У багатьох випадках завдання отримання (обчислення) спектра сигналу має такий вигляд. Є АЦП, який з частотою дискретизації Fd перетворює безперервний сигнал, що надходить на його вхід протягом часу Т, цифрові відліки - N штук. Далі масив відліків подається в якусь програму, яка видає N/2 якихось числових значень (програміст, який стягнув з инетанаписав програму, запевняє, що вона робить перетворення Фур'є).

Щоб перевірити, чи правильно працює програма, сформуємо масив відліків як суму двох синусоїд sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) і подсунем програмі. Програма намалювала таке:

рис.1 Графік тимчасової функції сигналу

рис.2 Графік спектра сигналу

На графіку спектра є дві палиці (гармоніки) 5 Гц з амплітудою 0.5 і 10 Гц - з амплітудою 1 В, все як у формулі вихідного сигналу. Все чудово, програміст молодець! Програма працює правильно.

Це означає, що якщо ми подамо на вхід АЦП реальний сигнал із суміші двох синусоїд, ми отримаємо аналогічний спектр, що складається з двох гармонік.

Отже, наш реальнийвиміряний сигнал, тривалістю 5 сек, оцифрований АЦП, тобто представлений дискретнимивідліками, має дискретний неперіодичнийСпектр.

З математичної точки зору – скільки помилок у цій фразі?

Тепер начальство вирішило, що 5 секунд - це занадто довго, давай вимірювати сигнал за 0.5 сек.



рис.3 Графік функції sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на період вимірювання 0.5 сек

рис.4 Спектр функції

Щось ніби не те! Гармоніка 10 Гц малюється нормально, а замість палиці на 5 Гц з'явилося кілька якихось незрозумілих гармонік. Дивимося в інтернетах, що та як…

О, кажуть, що в кінець вибірки треба додати нулі і спектр малюватиметься нормальний.

рис.5 Добили нулів до 5 сек

рис.6 Отримали спектр

Все одно не те, що було на 5 секунд. Доведеться розбиратися з теорією. Йдемо до Вікіпедію- джерело знань.

2. Безперервна функція та уявлення її поруч Фур'є

Математично наш сигнал тривалістю T секунд є деякою функцією f(x), заданою на відрізку (0, T) (X в даному випадку – час). Таку функцію завжди можна подати у вигляді суми гармонійних функцій (синусоїд або косінусоїд) виду:

K – номер тригонометричної функції (номер гармонічної складової, номер гармоніки)
T - відрізок, де функція визначена (тривалість сигналу)
Ak - амплітуда k-ої гармонійної складової,
?k- початкова фаза k-ої гармонійної складової

Що означає «подати функцію у вигляді суми ряду»? Це означає, що, склавши у кожному точці значення гармонійних складових низки Фур'є, ми отримаємо значення нашої функції у цій точці.

(Суворіше, середньоквадратичне відхилення ряду від функції f(x) буде прагнути до нуля, але незважаючи на середньоквадратичну збіжність, ряд Фур'є функції, взагалі кажучи, не повинен сходитися до неї крапково. Див. https://ua.wikipedia.org/ wiki/Ряд_Фур'є .)

Цей ряд може бути записаний у вигляді:

(2),
де, k-я комплексна амплітуда.

Зв'язок між коефіцієнтами (1) та (3) виражається такими формулами:

Зазначимо, всі ці три уявлення низки Фур'є цілком рівнозначні. Іноді під час роботи з рядами Фур'є буває зручніше використовувати замість синусів і косінусів експоненти уявного аргументу, тобто використовувати перетворення Фур'є у комплексній формі. Але нам зручно використовувати формулу (1), де ряд Фур'є представлений у вигляді суми косінусоїд з відповідними амплітудами та фазами. У будь-якому разі неправильно говорити, що результатом перетворення Фур'є дійсного сигналу будуть комплексні амплітуди гармонік. Як правильно говориться в Вікі «Перетворення Фур'є (?) - операція, яка зіставляє однієї функції речової змінної іншу функцію, також речової змінної.»

Разом:
Математичною основою спектрального аналізу сигналів є перетворення Фур'є.

Перетворення Фур'є дозволяє представити безперервну функцію f(x) (сигнал), визначену на відрізку (0, T) у вигляді суми нескінченного числа (нескінченного ряду) тригонометричних функцій (синусоїд та косинусоід) ​​з певними амплітудами і фазами, що також розглядаються на відрізку (0, T). Такий ряд називається поряд Фур'є.

Зазначимо ще деякі моменти, розуміння яких потрібно правильного застосування перетворення Фур'є до аналізу сигналів. Якщо розглянути ряд Фур'є (суму синусоїд) на всій осі Х, то можна побачити, що поза відрізком (0, T) функція представлена ​​поруч Фур'є буде періодично повторювати нашу функцію.

Наприклад, на графіці рис.7 вихідна функція визначена на відрізку (-T2, + T2), а ряд Фур'є представляє періодичну функцію, визначену на всій осі х.

Це тому, що синусоїди самі є періодичними функціями, відповідно і їх сума буде періодичною функцією.

рис.7 Подання неперіодичної вихідної функції поруч Фур'є

Таким чином:

Наша вихідна функція – безперервна, неперіодична, визначена на деякому відрізку довжиною T.
Спектр цієї функції – дискретний, тобто представлений у вигляді нескінченного ряду гармонійних складових – низки Фур'є.
За фактом, поряд Фур'є визначається деяка періодична функція, що збігається з нашою на відрізку (0, T), але для нас ця періодичність не суттєва.

Періоди гармонійних складових кратні величині відрізка (0, T), на якому визначено вихідну функцію f(x). Інакше кажучи, періоди гармонік кратні тривалості вимірювання сигналу. Наприклад, період першої гармоніки низки Фур'є дорівнює інтервалу Т, у якому визначено функцію f(x). Період другої гармоніки ряду Фур'є дорівнює інтервалу Т/2. І так далі (див. мал. 8).

рис.8 Періоди (частоти) гармонійних складових ряду Фур'є (тут Т=2?)

Відповідно, частоти гармонійних складових кратні величині 1/Т. Тобто частоти гармонійних складових Fk дорівнюють Fk= к\Т, де до пробігає значення від 0 до?, наприклад до=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к = 3 F3 = 3 \ T; ... Fk = к \ Т (при нульовій частоті - постійна складова).

Нехай наша вихідна функція є сигнал, записаний протягом Т=1 сек. Тоді період першої гармоніки дорівнюватиме тривалості нашого сигналу Т1=Т=1 сек і частота гармоніки дорівнює 1 Гц. Період другої гармоніки дорівнюватиме тривалості сигналу, поділеної на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) і частота дорівнює 2 Гц. Для третьої гармоніки Т3=Т/3 с і частота дорівнює 3 Гц. І так далі.

Крок між гармоніками у разі дорівнює 1 Гц.

Таким чином, сигнал тривалістю 1 сек можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з роздільною здатністю по частоті 1 Гц.
Щоб збільшити розподільну здатність в 2 рази до 0,5 Гц - треба збільшити тривалість вимірювання в 2 рази - до 2 сек. Сигнал тривалістю 10 с можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з роздільною здатністю по частоті 0,1 Гц. Інших способів збільшити роздільну здатність за частотою немає.

Існує спосіб штучного збільшення тривалості сигналу шляхом додавання нулів до масиву відліків. Але реальну роздільну здатність за частотою він не збільшує.

3. Дискретні сигнали та дискретне перетворення Фур'є

З розвитком цифрової техніки змінилися способи зберігання даних вимірювань (сигналів). Якщо раніше сигнал міг записуватись на магнітофон і зберігатися на стрічці в аналоговому вигляді, то зараз сигнали оцифровуються і зберігаються у файлах у пам'яті комп'ютера у вигляді набору чисел (відліків).

Звичайна схема вимірювання та оцифрування сигналу виглядає наступним чином.

рис.9 Схема вимірювального каналу

Сигнал із вимірювального перетворювача надходить на АЦП протягом періоду часу Т. Отримані за час Т відліки сигналу (вибірка) передаються в комп'ютер і зберігаються в пам'яті.

рис.10 Оцифрований сигнал - N відліків отриманих за час Т

Які вимоги висуваються до параметрів оцифрування? Пристрій, що перетворює вхідний аналоговий сигнал дискретний код (цифровий сигнал) називається аналого-цифровий перетворювач (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Однією з основних параметрів АЦП є максимальна частота дискретизації (чи частота семплювання, англ. sample rate) - частота взяття відліків безперервного у часі сигналу за його дискретизації. Вимірюється у герцах. ((Wiki))

Відповідно до теореми Котельникова, якщо безперервний сигнал має спектр, обмежений частотою Fмакс, він може бути повністю і однозначно відновлено з його дискретним відлікам, взятим через інтервали часу , тобто. з частотою Fd? 2*Fмакс, де Fd – частота дискретизації; Fмакс – максимальна частота спектра сигналу. Іншими словами, частота оцифрування сигналу (частота дискретизації АЦП) повинна як мінімум у 2 рази перевищувати максимальну частоту сигналу, який ми хочемо виміряти.

А що буде, якщо ми братимемо відліки з меншою частотою, ніж потрібно за теоремою Котельникова?

У цьому випадку виникає ефект "аліасингу" (він же стробоскопічний ефект, муаровий ефект), при якому сигнал високої частоти після оцифрування перетворюється на сигнал низької частоти, якого насправді не існує. На рис. 5 червона синусоїда високої частоти – це реальний сигнал. Синя синусоїда нижчої частоти - фіктивний сигнал, що виникає внаслідок того, за час взяття відліку встигає пройти більше, ніж півперіоду високочастотного сигналу.

Рис. 11. Поява помилкового сигналу низької частоти за недостатньо високої частоти дискретизації

Щоб уникнути ефекту аліасингу перед АЦП ставлять спеціальний антиаліасинговий фільтр - ФНЧ (фільтр нижніх частот), який пропускає частоти нижче половини частоти дискретизації АЦП, а вищі частоти зарізає.

Для того щоб обчислити спектр сигналу за його дискретними відліками використовується дискретне перетворення Фур'є (ДПФ). Зазначимо ще раз, що спектр дискретного сигналу «за визначенням» обмежений частотою Fмакс меншою половиною частоти дискретизації Fd. Тому спектр дискретного сигналу може бути представлений сумою кінцевого числа гармонік, на відміну від нескінченної суми для ряду безперервного Фур'є сигналу, спектр якого може бути необмежений. Відповідно до теореми Котельникова максимальна частота гармоніки повинна бути такою, щоб на неї припадало щонайменше два відліки, тому число гармонік дорівнює половині числа відліків дискретного сигналу. Тобто якщо у вибірці є N відліків, то число гармонік у діапазоні дорівнюватиме N/2.

Розглянемо тепер дискретне перетворення Фур'є (ДПФ).

Порівнюючи з рядом Фур'є

Бачимо, що вони збігаються, за винятком того, що час у ДПФ має дискретний характер і кількість гармонік обмежена величиною N/2 – половиною числа відліків.

Формули ДПФ записуються у безрозмірних цілих змінних k, s, де k – номери відліків сигналу, s – номери спектральних складових.
Величина s показує кількість повних коливань гармоніки на періоді Т (тривалості вимірювання сигналу). Дискретне перетворення Фур'є використовується знаходження амплітуд і фаз гармонік чисельним методом, тобто. "на комп'ютері"

Повертаючись до результатів, отриманих на початку. Як було зазначено вище, при розкладанні у ряд Фур'є неперіодичної функції (нашого сигналу), отриманий ряд Фур'є фактично відповідає періодичної функції з періодом Т. (рис.12).

рис.12 Періодична функція f(x) з періодом Т0, з періодом вимірювання Т>T0

Як видно на рис.12 функція f(x) періодична з періодом Т0. Однак через те, що тривалість вимірювальної вибірки Т не збігається з періодом функції Т0, функція, що отримується як ряд Фур'є, має розрив у точці Т. В результаті спектр цієї функції міститиме велику кількість високочастотних гармонік. Якби тривалість вимірювальної вибірки Т збігалася з періодом функції Т0, то отриманому після перетворення Фур'є спектрі була б тільки перша гармоніка (синусоїда з періодом рівним тривалості вибірки), оскільки функція f(x) являє собою синусоїду.

Іншими словами, програма ДПФ «не знає», що наш сигнал є «шматком синусоїди», а намагається представити у вигляді ряду періодичну функцію, яка має розрив через нестикування окремих шматків синусоїди.

У результаті спектрі з'являються гармоніки, які мають у сумі зобразити форму функції, включаючи цей розрив.

Таким чином, щоб отримати «правильний» спектр сигналу, що є сумою кількох синусоїд з різними періодами, необхідно щоб на період вимірювання сигналу вкладалося ціле число періодів кожної синусоїди. На практиці цю умову можна виконати за досить великої тривалості вимірювання сигналу.

Рис.13 Приклад функції та спектра сигналу кінематичної похибки редуктора

За меншої тривалості картина виглядатиме «гірше»:

Рис.14 Приклад функції та спектру сигналу вібрації ротора

Насправді буває складно зрозуміти, де «реальні складові», де «артефакти», викликані некратностью періодів складових і тривалості вибірки сигналу чи «стрибками і розривами» форми сигналу. Звичайно слова «реальні складові» та «артефакти» не дарма взяті у лапки. Наявність на графіку спектра безлічі гармонік не означає, що наш сигнал насправді з них «складається». Це все одно що вважати, що число 7 «складається» з чисел 3 і 4. Число 7 можна представити у вигляді суми чисел 3 і 4 - це правильно.

Так і наш сигнал… а точніше навіть не «наш сигнал», а періодичну функцію, складену шляхом повторення нашого сигналу (вибірки) можна у вигляді суми гармонік (синусоїд) з певними амплітудами та фазами. Але в багатьох важливих для практики випадках (див. малюнки вище) дійсно можна пов'язати отримані в спектрі гармоніки і з реальними процесами, що мають циклічний характер і значний внесок у форму сигналу.

Деякі підсумки

1. Реальний виміряний сигнал, тривалістю T сек, оцифрований АЦП, тобто представлений набором дискретних відліків (N штук), має неперіодичний дискретний спектр, представлений набором гармонік (N/2 штук).

2. Сигнал представлений набором дійсних значень та його спектр представлений набором дійсних значень. Частоти гармонік позитивні. Те, що математикам буває зручніше уявити спектр у комплексній формі з використанням негативних частот не означає, що так правильно і так завжди треба робити.

3. Сигнал, виміряний на відрізку часу Т визначено тільки на відрізку часу Т. Що було до того, як ми почали вимірювати сигнал, і що буде після того – науці це невідомо. І в нашому випадку – нецікаво. ДПФ обмеженого у часі сигналу дає його «справжній» спектр, у тому сенсі, що за певних умов дозволяє обчислити амплітуду та частоту його складових.

Використані матеріали та інші корисні матеріали.

Перетворення Фур'є є найбільш широко використовуваний засіб перетворити довільну функцію від часу набір її частотних складових на площині комплексних чисел. Це перетворення може бути застосоване для аперіодичних функцій для визначення їх спектрів, і в цьому випадку комплексний оператор може бути замінений на/с:

З метою визначення найцікавіших частот може бути використане чисельне інтегрування комплексної площині.

Для ознайомлення із основами поведінки цих інтегралів розглянемо кілька прикладів. Рис. 14.6 (ліворуч) наведено імпульс одиничної площі у часовій області та його спектральний склад; в центрі - імпульс такої ж площі, але більшої амплітуди, а праворуч - амплітуда імпульсу нескінченна, проте його площа, як і раніше, дорівнює одиниці. Права картинка особливо цікава тим, що спектр імпульсу з нульовою шириною містить усі частоти з рівними амплітудами.

Рис. 14.6. Спектри импулъсовразной ширини, однаковою пяошрди

У 1822 р. французький математикЖ. Б. Ж. Фур'є (J. B.J. Fourier) показав у своїй роботі, присвяченій питанням теплопровідності, що будь-яка періодична функція може бути розкладена на вихідні компоненти, що включають частоту повторення та набір гармонік цієї частоти, причому кожна з гармонік має свою амплітуду та фазу по відношенню до частоті повторення. Основні формули, що використовуються при Фур'є-перетворенні, такі:

де A() являє собою компонент постійного струму, а А п і В п - гармоніки основної частоти порядку і, що знаходяться відповідно у фазі та протифазі з нею. Функція/(*), таким чином, є сумою цих гармонік та Ло-

У випадках коли f(x) симетрична щодо тс/2, т. e. f(x) на області від л до 2л = -f(x) на області від 0 до л, і відсутній компонент постійного струму, формули Фур'є-перетворення спрощуються до:

де n = 1, 3,5, 7...

Усі гармоніки є синусоїдами, лише частина з них знаходиться у фазі, а частина – у протифазі з основною частотою. Більшість форм сигналів, що зустрічаються в силовій електроніці, можуть бути розкладені на гармоніку цим манером.

Якщо перетворення Фур'є застосувати до прямокутних імпульсів тривалістю 120°, то гармоніки становитимуть набір порядку k = бі ± 1, де n - одне цілих чисел. Амплітуда кожної гармоніки по відношенню до першої пов'язана з її номером співвідношенням h = l//e. При цьому перша гармоніка матиме амплітуду, в 1.1 рази більшу, ніж амплітуда прямокутного сигналу.

Перетворення Фур'є видає амплітудне значення для кожної гармоніки, але, оскільки всі вони є синусоїдальними, середньоквадратичне значення вийде просто поділом відповідної амплітуди на корінь з 2. Середньоквадратичне значення складного сигналу являє собою квадратний корінь із суми квадратів середньоквадратичних значень кожної гармоніки.

При роботі з імпульсними функціями, що повторюються, корисно розглянути робочий цикл. Якщо імпульси, що повторюються, на Рис. 14.7 мають середньоквадратичне значення X за час А, то середньоквадратичне значення за час буде дорівнює X(A/B) 1 ' 2 . Таким чином, середньоквадратичне значення імпульсів, що повторюються, пропорційно кореню квадратному із значення робочого циклу. Застосувавши цей принцип до прямокутних імпульсів тривалістю 120° (робочий цикл 2/3) з одиничною амплітудою, отримаємо середньоквадратичне значення (2/3) 1/2 = 0.8165.

Рис. 14.7. Визначення середньоквадратичного значення (RMS) для повторюваних

імпульсів

Цікаво перевірити цей результат шляхом підсумовування гармонік, які відповідають згаданій послідовності прямокутних імпульсів. У Табл. 14.2 наведено результати цього підсумовування. Як видно, все збігається.

Таблиця 14.2. Результати підсумовування гармонік, що відповідають

періодичного сигналу з робочим циклом 2/3 та одиничною амплітудою

Номер гармоніки

Амплітуда гармоніки

Сумарне середньоквадратичне значення

Для порівняння можна згрупувати будь-який набір гармонік і визначити відповідний загальний рівень гармонічних спотворень. Середньоквадратичне значення сигналу при цьому визначається за формулою

де h - амплітуда першої (основної) гармоніки, а h - амплітуда гармонік порядку n > 1.

Компоненти, відповідальні за спотворення, можуть бути записані окремо як

де n> 1. Тоді

де Fund - перша гармоніка, а коефіцієнт нелінійних спотворень (THD) вийде рівним D/Fund.

Хоча аналіз прямокутної послідовності імпульсів дуже цікавий, він рідко застосовується у світі. Комутаційні ефекти та інші процеси роблять прямокутні імпульси більше схожими на трапецеїдальні, або, у випадку з перетворювачами, з переднім фронтом, що описується виразом 1 cos(0) і заднім фронтом, що описується залежністю cos(0), де 0< 0

логарифмічним масштабом нахил відповідних ділянок цього графіка складає -2 і -1. . Практичний результат від цього полягає у меншій значущості вищих гармонік, ніж можна подумати.

Хоча збільшення реактансу сприяє зменшенню гармонік вищих порядків, зазвичай це неможливо. Більш кращим для зменшення гармонійних складових споживаному струмі є збільшення числа імпульсів при випрямленні або перетворенні напруги, що досягається зсувом фаз. Щодо трансформаторів ця тема була порушена в гол. 7. Якщо тиристорний перетворювач або випрямляч живиться від обмоток трансформатора, з'єднаних зіркою і трикутником, а виходи перетворювача або випрямляча з'єднані послідовно або паралельно, виходить 12-пульсаційне випрямлення. Номери гармонік у наборі тепер виходять k = \2n ± 1 замість k = 6і + 1, де n - одне з цілих чисел. Натомість гармонік 5-го і 7-го порядку тепер з'являються гармоніки 11-го і 13-го порядків, амплітуда яких істотно менше. Цілком можливе застосування ще більшої кількості пульсацій, і, наприклад, у великих джерелах живлення для електрохімічних установок використовуються 48-пульсаційні системи. Так як у великих випрямлячах і перетворювачах використовуються набори з'єднаних паралельно діодів або тиристорів, додаткова вартість фазозсувних обмоток в трансформаторі в основному визначає його ціну. Рис. 14.8 показані переваги 12-пульсаційної схеми перед 6-пульсаційною. Гармоніки 11-го та 13-го порядку в 12-пульсаційній схемі мають типове значення амплітуди, що дорівнює приблизно 10% від першої гармоніки. У схемах із великим числом пульсацій гармоніки мають порядок k = pn + 1, де p – число пульсацій.

Для інтересу відзначимо, що пари наборів гармонік, які просто зрушені один щодо одного на 30 °, не взаємознищуються в 6-пульсаційній схемі. Струми цих гармонік проникають назад через трансформатор; таким чином, потрібно додаткове зрушення фаз для отримання можливості їх взаємного знищення.

Не всі гармоніки перебувають у фазі з першою. Наприклад, у трифазному наборі гармонік, що відповідає послідовності прямокутних імпульсів 120°, фази гармонік змінюються відповідно до послідовності -5-а, +7-я, -11-а, +13-я і т.д. При розбалансуванні в трифазному ланцюзі можуть виникати однофазні компоненти, що спричиняє потроювання гармонік з нульовим фазовим зсувом.

Рис. 14.8. Спектри 6 і 12-пульсаційних перетворювачів

Ізолюючі трансформатори часто розглядаються як панацея від проблем із гармоніками. Ці трансформатори додають деякий реактанс в систему і тим самим сприяють зниженню рівня вищих гармонік, проте, крім придушення струмів нульової послідовності та електростатичної розв'язки, користі від них небагато.

Почнемо з простої схеми, що дозволяє розглянути основні концепції, які ми використовуємо надалі більш складних схем. На рис. 7.1 показано вхідну напругу V BX.p = 1, це синусоїдальна хвиля з частотою f=1 кГц та максимальним значенням 1 В (діючим значенням V вх=√2). Щоб забезпечити вихідну напругу, яка є нелінійною функцією вхідного, як підсилювач використовується джерело напруги Е, керований напругою (ІНУН). У цьому прикладі залежність вихідної напруги від вхідної відображається функцією

f(x) = 1 + х + х².

Рис. 7.1. Схема з нелінійним зв'язком вхідної та вихідної напруги

Цей функціональний зв'язок відображається у команді Е за допомогою поліноміальних коефіцієнтів. Загальний вигляд полінома:

f(х) = k 0 + k 1 х + k 2 х².

Щоб перейти до залежності нашого прикладу, використовуємо три останні числа команди введення Е. Ми хочемо провести гармонійний аналіз, щоб побачити, які з гармонік є у вихідній напрузі, але спочатку спробуємо визначити, чого ми повинні очікувати.

Перш ніж перейти до розкладання тимчасових залежностей у ряд Фур'є, необхідно виконати аналіз для перехідних процесів (програму transient analysis в PSpice).

Тому необхідно використовувати обидві команди.TRAN та.FOUR. Зазвичай виконується аналіз перехідних процесів повного періоду основний частоти. У цьому прикладі f= 1 кГц; отже, Т=1/f= 1 мс. Гармонічний аналіз відбиває частотні компоненти до дев'ятої гармоніки. Для більшості цілей цього має бути більш ніж достатньо. Якщо показувати більш високі гармоніки, вони не будуть мати великого значення через накопичення помилки заокруглення в результатах.

Щоб дати детальніший опис вхідної напруги V BXвикористовуємо форму sinдля опису джерела. Параметри sin( а, b,з,…) означають: а- постійна складова, b- максимальне значення, з- Частота, d- затримка, е- Коефіцієнт загасання та f- Фаза.

При включенні у вхідний файл команди.FOUR проводиться гармонійний аналіз, що дає розкладання до ряду Фур'є для результатів аналізу перехідного процесу. Параметри для цієї команди включають частоту основної гармоніки та змінні, для яких буде отримано розкладання. У цьому прикладі такими змінними будуть періодичні функції вхідного V(1) та вихідного V(2) напруги. Вхідний файл:

Vin 1 0 sin(0 1 1000); аргументи для зміщення, максимуму та частоти

Е 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; останні 3 значення для k0, k1, k2

Проведіть аналіз, потім отримайте графіки V(1) та (V)2. Переконайтеся, що V(1) – точна копія вхідної напруги V ВХ.Вихідна напруга повинна показати компоненту постійного струму і складну хвилю з максимумом 3 В. З теоретичного вивчення рядів Фур'є можна зробити висновок, що цей графік нагадує періодичну хвилю, що складається з основної та другої гармонік. Доцільно надрукувати копію цього графіка для майбутнього вивчення. На рис. 7.2 показані ці графіки.

Рис. 7.2. Графіки напруг v 1 і v 2 для схеми на рис. 7.1

Розглянемо також вихідний файл для цієї схеми (рис. 7.3), на якому показані наступні значення для напруг вузлів: V(1)=0 В і V(2)=1 В. Це означає, що хоча вхідний сигнал не має зсуву, вихідний напруга має усунення V(2)=1 Ст.

На рис. 7.3 у таблиці компонентів ряду Фур'є для V(1) в повному обсязі компоненти мають реальні значення. Так, значення постійної складової теоретично має дорівнювати нулю, але аналіз дає дуже мале значення 3.5Е-10, не рівне в точності нулю через накопичення помилки округлення.

Fourier Analysis; Decomposition of Polynomial

Vin 1 0 sin(0 1 1000); arguments є offset, peak, and frequency

E 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; last 3 1s для k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000Е+03 3.134Е-09 3.134Е-09 -9.107Е+01 -9.107Е+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 -2.888E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 5.000E-01 5.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 7.971E-08 7.971E-08 -1.546E+02 -1.546E+02

4 4.000E+03 5.126E-08 5.126E-08 -1.439E+02 -1.439E+02

5 5.000E+03 3.918E-08 3.918E-08 -1.420E+02 -1.420E+02

6 6.000E+03 3.327E-08 3.327E-08 -1.299E+02 -1.299E+02

7 7.000E+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268E+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189Е+02 -1.189Е+02

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 4.999939E+01 PERCENT

Рис. 7.3. Вихідний файл із результатами аналізу схеми на рис. 7.1

Перша гармоніка є основною гармонікою при f= 1 кГц. Показана амплітуда першої гармоніки ряду Фур'є та її фаза 2.4Е-7 (теж майже нуль). Якщо вважати, що цей компонент виражений формулою

b n sin( nx),

то це означає, що b 1 =1, n=1 де індекс 1 відповідає основній частоті. Інші гармоніки можуть ігноруватися, оскільки їх амплітуди набагато порядків менше основної гармоніки. Саме основна гармоніка відбито на графіку V(1) в Probe, отримано з даних на рис. 7.3.

Інша таблиця компонентів Фур'є на рис. 7.3 відноситься до V(2). При перегляді різних гармонік зверніть увагу, що є постійна складова 1,5 В. Чому 1,5 В? Складова k 0 =1 дає тільки частина цього значення, інші ж 0,5 пов'язані з другою гармонікою. Теорія показує, що при гармонійному спотворенні по другій гармоніці у вихідній напрузі, крім власне другої гармоніки з амплітудою b 2 з'являється і пов'язана зі спотвореннями по другій гармоніці постійна складова зі значенням b 0 =b 2 . Амплітуда основної частоти у розкладанні дорівнює b 1 = 1 В, амплітуда другої гармоніки b 2 =0,5, її фазовий кут становить -90°. Вищі гармоніки мають набагато меншу величину і їх можна не враховувати.

Як вправу з гармонійного синтезу, ви можете намалювати окремі гармоніки і скласти їх, щоб передбачити результат, який ви отримаєте в Probe для V(2). Не забудьте врахувати постійну складову та відповідні амплітуди та фази для основної та другої гармонік. Після того як ви намалюєте результуюче коливання, вам, безперечно, буде приємно дізнатися, що PSpice може зробити цю нудну роботу за вас.

Складання гармонік та розкладання на гармонійні складові

Створимо новий вхідний файл, що відповідає рис. 7.4 на якому до схеми рис. 7.1 додано ще два незалежні джерела струму.

Ми використовували два джерела тільки для того, щоб ви могли отримати основну та другу гармоніки на одному графіку з вихідною напругою. Додаткові джерела живлять підключений паралельно 1-омний резистор. Така зміна початкової схеми зовсім не обов'язково, просто вона виявилася зручною при даному наборі параметрів. Новий вхідний файл є розширенням попереднього файлу і виглядає наступним чином:

Fourier Analysis; Decomposition of Polynomial

Vin 1 0 sin(0 1 1000);аргументи - зміщення, амплітуда та частота

Е 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; останні 3 записи for k0, k1, k2

i2 0 3 sin(0.5 0.5 2000 0 0 -90)

Рис. 7.4. Схема для аналізу складання гармонік та розкладання в ряд Фур'є

Перед виконанням аналізу докладно розглянемо опис для i 1 і i 2 . Для гармонійного синтезу використовуються результати розкладання ряд Фур'є з попередньої задачі. Переконайтеся, що ви розумієте значення всіх параметрів; потім виконайте аналіз у Probe, отримавши графіки I(i1), I(i2) та I(r). Хоча вони і є струмами, але чисельно вони рівні напругам, оскільки проходять через опір в 1 Ом. На рис. 7.5 представлені результати. Тепер можна встановити, що перший графік являє собою основну гармоніку, другий – другу гармоніку, а третій – результат складання їх у резисторі. r. Звісно, ​​можна отримати графік V(3) замість I(r). При цьому вісь Yбуде розмічено в одиницях напруги, а не струму. Переконайтеся, що сума перших двох кривих дає третю криву в різні моменти часу. Щоб зробити графік компактнішим, ми використовували зміщення в 1 В для основної гармоніки і в 0,5 В - для другої гармоніки. Фактично основна гармоніка має нульове усунення.

Рис. 7.5. Основна та друга гармоніки та результат їх складання

Спотворення по другій гармоніці в підсилювачах

Коли робоча область підсилювача виходить за межі лінійної частини характеристики, це призводить до деяких спотворень. Перше наближення до реальної вихідної кривої досягається включенням до моделі другої гармоніки, що показує, що перехідна функція, що зв'язує i cі i b(струм колектора та бази), є деякою параболою. Зазвичай спотворення набагато менше, ніж прийняте в нашому першому, вступному прикладі, який був показаний на рис. 7.1. Точніший поліном задається формулою

f(x) = 0,1 + x + 0,2x².

Достатньо просто перетворити початковий вхідний файл, щоб він відображав цю ситуацію. Команда введення для залежного джерела Енабуде вигляду:

Е 2 0 poly(1) 1,0 0.1 1 0.2; останні три величини для k0, k1, k2

а весь вхідний файл буде:

Проведіть аналіз та отримайте в Probe графіки V(1) та V(2). Ви побачите, що обидві хвилі виглядають справжніми синусоїдами. Для більш точного порівняння видаліть графік V(2) та отримайте замість нього графік V(2)–0,1. Це дозволить зблизити обидві криві. При порівнянні хвиль не забудьте, що V(1) є просто синусоїдальним сигналом, a V(2) - комбінацію основний і другий гармонік. У цьому прикладі друга гармоніка значно менша за амплітудою, ніж у попередньому. Ви можете надрукувати результати дослідження, наведені на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Основна та друга гармоніки та результат їх складання

Вийшовши із програми Probe, розгляньте вихідний файл для цього випадку. Вхідна напруга V(1) така сама, як і в попередньому прикладі, але V(2), звичайно, відрізняється. Зверніть увагу, що постійна складова вихідної напруги дорівнює 0.2 В, а друга гармоніка при f=2 кГц має амплітуду 0,1 і фазовий кут -90°. Інші гармоніки набагато менше і ними можна знехтувати. Насамкінець визначте загальне гармонічне спотворення, яке дуже близько до 10%, як і очікувалося. Спотворення по другій гармоніці визначено як b 1 /b 2 де b 1 і b 2 - коефіцієнти при другій та основній гармоніках відповідно. Ці дані наведено на рис. 7.7.

Fourier Analysis; Second-Harmonic Distortion, Power Amplifier

NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE

FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(1)

HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 1.115E-06 0.000E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3.000E+03 7.381E-09 7.381E-09 -9.083E+01 -9.083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134Е-09 -9.107Е+01 -9.107Е+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706Е+01

7 7.000E+03 1.511E-09 1.511E-09 -1.392E+02 -1.392E+02

8 8.000E+03 1.237E-09 1.237E-09 -3.990E+01 -3.990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 2.208405E-06 PERCENT

FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(2)

HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)

1 3.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 7.683E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 1.756E-08 1.756E-08 -1.336E+02 -1.336E+02

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 -1.348E+02 -1.348E+02

5 5.000E+03 9.547E-09 9.547E-09 -1.365E+02 -1.365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 9.999880E+00 PERCENT

Рис. 7.7. Результати аналізу спотворень з другої гармоніки в підсилювачах

Інтермодуляційні спотворення

Використовуємо просту схему (рис. 7.8), щоб показати, як дві синусоїдальні хвилі об'єднуються в нелінійному пристрої, який використовує досить близькі один до одного частоти, а саме f 1 = 1 кГц та f 2 = 1,5 кГц. Нелінійне змішування відбувається у залежному джерелі е-типу VCVS (ІНУН). Поліном, що описує зв'язок, містить більше членів, ніж у попередньому прикладі:

f(x) = 1 + x + х² + x³.

Рис. 7.8. Схема для демонстрації інтермодуляційних спотворень

Струми, підсумовуючись, створюють у R= 1 Ом напруга V(1), чисельно дорівнює струму R.Таким чином, вхідну напругу V(1) можна сприймати як напругу в нелінійному змішувачі. Оскільки синусоїдальні хвилі мають різні частоти, їх сума є складним періодичним коливанням з частотою, відмінною від частоти вихідних складових (частотою биття). Вхідний файл:

Проведіть моделювання та отримайте в Probe V(1). Виберіть Plot, X-Axis Settings…, User Defined, і встановіть діапазон від 0 до 10 мс, щоб досягти вхідної напруги. Цей графік показано на рис. 7.9. Щоб підтвердити, що він є фактично сумою гармонійних складових із частотами 1 і 1,5 кГц, виберемо Trace, Fourier, переходячи з часової частотної області. Змінимо тепер межі по осі X, Встановивши частотний діапазон від 4 до 12 кГц. Переконайтеся, що параметри осей відповідають потрібним частотам та очікуваним амплітудам. Фактично при f=1 кГц напруга дорівнює 0,991, а при f=1,5 кГц воно становить 0,979 В. Не забувайте, що при цьому синтезі є певна помилка накопичення. На рис. 7.10 показано відповідну амплітудно-частотну характеристику.

Рис. 7.9. Вихідна напруга при інтермодуляційних спотвореннях

Рис. 7.10. Спектральний склад вхідної напруги

Виберіть Trace, End Fourier, щоб повернутися в тимчасову область, видаліть графік V(1) і отримайте графік напруги на виході змішувача V(2). Нагадаємо, що змішувач є ІНУН з поліноміальним зв'язком, заданою функцією f(х). Тимчасова залежність являє собою графік, подібний до графіка V(1), але при більш уважному розгляді можна виявити, що форми напруг значно відрізняються. Деякі підказки можна отримати з гармонійного складу цього складного коливання, так що необхідно знову перейти в частотну область, вибравши діапазон по осі Xвід 0 до 5 кгц. Ми рекомендуємо надрукувати частотний спектр для подальшого вивчення. Теоретичний аналіз компонентів частотної модуляції дозволяє передбачати та перевіряти результати аналізу на PSpice. Зверніть увагу, що є постійна складова 2 В поряд із значними складовими в інтервалі від 0,5 до 4,5 кГц (див. рис. 7.11 для частотного спектру).

Рис. 7.11. Спектральний склад вихідної напруги

Складання гармонік

Найпростішим для теоретичного аналізу є випадок гармонійного на ланцюг, що складається з лінійних компонентів, таких як резистори, конденсатори і котушки індуктивності, і, як ви знаєте, при цьому реакція являє собою гармонійне коливання з тією ж частотою вхідного сигналу. Різні падіння напруги в схемі також є гармонійними коливаннями з тією ж частотою, що відрізняються тільки за амплітудою і фазою. Використовуємо просту схему, щоб проілюструвати деякі з цих властивостей. На рис. 7.12 показані три джерела напруги, що живлять схему, що містить резистори R= 1 Ом та R 1 =R 2 = 0,001 Ом. Останні два резистори потрібні, щоб зробити джерела напруги неідеальними. Використовуючи цю схему, ми можемо показати складання синусоїдальних хвиль у Probe. Вхідний файл:

Addition of Sine Waves of the Same Frequency

*Порядок слідування параметрів у складному вираженні для гармонійних

*складових: зміщення, амплітуда, частота, затримка, загасання, фаза

v2 2 0 sin(0 1 1kHz 0 0 45); фаза = 45 градусів

v3 3 0 sin(0 1 1kHz 0 0 90); фаза = 90 градусів

Рис. 7.12. Схема додавання гармонійних сигналів однієї частоти

Виконайте моделювання і в Probe отримайте графіки v(1), v(2) і v=v(1)+v(2). Графіки, що виникають в результаті, показують напругу v 2 з максимумом, що відстає приблизно на 45° від максимуму v 1 , і сумарна напруга v 1 +v 2 з максимумом, розташованим між максимальними значеннями. Переконайтеся, що максимум v 1 = 1 досягається в момент 251 мкс (90 °), максимум v 2 = 1 В - в момент 131 мкс (47,16 °) і максимум v 1 +v 2 = 1,8381 - в момент 171 мкс (61,56 °). Видаліть ці графіки та отримайте часові залежності для інших комбінацій напруг, наприклад, для v(1), v(3) і v(1)+v(3). Грунтуючись на вашому вмінні складати вектори напруги, спробуйте передбачити значення амплітуди для суми напруги до того, як отримаєте графіки в Probe, показані на рис. 7.13.

Рис. 7.13. Результат складання гармонійних сигналів однієї частоти

Додавання основної та другої гармонік

У вхідному файлі, що відповідає схемі на рис. 7.12, можна легко варіювати параметри та склад джерел живлення. Видалимо v 3 і подвоїмо частоту напруги v 2 , щоб вона стала частотою другої гармоніки для v 1 . Звичайно, результуюче коливання відразу стане несинусоїдальним. Фактично форма його залежатиме від співвідношення фазових кутів v 1 і v 2 . Нехай у прикладі обидві гармоніки досягають максимуму одночасно. Вхідний файл для такого випадку:

Adding Sine Waves; Fundamental and 2nd Harmonic Peaking Together

Проведіть моделювання та отримайте в Probe графіки v(1), v(2), і v=v(1)+v(2). Оскільки v 1 і v 2 досягають максимуму одночасно, максимум результуючого коливання дорівнює 2, але коли основна гармоніка досягає негативного максимуму, друга гармоніка повертається до позитивного максимуму, і їх сума звертається в нуль. Зрозуміло, що сумарне коливання ( v 1 +v 2) несинусоїдально. Ці графіки наведено на рис. 7.14.

Рис. 7.14. Результат складання першої та другої гармонік

Амплітудна модуляція

Цікавий графік коливання, що модулюється по амплітуді, може бути отриманий в PSpice при використанні функції перемноження гармонійних коливань із суттєво різними частотами. На рис. 7.15 показана схема, що моделює такий пристрій. Першим гармонійним джерелом є v 1 із частотою 1 кГц. Друге джерело v 2 має частоту 20 кГц. Перемноження здійснюється в залежному джерелі е, що є ІНУН (VCVS). Резистори необхідні, щоб уникнути появи плаваючих потенціалів. Вхідний файл:

e 3 0 poly (2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Рис. 7.15. Помножувач для модуляції синусоїдального коливання

П'ять останніх записів у команді введення поліноміального джерела: 0 0 0 0 1. Згадаймо, що це значення коефіцієнтів у членах k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 і k 4 v 1 v 2 . Усі значення дорівнюють 0 за винятком k 4 який дорівнює 1.

Проведіть моделювання та отримайте в Probe графіки v(1) та v(3). На загальному графіку навмисно не побудовано гармонійну складову з частотою 20 кГц, щоб не ускладнювати розуміння процесів. Результуюче коливання v(3) має класичний вигляд амплітудно-модульованого коливання. У цьому прикладі обидві вхідні гармоніки v 1 і v 2 мають амплітуду 1 Ст. Графіки наведені на рис. 7.16.

Рис. 7.16. Результат дослідження амплітудно-модульованих сигналів

Не виходячи з Probe, додайте графік іншої вхідної напруги v(2) так, щоб відобразити всю напругу: v(1), v(2) та v(3). Тепер цей графік містить поряд з двома іншими хвилями і несе, даючи закінчене зображення. Отримайте роздрук для подальшого вивчення, потім видаліть графік v(2) і виберіть Trace, Fourier. Встановіть по осі Xмежі діапазону від 0 до 30 кгц. У частотній області відображаються складові з частотами 1,19 і 21 кГц. Останні компоненти являють собою верхню та нижню побічні частоти, що виникли при такій модуляції. Визначте амплітуду кожної з цих хвиль. Згадайте тригонометричну тотожність,

(sin a)(sin b) = 0.5,

яке пояснює амплітуди 0,5 для частот бічної смуги. Зверніться до рис. 7.17, на якому зображено частотний спектр. (Маркери були видалені для отримання більш ясної картинки.) Проведіть аналіз із різними відносними амплітудами для напруги модуляції v 1 , щоб бачити, який вплив це на глибину модуляції т. Наприклад, коли v 1 має амплітуду 0,8, що є глибиною модуляції та що нагадує результуюче коливання?

Рис. 7.17. Частотний спектр амплітудно-модульованого коливання

Огляд нових команд PSpice, застосовуваних у цьому розділі

.FOUR <частота>*<выходные переменные>

Наприклад, запис

показує, що виконується розкладання до ряду Фур'є. Розкладання може бути виконано тільки після отримання тимчасової залежності для режиму, отриманого при аналізі перехідного процесу. Така команда повинна бути у вхідному файлі:

TRAN <шаг><момент окончания>

Завдання

Гармонічний аналіз дає постійну складову основну гармоніку, і всі гармоніки до дев'ятої включно. Показані їх амплітуди та фази з фактичними та відносними значеннями. У попередньому прикладі були проаналізовані V(1) та V(2) та їх компоненти. Зазвичай для здійснення гармонійного аналізу використовують команду .PROBE:проте замість неї можуть використовуватись також команди .PRINTабо .PLOT.

7.1. На рис. 7.18 поліном для Е має форму

f(x) = х + х².

Рис. 7.18

При використанні v i,пік=1, f=1 кГц та V= 1 В порівнянні v 0 с v i. Передбачте приблизний гармонійний склад вихідної напруги; потім виконайте аналіз на PSpice, який покаже гармонійний склад як вхідної, так і вихідної напруги. У команді.FOUR використовуйте напруги V(2, 1) та V(3). Дослідіть вихідний файл та визначте гармонійний склад V(3).

7.2. У задачі 7.1, використовуйте Trace, Fourier, щоб отримати гармонійний склад V(3). Відображаючи V(2,1) та V(3), встановіть по осі Xмежі від 0 до 5 кгц.

7.3. Виконайте аналіз для задачі 7.1 при

f(x) = 2 + 0,1x².

Передбачте приблизний гармонійний склад вихідної напруги; потім отримайте графіки V(2,1) та V(3), щоб перевірити точність ваших передбачень.

7.4. На рис. 7.4 показано поліноміальне джерело Е. Він був заданий як

f(х) = 1 + х + х².

Замініть поліном на

f(х) = х + х²,

та виконайте синтез та розкладання, змінюючи i 1 і i 2 так, щоб струм I(r) повторював формою напруга V(2).

7.5. У розділі «Спотворення по другій гармоніці в підсилювачах» цього розділу замініть поліном на наступний:

f(х) = 0,05 + х + 0,1х²,

та проведіть аналіз на PSpice так, як запропоновано в тексті. Отримайте графік V(1) та (V)2–0,05, щоб порівняти змінні складові вхідної та вихідної напруги. Передбачте значення постійної складової вихідної напруги, амплітуди та фази другої гармоніки та загального гармонійного спотворення. Перевірте ваші прогнози, використовуючи результати Probe та вихідного файлу.

7.6. У розділі «Інтермодуляційні спотворення» ми поєднали дві синусоїдальні хвилі різних частот. Виконайте аналіз при частотах f 1 = 2 кГц та f 2 = 2,5 кГц, залишивши вираз для f(х) без змін. Змініть команду.TRAN відповідно до завдання. Виконуйте операції в тому ж порядку, що й у текстовому прикладі, щоб перевірити ваші прогнози про гармонійний склад вихідної напруги.

7.7. У розділі «Складання гармонік» на рис. 7.12 показані паралельні гілки із трьома джерелами напруги. Додавання гармонік було швидше математичним, ніж фізичним. Змініть схему так, щоб усі джерела напруги були послідовно включені, потім виконайте аналіз знову. Чи ви отримали ті самі результати?

7.8. Виконайте аналіз, щоб скласти наступні гармонійні напруги однієї частоти f=1 кГц:

v 1 = 0,5∠0°В, v 2 = 1∠45°В і v 23 = 1,5∠90 ° Ст.

При цьому:

а) Знайдіть максимальне значення ( v 1 +v 2), а також момент часу та фазовий кут, при якому досягається максимум.

б) Повторіть пункт а) для ( v 1 +v 3).

При використанні режиму курсору та кількох графіків на одному екрані натисніть [ Ctrl] та стрілки ← та →, щоб вибрати, за яким із графіків повинен рухатися курсор.

7.9. Щоб ілюструвати ефект складання гармоній з близькими частотами, виконайте аналіз, як у задачі 7.8, для наступного набору параметрів: v 1 = 1∠0 °, f 1 = 1 кГц, v 1 = 1∠0 °, f 2 = 1,2 кГц, v 1 = 1∠0 ° В і f 3 = 1,4 кГц:

а) Отримайте графіки v 1 , v 2 та ( v 1 +v 2). Знайдіть максимальне значення ( v 1 +v 2).

б) Отримайте графіки v 1 , v 3 та ( v 1 +v 3). Знайдіть максимальне значення ( v 1 +v 3).

7.10. Розв'яжіть задачу з розділу, що стосується амплітудної модуляції, поклавши v 1 =1 при 1 кГц, і змінивши v 1 так, щоб глибина модуляції дорівнювала 0,5. Виконайте аналіз на PSpice, щоб показати отримані результати.

Як відомо, в електроенергетиці як стандартна форма для струмів і напруг прийнята синусоїдальна форма. Однак у реальних умовах форми кривих струмів і напруг можуть у тому мірою відрізнятися від синусоїдальних. Спотворення форм кривих цих функцій у приймачів призводять до додаткових втрат енергії та зниження їх коефіцієнта корисної дії. Синусоїдність форми кривої напруги генератора є одним із показників якості електричної енергії як товару.

Можливі такі причини спотворення форми кривих струмів та напруг у складному ланцюзі:

1) наявність в електричному ланцюзі нелінійних елементів, параметри яких залежать від миттєвих значень струму та напруги (наприклад, випрямляючі пристрої, електрозварювальні агрегати тощо);

2) наявність в електричному ланцюзі параметричних елементів, параметри яких змінюються в часі;

3) джерело електричної енергії (трифазний генератор) через конструктивні особливості не може забезпечити ідеальну синусоїдальну форму вихідної напруги;

4) вплив у комплексі перелічених вище чинників.

Нелінійні та параметричні ланцюги розглядаються в окремих розділах курсу ТОЕ. У цьому розділі досліджується поведінка лінійних електричних кіл при впливі ними джерел енергії з несинусоїдальної формою кривої.

З курсу математики відомо, що будь-яка періодична функція часу f(t), що задовольняє умовам Диріхле, може бути представлена ​​гармонійним рядом Фур'є:

Тут А0 - постійна складова, Ak * sin (kωt + αk) k-я гармонійна складова або скорочено k-я гармоніка. 1-я гармоніка називається основний, проте наступні - вищими.

Амплітуди окремих гармонік Ак не залежать від способу розкладання функції f(t) до ряду Фур'є, в той же час початкові фази окремих гармонік αk залежать від початку відліку часу (початку координат).

Окремі гармоніки ряду Фур'є можна подати у вигляді суми синусної та косинусної складових:

Тоді весь ряд Фур'є набуде вигляду:

Співвідношення між коефіцієнтами двох форм ряду Фур'є мають вигляд:

Якщо k-ю гармоніку та її синусну та косинусну складові замінити комплексними числами, то співвідношення між коефіцієнтами ряду Фур'є можна представити у комплексній формі:

Якщо періодична несинусоїдальна функція часу задана (або може бути виражена) аналітично у вигляді математичного рівняння, то коефіцієнти ряду Фур'є визначаються за формулами, відомими з курсу математики:

На практиці досліджувана несинусоїдальна функція f(t) зазвичай визначається у вигляді графічної діаграми (графічно) (рис. 46.1) або у вигляді таблиці координат точок (таблично) в інтервалі одного періоду (табл. 1). Щоб виконати гармонійний аналіз такої функції за наведеними вище рівняннями, її необхідно замінити математичним виразом. Заміна функції, заданої графічно або таблично математичним рівнянням, отримала назву апроксимації функції.

В даний час гармонійний аналіз несинусоїдальних функцій часу f(t) виконується, як правило, на ЕОМ. У найпростішому випадку математичного представлення функції застосовується кусочно-линейная апроксимація. Для цього вся функція в інтервалі одного повного періоду розбивається на M=20-30 ділянок так, щоб окремі ділянки були якомога ближче до прямих ліній (рис. 1). На окремих ділянках функція апроксимується рівнянням прямої fm(t)=am+bm*t, де коефіцієнти апроксимації (am, bm) визначаються для кожної ділянки через координати її кінцевих точок, наприклад, для однієї ділянки отримаємо:

Період функції Т розбивається велика кількість кроків інтегрування N, крок інтегрування Δt=h=T/N, поточний час ti=hi, де i - порядковий номер кроку інтегрування. Певні інтеграли у формулах гармонійного аналізу замінюються відповідними сумами, їх підрахунок виконується на ЕОМ за методом трапецій або прямокутників, наприклад:

Для визначення амплітуд вищих гармонік із достатньою точністю (δ≤1%) число кроків інтегрування має становити не менше 100k, де k – номер гармоніки.

У техніці виділення окремих гармонік з несинусоїдних напруг і струмів застосовують спеціальні прилади, звані гармонічними аналізаторами.

Перетворення Фур'є і Хартлі трансформують функції часу на функції частоти, що містять інформацію про амплітуд і фазу. Нижче наведено графіки безперервної функції g(t) та дискретної g(τ), де tі ? - моменти часу.

Обидві функції починаються в нулі, стрибком досягають позитивного значення та експоненційно згасають. За визначенням перетворення Фур'є для безперервної функції є інтеграл по всій речовій осі, F(f), а для дискретної функції - сума по кінцевому набору відліків, F(ν):

де f, ν - значення частоти, n- Число вибіркових значень функції, а i=√ -1 - Уявна одиниця. Інтегральне уявлення найбільше підходить для теоретичних досліджень, а уявлення у вигляді кінцевої суми — для розрахунків на комп'ютері. Інтегральне та дискретне перетворення Хартлі визначаються аналогічним чином:

Хоча єдина різниця в позначеннях між визначеннями Фур'є і Хартлі полягає в присутності множника перед синусом, той факт, що перетворення Фур'є є і дійсна, і уявна частина, робить уявлення цих двох перетворень абсолютно різними. Дискретні перетворення Фур'є і Хартлі мають сутнісно таку ж форму, як і їх безперервні аналоги.

Хоча графіки виглядають по-різному, з перетворень Фур'є та Хартлі можна вивести, як показано нижче, ту саму інформацію про амплітуду та фазу.

Амплітуда Фур'є визначається квадратним коренем із суми квадратів дійсної та уявної частин. Амплітуда Хартлі визначається квадратним коренем із суми квадратів H(–ν) та H(V). Фаза Фур'є визначається арктангенсом уявної частини, поділеної на дійсну частину, а фаза Хартлі визначається сумою 45° та арктангенсу від H(–ν), поділеного на H(ν).