Fonctions de corrélation de signaux déterministes. Analyse de corrélation comparant deux signaux. Fonction de corrélation du signal. Comparaison de signaux décalés dans le temps Méthode de corrélation rapide des signaux

2.6. Analyse corrélation-spectrale de signaux déterministes

9 Analyse de corrélation. Fonction de corrélation, ses propriétés. Calcul de la fonction de corrélation d'une impulsion unique et d'un signal périodique

10 Fonction de corrélation croisée, ses propriétés. Calcul de la fonction de corrélation croisée des signaux

11 Processus aléatoires. Mise en place d'un processus aléatoire. Lois de distribution des processus aléatoires

Thème 6. Corrélation des signaux

introduction

Signaux sinusoïdaux.

Composantes du signal de sortie et du bruit.

2.6. Analyse de corrélation-spectrale de signaux déterministes. Circuits et signaux d'ingénierie radio. Partie I

Dans de nombreux problèmes d'ingénierie radio, il est souvent nécessaire de comparer un signal et sa copie, décalée depuis un certain temps. En particulier, cette situation se produit dans le radar, où l'impulsion réfléchie par la cible arrive à l'entrée du récepteur avec un retard temporel. Comparaison de ces signaux entre eux, c'est-à-dire l'établissement de leur relation, lors du traitement, vous permet de déterminer les paramètres du mouvement de la cible.

Pour quantifier la relation entre le signal et sa copie décalée dans le temps, une caractéristique est introduite

Qui est appelée fonction d'autocorrélation(ACF).

Pour clarifier la signification physique de l'ACF, nous donnerons un exemple, où une impulsion rectangulaire de durée et d'amplitude agit comme un signal. En figue. 2.9 montre une impulsion, sa copie, décalée d'un intervalle de temps et d'un produit. Evidemment, intégrer le produit donne la valeur de l'aire de l'impulsion, qui est le produit. Lorsqu'elle est fixée, cette valeur peut être représentée par un point en coordonnées. Lorsqu'il est modifié, nous obtenons un graphique de la fonction d'autocorrélation.

Trouvons une expression analytique. Parce que

puis en substituant cette expression dans (2.57), on obtient

Si le signal est décalé vers la gauche, alors par des calculs analogues, il est facile de montrer que

Puis en combinant (2.58) et (2.59), on obtient

De cet exemple, les conclusions importantes suivantes peuvent être tirées pour les signaux arbitraires :

1. La fonction d'autocorrélation d'un signal non périodique diminue avec l'augmentation (pas nécessairement de façon monotone pour les autres types de signaux). Evidemment, chez ACF tendent aussi vers zéro.

2. L'ACF atteint sa valeur maximale à. Dans ce cas, elle est égale à l'énergie du signal. Ainsi, l'ACF est énergie caractéristique du signal. Comme on peut s'y attendre, lorsque le signal et sa copie sont complètement corrélés (interconnectés).

3. La comparaison de (2.58) et (2.59) implique que l'ACF est même fonction argument, c'est-à-dire

Une caractéristique importante du signal est intervalle de corrélation... L'intervalle de corrélation est compris comme l'intervalle de temps, lorsqu'il est décalé par lequel le signal et sa copie deviennent non corrélés.

L'intervalle de corrélation est déterminé mathématiquement par l'expression suivante

ou puisque est une fonction paire

En figue. 2.10 montre l'ACF d'une forme d'onde arbitraire. Si vous construisez un rectangle de surface égale à la surface sous la courbe à des valeurs positives (la branche droite de la courbe), dont un côté est égal, alors l'autre côté correspondra.

Trouvons l'intervalle de corrélation pour une impulsion rectangulaire. En substituant (2.58) à (2.60) après des transformations simples, on obtient :

qui découle de la fig. 2.9.

Par analogie avec la fonction d'autocorrélation, le degré de relation entre les deux signaux et est estimé fonction de corrélation croisée(VKF)

Trouvons la fonction de corrélation mutuelle de deux signaux : une impulsion rectangulaire d'amplitude et de durée

et une impulsion triangulaire de même amplitude et durée

En utilisant (2.61) et en calculant séparément les intégrales pour et, nous obtenons :

Des constructions graphiques illustrant les calculs du CCF sont montrées dans la Fig. 2.11

Ici, les lignes pointillées montrent la position initiale (at) de l'impulsion triangulaire.

Lorsque, l'expression (2.61) est transformée en (2.57). Par conséquent, il s'ensuit que l'ACF est un cas particulier de la CCF avec des signaux complètement coïncidents.

Notons les principales propriétés du CCF.

1. Tout comme la fonction d'autocorrélation, le CCF est une fonction décroissante de l'argument. Au CCF, tendez vers zéro.

2. Les valeurs de la fonction de corrélation croisée à arbitraire représentent les valeurs énergie mutuelle(énergie d'interaction) signaux et.

3. A, la fonction de corrélation croisée (contrairement à la fonction d'autocorrélation) n'atteint pas toujours son maximum.

4. Si les signaux et sont décrits par des fonctions de temps paires, alors le CCF est également pair. Si au moins un des signaux est décrit par une fonction impaire, alors le CCF est également impair. La première affirmation est facile à prouver si l'on calcule le CCF de deux impulsions rectangulaires de polarité opposée

La fonction de corrélation croisée de ces signaux

est une fonction paire de l'argument.

Quant au deuxième énoncé, l'exemple considéré de calcul du TCF d'impulsions rectangulaires et triangulaires le prouve.

Dans certains problèmes appliqués, les ingénieurs radio utilisent l'ACF normalisé

et le CCF normalisé

où et sont les énergies intrinsèques des signaux et. Lorsque la valeur du CCF normalisé est appelée coefficient de corrélation croisée... Si, alors le coefficient de corrélation croisée

Évidemment, les valeurs sont comprises entre -1 et +1. Si l'on compare (2.65) avec (1.32), alors on peut s'assurer que le coefficient d'intercorrélation correspond à la valeur du cosinus de l'angle entre les vecteurs et dans la représentation géométrique des signaux.

Calculons le coefficient de corrélation croisée pour les exemples discutés ci-dessus. Puisque l'énergie du signal d'une impulsion rectangulaire est

et l'impulsion triangulaire

alors le coefficient de corrélation croisée selon (2.62) et (2.65) sera égal. Comme pour le deuxième exemple, pour deux impulsions rectangulaires de même amplitude et durée, mais de polarité opposée,.

Expérimentalement, ACF et CCF peuvent être obtenus à l'aide d'un dispositif dont le schéma structurel est illustré à la Fig. 2.12

Lorsque l'ACF est retiré, un signal est envoyé à l'une des entrées du multiplicateur, et le même signal est envoyé à l'autre, mais retardé pendant un certain temps. Un signal proportionnel au produit est soumis à une opération d'intégration. A la sortie de l'intégrateur, une tension est générée qui est proportionnelle à la valeur de l'ACF à une valeur fixe. En changeant le temps de retard, vous pouvez construire l'ACF du signal.

Pour la construction expérimentale du CCF, le signal est envoyé à l'une des entrées du multiplicateur et le signal est envoyé au dispositif de retard (les circuits entrants sont représentés par une ligne pointillée). Sinon, l'appareil fonctionne de la même manière. Notez que l'appareil décrit s'appelle corrélateur et est largement utilisé dans divers systèmes d'ingénierie radio pour la réception et le traitement de signaux.

Jusqu'à présent, nous avons effectué une analyse de corrélation de signaux non périodiques d'énergie finie. Dans le même temps, le besoin d'une telle analyse se pose souvent pour des signaux périodiques, qui ont théoriquement une énergie infinie, mais une puissance moyenne finie. Dans ce cas, l'ACF et le CCF sont calculés par moyennage sur la période et ont le sens de la puissance moyenne (respectivement intrinsèque ou mutuelle). Ainsi, l'ACF d'un signal périodique :

et la fonction d'intercorrélation de deux signaux périodiques à périodes multiples :

où est la plus grande valeur de la période.

Trouver la fonction d'autocorrélation du signal harmonique

où est la fréquence angulaire, est la phase initiale.

En substituant cette expression dans (2.66) et en calculant l'intégrale en utilisant la relation trigonométrique bien connue :

De l'exemple considéré, les conclusions suivantes peuvent être tirées, qui sont valables pour tout signal périodique.

1. L'ACF d'un signal périodique est une fonction périodique de même période.

2. L'ACF d'un signal périodique est une fonction paire de l'argument.

3. Lorsque la valeur est la puissance moyenne, qui est libérée à une résistance de 1 Ohm et a une régularité.

4. L'ACF d'un signal périodique ne contient pas d'informations sur la phase initiale du signal.

Il convient également de noter que l'intervalle de corrélation du signal périodique.

Calculons maintenant la fonction d'intercorrélation de deux signaux harmoniques de même fréquence, mais différant en amplitudes et phases initiales

Des fonctions de corrélation de signaux sont utilisées pour des évaluations quantitatives intégrales des formes d'onde et le degré de leur similitude les unes avec les autres.

Fonctions d'autocorrélation (ACF) des signaux (fonction de corrélation, CF). Appliqué aux signaux déterministes d'énergie finie, l'ACF est une intégrale quantitative caractéristique de la forme du signal, et est l'intégrale du produit de deux copies du signal s (t), décalées l'une par rapport à l'autre du temps t :

B s (t) = s (t) s (t + t) dt. (2.25)

Comme il résulte de cette expression, l'ACF est le produit scalaire du signal et de sa copie, en fonction de la valeur variable de la valeur de décalage t. En conséquence, l'ACF a la dimension physique de l'énergie, et à t = 0 la valeur ACF est directement égale à l'énergie du signal :

B s (0) = s (t) 2 dt = E s.

La fonction ACF est continue et régulière. Ce dernier peut être facilement vérifié en changeant la variable t = t-t dans l'expression (2.25) :

B s (t) = s (t-t) s (t) dt = s (t) s (t-t) dt = B s (-t). (2.25")

Compte tenu de la parité, la représentation graphique de l'ACF n'est effectuée que pour les valeurs positives de t. En pratique, les signaux sont généralement spécifiés sur l'intervalle des valeurs positives des arguments de 0-T. L'expression de signe + t (2.25) signifie qu'avec des valeurs croissantes de t, la copie du signal s (t + t) est décalée vers la gauche le long de l'axe t et va au-delà de 0, ce qui nécessite une extension correspondante de le signal à la région des valeurs négatives de l'argument. Et comme dans les calculs, l'intervalle de réglage t est, en règle générale, bien inférieur à l'intervalle de réglage du signal, il est plus pratique de décaler la copie du signal vers la gauche le long de l'axe de l'argument, c'est-à-dire application dans l'expression (2.25) de la fonction s (t-t) au lieu de s (t + t).

Lorsque la valeur du décalage t pour les signaux finis augmente, le chevauchement temporel du signal avec sa copie diminue et le produit scalaire tend vers zéro.

Exemple. Sur l'intervalle (0, T), on spécifie une impulsion rectangulaire avec une valeur d'amplitude égale à A. Calculer la fonction d'autocorrélation de l'impulsion.

Lorsque la copie de l'impulsion est décalée le long de l'axe t vers la droite, à 0≤t≤T, les signaux se chevauchent dans l'intervalle de t à T. Le produit scalaire :

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

Lorsque la copie de l'impulsion est décalée vers la gauche, à -T≤t

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T + t).

Pour |t | > T le signal et sa copie n'ont pas de points d'intersection et le produit scalaire des signaux est nul (le signal et sa copie décalée deviennent orthogonaux).

En résumant les calculs, on peut écrire :

Dans le cas de signaux périodiques, l'ACF est calculé sur une période T, avec moyennage du produit scalaire et de sa copie décalée dans la période :

B s (t) = (1 / ) s (t) s (t-t) dt.

A t = 0, la valeur de l'ACF dans ce cas n'est pas égale à l'énergie, mais à la puissance moyenne des signaux dans l'intervalle T. L'ACF des signaux périodiques est également une fonction périodique de même période T. Pour un signal harmonique à un seul ton, c'est évident. La première valeur ACF maximale correspondra à t = 0. Lorsque la copie du signal est décalée d'un quart de période par rapport à l'original, les intégrandes deviennent orthogonaux les uns aux autres (cos w o (t-t) = cos (w o t-p / 2) º sin w o t) et donnent une valeur ACF nulle. Lorsqu'il est décalé de t = T/2, la copie du signal dans la direction devient opposée au signal lui-même et le produit scalaire atteint sa valeur minimale. Avec une nouvelle augmentation du décalage, le processus inverse d'augmentation des valeurs du produit scalaire commence par le passage par zéro à t = 3T / 2 et la répétition de la valeur maximale à t = T = 2p / wo (cos wo t-2p de le º cos wot copie du signal). Un processus similaire a lieu pour les signaux périodiques de forme arbitraire (Fig. 2.11).

A noter que le résultat obtenu ne dépend pas de la phase initiale du signal harmonique, qui est typique de tout signal périodique et est l'une des propriétés de l'ACF.

Pour les signaux spécifiés à un certain intervalle, l'ACF est calculé avec une normalisation à la longueur de l'intervalle :

B s (t) = s (t) s (t + t) dt. (2.26)

L'autocorrélation d'un signal peut également être estimée par la fonction des coefficients d'autocorrélation, qui sont calculés à l'aide de la formule (basée sur des signaux centrés) :

r s (t) = cos j (t) = ás (t), s (t + t) ñ / || s (t) || 2.

Fonction de corrélation croisée (CCF) des signaux (fonction de corrélation croisée, CCF) montre à la fois le degré de similitude de la forme de deux signaux, et leur position relative l'un par rapport à l'autre le long de la coordonnée (variable indépendante), pour laquelle la même formule (2.25) est utilisé comme pour l'ACF, mais sous l'intégrale est le produit de deux signaux différents, dont l'un est décalé du temps t :

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t + t) dt. (2.27)

En changeant la variable t = t-t dans la formule (2.4.3), on obtient :

B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Riz. 2.12. Signaux et CCF

Par conséquent, il s'ensuit que la condition de parité n'est pas satisfaite pour le CCF et que les valeurs du CCF ne doivent pas nécessairement avoir un maximum à t = 0. Cela peut être clairement vu sur la Fig. 2.12, où deux signaux identiques avec des centres aux points 0.5 et 1.5 sont donnés. Le calcul par la formule (2.27) avec une augmentation progressive des valeurs de t signifie des décalages successifs du signal s2 (t) vers la gauche le long de l'axe des temps (pour chaque valeur de s1 (t) pour l'intégrande, les valeurs de s2 (t + t) sont prises).

A t = 0, les signaux sont orthogonaux et la valeur B 12 (t) = 0. Le maximum B 12 (t) sera observé lorsque le signal s2 (t) est décalé vers la gauche de la valeur t = 1, à laquelle les signaux s1 (t) et s2 (t + t) sont complètement combinés. Lors du calcul des valeurs de B 21 (-t), un processus similaire est effectué en décalant séquentiellement le signal s1 (t) vers la droite le long de l'axe des temps avec une augmentation progressive des valeurs négatives de t, et, en conséquence , les valeurs de B 21 (-t) sont miroir (par rapport à l'axe t = 0) d'affichage des valeurs de B 12 (t), et inversement. En figue. 2.13 cela se voit clairement.

Riz. 2.13. Signaux et CCF

Ainsi, pour calculer la forme complète du CCF, l'axe numérique t doit inclure des valeurs négatives, et changer le signe de t dans la formule (2.27) équivaut à réarranger les signaux.

Pour les signaux périodiques, le concept de CCF n'est généralement pas appliqué, sauf pour les signaux de même période, par exemple, les signaux d'entrée et de sortie des systèmes lors de l'étude des caractéristiques des systèmes.

La fonction des coefficients d'intercorrélation des deux signaux est calculée à l'aide de la formule (basée sur des signaux centrés) :

r sv (t) = cos j (t) = ás (t), v (t + t) ñ / || s (t) || || v (t) ||. (2.28)

La valeur des coefficients de corrélation croisée peut varier de -1 à 1.

5 Analyse spectrale de signaux périodiques. Conditions de Dirichlet. Série de Fourier.

6 Analyse spectrale de signaux non périodiques. transformée de Fourier. L'égalité de Parseval.

7 Représentation des signaux continus par des échantillons. Le théorème de Kotelnikov. L'influence du taux d'échantillonnage sur la capacité à récupérer un signal à l'aide d'un filtre.

8 Processus d'interpolation continue des messages. Les types les plus simples d'interpolation par des polynômes algébriques.

13 Codage anti-parasitage. Amélioration de la fidélité dans les canaux de transmission unidirectionnels et bidirectionnels

14 Codes systématiques des blocs, propriétés et méthodes de représentation

15 codes de Hamming, propriétés. Schéma structurel du codeur et du décodeur, principe de fonctionnement

16 Propriétés générales et manières de représenter les codes cycliques.

18 types de modulation analogiques. La modulation d'amplitude. Oscillation modulée en amplitude, caractéristiques temporelles et spectrales

19 types de modulation analogiques. Modulateur d'amplitude.

20 types de modulation analogiques. démodulateur de signal Am.

21. Types analogiques de modulation. Modulation équilibrée. Oscillation modulée équilibrée, caractéristiques temporelles et spectrales. Modulateur et démodulateur BMK.

22 Modulations analogiques. Modulation à bande latérale unique. Méthodes pour la formation d'une bande latérale de la fréquence de l'oscillation am.

24 Spectres d'oscillations modulées en phase et en fréquence.

25 types de modulation à impulsions analogiques. Modulation d'amplitude-impulsion : AIM-1 et AIM-2. Visez les modulateurs et démodulateurs de signaux.

26 Modulation de largeur d'impulsion : PWM-1 et PWM-2. Représentation spectrale du signal PWM. Modulateurs de signaux PWM.

27 Modulation d'impulsion de phase. Modulateurs de signal Phim.

28 Modulation de fréquence d'impulsion. Détecteurs de signaux Chim.

29 Modulations numériques. Modulation de code d'impulsion. Échantillonnage, quantification et encodage.

30 Ikm différentiel. Schéma fonctionnel d'un système de transmission prédictif. Schéma fonctionnel d'un prédicteur linéaire, principe de fonctionnement. différentiel adaptatif rcm.

31 Modulation delta. Le principe de la formation du signal de modulation delta. Modulation delta adaptative.

32 types de modulation discrets. Méthodes de modulation à deux positions (simples). Position du signal, taux de modulation.

33 Incrustation par déplacement de phase absolu à un coup. Manipulateur de phases.

34 Détecteur de signaux FMN.

35 Manipulateur de déphasage relatif monocoup.

36 Démodulateur de signal avec offmn unique.

38 Principes de construction des systèmes de transmission multicanaux. Prérequis théoriques pour la séparation des canaux. Division de fréquence des canaux.

39 Séparation des phases des canaux. Modulateur et démodulateur de signaux dopmn.

40 Division temporelle des canaux. Schéma fonctionnel d'un système de transmission multicanal avec division temporelle des canaux.

41 Réception optimale du signal. Tâches et critères pour un accueil optimal.

42 Schéma fonctionnel du récepteur avec signaux parfaitement connus, principe de fonctionnement.

Avec l'analyse spectrale, l'analyse de corrélation joue un rôle important dans la théorie du signal. Sa signification est de mesurer le degré de similitude (différence) entre les signaux. Pour cela, la fonction de corrélation est utilisée.

CF est l'intégrale du produit de deux copies du signal, décalées l'une par rapport à l'autre. ami depuis un moment.

Plus la valeur CF est élevée, plus la similarité est forte. CF a les propriétés suivantes :

1. Valeur CF à

égale à l'énergie du signal (intégrale de son carré)

2. Est une fonction paire

3. Valeur CF à

4.Avec des abdominaux croissants. sens Le CF d'un signal d'énergie finie décroît

5. Si le signal est fonction de la tension en fonction du temps, alors la dimension de son CF [

]

Dans le cas d'un signal périodique (de période T), CF est calculé en faisant la moyenne du produit des copies décalées sur une période :

L'ensemble des propriétés d'un tel CF change :

1. Valeur CF à

égal à la puissance moyenne du signal

2. La propriété de parité est conservée.

3. Valeur CF à

est le maximum possible.

4. CF est une fonction périodique (avec la même période que le signal)

5. Si le signal ne contient pas de fonctions delta, alors son CF est continu.

6. Si le signal est une dépendance U (t), alors la dimension de CF [

]

CF d'un signal harmonique est une fonction harmonique qui ne dépend pas de la phase initiale du signal.

La fonction de corrélation croisée (CCF) est une fonction qui montre le degré de similitude pour 2 signaux différents décalés dans le temps.

Forme générale:

Par exemple, calculons le CCF de 2 fonctions :

En combinant les résultats, vous pouvez écrire :

Propriétés de VKF :

4) Si les fonctions S 1 (t) et S 2 (t) ne contiennent pas de fonctions delta, alors leur CCF ne peut pas avoir de discontinuités.

5) Si le signal est la fonction U(t) , puis la dimension du CCF

Parfois, en pratique, on a affaire à des phénomènes dont le déroulement dans le temps est imprévisible et à chaque instant du temps est décrit par une variable aléatoire. De tels phénomènes sont appelés processus aléatoires. Par un processus aléatoire la fonction ( t) argument non aléatoire t (généralement le temps), qui pour chaque valeur fixe de l'argument est une variable aléatoire. Par exemple, la température pendant la journée enregistrée par l'enregistreur. Les valeurs prises par le processus ( t) à certains moments sont appelés États, et l'ensemble de tous les états est espace des phases processus aléatoire. Selon le nombre d'états possibles d'un processus aléatoire, son espace de phase peut être discret ou continu. Si un processus aléatoire ne peut changer d'état qu'à certains moments, alors un tel processus est appelé un processus aléatoire à temps discret; et si arbitraire, alors - processus en temps continu .

Le processus aléatoire ( t) est appelé Stationnaire si la distribution de probabilité de ses états possibles ne change pas dans le temps. Par exemple, avec un lancer de dé toutes les secondes, la distribution de probabilité des états du processus aléatoire correspondant (Fig. 44, b) ne dépend pas (ne change pas) du temps (dans ce cas, tous les états ζ ( t) sont également possibles). En revanche, un processus aléatoire qui caractérise la température ambiante n'est pas stationnaire, puisque l'été se caractérise par des températures plus élevées que l'hiver.

La distribution de probabilité des états d'un processus aléatoire stationnaire est appelée distribution stationnaire.

Il existe différentes lois de distribution parmi elles Uniforme, Gaussienne (normale)

Uniforme: laissez dans certains cas la quantité x peut prendre des valeurs x 1

P (x) = système (0 pour x x 2)

On trouve la fonction de distribution en intégrant

F (x) = système (0 pour x x 2)

Distribution gaussienne (normale)... Dans la théorie des signaux aléatoires, la densité de probabilité gaussienne est d'une importance fondamentale

Selon l'égalité (13.5), la fonction de corrélation de la réponse d'un dispositif non linéaire peut s'exprimer comme suit à travers la fonction transitoire de ce dispositif :

L'intégrale double sur est égale, comme le montre la comparaison avec l'égalité (4.25), à la fonction caractéristique jointe des quantités écrites en fonction de variables complexes. D'où,

L'expression (13.40) est la formule principale dans l'analyse des influences aléatoires sur les dispositifs non linéaires par la méthode de transformation. La suite de ce chapitre est consacrée au calcul de cette expression pour différents types d'appareils et différents types d'actions sur ceux-ci.

Dans de nombreux problèmes, l'influence appliquée à l'entrée du système est la somme du signal utile et du bruit :

où sont des fonctions d'échantillon de processus probabilistes statistiquement indépendants. Dans de tels cas, la fonction caractéristique conjointe de l'action est égale au produit des fonctions caractéristiques du signal et du bruit, et l'égalité (13.40) prend

où est la fonction caractéristique conjointe des grandeurs - la fonction caractéristique conjointe des grandeurs et

Bruit gaussien à l'entrée. Si le bruit à l'entrée du dispositif est une fonction échantillon d'un processus probabiliste gaussien réel avec une espérance mathématique nulle, alors, selon l'égalité (8.23),

où la fonction de corrélation de la réponse dans ce cas prend la forme

Si maintenant ils peuvent être représentés sous la forme de produits d'une fonction à partir d'une fonction ou comme des sommes de tels produits, alors l'intégrale double dans la dernière expression peut être calculée comme un produit d'intégrales. Le fait que la fonction exponentielle peut être représentée en termes de produits de fonctions de et découle de son développement dans une série entière

Par conséquent, la fonction de corrélation de la réponse d'un dispositif non linéaire lorsque son bruit gaussien est appliqué à l'entrée peut être écrite

Supposons maintenant que le signal à l'entrée de l'appareil soit une sinusoïde modulée, c'est-à-dire que

où est la fonction d'échantillon d'un processus probabiliste à basse fréquence (c'est-à-dire un processus dans lequel la densité spectrale ne diffère de zéro que dans la gamme de fréquences adjacente à la fréquence zéro et étroite par rapport à et où la variable aléatoire est uniformément distribuée dans l'intervalle et ne dépend pas du signal modulant et du bruit.La fonction caractéristique d'un tel signal est

En développant l'exposant à la formule de Jacobi-Anger [expression (13.20)], nous obtenons

Dans la mesure où

où nous obtenons cela pour un signal sinusoïdal modulé en amplitude

La fonction de corrélation de la réponse d'un dispositif non linéaire lorsque son signal sinusoïdal et son bruit gaussien sont appliqués à l'entrée peut maintenant être trouvée en substituant (13.47) à (13.45). On définit la fonction

où et la fonction de corrélation

où le moyennage est effectué sur le signal de modulation ; alors la fonction de corrélation de la réponse sera égale à

Si à la fois le signal modulant et le bruit sont stationnaires, alors l'expression (13.50) prend la forme

Si le signal d'entrée est une onde sinusoïdale non modulée

car dans ce cas les coefficients sont constants et égaux entre eux.

Considérons maintenant le cas où le bruit à l'entrée se présente sous la forme d'une sinusoïde modulée. Dans ce cas, la fonction de corrélation de sortie est donnée par l'expression (13.52). Développons cette expression comme suit :

considérer ses termes individuels. Le premier terme correspond à la composante constante en sortie du dispositif. Le groupe de termes suivant correspond à la partie périodique de la réponse et est principalement dû à l'interaction du signal d'entrée avec lui-même. Le reste des termes correspond à des fluctuations aléatoires de la réponse, c'est-à-dire au bruit en sortie. Ceux de

ces termes restants, pour lesquels ils sont principalement dus à l'interaction du bruit d'entrée avec lui-même, et ceux pour lesquels il s'agit de l'interaction du signal et du bruit à l'entrée.

Représentons la réponse d'un dispositif non linéaire comme la somme de la valeur moyenne, des composantes périodiques et d'une composante aléatoire :

Alors la fonction de corrélation de la réponse peut être écrite comme

où en comparant les égalités (13,53) et (13,55), on voit que la valeur moyenne de la réponse et l'amplitude de ses composantes périodiques peuvent être exprimées directement à travers les coefficients

De plus, la fonction de corrélation de la partie aléatoire de la réponse peut être écrite sous la forme

où l'on met par définition conformément à (13.50)

Il est à noter que tous ces termes sont à proprement parler des fonctions du processus modulant le signal d'entrée.

La décision de savoir lequel des termes de (13.62) détermine le signal de sortie utile dépend, bien entendu, de l'objectif du dispositif non linéaire. Si, par exemple, le dispositif est utilisé comme détecteur, alors la partie basse fréquence du signal de sortie est utile. Dans ce cas, le signal utile correspond à une partie de la fonction de corrélation déterminée par l'égalité

En revanche, si l'appareil est utilisé comme amplificateur non linéaire, alors

car dans ce cas, l'utile est la composante du signal concentrée près de la fréquence porteuse du signal d'entrée

Littérature : [L.1], de 77-83

[L.2], du 22-26

[L.3], pages 39-43

Dans de nombreux problèmes d'ingénierie radio, il est souvent nécessaire de comparer un signal et sa copie, décalée depuis un certain temps.

Lorsque l'ACF est retiré, un signal est envoyé à l'une des entrées du multiplicateur, et le même signal est envoyé à la seconde, mais retardé pendant un certain temps. Signal proportionnel au produit , est soumis à l'opération d'intégration. A la sortie de l'intégrateur, une tension est générée qui est proportionnelle à la valeur de l'ACF à une valeur fixe. En changeant le temps de retard, vous pouvez construire l'ACF du signal.

, (2.66)

et la fonction d'intercorrélation de deux signaux périodiques à périodes multiples :

, (2.67)

où est la plus grande valeur de la période.

Trouver la fonction d'autocorrélation du signal harmonique

où est la fréquence angulaire, est la phase initiale.

En substituant cette expression dans (2.66) et en calculant l'intégrale en utilisant la relation trigonométrique bien connue :

De l'exemple considéré, les conclusions suivantes peuvent être tirées, qui sont valables pour tout signal périodique.

1. L'ACF d'un signal périodique est une fonction périodique de même période.

2. L'ACF d'un signal périodique est une fonction paire de l'argument.

3. Lorsque la valeur est la puissance moyenne, qui est libérée à une résistance de 1 Ohm et a une régularité.

4. L'ACF d'un signal périodique ne contient pas d'informations sur la phase initiale du signal.

Il convient également de noter que l'intervalle de corrélation du signal périodique.

Calculons maintenant la fonction d'intercorrélation de deux signaux harmoniques de même fréquence, mais différant en amplitudes et phases initiales

et.

En utilisant (2.67) et en effectuant des calculs simples, nous obtenons

où - la différence entre les phases initiales des signaux et.

Ainsi, la fonction d'intercorrélation des deux signaux considérés contient des informations sur la différence entre les phases initiales. Cette propriété importante est largement utilisée dans la construction de divers dispositifs d'ingénierie radio, en particulier des dispositifs de synchronisation pour certains systèmes d'automatisation radio et d'autres.

Puisque et sont des fonctions réelles et paires, les expressions (2.69) et (2.70) peuvent être écrites, respectivement, sous la forme

, (2.71)

. (2.72)

L'analyse spectrale de corrélation envisagée nous permet de donner une interprétation supplémentaire de la largeur effective du spectre. Si le spectre d'énergie est connu, la largeur effective du spectre est déterminée comme suit :

. (2.73)

En d'autres termes, c'est un côté d'un rectangle dans une aire égale à l'aire sous la courbe d'un spectre unilatéral, dont le deuxième côté est (figure 2.13). De toute évidence, le produit de la largeur efficace du spectre d'énergie par la valeur de l'intervalle de corrélation est une valeur constante

Ainsi, dans ce cas également, nous sommes confrontés à une manifestation du principe d'incertitude : plus l'intervalle de corrélation est grand, plus la largeur du spectre d'énergie est petite, et vice versa.

Revoir les questions du chapitre 2

1. Qu'est-ce qu'un système de fonctions trigonométriques de base ?

2. Comment écrire la série de Fourier trigonométrique ?

3. Donner la définition du spectre d'amplitude et de phase d'un signal périodique.

4. Quelle est la nature du spectre d'une séquence d'impulsions rectangulaires ?

5. Quelle est la différence entre le spectre d'une seule impulsion et le spectre d'une séquence périodique d'impulsions ?

6. Notez les transformées de Fourier avant et arrière.

7. Comment trouver la durée effective et la largeur spectrale effective d'un signal rectangulaire ?

8. Quel est le spectre d'un signal sous la forme d'une fonction delta ?

9. Donner la définition de la fonction d'autocorrélation d'un signal déterministe.

10. Quelle est la fonction de corrélation croisée de deux signaux ?

11. Comment trouver le coefficient de corrélation croisée ?

12. Quelles propriétés possède la fonction d'autocorrélation d'un signal périodique ?

Corrélation - une opération mathématique, similaire à la convolution, vous permet d'obtenir un tiers à partir de deux signaux. Cela se produit : autocorrélation (fonction d'autocorrélation), corrélation croisée (fonction de corrélation croisée, fonction de corrélation croisée). Exemple:

[Fonction de corrélation croisée]

[Fonction d'autocorrélation]

La corrélation est une technique de détection de signaux précédemment connus sur fond de bruit, également appelée filtrage optimal. Bien que la corrélation soit très similaire à la convolution, elles sont calculées de différentes manières. Leurs domaines d'application sont également différents (c (t) = a (t) * b (t) - convolution de deux fonctions, d (t) = a (t) * b (-t) - corrélation croisée).

La corrélation est la même convolution, un seul des signaux est inversé de gauche à droite. L'autocorrélation (fonction d'autocorrélation) caractérise le degré de connexion entre le signal et sa copie décalée de . La fonction de corrélation croisée caractérise le degré de connexion entre 2 signaux différents.

Propriétés de la fonction d'autocorrélation :

1) R (τ) = R (-τ). La fonction R (τ) est paire.
2) Si x (t) est une fonction sinusoïdale du temps, alors sa fonction d'autocorrélation est un cosinus de même fréquence. Les informations de phase initiale sont perdues. Si x (t) = A * sin (ωt + φ), alors R (τ) = A 2/2 * cos (ωτ).
3) La fonction d'autocorrélation et le spectre de puissance sont liés par la transformée de Fourier.
4) Si х (t) est une fonction périodique quelconque, alors R (τ) pour elle peut être représenté comme une somme de fonctions d'autocorrélation à partir d'une composante constante et d'une composante variant de manière sinusoïdale.
5) La fonction R (τ) ne porte aucune information sur les phases initiales des composantes harmoniques du signal.
6) Pour une fonction aléatoire du temps, R (τ) décroît rapidement lorsque τ augmente. L'intervalle de temps après lequel R (τ) devient égal à 0 est appelé intervalle d'autocorrélation.
7) Un x (t) donné correspond à un R (τ) bien défini, mais pour un même R (τ), des fonctions x (t) différentes

Signal d'origine avec bruit :

Fonction d'autocorrélation du signal d'origine :

Propriétés de la fonction de corrélation croisée (CCF) :

1) CCF n'est ni une fonction paire ni une fonction impaire, c'est-à-dire R xy (τ) n'est pas égal à R xy (-τ).
2) CCF reste inchangé lors du changement de l'alternance des fonctions et du changement de signe de l'argument, c'est-à-dire R xy (τ) = R xy (-τ).
3) Si les fonctions aléatoires x (t) et y (t) ne contiennent pas de composantes constantes et sont créées par des sources indépendantes, alors pour elles R xy (τ) tend vers 0. De telles fonctions sont dites non corrélées.

Signal d'origine avec bruit :

Un méandre de même fréquence :

Corrélation du signal d'origine et du méandre :

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Fonction de corrélation de signal est une caractéristique du temps,

donnant une idée de la vitesse de variation du signal dans le temps, ainsi que de la durée du signal sans le décomposer en composantes harmoniques.

Distinguer les fonctions d'autocorrélation et de corrélation croisée. Pour un signal déterministe f (t), la fonction d'autocorrélation est déterminée par l'expression

où est la valeur du décalage temporel du signal.

caractérise le degré de connexion (corrélation) du signal f (t) avec son

une copie décalée d'une quantité le long de l'axe du temps. Construisons une fonction d'autocorrélation (ACF) pour une impulsion rectangulaire f (t). Le signal est décalé vers l'avant, comme le montre la Fig. 6.25.

Sur le graphique, chaque valeur correspond à son produit et à l'aire sous le graphique de fonction. Numérique

les valeurs de telles aires pour le correspondant donnent les ordonnées de la fonction

Lorsque τ augmente, il diminue (pas nécessairement de façon monotone) et pour

C'est-à-dire que plus grande que la durée du signal est zéro.

est aussi une fonction périodique de période T.

Considérons les principales propriétés de la fonction d'autocorrélation :

1. L'ACF est une fonction paire, c'est-à-dire que la fonction diminue avec l'augmentation.

2. ACF atteint max at, puisque tout signal est complètement corrélé avec lui-même. Dans ce cas, la valeur maximale de l'ACF est égale à l'énergie


signal, c'est-à-dire	E = K f (0) = f 2 (t) dt. Pour un signal périodique

force moyenne du signal.
	et le carré du module de la densité spectrale
entre eux par la transformée de Fourier directe et inverse.

Plus le spectre du signal est large, plus l'intervalle de corrélation est petit, c'est-à-dire l'amplitude du décalage dans lequel la fonction de corrélation est non nulle. En conséquence, plus l'intervalle de corrélation du signal est grand, plus son spectre est étroit.

La fonction de corrélation peut également être utilisée pour estimer le degré de connexion entre deux signaux différents f 1 (t) et f 2 (t) décalés dans le temps

Dans ce cas, elle est appelée fonction de corrélation croisée (CCF) et est déterminée par l'expression :

La fonction de corrélation croisée n'est pas nécessairement égale par rapport à et ne culmine pas nécessairement à. La construction du CCF pour deux signaux triangulaires f 1 (t) et f 2 (t) est illustrée à la Fig. 6.26. Lors du déplacement

signal f 2 (t) vers la gauche (t> 0, Fig. 6.26, a), la fonction de corrélation du signal augmente d'abord, puis diminue jusqu'à zéro à. Lorsque le signal f 2 (t) est décalé vers la droite (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1 (t)

f2 (t)

0 T t

0 t -Т Т

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1 (t)

f2 (t)

0 T

T T + t

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. Le concept de signaux modulés. La modulation d'amplitude

Les signaux haute fréquence sont utilisés pour transmettre des informations à distance. Les informations transmises doivent être d'une manière ou d'une autre - mises dans une oscillation à haute fréquence, appelée porteuse. Choix d'heures

la fréquence ω du signal porteur dépend de nombreux facteurs, mais dans tous les cas, ω

doit être beaucoup plus grande que la fréquence la plus élevée du spectre du message transmis, c'est-à-dire

Selon la nature de la porteuse, on distingue deux types de modulation :

– continu - avec une porteuse harmonique continue dans le temps ;

– impulsion - lorsque la porteuse se présente sous la forme d'une séquence périodique d'impulsions.

Un signal porteur d'informations peut être représenté par

Si et sont des valeurs constantes, alors il s'agit d'une simple vibration harmonique qui ne transporte aucune information. Si vous êtes obligé de changer pour transmettre un message, alors l'oscillation devient modulée.

Si A (t) change, alors il s'agit d'une modulation d'amplitude, si l'angle est angulaire. La modulation d'angle est divisée en deux types : la fréquence (FM) et la phase (PM).

Depuis, alors et changent lentement les fonctions du temps. On peut alors supposer que pour tout type de modulation, les paramètres du signal

(1) (amplitude, phase et fréquence) changent si lentement qu'en une période, l'oscillation à haute fréquence peut être considérée comme harmonique. Cette prémisse sous-tend les propriétés des signaux et de leurs spectres.

Modulation d'amplitude (AM). Avec AM, l'enveloppe des amplitudes du signal porteur change selon une loi qui coïncide avec la loi de changement du message transmis, la fréquencene change pas, et la phase initialepeut être différent selon le moment du début de la modulation. L'expression générale (6.22) peut être remplacée par

Une représentation graphique du signal modulé en amplitude s'affiche. 6.27. Ici S (t) est le message continu transmis, l'amplitude du signal haute fréquence harmonique de la porteuse. L'enveloppe A(t) évolue en fonction de la loi qui reproduit le message

S (t).

Le plus grand d'ailleurs. - la fréquence de la fonction modulante, - la phase initiale de l'enveloppe. Une telle modulation est appelée

tonale (6,28).

répète la loi de changement du signal d'origine (Fig. 6.28, b).

3 Analyse de corrélation des signaux

Le sens de l'analyse spectrale des signaux est d'étudier comment un signal peut être représenté comme une somme (ou intégrale) d'oscillations harmoniques simples et comment la forme d'onde détermine la structure de la distribution de fréquence des amplitudes et des phases de ces oscillations. En revanche, la tâche de l'analyse de corrélation de signaux est de déterminer une mesure du degré de similitude et de différence entre des signaux ou des copies décalées dans le temps d'un signal. L'introduction de la mesure ouvre la voie à des mesures quantitatives du degré de similitude des signaux. On montrera qu'il existe une certaine relation entre les caractéristiques spectrales et de corrélation des signaux.

3.1 Fonction d'autocorrélation (ACF)

La fonction d'autocorrélation d'un signal d'énergie finie est la valeur de l'intégrale du produit de deux copies de ce signal, décalées l'une par rapport à l'autre du temps , considérée en fonction de ce décalage temporel τ :

Si le signal est défini sur un intervalle de temps fini, alors son ACF est trouvé comme :

où est l'intervalle de chevauchement des copies de signal décalées.

On pense que plus la valeur de la fonction d'autocorrélation à une valeur donnée est grande, plus les deux copies du signal, décalées de l'intervalle de temps, sont similaires l'une à l'autre. Par conséquent, la fonction de corrélation est une mesure de similarité pour les copies décalées du signal.

La mesure de similarité ainsi introduite pour des signaux ayant la forme d'oscillations aléatoires autour de la valeur zéro a les propriétés caractéristiques suivantes.

Si les copies décalées du signal fluctuent approximativement dans le temps les unes par rapport aux autres, c'est un signe de leur similitude et l'ACF prend de grandes valeurs positives (grande corrélation positive). Si les copies oscillent presque en antiphase, l'ACF prend de grandes valeurs négatives (anti-similarité des copies de signal, grande corrélation négative).

L'ACF maximum est atteint lorsque les copies coïncident, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a pas de décalage. Des valeurs ACF nulles sont atteintes à des décalages auxquels ni la similitude ni l'antisimilarité des copies de signal n'est perceptible (corrélation nulle,

pas de corrélation).

La figure 3.1 montre un fragment de la mise en œuvre d'un certain signal dans l'intervalle de temps de 0 à 1 s. Le signal fluctue aléatoirement autour de zéro. Puisque l'intervalle d'existence du signal est fini, alors son énergie est également finie. Son ACF peut être calculé selon l'équation :

La fonction d'autocorrélation du signal, calculée dans MathCad conformément à cette équation, est illustrée à la Fig. 3.2. La fonction de corrélation montre non seulement que le signal est similaire à lui-même (décalage τ = 0), mais aussi que les copies du signal qui sont décalées les unes par rapport aux autres d'environ 0,063 s (maximum latéral de la fonction d'autocorrélation) ont également une certaine similarité. Contrairement à cela, les copies du signal, décalées de 0,032 s, doivent être anti-similaires, c'est-à-dire qu'elles doivent en un sens être opposées.

La figure 33 montre les paires de ces deux exemplaires. La figure montre ce que l'on entend par similitude et antisimilarité des copies de signal.

La fonction de corrélation a les propriétés suivantes :

1. À = 0, la fonction d'autocorrélation prend la plus grande valeur égale à l'énergie du signal

2. La fonction d'autocorrélation est une fonction de décalage temporel pair .

3.Avec l'augmentation de τ, la fonction d'autocorrélation diminue jusqu'à zéro

4. Si le signal ne contient pas de discontinuités du type des fonctions -, alors il s'agit d'une fonction continue.

5. Si le signal est une tension électrique, la fonction de corrélation a des dimensions.

Pour les signaux périodiques dans la définition de la fonction d'autocorrélation, la même intégrale est divisée par la période de répétition du signal :

La fonction de corrélation introduite a les propriétés suivantes :

La valeur de la fonction de corrélation à zéro est égale à la puissance du signal,

La dimension de la fonction de corrélation est par exemple égale au carré de la dimension du signal.

Par exemple, calculons la fonction de corrélation d'une oscillation harmonique :

En utilisant une série de transformations trigonométriques, on obtient finalement :

Ainsi, la fonction d'autocorrélation d'une oscillation harmonique est un cosinus avec la même période de variation que le signal lui-même. Avec des décalages multiples de la période d'oscillation, l'harmonique est convertie en elle-même et l'ACF prend les plus grandes valeurs égales à la moitié du carré de l'amplitude. Les décalages temporels, multiples de la moitié de la période d'oscillation, sont équivalents à un déphasage d'un angle, tandis que le signe des oscillations change, et l'ACF prend une valeur minimale, négative et égale à la moitié du carré de l'amplitude. Des décalages multiples d'un quart de période traduisent, par exemple, une oscillation sinusoïdale en une oscillation cosinusoïdale et vice versa. Dans ce cas, l'ACF disparaît. De tels signaux, qui sont en quadrature les uns par rapport aux autres, du point de vue de la fonction d'autocorrélation, s'avèrent complètement différents les uns des autres.

Il est important que l'expression de la fonction de corrélation de signal n'inclue pas sa phase initiale. Les informations de phase ont été perdues. Cela signifie que le signal lui-même ne peut pas être reconstruit à partir de la fonction de corrélation de signal. Le mappage, par opposition au mappage, n'est pas un à un.

Si par mécanisme de génération de signal on entend un certain démiurge créant un signal selon la fonction de corrélation qu'il a choisie, alors il pourrait créer tout un ensemble de signaux (un ensemble de signaux) qui ont en réalité la même fonction de corrélation, mais diffèrent les uns des autres. autre dans les relations de phase.

L'acte de manifestation par un signal de son libre arbitre, indépendant de la volonté du créateur (l'émergence de réalisations séparées d'un processus aléatoire),

Le résultat d'une violence étrangère contre le signal (introduction dans le signal d'informations de mesure obtenues lors de mesures de n'importe quelle grandeur physique).

La situation est similaire avec n'importe quel signal périodique. Si un signal périodique de période principale T a un spectre d'amplitude et un spectre de phase, alors la fonction de corrélation de signal prend la forme suivante :

Déjà dans ces exemples, une certaine connexion entre la fonction de corrélation et les propriétés spectrales du signal se manifeste. Ces ratios seront discutés plus en détail ultérieurement.

3.2 Fonction de corrélation croisée (CCF).

Contrairement à la fonction d'autocorrélation, la fonction d'intercorrélation détermine le degré de similitude des copies de deux signaux différents x (t) et y (t), décalés du temps l'un par rapport à l'autre :

La fonction de corrélation croisée a les propriétés suivantes :

1. A = 0, la fonction d'intercorrélation prend une valeur égale à énergie mutuelle signaux, c'est-à-dire l'énergie de leur interaction

2. Pour tout τ, la relation suivante est vraie :

où sont les énergies du signal.

3. Changer le signe du décalage temporel équivaut à la permutation mutuelle des signaux :

4.Avec l'augmentation de , la fonction de corrélation croisée, bien que non monotone, diminue jusqu'à zéro

5. La valeur de la fonction de corrélation croisée à zéro ne se démarque pas des autres valeurs.

Pour les signaux périodiques, le concept de fonction de corrélation croisée, en règle générale, n'est pas du tout utilisé.

Les instruments de mesure des valeurs des fonctions d'autocorrélation et de corrélation croisée sont appelés corrélateurs ou corrélateurs. Les corrélomètres sont utilisés, par exemple, pour résoudre les tâches d'information et de mesure suivantes :

Analyse statistique des électroencéphalogrammes et autres résultats d'enregistrement de biopotentiels,

Détermination des coordonnées spatiales de la source de signal par l'amplitude du décalage temporel auquel le CCF maximal est atteint,

Isolement d'un signal faible sur fond de fortes interférences statiques non liées,

Détection et localisation des canaux de fuite d'informations en déterminant la corrélation entre les signaux radio dans la pièce et à l'extérieur,

Détection, reconnaissance et recherche automatisées en champ proche des dispositifs d'écoute électronique émettant des radiocommunications, y compris les téléphones portables utilisés comme dispositifs d'écoute,

Localisation des fuites dans les canalisations basée sur la détermination du CCF de deux signaux de bruit acoustique provoqués par une fuite à deux points de mesure, où des capteurs sont situés sur la canalisation.

3.3 Relations entre les fonctions de corrélation et spectrales.

Les fonctions de corrélation et spectrales décrivent toutes deux la structure interne des signaux, leur structure interne. Par conséquent, on peut s'attendre à ce qu'il existe une certaine interdépendance entre ces deux manières de décrire les signaux. Vous avez déjà vu la présence d'une telle connexion sur l'exemple des signaux périodiques.

La fonction d'intercorrélation, comme toute autre fonction du temps, peut être soumise à la transformée de Fourier :

Modifions l'ordre d'intégration :

L'expression entre crochets pourrait être considérée comme la transformée de Fourier pour le signal y (t), mais il n'y a pas de signe moins dans l'exposant. Cela suggère que l'intégrale interne nous donne une expression complexe conjuguée à la fonction spectrale.

Mais l'expression ne dépend pas du temps, elle peut donc être prise en dehors du signe de l'intégrale externe. Alors l'intégrale externe nous donnera simplement la définition de la fonction spectrale du signal x (t). Enfin, nous avons :

Cela signifie que la transformée de Fourier pour la fonction d'intercorrélation de deux signaux est égale au produit de leurs fonctions spectrales, dont l'une est soumise à une conjugaison complexe. Ce produit est appelé le spectre croisé des signaux :

Une conclusion importante découle de l'expression obtenue: si les spectres des signaux x (t) et y (t) ne se chevauchent pas, c'est-à-dire qu'ils sont situés dans des gammes de fréquences différentes, alors ces signaux ne sont pas corrélés, indépendants les uns des autres .

Si nous mettons dans les formules ci-dessus : x (t) = y (t), alors nous obtenons une expression pour la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation

Cela signifie que la fonction d'autocorrélation du signal et le carré du module de sa fonction spectrale sont liés l'un à l'autre par la transformée de Fourier.

La fonction s'appelle spectre d'énergie signal. Le spectre d'énergie montre comment l'énergie totale d'un signal est répartie sur les fréquences de ses composantes harmoniques individuelles.

3.4 Caractéristiques énergétiques des signaux du domaine fréquentiel

La fonction de corrélation mutuelle de deux signaux est liée par la transformée de Fourier au spectre mutuel des signaux, elle peut donc être exprimée comme la transformée de Fourier inverse du spectre croisé :

Remplaçons maintenant la valeur de décalage temporel dans cette chaîne d'égalités. En conséquence, nous obtenons un rapport qui détermine le sens égalités de Rayleigh:

c'est-à-dire que l'intégrale du produit de deux signaux est égale à l'intégrale du produit des spectres de ces signaux, dont l'un est soumis à une conjugaison complexe.

Ce rapport est appelé L'égalité de Parseval.

Les signaux périodiques ont une énergie infinie mais une puissance finie. En les considérant, nous avons déjà rencontré la possibilité de calculer la puissance d'un signal périodique par la somme des carrés des modules des coefficients de son spectre complexe :

Cette relation a une analogie complète avec l'égalité de Parseval.

Signaux et systèmes linéaires. Corrélation des signaux

La plus grande peur et la plus grande ferveur du courage dérangent également l'estomac et provoquent la diarrhée.

Michel Montaigne. Penseur juridique français, XVIe siècle

C'est le numéro ! Les deux fonctions sont corrélées à 100 % avec la troisième et sont orthogonales l'une à l'autre. Eh bien, le Tout-Puissant avait des blagues sur la création du Monde.

Anatoli Pyshmintsev. Géophysicien de Novossibirsk de l'école de l'Oural, XXe siècle

1. Fonctions d'autocorrélation des signaux. Le concept de fonctions d'autocorrélation (ACF). Signaux ACF limités dans le temps. ACF des signaux périodiques. Fonctions d'autocovariance (ACF). ACF des signaux discrets. ACF de signaux bruités. ACF des signaux de code.

2. Fonctions de corrélation croisée des signaux (CCF). Fonction de corrélation croisée (CCF). Corrélation croisée de signaux bruités. CCF de signaux discrets Evaluation de signaux périodiques dans le bruit. Fonction de coefficient de corrélation croisée.

3. Densités spectrales des fonctions de corrélation. Densité spectrale ACF. Intervalle de corrélation de signal. Densité spectrale du CCF. Calcul de fonctions de corrélation à l'aide de FFT.

est un signal périodique, alors l'ACF K f (t) =

f (t) × f t (+ t) dt et

est un signal périodique, alors l'ACF K f (t) =

f (t) × f t (+ t) dt et

La corrélation (corrélation), et son cas particulier pour les signaux centrés - la covariance, est une méthode d'analyse de signal. Voici l'une des possibilités d'utilisation de la méthode. Supposons qu'il existe un signal s (t), dans lequel il peut y avoir ou non une séquence x (t) de longueur finie T, dont la position temporelle nous intéresse. Pour rechercher cette séquence dans une fenêtre temporelle de longueur T glissant le long du signal s (t), les produits scalaires des signaux s (t) et x (t) sont calculés. Ainsi, nous « appliquons » le signal désiré x (t) au signal s (t), en glissant le long de son argument, et par la valeur du produit scalaire, nous estimons le degré de similitude des signaux aux points de comparaison.

L'analyse de corrélation permet d'établir dans les signaux (ou dans la série de données de signaux numériques) la présence d'une certaine relation entre le changement des valeurs de signal par la variable indépendante, c'est-à-dire lorsque de grandes valeurs d'un signal (par rapport aux valeurs moyennes du signal) sont associées à de grandes valeurs d'un autre signal (corrélation positive), ou, à l'inverse, de petites valeurs d'un signal sont associées à de grandes valeurs de l'autre (corrélation négative), ou les données des deux signaux ne sont liées en aucune façon (corrélation nulle).

Dans l'espace fonctionnel des signaux, ce degré de couplage peut être exprimé en unités normalisées du coefficient de corrélation, c'est-à-dire dans le cosinus de l'angle entre les vecteurs de signaux, et, en conséquence, prendra des valeurs de 1 (coïncidence complète des signaux) à -1 (complètement opposé) et ne dépend pas de la valeur (échelle) des unités de la mesure.

Dans la variante d'autocorrélation, le produit scalaire du signal s (t) avec sa propre copie glissant le long de l'argument est déterminé en utilisant une technique similaire. L'autocorrélation permet d'estimer la dépendance statistique moyenne des échantillons de signal actuels sur ses valeurs précédentes et suivantes (ce qu'on appelle le rayon de corrélation des valeurs de signal), ainsi que de révéler la présence d'éléments se répétant périodiquement dans le signal.

Les méthodes de corrélation sont d'une importance particulière dans l'analyse des processus aléatoires pour identifier les composants non aléatoires et évaluer les paramètres non aléatoires de ces processus.

Notez qu'il existe une certaine confusion en termes de "corrélation" et de "covariance". Dans la littérature mathématique, le terme « covariance » est appliqué aux fonctions centrées et « corrélation » aux fonctions arbitraires. Dans la littérature technique, et notamment dans la littérature sur les signaux et leurs méthodes de traitement, la terminologie exactement opposée est souvent utilisée. Cela n'a pas de sens fondamental, mais lorsque vous vous familiarisez avec les sources littéraires, vous devez faire attention à l'objectif accepté de ces termes.