Знаходження оберненої матриці. Транспонування матриці в програмі Microsoft Excel Транспонування матриці 2 на 2

Щоб транспонувати матрицю, треба рядки матриці записати в стовпці.

Якщо, то транспонована матриця

Якщо то

Завдання 1.знайти

1. Визначники квадратних матриць.

Для квадратних матриць вводиться число, яке називається визначником.

Для матриць другого порядку (розмірність) визначник задається формулою:

Наприклад, для матриці її визначник

приклад . Обчислити визначники матриць.

Для квадратних матриць третього порядку (розмірність) існує правило «трикутника»: на малюнку пунктирна лінія означає - помножити числа, через які проходить пунктирна лінія. Перші три числа треба скласти, наступні три числа треба віднімати.

приклад. Обчислити визначник.

Щоб дати загальне визначення визначника, треба ввести поняття мінору і алгебраїчного доповнення.

мінором елемента матриці називається визначник, отриманий викреслюванням - тієї рядки і - того стовпця.

Приклад. Знайдемо деякі мінори матриці А.

алгебраїчним доповненнямелемента називається число.

Значить, якщо сума індексів і парна, то і нічим не відрізняються. Якщо ж сума індексів і непарна, то і відрізняються тільки знаком.

Для попереднього прикладу.

визначником матриціназивається сума добутків елементів деякого рядка

(Шпальти) з їхньої алгебраїчні доповнення. Розглянемо це визначення на матриці третього порядку.

Перший запис називається розкладанням визначника по першому рядку, друга - розкладання по дві колонки, остання - розкладання по третьому рядку. Всього таких розкладів можна записати шість разів.

приклад. Обчислити визначник за правилом «трикутника» і розклавши його по першому рядку, потім по третьому стовпці, потім по другому рядку.

Розкладемо визначник по першому рядку:

Розкладемо визначник по третьому стовпці:

Розкладемо визначник по другому рядку:

Зауважимо, що чим більше нулів, тим простіше обчислення. Наприклад, розкладаючи по на одну колонку, отримаємо

Серед властивостей визначників є властивість, що дозволяє отримувати нулі, а саме:

Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на нульове число, то визначник не зміниться.

Візьмемо цей же визначник і отримаємо нулі, наприклад, в першому рядку.

Визначники вищих порядків обчислюються таким же чином.

Завдання 2.Обчислити визначник четвертого порядку:

1) розклавши по будь-якому рядку або будь-якому стовпцю

2) отримавши попередньо нулі

Отримаємо додатковий нуль, наприклад, у другому стовпці. Для цього елементи другого рядка помножимо на -1 і додамо до четвертому рядку:

1. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.

Покажемо рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.

Завдання 2. Вирішити систему рівнянь.

Треба обчислити чотири визначника. Перший називається основним і складається з коефіцієнтів при невідомих:

Зауважимо, що якщо, систему методом Крамера вирішити не можна.

Три інших визначника позначаються, і виходять заміною відповідного стовпчика на стовпець правих частин.

Знаходимо. Для цього перший стовпець в основному визначнику міняємо на стовпець правих частин:

Знаходимо. Для цього другий стовпець в основному визначнику міняємо на стовпець правих частин:

Знаходимо. Для цього третій стовпець в основному визначнику міняємо на стовпець правих частин:

Рішення системи знаходимо за формулами Крамера:,,

Таким чином рішення системи,,

Зробимо перевірку, для цього знайдене рішення підставимо в усі рівняння системи.

1. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом.

Якщо у квадратної матриці визначник не дорівнює нулю, існує зворотна матриця, така що. Матриця називається одиничною і має вигляд

Зворотній матриця знаходиться за формулою:

приклад. Знайти обернену матрицю до матриці

Спочатку обчислюємо визначник.

Знаходимо алгебраїчні доповнення:

Записуємо зворотну матрицю:

Щоб перевірити обчислення, треба переконатися, що.

Нехай дана система лінійних рівнянь:

позначимо

Тоді система рівнянь може бути записана в матричної формі як, а звідси. Отримана формула називається матричним способом вирішення системи.

Завдання 3.Вирішити систему матричних способом.

Треба виписати матрицю системи, знайти до неї зворотну і потім помножити на стовпець правих частин.

Зворотній матриця у нас вже знайдена в попередньому прикладі, значить можна знаходити рішення:

1. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.

Метод Крамера і матричний метод застосовується тільки для квадратних систем (число рівнянь дорівнює числу невідомих), причому визначник повинен бути не дорівнює нулю. Якщо число рівнянь не дорівнює числу невідомих, або визначник системи дорівнює нулю, застосовується метод Гаусса. Метод Гаусса можна застосовувати для вирішення будь-яких систем.

І підставимо в перше рівняння:

Завдання 5.Вирішити систему рівнянь методом Гаусса.

За отриманою матриці відновлюємо систему:

Знаходимо рішення:

Транспонування матриці через даний онлайн калькулятор не займе у вас багато часу, але зате швидко дасть результат і допоможе краще розібратися в самому процесі.

Іноді в алгебраїчних обчисленнях виникає потреба поміняти місцями рядки і стовпці матриці. Така операція називається Транспонированием матриці. Рядки по порядку стають стовпцями, а сама матриця - транспонованою. В даних обчисленнях є певні правила, і щоб в них розібратися і наочно ознайомитися з процесом, скористайтеся даними онлайн калькулятором. Він істотно полегшить вам задачу і допоможе краще засвоїти теорію транспонування матриць. Значним плюсом даного калькулятора є демонстрація розгорнутої і детального рішення. Таким чином, його використання сприяє отриманню більш глибоких і усвідомлених уявлень про алгебраїчних розрахунках. K того ж, з його допомогою завжди можна перевірити, наскільки успішно ви впоралися із завданням, виробляючи транспонування матриць вручну.

Користуватися калькулятором дуже просто. Щоб знайти транспоновану матрицю онлайн вкажіть розмір матриці натисканням на іконки «+» або «-» до отримання потрібних значень числа стовпців і рядків. Далі в поля вводяться необхідні цифри. Нижче розташована кнопка «Обчислити» - її натискання виводить на екран готове рішення з докладною розшифровкою алгоритму.

При роботі з матрицями іноді потрібно їх транспонувати, тобто, кажучи простими словами, перевернути. Звичайно, можна перебити дані вручну, але Ексель пропонує кілька способів зробити це простіше і швидше. Давайте розберемо їх детально.

Транспонування матриці - це процес зміни стовпців і рядків місцями. У програмі Excel є дві можливості проведення транспонування: використовуючи функцію ТРАНСП і за допомогою інструменту спеціальної вставки. Розглянемо кожен з цих варіантів більш докладно.

Спосіб 1: оператор ТРАНСП

функція ТРАНСП відноситься до категорії операторів «Посилання та масиви». Особливістю є те, що у неї, як і у інших функцій, що працюють з масивами, результатом видачі є не вміст комірки, а цілий масив даних. Синтаксис функції досить простий і виглядає наступним чином:

ТРАНСП (масив)

Тобто, єдиним аргументом даного оператора є посилання на масив, в нашому випадку матрицю, який слід перетворити.

Подивимося, як цю функцію можна застосувати на прикладі з реальною матрицею.

1. Виділяємо незаповнену клітинку на аркуші, плановану зробити крайньою верхній лівій осередком перетвореної матриці. Далі тиснемо на значок «Вставити функцію», Який розташований поблизу рядки формул.



2. виробляється запуск майстри функцій. Відкриваємо в ньому категорію «Посилання та масиви» або «Повний алфавітний перелік». Після того, як знайшли найменування «ТРАНСП», Виробляємо його виділення і тиснемо на кнопку «OK».



3. Відбувається запуск вікна аргументів функції ТРАНСП. Єдиному аргументу даного оператора відповідає поле «Масив». У нього потрібно внести координати матриці, яку слід перевернути. Для цього встановлюємо курсор в поле і, затиснувши ліву кнопку миші, виділяємо весь діапазон матриці на аркуші. Після того, як адресу області відобразився у вікні аргументів, клацаємо по кнопці «OK».



4. Але, як бачимо, в осередку, яка призначена для виведення результату, відображається некоректне значення у вигляді помилки «# Значить!». Це пов'язано з особливостями роботи операторів масивів. Щоб виправити цю помилку, виділяємо діапазон комірок, в якому число рядків має бути рівною кількості стовпців початкової матриці, а число стовпців - кількості рядків. Таке відповідність дуже важливо для того, щоб результат відобразився коректно. При цьому, осередок, в якій міститься вираз «# Значить!» повинна бути верхній лівій осередком виділяється масиву і саме з неї слід починати процедуру виділення, затиснувши ліву кнопку миші. Після того, як ви провели виділення, встановіть курсор в рядок формул відразу ж після висловлення оператора ТРАНСП, Яке повинно відобразитися в ній. Після цього, щоб зробити обчислення, потрібно натиснути не на кнопку Enter, Як прийнято в звичайних формулах, а набрати комбінацію Ctrl + Shift + Enter.



5. Після цих дій матриця відобразилася так, як нам треба, тобто, в транспоновану вигляді. Але існує ще одна проблема. Справа в тому, що тепер нова матриця являє собою пов'язаний формулою масив, який не можна змінювати. При спробі зробити будь-яка зміна з вмістом матриці буде вискакувати помилка. Деяких користувачів такий стан речей цілком задовольняє, так як вони не збираються робити зміни в масиві, а ось іншим потрібна матриця, з якої повноцінно можна працювати.

   Щоб вирішити дану проблему, виділяємо весь транспонований діапазон. Перемістившись у вкладку «Головна» клацаємо по піктограмі «Копіювати», Яка розташована на стрічці в групі "Буфер обміну". Замість зазначеного дії можна після виділення провести набір стандартного поєднання клавіш для копіювання Ctrl + C.



6. Потім, не знімаючи виділення з транспоновану діапазону, виробляємо клік по ньому правою кнопкою миші. У контекстному меню в групі «Параметри вставки» клацаємо по іконці «Значення», Яка має вигляд піктограми із зображенням чисел.

   

   Слідом за цим формула масиву ТРАНСП буде видалена, а в осередках залишаться тільки одні значення, з якими можна працювати так само, як і з вихідною матрицею.

Спосіб 2: транспонування матриці за допомогою спеціальної вставки

Крім того, матрицю можна транспонувати за допомогою одного елемента контекстного меню, який носить назву «Спеціальна вставка».

Після зазначених дій на аркуші залишиться тільки перетворена матриця.

Цими ж двома способами, про які йшла мова вище, можна транспонувати в Excel не тільки матриці, але й повноцінні таблиці. Процедура при цьому буде практично ідентичною.

Отже, ми з'ясували, що в програмі Excel матрицю можна транспонувати, тобто, перевернути, помінявши стовпці і рядки місцями, двома способами. Перший варіант передбачає використання функції ТРАНСП, А другий - інструменти спеціальної вставки. За великим рахунком кінцевий результат, який виходить при використанні обох цих способів, нічим не відрізняється. Обидва методи працюють практично в будь-якій ситуації. Так що при виборі варіанту перетворення, на перший план виходять особисті переваги конкретного користувача. Тобто, який з цих методів для вас особисто зручніше, той і використовуйте.