Spektrálna hustota výkonu. A) biely šum

Najdôležitejšou vlastnosťou stacionárnych náhodných procesov je spektrálna hustota výkonu opisujúca distribúciu hluku cez frekvenčné spektrum. Zvážte stacionárny náhodný spôsob, ktorý môže byť reprezentovaný náhodnou sekvenciou napätia alebo prúdových impulzov, po sebe v náhodných časových intervaloch. Spôsob s náhodnou sekvenciou impulzov je neperiodický. Môžeme však hovoriť o spektre takéhoto procesu, porozumenie v tomto prípade, distribúcia moci vo frekvenciách.

Na opis hluku sa zavádza koncepcia hlukovej spektrálnej hustoty (SPM), nazývaná aj spektrálna hustota (spoločný podnik) šumu, ktorý je určený pomerom:

kde  P. \\ t(f.) - Priemerovaný šumový výkon vo frekvenčnom pásme f.pri meracej frekvencii f..

Ako vyplýva z pomeru (2.10), spoločný podnik má rozmer w / Hz. Vo všeobecnom prípade SP je frekvenčná funkcia. Závislosť šumu SPE z frekvencie energetické spektrumktorý nesie informácie o dynamických vlastnostiach systému.

Ak je náhodným procesom ergodický, potom sa energetické spektrum takéhoto procesu možno nájsť na jeho jedinej implementácii, ktorá je široko používaná v praxi.

Pri posudzovaní spektrálnych charakteristík stacionárneho náhodného procesu je často potrebné použiť koncepciu šírky šumového spektra. Oblasť pod krivkou energetického spektra náhodného procesu pokrytá hlukom pri určitej charakteristickej frekvencii f. 0, zavolal efektívna šírka spektraktorý je určený vzorcom:

(2.11)

Táto veľkosť je možné interpretovať ako šírku jednotného energetického spektra náhodného procesu v páse
ekvivalentom posudzovaného priemeru.

Hlukový výkon P. \\ tuzavreté vo frekvenčnom pásme f. 1 …f. 2, rovno

(2.12)

Ak je SP COF vo frekvenčnom pásme f. 1 ...f. 2 konštantné a rovnaké S. 0, potom pre hlukový výkon v tomto frekvenčnom pásme máme:
kde " f.=f. 2 -f. 1 - frekvenčný pás, ktorý prešiel obvodom alebo meracím prístrojom.

Dôležitým prípadom stacionárneho náhodného procesu je biely šum, pre ktorý spektrálna hustota nezávisí od frekvencie v širokom frekvenčnom rozsahu (teoreticky - v rozsahu nekonečného frekvencie). Energetické spektrum bieleho šumu vo frekvenčnom rozsahu -∞< f. < + ∞ je daný výrazom:

= 2S. 0 \u003d CONST, (2.13)

Model bieleho šumu opisuje náhodný proces bez pamäte (bez amerického). Biely šum v systémoch s veľkým počtom jednoduchých homogénnych prvkov a vyznačuje sa distribúciou amplitúdy výkyvov podľa normálneho zákona. Vlastnosti bieleho hluku sú určené štatistík nezávislých jednotlivých podujatí (napríklad tepelný pohyb nosičov nabíjania v vodiči alebo polovodičovi). V rovnakej dobe, skutočný biely šum s nekonečným frekvenčným pásmom neexistuje, pretože má nekonečný výkon.

Na obr. 2.3. Typický oscilogram bieleho šumu je uvedený (závislosť okamžitých hodnôt napätia z času) (Obr. 2,3a) a funkciu pravdepodobnostného distribúcie hodnoty okamžitých hodnôt napätia e.ktorá je normálna distribúcia (obr. 2,3b). Skadovaná oblasť pod krivkou zodpovedá pravdepodobnosti vzhľadu okamžitých hodnôt napätia e.Prekročenie hodnoty e. 1 .

Obr. 2.3. Typický oscilogram bieleho šumu (A) a funkciu distribúcie pravdepodobnostnej hustoty okamžitých hodnôt amplitúdy šumového napätia (B).

V praxi, keď sa odhaduje rozsah hluku akéhokoľvek prvku alebo p / n, prístroj sa zvyčajne meria priemerným stredným šumovým napätím v jednotkách v 2 alebo štandardných jednotkách TOKV A 2. Zároveň je spoločný podnik vyjadrený v jednotkách v 2 / Hz alebo 2 / Hz a spektrálnej hustote kolísania napätia S. u. (f.) alebo prúd S. I. (f.) Vypočítať podľa nasledujúcich vzorcov:

(2.14)

kde
a - časovo spriemerované šumové napätie a prúd vo frekvenčnom pásme f.resp. Trait zhora znamená priemerom v priemere.

V praktických problémoch, keď sa uvažuje o kolísaní rôznych fyzikálnych množstiev, sa zavádza koncepcia všeobecnej spektrálnej hustoty výkyvov. Zároveň spoločné podniky výkyvov, napríklad pre odolnosť R.je vyjadrená v jednotkách OM2 / Hz; Fluktuácie magnetickej indukcie sa merajú v jednotkách TL2 / Hz a frekvenčné výkyvy autogenerátora - v jednotkách Hz2 / Hz \u003d Hz.

Pri porovnávaní hladín hluku v lineárnych dvoch hektároch rovnakého typu je vhodné použiť relatívnu spektrálnu hustotu šumu, ktorá je definovaná ako

=
, (2.15)

kde u.- padajúce konštantné napätie na lineárnom dvojpole.

Ako je možné vidieť z výrazu (2.15), relatívna spektrálna hustota hluku S.(f.) Je vyjadrená v jednotkách Hz -1.

Nasledujúci opis niektorých signálov a ich spektrálnych hustotách sa určujú. Pri určovaní spektrálnych hustôt signálov, ktoré spĺňajú stav absolútnej integrovateľnosti, používame priamo podľa vzorca (4.41).

Spektrálna hustota počtu signálov je uvedená v tabuľke. 4.2.

1) Obdĺžnikový impulz (tabuľka 4.2, POS 4). Oscilácia znázornená na obr. (4.28, A), môže byť napísané ako

Jeho spektrálna hustota

Graf spektrálnej hustoty (Obr. 4.28, A) je postavený na základe predtým analyzujúceho spektra periodickej sekvencie unipolárnych, obdĺžnikových impulzov (4.14). Ako je možné vidieť z (Obr. 4.28, B), funkcia oslovuje nulu pri hodnotách argumentu \u003d n.kde strhnúť - 1, 2, 3, ... - akékoľvek celé číslo. V tomto prípade sú uhlové frekvencie rovné \u003d.

Obr. 4.28. Odtlačok obdĺžnikového tvaru (A) a jeho spektrálna hustota (b)

Spektrálna hustota impulzu je numericky rovná svojej oblasti, t.j. G.(0)=A.. Táto pozícia je platná pre pulz s.(t.) ľubovoľný tvar. V skutočnosti, veriť v celkovom vyjadrení (4.41) \u003d 0, dostaneme

i.E. PULSE SQUARE s.(t.).

Tabuľka 4.3.

	Signál s.(t.)			Spektrálna hustota

Keď je impulz naťahovanie vzdialenosť medzi nulami, funguje, t.j. spektrum sa vyskytuje. Hodnota v rovnakom čase sa zvyšuje. Naopak, keď je impulz komprimovaný, jeho spektrum sa expanduje a hodnota sa znižuje. Na (Obr. 4.29, A, B) ukazuje grafy amplitúdy a fázových korekcií obdĺžnikového impulzu.

Obr. 4.29. Grafy Amplitúda (A) Obr. 4.30. Pulz obdĺžnikového tvaru a fázy (B) spektrá sa posunuli v čase

Keď sa pulzný posun doprava (oneskorenie) na chvíľu (obr. 4.30), fázové spektrum sa mení podľa hodnoty určenou argumentom multiplicexp () (tabuľka 4.2, POS. 9). Výsledné fázové spektrum oneskoreného impulzu je znázornené na obr. 4.29, B bodkovaná čiara.

2) Funkcia Delta (tabuľka 4.3, POS. 9). Spektrálna hustota - Funkcie Formula (4.41), pomocou vlastnosti filtrovania δ -Funkcia:

Preto je amplitúdové spektrum jednotné a je určená oblasť δ -Funkcia [\u003d 1] a fázové spektrum je nula [\u003d 0].

Reverzná fáza transformácia z funkcie \u003d 1 použitie ako jedna z definícií δ -Funkcia:

Použitie majetku dočasného posunu (tabuľka 4.2, pos. 9), určte spektrálnu hustotu funkcie , oneskorenie času relatívne :

Spektrá amplitúdy a fázy funkcie sú uvedené v tabuľke. 4.3, POS. 10. Reverzná Fourierová transformácia z funkcie má formulár

3) Harmonická oscilácia (Tabuľka 4.3, POS 12). Harmonická oscilácia nie je absolútne integrovateľný signál. Avšak na určenie jeho spektrálnej hustoty, priama transformácia Fourier, zaznamenávací vzorca (4.41) vo forme:

Potom berúc do úvahy (4.47)

δ(ω) - Funkcie Delta, posunuté pozdĺž frekvenčných pásiem, resp. Vpravo a vľavo. Ako je možné vidieť z (4.48), spektrálna hustota harmonických oscilácií s konečnou amplitúdenou trvá nekonečne dôležité pre diskrétnu frekvenciu.

Vykonávanie podobných transformácií môžete získať spektrálnu hustotu oscilácie (Tabuľka 4.3, POS 13)

4) Typ typu (Tabuľka 4.3, POS 11)

Spektrálna hustota signálu vo forme konštantnej úrovne ALE Stanovené vzorcom (4.48), uvedenie \u003d 0:

5) Jedna funkcia (alebo skok na jednotky) (tabuľka 4.3, POS. 8). Funkcia nie je absolútne integrovaná. Ak sa odošlete ako exponenciálny impulzný limit , t.j.

spektrálna hustota funkcie sa môže stanoviť ako limit spektrálnej hustoty exponenciálneho impulzu (tabuľka 4.3, POS 1) na: \\ t

Presný termín v pravej časti tohto výrazu je nula pri všetkých frekvenciách, okrem \u003d 0, kde sa vzťahuje na nekonečno a oblasť pod funkciou sa rovná konštantnej hodnote

Preto môže byť limit prvého obdobia považovať za funkciu. Limitom druhého hľadiska je funkcia. Konečne

Prítomnosť dvoch termínov v expresii (4.51) je v súlade s prezentáciou funkcie 1/2 + 1 / 2Sign ( t.). Trvalá zložka 1/2 podľa (4.50) zodpovedá spektrálnej hustote a nepárnej funkcii. - Imaginárna hodnota spektrálnej hustoty.

Pri analýze účinku jediného skoku na reťaz sa funkcia prenosu, ktorej na \u003d 0 sa rovná nule (tj na reťaze, ktoré neprechádzajú konštantným prúdom), vo vzorci (4.51), môžete zvážiť iba druhý termín, ktorý predstavuje spektrálnu hustotu jedného skoku vo forme

6) Komplexný exponenciálny signál (tabuľka 4.3, POS 16). Ak odosielate funkciu

Že na základe linearity firskej transformácie a s prihliadnutím na výrazy (4.48) a (4.49) spektrálna hustota komplexného exponenciálneho signálu

Z toho vyplýva, že komplexný signál má asymetrické spektrum reprezentované jednou deltou funkciou posunutá na frekvenčnú polohu relatívne.

7) Arbilná periodická funkcia. Predstavte si ľubovoľnú periodickú funkciu (Obr. 4.31, A) komplex vedľa firmy

kde - frekvencia impulzov.

Koeficienty Fourier Series

vyjadrené prostredníctvom hodnôt spektrálnej hustoty jedného impulzu s.(t.) pri frekvenciách ( n.=0, ± 1, ± 2, ...). Nahradenie (4.55) v (4.54) a pomocou pomeru (4.53), určiť spektrálnu hustotu periodickej funkcie:

Podľa (4.56) má spektrálna hustota ľubovoľnej periodickej funkcie forma sekvenčnej funkcie, ktorá sa navzájom posunuli, na frekvencii (obr. 4.31, B). Koeficienty δ -Funkcia sa líši v súlade s impulzom nárazu spektrálnej hustoty s.(t.) (bodkovaná krivka na obr. 4.31, B).

8) Periodická sekvencia δ funkcií (tabuľka 4.3, POS 17). Spektrálna hustota periodickej sekvencie

stanovené vzorcom (4.56) ako špeciálny prípad spektrálnej hustoty periodickej funkcie, keď = 1:

Obr .4.31. Ľubovoľná impulzná sekvencia (A) a jeho spektrálna hustota (b)

Obr. 4.32. Rádiový signál (A), rádiová spektrálna hustota (B) a jeho obálka (B)

a má pohľad na periodickú sekvenciu δ - Funkcie vynásobené koeficientom.

9) Rádiový signál s obdĺžnikovým obálkou. Rádiový signál prezentovaný (obr. 4.32, A) môže byť napísaný ako

Podľa POS. 11 Tabuľka 4.2 Spektrálna hustota rádiového signálu sa získa posunutím spektrálnej hustoty-permanentnej obálky na frekvenčnej osi na pravej strane a vľavo so znížením ordinácie, dvakrát, t.j.

Tento výraz sa získa z (4.42) nahradením frekvencie pri posunu frekvencie doprava a posuňte doľava. Transformácia spektra obálky na (Obr. 4.32, B, C).

Príklady výpočtu spektra neperiodických signálov sú tiež uvedené.

Meranie náhodného procesu, súpravu (súbor) časových funkcií, je potrebné mať na pamäti, že funkcie, ktoré majú iný tvar, zodpovedajú rôznym spektrálnym charakteristikám. Priemerovanie komplexnej spektrálnej hustoty zavedenej v § 2.6 alebo 2.1 vo všetkých funkciách vedie k nulovému spektru procesu (keď) v dôsledku nehody a nezávislosti fáz spektrálnych zložiek v rôznych implementáciách.

Je však možné predstaviť koncepciu spektrálnej hustoty stredného štvorca náhodnej funkcie, pretože hodnota stredného námestia nezávisí od pomeru fáz sumarovaných harmonických. Ak je určené elektrické napätie alebo prúd pod náhodnou funkciou, potom sa priemerné štvorec tejto funkcie môže považovať za priemerný výkon uvoľnený v rezistencii na 1 ohms. Táto sila je distribuovaná z hľadiska frekvencií v niektorých pásoch v závislosti od mechanizmu tvorby náhodného procesu. Spektrálna hustota priemerného výkonu je priemerná sila na 1 Hz pri danej frekvencii. Rozmer funkcie, ktorá je pomerom energie na prúžku ASTOT, je

Spektrálna hustota náhodného procesu možno nájsť, ak je známy mechanizmus na vytvorenie náhodného procesu. Pokiaľ ide o hluk spojený s atómovou štruktúrou hmoty a elektriny, táto úloha sa bude zvážiť v § 7.3. Tu sme obmedzení na niekoľko všeobecných definícií.

Po vylúčení akejkoľvek realizácie z súboru a obmedzenie jej trvania do konečného intervalu t, môžete použiť obvyklú fourierovú transformáciu na ňu a nájsť spektrálnu hustotu (CO). Potom môže byť energia posudzovaného segmentu vypočítaná použitím vzorca (2.66):

Rozdelenie tejto energie na získanie priemerného výkonu K-Th implementácie na segment t

S nárastom t, zvýšenie energie, ale postoj sa snaží o určitú hranicu. Spáchal limit

je to spektrálna hustota priemernej sily implementácie.

Všeobecne platí, že hodnota musí byť spriemerovaná v rôznych implementáciách. V tomto prípade sa v tomto prípade zvážením stacionárneho a ergodického procesu, možno predpokladať, že funkcia zistená priemere na jednej realizácii charakterizuje celý proces ako celok.

Vynechanie indexu K, získame konečný výraz pre priemerný výkon náhodného procesu

Ak by mal byť spektrálna hustota predložená náhodným procesom s nenulou priemernou hodnotou

Prednáška 7.

Náhodné procesné spektrárne

Meranie náhodného procesu množiny (súbor) implementácií, je potrebné mať na pamäti, že implementácie s rôznymi tvarmi zodpovedajú rôznym spektrálnym charakteristikám. Priemerovanie komplexnej spektrálnej hustoty vo všetkých implementáciách vedie k nulovému spektru procesu (s priemerom \u003d 0) v dôsledku nehody a nezávislosti fáz spektrálnych zložiek v rôznych implementáciách. Je však možné zaviesť koncept spektrálnej hustoty stredného štvorca náhodnej premennej, pretože veľkosť stredného námestia nezávisí od pomeru fáz sumarovaných harmonických. Ak pod náhodnou funkciou X (t) znamená elektrické napätie alebo prúd, potom priemerné štvorec tejto funkcie možno považovať za priemerný výkon oddelený v rezistencii 1 Ohm. Táto sila je distribuovaná z hľadiska frekvencií v niektorých pásoch v závislosti od mechanizmu tvorby náhodného procesu. Spektrálna hustota priemerného výkonu je priemerná sila za 1 Hz pri danej frekvencii ω . Takto zavedená spektrálna hustota S.(ω) V budúcnosti zavoláme energetické spektrum funkcie x.(t.) . Význam takéhoto názvu je určený rozmerom funkcie S.(ω) ktorý je pomer energie na frekvenčnom pásme:

[S.(ω) ] \u003d [Hodnota napájania / frekvencie] \u003d [výkon × čas] \u003d [energia],

Energetické spektrum možno nájsť, ak je známy mechanizmus tvorby náhodného procesu. Tu sme obmedzení na niektoré definície všeobecnej povahy.

Metódy výpočtu SPM.

Funkcie spektrálnej hustoty môžu byť určené tromi rôznymi ekvivalentnými metódami, ktoré považujeme za nižšie:

S funkciami kovariancie;

S použitím Fourierovej konečnej transformácie;

S filtráciou, konštrukciou a priemerovaním.

Definícia spektra pomocou korelačných funkcií.

Historicky prvý spôsob, ako určiť spektrálnu hustotu sa objavila v matematike. Skladá sa pri prijímaní firskej transformácie z predpočítanej korelačnej funkcie. Po odpočítaní stredných hodnôt, takýchto (nekonečných) Fourierových transformácií zvyčajne existujú, aj keď (nekonečná) transformácia Fourier of zdrojového procesu neexistuje. Tento prístup poskytuje obojstrannú spektrálnu hustotu definovanú pre frekvenciu f. od - do + a označované S.(f.) .

Nech sú korelácie a vzájomné korelačné funkcie R x.(t.), R y.(t.) a R xy.(t.) . Predpokladajme tiež, že integrály z ich absolútnych hodnôt sú konečné

R.( d.

V praxi sa tieto podmienky vždy vykonávajú na realizáciu konečnej dĺžky. Potom funkcie PF R.(t.) existujú a sú určené vzorcami

S x (f) \u003d

S y (f) \u003d (1)

S xy (f) \u003d

Takéto integrály na konečných implementáciách vždy existujú. Funkcie S X.(f.) a S y.(f.) Zavolajte funkcie spektrálnej hustoty procesov x.(t.) a y.(t.) alebo jednoducho spektrálnych hustotách a funkcie Zavolajte vzájomnú spektrálnu hustotu dvoch procesov x.(t.) a y.(t.) .

Inverzný pf z vzorcov (1) dáva

R x.(τ ) =

R y.(τ ) = (2)

R xy.(τ ) = dF..

Vzťahy (1) a (2) sa nazývajú vzorce Wiener Hinchin, ktoré v roku 1930 nezávisle stanovili vzťah medzi korelačnými funkciami a spektrálnou hustotou PF. Pri riešení praktických úloh, ktoré musíte priznať R.(t.) a S.(f.) Prítomnosť funkcií delta.

Z vlastností symetrie stacionárnej kovariančnej funkcie nasleduje

S x (-f) \u003d S x (F) A. S xy (-f) \u003d s yx (f)

V dôsledku toho spektrálna hustota S X.(f.) - platná dokonca funkcia, a S xy.(f.) - komplexná funkcia f..

Potom môžu byť spektrálne vzťahy od (1) prevedené na myseľ

Medzinárodná vzdelávacia korporácia

Fakulta Applied Sciences

abstraktný

na tému"Spektrum hustoty výkonu a jeho spojenie s korelačnou funkciou"

O disciplíne"Teória elektrickej komunikácie »

Vykonané:Študent skupiny

FPN-RAIT (S) -4C *

JUMAGELDIN D.

Skontrolované:GLUKHOVA N.V.

Almaty, 2015.

§

Іі hlavná časť

1. Výkonová spektrálna hustota

1.1 Náhodné premenné

1.2 Hustota pravdepodobnosti funkcie z náhodnej premennej

2. Náhodný proces

3. Spôsob stanovenia hustoty spektrálnej výkonu podľa korelačnej funkcie

III Záver

Іv zoznam použitých literatúry

Úvod

Pravdepodobnosť teória považuje náhodné premenné a ich vlastnosti v "Static". Úlohy popisu a štúdie náhodných signálov "v dynamike" ako zobrazenie náhodných javov, ktoré sa vyvíjajú v čase alebo na inej premennej rieši teóriu náhodných procesov.

Ako univerzálna súradnica pre distribúciu náhodných premenných na nezávislej premennej budeme spravidla používať, ako pravidlo, premenná "t" a interpretovať ju, čistý pre pohodlie, ako dočasná súradnica. Distribúcia náhodných premenných v čase, rovnako ako signály, ktoré sa zobrazujú v akomkoľvek matematickej forme, sa zvyčajne nazývajú náhodné procesy. V technickej literatúre sa výrazy "náhodný signál" a "náhodný proces" používajú ako synonymá.

V procese spracovania a analýzy fyzikálno-technických údajov je zvyčajne potrebné riešiť tri typy signálov opísaných štatistickými metódami. Po prvé, tieto informačné signály vykazujúce fyzikálne procesy sú pravdepodobnostné v prírode, ako sú akty registrácie častíc ionizujúceho žiarenia počas rozpadu rádionuklidov. Po druhé, informačné signály závislé od určitých parametrov fyzikálnych procesov alebo predmetov, ktorých hodnoty sú vopred neznáme a ktoré sú zvyčajne podliehajú definícii podľa informačných signálov. A po tretie, to sú zvuky a rušenie, chaotické premenné v čase, ktoré sprevádzajú informačné signály, ale spravidla sú štatisticky nezávislé od nich v ich hodnotách a zmenách v čase.

Spektrálna hustota výkonu

Spektrálna hustota výkonu vám umožňuje posúdiť frekvenčné vlastnosti náhodného procesu. Charakterizuje jeho intenzitu na rôznych frekvenciách alebo inak, priemerný výkon na jednotku frekvenčného pásma.

Vzor distribúcie priemerného výkonu vo frekvenciách sa nazýva výkonové spektrum. Zariadenie, s ktorým sa meria napájacie spektrum, sa nazýva analyzátor spektra. Spektrum zistené ako výsledok meraní sa nazýva hardvérové \u200b\u200bspektrum.

Výkon s analyzátorom spektra je založený na nasledujúcich metód merania:

· Metóda filtrovania;

· Metóda transformácie na theorem Wiener Hinsenine;

· Fourierová transformačná metóda;

· Metóda s použitím ikonických funkcií;

· Spôsob používania hardvéru ortogonálnych funkcií.

Funkcia merania výkonového spektra sa skladá z významného trvania experimentu. Často presahuje trvanie existencie implementácie, alebo čas, počas ktorého pretrváva stationarity procesu podľa štúdia. Odhady výkonového spektra získaného jedným uskutočnením stacionárneho ergodického procesu nie sú vždy prijateľné. Často je potrebné vykonávať početné merania, pretože je potrebné spriemovanie implementácií v čase, ako aj súborom. V mnohých prípadoch je implementácia základných náhodných procesov vopred pamäiteľné, čo mu umožňuje opakovaný experiment so zmenou v trvaní analýzy, pomocou rôznych algoritmov spracovania a vybavenia.

V prípade predbežného zaznamenávania implementácií náhodných procesov sa chýb hardvéru môžu znížiť na hodnoty spôsobené konečnou dĺžkou implementácie a nonstataritu.

Zapamätanie analyzovaných implementácií vám umožňuje urýchliť hardvérovú analýzu a automatizovať ho.

Náhodné premenné

Náhodná hodnota je opísaná pravdepodobnostnými zákonmi. Pravdepodobnosť, že nepretržitá hodnota h. Pri meraní spadne do akéhokoľvek intervalu x 1<х <х 2 , určený výrazom:

kde P (x) - hustota pravdepodobnosti a. Pre diskrétnu náhodnú premennú x i p (x \u003d x i) \u003d p ikde P I.- pravdepodobnosť zodpovedajúca I-na úrovni veľkosti x.