de Prerrequisitos TEOREMA DE FUNCIÓN DE DIFERENCIAL ™ 4. Si la función R \u003d / (W, Y) es diferenciable en algún momento, entonces es continuo en este punto. 4 Si en un punto (F, Y) LUZYA r \u003d / (f, y) diferenciar, luego completar el incremento de la función que estoy en este punto "" E, que cumple con los incrementos de J y los argumentos que soplan, se pueden proporcionar en el formulario (valores de L, en Para este punto, es constante;, desde donde se deduce que este último significa que en la función Point (F, Y) G / (Bueno, Y) es continua. Teorema! segundo. Si la función r \u003d / (f, y) Es diferenciable en este punto, MO Arencillos en este punto de derivados privados $ § y. Deje que la función z \u003d / (x, y) diferente el punto (x, y). Es el caso de un incentivo ^ DG de esta función que cumple con los incrementos de DX, AU de argumentos se pueden representar como (1). Tomando la igualdad (1) DH F 0, DO \u003d 0, obtenemos de donde, como en la parte correcta del último valor de igualdad y no depende de esto, significa que en el punto (x, y) hay un derivado privado de la función r \u003d / (x, y) por X, con argumentos similares convencidos (X, hay un derivado privado de la función ZO y del teorema se deduce que enfatizamos que el teorema 5 aprueba la existencia de derivados privados solo en El punto (x, y), pero nada habla sobre la continuidad de ellos en este punto, así como en su comportamiento en el vecindario del punto (x, y). 6.2. Condiciones suficientes Funciones diferentes ™ de varias variables como usted Conozca, una condición necesaria y suficiente para la diferenciabilidad de la función y \u003d (x) de una variable en el punto HO es un derivado / "(x) de marchar en el punto x0. En el caso de que la función depende de varias variables. , es mucho más complicado: las condiciones necesarias y suficientes de diferenciabilidad ya no son para funciones z \u003d / (x, y) de dos variables independientes x, y; hay L. Eres individualmente necesario (ver Arriba) y por separado - suficiente. Estas condiciones de diferenciabilidad suficientes de las funciones de varias variables se expresan por el siguiente teorema. Teorema en. Si la función tiene derivados privados / £ y f "v en un poco de browning de delgado (ho, uh) y si estos derivados son continuos en el punto mismo (HO, UH), entonces la función Z \u003d F (x, y) es Diferente en el punto (ejemplo. Considere la función del significado geométrico de derivados privados de los derivados parciales de las dos variables de diferencia de la función de varias variables Las condiciones necesarias de diferenciabilidad de la función Condiciones suficientes de las funciones diferenciales de varias variables. Diferenciales privados Función diferencial Derivados Se define en todo. Según la definición de derivados privados, tenemos para NOSASELM * DIFERIAL ™ Esta función en el punto 0 (0,0) encontrará e incrementa este afilado para diferenciar el activo de la función / ( x, y) \u003d afilado 0 (0,0), es necesario que la función E (DH, DU) sea la siguiente 6vsconeo Small en DC 0 y DU 0. Ponga el D0. Luego, de la fórmula (1) Nosotros Por lo tanto, habrá funciones / (x, y) \u003d no diferenciables en el punto 0 (0,0), aunque tiene en este punto que producimos FA y F "R recibido El resultado se explica por el hecho de que los derivados f "z y f" t "t l sondeo §7. Diferencial completo. Diferenciales privados Si la función R - F (z\u003e y) es diferenciable, entonces su DZ diferencial bajo es igual a notar que A \u003d B \u003d UCH, anote la fórmula (1) en el siguiente formulario para propagar el concepto de función diferencial A las variables independientes, poniendo diferenciales de variables independientes igual a sus incrementos: después de esto, la fórmula de la función diferencial completa del ejemplo de la función SPEP. Que sea 1l (x + u2). Luego, de la misma manera, si u \u003d) es una función diferencial n de variables independientes, la expresión se llama una función de diferencial magro z \u003d f (x, y) en la variable x; La expresión se llama la función diferencial privada z \u003d / (w, y) alternando. De fórmulas (3), (4) y (5) se deduce que la función diferencial completa es la suma de sus diferenciales privados: notamos que el incremento completo de las funciones de AZ z \u003d / (w, y), en general, es decir, No es igual a la cantidad de incrementos privados. Si en el punto (I, Y) de la función Functg \u003d / (Z, Y) DZF diferenciable y diferencial aproximadamente en este punto, entonces su incremento completo difiere de su parte lineal solo en la cantidad de los últimos términos de la AAH 4 - /? DU, que cuando ya 0 y AY - "o son infinitamente pequeños más pequeños que un orden alto que la parte sensible a los personajes. Por lo tanto, con DZ F 0, la parte lineal del incremento de la función diferenciable se denomina parte principal del incremento de la función y use la fórmula aproximada que será más precisa que la más pequeña en el valor absoluto será el Incremento de los argumentos. §ocho. Derivados de la función compleja 1. Deje que la función se defina en alguna región D en el plano XOW, cada una de las variables, y a su vez es la función del argumento T: asumimos que cuando el T se cambia en el intervalo (puntos correspondientes ( F, Y) No salga más allá del dominio D. Si sustituye los valores a la función Z \u003d / (F, Y), obtenemos la función compleja de una variable t. y con los valores correspondientes de La función / (x, y) diferente, luego la función compleja, en el punto T tiene un derivado y m, le damos un incremento a DT. Luego, X e Y recibirán algunos incrementos de AH y DU. Como resultado de esto, El (J) 2 + (DB) 2 F 0 La función Z también recibirá cierto incremento de DG, que en virtud de la diferencia de la función Z \u003d / (, Y) en el punto (X, Y) se puede representar en el formulario donde a) tienden a cero cuando el sirry a cero ah y du. Entregado A y / 3 en AH \u003d AGU \u003d 0, Poniendo y luego A (será continuo cuando J \u003d 0 \u003d 0. Considere la relación que tenemos en cada término ^ en la parte derecha (2) Ambos factores tienen límites con válidos. Derivados privados y ^ Para esto, son constantes, bajo la condición, hay límites de la existencia de derivados ^ y en el punto £ sigue la continuidad en este punto de las funciones x \u003d y (t) y y \u003d, por lo tanto, en al 0 , se esfuerzan por cero y j y lo hacen, lo que a su vez conlleva un esfuerzo por cero a (DH, DU) y P (AH, AY). Por lo tanto, el lado derecho de la igualdad (2) en 0 tiene un límite que significa que Existe en 0 y el límite de la parte izquierda (2), es decir, hay un paso igual en la igualdad (2) al límite en AT - "0, obtenemos la fórmula requerida en el caso particular, cuando, por lo tanto, , Z es una función compleja del pozo, nos adentramos en la fórmula (5), hay una funAdig Derivative Derivative privada, bien, con la presentación de la cual en la expresión / (F, Y), el argumento y es tomado para el permanente. Pero hay un derivado completo de la función z. Una variable independiente en, al calcular cuál en la expresión / (g, y) ya no se toma para la constante, y se considera que es una función de w: y \u003d tp (x) t y, por lo tanto, se toma la dependencia z en cuenta completamente. Ejemplo. Encuentre y JG si 2. Considere ahora la diferenciación de la función compleja de varias variables. Supongamos que a su vez, para que asumamos que en el punto (() hay derivados privados continuos, 3? "Y en el punto correspondiente (F, Y), donde la función / (F, Y) es diferenciable. Demostramos eso bajo estas condiciones. La funshiya z \u003d z (() y) en el punto T7) tiene derivados y u y encuentra expresiones para estos derivados. Tenga en cuenta que este caso de la ya estudiado no es significativamente diferente. De hecho, con la diferenciación de Z, la segunda, la variable RJ independiente se toma para la constante, como resultado de lo cual se convierte en funciones de una variable W "\u003d C), y \u003d c) y la pregunta de la derivada C es Resuelto de la misma manera que la cuestión de la derivada en el derivado de la fórmula (3). Usando la fórmula (3) y reemplazando formalmente los derivados en él § y ^ sobre derivados y, en consecuencia, obtenemos un ejemplo de encontrar un ejemplo. Encuentre las funciones de derivados privados ^ y ^ r \u003d z2 y - hustli x - y \u003d si la función compleja "se define por fórmulas, de modo que al realizar las condiciones apropiadas, tenemos en un caso particular cuando y \u003d donde el significado geométrico de derivados privados De los derivados parciales de dos variables La diferenciabilidad de la función de varias variables Las condiciones necesarias de diferenciabilidad de la función Condiciones suficientes Funciones diferenciables de varias variables plena diferencial. Derivados de diferenciales privados de la función compleja. Tenemos una función de derivado plut. y en una variable x independiente, teniendo en cuenta la dependencia completa y de x, inxcine y v \u003d z (x, y), a ^ -in-la-on-derecho.

Deje que Z \u003d ƒ (x; y) sea la función de dos variables x e y, cada una de las cuales es la función de una variable independiente t: x \u003d x (t), y (t). En este caso, la función z \u003d f (x (t); y (t)) es una función compleja de una variable independiente t; Variables X e Y - Variables intermedias.

Teorema 44.4. Si z \u003d ƒ (x; y) es diferenciable en la función del punto m (x; y) є d y x \u003d x (t) y y \u003d y (t) - Funciones diferenciables de una variable independiente t, el derivado de la la función compleja z (t) \u003d f (x (t); y (t)) se calcula por la fórmula

Damos una variable independiente t incremento Δt. Luego, las funciones x \u003d x (t) y y \u003d y (t) recibirán el incremento Δх y Δu, respectivamente. Ellos, a su vez, causarán el incremento de la función AZ Z.

Dado, por condición, la función Z - ƒ (x; y) es diferenciable en el punto M (x; y), entonces su incremento completo se puede representar como

donde A → 0, β → 0 en Δх → 0, ΔU → 0 (vea la cláusula 44.3). Dividimos la expresión ΔZ en ΔT y se mueve al límite en ΔT → 0. Luego, Δх → 0 y ΔU → 0 en virtud de la continuidad de las funciones x \u003d x (t) y y \u003d y (t) (por la condición del teorema, son diferenciables). Obtenemos:

Caso privado: z \u003d ƒ (x; y), donde y \u003d y (x), es decir, z \u003d ƒ (x; y (x)) es una función compleja de una variable independiente x. Este caso se reduce a la anterior, y el papel de la variable t toca x. Según la fórmula (44.8) tenemos:

La fórmula (44.9) se llama la fórmula derivada completa.

Caso general: z \u003d ƒ (x; y), donde x \u003d x (u; v), y \u003d y (u; v). Luego z \u003d f (x (u; v); y (u; v)) - la función compleja de las variables independientes U y V. Sus derivados privados se pueden encontrar utilizando la fórmula (44.8) de la siguiente manera. FIJACIÓN V, reemplace en él los derivados privados apropiados

Del mismo modo, obtengamos:

Por lo tanto, el derivado de la función compleja (Z) para cada variable independiente (U y V) es igual a la cantidad de obras de derivados particulares de esta función (Z) por sus variables intermedias (X e Y) en sus derivados de acuerdo con La variable independiente correspondiente (U y V).

Ejemplo 44.5. Encontrar si z \u003d ln (x 2 + en 2), x \u003d u v, y \u003d u / v.

Solución: Encuentre DZ / DU (DZ / DV - independientemente) utilizando Fórmula (44.10):

Simplificamos el lado derecho de la igualdad obtenida:

40. Derivados privados y función diferencial completa de varias variables.

Deje que se le dé la función z \u003d ƒ (x; y). Dado que X e Y son variables independientes, entonces uno de ellos puede cambiar, y el otro para ahorrar su valor. Damos una variable independiente X incremento Δх, manteniendo el valor en sin cambios. Luego, Z recibirá un incremento, que se denomina incremento privado de Z a lo largo y se denota por Δ x Z. Entonces,

Δ x z \u003d ƒ (x + Δh; y) -ƒ (x; y).

Del mismo modo, obtenemos un incremento privado a z por:

Δ en z \u003d ƒ (x; y + δu) -ƒ (x; y).

La función de incremento completo Δz z está determinada por la igualdad

ΔZ \u003d ƒ (x + ΔH; y + ΔU) - ƒ (x; y).

Si hay un límite

se llama el derivado privado de la función z \u003d ƒ (x; y) en el punto m (x; y) en la variable x y se indica por uno de los caracteres:

Los derivados privados en X en el punto m 0 (x 0; y 0) generalmente se denotan por símbolos

El derivado individual de z \u003d ƒ (x; y) en la variable y es la misma y denota.

Por lo tanto, el derivado particular de la función de varias variables (dos, tres y más) se define como un derivado de una de estas variables, siempre que los valores de las variables independientes restantes sean constantes. Por lo tanto, los derivados privados de las funciones ƒ (x; y) se encuentran de acuerdo con las fórmulas y las reglas para calcular los derivados de las funciones de una variable (al mismo tiempo, respectivamente, x o y se considera un valor permanente).

Ejemplo 44.1. Encuentra derivados privados z \u003d 2u + e x2-y +1. Decisión:

Significado geométrico de derivados privados de dos variables.

La gráfica de la función z \u003d ƒ (x; y) es algo de superficie (vea la cláusula 12.1). La gráfica de la función z \u003d ƒ (x; y 0) es la línea de intersección de esta superficie con el plano y \u003d y acerca de. Basado en el significado geométrico de la derivada para la función de una variable (consulte la cláusula 20.2), concluimos que ƒ "x (xo; yo) \u003d tg a, donde A es un ángulo entre el eje de oh y la tangente, llevada A la z \u003d ƒ curva (x; y 0) en el punto de MO (ho; uo; ƒ (ho; uh)) (ver Fig. 208).

De manera similar, F "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.

La función z \u003d f (x, y) se llama diferenciable en el punto P (x, y) si su incremento total Δz puede representarse como Δz \u003d a ∙ Δx + b ∙ Δy + Ω (Δx, ΔY), donde Δx y ΔY: cualquier incremento de los argumentos correspondientes X e Y en algún vecindario del punto P, A y B: constante (independiente de Δx, ΔY),

Ω (Δx, ΔY) es infinitamente pequeño más alto que la distancia:

Si la función es diferenciable en el punto, entonces su incremento completo en este punto consta de dos partes:

1. La parte principal del incremento de la función A ∙ Δx + B ∙ ΔY es lineal en relación con Δx, ΔY

2. Y no lineal Ω (Δx, ΔY) es un orden superior infinitamente pequeño que la parte principal del incremento.

La parte principal de la función de incremento es lineal en relación con Δx, ΔY se llama el diferencial completo de esta función y se indica: ΔZ \u003d A ∙ Δx + B ∙ ΔY, ΔX \u003d DX y ΔY \u003d D o función diferencial completa de dos variables:

Pantalla diferencial. Diferencial y derivado de la función numérica de una variable. Derivados de la tabla. Diferencia. ) - la función del argumento, que es infinitamente pequeño a → 0, es decir,

Ahora descubrimos la relación entre la diferencia en el punto y la existencia de la derivada en el mismo punto.

Teorema. Para funcionar f.(x.) fue diferenciado en este punto h. , es necesario y suficiente para que tenga un derivado finito en este punto.

Derivados de la tabla.