Qu'est-ce que le taux de rebond. Caractéristiques quantitatives de fiabilité. Probabilité de disponibilité

Taux d'échec- la densité de probabilité conditionnelle de la défaillance d'un objet irrécupérable, déterminée pour l'instant considéré, à condition que jusqu'à cet instant la défaillance ne se soit pas produite.

Ainsi, statistiquement, le taux d'échec est égal au nombre d'échecs survenus par unité de temps, divisé par le nombre d'échecs à moment présent objets.

Un changement typique du taux d'échec au fil du temps est illustré à la fig. cinq.

L'expérience d'exploitation des systèmes complexes montre que l'évolution du taux de défaillance λ( t) de la majorité des objets est décrite tu- courbe figurative.

Le temps peut être conditionnellement divisé en trois zones caractéristiques : 1. Période de rodage. 2. Période d'utilisation normale. 3. La période de vieillissement de l'objet.

Riz. 5. Changement typique du taux d'échec

La période de rodage d'un objet a un taux d'échec accru causé par des pannes de rodage dues à des défauts de production, d'installation et de mise en service. Parfois, la fin de cette période est associée service de garantie objet lorsque l'élimination des défaillances est effectuée par le fabricant. En fonctionnement normal, le taux de panne reste pratiquement constant, tandis que les pannes sont de nature aléatoire et apparaissent brutalement, principalement dues à des changements de charge aléatoires, au non-respect des conditions de fonctionnement, à des facteurs externes défavorables, etc. C'est cette période qui correspond au temps principal de fonctionnement de l'installation.

L'augmentation du taux de défaillance fait référence à la période de vieillissement de l'objet et est causée par une augmentation du nombre de défaillances dues à l'usure, au vieillissement et à d'autres raisons associées à un fonctionnement à long terme. C'est-à-dire la probabilité de défaillance d'un élément qui a survécu pour le moment t dans un intervalle de temps ultérieur dépend des valeurs de λ( tu) uniquement sur cet intervalle, et donc le taux de défaillance est un indicateur local de la fiabilité de l'élément sur un intervalle de temps donné.

Sujet 1.3. Fiabilité des systèmes récupérables

Systèmes modernes l'automatisation sont des systèmes récupérables complexes. De tels systèmes en cours de fonctionnement, en cas de défaillance de certains éléments, sont réparés et poursuivent leurs travaux. La capacité des systèmes à récupérer en cours d'exploitation est "posée" lors de leur conception et est assurée lors de la fabrication, et les opérations de réparation et de restauration sont prévues dans la documentation réglementaire et technique.

La réalisation de mesures de réparation et de restauration est essentiellement un autre moyen d'améliorer la fiabilité du système.

1.3.1. Indicateurs de fiabilité des systèmes récupérables

Sur le plan quantitatif, de tels systèmes, en plus des indicateurs de fiabilité précédemment considérés, sont également caractérisés par des indicateurs de fiabilité complexes.

Un indicateur complexe de fiabilité est un indicateur de fiabilité qui caractérise plusieurs propriétés qui composent la fiabilité d'un objet.

Les indicateurs complexes de fiabilité, qui sont les plus largement utilisés pour caractériser la fiabilité des systèmes restaurés, sont :

Facteur de disponibilité ;

Facteur de préparation opérationnelle ;

Facteur d'utilisation technique.

Facteur de disponibilité- la probabilité qu'un objet se trouve dans condition de travailà un moment arbitraire, à l'exception des pauses planifiées, au cours desquelles l'utilisation de l'objet aux fins prévues n'est pas prévue.

Ainsi, le facteur de préparation caractérise simultanément deux propriétés différentes d'un objet - la fiabilité et la maintenabilité.

La disponibilité est paramètre important, cependant, il n'est pas universel.

Taux de préparation opérationnelle- la probabilité que l'objet soit dans un état de fonctionnement à un moment arbitraire, à l'exception des pauses planifiées, au cours desquelles l'utilisation de l'objet aux fins prévues n'est pas prévue, et, à partir de ce moment, il fonctionnera sans faute pour un intervalle de temps donné.

Le coefficient caractérise la fiabilité des objets, dont le besoin apparaît à un moment arbitraire, après quoi un certain temps de disponibilité est requis. Jusqu'à ce point, l'équipement peut être en mode veille, le mode application dans d'autres fonctions de fonctionnement.

Facteur d'utilisation technique- le rapport de l'espérance mathématique des intervalles de temps de l'objet en état de fonctionnement pendant une certaine période de fonctionnement à la somme des attentes mathématiques des intervalles de temps de l'objet en état de fonctionnement, des temps d'arrêt dus à la maintenance, et réparations pour la même période de fonctionnement.

Partie 1.

introduction
Le développement des équipements modernes se caractérise par une augmentation significative de leur complexité. La complication entraîne une augmentation de la garantie de la rapidité et de l'exactitude de la résolution des problèmes.
Le problème de la fiabilité s'est posé dans les années 50, lorsque le processus de complication rapide des systèmes a commencé et que de nouveaux objets ont commencé à être mis en service. À cette époque, les premières publications sont apparues définissant les concepts et les définitions liés à la fiabilité [1], et une technique d'évaluation et de calcul de la fiabilité des dispositifs utilisant des méthodes probabilistes-statistiques a été créée.
L'étude du comportement de l'équipement (objet) en fonctionnement et l'évaluation de sa qualité déterminent sa fiabilité. Le terme "exploitation" vient du mot français "exploitation", qui signifie bénéficier ou bénéficier de quelque chose.
La fiabilité est la propriété d'un objet à exécuter les fonctions spécifiées, en maintenant les valeurs des indicateurs de performance établis dans les limites spécifiées au fil du temps.
Pour quantifier la fiabilité d'un objet et planifier le fonctionnement, des caractéristiques spéciales sont utilisées - des indicateurs de fiabilité. Ils permettent d'évaluer la fiabilité d'un objet ou de ses éléments dans diverses conditions et à différents stades de fonctionnement.
Des informations plus détaillées sur les indicateurs de fiabilité peuvent être trouvées dans GOST 16503-70 - "Produits industriels. Nomenclature et caractéristiques des principaux indicateurs de fiabilité.", GOST 18322-73 - "Systèmes Maintenance et réparation de matériel. Termes et définitions.", GOST 13377-75 - "Fiabilité en ingénierie. Termes et définitions".

Définitions
Fiabilité- propriété [ci-après - (self-in)] de l'objet [ci-après - (OB)] pour exécuter les fonctions requises, en maintenant leurs performances pendant une période de temps donnée.
La fiabilité est une propriété complexe qui combine les concepts de performance, de fiabilité, de durabilité, de maintenabilité et de sécurité.
performance- représente l'état de l'OB, dans lequel il est capable d'exercer ses fonctions.
Fiabilité- la capacité d'OB à maintenir ses performances pendant un certain temps. Un événement qui perturbe le fonctionnement de l'OB est appelé panne. Une panne auto-récupérable est appelée une panne.
Durabilité- la capacité d'OB à maintenir ses performances à l'état limite, lorsque son exploitation devient impossible pour des raisons techniques, économiques, de sécurité ou de nécessité de grosses réparations.
maintenabilité- détermine l'adaptabilité de l'OB à la prévention et à la détection des dysfonctionnements et des pannes et à leur élimination en effectuant des réparations et de l'entretien.
Persistance- Les Svo-in ON maintiennent en permanence leurs performances pendant et après le stockage et la maintenance.

Principaux indicateurs de fiabilité
Le principal indicateur qualitatif de fiabilité est la probabilité disponibilité, le taux d'échec et le temps moyen avant l'échec.
Probabilité de disponibilité P(t) est la probabilité qu'au cours d'une période donnée t, l'échec de l'OB ne se produira pas. Cet indicateur est déterminé par le rapport du nombre d'éléments OB qui ont fonctionné sans faute jusqu'au moment t au nombre total d'éléments OB qui sont opérationnels au moment initial.
Taux d'échec l(t) est le nombre d'échecs NT)Éléments OB par unité de temps, rapporté au nombre moyen d'éléments NT OB opérationnel à l'époque rét:
l (t) \u003d n (t) / (Nt * D t) , où
ré t- une période de temps donnée.
Par exemple: 1000 éléments OB ont travaillé 500 heures. Pendant ce temps, 2 éléments ont échoué. D'ici, l (t) \u003d n (t) / (Nt * D t) \u003d 2 / (1000 * 500) \u003d 4 * 10 -6 1/h, soit 4 éléments sur un million peuvent tomber en panne en 1 heure.
Les taux de défaillance des composants sont basés sur des données de référence [1, 6, 8]. Par exemple, le taux d'échec est donné en l(t) certains éléments.

	Nom de l'élément	Taux d'échec, *10 -5, 1/h
	Résistances
	Condensateurs
	transformateurs
	Inducteurs
	Dispositifs de commutation
	Connexions à souder
	Fils, câbles
	Moteurs électriques	La fiabilité d'OB en tant que système se caractérise par un flux de défaillances L, numériquement égal à la somme du taux de défaillance des appareils individuels : L = ål je La formule calcule le flux de défaillances et les dispositifs OB individuels, qui, à leur tour, se composent de divers nœuds et éléments caractérisés par leur taux de défaillance. La formule est valable pour calculer le flux de défaillances du système à partir de néléments dans le cas où la défaillance de l'un d'entre eux entraîne la défaillance de l'ensemble du système dans son ensemble. Une telle connexion d'éléments est appelée logiquement séquentielle ou basique. De plus, il existe une connexion logiquement parallèle des éléments, lorsque la défaillance de l'un d'eux n'entraîne pas la défaillance du système dans son ensemble. Relation de probabilité de défaillance P(t) et flux de rebond L défini : P(t)= exp(-Dt) , il est évident que 0 ET 0< P (t )<1 Et p(0)=1, mais p(¥)=0 MTBF Pour est l'espérance mathématique du temps de fonctionnement d'OB avant la première panne : À=1/ L =1/(ål je) , ou, à partir d'ici : L=1/À Le temps de disponibilité est égal à l'inverse du taux d'échec. Par exemple : la technologie des éléments garantit un taux de défaillance moyen l je \u003d 1 * 10 -5 1 / h . Lorsqu'il est utilisé en OB N=1*10 4 taux de défaillance total des pièces élémentaires je o= N * l je \u003d 10 -1 1 / h . Alors le temps moyen de fonctionnement sans panne de l'OB À \u003d 1 / l o \u003d 10 h. Si vous effectuez OB sur la base de 4 grands circuits intégrés (LSI), alors le temps moyen de fonctionnement sans panne d'OB augmentera de N / 4 = 2500 fois et sera de 25000 heures ou 34 mois ou environ 3 ans . Calcul de fiabilité Les formules vous permettent de calculer la fiabilité de l'OB si les données initiales sont connues - la composition de l'OB, le mode et les conditions de son fonctionnement, le taux de défaillance de ses composants (éléments). Cependant, dans les calculs de fiabilité pratiques, il existe des difficultés dues au manque de données fiables sur le taux de défaillance pour la gamme d'éléments, d'assemblages et de dispositifs de l'OB. Le moyen de sortir de cette situation est l'utilisation de la méthode des coefficients. L'essence de la méthode des coefficients est que lors du calcul de la fiabilité d'OB, des valeurs non absolues du taux d'échec sont utilisées je je, et le coefficient de fiabilité ki valeurs de liaison je je avec taux de rebond kg tout élément de base ki = l je / l b Facteur de fiabilité ki ne dépend pratiquement pas des conditions de fonctionnement et est une constante pour cet élément, et la différence des conditions de fonctionnement ku pris en compte par les modifications correspondantes kg. Une résistance est choisie comme élément de base en théorie et en pratique. Les indicateurs de fiabilité des composants sont pris à partir de données de référence [1, 6, 8]. Par exemple, les coefficients de fiabilité sont donnés ki certains éléments. En tableau. 3 montre les coefficients des conditions de fonctionnement ku travailler pour certains types d'équipements. L'influence sur la fiabilité des éléments des principaux facteurs de déstabilisation - charges électriques, température ambiante - est prise en compte en introduisant des facteurs de correction dans le calcul une. En tableau. 4 montre les coefficients des conditions une fonctionne pour certains types d'éléments. Prise en compte de l'influence d'autres facteurs - poussière, humidité, etc. - effectué en corrigeant le taux de défaillance de l'élément de base à l'aide de facteurs de correction. Le coefficient de fiabilité résultant des éléments OB, en tenant compte des facteurs de correction : ki"=a1*a2*a3*a4*ki*ku, où ku- valeur nominale du coefficient des conditions de fonctionnement ki- facteur de sécurité de la valeur nominale a1- coefficient tenant compte de l'influence de la charge électrique sur U, I ou P a2- coefficient tenant compte de l'influence de la température du milieu a3- coefficient de réduction de charge par rapport au nominal selon U, I ou P a4- coefficient d'utilisation de cet élément, au travail de l'OB dans son ensemble Des conditions de fonctionnement Coefficient d'état Conditions de laboratoire Équipement fixe : à l'intérieur En plein air Équipement mobile: bateau Automobile former Nom de l'élément et ses paramètres facteur de charge Résistances : Par tension Par puissance Condensateurs Par tension Par puissance réactive Pour courant continu Pour tension inverse Par température de transition Par courant de collecteur Par tension collecteur-émetteur Par dissipation de puissance La procédure de calcul est la suivante : 1. Déterminez les valeurs quantitatives des paramètres qui caractérisent le fonctionnement normal de l'OB. 2. Construisez un schéma de circuit OB élément par élément qui détermine la connexion des éléments lorsqu'ils remplissent une fonction donnée. Les éléments auxiliaires utilisés dans l'exécution de la fonction OB ne sont pas pris en compte. 3. Les données initiales pour le calcul de fiabilité sont déterminées : type, quantité, données nominales des éléments mode de fonctionnement, température ambiante et autres paramètres facteur d'utilisation de l'élément facteur de service du système l'élément de base est défini kg et taux d'échec kg" selon la formule : ki "= un 1* un 2* un 3* un 4* ki * ku le facteur de fiabilité est déterminé 4. Les principaux indicateurs de fiabilité OB sont déterminés, avec une connexion logiquement séquentielle (principale) des éléments, nœuds et appareils : probabilité d'échec: P(t)=exp(-l b*To*) , où Ni - nombre d'éléments identiques dans OB n est le nombre total d'éléments dans l'OB qui ont la connexion principale le temps de l'échec: À=1/(l b*) S'il existe des sections avec une connexion parallèle d'éléments dans le circuit OB, les indicateurs de fiabilité sont d'abord calculés séparément pour ces éléments, puis pour l'OB dans son ensemble. 5. Les indicateurs de fiabilité trouvés sont comparés à ceux requis. S'ils ne correspondent pas, des mesures sont prises pour améliorer la fiabilité de OB (). 6. Les moyens d'améliorer la fiabilité de l'OB sont : - l'introduction de la redondance, qui se produit : intra-élément - l'utilisation d'éléments plus fiables structurel - redondance - commun ou séparé Exemple de calcul : Calculons les principaux indicateurs de fiabilité d'un ventilateur sur un moteur électrique asynchrone. Le diagramme est affiché sur. Pour démarrer M, fermez QF, puis SB1. KM1 est alimenté, fonctionne et, avec ses contacts, KM2 connecte M à la source d'alimentation et shunte SB1 avec un contact auxiliaire. Pour éteindre M est SB2. La protection M utilise FA et le relais thermique KK1 avec KK2. Le ventilateur fonctionne en intérieur à T=50 C en mode continu. Pour le calcul, nous appliquons la méthode des coefficients, en utilisant les coefficients de fiabilité des composants du circuit. Nous acceptons le taux d'échec de l'élément de base l b \u003d 3 * 10 -8. Sur la base du schéma de circuit et de son analyse, nous établirons le circuit principal de calcul de la fiabilité (). Le schéma de calcul comprend des composants dont la défaillance entraîne une défaillance complète de l'appareil. Les données initiales seront résumées dans . Élément de base, 1/h kg 3*10 -8 Coef. des conditions de fonctionnement Taux d'échec kg ' l b * ku \u003d 7,5 * 10 -8 Temps de travail, h Élément de schéma de circuit Élément de modèle de conception Nombre d'éléments Coef. fiabilité Coef. charges Coef. charge électrique Coef. Température Coef. charges de puissance Coef. utiliser Le produit du coefficient une Coef. fiabilité S (Ni*ki') Temps jusqu'à l'échec, h 1/[ l b ’* S (Ni*ki’)]=3523.7 Probabilité e [- l b '*À* S (Ni*ki')] \u003d 0,24 Sur la base des résultats des calculs, les conclusions suivantes peuvent être tirées : 1. Délai avant panne de l'appareil : To=3524 h. 2. Probabilité de fonctionnement sans panne : p(t)=0,24. Probabilité qu'au cours d'un temps de fonctionnement donné t, dans des conditions de fonctionnement données, aucune défaillance ne se produise. Cas particuliers de calcul de fiabilité. 1. L'objet (ci-après OB) est constitué de n blocs connectés en série (). La probabilité de fonctionnement sans panne de chaque bloc p. Trouver la probabilité de fonctionnement sans défaillance P du système dans son ensemble. Solution: P = p n 2. OB se compose de n blocs connectés en parallèle (). La probabilité de fonctionnement sans panne de chaque bloc p. Trouver la probabilité de fonctionnement sans défaillance P du système dans son ensemble. Solution: P =1-(1-p) 2 3. OB se compose de n blocs connectés en parallèle (). La probabilité de fonctionnement sans panne de chaque bloc p. La probabilité de fonctionnement sans défaillance de l'interrupteur (P) p1. Trouver la probabilité de fonctionnement sans défaillance P du système dans son ensemble. Solution: P=1-(1-p)*(1-p1*p) 4. OB se compose de n blocs (), avec la probabilité de fonctionnement sans défaillance de chaque bloc p. Afin d'augmenter la fiabilité de l'OB, une duplication a été faite, avec les mêmes blocs. Trouver la probabilité de fonctionnement sans panne du système : avec duplication de chaque bloc Pa, avec duplication de tout le système Pb. Solution: Pa = n Pb = 2 5. OB se compose de n blocs (voir Fig. 10). Avec C utilisable, la probabilité de fonctionnement sans panne est U1=p1, U2=p2. Si C est en panne, la probabilité de fonctionnement sans panne est U1=p1", U2=p2". Probabilité de fonctionnement sans panne C=ps. Trouver la probabilité de fonctionnement sans défaillance P du système dans son ensemble. Solution: P = ps *+(1- ps )* 9. OB se compose de 2 nœuds U1 et U2. Probabilité de fonctionnement sans panne pendant t nœuds : U1 p1=0.8, U2 p2=0.9. Après écoulement du temps t, l'OB est en défaut. Trouvez la probabilité que : - H1 - le nœud U1 est défectueux - H2 - le nœud U2 est défectueux - H3 - les nœuds U1 et U2 sont défectueux Solution : H0 s'est évidemment produit lorsque les deux nœuds sont sains. Événement A=H1+H2+H3 Probabilités a priori (initiales) : - P(H1)=(1-p1)*p2=(1-0.8)*0.9=0.2*0.9=0.18 - P(H2)=(1-p2)*p1=(1-0.9)*0.8=0.1*0.8=0.08 - P(H3)=(1-p1)*(1-p2)=(1-0.8)*0.9=0.2*0.1=0.02 - A= je=1 å 3 *P(Hi)=P(H1)+P(H2)+P(H3)=0.18+0.08+0.02=0.28 Probabilités a posteriori (finales): - P(H1/A)=P(H1)/A=0.18/0.28=0.643 - P(H2/A)=P(H2)/A=0.08/0.28=0.286 - P(H3/A)=P(H3)/A=0.02/0.28=0.071 10. OB se compose de m blocs de type U1 et n blocs de type U2. Probabilité de fonctionnement sans panne pendant le temps t de chaque bloc U1=p1, chaque bloc U2=p2. Pour que l'OB fonctionne, il suffit que pendant t 2 blocs quelconques de type U1 et en même temps 2 blocs quelconques de type U2 fonctionnent sans faute. Trouver la probabilité de fonctionnement sans défaillance de l'OB. Solution : L'événement A (fonctionnement sans défaillance de l'OB) est le produit de 2 événements : - A1 - (au moins 2 unités sur m de type U1 fonctionnent) - A2 - (au moins 2 unités sur n de type U2 fonctionnent) Le nombre X1 de blocs de sécurité de type U1 est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale de paramètres m, p1. L'événement A1 est que X1 prendra une valeur d'au moins 2, donc : P(A1)=P(X1>2)=1-P(X1<2)=1-P(X1=0)-P(X1=1)=1-(g1 m +m*g2 m-1 *p1), où g1=1-p1 également : P(A2)=1-(g2 n +n*g2 n-1 *p2), où g2=1-p2 Probabilité de fonctionnement sans défaillance de l'OB : R=P(A)=P(A1)*P(A2)= * , où g1=1-p1, g2=1-p2 11. OB se compose de 3 nœuds (). Le nœud U1 a n1 éléments avec un taux de défaillance l1. Le nœud U2 a n2 éléments avec un taux de défaillance l2. Le nœud U3 a n3 éléments avec un taux de défaillance l2, car U2 et U3 se dupliquent. U1 échoue si au moins 2 éléments y échouent. U2 ou U3 parce que sont dupliqués, échouent si au moins un élément y échoue. OB échoue si U1 ou U2 et U3 échouent ensemble. La probabilité de fonctionnement sans défaillance de chaque élément p. Trouvez la probabilité que l'OB ne tombe pas en panne au temps t. Les probabilités de défaillance de U 2 et U 3 sont : R2=1-(1-p2) n2 R3=1-(1-p3) n3 Les probabilités de défaillance de l'ensemble de l'OB : R=R1+(1-R1)*R2*R3 Littérature: Malinsky V.D. et autres Essais d'équipements radio, Energia, 1965 GOST 16503-70 - "Produits industriels. Nomenclature et caractéristiques des principaux indicateurs de fiabilité". Shirokov A.M. Fiabilité des appareils électroniques radio, M, Lycée, 1972 GOST 18322-73 - "Systèmes de maintenance et de réparation des équipements. Termes et définitions". GOST 13377-75 - "Fiabilité en ingénierie. Termes et définitions". Kozlov B.A., Ouchakov I.A. Manuel de calcul de la fiabilité de l'électronique radio et des équipements d'automatisation, M, Owls. Radio, 1975 Perrote A.I., Storchak M.A. Questions de fiabilité de REA, M, Sov. Radio, 1976 Levin B.R. Théorie de la fiabilité des systèmes d'ingénierie radio, M, Sov. Radio, 1978 GOST 16593-79 - "Entraînements électriques. Termes et définitions". I. Bragin 08.2003

Lorsque l'on considère les questions de fiabilité, il est souvent commode de penser aux choses comme si l'élément était sollicité par flux de pannes avec une certaine intensité l(t); l'élément échoue au moment où le premier événement de ce thread se produit.

L'image du "flux de défaillance" acquiert un sens réel si l'élément défaillant est immédiatement remplacé par un nouveau (récupéré). La séquence d'instants aléatoires auxquels les défaillances se produisent (Fig. 3.10) est un certain flux d'événements, et les intervalles entre les événements sont des variables aléatoires indépendantes distribuées selon la loi de distribution correspondante.

La notion de « taux de défaillance » peut être introduite pour toute loi de fiabilité de densité f(t) ; dans le cas général, le taux de défaillance l sera une variable.

intensité(ou autrement « danger ») de pannes est le rapport de la densité de distribution du temps de fonctionnement d'un élément à sa fiabilité :

Expliquons la signification physique de cette caractéristique. Soit un grand nombre N d'éléments homogènes testés simultanément, chacun jusqu'au moment de sa défaillance. Notons n(t) - le nombre d'éléments qui se sont avérés utilisables au moment t, et m(t, t + Dt), comme précédemment, - le nombre d'éléments qui ont échoué en une petite période de temps (t , t + Dt). Le nombre moyen de pannes par unité de temps sera

Nous divisons cette valeur non pas par le nombre total d'éléments testés N, mais par nombre d'appareils utilisables par le temps t des éléments n(t). Il est facile de voir que pour N grand, le rapport sera approximativement égal au taux de défaillance l (t) :

En effet, pour un grand N n(t)»Np(t)

Mais d'après la formule (3.4),

Dans les travaux sur la fiabilité, l'expression approchée (3.8) est souvent considérée comme une définition du taux de défaillance, c'est-à-dire il est défini comme le nombre moyen de pannes par unité de temps pour un élément opérationnel.

La caractéristique l(t) peut recevoir une autre interprétation : elle est densité de probabilité conditionnelle de défaillance d'un élément à un instant donné t, à condition qu'il ait fonctionné sans problème avant l'instant t. En effet, considérons l'élément de probabilité l(t)dt - la probabilité que pendant le temps (t, t + dt) l'élément passe de l'état "fonctionnant" à l'état "ne fonctionnant pas", à condition qu'il ait fonctionné avant le instant t. En effet, la probabilité inconditionnelle de défaillance d'un élément de la section (t, t+dt) est égale à f(t)dt. C'est la probabilité de la combinaison de deux événements :

A - l'élément a fonctionné correctement jusqu'au moment t ;

B - l'élément a échoué à l'intervalle de temps (t, t+dt).

Par la règle de multiplication des probabilités : f(t)dt = P(AB) = P(A) P(B/A).

Sachant que Р(А)=р(t), on obtient : ;

et la valeur l(t) n'est rien d'autre que la densité de probabilité conditionnelle de la transition de l'état "travail" à l'état "échec" pour l'instant t.

Si le taux d'échec l(t) est connu, alors la fiabilité p(t) peut être exprimée en termes de celui-ci. Considérant que f(t)=-p"(t), on écrit la formule (3.7) sous la forme :

En intégrant, on obtient :

Ainsi, la fiabilité est exprimée en termes de taux d'échec.

Dans le cas particulier où l(t)=l=const, la formule (3.9) donne :

p(t)=e - l t , (3.10)

celles. la loi dite exponentielle de la fiabilité.

En utilisant l'image du "flux de défaillances", on peut interpréter non seulement la formule (3.10), mais aussi la formule plus générale (3.9). Imaginons (absolument conditionnellement !) qu'un élément de loi de fiabilité arbitraire p(t) soit affecté par un flux de défaillances d'intensité variable l(t). Alors la formule (3.9) pour p(t) exprime la probabilité que plus d'une défaillance n'apparaissent pas dans l'intervalle de temps (0, t).

Ainsi, aussi bien avec l'exponentielle qu'avec toute autre loi de fiabilité, le fonctionnement de l'élément, à partir de l'instant d'enclenchement t=0, peut être imaginé de telle sorte que la loi de Poisson des défaillances agisse sur l'élément ; pour la loi de fiabilité exponentielle, ce flux sera d'intensité constante l, et pour une loi non exponentielle, d'intensité variable l(t).

Notez que cette image ne convient que si l'élément défaillant pas remplacé par du neuf. Si, comme nous l'avons fait auparavant, nous remplaçons immédiatement l'élément défectueux par un nouveau, le flux de défaillance ne sera plus Poisson. En effet, son intensité va dépendre non seulement du temps t qui s'est écoulé depuis le début de tout le processus, mais aussi du temps t qui s'est écoulé depuis l'instant aléatoire d'allumage précisément étant donnéélément; donc le flux d'événements a une conséquence et n'est pas de Poisson.

Si, cependant, tout au long du processus à l'étude, cet élément n'est pas remplacé et ne peut échouer qu'une seule fois, alors lors de la description d'un processus qui dépend de son fonctionnement, on peut utiliser le schéma d'un processus aléatoire de Markov. mais avec un taux d'échec variable plutôt que constant.

Si la loi de fiabilité non exponentielle diffère relativement peu de la loi exponentielle, alors, par souci de simplification, il est possible de la remplacer approximativement par une loi exponentielle (Fig. 3.11).

Le paramètre l de cette loi est choisi de manière à conserver inchangée l'espérance mathématique du temps de disponibilité qui, comme on le sait, est égale à l'aire délimitée par la courbe p(t) et les axes de coordonnées. Pour cela, il faut fixer le paramètre l de la loi exponentielle égal à

où est l'aire délimitée par la courbe de fiabilité p(t). Ainsi, si nous voulons caractériser la fiabilité d'un élément par un taux de défaillance moyen, nous devons prendre comme intensité l'inverse du temps de disponibilité moyen de l'élément.

Ci-dessus, nous avons défini la valeur comme la zone délimitée par la courbe p(t). Cependant, si vous voulez savoir seulement le temps moyen entre les pannes d'un élément, il est plus facile de le trouver directement à partir du matériel statistique car moyen toutes les valeurs observées de la variable aléatoire T - le temps de fonctionnement de l'élément avant sa défaillance. Cette méthode peut également être appliquée dans le cas où le nombre d'expériences est faible et ne permet pas de construire avec précision la courbe p(t).

Exemple 1 La fiabilité de l'élément p(t) décroît avec le temps selon une loi linéaire (Fig. 3.12). Trouvez le taux d'échec l(t) et le temps de fonctionnement moyen de l'élément .

Solution. D'après la formule (3.7) sur le segment (0, t o) on a :

Selon la loi de fiabilité donnée

(0

La deuxième intégrale ici est .

Quant au premier, il se calcule approximativement (numériquement) : ,

d'où » 0,37+0,135=0,505.

Exemple 3 La densité de distribution du temps de fonctionnement de l'élément est constante dans la section (t 0, t 1) et est nulle en dehors de cette section (Fig. 3.16). Trouver le taux d'échec l(t).

Solution. Nous devons

Le graphique du taux d'échec est illustré à la fig. 3.17 ; pour t® t 1, l(t)® ¥ .

Taux d'échec est le rapport entre le nombre d'échantillons d'équipement défectueux par unité de temps et le nombre d'échantillons initialement définis pour les tests, à condition que les échantillons défectueux ne soient pas restaurés et ne soient pas remplacés par d'autres en bon état.

Étant donné que le nombre d'échantillons ayant échoué dans un intervalle de temps peut dépendre de l'emplacement de cet intervalle le long de l'axe des temps, le taux d'échec est fonction du temps. Cette caractéristique est encore notée α(t).

Par définition

où n(t) est le nombre d'échantillons ayant échoué dans l'intervalle de temps de à ; N 0 est le nombre d'échantillons d'équipement initialement installés pour les essais ; - intervalle de temps.

L'expression (1.10) est une définition statistique du taux d'échec. Il est facile de donner une définition probabiliste à cette caractéristique quantitative de fiabilité. Calculons dans l'expression (1.10) n (t), soit le nombre d'échantillons qui ont échoué dans l'intervalle. De toute évidence,

n(t) = -, (1.11)

où N(t) est le nombre d'échantillons qui fonctionnent correctement au temps t ; N(t + ) est le nombre d'échantillons qui fonctionnent correctement au moment t + .

Pour un nombre suffisamment grand d'échantillons (N 0), les relations suivantes sont valables :

N(t) = N0P(t);

N(t+ ) = N 0 P(t+ ). (1.12)

En substituant l'expression (1.11) à l'expression (1.10) et en tenant compte de l'expression (1.12), on obtient :

,

et en tenant compte de l'expression (1.4) on obtient :

α(t) = Q / (t) (1.13)

Il ressort de l'expression (1.13) que le taux de défaillance caractérise la densité de distribution du temps de fonctionnement de l'équipement avant sa défaillance . Numériquement, il est égal à la dérivée de la probabilité de fonctionnement sans panne prise avec le signe opposé. L'expression (1.13) est une définition probabiliste du taux de défaillance.

Ainsi, il existe des dépendances non ambiguës entre le taux de défaillance, la probabilité de fonctionnement sans défaillance et la probabilité de défaillances pour toute loi de distribution du temps d'occurrence de la défaillance. Basées sur (1.13) et (1.4), ces dépendances ont la forme :

. (1.15)

La fréquence des pannes, étant la densité de distribution, caractérise le plus complètement un phénomène aussi aléatoire que le moment d'apparition des pannes. Probabilité de fonctionnement sans défaillance, espérance mathématique, variance, etc. ne sont que des caractéristiques commodes de la distribution et peuvent toujours être obtenues si le taux de défaillance α(t) est connu. C'est son principal avantage en tant que caractéristique de fiabilité.

La caractéristique α(t) présente également des inconvénients importants. Ces lacunes deviennent claires après un examen détaillé de l'expression (1.10). Lors de la détermination de a(t) à partir de données expérimentales, le nombre d'échantillons défaillants n(t) est fixé pour une période de temps, à condition que tous les échantillons précédemment défaillants ne soient pas reconstitués avec des échantillons utilisables. Cela signifie que le taux de défaillance ne peut être utilisé pour évaluer la fiabilité que des équipements qui, après l'apparition d'une défaillance, ne sont pas réparés et ne sont pas exploités par la suite (par exemple, les équipements jetables, les éléments les plus simples qui ne peuvent pas être réparés, etc. .). Dans le cas contraire, le taux de défaillance caractérise la fiabilité de l'équipement uniquement jusqu'à sa première défaillance.

Il est difficile d'évaluer la fiabilité des équipements durables réparables à partir du taux de défaillance. Pour cela, il est nécessaire de disposer d'une famille de courbes α(t) obtenues : avant la première panne, entre la première et la seconde, la deuxième et la troisième pannes, etc. Cependant, il convient de noter qu'en l'absence de vieillissement du matériel, les taux de défaillance indiqués coïncideront. Par conséquent, α(t) caractérise bien la fiabilité de l'équipement également dans le cas où les défaillances suivent une distribution exponentielle.

La fiabilité d'un équipement à long terme peut être caractérisée par la fréquence des pannes obtenues en remplaçant l'équipement défaillant par un équipement en état de marche. Dans ce cas, la formule (1.10) ne change pas extérieurement, mais son contenu interne change.

Le taux de défaillance obtenu en remplaçant l'équipement défaillant par un équipement fonctionnel (neuf ou remis à neuf) est parfois appelé taux de défaillance moyen et est noté .

Taux d'échec moyen est le rapport entre le nombre d'échantillons défectueux par unité de temps et le nombre d'échantillons testés, à condition que tous les échantillons défectueux soient remplacés par des échantillons utilisables (neufs ou restaurés).

De cette façon,

où n(t) est le nombre d'échantillons défectueux dans l'intervalle de temps de à , N 0 est le nombre d'échantillons testés (N 0 reste constant pendant le test, puisque tous les échantillons défectueux sont remplacés par des échantillons utilisables), est l'intervalle de temps .

Le taux d'échec moyen a les propriétés importantes suivantes :

une) . Cette propriété devient évidente si l'on considère que ;

2) quel que soit le type de fonction α(t) à , le taux de défaillance moyen tend vers une valeur constante ;

3) le principal avantage du taux de défaillance moyen en tant que caractéristique quantitative de la fiabilité est qu'il permet une évaluation assez complète des propriétés des équipements fonctionnant en mode changement d'élément. Ces équipements comprennent des systèmes automatiques complexes conçus pour une utilisation à long terme. Ces systèmes après l'apparition de pannes sont réparés puis remis en service ;

4) le taux de défaillance moyen peut également être utilisé pour évaluer la fiabilité des systèmes jetables complexes pendant leur stockage ;

5) il permet aussi tout simplement de déterminer le nombre d'éléments d'un type donné défaillants dans l'équipement. Cette propriété peut être utilisée pour calculer le nombre d'éléments nécessaires au fonctionnement normal de l'équipement pendant le temps t. C'est donc la caractéristique la plus pratique pour les entreprises de réparation;

1) la connaissance vous permet également de planifier correctement la fréquence des mesures préventives, la structure des organes de réparation, le nombre requis et la gamme d'éléments de rechange.

Les inconvénients du taux de défaillance moyen comprennent la complexité de la détermination d'autres caractéristiques de fiabilité, et en particulier la principale d'entre elles, la probabilité de fonctionnement sans défaillance, avec .

Un système complexe est constitué d'un grand nombre d'éléments. Par conséquent, il est intéressant de trouver la dépendance du taux d'échec moyen. Introduisons le concept de taux de défaillance total d'un système complexe.

Taux d'échec total appelé le nombre de pannes d'équipement par unité de temps pour l'une de ses instances.

Taux d'échec est le rapport du nombre d'échantillons d'équipement défectueux par unité de temps au nombre moyen d'échantillons qui fonctionnent correctement dans une période de temps donnée, à condition que les échantillons défectueux ne soient pas restaurés et ne soient pas remplacés par des échantillons utilisables.

Cette caractéristique est notée. Selon la définition

où n(t) est le nombre d'échantillons ayant échoué dans l'intervalle de temps de à ; - intervalle de temps - le nombre moyen d'échantillons fonctionnant correctement dans l'intervalle ; N i - le nombre d'échantillons fonctionnant correctement au début de l'intervalle, N i +1 - le nombre d'échantillons fonctionnant correctement à la fin de l'intervalle.

L'expression (1.20) est une définition statistique du taux d'échec. Pour la représentation probabiliste de cette caractéristique, nous établissons la relation entre le taux de panne, la probabilité de fonctionnement sans panne et le taux de panne.

Remplaçons dans l'expression (1.20) l'expression pour n(t) des formules (1.11) et (1.12). Alors on obtient :

.

En tenant compte de l'expression (1.3) et du fait que N ср = N 0 – n(t), on trouve :

.

En allant vers zéro et en allant vers la limite, on obtient :

. (1.21)

En intégrant l'expression (1.21), on obtient :

Puisque , alors sur la base de l'expression (1.21) on obtient :

. (1.24)

Les expressions (1.22) - (1.24) établissent la relation entre la probabilité de fonctionnement sans défaillance, le taux de défaillance et le taux de défaillance.

L'expression (1.23) peut être une définition probabiliste du taux de défaillance.

Le taux d'échec en tant que caractéristique quantitative de la fiabilité présente un certain nombre d'avantages. Il est fonction du temps et permet d'établir visuellement les zones caractéristiques de l'équipement. Cela peut améliorer considérablement la fiabilité de l'équipement. En effet, si le temps de rodage (t 1) et le temps de fin de travail (t 2) sont connus, alors il est possible de fixer raisonnablement le temps d'entraînement de l'équipement avant le début de son expiration.

fonctionnement et sa ressource avant réparation. Cela permet de réduire le nombre de pannes pendant le fonctionnement, c'est-à-dire conduit, in fine, à une augmentation de la fiabilité des équipements.

Le taux de défaillance en tant que caractéristique quantitative de la fiabilité présente le même inconvénient que le taux de défaillance : il permet de caractériser assez simplement la fiabilité de l'équipement uniquement jusqu'à la première défaillance. C'est donc une caractéristique commode de la fiabilité des systèmes à usage unique et, en particulier, des éléments les plus simples.

Selon la caractéristique connue, les caractéristiques quantitatives restantes de fiabilité sont déterminées le plus simplement.

Ces propriétés du taux de défaillance permettent de le considérer comme la principale caractéristique quantitative de la fiabilité des éléments les plus simples de l'électronique radio.