Расчет эл цепей. Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований. Расчет цепи по уравнениям Кирхгофа

Расчет электрических цепей постоянного тока

Основными законами, определяющими расчет электрической цепи , являются законы Кирхгофа.

На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока , позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.

Существенно упростить вычисления, а в некоторых случаях и снизить трудоемкость расчета, возможно с помощью эквивалентных преобразований схемы.

Преобразуют параллельные и последовательные соединения элементов, соединение «звезда » в эквивалентный «треугольник » и наоборот. Осуществляют замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Методом эквивалентных преобразований теоретически можно рассчитать любую цепь, и при этом использовать простые вычислительные средства. Или же определить ток в какой-либо одной ветви, без расчета токов других участков цепи.

В данной статье по теоретическим основам электротехники рассмотрены примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока с использованием метода эквивалентных преобразований типовых схем соединения источников и потребителей энергии, приведены расчетные формулы.

Решение задач

Задача 1. Для цепи (рис . 1), определить эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов a−g , если известно: R 1 = R 2 = 0,5 Ом, R 3 = 8 Ом, R 4 = R 5 = 1 Ом, R 6 = 12 Ом, R 7 = 15 Ом, R 8 = 2 Ом, R 9 = 10 Ом, R 10 = 20 Ом.

Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимов a−g :

Задача 2. Для цепи (рис . 2, а ), определить входное сопротивление если известно: R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 40 Ом.

Рис. 2

Исходную схему можно перечертить относительно входных зажимов (рис . 2, б ), из чего видно, что все сопротивления включены параллельно. Так как величины сопротивлений равны, то для определения величины эквивалентного сопротивления можно воспользоваться формулой:

где R - величина сопротивления, Ом;

n - количество параллельно соединенных сопротивлений.

Задача 3. Определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов a-b , если R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R 6 = 10 Ом (рис . 3, а ).

Преобразуем соединение «треугольник » f−d−c в эквивалентную «звезду ». Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис . 3, б ):

По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:

На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e-b , тогда эквивалентное сопротивление равно:

И тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы представляет последовательное соединение сопротивлений:

Задача 4. В заданной цепи (рис . 4, а ) входные сопротивления ветвей a− b , c- d и f−b , если известно, что: R 1 = 4 Ом, R 2 = 8 Ом, R 3 =4 Ом, R 4 = 8 Ом, R 5 = 2 Ом, R 6 = 8 Ом, R 7 = 6 Ом, R 8 =8 Ом.

Для определения входного сопротивления ветвей исключают из схемы все источники ЭДС. При этом точки c и d , а также b и f соединяются накоротко, т.к. внутренние сопротивления идеальных источников напряжения равны нулю.

Ветвь a− b разрывают, и т.к. сопротивление R a -b = 0, то входное сопротивление ветви равно эквивалентному сопротивлению схемы относительно точек a и b (рис . 4, б ):

Аналогично методом эквивалентных преобразований определяются входные сопротивления ветвей R cd и R bf . Причем, при вычислении сопротивлений учтено, что соединение накоротко точек a и b исключает ( «закорачивает ») из схемы сопротивления R 1 , R 2 , R 3 , R 4 в первом случае, и R 5 , R 6 , R 7 , R 8 во втором случае.

Задача 5. В цепи (рис . 5) определить методом эквивалентных преобразований токи I 1 , I 2 , I 3 и составить баланс мощностей , если известно: R 1 = 12 Ом, R 2 = 20 Ом, R 3 = 30 Ом, U = 120 В.

Эквивалентное сопротивление для параллельно включенных сопротивлений:

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

Ток в неразветвленной части схемы:

Напряжение на параллельных сопротивлениях:

Токи в параллельных ветвях:

Баланс мощностей :

Задача 6. В цепи (рис . 6, а ), определить методом эквивалентных преобразований показания амперметра , если известно: R 1 = 2 Ом, R 2 = 20 Ом, R 3 = 30 Ом, R 4 = 40 Ом, R 5 = 10 Ом, R 6 = 20 Ом, E = 48 В. Сопротивление амперметра можно считать равным нулю.

Если сопротивления R 2 , R 3 , R 4 , R 5 заменить одним эквивалентным сопротивлением R Э , то исходную схему можно представить в упрощенном виде (рис . 6, б ).

Величина эквивалентного сопротивления:

Преобразовав параллельное соединение сопротивлений R Э и R 6 схемы (рис . 6, б ), получим замкнутый контур, для которого по второму закону Кирхгофа можно записать уравнение:

откуда ток I 1:

Напряжение на зажимах параллельных ветвей U ab выразим из уравнения по закону Ома для пассивной ветви, полученной преобразованием R Э и R 6:

Тогда амперметр покажет ток:

Задача 7. Определить токи ветвей схемы методом эквивалентных преобразований (рис . 7, а ), если R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 3 Ом, J = 5 А, R 5 = 5 Ом.

В электротехнике принято считать, что простая цепь – это цепь, которая сводится к цепи с одним источником и одним эквивалентным сопротивлением. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений. Исключением служат цепи, содержащие более сложные соединения звездой и треугольником. Расчет цепей постоянного тока производится с помощью закона Ома и Кирхгофа.

Пример 1

Два резистора подключены к источнику постоянного напряжения 50 В, с внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом. Сопротивления резисторов R 1 = 20 и R 2 = 32 Ом. Определить ток в цепи и напряжения на резисторах.

Так как резисторы подключены последовательно, эквивалентное сопротивление будет равно их сумме. Зная его, воспользуемся законом Ома для полной цепи, чтобы найти ток в цепи.

Теперь зная ток в цепи, можно определить падения напряжений на каждом из резисторов.

Проверить правильность решения можно несколькими способами. Например, с помощью закона Кирхгофа, который гласит, что сумма ЭДС в контуре равна сумме напряжений в нем.

Но с помощью закона Кирхгофа удобно проверять простые цепи, имеющие один контур. Более удобным способом проверки является баланс мощностей .

В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками.

Мощность источника определяется как произведение ЭДС на ток, а мощность полученная приемником как произведение падения напряжения на ток.

Преимущество проверки балансом мощностей в том, что не нужно составлять сложных громоздких уравнений на основании законов Кирхгофа, достаточно знать ЭДС, напряжения и токи в цепи.

Пример 2

Общий ток цепи, содержащей два соединенных параллельно резистора R 1 =70 Ом и R 2 =90 Ом, равен 500 мА. Определить токи в каждом из резисторов.

Два последовательно соединенных резистора ничто иное, как делитель тока . Определить токи, протекающие через каждый резистор можно с помощью формулы делителя, при этом напряжение в цепи нам не нужно знать, потребуется лишь общий ток и сопротивления резисторов.

Токи в резисторах

В данном случае удобно проверить задачу с помощью первого закона Кирхгофа, согласно которому сумма токов сходящихся, в узле равна нулю.

Если вы не помните формулу делителя тока, то можно решить задачу другим способом. Для этого необходимо найти напряжение в цепи, которое будет общим для обоих резисторов, так как соединение параллельное. Для того чтобы его найти, нужно сначала рассчитать сопротивление цепи

А затем напряжение

Зная напряжения, найдем токи, протекающие через резисторы

Как видите, токи получились теми же.

Пример 3

В электрической цепи, изображенной на схеме R 1 =50 Ом, R 2 =180 Ом, R 3 =220 Ом. Найти мощность, выделяемую на резисторе R 1 , ток через резистор R 2 , напряжение на резисторе R 3 , если известно, что напряжение на зажимах цепи 100 В.

Чтобы рассчитать мощность постоянного тока, выделяемую на резисторе R 1 , необходимо определить ток I 1 , который является общим для всей цепи. Зная напряжение на зажимах и эквивалентное сопротивление цепи, можно его найти.

Эквивалентное сопротивление и ток в цепи

Отсюда мощность, выделяемая на R 1

Решение любой задачи по расчету электрической цепи следует начинать с выбора метода, которым будут произведены вычисления. Как правило, одна и таже задача может быть решена несколькими методами. Результат в любом случае будет одинаковым, а сложность вычислений может существенно отличаться. Для корректного выбора метода расчета следует сначала определится к какому классу относится данная электрическая цепь: к простым электрическим цепям или к сложным.

К простым относят электрические цепи, которые содержат либо один источник электрической энергии, либо несколько находящихся в одной ветви электрической цепи. Ниже изображены две схемы простых электрических цепей. Первая схема содержит один источник напряжения, в таком случае электрическая цепь однозначно относится к простым цепям. Вторая содержит уже два источника, но они находятся в одной ветви, следовательно это также простая электрическая цепь.

Расчет простых электрических цепей обычно производят в такой последовательности:

Описанная методика применима для расчета любых простых электрических цепей, типовые примеры приведены в примере №4 и в примере №5. Иногда расчеты подобным методом могут оказатся довольно объемыми и длительными. Поэтому после нахождения решения будет нелишним провести проверку правильности ручных расчетов с применением специализированных программ или составлением баланса мощностей. Расчет простой электрической цепи в сочетании с составлением баланса мощностей приведен в примере №6.

Сложные электрические цепи

К сложным электрическим цепям относят цепи, содержащие несколько источников электрической энергии, включенных в разные ветви. Ниже на рисунке изображены примеры таких цепей.


Для сложных электрических цепей неприменима методика расчета простых электрических цепей. Упрощение схем невозможно, т.к. нельзя выделить на схеме участок цепи с последовательным или параллельным соединением однотипных элементов. Иногда, преобразование схемы с ее последующим расчетом все-таки возможно, но это скорее исключение из общего правила.

Для полного расчета сложных электрических цепей обычно используют следующее методы:

1. Применение законов Кирхгофа (универсальный метод, сложные расчеты системы линейных уравнений).
2. Метод контурных токов (универсальный метод, расчеты немного проще чем в п.1)
3. Метод узловых напряжений (универсальный метод, расчеты немного проще чем в п.1)
4. Принцип наложения (универальный метод, несложные расчеты)
5. Метод эквивалентного источника (удобен когда необходимо произвести не полный расчет электрической цепи, а найти ток в одной из ветвей).
6. Метод эквивалентного преобразования схемы (применим довольно редко, простые расчеты).

Особенности применения каждого метода расчета сложных электрических цепей более подробно изложены в соответсвующих подразделах.

Является определение некоторых параметров на основе исходных данных, из условия задачи. На практике используют несколько методов расчёта простых цепей. Один из них базируется на применении эквивалентных преобразований, позволяющих упростить цепь.

Под эквивалентными преобразованиями в электрической цепи подразумевается замена одних элементов другими таким образом, чтобы электромагнитные процессы в ней не изменились, а схема упрощалась. Одним из видов таких преобразований является замена нескольких потребителей, включённых последовательно или параллельно, одним эквивалентным.

Несколько последовательно соединённых потребителей можно заменить одним, причём его эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений потребителей, . Для n потребителей можно записать:

rэ = r1 +r2+…+rn ,

где r1 , r2, ..., rn – сопротивления каждого из n потребителей.

При параллельном соединении n потребителей эквивалентная проводимость gэ равна сумме проводимостей отдельных элементов, включённых параллельно:

gэ= g1 + g2 +…+ gn .

Учитывая, что проводимость является обратной величиной по отношению к сопротивлению, можно эквивалентное сопротивление определить из выражения:

1/rэ = 1/r1 + 1/r2 +…+ 1/rn,

где r1, r2, ..., rn – сопротивления каждого из n потребителей, включённых параллельно.

В частном случае, когда параллельно включены два потребителя r1 и r2, эквивалентное сопротивление цепи:

rэ = (r1 х r2)/(r1 + r2)

Преобразования в сложных цепях, где отсутствует в явном виде элементов (рисунок 1), начинают с замены элементов, включённых в исходной схеме треугольником, на эквивалентные элементы, соединённые звездой.

Рисунок 1. Преобразование элементов цепи: а - соединённых треугольником, б - в эквивалентную звезду

На рисунке 1, а треугольник элементов образуют потребители r1, r2, r3. На рисунке 1, б этот треугольник заменён эквивалентными элементами ra, rb, rc, соединёнными звездой. Чтобы не происходило изменение потенциалов в точках a, b, с схемы, сопротивления эквивалентных потребителей определяются из выражений:

Упрощение исходной цепи можно также осуществить заменой элементов, соединённых звездой, схемой, в которой потребители .

В схеме, изображённой на рисунке 2, а, можно выделить звезду, образованную потребителями r1, r3, r4. Эти элементы включены между точками c, b, d. На рисунке 2, б между этими точками находятся эквивалентные потребители rbc, rcd, rbd, соединённые треугольником. Сопротивления эквивалентных потребителей определяются из выражений:

Рисунок 2. Преобразование элементов цепи: а - соединённых звездой, б - в эквивалентный треугольник

Дальнейшее упрощение схем, приведённых на рисунках 1, б и 2, б, можно осуществлять путём замены участков с последовательным и параллельным соединением элементов их эквивалентными потребителями.

При практической реализации метода расчёта простой цепи с помощью преобразований выявляются в цепи участки с параллельным и последовательным соединением потребителей, а затем рассчитываются эквивалентные сопротивления этих участков.

Если в исходной цепи в явном виде нет таких участков, то, применяя описанные ранее переходы от треугольника элементов к звезде или от звезды к треугольнику, проявляют их.

Данные операции позволяют упростить цепь. Применив их несколько раз, приходят к виду с одним источником и одним эквивалентным потребителем энергии. Далее, применяя , рассчитывают токи и напряжения на участках цепи.

Расчет сложных цепей постоянного тока

В ходе расчёта сложной цепи необходимо определить некоторые электрические параметры (в первую очередь токи и напряжения на элементах) на основе исходных величин, заданных в условии задачи. На практике используются несколько методов расчёта таких цепей.

Для определения токов ветвей можно использовать: метод, базирующийся на основании непосредственного применения , метод узловых напряжений.

Для проверки правильности вычисления токов необходимо составить . Из следует, что алгебраическая сумма мощностей всех источников питания цепи равна арифметической сумме мощностей всех потребителей.

Мощность источника питания равна произведению его ЭДС на величину тока, протекающего через данный источник. Если направление ЭДС и тока в источнике совпадают, то мощность получается положительной. В противном случае она отрицательна.

Мощность потребителя всегда положительна и равна произведению квадрата тока в потребителе на величину его сопротивления.

Математически баланс мощностей можно записать в следующем виде:

где n – количество источников питания в цепи; m – количество потребителей.

Если баланс мощностей соблюдается, то расчет токов выполнен правильно.

В процессе составления баланса мощностей можно выяснить, в каком режиме работает источник питания. Если его мощность положительна, то он отдает энергию во внешнюю цепь (например, как аккумулятор в режиме разряда). При отрицательном значении мощности источника последний потребляет энергию из цепи (аккумулятор в режиме заряда).

Постоянным током являются передвигающиеся в определенном направлении частицы с зарядом. По-другому ток можно назвать такими величинами, как или напряжение, которые являются постоянными и в направлении, и по значению.

Рассмотрим его характеристику, применение, а также электрические цепи постоянного тока. Ответим на вопросы, каким образом проводится исследование электрической цепи, как она рассчитывается и на некоторые другие.

От плюса к минусу или наоборот?

В источнике электроны передвигаются от минусового значения к плюсовому. Несмотря на то что все об этом знают, принято считать направление от плюса к минусу. Интересно почему? Нам объясняют, что так исторически сложилось. Но так ли это на самом деле? Ведь эта «история» сложилась в какой-то совершенно незначительный промежуток времени.

В постоянном токе действуют главные законы электротехники: закон Ома и законы Кирхгофа. Ток называли раньше гальваническим, так как получили его в результате гальванической реакции. Когда начали проводить в дома, велись жесткие споры о том, какой ток вводить: постоянный или переменный. «Войну» выиграл второй, так как он оказался менее затратным. Его гораздо проще передавать на большие расстояния благодаря легкой трансформации.

Как получается постоянный ток

Но и не исчез из использования постоянный ток. постоянного тока встречаются, к примеру, в аккумуляторах.

Ток вырабатывается посредством электромагнитной индукции, после чего происходит выпрямление коллектором. Такую реакцию производит генератор, где тоже вырабатывается постоянный ток. Электрические цепи постоянного тока могут трансформироваться из переменного за счет преобразователей и выпрямителей.

Область применения

Применение этого вида достаточно широко. В большинстве бытовых приборов дома, к примеру, в компьютерном модеме, зарядке для мобильника, электрочайнике или кухонном комбайне работает именно постоянный ток. Электрические цепи постоянного тока вырабатываются и преобразуются на автомобильном генераторе и любом портативном приборе. На нем функционируют все промышленные двигатели, а в отдельных странах даже высоковольтные линии электрических передач. Даже в некоторых медицинских приборах он применяется.

Постоянный ток является более безопасным, так как смертельный исход может наступить при ударе током от 300 мА, а при переменном — уже при 50-100 мА.

Электрическая цепь

Связь обеспечивается всеми устройствами, благодаря которым осуществляется передача, распределение и преобразование тепловой, электромагнитной, световой и иных видов энергоинформации. Процессы описаны такими как ток и напряжение.

Основные элементы электрических цепей постоянного тока

Основные элементы — это приемники и источники энергоинформации, соединяющиеся проводниками. В источниках различные виды энергии преобразуются в электрическую. А в приемниках, наоборот, электроэнергия переходит в иные виды.

Цепи, где преобразование, передача и получение электрической энергии происходит при постоянном значении напряжения и тока на протяжении всего времени, называются цепями постоянного тока. Там, где процесс происходит с переменным значением — цепями переменного тока.

Чтобы произвести расчет и исследование электрической цепи постоянного тока (лабораторная работа для этих целей обычно служит), применяется схема замещения, то есть идеализированная цепь для расчета реальной. Чтобы ее получить, заменить нужно все элементы схемы. Физические процессы должны быть выражены в каждом математическом описании.

Резистивные элементы

Резистор является одним из приемников электроцепи. Его характеризует активное сопротивление, которое измеряется в Омах. Резистивные сопротивления или, как их еще называют, активные вводятся в схемы замещения, чтобы учитывать преобразующуюся электромагнитную энергию в иные виды.

Расчет сложных электрических цепей постоянного тока производится, если задать положительное направление всех токов и напряжений. Выбирают направление их узла, имеющего большой потенциал к узлу с меньшим потенциалом.

При независящем сопротивлении от тока резистор называют линейным, а электрическую цепь — линейной резистивной. Вольт-амперная характеристика выражается через линейную функцию, проходящую через начало координат.

При анализе таких цепей часто применяют принцип упрощения, состоящий в замене сложных участков электрической цепи на простые. Но ток и напряжение меняться не должны. Тогда цепь свернется до самого простого вида. Соединенные резистивные элементы должны быть параллельно и последовательно преобразованы.

Последовательное и параллельное соединение

При последовательном соединении во всех элементах ток имеет одно и то же значение. Здесь напряжение определяется посредством суммы всех включенных сопротивлений, умноженной на I, то есть:

U=(R1+R2+RN)I=RI.

При параллельном соединении применяется постоянное напряжение, зато ток представляет собой сумму токов на каждом из элементов. Поэтому его можно представить как произведение напряжения на эквивалентную проводимость активных элементов. А она, в свою очередь, равна сумме проводимостей элементов. Вот из чего состоит постоянный ток.

Электрические цепи постоянного тока, помимо этого, содержат источники напряжения и тока.

Источники

Независимое напряжение (ЭДС, ток) от сопротивления внешней цепи называют его источником. Источник ЭДС (напряжения) измеряется на холостом ходу, то есть, где ток в источнике равен нулю. В схемах замещения резистор учитывает тепловые энергетические потери, которые выделяются из источника. Если он равен нулю, а источник тока — бесконечности, это — идеальный источник. Реальный всегда имеет конечное значение.

Внешние характеристики следующие: у источников ЭДС и напряжения зависимость возникает от протекающего тока, а у источника тока — от напряжения на зажимах.

Реальные источники имеют линейные и нелинейные участки. Рассмотрим методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока. Они описаны в законе Ома для полной цепи, где I=E/(Rh+Rbh). Тогда U= E- RbhI. Из этих формул выводятся внутреннее сопротивление и внутренняя проводимость:

• Rbh=∆U/∆I;
• Gbh=∆I/∆U.

Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока производится на основе закона Кирхгофа. Методы расчета для линейных и нелинейных схем разные. Поэтому последние в рамках данной статьи не рассматриваются.

Приборы для измерения линейного участка

Цепи постоянного тока содержит источники. А приборами, его измеряющие, являются: вольтметр для измерения напряжения на участке цепи и амперметр для последовательного включения в цепь. При нулевом значении и проводимости приборы являются идеальными.

Способы включения становятся более понятными при рассмотрении их с применением измерения сопротивления. По закону Ома R=U/I.

Мы знаем, что реальные приборы не имеют нулевого значения. Поэтому возможны лишь два варианта их включения:

• внутреннее сопротивление вольтметра в разы больше измеряемого амперметра — такое, чтобы снижение напряжения на нем не сокращало снижение на измеряемом сопротивлении, а напряжение, которое измеряется вольтметром должно соответствовать рабочему диапазону;
• внутреннее сопротивление вольтметра соизмеримо с измеряемым, а амперметра — существенно меньше измеряемого.

Эксперимент и задания для контрольной работы

Для измерения напряжения и тока применяются соответствующие генераторы. Внутреннее сопротивление у них измеряется посредством переключателей.

Вольтметр и амперметр входят в блок АВ1.

Для измерения сопротивления применяются специальные схемы. В источнике электродвижущей силы внутреннее сопротивление должно быть выключенным.

В рекомендуемом задании, которое должна иметь контрольная работа, электрические цепи постоянного тока изучаются посредством определения параметров источника электродвижущей силы, источника тока, измерения сопротивления, изучения включения параллельного и последовательного сопротивлений, ВАХ.