Resumen: Aproximación de características de elementos no lineales y análisis de circuitos bajo influencias armónicas. §3.2 Aproximación de características de elementos no lineales Aproximación de características de elementos no lineales

Como se mencionó anteriormente, las características convenientes de los elementos no lineales no son las ecuaciones de acoplamiento, sino la característica corriente-voltaje de la resistencia activa.
o
o adicción
- para inductancia no lineal (característica de amperios), o dependencia q (u) - para capacitancia no lineal (característica de voltios-voltios) (Fig. 3.8).

Figura 3.8. Tipos de características de elementos no lineales.

Sin embargo, la forma gráfica de las características de los elementos no lineales (Fig. 3.8.) No permite el uso de dependencias (3.1-3.15) para elaborar ecuaciones para el funcionamiento de circuitos con elementos no lineales. Por tanto, uno de los problemas más importantes que surge al analizar oscilaciones en circuitos que contienen elementos no lineales es la aproximación de características no lineales. Las aproximaciones más extendidas de características no lineales son polinomiales y lineales por partes, así como la aproximación utilizando varios tipos de funciones trascendentales.

Al analizar esquemas no lineales, la capacidad de obtener el resultado correcto depende significativamente tanto de la elección correcta del método de aproximación como de la expresión de la función de aproximación del elemento no lineal. Surge una cierta contradicción: cuanto más precisa es la aproximación de un elemento no lineal, más difícil es obtener la expresión analítica requerida para las características de un elemento no lineal. Pero además de esto, es más difícil construir una solución a una ecuación no lineal que describa oscilaciones en un sistema no lineal de este tipo utilizando la expresión elegida de la función de aproximación. Por tanto, la elección correcta de la aproximación de la característica no lineal permite simplificar significativamente la construcción de la solución a la ecuación no lineal. Además, debe tenerse en cuenta que muy a menudo la misma característica de un elemento no lineal debe aproximarse de diferentes maneras, dependiendo de las condiciones en las que opera el elemento no lineal y de los problemas que se deben investigar. Por tanto, se eligen métodos de aproximación en cada caso específico de estudio de oscilaciones en circuitos con diferentes elementos no lineales.

Considere formas de aproximar varias funciones de elementos no lineales. Los métodos más comunes para aproximar elementos no lineales incluyen los siguientes:

Aproximación polinomial: representación de una característica no lineal mediante una serie de potencias,

Aproximación lineal por partes: representación de la función aproximada mediante segmentos de línea recta,

aproximación utilizando varios tipos de funciones trascendentales.

Aproximación polinomial. Si alguna de las características no lineales viene dada por una expresión analítica, entonces, en la vecindad del punto de operación, la función se puede representar mediante una expansión en una serie de Taylor (
en las proximidades del punto x 0)

, (3.16)

donde R es el resto en la expansión de la serie de Taylor, que se desprecia en la aproximación.

Si la característica se da gráficamente (Figura 3.9), entonces la aproximación se puede realizar mediante una serie de potencias abreviada (polinomio), limitándola al segundo - quinto grado

Figura 3.9. Representación gráfica de una característica no lineal

Para determinar los coeficientes a k, requerimos que para los valores de la variable x k en el lado izquierdo del polinomio (3.17), se obtengan los valores de la función y k.

Componemos un sistema de ecuaciones:

dónde
. (3.18)

En este sistema de ecuaciones y n, y 0, x n, x 0 son valores conocidos, por lo que este sistema se puede resolver por el método de Cramer, con respecto a los coeficientes a k.

Si x = x 0 + S (x 0 es un sesgo constante y S es una pequeña señal), entonces

donde α es el parámetro diferencial del elemento no lineal. Así, se puede notar que el primer coeficiente a 1 de la aproximación polinomial de la característica no lineal (3.17) coincide con el parámetro diferencial del elemento no lineal. Además, observamos que si x = 0 se encuentra dentro del intervalo (x 5 -x 1) de aproximación de la característica no lineal por un polinomio, entonces el coeficiente a 0 determina el valor de la función en el origen (es decir, si considere i = φ (u), entonces el coeficiente a 0 = i (0) se define como el valor de la corriente en u = 0.

Aproximación lineal por partes. La aproximación lineal por partes se basa en reemplazar las características reales de un elemento no lineal con secciones separadas, que son reemplazadas por segmentos de línea recta (Figura 3.10).

Figura 3.10. Aproximación lineal por partes de un elemento no lineal

La precisión de la aproximación lineal por partes depende del número de intervalos reemplazados por segmentos de línea en un intervalo dado de usar la aproximación lineal por partes. Cuanto mayor sea el número de segmentos de línea recta el intervalo para el que usamos la aproximación lineal por partes, mayor será la precisión de la coincidencia con la característica no lineal real, pero al mismo tiempo el análisis de oscilaciones en tal sistema se vuelve sustancialmente más complicado. . Para simplificar los cálculos, es aconsejable limitar el número de segmentos de línea recta al número mínimo de segmentos de línea recta que reemplazan la característica no lineal. Por ejemplo, la característica de transmisión dinámica de un triodo (Figura 3.10) se puede aproximar con un grado suficiente de precisión con solo tres segmentos de línea recta:

. (3.20)

La sustitución de las secciones no lineales de las características de los elementos no lineales por segmentos de línea recta permite considerar las características en sí mismas lineales, lo que significa que todos los métodos de la teoría lineal de circuitos son ahora aplicables. A lo largo de las secciones lineales, los elementos no lineales son reemplazados por elementos lineales, con características iguales a sus valores diferenciales.

Aproximación de características no lineales mediante funciones trascendentales. A veces, las características de los elementos no lineales se aproximan mediante las funciones trascendentales de la figura 3.11. Las funciones exponenciales y sus sumas, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas y otras se utilizan como funciones trascendentales de aproximación. Por ejemplo,

o
. (3.21)

Figura 3.11. Ejemplos de aproximación de características no lineales

funciones trascendentales

Por lo general, Características I - V de elementos no lineales i = F (u) obtener experimentalmente, por lo tanto más a menudo se dan en forma de tablas o gráficos ... A lidiar con expresiones analíticas , es necesario recurrir a la aproximación.

Denotemos lo dado en la tabla. o gráficamente I - V característica de un elemento no lineal i = F V (u), pero función analítica, aproximándose dado característica, i = F (u, a 0, a 1, a 2, ..., a N ). Dónde a 0, a 1, ..., a N – impares esta función, encontrar como resultado de la aproximación.

A) En el método Chebyshev impares a 0 , a 1 , … , a Función N F (u) están de la condición:

es decir, ellos se determinan en el proceso de minimizar la desviación máxima de la función analítica de la dada. Aquí u k, k = 1, 2, ..., G - valores de voltaje seleccionados u.

En la aproximación rms impares a 0 , a 1 , …, a norte debería se así para minimizar la magnitud:

, (2.6)

B) Aproximación de Taylor de la función basado en la representación función i = F (u) por la serie de Taylor en la vecindad del punto u = U 0:

y determinando los coeficientes de esta descomposición. Si un limitarse a los dos primeros términos de la expansión en una serie de Taylor, luego hablaremos de reemplazar una dependencia no lineal compleja F (u) más simple relación lineal ... Semejante el reemplazo se llama linealización de características.

Primero plazo de expansión F (U 0) = I 0 representa corriente constante en el punto de funcionamiento a u = U 0, pero segunda hora lino

pendiente diferencial de la característica corriente-tensión en el punto de funcionamiento , yo como u = U 0 .

EN) La mayoría enfoque común una función dada es interpolación(método de puntos seleccionados), con la cual impares a 0 , a 1 , …, a N función aproximada F (u) se encuentran a partir de la igualdad de esta función y la dada F x (u) en puntos seleccionados (nodos de interpolación) u k = 1, 2, ..., N + 1.

E) Poder (polinomio ) aproximación. Este nombre fue dado aproximación de la característica I - V por polinomios de potencia:

Algunas veces puede ser conveniente resolver el problema de aproximación características dadas en una vecindad del punto U 0 llamada trabajando... Luego usa el polinomio de potencia

Aproximación de la ley de potencias amplio utilizado en análisis trabajo de no lineal dispositivos a los que relativamente pequeñas influencias externas , entonces Se requiere una reproducción suficientemente precisa de la no linealidad de la característica. en las proximidades del punto de operación.

E) Aproximación lineal por partes. En los casos en que el elemento no lineal se ve afectado por tensiones con grandes amplitudes, más reemplazo aproximado de la característica de un elemento no lineal y usar más funciones de aproximación simples ... La mayoría a menudo al analizar el funcionamiento de un elemento no lineal en este modo verdadero la característica es reemplazada segmentos de líneas rectas con diferentes pendientes .

Desde un punto de vista matemático, esto significa que los polinomios de potencia de primer grado ( N = 1 ) con diferentes valores de los coeficientes a 0 , a 1 , … , a NORTE.

De este modo, el problema de aproximar la característica I - V de elementos no lineales consiste en elegir la forma de la función de aproximación y determinar sus coeficientes por uno de los métodos anteriores.

Al estudiar las propiedades de los circuitos eléctricos, el fenómeno de histéresis, por regla general, se puede descuidar. Solo al investigar circuitos, cuyo funcionamiento se basa en este fenómeno (por ejemplo, el funcionamiento de dispositivos de almacenamiento magnético con un bucle de histéresis rectangular), se debe tener en cuenta la histéresis.

En la Fig. 15.11, se muestra una característica simétrica típica y = f (x).

Para una inductancia no lineal, el papel de x lo desempeña el valor instantáneo de la inducción, el papel de y es el valor instantáneo de la intensidad de campo H. Para un capacitor no lineal, y es el voltaje - carga q. Para las resistencias no lineales (por ejemplo, resistencias de tirita), el papel de x lo juega el voltaje, y es la corriente.

Existe un gran número de expresiones analíticas diferentes, de una forma u otra, adecuadas para la descripción analítica de las características de elementos no lineales. Al elegir la expresión analítica más adecuada para la función y = f (x), se parte no solo del hecho de que la curva descrita por la expresión analítica debe ubicarse lo suficientemente cerca de todos sus puntos de la curva obtenida experimentalmente en el rango esperado de los desplazamientos del punto de funcionamiento sobre él, pero tener en cuenta y las posibilidades que da la expresión analítica elegida en el análisis de las propiedades de los circuitos eléctricos.

Además, para la descripción analítica de las características simétricas del tipo de la Fig. 15.11, pero usaremos el seno hiperbólico:

En esta expresión - coeficientes numéricos; a se expresa en aquellas unidades que - en unidades recíprocas a las unidades, de modo que el producto es una cantidad adimensional. Para determinar los coeficientes desconocidos, se deben seleccionar arbitrariamente los dos puntos más característicos a través de los cuales la curva analítica debe pasar sobre la dependencia obtenida experimentalmente y = f (x) en el rango operativo asumido, sustituir las coordenadas de estos puntos en la ecuación (15.1) y luego resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Sea las coordenadas de estos puntos (figura 15.11, a). Luego

Actitud

La ecuación trascendental (15.2) se utiliza para determinar el coeficiente. Por eso,

Ejemplo 147. La curva de magnetización del acero del transformador se muestra en la Fig. 15.11, b. Encuentre los coeficientes ay.

Decisión. Seleccione dos puntos en la curva:

De acuerdo con la ecuación (15.2), tenemos Establecemos valores arbitrarios y hacemos cálculos:

Basándonos en los resultados de los cálculos, construimos una curva y la encontramos a partir de ella. A continuación, definimos

La línea de puntos en la Fig. 15.11, b se construye de acuerdo con la ecuación. § 15.14. El concepto de funciones de Bessel. Al analizar circuitos no lineales, las funciones de Bessel se utilizan ampliamente, que son una solución a la ecuación de Bessel

Las funciones de Bessel se expresan mediante series de potencias y se compilan tablas para ellas. Se denota la función de Bessel del argumento, donde es el orden de la función de Bessel. La expresión general para en forma de serie de potencias se puede escribir de la siguiente manera:

Cuadro 15.1

Para analizar el paso de señales a través de circuitos que contienen un elemento no lineal, es necesario configurar su característica corriente-voltaje (VAC) en forma analítica. Para un elemento no lineal de dos polos, la característica I - V caracteriza la dependencia de su corriente en el voltaje aplicado I(tu); Los NE multipolares se describen mediante la característica de paso. Los métodos más extendidos para representar características I - V no lineales en forma de polinomios o segmentos lineales de línea discontinua. La aproximación polinomial se usa generalmente para cambios suficientemente pequeños en el voltaje de entrada en la vecindad del punto de operación, y la línea discontinua lineal se usa para los grandes.

Considere una aproximación en forma de polinomio de potencia usando el ejemplo de un transistor bipolar conectado en un circuito emisor común. Su característica de rendimiento I - V se describe mediante la dependencia. El grado del polinomio que se puede usar para restringir la función de aproximación depende de la posición del punto de operación y la magnitud del voltaje de entrada. La Figura 23 muestra una gráfica de la función, donde E op es el voltaje base-emisor correspondiente al corte de corriente.

En el caso general, el polinomio aproximado tiene la forma

donde es la corriente del colector en el punto de operación en es el desplazamiento constante de la unión base-emisor (punto de operación), son los coeficientes del polinomio, y

El coeficiente representa la pendiente (derivada) de la característica en el punto de operación, la primera derivada de la pendiente (con un coeficiente de 1/2), etc. Está claro que los coeficientes dependen de la posición del punto de operación del elemento no lineal, es decir desde su modo DC.

Consideremos casos especiales.

1. El punto de operación está en la sección lineal de la característica, y los cambios de voltaje de entrada son tales que el valor instantáneo de la corriente no va más allá de la sección lineal.

En este caso, al aproximarnos, podemos restringirnos a un polinomio de primer grado:

El coeficiente a menudo se llama pendiente y se denota con la letra S.

Este tipo de aproximación se usa cuando se analizan amplificadores de una señal débil, y el punto de operación generalmente se elige en el medio de la sección lineal más empinada (punto en la Fig. 23).

(2) El punto de operación está ubicado en la sección no lineal inferior de la característica I - V (punto en la Fig. 23), que tiene la forma de una parábola cuadrática. Se asume que el valor instantáneo de la tensión de entrada no va más allá del punto donde está la tensión de corte del elemento no lineal (el inicio de la característica). En este caso, el polinomio aproximado se puede limitar al segundo grado:

Dónde .

Si es la pendiente de la característica I - V en el punto de funcionamiento, entonces el valor se puede determinar a partir de la condición: ,. En este caso ,

3. El punto de operación es el punto de inflexión de la característica y los cambios en la señal de entrada son lo suficientemente grandes (ver Fig. 24).

En el punto de inflexión, todas las derivadas de orden par son iguales a cero. por lo tanto

Si, podemos restringirnos a un polinomio de tercer grado sin un término cuadrático (línea de puntos en la Fig.24):

Voltaje a veces denominado voltaje de saturación. Al establecer este voltaje y conocer el valor, el valor se determina de forma única:

,

Una aproximación en forma de polinomio cúbico es admisible para .

En todos los demás casos de posición del punto de operación y cambios en la tensión de entrada, la aproximación polinomial requiere un grado mayor, lo que complica el análisis y el uso de un polinomio de potencia para cálculos prácticos es ineficaz.

Con cambios muy grandes en la señal, resulta más apropiado Aproximación lineal por partes... Al mismo tiempo, para construir las características de un transistor con un OE en un modo de señal grande, se pueden utilizar las siguientes idealizaciones:

a) las características I - V de la entrada estática pueden considerarse independientes de; la sección no lineal inferior se endereza hasta la intersección con la abscisa; este punto define el voltaje; en este caso, una dependencia inequívoca de la tensión en, es decir, las características de salida no dependen del parámetro en el que se tomaron (ver Fig. 25);

Academia de Rusia

Departamento de Física

Resumen sobre el tema:

"APROXIMACIÓN DE CARACTERÍSTICAS DE ELEMENTOS NO LINEALES Y ANÁLISIS DE CIRCUITOS BAJO IMPACTO ARMÓNICO"

Preguntas de estudio

1. Aproximación de las características de elementos no lineales

2. Métodos de análisis grafoanalíticos y analíticos

3. Análisis de circuitos mediante el método del ángulo de corte

4. El impacto de dos oscilaciones armónicas en la inercia

elemento no lineal

Literatura

Introducción

Para todos los circuitos lineales considerados anteriormente, es válido el principio de superposición, del cual se sigue una consecuencia simple e importante: una señal armónica, que pasa por un sistema lineal estacionario, permanece sin cambios de forma, adquiriendo solo otra amplitud y fase inicial. Es por eso que un circuito estacionario lineal no puede enriquecer la composición espectral de la oscilación de entrada.

Una característica de los NE, en comparación con los lineales, es la dependencia de los parámetros del NE de la magnitud del voltaje aplicado o la fuerza de la corriente que fluye. Por lo tanto, en la práctica, al analizar circuitos no lineales complejos, usan varios métodos aproximados (por ejemplo, reemplazan un circuito no lineal por uno lineal en la región de pequeños cambios en la señal de entrada y usan métodos de análisis lineal) o se limitan a conclusiones cualitativas .

Una propiedad importante de los circuitos eléctricos no lineales es la capacidad de enriquecer el espectro de la señal de salida. Esta importante característica se utiliza en la construcción de moduladores, convertidores de frecuencia, detectores, etc.

La solución de muchos problemas asociados con el análisis y síntesis de dispositivos y circuitos de ingeniería de radio requiere el conocimiento de los procesos que ocurren con la acción simultánea de dos señales armónicas sobre un elemento no lineal. Esto se debe a la necesidad de multiplicar dos señales al implementar dispositivos como convertidores de frecuencia, moduladores, demoduladores, etc. Naturalmente, la composición espectral de la corriente de salida del NE bajo acción biarmónica será mucho más rica que bajo acción monoarmónica.

A menudo surge una situación en la que una de las dos señales que afectan al NE tiene una amplitud pequeña. El análisis en este caso se simplifica enormemente. Se puede suponer que, con respecto a una pequeña señal, el NE es lineal, pero con un parámetro variable (en este caso, la pendiente de la característica I - V). Este modo de funcionamiento del NE se denomina paramétrico.

1. Aproximación de las características de elementos no lineales

Al analizar los circuitos no lineales (NC), generalmente no consideran los procesos que ocurren dentro de los elementos que componen este circuito, sino que están limitados solo por sus características externas. Por lo general, esta es la dependencia de la corriente de salida del voltaje de entrada aplicado.

, (1)

que se denomina comúnmente característica corriente-voltaje (VCA).

Lo más simple es usar la forma tabular existente de la característica I - V para cálculos numéricos. Si el análisis del circuito debe llevarse a cabo mediante métodos analíticos, entonces surge el problema de seleccionar una expresión matemática que refleje todas las características más importantes de las características tomadas experimentalmente.

Esto no es más que un problema de aproximación. En este caso, la elección de la expresión aproximada está determinada tanto por la naturaleza de la no linealidad como por los métodos de cálculo utilizados.

Las características reales son bastante complejas. Esto hace que sea difícil describirlos matemáticamente con precisión. Además, la forma tabular de la característica I - V hace que las características sean discretas. En los intervalos entre estos puntos, se desconocen las características IV. Antes de proceder a la aproximación, es necesario determinar de alguna manera los valores desconocidos de la característica I - V, para hacerla continua. Aquí surge el problema de la interpolación (de lat. enterrar- Entre, polio- suavizado): esta es la búsqueda de valores intermedios de una función por algunos de sus valores conocidos. Por ejemplo, encontrar valores

en puntos que se encuentran entre puntos por valores conocidos. Si, entonces un procedimiento similar conlleva problemas de extrapolación.

Por lo general, solo se aproxima la parte de la característica que es el área de trabajo, es decir, dentro del rango de variación en la amplitud de la señal de entrada.

Al aproximar las características corriente-voltaje, es necesario resolver dos problemas: elegir una determinada función de aproximación y determinar los coeficientes correspondientes. La función debe ser simple y, al mismo tiempo, transmitir con suficiente precisión la característica aproximada. La determinación de los coeficientes de las funciones de aproximación se realiza mediante los métodos de interpolación, raíz cuadrada media o aproximación uniforme, que se consideran en matemáticas.

Matemáticamente, el enunciado del problema de interpolación se puede formular de la siguiente manera.

Encontrar polinomio

no más grado norte tal que I = 0, 1, …, norte si se conocen los valores de la función original en puntos fijos, I = 0, 1, …, norte... Está demostrado que siempre hay un solo polinomio de interpolación, que se puede representar en varias formas, por ejemplo, en forma de Lagrange o Newton. (Considérese en el autoestudio de acuerdo con la literatura recomendada).

Aproximación de polinomios de potencia y lineal por partes

Se basa en el uso de la serie de Taylor y Maclaurin bien conocida del curso de matemáticas superiores y consiste en la expansión de la característica I - V no lineal

en una serie de dimensión infinita que converge en alguna vecindad del punto de trabajo. Dado que tal serie no se puede realizar físicamente, es necesario limitar el número de miembros de la serie en función de la precisión requerida. La aproximación de la ley de potencias se aplica con un cambio relativamente pequeño en la amplitud del impacto con respecto a.

Consideremos la forma típica de la característica I - V de cualquier NE (Fig. 1).

Voltaje

determina la posición del punto de funcionamiento y, en consecuencia, el modo de funcionamiento estático del NE.

Higo. 1. Un ejemplo de una característica I - V típica de un NE

Por lo general, no se aproxima toda la característica del NE, sino solo el área de trabajo, cuyo tamaño está determinado por la amplitud de la señal de entrada, y la posición en la característica está determinada por la magnitud del desplazamiento constante

... El polinomio aproximado se escribe como, (2)

donde los coeficientes

están definidos por expresiones.

La aproximación por un polinomio de potencias consiste en encontrar los coeficientes de la serie

... Para una forma dada de la característica I - V, estos coeficientes dependen significativamente de la elección del punto de operación, así como del ancho de la sección utilizada de la característica. En este sentido, es recomendable considerar algunos de los casos más típicos e importantes para la práctica.

1. El punto de operación está ubicado en el medio de la sección lineal (Fig. 2).

Higo. 2. Punto de trabajo de la característica I - V - en el medio de la sección lineal

El área de la característica, donde la ley del cambio de corriente es casi lineal, es relativamente estrecha, por lo tanto, la amplitud del voltaje de entrada

no debe ir más allá de esta área. En este caso, puede escribir :, (3) - corriente de reposo; ; - pendiente diferencial de la característica.

Este caso solo es aplicable cuando la señal es débil.