Tareas de programación convexos. Programación convexa

Un gran número de situaciones económicas prácticas, cuyo estudio es el tema de la programación matemática, o no se puede reducir a las tareas lineales (incluso cuando se produce tal linealización en alguna etapa), intentando una consideración más detallada que aún conduce a la no linealidad.

La tarea más común de la programación no lineal puede formularse de la siguiente manera:

se requiere determinar los valores de las variables N x 1, x 2, ..., x N, que satisfacen las ecuaciones M o las desigualdades de la forma.

i \u003d 1, 2, ..., m.

y pagar un objetivo de función máximo (o al menos)

f (x) \u003d f (x 1, x 2, ..., x n).(2.2)

Supongamos que F y G i son funciones no lineales especificadas, b i son constantes conocidas. Por lo general, se cree que todas o al menos algunas variables deben ser no negativas.

En el caso particular de la programación lineal, se supone que las funciones F y G son lineales, es decir.

Cualquier otra tarea de programación matemática distinta de esto se considera una tarea no lineal.

En las secciones relevantes de las matemáticas, se han desarrollado métodos generales (clásicos) para determinar las funciones de MAXIMA y MINIMA de varios tipos. Sin embargo, dicho enfoque general para resolver problemas prácticamente encuentra uso limitado para obtener resultados numéricos, ya que conduce a la necesidad de resolver sistemas de ecuaciones no lineales con muchos desconocidos y no es adecuado para encontrar extremos de borde. Por lo tanto, en la programación matemática, los métodos que pueden servir como algoritmo se estudian principalmente, es decir, el procedimiento computacional con una solución numérica de tareas especiales que tienen aplicaciones económicas específicas. Especificamos algunas de estas tareas.

Las tareas más estudiadas con limitaciones lineales y función de función no lineal. Sin embargo, incluso para estas tareas, los métodos computacionales se desarrollan solo en los casos en que la función objetivo tiene ciertas propiedades. En particular, por ejemplo, la función de función se puede representar como

donde en la función f j (x j) debe a su vez, se superponen algunas limitaciones. Esta es la llamada función separable. En otro caso, la función objetivo se puede registrar como una suma de funciones lineales y cuadráticas:

Las tareas no lineales de este tipo se llaman tareas de programación cuadráticas. Para encontrar la solución óptima, los valores de D ij deben superponer algunas limitaciones adicionales.

Las tareas con restricciones no lineales son más difíciles que con lineales. Para obtener una solución óptima en estas tareas, los requisitos de alta rígida deben presentarse a las funciones G I y F. En particular, se puede obtener la solución óptima del problema no lineal si las limitaciones G I, definidas por desigualdades no lineales, determinan el conjunto convexo en el espacio de las variables (consulte Ch. 1, § 3) y la función de función es un Función convexa o cóncava lisa no lineal. En el futuro, se le dará una determinación estricta de funciones convexas y cóncavas. Aquí, solo es necesario indicar que la función de la convexidad de las funciones f garantiza la existencia de un solo mínimo, y la propiedad de la concavidad F es solo una F dentro de la región especificada por las restricciones. En esto, se construyen los algoritmos para determinar el valor óptimo de la función de función. En ausencia de convexidad o concavidad, la solución del problema de la programación matemática se encuentra con la presencia de mínimos o máximos locales, los métodos clásicos se aplican al hallazgo de los cuales en el caso general.

La consideración de esta tarea de clase generalmente comienza con la presentación. método de multiplicadores de Lagrange inciertos. Para hacer esto, ponemos eso / (x b ..., x ") y g (x b ... x ") - Funciones continuas junto con sus propios derivados parciales, eliminaremos las condiciones para la no negatividad de las variables y formularemos la siguiente tarea para el extremo condicional:

Para encontrar su decisión, introducimos. multiplicadores de lagrange / = 1, t.y conforman el llamado función de Lagrange:

encontramos e igualamos a cero sus derivados privados en todas las variables.

habiendo recibido el sistema p + T. ecuaciones con respecto a Xnown X B x n,

Ui -,

Si la función f (x h ..., x ") En el punto tiene un extremo, luego hay un vector de este tipo (0\u003e \u003d (y, 0, ... y °) que el punto (A G (0), F (0)) es una solución de sistema (2.23). En consecuencia, resolviendo el sistema (2.23), obtenemos un punto en el que la función (2.20) puede tener un extremo. Además, los puntos encontrados se investigan de la misma manera que cuando se resuelve el problema del extremo incondicional.

Por lo tanto, el método de multiplicador de Lagrange incluye los siguientes pasos.

• 1. Inventa la función de Lagrange.
• 2. Encuentra derivados privados. XJ. y y Desde la función Lagrange y los equipara a cero.
• 3. Suministro de sistemas (2.23), encuentre puntos en los que la función objetivo puede tener un extremo.
• 4. Entre los puntos, los solicitantes de extremo para encontrar, en los que se logra el extremo, y calcule los valores de la función. f (x, ..., x ")en estos puntos.

El método anterior es aplicable a las tareas de programación convexo, es decir, A tal en el que la función objetivo es convexa (o cóncava) y el área de soluciones permisibles determinadas por las limitaciones, también convexo.

Definición 1.Función f (x.,..., x n), Establecer en el conjunto convexo X llamado convexo si por cualquier punto X 2 de Enfriar Para cualquier número X 0 x 1 desigualdad

Definición 2.Función/(*, h."), Establecido en un conjunto convexo X Llamado cóncavo si por cualquier punto. H. X, X 2 de Enfriar Para cualquier número X 0 x.

Definición 3.Muchas soluciones válidas del problema de la programación convexo satisfacen la condición de regularidad si hay al menos un punto Xj propiedad del área de soluciones admisibles para las cuales g ^ xj) \u003db h i. = 1, t.

Teorema 1.Cualquier problema extremo local de la programación convexa es global.

Definición 4.La función Lagrange de las tareas de programación convexo es una función.

donde U, - Multiplicador Lagrange.

Definición 5.Punto (X (0), T (0)) = (x, °, ..., x (', y, 0,..., u " ) llamada función de lagrange de punto de silla de montar, Si un

Damos dos teoremas cortos que son auxiliares.

Teorema 2.Plan óptimo X (0)tareas NOTARIO PÚBLICO.- esto es

donde sí) es una función diferenciable no lineal que satisface condiciones

¿Dónde está la función de degradado /

en el punto A "(0).

Evidencia.

Difunde la función objetivo en una serie de Taylor en el barrio del punto. X (())

dónde OH - Vector pequeños incrementos X (0);

I es la designación de la norma (longitud) del vector.

De la expresión (2.26) se deduce que si algún valor de las coordenadas del vector x | 0)\u003e 0, entonces definitivamente será cero derivado

, ya que de lo contrario la coordenada x k. lata,

con valores fijos del resto de las variables, continúe minimizando la función de destino, lo que reduce el valor x [0), si el derivado es mayor que cero, o aumentando xf. Si un derivado es menor

cero. Si x | 0) \u003d 0, entonces debería ser en la medida en

de lo contrario, sería posible reducir el valor. f (x m), Aumentando 4 0) por el valor de DH *, sin cambiar los valores de las variables restantes. Por lo tanto para cualquier a Se realiza la igualdad:

El teorema está probado.

Ahora definiremos las condiciones necesarias y suficientes para la existencia del punto de montar de la función Lagrange.

Teorema 3.Al punto (A 10 *, y 0)) con coordenadas no negativas fue un punto de función diferenciable L (x, y),las condiciones deben cumplirse:

Evidencia.

1) Necesidad. Sea (x (0), y "(0)) - un punto cargado, es decir:

La fórmula (2.29) es equivalente a la expresión.

Basado en (2.29) y (2.30), se cumplen las condiciones (2.27) y (2.28). La necesidad está así probada.

• 2) Adecuación. Asumimos que las condiciones (2.27) y (2.28) están satisfechas. Función de propagación L (x, y) En una serie de Taylor en el barrio del punto.

De la descomposición (2.31) y bajo las condiciones (2.27) y (2.28) se deduce que

Las dos últimas expresiones son equivalentes a la fórmula (2.29). El teorema está probado.

Después de los teoremas dados por los teoremas, formularemos el teorema casi obvio de Kuna - Takker.

Teorema 4 (Kuna - Takcker).Para el problema de la programación convexa (2.20) - (2.21), el conjunto de soluciones permisibles cuáles tiene la propiedad de la regularidad, punto X (0) \u003d (xj 0 *, ..., x '0)), x, - 0 \u003e\u003e 0, / \u003d 1, pAG es el plan óptimo entonces, y solo cuando hay un vector T \u003d (en 1 (0), ..., yi 0)), y / 0)\u003e 0, / \u003d 1, t, En qué punto (T (0), H 0\u003e) es un punto de montar de la función Lagrange.

Si está en el problema de la programación convexa (2.20) - (2.21), la función objetivo y las limitaciones son continuamente diferenciables, entonces el tackor de teorema de Kun puede complementarse con expresiones analíticas que determinan las condiciones necesarias y suficientes para el punto (X (0 (0 ), en i (l),) fue un punto de montar de la función Lagrange, es decir, Fue un problema de resolución de la programación convexa. Estas son expresiones (2.27) y (2.28). Satisfacen la tarea de la programación cuadrática. Para su formulación final, damos varias definiciones y un teorema.

Definición 6.Una forma cuadrática en relación con la variable x [, ..., x " La función numérica de estas variables se llama:

Definición 7.Forma cuadrática F. Llamado positivo / definido negativamente si F (x)\u003e 0/ F (x) 0 para todos los valores de las variables que constituyen vector X.

Definición 8.Forma cuadrática F. Llamado positivo / semedy negativamente si F (x ")\u003e O / sí ") x, y, además, hay un conjunto de variables: el componente del vector X " qué F (x ") \u003d 0.

Teorema 5.La forma cuadrática es una función convexa / cóncava si es positiva / semedada negativamente.

Definición9. La tarea que consiste en minimizar / maximizar el valor de la función.

con restricciones

donde - Forma cuadrática semi-definida positiva / negativamente, llamada la tarea de la programación cuadrática. (ZKP).

Para esta tarea, la función Lagrange tiene el formulario:

Si la función Lagrange tiene un punto de montar, entonces las condiciones (2.27) se realizan en ella (2.28). Ingresando ahora variables adicionales que convierten las desigualdades en la igualdad (esta técnica se usa y al resolver las tareas de LP), escribimos estas condiciones en el formulario:

Para encontrar la decisión del SCP, es necesario determinar la solución no negativa del sistema de ecuaciones algebraicas lineales (2.32). Esta solución se puede encontrar el método de base artificial, Aplicado para encontrar el valor mínimo de la función objetivo artificial. F \u003d ^ PJ, Dosel-variables artificiales. Método, Kakiz-

se sabe que el número final de pasos encontrará el plan óptimo o establecerá una insoluibilidad de la tarea.

Por lo tanto, el proceso de búsqueda de la solución SCP incluye los siguientes pasos.

• 1. Inventa la función de Lagrange.
• 2. Como expresiones (2.27), (2.28) registran las condiciones necesarias y suficientes para la existencia del punto de montar de la función Lagrange.
• 3. Usando el método de base artificial, establezca la ausencia de un punto de montar para la función Lagrange o coordine sus coordenadas.
• 4. Registre la solución óptima de la tarea inicial y encuentre el valor de la función de destino.

Considerar el elemental ejemplo numérico (No. 1) del libro I. L. Aculich "Programación matemática en ejemplos y objetivos". Según el plan de producción, la empresa debe producir 180 productos. Se pueden hacer en dos tecnologías. En producción H. Productos 1ª forma de los costos ascendidos a xf. + 4, frotar., Y en la fabricación. x 2 Productos de segunda forma en que son iguales. x +. 8x 2 RUB. Determine cuántos productos deben hacerse para minimizar el costo del pedido.

Decisión. Minimizar sigue la siguiente función:

bajo condiciones:

La función Lagrange en este caso se verá así:

Calcular los derivados privados de esta función por X, x 2, u y equipararlos a cero:

Transferido en la primera y segunda ecuación w. En el lado derecho y equipara las partes de la izquierda, obtenemos después de recortes obvios:

Resolviendo esta ecuación junto con la tercera ecuación del sistema, encontraremos que Este punto es un solicitante para un extremo.

Usando segundos derivados privados, no es difícil mostrar que el punto encontrado es una función mínima condicional /

Tareas similares a las consideradas, en muchas nominaciones de la práctica económica. Las tareas verdaderas y reales suelen ser una gran cantidad de variables y restricciones, lo que hace que sea imposible resolverlos sin el uso de la computadora. Sin embargo, la efectividad del uso del software estandarizado está determinado por el conocimiento del investigador de sustancias por las transformaciones realizadas por la computadora. Le ayuda a navegar correctamente en una variedad de métodos ofrecidos para resolver los problemas de optimización de métodos, procedimientos informáticos y complejos de software.

Para asegurar el tema, considere comer uno. ejemplo numérico (No. 2). Encuentra la función máxima.

bajo condiciones:

Decisión. Función / es cóncavo porque es la suma de la función lineal. f \u003d 2x 2 + 4x kque se puede ver como forma cóncava y cuadrática / 2 = -H -2x1, que se define negativamente. Las restricciones contienen solo limitaciones lineales. Por lo tanto, puede usar el Th teorem Kuna - Takcker y el esquema de solución SCC.

1. Hacer una función de Lagrange:

2. Escribimos las condiciones necesarias y suficientes para la existencia del punto de montar de la función. L.

3. Introducimos variables no negativas adicionales V V2 en el sistema de desigualdad lineal. w, w 2, Contratando las desigualdades en la igualdad. Obtenemos el sistema de ecuaciones:

Al mismo tiempo, las condiciones están satisfechas:

Es necesario encontrar la solución básica del sistema de ecuaciones (2.33) para determinar las coordenadas del punto de montar de la función Lagrange. Para este propósito, usamos el método de base artificial. Minimizar la función objetivo artificial.

dónde Zi, zi. - Variables artificiales, en condiciones:

Aquí, la solución permisible básica obvia es la siguiente:

Característica de destino F.express a través de variables no desconectadas:

Terminando los argumentos, notamos que se refiere a cero en XJ (0) \u003d 1, \u003d 1 y otras variables con valores cero. Por lo tanto, T (0) \u003d (1, 1) es el plan óptimo del problema de la fuente,

Conferencia 11.Programación convexa

Definición 1. Z. adats Programación convexa Se llama tarea de programación no lineal, donde todas las funciones son convexas.

Por lo tanto, el problema de la programación convexo es un problema de minimización condicional, donde la función objetivo del área convexa y permisible es un conjunto convexo formado por el sistema de desigualdades convexos. Por lo tanto, las afirmaciones obtenidas anteriormente en la columna VAPOR 6 son válidas para el problema de la programación convexa. En este párrafo, concretamos estos resultados generales y los llevamos a la forma más conveniente para el estudio y resolver el siguiente problema de la programación convexa:

(1)

, (2)

. (3)

Necesitaremos algunas construcciones auxiliares en el espacio.
vectores
. Vector de la primera
Punto de componente Nosotros denotaremos a través . Entonces,
.

Para el problema (1) - (3) definimos un conjunto

dónde
.

Lemma . Para el problema de la programación convexa (1) - (3) un montón de básico.

Evidencia. Elija vectores arbitrarios
Desde el set y número
. Entonces hay puntos y de como. Multiplica estas desigualdades en y
, en consecuencia, agregarlos. Debido a la convexidad de todas las funciones que obtenemos

De las desigualdades obtenidas y la protuberancia del conjunto. .

Teorema 1. (Teorema de tackle de coon en forma de una función de lagrange de punto de silla de montar de las tareas de programación convexo ) Supongamos que en el problema de la programación convexa (1) - (3), el sistema (2) satisface la condición de pizarra en relación con fue una solución al problema (1) - (3), es necesario y lo suficiente para existir en un vector no negativo tal que
- El punto saddal de la función Lagrange.

Evidencia. Dado que la adecuación de esta condición ya ha sido probada para un problema arbitrario de la programación no lineal (consulte la introducción del teorema 2.6), queda por demostrar solo la necesidad.

Necesidad. Permitir - Solución de problema (1) - (3). Poner
. Es obvio que
, como
,
y
.

Asegúrate de eso
. Supongamos desagradables. Esto significa que hay un punto.
tal que
. Por eso, - dicho punto permisible, el valor de la función objetivo en el que es menor que el mínimo. Obtenemos una contradicción con el hecho de que - Resolviendo el problema de la programación convexa.

Entonces,
. Según el conjunto de lemma. convexo. En consecuencia, se realizan todos los requisitos del teorema 8.2. Por lo tanto, hay tonterías

vector
Referencia en punto Para establecer :

Asegúrate de que todas las coordenadas del vector. Impasible. Supongamos desagradables. Supongamos que hay coordenadas
. Arreglar en el vector Todos los componentes excepto -Oh. Luego considerando que el trabajo.
puede hacer cualquier gran significado (debido a una coordenada ilimitada ), obtenemos una contradicción con la desigualdad (4).

Fácil de ver eso con cualquier
Vectores
Encender en muchos . Luego, de (4) tenemos:

Vamos a mostrar eso
. Deja que sea malo. Luego
. Por eso,
. Debajo de la condición de la pizarra hay un vector
tal que
. por lo tanto
. Obtenido contradicción y significa que
.

Denotar
. Vamos a mostrar que vector construido Es un vector multiplicador de Lagrange deseado. Es obvio que
y de (5) obtener

De ahí la capa
seguir

. (7)

Por otro lado, ya que
(en la medida en
) I.
, Tengo desigualdad

. Desde aquí y desde (7) se deduce que en el punto
La condición de la reticencia complementaria se realiza:

. (8)

De (6) y (8) tenemos

o que lo mismo

Siguiente, deja
. Luego
. Desde aquí y de (8) obtendramos desigualdad.

Desigualdades (9), (10) y significan que
- El punto de montar de la función de lagrange del problema.

programación del logo. Lo que se requirió.

Antes de familiarizarse con otra opción del teorema de Kuna-Takker, presentamos el siguiente teorema, que es un criterio de un mínimo condicional en términos de los conos de los vectores de soporte.

Teorema 2. Permitir - convexo y diferenciable en
Función, conjunto
convexo. Luego para el punto.
fue una función mínima condicional En el set
, es necesario y suficiente para incluir

. (11)

La prueba debe ser directamente del teorema 6.5 y la definición de cono.
Vectores de soporte en el punto Para establecer
.

Teorema 3. (Teorema del tanque de coon en forma diferencial para la tarea de programación convexa ) Deje que la tarea de la programación convexa en la forma (1), (2), donde todas funcionen.
Continuamente diferenciable, sistema (2) satisface la condición de la muestra. Entonces para el vector
fue una solución al problema (1), (2), es necesario y lo suficiente como para existir en un vector no negativo tal que se cumplan las condiciones

, (12)

.

Evidencia. Mostramos que las condiciones (12) y (13) son equivalentes a la inclusión (11). Deja que el punto
Tal es que
. Luego
y
.

Deja ahora
. Luego, de los teoremas 2 y 10.5, se deduce que la existencia de tales factores es necesaria y la condición suficiente para extremo.
,
para cual
. Poner
para todos
y obtener de la última condición de igualdad (12) y (13). Lo que se requirió.

En la conclusión del párrafo, presentamos la redacción de los dos teoremas de Koon-Tacker para la tarea de

programación de PON con restricciones lineales.

Teorema 4. Supongamos que en el problema de la programación convexa (1) - (3), el sistema de límite (2) tiene el formulario

, b - dimensión vectorial
. Luego, para un vector no negativo. fue una solución al problema, es necesario y suficiente para

hubo un vector no negativo. tal que
- El punto de montar de la función Lagrange de esta tarea.

Tenga en cuenta que en este caso se ve la función Lagrange.

Teorema 5. Deje en el problema de la programación convexa (1), (2) función de destino sistema de restricción continuamente diferenciable (2) tiene la forma
donde una dimensión de matriz
, b - dimensión vectorial
. Entonces para el vector
¿Fue una solución al problema, es necesario y es suficiente para existir en un vector no negativo? tal que se cumplan las condiciones
,
.

Tenga en cuenta que en los Teorems 4 y 5 no requiere la implementación de la condición de Slater, por lo que no son casos particulares de teoremas 1 y 3 y requieren una prueba independiente.

La función especificada en el conjunto convexo se llama convexo si se realiza por cualquier punto y se realiza la desigualdad. Una combinación lineal con coeficientes no negativos de convexo en múltiples funciones convexos es una función convexa en este conjunto. Deje que las funciones definidas en el conjunto convexo sean convexo.

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Número de conferencia 12.

Programación convexa

Una amplia clase de tareas de programación matemática se asocia con minimizar las funciones convexas de muchas variables definidas en el conjunto convexo. Tales tareas se denominan tareas de programación convexo (ZVP).

Tarea de la programación matemática.

(12.1)

se llama tarea de programación convexa si todas las funciones son funciones convexas.

Permítanos morir en los elementos del análisis convexo: el área de las matemáticas, en la que se estudian las propiedades de los conjuntos convexos y las funciones convexos, y que desempeña un papel fundamental en teoría y métodos para resolver tareas extremas.

Elementos del análisis convexo.

Presentamos algunas definiciones y consideramos ejemplos específicos de conjuntos convexos. Continuaremos tratando con las características definidas en los conjuntos de espacio euclidiano de dimensión finita.E N.

Definición 12.1. Muchos tipos

(12.2)

se llama puntos de conexión de un segmento y, y denotado.

Obviamente, cuandoX. Coincide con uno de los extremos del segmento (), cuando, con otro (), y cuándo, con un cierto punto interno del segmento.

Definición 12.2. Muchos llamadosconvexo Si con dos puntos y pertenece al segmento de ellos que se conectan.

La protuberancia del conjunto significa que de la pertenencia y el conjunto sigue lo que pertenece a todos.

Obviamente, en convexos cortados, semi-simples, rectos, círculos, triángulos, medio plano y todo el plano.

Todo el espacio, obviamente, forma un conjunto convexo. Un conjunto vacío y un conjunto que consiste en un punto es conveniente para ser considerado convexo.

Teorema 12.1. Teorema de la carretilla elevadora.Deje que la matriz de dimensión y el vector set. La desigualdad se realiza para todos en eso y solo si hay un vector tal que.

D o k a y t e l s en aproximadamente.Adecuación. Deja que las proporciones y. Entonces para cualquier vector será

Necesidad. Que para todos correctamente. Considera un cono. Si, el teorema está probado. Vamos a fingir que. El conjunto, por definición 12.2, convexo y cerrado, por lo tanto, en virtud del teorema de separabilidad, hay un vector tal que

(12.3)

para todos.

Desde todos, entonces de (12.3) lo conseguimos para todos. Entonces. Por otro lado. Es decir, y como se lleva a cabo para todos, entonces

. (12.4)

Pero, por lo tanto, de (12.3) sigue

. (12.5)

Tomando, de (12.4) y (12.5) obtenemos una contradicción con las condiciones del teorema.

Comentario. Presentamos la interpretación geométrica del teorema de Pharkash. Permitir

y. El cono es una combinación de todos los vectores que forman esquinas no ligeras con cada uno de los vectores. En la Fig. 12.1, el cono está sombreado por líneas verticales, y el cono es horizontal. El significado geométrico del teorema es el siguiente. A cualquier vector, el ángulo entre y fue la unótica, es necesario y suficiente para pertenecer al cono.

Figura 12.1.

Definición 12.3. La función especificada en el conjunto convexo se llamaconvexo Si se realiza la desigualdad para cualquier punto y cualquier

(12.6)

La función se llamaestrictamente convexo Si para toda la desigualdad (12.6) se realiza como estricta. La función se llamafuertemente convexo Si hay tal número (constante de abultamiento fuerte) Eso para todos y cualquier desigualdad.

(12.7)

Cada función fuertemente convexa es estrictamente convexa e incluso más función convexa, pero no viceversa.

Un ejemplo de una función convexa es una función cuadrática con una matriz definida positivamente.

Teorema 12.2. Una combinación lineal con coeficientes no negativos de convexo en múltiples funciones convexos es una función convexa en este conjunto.

D o k a y t e l s en aproximadamente. Deje que las funciones definidas en el conjunto convexo sean convexo. Demostramos que la función.

, (12.8)

donde encendido convexo.

Para puntos arbitrarios y de y cualquier número que tengamos

En esta cadena de relaciones, la primera desigualdad es válida, ya que las funciones son convexas. El resultado obtenido muestra que la función determinada por la fórmula (12.8) es convexa en el conjunto.

Teorema 12.3. Si convexo en un múltiplo convexo, entonces para cualquier punto y cualquier número, de modo que se realice la desigualdad de Yensen

. (12.9)

D o k a y t e l s t in o (por inducción). Para la desigualdad (12.9), obviamente. De hecho, si, entonces, es decir, (12.9) se realiza como igualdad. Supongamos que (12.9) se lleva a cabo para, es decir, Para una combinación convexa de puntos. Demostramos eso, entonces es cierto y para la combinación convexa de puntos del conjunto, es decir.

Al mismo tiempo, si, en (12.9), la igualdad es obvia. Si. Luego de la convexidad y la suposición inductiva sigue

Se dice que el conjunto satisface.condición regular de la condiciónSi hay un punto para cada uno, es decir,

(12.10)

Es fácil mostrar esa condición (12.10) es equivalente a otra condición llamadala condición de la regularidad de Slatera..

Teorema 12.4. Si se realiza el conjunto para la condición de regularidad.(12.10), luego el set regularmente en salaplas, a saber, hay un punto en el que todas las restricciones se llevan a cabo estrictamente

. (12.11)

D o k a y t e l s en aproximadamente. Deje que se realice la condición de regularidad (12.10). Seleccione un punto que sea una combinación convexa de puntos y, por lo tanto, perteneciente a. Luego con cualquier

esos. . En esta cadena de relaciones, la primera desigualdad es cierta debido a la desigualdad de Jensen, y el segundo es, ya que al menos un miembro de la cantidad, es decir, estrictamente menos. Estas desigualdades muestran que la condición de la regularidad del Slater tiene la condición en consideración.

Damos sin pruebas de la siguiente propiedad importante de las funciones convexas.

La función convexa definida en el conjunto convexo es continua en cada punto interno de este conjunto y tiene un derivado en cada punto interno en cualquier dirección.

Una propiedad importante de las funciones diferenciables convexas, que a menudo usamos, establece el siguiente teorema.

Teorema 12.5. La función que se diferencia en el conjunto convexo es convexo, si y solo cuando se realiza la desigualdad para cualquiera y la pertenencia a

. (12.12)

D o k a y t e l s en aproximadamente.Necesidad . Que haya convexo. Luego, para cualquiera y, () y todo tal que la desigualdad sea cierta.

o

de

Volviendo al límite en la última desigualdad, obtenemos.

Adecuación . Supongamos que la condición ahora está satisfecha (12.12) para cualquier dos puntos del conjunto. Luego, por un punto con pertenencia, desigualdades justas.

Multiplicando la primera desigualdad en, la segunda vez y plegando las desigualdades obtenidas, tenemos

o, teniendo en cuenta lo que tenemos

esos, que la función convexa en el set.

Considere una serie de propiedades extremas de las funciones convexas en un conjunto convexo, tocando un papel significativo al resolver el problema de encontrar un punto de ajuste convexo, en el que la función convexa definida al alcanzar el valor mínimo :.

Teorema 12.6. Cualquier punto de una función mínima local en un conjunto convexo es un punto mínimo global.

D o k a y t e l s en aproximadamente. Deja: el punto de la función mínima local en. Luego, por definición del punto de un mínimo local, hay algún vecindario de este punto, de modo que se realiza la desigualdad

. (12.13)

Supongamos que no es un punto de la función mínima global, es decir, hay un punto de tal manera que. Considere los puntos de vista.

esos. . Pero esto es contrario a la condición que, el punto del mínimo local, ya que con un punto suficientemente pequeño se encuentra en el vecindario, donde hay (12.13).

En consecuencia, el punto mínimo global está activado.

Teorema 12.7. El conjunto de puntos mínimos de la función convexa en el conjunto convexo es un conjunto convexo.

D o k a y t e l s en aproximadamente. Vamos al conjunto de puntos mínimos de la función convexa en el conjunto convexo, es decir,

Elija dos puntos y. Desde ambos - el conjunto convexo, entonces para ninguna

y debido a la convexidad de la función que tenemos

Es decir. Además, desde entonces, el valor mínimo de la función en, entonces. Y, es decir, es decir, . En consecuencia, el conjunto convexo.

Teorema 12.8. La función estrictamente convexa en el conjunto convexo alcanza su mínimo no más de un punto.

D o k a y t e l s en aproximadamente. Supongamos: función estrictamente convexa en el conjunto convexo, es decir, Para cualquier persona y toda la estricta desigualdad.

Let \u003d.

Supongamos que hay un punto, tal que

Entonces, para cualquier punto, pertenece al conjunto y en virtud de la estricta convexidad de la función será

esos. . Esto es contrario a la condición que es un punto mínimo. En consecuencia, el punto es el único.

Papeles de prueba

1. Dar la tarea de la programación convexa.

2. Dé la definición de un conjunto convexo.

3. La formulación del teorema de la bifurcación.

4. Dé una interpretación geométrica del teorema de Pharkash.

5. Dé la definición de función convexa, estrictamente convexa y convexa en el conjunto convexo.

6. Da ejemplos de funciones convexas.

7. Palabra la condición de regularidad del conjunto.

8. Palabra la condición de la regularidad en la pizarra, conjuntos.

9. Dale la condición de convexidad necesaria y suficiente de la función., Diferencialen un conjunto convexo .

10. Calcule las propiedades principales de las funciones convexas en un conjunto convexo.

Página 131.

Que se le dé el sistema de desigualdades de la forma.

(4.3) y función

Z \u003d f (x 1, x 2, ..., x n), (4.4)

además, todas las funciones son convexas en algún conjunto convexo M, y la función Z es convexa en el conjunto M, o cóncavo.

El problema de la programación convexo es encontrar una solución de este tipo en el sistema de límite (4.3), en el que la función de destino z alcance el valor mínimo, o la función cóncava z alcanza el valor máximo. (Los problemas de no negatividad de las variables se pueden considerar incluidas en (4.3)).

Debido a las propiedades de 3 0, cualquier problema de la programación lineal es un caso especial de una tarea de programación convexa. En el caso general, las tareas de programación convexo son tareas de programación no lineales. Selección de tareas de programación convexo a una clase especial se explica por las propiedades extremas de las funciones convexas: cualquier función de convexo mínimo local (la función cóncava máxima local) es global; Además, debido a las propiedades 2 0, la función convexa (cóncava) especificada en un conjunto limitado cerrado alcanza este conjunto de un máximo global y un mínimo global. Desde aquí sigue eso si la función objetivo z es estrictamente convexa (estrictamente cóncava) y si el área de soluciones del sistema de límite no está vacía y está limitada, entonces el problema de la programación convexo siempre tiene una solución única.

Función f (x) \u003d f (x 1, x 2, ..., x n) llamada separabelnoSi se puede representar como la suma de las funciones, cada una de las cuales depende solo de una variable, es decir, Si un

(Es posible que f I (x i) \u003d 0 para algunos i).

Supongamos que el sistema de límite (4.3) y la función de destino (4.4) se dan en la tarea de programación convexo (4.3), y la función Z función, y todas las limitaciones son separables. Entonces la tarea es:

Encuentre un mínimo de funciones convexas (máximo - cóncavo)

con restricciones

La idea de un método de aproximación lineal por partes es que todos F I, y todos son reemplazados por líneas quebradas que consisten en cortes rectos. En este caso, la tarea inicial de la programación convexa se reemplaza por una nueva tarea aproximada, que es una tarea de programación lineal. Esta tarea generalmente se resuelve por el método simplex, y su solución es una solución aproximada del problema inicial de la programación convexa.

Figura 12. Solución del problema de la programación convexa por aproximación lineal por partes

Para construir una tarea aproximada, considere una aproximación lineal por partes de la función de una variable H (x) especificada en el segmento. Rompemos este segmento en los puntos de piezas R x 0

La ecuación de la línea discontinua entre los puntos (x k; h k) y (x k + 1; h k + 1) tiene el formulario (ecuación directa a lo largo de dos puntos). Si cada una de las relaciones en esta igualdad es designar a través de, entonces obtenemos:

Tenga en cuenta que cada una de las condiciones de satisfacción única de significado (4.7). La designación de usted puede reescribir (4.7) en el formulario:

[Las ecuaciones (4.8) se denominan segmentos paramétricos.

Si h (x) \u003d 0, entonces la segunda de estas ecuaciones se refiere a la identidad 0 \u003d 0, y la primera toma el formulario (4.1): la ecuación del segmento que se encuentra en el eje abscisa].

Por lo tanto, para cualquier ecuación loloral, puede escribir en el formulario:

además, solo dos valores son siempre diferentes de cero (si x es la sección K-HO del punto interno de la partición) o una (si x coincide con el final del segmento).

Al regresar al problema de la programación convexa con funciones separables, observamos que, en primer lugar (dependiendo del sistema de límite), debe determinar el intervalo de cambios en cada variable x J. Luego, cada intervalo se divide en partes de X JK y usando fórmulas (4.9) una aproximación lineal por partes para funciones F J y. Después de eso, es posible que la tarea inicial (4.6) registre una tarea aproximada:

Encontrar una función máxima

con restricciones (4.10)

Dado que el problema aproximado (4.10) es una tarea de programación lineal, que generalmente se resuelve mediante el método simplex, las condiciones de definición se escriben por separado de otras restricciones.

La diferencia de la tarea obtenida (4.10) del problema habitual de la programación lineal es que para cada X J, no hay más de dos adyacentes no cero y, significa que no se toman dos con el mismo J y los K no emergentes. como las principales variables. También observamos que para las condiciones de los no permisos de las variables de los términos F J (x J) y (si corresponde), no es necesario realizar una aproximación lineal por partes.

Este capítulo cubrió solo algunos métodos de optimización utilizados por los gerentes para realizar soluciones efectivas en las empresas. Sin embargo, las técnicas descritas permiten comprender el principio básico de utilizar el aparato matemático en la economía, lo que hace posible elegir una variedad de opciones alternativas óptimas para este caso en particular o situaciones.