Диференціал складної функції двох змінних. Теоретичний матеріал. Завдання з показовими функціями і логарифмами

Наводиться доказ формули похідної складної функції. Детально розглянуті випадки, коли складна функція залежить від однієї і двох змінних. Проводиться узагальнення на випадок довільного числа змінних.

зміст

Див. також: Приклади застосування формули похідної складної функції

Основні формули

Тут ми наводимо висновок наступних формул для похідної складної функції.
Якщо то
.
Якщо то
.
Якщо то
.

Похідна складної функції від однієї змінної

Нехай функцію від змінної x можна представити як складну функцію в наступному вигляді:
,
де і є деякі функції. Функція диференційована при деякому значенні змінної x. Функція диференційована при значенні змінної.
Тоді складна (складова) функція диференційована в точці x і її похідна визначається за формулою:
(1) .

Формулу (1) також можна записати так:
;
.

Доведення

Введемо наступні позначення.
;
.
Тут є функція від змінних і, є функція від змінних і. Але ми будемо опускати аргументи цих функцій, щоб не захаращувати викладки.

Оскільки функції і мають похідні в точках x і, відповідно, то в цих точках існують похідні цих функцій, які є наступними межами:
;
.

Розглянемо наступну функцію:
.
При фіксованому значенні змінної u, є функцією від. Очевидно, що
.
тоді
.

Оскільки функція є дифференцируемой функцією в точці, то вона неперервна в цій точці. Тому
.
тоді
.

Тепер знаходимо похідну.

.

Формула доведена.

слідство

Якщо функцію від змінної x можна представити як складну функцію від складної функції
,
то її похідна визначається за формулою
.
Тут, і є деякі диференціюються.

Щоб довести цю формулу, ми послідовно обчислюємо похідну за правилом диференціювання складної функції.
Розглянемо складну функцію
.
її похідна
.
Розглянемо вихідну функцію
.
її похідна
.

Похідна складної функції від двох змінних

Тепер нехай складна функція залежить від декількох змінних. спочатку розглянемо випадок складної функції від двох змінних.

Нехай функцію, залежну від змінної x, можна уявити як складну функцію від двох змінних в наступному вигляді:
,
де
і є диференціюються при деякому значенні змінної x;
- функція від двох змінних, дифференцируемая в точці,. Тоді складна функція визначена в деякому околі точки і має в похідну, яка визначається за формулою:
(2) .

Доведення

Оскільки функції і мають похідні в точці, то вони визначені в деякому околі цієї точки, безперервні в точці і існують їх похідні в точці, які є наступними межами:
;
.
тут
;
.
В силу безперервності цих функцій в точці маємо:
;
.

Оскільки функція диференційована в точці, то вона визначена в деякому околі цієї точки, неперервна в цій точці і її приріст можна записати в наступному вигляді:
(3) .
тут

- приріст функції при збільшенні її аргументів на величини і;
;

- приватні похідні функції по змінним і.
При фіксованих значеннях і, і є функції від змінних і. Вони прагнуть до нуля при і:
;
.
Оскільки і, то
;
.

Приріст функції:

. :
.
Підставами (3):



.

Формула доведена.

Похідна складної функції від декількох змінних

Наведений вище висновок легко узагальнюється на випадок, коли число змінних складної функції більше двох.

Наприклад, якщо f є функцією від трьох змінних, то
,
де
, І є диференціюються при деякому значенні змінної x;
- диференційована функція, від трьох змінних, в точці,,.
Тоді, з визначення диференційованої функції, маємо:
(4)
.
Оскільки, в силу безперервності,
; ; ,
то
;
;
.

Розділивши (4) на і виконавши граничний перехід, отримаємо:
.

І, нарешті, розглянемо самий загальний випадок.
Нехай функцію від змінної x можна представити як складну функцію від n змінних в наступному вигляді:
,
де
є диференціюються при деякому значенні змінної x;
- диференційована функція від n змінних в точці
, , ... , .
тоді
.

Див. також:

Приватні похідні застосовуються в завданнях з функціями декількох змінних. Правила знаходження точно такі ж як і для функцій однієї змінної, з різницею лише в тому, що одну з змінних потрібно вважати в момент диференціювання константою (постійним числом).

Формула

Приватні похідні для функції двох змінних $ z (x, y) $ записуються в наступному вигляді $ z "_x, z" _y $ і знаходяться за формулами:

Приватні похідні першого порядку

$$ z "_x \u003d \\ frac (\\ partial z) (\\ partial x) $$

$$ z "_y \u003d \\ frac (\\ partial z) (\\ partial y) $$

Приватні похідні другого порядку

$$ z "" _ (xx) \u003d \\ frac (\\ partial ^ 2 z) (\\ partial x \\ partial x) $$

$$ z "" _ (yy) \u003d \\ frac (\\ partial ^ 2 z) (\\ partial y \\ partial y) $$

змішана похідна

$$ z "" _ (xy) \u003d \\ frac (\\ partial ^ 2 z) (\\ partial x \\ partial y) $$

$$ z "" _ (yx) \u003d \\ frac (\\ partial ^ 2 z) (\\ partial y \\ partial x) $$

Приватна похідна складної функції

а) Нехай $ z (t) \u003d f (x (t), y (t)) $, тоді похідна складної функції визначається за формулою:

$$ \\ frac (dz) (dt) \u003d \\ frac (\\ partial z) (\\ partial x) \\ cdot \\ frac (dx) (dt) + \\ frac (\\ partial z) (\\ partial y) \\ cdot \\ frac (dy) (dt) $$

б) Нехай $ z (u, v) \u003d z (x (u, v), y (u, v)) $, тоді приватні похідні функції знаходиться за формулою:

$$ \\ frac (\\ partial z) (\\ partial u) \u003d \\ frac (\\ partial z) (\\ partial x) \\ cdot \\ frac (\\ partial x) (\\ partial u) + \\ frac (\\ partial z) ( \\ partial y) \\ cdot \\ frac (\\ partial y) (\\ partial u) $$

$$ \\ frac (\\ partial z) (\\ partial v) \u003d \\ frac (\\ partial z) (\\ partial x) \\ cdot \\ frac (\\ partial x) (\\ partial v) + \\ frac (\\ partial z) ( \\ partial y) \\ cdot \\ frac (\\ partial y) (\\ partial v) $$

Приватні похідні неявно заданої функції

а) Нехай $ F (x, y (x)) \u003d 0 $, тоді $$ \\ frac (dy) (dx) \u003d - \\ frac (f "_x) (f" _y) $$

б) Нехай $ F (x, y, z) \u003d 0 $, тоді $$ z "_x \u003d - \\ frac (F" _x) (F "_z); z" _y \u003d - \\ frac (F "_y) ( F "_z) $$

приклади рішень

приклад 1

Знайти приватні похідні першого порядку $ z (x, y) \u003d x ^ 2 - y ^ 2 + 4xy + 10 $

Рішення

Для знаходження похідної по $ x $ вважатимемо $ y $ постійною величиною (числом): $$ z "_x \u003d (x ^ 2-y ^ 2 + 4xy + 10)" _ x \u003d 2x - 0 + 4y + 0 \u003d 2x + 4y $$ Для знаходження похідної функції по $ y $ визначимо $ y $ константою: $$ z "_y \u003d (x ^ 2-y ^ 2 + 4xy + 10)" _ y \u003d -2y + 4x $$ Якщо не виходить вирішити своє завдання, то надсилайте її до нас. Ми надамо детальний рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення і почерпнути інформацію. Це допоможе своєчасно отримати залік у викладача!

відповідь

$$ z "_x \u003d 2x + 4y; z" _y \u003d -2y + 4x $$

приклад 2

Знайти приватні похідні функції другого порядку $ z \u003d e ^ (xy) $

Рішення

Спершу потрібно знайти перший похідні, а потім знаючи їх можна знайти похідні другого порядку. Вважаємо $ y $ константою: $$ z "_x \u003d (e ^ (xy))" _ x \u003d e ^ (xy) \\ cdot (xy) "_ x \u003d ye ^ (xy) $$ Покладемо тепер $ x $ постійною величиною: $$ z "_y \u003d (e ^ (xy))" _ y \u003d e ^ (xy) \\ cdot (xy) "_ y \u003d xe ^ (xy) $$ Знаючи перші похідні аналогічно знаходимо другі. Встановлюємо $ y $ постійної: $$ z "" _ (xx) \u003d (z "_x)" _ x \u003d (ye ^ (xy)) "_ x \u003d (y)" _ x e ^ (xy) + y (e ^ (xy)) "_ x \u003d 0 + ye ^ (xy) \\ cdot (xy) "_ x \u003d y ^ 2 e ^ (xy) $$ Задаємо $ x $ постійної: $$ z "" _ (yy) \u003d (z "_y)" _ y \u003d (xe ^ (xy)) "_ y \u003d (x)" _ y e ^ (xy) + x (e ^ (xy)) "_ y \u003d 0 + x ^ 2 e ^ (xy) \u003d x ^ 2 e ^ (xy) $$ Тепер залишилося знайти змішану похідну. Можна продифференцировать $ z "_x $ по $ y $, а можна $ z" _y $ по $ x $, так як по теоремі $ z "" _ (xy) \u003d z "" _ (yx) $ $$ z "" _ (xy) \u003d (z "_x)" _ y \u003d (ye ^ (xy)) "_ y \u003d (y)" _ y e ^ (xy) + y (e ^ (xy)) "_ y \u003d ye ^ (xy) \\ cdot (xy) "_ y \u003d yxe ^ (xy) $$

відповідь

$$ z "_x \u003d ye ^ (xy); z" _y \u003d xe ^ (xy); z "" _ (xy) \u003d yxe ^ (xy) $$

приклад 4

Нехай $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 \u003d 0 $ задає неявну функцію $ F (x, y, z) \u003d 0 $. Знайти приватні похідні першого порядку.

Рішення

Записуємо функцію в форматі: $ F (x, y, z) \u003d 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 \u003d 0 $ і знаходимо похідні: $$ z "_x (y, z - const) \u003d (x ^ 3 z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5)" _ x \u003d 3 x ^ 2 z - 4 $$ $$ z "_y (x, y - const) \u003d (x ^ 3 z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5)" _ y \u003d 3z ^ 2 $$

відповідь

$$ z "_x \u003d 3x ^ 2 z - 4; z" _y \u003d 3z ^ 2; $$

Нехай функція z - / (х, у) визначена в деякій області D на площині хОу. Візьмемо внутрішню точку (х, у) з області D і дамо х приріст Ах таке, щоб точка (х + Ах, у) 6 D (рис.9). Величину назвемо приватним збільшенням функції z по х. Складемо ставлення Для даної точки (х, у) це відношення є функцією від Визначення. Якщо при Ах - * 0 відношення ^ має кінцевий межа, то ця межа називається приватної похідною функції z \u003d / (х, у) по незалежній змінній х в точці (х, у) і позначається символом jfc (або / i (x, jj ), або z "x (x, та ним чином, за визначенням або, чтотоже саме, Аналогічно Якщо і - функція п незалежних змінних, то Помітивши, що Arz обчислюється при незмінному значенні змінної у, a Atz - при незмінному значенні змінної х, визначення приватних похідних можна сформулювати так: Приватні похідні Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Диференційовність функції декількох змінних Необхідні умови дифференцируемости функції Достатні умови діфференціруемсті функцій декількох змінних Повний диференціал. Приватні диференціали похідні складної функції приватної похідною по х функції z \u003d / (х, у ) називається звичайна похідна цієї функції по х, обчислена в припущенні, що у - постійна; приватної похідною по у функції z - / (х , У) називається її похідна по у, обчислена в припущенні, що х - постійна. Звідси випливає, що правила обчислення приватних похідних збігаються з правилами, доведеними для функції однієї змінної. Приклад. Знайти приватні похідні функції 4 Маємо Замінами *. З існування у функції г \u003d / (х, у) в даній точці приватних похідних по всіх аргументації не витемает безперервності функції в цій точці. Так, функція не є безперервною в точці 0 (0,0). Однак в цій точці зазначена функція має частинні похідні по х і по у. Це випливає з того, що / (х, 0) \u003d 0 і / (0, у) \u003d 0 і тому Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Нехай в тривимірному просторі поверхню S задана рівнянням де f (x, у) - функція, безперервна в деякій області D і має там приватні похідні по х і по у. З'ясуємо геометричний зміст цих похідних в точці Мо (хо, уо) 6 D, якій на поверхні z \u003d f (x) y) відповідає точка f (x0) yo)). При знаходженні похідної вточке М0 ми вважаємо, що z є тільки функцією аргументу х, тоді як аргумент у зберігає постійне значення у \u003d уо, т. Е. Функція fi (x) геометрично зображується кривої L, по якій поверхня S перетинається площиною у \u003d у о. В силу геометричного сенсу похідної функції однієї змінної f \\ (xo) \u003d tg а, де а - кут, утворений дотичною до лінії L в точці JV0 з віссю Ох (рис. 10). Але так що Такимобразом, приватна похідна ($ |) равнатангенсуугла а між віссю Ох і дотичної в точці N0 до кривої, отриманої в перетині поверхні z \u003d / (х, у) площиною у Аналогічно отримуємо, що §6. Диференційовність функції декількох змінних Нехай функція z \u003d / (х, у) визначена в деякій області D на площині хОу. Візьмемо точку (х, у) € D і обраним значенням х і у дамо будь збільшення Ах і Ду, але такі, щоб точка. Визначення. Функція г \u003d / (х, у) називається дифференцируемой * точці (ж, у) € 2Е, якщо повне прірашеніе цієї функції, що відповідає приращениям Дх, Ду аргументів, можна представити у вигляді де Л і В не залежать від Дх і Д у ( але взагалі залежать від х і у), а а (Дх, Ду) і /? (Дх, Ду) прагнуть до нуля при прагненні до нуля Дх і Ду. . Якщо фунмція z \u003d / (х, у) диференційована в точці (х, у), то частина А Дх 4 ВДУ приросту функції, лінійна відносно Дх і Ду, називається повним диференціалом цієї функції в точці (х, у) і позначається символом dz: таним чином, Приклад. Нехай г \u003d х2 + у2. У всякій точці (г, у) і для будь-яких Дх і Ду маємо Тут. тек що а і / 3 прагнуть до нуля при прагненні до нуля Дх і Ду. Згідно з визначенням, дана функція диференційована в будь-якій точці площини хОу. При цьому Зауважимо, що в наших розмірковуваннях не був формально виключений той випадок, коли збільшення Дх, Ду порізно або навіть обидва відразу дорівнюють нулю. Формулу (1) можна записати більш компактно, якщо ввести вираз (відстань між точками (Користуючись ним, можемо написати Позначивши вираз, що стоїть в скобнах, через е, матимемо де з залежить від Дж, Ду і прагне до нуля, якщо Дж 0 і Ду 0, або, коротше, якщо р 0. Формулу (1), яка має умова дифференцируемости функції z \u003d f (xt у) в точці (ж, у), можна тепер записати у вигляді Так, в наведеному вище прикладі 6.1. Необхідні умови диференціюється ™ функції Теоремі 4. Якщо функція г \u003d / (ж, у) диференційована в деякій точці, то вона в цій точці неперервна. 4 Якщо в точці (ж, у) фунлшя г \u003d / (ж, у) диференційована, то повне приріст функції я в цій точ »« е, що відповідає приращениям Дж і Ду аргументів, можна представи ть у вигляді (величини Л, в для даної точки постійні;, звідки випливає, що Останнє означає, що в точці (ж, у) функція г / (ж, у) неперервна. Теорем! б. Якщо функція г \u003d / (ж, у) диференційована в цій точці, mo око и.іеет в цій точці частинні похідні $ § і. Нехай функція z \u003d / (х, у) діфференціруемад точці (х, у). .Тоді пріраше ^ ДГ цієї функції, що відповідає приращениям Дх, Ау аргументів, можна представити у вигляді (1). Взявши в рівність (1) Дх Ф 0, Ду \u003d 0, отримаємо звідки Так як в правій частині останнього рівності величина А не залежить від, Це означає, що в точці (х, у) існує приватна похідна функції г \u003d / (х, у) по х, причому Подібними ж міркуваннями переконуємося (х, існує приватна похідна функції zу, причому з теореми випливає, що Підкреслимо, що теорема 5 стверджує існування приватних похідних тільки в точці (х, у), але нічого не говорить про безперервність їх в цій точці, а також про їх поведінку в околі точки (х, у). 6.2. Достатні умови диференціюється ™ функцій декількох змінних Як відомо, необхідною і достатньою умовою дифференцируемости функції у \u003d / (х) однієї змінної в точці хо являетсясу простування кінцевої похідною / "(х) в точці х0. у разі, коли функція залежить від декількох змінних, справа йде значно складніше: необхідних і достатніх умов дифференцируемости немає вже для функ ії z \u003d / (х, у) двох незалежних змінних х, у; є л бач окремо необхідні умови (див. вище) і окремо - достатні. Ці достатні умови диференційованої функції декількох змінних виражаються наступною теоремою. Теорема ст. Якщо функція має частинні похідні / £ і f "v в деякому околі тонкі (хо, Уо) і якщо ці похідні неперервні в самій точці (хо, Уо), то функція z \u003d f (x, у) диференційована в точці (х- приклад. Розглянемо функцію Приватні похідні Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Диференційовність функції декількох змінних Необхідні умови дифференцируемости функції Достатні умови діфференціруемсті функцій декількох змінних Повний диференціал. Приватні диференціали похідні складної функції Вона визначена всюди. Виходячи з визначення приватних похідних, маємо Для наощдрлм * диференціюється ™ даної функції в точці 0 (0,0) знайдемо і збільшення цієї точить Для диференціюючи ості функції / (х, у) \u003d в точів 0 (0,0) необхідно, щоб функція е (Дх, Ду) Чорнобилі 6всконеіо малої при Дх 0 і Ду 0. Покладемо Д0. Тоді з формули (1) будемо мати Тому функції / (х, у) \u003d Не диференційована в точці 0 (0,0), хоча і має в цій точці виробляємо fa і f "r Отриманий результат пояснюється тим, що похідні f "z і f" t розривні точці §7. Повний диференціал. Приватні диференціали Якщо функція г - f (z\u003e у) диференційована, то її пожьгй диференціал dz дорівнює Помічаючи, що А \u003d В \u003d щ, запишемо формулу (1) в наступному вигляді Поширимо поняття диференціала функції на незалежні змінні, поклавши диференціали незалежних змінних рівними їх приращениям: Після цього формула повного диференціала функції пріметвкд Приклад. Нехай i - 1л (х + у2). Тоді Аналогічно, якщо u \u003d) є диференційована функція n незалежних змінних, то Вираз називається пісним диференціалом функції z \u003d f (x, у) по змінній х; вираз називається приватним диференціалом функції z \u003d / (ж, у) попеременной у. З формул (3), (4) і (5) випливає, що повний диференціал функції є сумою її приватних диференціалів: Відзначимо, що повний приріст Az функції z \u003d / (ж, у), взагалі кажучи, не дорівнює сумі приватних збільшень. Якщо в точці (я, у) фунмціяг \u003d / (ж, у) диференційована і диференціал dz Ф О в цій точці, то її повний приріст відрізняється від своєї лінійної частини тільки на суму останніх доданків ААХ 4 /? ДУ, які при Аж 0 і Ау - »Про є нескінченно малими вищого порядку, ніж слагаемиелінейной частини. Тому при dz Ф 0 лінійну частину приросту диференціюється називають головною частиною приросту функції і користуються наближеною формулою яка буде тим точнішою, ніж меншими по абсолютній величині будуть збільшення аргументів. §8. Похідні складної функції 1. Нехай функція визначена в деякій області D на площині хОу, причому кожна з змінних ж, в свою чергу є функцією аргументу t: Будемо припускати, що при зміні t в інтервалі (відповідні точки (ж, у) не виходять за межі області D. Якщо підставити значення в функцію z \u003d / (ж, у), то отримаємо складну функцію однієї змінної t. і при відповідних значеннях функція / (х, у) диференційована, то складна функція, в якій точці t має похідну причому M Дамо t прирощення Дt. Тоді x і у отримають деякі збільшення Ах і Ду. в результаті цього при (Дж) 2 + (Ду) 2 Ф 0 функція z також отримає деяке збільшення ДГ, яке в силу дифференцируемости функції z \u003d / (ж , у) в точці (х, у) може бути представлено у вигляді де а) прагнуть до нуля при прагненні до нуля Ах і Ду. Довизначити а й / 3 при Ах \u003d Ау \u003d 0, поклавши а Тоді а (будуть неперервні при Дж \u003d Ду \u003d 0. Розглянемо відношення Маємо В кожному доданку ^ в Правою частини (2) обидва співмножники мають межі при дійсно, приватні похідні і ^ для даної є постійними, за умовою існують межі з існування похідних ^ і в точці £ слід безперервність в цій точці функцій х \u003d y (t) і у \u003d тому при At 0 прагнуть до нуля і Дж і Ду, що в свою чергу тягне за собою прагнення до нулю а (Дх, Ду) і Р (Ах, Ау). Таким чином, права частина рівності (2) при 0 має межу, що дорівнює Значить, існує при At 0 і межа лівої частини (2), т. е . існує рівний Переходячи в рівності (2) до межі при At - »0, отримуємо необхідну формулу в окремому випадку, коли, отже, z є складною функцією від ж, отримуємо у формулі (5) є приватна похідна фунадііг \u003d / (ж, у) по ж, при вичі слена якої в вираженні / (ж, у) аргумент у приймається за постійну. А є повна похідна z по незалежної змінної ж, при обчисленні якої у в вираженні / (ж, у) вже не приймається за постійну, а вважається в свою чергу функцією від ж: у \u003d tp (x) t і тому залежність z від ж враховується повністю. Приклад. Знайти і jg, якщо 2. Розглянемо тепер диференціювання складної функції декількох змінних. Нехай де в свою чергу так що Припустимо, що в точці (() існують безперервні приватні похідні щ, 3? »А у відповідній точці (ж, у), де Функція / (ж, у) диференційована. Покажемо, що при цих умовах складна фуншія z \u003d z (() у) в точці t7) має похідні і щ, і знайдемо вирази для цих похідних. Зауважимо, що цей випадок від уже вивченого істотно не відрізняється. Дійсно, при диференціюванні z по £ друга незалежна змінна rj приймається за постійну, внаслідок чого ж і у при цій операції стають функціями однієї змінної ж "\u003d с), у \u003d с) і питання про похідну Ц вирішується абсолютно так само, як питання про похідною при виведенні формули (3). Використовуючи формулу (3) і формально замінюючи в ній похідні § і ^ на похідні щ і відповідно, отримаємо Аналогічно знаходимо Приклад. Знайти приватні похідні ^ і ^ функції г \u003d ж2 у - хуеслі х - у \u003d якщо складна функція «Задана формулами так що то при виконанні відповідних умов маємо В окремому випадку, коли І \u003d де Приватні похідні Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Диференційовність функції декількох змінних Необхідні умови дифференцируемости функції Достатні умови діфференціруемсті функцій декількох змінних Повний диференціал. Приватні диференціали похідні складної функції маємо Тут т- полная.частная похідна функції і по незалежній змінній х, що враховує повну залежність і від х, втомчісле і через z \u003d z (x, y), a ^ -приватна проізврдная.функдодоі і \u003d / (г, у, г) по х, при обчисленні до

Нехай z \u003d ƒ (х; у) - функція двох змінних х і у, кожна з яких є функцією незалежної змінної t: х \u003d x (t), у \u003d y (t). У цьому випадку функція z \u003d f (x (t); y (t)) є складною функцією однієї незалежної змінної t; змінні х і у - проміжні змінні.

Теорема 44.4. Якщо z \u003d ƒ (х; у) - диференційована в точці М (х; у) є D функція і х \u003d x (t) і у \u003d y (t) - диференційовані функції незалежної змінної t, то похідна складної функції z (t ) \u003d f (x (t); y (t)) обчислюється за формулою

Дамо незалежної змінної t приріст Δt. Тоді функції х \u003d \u003d x (t) і у \u003d y (t) отримають збільшення Δх і Δу відповідно. Вони, в свою чергу, викличуть збільшення Az функції z.

Так як за умовою функція z - ƒ (х; у) диференційована в точці М (х; у), то її повний приріст можна представити у вигляді

де а → 0, β → 0 при Δх → 0, Δу → 0 (див. п. 44.3). Розділимо вираз Δz на Δt і перейдемо до межі при Δt → 0. Тоді Δх → 0 і Δу → 0 в силу безперервності функцій х \u003d x (t) і у \u003d y (t) (за умовою теореми - вони диференціюються). отримуємо:

Окремий випадок: z \u003d ƒ (х; у), де у \u003d у (х), т. Е. Z \u003d ƒ (х; у (х)) - складна функція однієї незалежної змінної х. Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної t грає х. Відповідно до формули (44.8) маємо:

Формула (44.9) носить назву формули повної похідної.

Загальний випадок: z \u003d ƒ (х; у), де x \u003d x (u; v), у \u003d у (u; v). Тоді z \u003d f (x (u; v); y (u; v)) - складна функція незалежних змінних u і v. Її приватні похідні можна знайти, використовуючи формулу (44.8) наступним чином. Зафіксувавши v, замінюємо в ній відповідними приватними похідними

Аналогічно отримуємо:

Таким чином, похідна складної функції (z) по кожній незалежної змінної (u і v) дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) по її проміжним змінним (х і у) на їх похідні за відповідною незалежної змінної (u і v).

Приклад 44.5. Знайти якщо z \u003d ln (x 2 + у 2), х \u003d u v, у \u003d u / v.

Рішення: Знайдемо dz / du (dz / dv - самостійно), використовуючи формулу (44.10):

Спростимо праву частину отриманого рівності:

40. Приватні похідні і повний диференціал функції кількох змінних.

Нехай задана функція z \u003d ƒ (х; у). Так як х і у - незалежні змінні, то одна з них може змінюватися, а інша зберігати своє значення. Дамо незалежної змінної х приріст Δх, зберігаючи значення у незмінним. Тоді z одержить збільшення, яке називається приватним збільшенням z по х і позначається Δ х z. Отже,

Δ х z \u003d ƒ (х + Δх; у) -ƒ (х; у).

Аналогічно отримуємо приватне приріст z по у:

Δ у z \u003d ƒ (x; у + Δу) -ƒ (х; у).

Повний приріст Δz функції z визначається рівністю

Δz \u003d ƒ (х + Δх; у + Δу) - ƒ (х; у).

Якщо існує межа

то він називається приватної похідною функції z \u003d ƒ (х; у) в точці М (х; у) по змінній х і позначається одним із символів:

Приватні похідні по х в точці М 0 (х 0; у 0) зазвичай позначають символами

Аналогічноопределяется і позначається приватна похідна від z \u003d ƒ (х; у) по змінній у:

Таким чином, приватна похідна функції кількох (двох, трьох і більше) змінних визначається як похідна функції однієї з цих змінних за умови сталості значень інших незалежних змінних. Тому приватні похідні функції ƒ (х; у) знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функції однієї змінної (при цьому відповідно х або у вважається постійною величиною).

Приклад 44.1. Знайти приватні похідні функції z \u003d 2у + е х2-у +1. Рішення:

Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних

Графіком функції z \u003d ƒ (х; у) є деяка поверхня (див. П. 12.1). Графік функції z \u003d ƒ (х; у 0) є лінія перетину цієї поверхні з площиною у \u003d у о. Виходячи з геометричного сенсу похідної для функції однієї змінної (див. П. 20.2), робимо висновок, що ƒ "x (х о; у о) \u003d tg а, де а - кут між віссю Ох і дотичній, проведеної до кривої z \u003d ƒ (х; у 0) в точці Мо (хо; уо; ƒ (хо; уо)) (див. рис. 208).

Аналогічно, f "y (х 0; у 0) \u003d tgβ.

Функція Z \u003d f (x, y) називається диференційованою в точці P (x, y), якщо її повний приріст ΔZ можна представити у вигляді Δz \u003d A ∙ Δx + B ∙ Δy + ω (Δx, Δy), де Δx і Δy - будь-які збільшення відповідних аргументів x і y в деякій околиці точки Р, А і в - постійні (не залежить від Δx, Δy),

ω (Δx, Δy) - нескінченно мале більш високого порядку, ніж відстань:

Якщо функція диференційована в точці, то її повний приріст в цій точці складається з двох частин:

1. Головною частини приросту функції A ∙ Δx + B ∙ Δy - лінійне щодо Δx, Δy

2. І нелінійне ω (Δx, Δy) - нескінченно мале більш високого порядку, ніж головна частина приросту.

Головна частина приросту функції - лінійна щодо Δx, Δy називається повним диференціалом цієї функції і позначається: Δz \u003d A ∙ Δx + B ∙ Δy, Δx \u003d dx і Δy \u003d dy або повний диференціал функції двох змінних:

Диференціал відображення. Диференціал і похідна числової функції однієї змінної. Таблиця похідних. Диференційовність. ) - функція аргументу, що є нескінченно малою при → 0, тобто

З'ясуємо тепер зв'язок між диференційованою в точці і існуванням похідної в тій же точці.

теорема. Для того щоб функція f(x) Була диференційованою в цій точці х , Необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну.

Таблиця похідних.