Где применяется оператор лапласа. Уравнение лапласа. Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление gradtx для скалярного поля а и rot а для векторного поля а = а(ж, у, г). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора V («набла»): Оператор V (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и вектор- ными свойствами. Формальное умножение, например, умножение ^ на функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование: В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором V будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы: 1. Если - скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим где P, Q, R - дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты 3. Вычисляя векторное произведение , получим Для постоянной функции и = с получим а для постоянного вектора с будем иметь Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем Замечание 1. Формулы (5) и (6) можно трактовать тамке как проявление дифференциальных свойств оператора «набла» (V - линейный дифференциальный оператор). Условились считал., что оператор V действует на все величины, написанные за ним. В этом смысле, например, - скалярный дифференциальный оператор. Применяя оператор V к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения. Пример 1. Доказать, что По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем или Чтобы отметить тот факт, что «набл а» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается. Пример 2. Пусть u(xty,z) - скалярная дифференцируемая функция, а(х,у,г) - векторная дифференцируемая функция. Доказать, что 4 Перепишем левую часть (8) в символическом виде Учитывая дифференциальный характер оператора V, получаем. Так как ие - постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что а (на последнем шаге мы опустили индекс е). В выражении (V, иас) оператор V действует только на скалярную функцию и, поэтому В итоге получаем Замечай ие 2. Используя формализм действа с оператором V как с вектором, надо помнить, что V не является обычным вектором - он не им«ет ни длины, ни направления, так что. например, вектор }