Nie je to základná konverzia matrice. Základných matríc. Minor. Algebraické pridávanie. LAPLAS THEOREM

Základnýriadkovými transformáciami Matrice sa nazývajú transformáciou nasledujúcich typov:

1) Nižšie znásobuje každý prvok určitého riadku za a rovnaké nenulé číslo. Zostávajúce čiary zostávajú nezmenené (krátko: znásobením reťazca podľa čísla).

2) Nastavenie každého prvku určitého riadku zodpovedajúcich prvkov iného riadku vynásobené rovnakým číslom. Zostávajúce riadky (vrátane pridaných) zostávajú nezmenené (krátko: pridanie do riadku iného vynásobenia čísla).

3) Zmena miest niektorých dvoch línií matrice. Zostávajúce čiary zostávajú nezmenené.

Tieto transformácie sa nazývajú transformácie prvého , druhý a tretypt (roda ). Dostaneme ich zložitejšie konverzie.

Podobne transformácie elementárnych stĺpcov Matrix.

Teorem

Transformácia tretieho typu je nejaká kombinácia transformácií prvého a druhého typu.

Transformácia tretieho typu sa teda môže pripísať zložitejším ako elementárnym. Ale stále sa považuje za považované za základné pre pohodlie.

Teorem

Akákoľvek matica konverzie elementárnych riadkov možno priniesť na rýchlosť. Ak matrica aplikuje elementárne riadky a transformácie stĺpcov, potom môže byť priniesol do trapézie.

napríklad,

Á (1) Zmenené umiestni prvé a druhé riadky (transformácia tretej typy).

(2) Prvý reťazec vynásobený 2 bol pridaný do druhého a detegovaného z tretieho, vynásobený 3, pridaný do štvrtého (druhá transformácia typu).

(3) Druhý reťazec bol odpočítaný od tretieho a druhého riadku, vynásobený 14/11 zisteným zo štvrtého.

(4) Zmenili sa na niektorých miestach tretie a štvrté línie.

Takto transformovala zdrojovú matricu

v stupňoch

Teraz, zmenou druhého a tretieho stĺpca, a potom ho zmeníme so štvrtým stĺpcom, presunieme druhý stĺpec na štvrté, tretie a štvrté stĺpce budú v mieste druhého a tretieho stĺpca:

takto transformovali pôvodnú matricu v lichobežníkovi.

Cvičenia

Viesť matricu na stupňovité a lichobežné druhy:

MATRIX ALGEBRA - elementárne konverzné matrice

Základné transformácie matríc

Elementary Conversion Matrix Zameranie sa široko používajú v rôznych matematických úlohách. Napríklad predstavujú základ známej metód Gauss (metóda vylúčenia neznámej) na riešenie systému lineárnych rovníc.

Elementné transformácie zahŕňajú:
1) Usporiadať dva riadky (stĺpce);
2) Násobenie všetkých prvkov reťazca (stĺpca) matrice pre niektoré číslo, nie rovné nule;
3) Pridanie dvoch riadkov (stĺpcov) matrice vynásobenej rovnakým číslom ako nula.

Nazývajú sa dve matrice ekvivalentAk jeden z nich môže byť získaný od druhého po konečnom počte elementárnych transformácií. Všeobecne platí, že ekvivalentné matry nie sú rovnaké, ale majú rovnakú hodnosť.

Výpočet determinantov pomocou elementárnych transformácií

S pomocou elementárnych transformácií sa dá ľahko vypočítať determinant matrice. Napríklad je potrebné vypočítať determinant matrice:

kde ≠ 0.
Potom môžete urobiť multiplikátor:

teraz odpočítaný od prvkov j.Prvky členov kolóny stĺpca prvého stĺpca vynásobeného, \u200b\u200bzískavame determinant:

ktorý je rovnaký: kde

Potom opakujte rovnaké kroky pre a, ak všetky položky potom sa konečne dostanete:

Ak pre určitý stredný determinant ukazuje, že jeho ľavý horný prvok, potom je potrebné usporiadať reťazec alebo stĺpce, takže nový ľavý horný prvok nie je nula. Ak δ ≠ 0, potom sa dá vždy vykonať. Treba mať na pamäti, že označenie identifikátora sa mení v závislosti od toho, ktorý prvok je hlavným (to znamená, keď je matica konvertovaná tak, že). Potom je znak zodpovedajúceho determiny rovný.

Priblížiť sa Použitie elementárnych transformácií, aby sa matrica

Elementary Conversion Matrix - Toto sú také konverzie matrice, v dôsledku čoho pretrváva ekvivalencia matríc. Elementary transformácie teda nemenia nastavené roztoky systému lineárnych algebraických rovníc, ktoré táto matrica predstavuje.

Základné transformácie sa používajú v metód GAUSS, aby sa matrica priviedli k trojuholníkovú alebo stupňovitú formu.

Definícia

Transformácie elementárnych riadkov Volal:

V niektorých kurzoch lineárnej algebry sa matricové reťazce nevypustná do samostatnej elementárnej konverzie v dôsledku toho, že permutácia všetkých dvoch línií matrice sa môže získať s použitím násobenia akéhokoľvek reťazca matrice na konštantu a Prídavok iného riadku vynásobený konštantným pre ľubovoľný reťazec matrice.

Podobne transformácie elementárnych stĺpcov.

Základné transformácie reverzibilný.

Označenie označuje, že matrica je možné získať zo základných transformácií (alebo naopak).

Vlastnosť

Invasie Rank pre základné transformácie

Ekvivalencia Slavy pre elementárne transformácie

Poďme volať základné transformácie v systéme lineárnych algebraických rovníc :

permutácia rovníc;
vynásobením rovnice na nenulovú konštantu;
pridanie jednej rovnice s iným vynásobeným nejakým konštantom.

Tí. Elementné transformácie nad jeho rozšírenou matricou. Potom je toto vyhlásenie pravdivé: Pripomeňme, že dva systémy sa nazývajú ekvivalentné, ak sa súbory ich riešení zhodujú.

Nájdenie inverzných matríc

Veta (o nájdení inverznej matrice).
Nech je determinant matrice rovný nule, nech sa matrica stanoví výrazom. Potom, s elementárnou transformáciou radov matricu na jednu matricu, konverzie na jednu matricu sa konvertuje na jednu matricu.

Rezanie matríc na krok

Predstavujeme koncepciu stupňovitých matíc: matica má rýchlosť Ak: Potom je správne vyhlásenie:

Súvisiace definície

Základná matrica. Matrica A je elementárny, ak násobenie ľubovoľnej matrice v nej vedie k transformácii elementárneho reťazca v matrici V.

Literatúra

ILYIN V. A., POZNYAK E. G. Lineárna algebra: Učebnica pre univerzity. - 6. ed., Ched. - m.: fizmatlit, 2004. - 280 s.

Nadácia Wikimedia. 2010.

Sledujte, čo je "elementárne matricové transformácie" v iných slovníkoch:

Úvod E. H. V presnom význame tohto pojmu primárne, ďalšie nepriechodné chi, od do Ryy, predpokladom, celá záležitosť je. V SOVR. Fyzika termín "E. h. " Zvyčajne sa nepoužíva v jeho presnej hodnote, ale menej striktne pre meno ... ... Fyzická encyklopédia

Úvod E. H. V presnom význame tohto termínu primárne, ďalšie nesledujúce častice, z ktorých na predpoklade, pozostáva zo všetkých záležitostí. V koncepcii "E. h. " V modernej fyzike, myšlienka prvotných entít, ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Tento termín má iné významy, pozri matricu. Matrix je matematický objekt zaznamenaný vo forme obdĺžnikového stola prvok prstenca alebo poľa (napríklad celé číslo, platné alebo komplexné čísla), čo predstavuje ... ... Wikipedia

Matrix je matematický objekt zaznamenaný vo forme pravouhlého tabuľky čísel (alebo prstencových prvkov) a umožňuje algebraické operácie (pridanie, odčítanie, násobenie, atď.) Medzi IT a inými podobnými objektmi. Pravidlá implementácie ... ... Wikipédia

Základné transformácie zavolajú nasledujúce kroky nad čiarami a stĺpcami matici A:

1) permutácia miestami dvoch radov alebo stĺpcov matrice;

2) násobenie reťazca alebo stĺpce matici číslom iné ako nula;

3) nastavte jeden riadok (stĺpec) iného riadku (stĺpec).

Teorem.Elementary Transformations nemenia hodnosť matrice, to znamená, že ak sa matrica B získala z matrice A podľa elementárnych transformácií, potom.

Dôkazov.jeden). Keď sa miesta dvoch stĺpcov matrice, maximálny počet lineárnych nezávislých stĺpcov sa nezmení, čo znamená, že jeho pozícia sa nemení.

2). Nech je matica povolená z matice riadku na číslo podľa počtu α0 a (a) \u003d k. Je zrejmé, že každá menšia matrica, ktorá nie je obsiahnutá čiarou, je rovná zodpovedajúcej menšej matrici a akékoľvek menšie matrice obsahujúce reťazec sa rovná zodpovedajúcemu menšiemu materskej matrici na číslo. V dôsledku toho sa menšie rozptyl objednávky, zodpovedajúce základnému menšiemu z matrice, bude odlišné od nuly a všetky neplnoleté osoby Orienk + 1 matrice, rovnako ako všetci neplnoletí poradia + 1 matríc, budú nulové. A to znamená, že (b) \u003d k \u003d r (a).

3). Nech je matica získaná z matice línií radu kJ-th linky a (a) \u003d k. Minors Colustrek + 1 Matrixy, ktoré neobsahujú reťazec, sa rovná zodpovedajúcim batníckym matrici, a preto sú nulové. Minilné objednávky + 1 Matrice obsahujúce ANDJ-THULT LINESS sa rovná súčtu dvoch nulových determinantov. Jeden z týchto determinantov obsahuje dve identické reťazce (prvky riadku sú umiestnené na riadku) a druhý determinant je menší, aby sa merné orientácie na to, TOK + 1 teda rovné nule. Minilné objednávky + 1 Matrice obsahujúce riadok, ale neobsahujúci riadok, sa budú rovnať súčtu dvoch matíc baníkov + 1, preto budú tiež nula. V dôsledku toho všetky Minors Colustrek + 1 MatricsBravNA 0 IR (B) K \u003d R (A).

Nech sa matrica spotrebuje z matice z výroby čiar na (-1). Potom je matrica práškovaná z matice riadkov radu kJ-th rady a vynásobením čiary na (-1). Preto, ako sa ukázalo ako vyššie, bude (a) r (c) \u003d r (b). Zároveň sú súčasne nerovnosti nerovnosť (b) r (A) a (a) r (b), z ktorého nasleduje, že (a) \u003d R (b).

Táto vlastnosť elementárnych transformácií sa používa v praxi na výpočet triedy matrice. Na to, s pomocou elementárnych transformácií, týchto (non-nula) matrice A na trapézový formulár, to znamená

B \u003d. ,

kde prvky pre všetky I \u003d 1,2, ..., K; Elementy všetky i\u003e j a

i\u003e k. Samozrejme, R (B) \u003d K, to znamená, že hodnosť matrice je odobratá počtom nenulových línií. To vyplýva zo skutočnosti, že menšie objednanie K matrice, ktoré sa nachádza na križovatke prvého k radu a stĺpca, je determinantom diagonálneho typu a je rovnaký; A akékoľvek maloleté s objednávkou K + 1 Matica B obsahuje nulovaciu čiaru, a preto sa rovná 0 (alebo, ak k \u003d N, nie sú vôbec žiadne baníkov).

Teorem.Akákoľvek nenulová matrixa-SAMPLERM môže viesť k lichobežníkovej forme s pomocou elementárnych transformácií.

Dôkazov.Tak ako 0, potom je tu prvok matrice
. Preskupenie na miestach prvé andy riadky, prvé ajth stĺpce, presunúť prvok v ľavom hornom rohu matrice a označuje
. Potom radom výslednej matrice (i \u003d 2.3, ..., m) pridajte prvý reťazec vynásobený číslom . V dôsledku týchto elementárnych transformácií dostaneme matricu

A.
.

Ak všetky položky
matrice sú nula, teorem je dokázaná. Ak existuje prvok
, potom preskupenie druhého a čiary, druhý Andj-z týchto stĺpcov matrici, presunúť prvok namiesto prvku a označujú
(Ak
potom okamžite označuje
). Potom ki-th rad výslednej matrice (I \u003d 3, ..., m) pridať druhý reťazec vynásobený číslom . V dôsledku toho dostaneme matricu

Pokračovaním v tomto procese, ako konečný počet krokov získame maticu B, to znamená, že matici dávame matricu trapézovej formy.

Príklad.Vypočítajte hodnosť matrice



. Šípky označujú nasledujúce elementárne transformácie: 1) preskupené prvé a druhé línie na miestach; 2) pridané do štvrtej línie tretej; 3) Pridané do tretieho riadku prvé, vynásobené -2 a štvrtý reťazec bol rozdelený na 3; 4) Zdieľanie tretieho riadku pre 5 a na niektorých miestach preskupel tretí a štvrtý reťazec; 5) Na tretí riadok vynásobený -3, pridal druhý riadok a pridal tretí riadok na štvrtý riadok. Je možné vidieť, že matrica získaná z matrice a špecifikovaných elementárnych transformácií má trapézový tvar s tromi nenulovými strunami. V dôsledku toho R (A) \u003d 3.