V mnohých prípadoch je úloha získania (výpočtu) spektra signálu nasledovná. Existuje ADC, ktorý so vzorkovacou frekvenciou Fd konvertuje spojitý signál prichádzajúci na jeho vstup v čase T na digitálne hodnoty - N kusov. Ďalej sa pole hodnôt privádza do určitého programu, ktorý poskytuje N / 2 niektorých číselných hodnôt (programátor, ktorý stiahnuté z internetu napísal program, tvrdí, že vykonáva Fourierovu transformáciu).

Aby sme skontrolovali, či program funguje správne, vytvoríme pole hodnôt ako súčet dvoch sínusoidov sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) a vložíme ho do program. Program nakreslil nasledovné:

obr.1 Graf časovej funkcie signálu

obr.2 Graf spektra signálu

Na grafe spektra sú dve paličky (harmonické) 5 Hz s amplitúdou 0,5 V a 10 Hz - s amplitúdou 1 V, všetko ako vo vzorci pôvodného signálu. Všetko je v poriadku, dobrý programátor! Program funguje správne.

To znamená, že ak na vstup ADC privedieme reálny signál zo zmesi dvoch sínusoidov, potom dostaneme podobné spektrum pozostávajúce z dvoch harmonických.

Celkom, náš reálny meraný signál, trvanie 5 sek, digitalizované ADC, teda zastúpené diskrétne počíta, má diskrétne neperiodické spektrum.

Z matematického hľadiska, koľko chýb je v tomto slovnom spojení?

Teraz úrady rozhodli, že sme sa rozhodli, že 5 sekúnd je príliš dlho, zmerajte signál za 0,5 sekundy.



obr.3 Graf funkcie sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pre dobu merania 0,5 sek.

obr.4 Funkčné spektrum

Niečo nie je v poriadku! 10 Hz harmonická sa kreslí normálne, no namiesto 5 Hz paličky sa objavilo niekoľko nepochopiteľných harmonických. Pozeráme na internete, čo a ako ...

Hovorí sa, že na koniec vzorky treba pridať nuly a spektrum sa vykreslí normálne.

obr.5 Hotové nuly do 5 sekúnd

obr.6 Získali sme spektrum

Stále to nie je to, čo bolo za 5 sekúnd. Musíte sa vyrovnať s teóriou. Poďme do Wikipedia- zdroj poznania.

2. Spojitá funkcia a jej znázornenie Fourierovým radom

Matematicky je náš signál s trvaním T sekúnd určitou funkciou f(x) danou na intervale (0, T) (X je v tomto prípade čas). Takáto funkcia môže byť vždy reprezentovaná ako súčet harmonických funkcií (sínus alebo kosínus) tvaru:

K - číslo goniometrickej funkcie (počet harmonickej zložky, harmonické číslo)
T - segment, kde je funkcia definovaná (trvanie signálu)
Ak - amplitúda k-tej harmonickej zložky,
?k - počiatočná fáza k-tej harmonickej zložky

Čo znamená „reprezentovať funkciu ako súčet radu“? To znamená, že sčítaním hodnôt harmonických zložiek Fourierovho radu v každom bode dostaneme hodnotu našej funkcie v tomto bode.

(Presnejšie, štandardná odchýlka radu od funkcie f(x) bude mať tendenciu k nule, ale napriek štandardnej konvergencii sa od Fourierovho radu funkcie vo všeobecnosti nevyžaduje, aby k nemu bodovo konvergovala. Pozri https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .)

Táto séria môže byť tiež napísaná ako:

(2),
kde , k-tá komplexná amplitúda.

Vzťah medzi koeficientmi (1) a (3) je vyjadrený nasledujúcimi vzorcami:

Všimnite si, že všetky tieto tri reprezentácie Fourierovho radu sú úplne ekvivalentné. Niekedy je pri práci s Fourierovými radmi vhodnejšie použiť exponenty imaginárneho argumentu namiesto sínusov a kosínusov, teda použiť Fourierovu transformáciu v komplexnej forme. Pre nás je však vhodné použiť vzorec (1), kde Fourierov rad je reprezentovaný ako súčet kosínusových vĺn s príslušnými amplitúdami a fázami. V každom prípade je nesprávne tvrdiť, že výsledkom Fourierovej transformácie reálneho signálu budú komplexné amplitúdy harmonických. Ako správne hovorí wiki, "Fourierova transformácia (?) je operácia, ktorá mapuje jednu funkciu reálnej premennej na inú funkciu, tiež reálnej premennej."

Celkom:
Matematickým základom spektrálnej analýzy signálov je Fourierova transformácia.

Fourierova transformácia nám umožňuje reprezentovať spojitú funkciu f(x) (signál) definovanú na segmente (0, T) ako súčet nekonečného počtu (nekonečného radu) goniometrických funkcií (sínus a/alebo kosínus) s určitými amplitúdami. a fázy, uvažované aj na segmente (0, T). Takáto séria sa nazýva Fourierova séria.

Zaznamenali sme niekoľko ďalších bodov, ktorých pochopenie je potrebné pre správnu aplikáciu Fourierovej transformácie na analýzu signálu. Ak vezmeme do úvahy Fourierov rad (súčet sínusoidov) na celej osi X, potom môžeme vidieť, že mimo segmentu (0, T) bude funkcia reprezentovaná Fourierovým radom periodicky opakovať našu funkciu.

Napríklad v grafe na obr. 7 je pôvodná funkcia definovaná na segmente (-T \ 2, + T \ 2) a Fourierov rad predstavuje periodickú funkciu definovanú na celej osi x.

Je to preto, že samotné sínusoidy sú periodické funkcie a ich súčet bude periodickou funkciou.

obr.7 Znázornenie neperiodickej pôvodnej funkcie Fourierovým radom

Touto cestou:

Naša pôvodná funkcia je spojitá, neperiodická, definovaná na nejakom intervale dĺžky T.
Spektrum tejto funkcie je diskrétne, to znamená, že je prezentované ako nekonečný rad harmonických zložiek - Fourierov rad.
V skutočnosti je určitá periodická funkcia definovaná Fourierovým radom, ktorý sa zhoduje s našou na segmente (0, T), ale táto periodicita nie je pre nás podstatná.

Periódy harmonických zložiek sú násobky segmentu (0, T), na ktorom je definovaná pôvodná funkcia f(x). Inými slovami, harmonické periódy sú násobky trvania merania signálu. Napríklad perióda prvej harmonickej Fourierovho radu sa rovná intervalu T, na ktorom je definovaná funkcia f(x). Perióda druhej harmonickej Fourierovho radu sa rovná intervalu T/2. A tak ďalej (pozri obr. 8).

obr.8 Periódy (frekvencie) harmonických zložiek Fourierovho radu (tu T = 2?)

V súlade s tým sú frekvencie harmonických zložiek násobky 1/T. To znamená, že frekvencie harmonických zložiek Fk sa rovnajú Fk= k\T, kde k je v rozsahu od 0 do?, napríklad k=0 F0=0; k = 1 F1 = 1\T; k = 2 F2 = 2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (pri nulovej frekvencii - konštantná zložka).

Nech je našou pôvodnou funkciou signál zaznamenaný pre T=1 sek. Potom sa perióda prvej harmonickej bude rovnať trvaniu nášho signálu T1=T=1 sec a frekvencia harmonickej je 1 Hz. Perióda druhej harmonickej sa bude rovnať trvaniu signálu vydelenému 2 (T2=T/2=0,5 s) a frekvencia je 2 Hz. Pre tretiu harmonickú T3=T/3s a frekvencia je 3Hz. A tak ďalej.

Krok medzi harmonickými je v tomto prípade 1 Hz.

Signál s trvaním 1 sek je teda možné rozložiť na harmonické zložky (získať spektrum) s frekvenčným rozlíšením 1 Hz.
Na zvýšenie rozlíšenia 2-krát na 0,5 Hz je potrebné predĺžiť trvanie merania 2-krát - až 2 sekundy. Signál s trvaním 10 sekúnd je možné rozložiť na harmonické zložky (získať spektrum) s frekvenčným rozlíšením 0,1 Hz. Neexistujú žiadne iné spôsoby, ako zvýšiť frekvenčné rozlíšenie.

Existuje spôsob, ako umelo predĺžiť trvanie signálu pridaním núl do poľa vzoriek. Ale nezvyšuje skutočné frekvenčné rozlíšenie.

3. Diskrétne signály a diskrétna Fourierova transformácia

S rozvojom digitálnej techniky sa zmenili aj spôsoby ukladania nameraných dát (signálov). Ak predtým bolo možné signál zaznamenať na magnetofón a uložiť na pásku v analógovej forme, teraz sú signály digitalizované a uložené v súboroch v pamäti počítača ako súbor čísel (počet).

Obvyklá schéma merania a digitalizácie signálu je nasledovná.

obr.9 Schéma meracieho kanála

Signál z meracieho prevodníka prichádza do ADC počas časového úseku T. Vzorky signálu (vzorky) získané počas času T sú prenesené do počítača a uložené v pamäti.

obr.10 Digitalizovaný signál - N odčítaní prijatých v čase T

Aké sú požiadavky na parametre digitalizácie signálu? Zariadenie, ktoré konvertuje vstupný analógový signál na diskrétny kód (digitálny signál), sa nazýva analógovo-digitálny prevodník (ADC, anglicky Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Jedným z hlavných parametrov ADC je maximálna vzorkovacia frekvencia (alebo vzorkovacia frekvencia, anglicky sample rate) – frekvencia odoberania vzoriek signálu súvisle v čase pri jeho vzorkovaní. Merané v hertzoch. ((Wiki))

Podľa Kotelnikovovej vety, ak má spojitý signál spektrum obmedzené frekvenciou Fmax, potom ho možno úplne a jednoznačne obnoviť z jeho diskrétnych vzoriek odoberaných v časových intervaloch, t.j. s frekvenciou Fd ? 2*Fmax, kde Fd - vzorkovacia frekvencia; Fmax - maximálna frekvencia spektra signálu. Inými slovami, vzorkovacia frekvencia signálu (vzorkovacia frekvencia ADC) musí byť aspoň 2-násobkom maximálnej frekvencie signálu, ktorý chceme merať.

A čo sa stane, ak budeme čítať s nižšou frekvenciou, ako vyžaduje Kotelnikovova veta?

V tomto prípade nastáva efekt „aliasingu“ (alias stroboskopický efekt, moaré efekt), pri ktorom sa vysokofrekvenčný signál po digitalizácii zmení na nízkofrekvenčný signál, ktorý v skutočnosti neexistuje. Na obr. 5 vysokofrekvenčná červená sínusová vlna je skutočný signál. Modrá sínusová vlna s nižšou frekvenciou je fiktívny signál vyplývajúci zo skutočnosti, že počas vzorkovacieho času uplynie viac ako polovica periódy vysokofrekvenčného signálu.

Ryža. 11. Výskyt falošného nízkofrekvenčného signálu, keď vzorkovacia frekvencia nie je dostatočne vysoká

Aby sa predišlo efektu aliasingu, je pred ADC - LPF (dolnopriepustný filter) umiestnený špeciálny antialiasingový filter, ktorý prepúšťa frekvencie pod polovicou vzorkovacej frekvencie ADC a odrezáva vyššie frekvencie.

Na výpočet spektra signálu z jeho diskrétnych vzoriek sa používa diskrétna Fourierova transformácia (DFT). Ešte raz poznamenávame, že spektrum diskrétneho signálu je "podľa definície" obmedzené frekvenciou Fmax, ktorá je menšia ako polovica vzorkovacej frekvencie Fd. Preto môže byť spektrum diskrétneho signálu reprezentované súčtom konečného počtu harmonických, na rozdiel od nekonečného súčtu pre Fourierov rad spojitého signálu, ktorého spektrum môže byť neobmedzené. Podľa Kotelnikovovej vety musí byť maximálna harmonická frekvencia taká, aby predstavovala aspoň dve vzorky, takže počet harmonických sa rovná polovici počtu vzoriek diskrétneho signálu. To znamená, že ak je vo vzorke N vzoriek, potom sa počet harmonických v spektre bude rovnať N/2.

Uvažujme teraz o diskrétnej Fourierovej transformácii (DFT).

Porovnanie s Fourierovým radom

Vidíme, že sa zhodujú, až na to, že čas v DFT je diskrétny a počet harmonických je obmedzený na N/2 – polovicu počtu vzoriek.

Vzorce DFT sú zapísané v bezrozmerných celočíselných premenných k, s, kde k sú počty vzoriek signálu, s sú počty spektrálnych zložiek.
Hodnota s udáva počet úplných kmitov harmonickej v perióde T (doba trvania merania signálu). Diskrétna Fourierova transformácia sa používa na zistenie amplitúd a fáz harmonických číselne, t.j. "na počítači"

Vráťme sa k výsledkom získaným na začiatku. Ako už bolo spomenuté vyššie, pri rozšírení neperiodickej funkcie (náš signál) do Fourierovho radu, výsledný Fourierov rad vlastne zodpovedá periodickej funkcii s periódou T. (obr. 12).

obr.12 Periodická funkcia f(x) s periódou Т0, s periódou merania Т>T0

Ako vidno na obr. 12, funkcia f(x) je periodická s periódou Т0. Avšak vzhľadom na skutočnosť, že trvanie meranej vzorky T sa nezhoduje s periódou funkcie T0, funkcia získaná ako Fourierov rad má v bode T diskontinuitu. V dôsledku toho bude spektrum tejto funkcie obsahujú veľké množstvo vysokofrekvenčných harmonických. Ak by sa trvanie meranej vzorky T zhodovalo s periódou funkcie T0, potom by v spektre získanom po Fourierovej transformácii bola prítomná iba prvá harmonická (sínusoida s periódou rovnou dĺžke trvania vzorky), pretože funkcia f (x) je sínusoida.

Inými slovami, program DFT "nevie", že náš signál je "kúsok sínusoidy", ale snaží sa reprezentovať periodickú funkciu ako sériu, ktorá má medzeru v dôsledku nekonzistentnosti jednotlivých častí sínusoida.

V dôsledku toho sa v spektre objavujú harmonické, ktoré by celkovo mali predstavovať formu funkcie vrátane tejto diskontinuity.

Aby sa teda získalo „správne“ spektrum signálu, ktoré je súčtom niekoľkých sínusoidov s rôznymi periódami, je potrebné, aby sa na periódu merania signálu zmestilo celé číslo periód každej sínusoidy. V praxi je možné túto podmienku splniť počas dostatočne dlhého trvania merania signálu.

Obr.13 Príklad funkcie a spektra signálu kinematickej chyby prevodovky

Pri kratšom trvaní bude obrázok vyzerať „horšie“:

Obr.14 Príklad funkcie a spektra signálu vibrácií rotora

V praxi môže byť ťažké pochopiť, kde sú „skutočné komponenty“ a kde sú „artefakty“ spôsobené nenásobnosťou periód komponentov a trvaním vzorky signálu alebo „skokmi a prerušeniami“ priebeh. Samozrejme, slová „skutočné komponenty“ a „artefakty“ nie sú v úvodzovkách nadarmo. Prítomnosť mnohých harmonických na grafe spektra neznamená, že náš signál z nich skutočne „pozostáva“. Je to ako myslieť si, že číslo 7 "pozostáva" z čísel 3 a 4. Číslo 7 možno znázorniť ako súčet čísel 3 a 4 - to je správne.

Taký je aj náš signál... alebo skôr ani nie „náš signál“, ale periodická funkcia zostavená opakovaním nášho signálu (vzorkovanie) môže byť reprezentovaná ako súčet harmonických (sínusoidy) s určitými amplitúdami a fázami. Ale v mnohých prípadoch dôležitých pre prax (pozri obrázky vyššie) je skutočne možné dať do súvislosti získané harmonické v spektre so skutočnými procesmi, ktoré sú svojou povahou cyklické a významne prispievajú k tvaru signálu.

Niektoré výsledky

1. Skutočný meraný signál, trvanie T sec, digitalizovaný ADC, tj reprezentovaný súborom diskrétnych vzoriek (N kusov), má diskrétne neperiodické spektrum, reprezentované súborom harmonických (N/2 kusov ).

2. Signál je reprezentovaný množinou reálnych hodnôt a jeho spektrum je reprezentované množinou reálnych hodnôt. Harmonické frekvencie sú kladné. To, že pre matematikov je pohodlnejšie reprezentovať spektrum v komplexnej forme pomocou záporných frekvencií, neznamená, že „je to správne“ a „takto by sa to malo robiť vždy“.

3. Signál meraný v časovom intervale T je určený iba v časovom intervale T. Čo sa stalo predtým, ako sme začali merať signál, a čo sa stane potom - to veda nie je známa. A v našom prípade - to nie je zaujímavé. DFT časovo obmedzeného signálu dáva svoje "skutočné" spektrum v tom zmysle, že za určitých podmienok umožňuje vypočítať amplitúdu a frekvenciu jeho zložiek.

Použité materiály a iné užitočné materiály.

Fourierova transformácia je najpoužívanejším prostriedkom na konverziu ľubovoľnej funkcie času na množinu jej frekvenčných zložiek v rovine komplexných čísel. Táto transformácia môže byť aplikovaná na aperiodické funkcie na určenie ich spektier, v takom prípade môžu byť komplexné operátory nahradené /co:

Na určenie najzaujímavejších frekvencií možno použiť numerickú integráciu v komplexnej rovine.

Aby sme sa zoznámili so základmi správania týchto integrálov, zvážime niekoľko príkladov. Na obr. 14.6 (vľavo) znázorňuje jednotkový plošný impulz v časovej oblasti a jeho spektrálne zloženie; v strede - impulz rovnakej oblasti, ale s väčšou amplitúdou, a vpravo - amplitúda impulzu je nekonečná, ale jeho plocha sa stále rovná jednote. Pravý obrázok je obzvlášť zaujímavý, pretože spektrum impulzov s nulovou šírkou obsahuje všetky frekvencie s rovnakými amplitúdami.

Ryža. 14.6. Spektrá impulzov rovnakej šírky, pozdĺž rovnakého piaosrdi

V roku 1822 francúzsky matematik J. B. J. Fourier (J. B. J. Fourier) vo svojej práci o tepelnej vodivosti ukázal, že každá periodická funkcia sa dá rozložiť na počiatočné zložky, vrátane frekvencie opakovania a súboru harmonických tejto frekvencie, pričom každá z harmonických má svoju vlastnú amplitúdu a fázu s ohľadom na na frekvenciu opakovania. Základné vzorce používané vo Fourierovej transformácii sú:

kde A() je zložka jednosmerného prúdu a Ap a Bp sú harmonické základnej frekvencie poriadku, respektíve vo fáze a protifáze s ňou. Funkcia f(*) je teda súčtom týchto harmonických a Lo-

V prípadoch, keď je f(x) symetrický vzhľadom na mc/2, t.j. f(x) v oblasti od n do 2n = -f(x) v oblasti od 0 do n a nie je tam žiadna jednosmerná zložka, vzorce Fourierovej transformácie sú zjednodušené na:

kde n = 1, 3,5, 7…

Všetky harmonické sú sínusoidy, len niektoré z nich sú vo fáze a niektoré sú mimo fázy so základnou frekvenciou. Väčšina priebehov, ktoré sa vyskytujú vo výkonovej elektronike, sa dá týmto spôsobom rozložiť na harmonické.

Ak sa Fourierova transformácia aplikuje na pravouhlé impulzy s trvaním 120°, potom harmonické budú množinou rádu k = bi ± 1, kde n je jedno z celých čísel. Amplitúda každej harmonickej h vzhľadom na prvú súvisí s jej číslom vzťahom h = l//e. V tomto prípade bude mať prvá harmonická amplitúdu 1,1-krát väčšiu ako amplitúda pravouhlého signálu.

Fourierova transformácia udáva hodnotu amplitúdy pre každú harmonickú, ale keďže sú všetky sínusové, efektívnu hodnotu získame jednoducho vydelením zodpovedajúcej amplitúdy odmocninou z 2. Efektívna hodnota komplexného signálu je druhou odmocninou súčtu druhé mocniny efektívnych hodnôt každej harmonickej vrátane prvej.

Pri práci s opakujúcimi sa impulznými funkciami je užitočné zvážiť pracovný cyklus. Ak opakované impulzy na obr. 14.7 majú efektívnu hodnotu X v čase A, potom efektívna hodnota v čase B bude X(A/B) 1 2 . RMS hodnota opakujúcich sa impulzov je teda úmerná druhej odmocnine hodnoty pracovného cyklu. Uplatnenie tohto princípu na 120° (pracovný cyklus 2/3) jednotkovej amplitúdy obdĺžnikového impulzu dáva RMS hodnotu (2/3) 1/2 = 0,8165.

Ryža. 14.7. Určenie strednej hodnoty štvorca (RMS) pre opakované

impulzov

Je zaujímavé skontrolovať tento výsledok súčtom harmonických zodpovedajúcich spomínanému sledu štvorcových vĺn. V tabuľke. 14.2 ukazuje výsledky tohto súčtu. Ako vidíte, všetko sa zhoduje.

Tabuľka 14.2. Výsledky súčtu harmonických zodpovedajúcich

periodický signál s pracovným cyklom 2/3 a jednotkovou amplitúdou

Harmonické číslo

Harmonická amplitúda

Celková RMS

Na účely porovnania možno ľubovoľnú skupinu harmonických zoskupiť a určiť zodpovedajúcu celkovú úroveň harmonického skreslenia. V tomto prípade je stredná kvadratická hodnota signálu určená vzorcom

kde h\ je amplitúda prvej (základnej) harmonickej a h„ je amplitúda harmonických rádu n > 1.

Komponenty zodpovedné za skreslenie môžu byť napísané samostatne ako

kde n > 1. Potom

kde Fund je prvá harmonická a celkové harmonické skreslenie (THD) sa rovná D/Fund.

Hoci je analýza štvorcových vĺn zaujímavá, v reálnom svete sa používa len zriedka. Spínacie efekty a iné procesy spôsobujú, že pravouhlé impulzy sú skôr lichobežníkové, alebo v prípade meničov s nábežnou hranou opísanou výrazom 1 cos(0) a zostupnou hranou opísanou akos(0), kde 0< 0

na logaritmickej stupnici je sklon zodpovedajúcich častí tohto grafu -2 a -1. Pre systémy s typickými hodnotami reaktancie nastáva zmena sklonu približne pri frekvenciách od 11. do 35. harmonickej frekvencie siete a pri zvýšenie reaktancie alebo prúdu v systéme, frekvencia zmeny sklonu klesá . Praktickým výsledkom toho všetkého je, že vyššie harmonické sú menej dôležité, ako by sa mohlo zdať.

Hoci zvýšenie reaktancie pomáha znižovať harmonické vyššieho rádu, zvyčajne to nie je možné. Výhodnejšie je znížiť harmonické zložky v spotrebovanom prúde zvýšením počtu impulzov počas usmerňovania alebo konverzie napätia, dosiahnutého fázovým posunom. Pokiaľ ide o transformátory, tejto témy sme sa dotkli v kap. 7. Ak je tyristorový menič alebo usmerňovač napájaný z vinutí transformátora spojených hviezdou a trojuholníkom a výstupy meniča alebo usmerňovača sú zapojené sériovo alebo paralelne, potom sa dosiahne 12-pulzné usmernenie. Harmonické čísla v množine sú teraz k = \2n ± 1 namiesto k = 6u + 1, kde n je jedno z celých čísel. Namiesto harmonických 5. a 7. rádu sa teraz objavujú harmonické 11. a 13. rádu, ktorých amplitúda je oveľa menšia. Je celkom možné použiť ešte viac zvlnenia a napríklad 48-pulzné systémy sa používajú vo veľkých napájacích zdrojoch pre elektrochemické inštalácie. Keďže veľké usmerňovače a meniče používajú sady diód alebo tyristorov zapojených paralelne, jeho cenu určujú najmä dodatočné náklady na vinutia s fázovým posunom v transformátore. Na obr. 14.8 ukazuje výhody 12-pulzného obvodu oproti 6-pulznému. Harmonické harmonické 11. a 13. rádu v 12-pulznom obvode majú typickú hodnotu amplitúdy približne 10 % prvej harmonickej. V obvodoch s veľkým počtom zvlnení sú harmonické rádu k = pn + 1, kde p je počet zvlnení.

Pre zaujímavosť uvádzame, že dvojice harmonických množín, ktoré sú jednoducho voči sebe posunuté o 30°, sa v 6-pulznej schéme navzájom nezrušia. Tieto harmonické prúdy tečú späť cez transformátor; preto je potrebný dodatočný fázový posun, aby sa získala možnosť ich vzájomnej anihilácie.

Nie všetky harmonické sú vo fáze s prvou. Napríklad v trojfázovej harmonickej súprave zodpovedajúcej 120° sledu štvorcových vĺn sa fázy harmonických menia podľa poradia -5., +7., -11., +13. atď. Pri nevyvážení v trojfázovom obvode sa môžu vyskytnúť jednofázové komponenty, čo znamená strojnásobenie harmonických s nulovým fázovým posunom.

Ryža. 14.8. Spektrá 6 a 12 pulzačných meničov

Izolačné transformátory sa často považujú za všeliek na harmonické problémy. Tieto transformátory pridávajú do systému určitú reaktanciu a tým pomáhajú znižovať vyššie harmonické, avšak okrem potlačenia nulovej sekvencie prúdov a elektrostatickej izolácie sú málo použiteľné.

Začnime jednoduchým obvodom na pokrytie základných pojmov, ktoré neskôr použijeme pre zložitejšie obvody. Na obr. 7.1 ukazuje vstupné napätie V BX.p = 1 V, ide o sínusovú vlnu s frekvenciou f\u003d 1 kHz a maximálna hodnota 1 V (rms V in=√2). Na zabezpečenie výstupného napätia, ktoré je nelineárnou funkciou vstupného napätia, sa ako zosilňovač používa napäťový zdroj E riadený napätím (VUN). V tomto príklade funkcia zobrazuje závislosť výstupného napätia od vstupu

f(X) = 1 + X + X².

Ryža. 7.1. Schéma s nelineárnym vzťahom medzi vstupným a výstupným napätím

Tento funkčný vzťah je zobrazený v príkaze E pomocou polynomických koeficientov. Všeobecný pohľad na polynóm:

f(X) = k 0 + k 1 X + k 2 X².

Aby sme sa dostali k našej vzorovej závislosti, použijeme posledné tri čísla vstupného príkazu E. Chceme urobiť harmonickú analýzu, aby sme zistili, ktoré harmonické sú prítomné vo výstupnom napätí, ale najprv sa pokúsme určiť, čo by sme mali očakávať.

Predtým, ako pristúpime k rozšíreniu časových závislostí vo Fourierovom rade, je potrebné vykonať analýzu prechodných procesov (program analýzy prechodov v PSpice).

Preto sa musia použiť príkazy .TRAN aj .FOUR. Typicky sa prechodová analýza vykonáva pre celú periódu základnej frekvencie. V tomto príklade f=1 kHz; v dôsledku toho T=1/f= 1 ms. Harmonická analýza odráža frekvenčné zložky až po deviatu harmonickú. Na väčšinu účelov by to malo byť viac než dosť. Ak sú zobrazené vyššie harmonické, nebude na nich príliš záležať kvôli akumulácii chýb zaokrúhľovania vo výsledkoch.

Aby som uviedol podrobnejší popis vstupného napätia V BX, použite formulár hriech opísať zdroj. Parametre sin( a, b,S,…) znamená: a- konštantná zložka, b- maximálna hodnota, S- frekvencia, d- meškanie, e- koeficient útlmu a f- fáza.

Keď je vo vstupnom súbore zahrnutý príkaz .FOUR, vykoná sa harmonická analýza, ktorá poskytne Fourierovu expanziu výsledkov prechodovej analýzy. Parametre tohto príkazu zahŕňajú základnú frekvenciu a premenné, pre ktoré sa získa rozšírenie. V tomto príklade budú tieto premenné periodické funkcie vstupného V(1) a výstupného V(2) napätia. Vstupný súbor:

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumenty pre posun, maximum a frekvenciu

E20 poly(1) 1,0111; posledné 3 hodnoty pre k0, k1, k2

Vykonajte analýzu a získajte grafy V(1) a (V)2. Uistite sa, že V(1) je presnou kópiou vstupného napätia V VX. Výstupné napätie by malo vykazovať jednosmernú zložku a komplexnú vlnu s maximálne 3 V. Z teoretickej štúdie Fourierovho radu možno usúdiť, že tento graf pripomína periodickú vlnu pozostávajúcu zo základnej a druhej harmonickej. Odporúča sa vytlačiť kópiu tohto grafu pre budúce štúdium. Na obr. 7.2 ukazuje tieto grafy.

Ryža. 7.2. Stresové grafy v 1 a v 2 pre obvod na obr. 7.1

Zvážte tiež výstupný súbor pre tento obvod (obrázok 7.3), ktorý ukazuje nasledujúce hodnoty pre napätia uzla: V(1)=0 V a V(2)=1 V. To znamená, že hoci vstupný signál nemá offset, výstupné napätie má offset V(2)=1V.

Na obr. 7.3 v tabuľke komponentov Fourierovho radu pre V(1), nie všetky komponenty majú reálne hodnoty. Hodnota konštantnej zložky by sa teda teoreticky mala rovnať nule, ale analýza dáva veľmi malú hodnotu 3,5E-10, ktorá nie je presne rovná nule kvôli hromadeniu chýb zaokrúhľovania.

Fourierova analýza; Dekompozícia polynómu

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumenty sú offset, vrchol a frekvencia

E20 poly(1) 1,0111; posledné 3 1 sú pre k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

HARMONICKÁ FREKVENCIA 4 NORMALIZOVANÁ FÁZA NORMALIZOVANÁ

ŽIADNA (HZ) KOMPONENT KOMPONENT (DEG) FÁZA (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 -2.888E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 5.000E-01 5.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3 000E+03 7.971E-08 7.971E-08 -1.546E+02 -1.546E+02

4 4.000E+03 5.126E-08 5.126E-08 -1.439E+02 -1.439E+02

5 5 000E+03 3,918E-08 3,918E-08 -1,420E+02 -1,420E+02

6 6.000E+03 3.327E-08 3.327E-08 -1.299E+02 -1.299E+02

7 7.000E+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268E+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189E+02 -1.189E+02

CELKOVÉ HARMONICKÉ SKRENIE = 4,999939E+01 PERCENT

Ryža. 7.3. Výstupný súbor s výsledkami obvodovej analýzy na obr. 7.1

Prvá harmonická je základná harmonická at f= 1 kHz. Zobrazená je amplitúda prvej harmonickej Fourierovho radu a jej fáza 2,4Е-7 (tiež takmer nulová). Ak predpokladáme, že táto zložka je vyjadrená vzorcom

b n hriech( nx),

potom to znamená, že b 1 =1, n=1, kde index 1 zodpovedá základnej frekvencii. Ostatné harmonické môžu byť ignorované, pretože ich amplitúdy sú o mnoho rádov menšie ako základná harmonická. Je to základná harmonická, ktorá sa odráža v grafe V(1) v sonde, získanom z údajov na obr. 7.3.

Ďalšia tabuľka Fourierových komponentov na obr. 7.3 sa vzťahuje na V(2). Keď sa pozriete na rôzne harmonické, všimnite si, že existuje jednosmerná zložka 1,5 V. Prečo 1,5 V? Komponent k 0 = 1 V dáva len časť tejto hodnoty, zvyšných 0,5 V je spojených s druhou harmonickou. Teória ukazuje, že s harmonickým skreslením v druhej harmonickej vo výstupnom napätí, okrem samotnej druhej harmonickej s amplitúdou b 2 sa s hodnotou objaví konštantná zložka spojená so skreslením v druhej harmonickej b 0 =b 2. Amplitúda základnej frekvencie v expanzii je b 1 \u003d 1 V, amplitúda druhej harmonickej b 2 =0,5 V, jeho fázový uhol je -90°. Vyššie harmonické sú oveľa menšie a možno ich ignorovať.

Ako cvičenie harmonickej syntézy môžete nakresliť jednotlivé harmonické a sčítať ich, aby ste predpovedali výsledok, ktorý získate v sonde pre V(2). Nezabudnite vziať do úvahy jednosmernú zložku a zodpovedajúce amplitúdy a fázy pre základné a druhé harmonické. Po nakreslení výsledného tvaru vlny vás nepochybne poteší, že PSpice dokáže urobiť únavnú prácu za vás.

Sčítanie harmonických a rozklad na harmonické zložky

Vytvorme nový vstupný súbor zodpovedajúci obr. 7.4, na ktorom k schéme z obr. 7.1 sú pridané ďalšie dva nezávislé prúdové zdroje.

Dva zdroje sme použili len preto, aby ste základnú a druhú harmonickú dostali na rovnaký graf s výstupným napätím. Prídavné zdroje napájajú 1-ohmový odpor zapojený paralelne. Takáto zmena pôvodnej schémy nie je vôbec potrebná, len sa ukázalo, že je vhodná s daným súborom parametrov. Nový vstupný súbor je rozšírením predchádzajúceho súboru a vyzerá takto:

Fourierova analýza; Dekompozícia polynómu

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumenty - offset, amplitúda a frekvencia

E20 poly(1) 1,0111; posledné 3 záznamy pre k0, k1, k2

i2 0 3 sin(0,5 0,5 2000 0 0 -90)

Ryža. 7.4. Schéma na analýzu sčítania harmonických a expanzie vo Fourierovom rade

Pred vykonaním analýzy sa pozrime bližšie na popisy pre i 1 a i 2. Pre harmonickú syntézu sa používajú výsledky rozšírenia Fourierovho radu z predchádzajúcej úlohy. Uistite sa, že rozumiete významu všetkých parametrov; potom spustite analýzu v sonde, aby ste získali I(i1), I(i2) a I(r) grafy. Hoci sú to prúdy, číselne sa rovnajú napätiam, pretože prechádzajú cez odpor 1 ohm. Na obr. 7.5 uvádza výsledky. Teraz môžete zistiť, že prvý graf je základná harmonická, druhý je druhá harmonická a tretí je výsledkom ich sčítania v rezistore. r. Samozrejme, môžete získať graf V(3) namiesto I(r). Zároveň os Y budú označené v jednotkách napätia, nie prúdu. Overte, či súčet prvých dvoch kriviek dáva tretiu krivku v rôznych časových bodoch. Aby bol graf kompaktnejší, použili sme 1V offset pre základnú a 0,5V pre 2. harmonickú. V skutočnosti má základná harmonická nulový posun.

Ryža. 7.5. Základná a druhá harmonická a výsledok ich sčítania

Druhé harmonické skreslenie v zosilňovačoch

Keď prevádzková oblasť zosilňovača presahuje lineárnu časť charakteristiky, vedie to k určitému skresleniu. Prvá aproximácia ku skutočnej výstupnej krivke sa dosiahne zahrnutím druhej harmonickej do modelu, čo ukazuje, že prechodová funkcia spája i c a i b(kolektorový a základný prúd) je akási parabola. Skreslenie je zvyčajne oveľa menšie, ako sa predpokladá v našom prvom úvodnom príklade, ktorý je znázornený na obr. 7.1. Presnejší polynóm je daný vzorcom

f(X) = 0,1 + X + 0,2X².

Stačí jednoducho transformovať pôvodný vstupný súbor tak, aby odrážal túto situáciu. Vstupný príkaz pre závislý zdroj E bude mať podobu:

E20 poly(1) 1,0 0,1 1 0,2; posledné tri hodnoty pre k0, k1, k2

a celý vstupný súbor bude:

Spustite analýzu a získajte grafy V(1) a V(2) v sonde. Uvidíte, že obe vlny vyzerajú ako skutočné sínusoidy. Pre presnejšie porovnanie odstráňte graf V(2) a namiesto toho získajte graf V(2)–0,1. Tým sa obe krivky priblížia. Pri porovnávaní vĺn nezabúdajte, že V(1) je len sínusová vlna a V(2) je kombináciou základných a druhých harmonických. V tomto príklade má druhá harmonická oveľa menšiu amplitúdu ako v predchádzajúcom. Môžete si vytlačiť výsledky štúdie znázornenej na obr. 7.6.

Ryža. 7.6. Základná a druhá harmonická a výsledok ich sčítania

Po ukončení programu Probe zvážte výstupný súbor pre tento prípad. Vstupné napätie V(1) je úplne rovnaké ako v predchádzajúcom príklade, ale V(2) je samozrejme iné. Upozorňujeme, že jednosmerná zložka výstupného napätia je 0,2 V a druhá harmonická at f=2 kHz má amplitúdu 0,1 V a fázový uhol -90°. Ostatné harmonické sú oveľa menšie a možno ich zanedbať. Nakoniec určite celkové harmonické skreslenie, ktoré je podľa očakávania veľmi blízko 10 %. Druhé harmonické skreslenie je definované ako b 1 /b 2 kde b 1 a b 2 - koeficienty na druhej a základnej harmonickej. Tieto údaje sú znázornené na obr. 7.7.

Fourierova analýza; Druhé harmonické skreslenie, výkonový zosilňovač

NAPÄTIE UZLA NAPÄTIE UZLA NAPÄTIE UZLA NAPÄTIE UZLA

ŠTYRI KOMPONENTY PRECHODNEJ REAKCIE V(1)

HARMONICKÁ FREKVENCIA 4 NORMALIZOVANÁ FÁZA NORMALIZOVANÁ

ŽIADNA (HZ) KOMPONENT KOMPONENT (DEG) FÁZA (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 1.115E-06 0.000E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3.000E+03 7.381E-09 7.381E-09 -9.083E+01 -9.083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

7 7.000E+03 1.511E-09 1.511E-09 -1.392E+02 -1.392E+02

8 8 000E+03 1.237E-09 1.237E-09 -3.990E+01 -3.990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

CELKOVÉ HARMONICKÉ SKRENIE = 2,208405E-06 PERCENT

ŠTYRI KOMPONENTY PRECHODNEJ REAKCIE V(2)

HARMONICKÁ FREKVENCIA 4 NORMALIZOVANÁ FÁZA NORMALIZOVANÁ

ŽIADNA (HZ) KOMPONENT KOMPONENT (DEG) FÁZA (DEG)

1 3.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 7.683E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 1.756E-08 1.756E-08 -1.336E+02 -1.336E+02

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 -1.348E+02 -1.348E+02

5 5 000E+03 9.547E-09 9.547E-09 -1.365E+02 -1.365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

CELKOVÉ HARMONICKÉ SKRENIE = 9,999880E+00 PERCENT

Ryža. 7.7. Výsledky analýzy druhého harmonického skreslenia v zosilňovačoch

Intermodulačné skreslenie

Na jednoduchom obvode (obr. 7.8) ukážeme, ako sa kombinujú dve sínusové vlny v nelineárnom zariadení s použitím frekvencií, ktoré sú celkom blízko pri sebe, a to f 1 = 1 kHz a f 2 = 1,5 kHz. Nelineárne miešanie prebieha v e-type závislom zdroji VCVS (INUN). Polynóm opisujúci vzťah má viac členov ako v predchádzajúcom príklade:

f(X) = 1 + X + X² + X³.

Ryža. 7.8. Obvod na demonštráciu intermodulačného skreslenia

Prúdy, zhrňujúce, vytvárajú v R= 1 Ω napätie V(1), číselne rovné prúdu v R. Vstupné napätie V(1) si teda môžeme predstaviť ako napätie v nelineárnom zmiešavači. Keďže sínusové vlny majú rôzne frekvencie, ich súčet je komplexné periodické kmitanie s frekvenciou odlišnou od frekvencie pôvodných zložiek (úderová frekvencia). Vstupný súbor:

Spustite simuláciu a vstúpte do sondy V(1). Vyberte Plot, X-Axis Settings…, User Defined a nastavte rozsah od 0 do 10 ms, aby ste dosiahli stabilné vstupné napätie. Tento graf je znázornený na obr. 7.9. Aby sme potvrdili, že ide v skutočnosti o súčet harmonických 1 a 1,5 kHz, vyberieme Trace, Fourier, pričom sa presunieme z časovej oblasti do frekvenčnej oblasti. Zmeňme okraje pozdĺž osi X nastavením frekvenčného rozsahu od 4 do 12 kHz. Uistite sa, že parametre osi zodpovedajú požadovaným frekvenciám a očakávaným amplitúdam. V skutočnosti, kedy f\u003d 1 kHz, napätie je 0,991 V a pri f= 1,5 kHz je 0,979 V. Majte na pamäti, že pri tejto syntéze existuje určitá akumulačná chyba. Na obr. 7.10 ukazuje zodpovedajúcu frekvenčnú odozvu.

Ryža. 7.9. Výstupné napätie pri intermodulačnom skreslení

Ryža. 7.10. Spektrálne zloženie vstupného napätia

Potom zvoľte Trace, End Fourier, aby ste sa vrátili do časovej oblasti, vymažte graf V(1) a získajte výstupné napätie mixéra V(2). Pripomeňme, že mixér je INUN s polynomickým spojením daným funkciou f(X). Časová závislosť je graf podobný grafu V(1), ale bližší pohľad odhalí, že tvary napätia sú výrazne odlišné. Z harmonického obsahu tohto komplexného tvaru vlny sa dajú vyčítať niektoré stopy, takže bude potrebné vrátiť sa späť do frekvenčnej oblasti výberom rozsahu pozdĺž osi. X od 0 do 5 kHz. Odporúčame vytlačiť frekvenčné spektrum pre ďalšie štúdium. Teoretická analýza komponentov frekvenčnej modulácie umožňuje predpovedať a overovať výsledky analýzy na PSpice. Všimnite si, že existuje 2V DC komponent spolu s významnými komponentmi v rozsahu 0,5 až 4,5 kHz (pozri obrázok 7.11 pre frekvenčné spektrum).

Ryža. 7.11. Spektrálne zloženie výstupného napätia

Pridanie harmonických

Najjednoduchším prípadom pre teoretickú analýzu je prípad harmonického účinku na obvod pozostávajúci z lineárnych komponentov, ako sú odpory, kondenzátory a induktory, a ako viete, odpoveďou je harmonická oscilácia pri rovnakej frekvencii vstupného signálu. Rôzne úbytky napätia v obvode sú tiež harmonické kmity s rovnakou frekvenciou, líšia sa len amplitúdou a fázou. Na ilustráciu niektorých z týchto vlastností použijeme jednoduchý diagram. Na obr. 7.12 ukazuje tri zdroje napätia napájajúce obvod obsahujúci odpory R= 1 ohm a R 1 =R 2 \u003d 0,001 Ohm. Posledné dva odpory sú potrebné na to, aby zdroje napätia neboli ideálne. Pomocou tohto diagramu môžeme ukázať pridanie sínusových vĺn v sonde. Vstupný súbor:

Pridanie sínusových vĺn rovnakej frekvencie

*Poradie parametrov v komplexnom výraze pre harmonické

*komponenty: offset, amplitúda, frekvencia, oneskorenie, útlm, fáza

v2 2 0 sin(0 1 1 kHz 0 0 45); fáza = 45 stupňov

v3 3 0 sin(0 1 1 kHz 0 0 90); fáza = 90 stupňov

Ryža. 7.12. Schéma sčítania harmonických signálov jednej frekvencie

Spustite simuláciu a grafy sondy v(1), v(2) a v=v(1)+v(2). Výsledné grafy zobrazujú napätie v 2 s maximálnym oneskorením približne 45° od maxima v 1 a celkové napätie v 1 +v 2 s maximom umiestneným medzi ich maximálnymi hodnotami. Uistite sa, že maximum v 1 = 1 V dosiahnuté pri 251 us (90°), maximum v 2 \u003d 1 V - v čase 131 μs (47,16 °) a max. v 1 +v 2 \u003d 1,8381 V - v čase 171 μs (61,56 °). Vymažte tieto grafy a získajte časové závislosti pre iné kombinácie napätí, napríklad pre v(1), v(3) a v(1)+v(3). Na základe vašej schopnosti pridať vektory napätia sa pokúste predpovedať hodnotu amplitúdy pre súčet napätí predtým, ako získate grafy sondy zobrazené na obrázku 2. 7.13.

Ryža. 7.13. Výsledok sčítania harmonických signálov rovnakej frekvencie

Sčítanie základných a druhých harmonických

Vo vstupnom súbore zodpovedajúcom schéme na obr. 7.12 môžete jednoducho meniť parametre a zloženie napájacích zdrojov. Poďme vymazať v 3 a zdvojnásobte frekvenciu napätia v 2, aby sa stala druhou harmonickou frekvenciou pre v jeden . Samozrejme, výsledné kmitanie sa okamžite stane nesínusovým. V skutočnosti bude jeho tvar závisieť od pomeru fázových uhlov v 1 a v 2. Nech obe harmonické dosiahnu svoje maximum súčasne v uvažovanom príklade. Vstupný súbor pre tento prípad:

Pridávanie sínusových vĺn; Základný a 2. harmonický vrchol spolu

Spustite simuláciu a vykreslite v(1), v(2) a v=v(1)+v(2) v sonde. Pretože v 1 a v 2 vrcholí súčasne, maximum výsledného kmitania je 2 V, ale keď základná harmonická dosiahne záporné maximum, druhá harmonická sa vráti do kladného maxima a ich súčet sa dostane na nulu. Je zrejmé, že celková fluktuácia ( v 1 +v 2) nesínusový. Tieto grafy sú znázornené na obr. 7.14.

Ryža. 7.14. Výsledok pridania prvej a druhej harmonickej

Amplitúdová modulácia

Zaujímavý graf amplitúdovo modulovaného tvaru vlny možno získať v PSpice použitím funkcie násobenia harmonických vĺn s výrazne odlišnými frekvenciami. Na obr. 7.15 je znázornený obvod simulujúci takéto zariadenie. Prvý harmonický zdroj je v 1 s frekvenciou 1 kHz. druhý pôvod v 2 má frekvenciu 20 kHz. Násobenie sa vykonáva v závislom zdroji e, ktorým je INUN (VCVS). Rezistory sú potrebné, aby sa zabránilo plávajúcim potenciálom. Vstupný súbor:

e 3 0 poly(2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Ryža. 7.15. Multiplikátor pre sínusovú moduláciu

Posledných päť položiek vo vstupnom príkaze polynomial source input je: 0 0 0 0 1. Pripomeňme, že toto sú hodnoty koeficientov v termínoch k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 a k 4 v 1 v 2. Všetky hodnoty sú 0 okrem k 4, čo sa rovná 1.

Spustite simuláciu a získajte grafy v(1) a v(3) v sonde. Harmonická zložka s frekvenciou 20 kHz nie je zámerne postavená na všeobecnom grafe, aby sa nekomplikovalo pochopenie procesov. Výsledná oscilácia v(3) má klasickú formu amplitúdovo modulovanej oscilácie. V tomto príklade obe vstupné harmonické v 1 a v 2 majú amplitúdu 1 V. Grafy sú znázornené na obr. 7.16.

Ryža. 7.16. Výsledok štúdia amplitúdovo modulovaných signálov

Kým ste stále v sonde, pridajte ďalšie vstupné napätie v(2) vykreslené tak, aby sa zobrazili všetky napätia: v(1), v(2) a v(3). Teraz tento graf obsahuje spolu s ďalšími dvoma vlnami nosič, ktorý poskytuje úplný obraz. Získajte výtlačok na ďalšie štúdium, potom odstráňte graf v(2) a vyberte možnosť Trace, Fourier. Nainštalujte pozdĺž osi X limity rozsahu od 0 do 30 kHz. Frekvenčná oblasť teraz zobrazuje zložky 1,19 kHz a 21 kHz. Poslednými komponentmi sú horné a spodné bočné frekvencie vyplývajúce z tejto modulácie. Určite amplitúdu každej z týchto vĺn. Pamätajte na trigonometrickú identitu,

(hriech a) (hriech b) = 0.5,

čo vysvetľuje 0,5 V amplitúdy pre frekvencie postranného pásma. Pozri obr. 7.17, ktorý ukazuje frekvenčné spektrum. (Značky boli odstránené pre jasnejší obraz.) Analyzujte s rôznymi relatívnymi amplitúdami pre modulačné napätie v 1, aby ste videli, aký vplyv to má na hĺbku modulácie t. Napríklad kedy v 1 má amplitúdu 0,8, aká je hĺbka modulácie a ako vyzerá výsledná oscilácia?

Ryža. 7.17. Frekvenčné spektrum amplitúdovo modulovaného kmitania

Prehľad nových príkazov PSpice použitých v tejto kapitole

.ŠTYRI <частота>*<выходные переменные>

Napríklad vstup

ukazuje, že sa vykonáva Fourierova expanzia. Rozklad je možné uskutočniť až po získaní časovej závislosti pre ustálený stav získanej pri analýze prechodného javu. Takýto príkaz musí byť prítomný vo vstupnom súbore:

TRAN <шаг><момент окончания>

Úlohy

Harmonická analýza poskytuje jednosmernú zložku základnej zložky a všetky harmonické až po deviatu vrátane. Ich amplitúdy a fázy sú zobrazené so skutočnými a relatívnymi hodnotami. V predchádzajúcom príklade boli analyzované V(1) a V(2) a ich zložky. Zvyčajne sa na vykonanie harmonickej analýzy používa príkaz .PROBE: príkazy však možno použiť aj namiesto nich .TLAČ alebo .PLOT.

7.1. Na obr. 7.18 polynóm pre E má tvar

f(X) = X + X².

Ryža. 7.18

Použitím v i vrchol= 1 V, f= 1 kHz a V= 1 Porovnaj v 0 s v i. Predpovedajte približný harmonický obsah výstupného napätia; potom vykonajte analýzu na PSpice, ktorá ukáže harmonický obsah vstupného aj výstupného napätia. V príkaze .FOUR použite napätia V(2, 1) a V(3). Preskúmajte výstupný súbor a určte harmonický obsah V(3).

7.2. V úlohe 7.1 použite Trace, Fourier na získanie harmonického obsahu V(3). Zobrazením V(2,1) a V(3) nastavte os X limity od 0 do 5 kHz.

7.3. Vykonajte analýzu problému 7.1 s

f(X) = 2 + 0,1X².

Predpovedajte približný harmonický obsah výstupného napätia; potom nakreslite V(2,1) a V(3), aby ste skontrolovali presnosť svojich predpovedí.

7.4. Na obr. 7.4 je znázornený polynómový zdroj E. Bol daný ako

f(X) = 1 + X + X².

Zmeňte polynóm na

f(X) = X + X²,

a vykonávať syntézu a rozklad zmenou i 1 a i 2 tak, že prúd I(r) sleduje tvar napätia V(2).

7.5. V časti „Druhé harmonické skreslenie v zosilňovačoch“ tejto kapitoly nahraďte polynóm nasledujúcim:

f(X) = 0,05 + X + 0,1X²,

a spustite analýzu na PSpice, ako sa navrhuje v texte. Získajte graf V(1) a (V)2-0,05 na porovnanie premenných vstupných a výstupných napätí. Predpovedajte hodnoty jednosmernej zložky výstupného napätia, amplitúdy a fázy druhej harmonickej a celkového harmonického skreslenia. Otestujte svoje predpovede oproti výsledkom sondy a výstupného súboru.

7.6. V časti Intermodulačné skreslenie sme skombinovali dve sínusové vlny rôznych frekvencií. Vykonajte analýzu vo frekvenciách f 1 = 2 kHz a f 2 = 2,5 kHz, pričom výraz pre f(X) bez zmeny. Upravte príkaz .TRAN podľa úlohy. Postupujte podľa krokov v rovnakom poradí ako v textovom príklade a otestujte svoje predpovede o harmonickom obsahu výstupného napätia.

7.7. V časti "Pridanie harmonických" na obr. 7.12 sú znázornené paralelné vetvy s tromi zdrojmi napätia. Pridávanie harmonických bolo viac matematické ako fyzikálne. Zmeňte obvod tak, aby boli všetky zdroje napätia zapojené do série, potom znova spustite analýzu. Dosiahli ste rovnaké výsledky?

7.8. Vykonajte analýzu na pridanie nasledujúcich jednofrekvenčných harmonických napätí f=1 kHz:

v 1 = 0,5∠0°V, v 2 = 1-45 °V a v 23 = 1,5∠90° V.

kde:

a) Nájdite maximálnu hodnotu ( v 1 +v 2), ako aj čas a fázový uhol, pri ktorom sa dosiahne maximum.

b) Opakujte krok a) pre ( v 1 +v 3).

Pri použití režimu kurzora a viacerých grafov na tej istej obrazovke použite [ ctrl] a šípkami ← a → vyberte, na ktorý z grafov sa má kurzor pohybovať.

7.9. Na ilustráciu účinku pridávania harmonických s blízkymi frekvenciami vykonajte analýzu ako v úlohe 7.8 pre nasledujúci súbor parametrov: v 1 = 1∠0° V, f 1 = 1 kHz, v 1 = 1∠0° V, f 2 \u003d 1,2 kHz, v 1 = 1∠0° V a f 3 = 1,4 kHz:

a) Získajte grafy v 1 , v 2 a ( v 1 +v 2). Nájdite maximálnu hodnotu ( v 1 +v 2).

b) Získajte grafy v 1 , v 3 a ( v 1 +v 3). Nájdite maximálnu hodnotu ( v 1 +v 3).

7.10. Vyriešte problém z časti o amplitúdovej modulácii nastavením v 1 = 1 V pri 1 kHz a mení sa v 1 tak, aby hĺbka modulácie bola 0,5. Spustite analýzu na PSpice a zobrazte svoje výsledky.

Ako viete, v elektroenergetike sa ako štandardná forma pre prúdy a napätia používa sínusový tvar. V reálnych podmienkach sa však tvary kriviek prúdov a napätí môžu do určitej miery líšiť od sínusových. Skreslenie tvarov kriviek týchto funkcií v prijímačoch vedie k dodatočným stratám energie a zníženiu ich účinnosti. Sínusový tvar krivky napätia generátora je jedným z ukazovateľov kvality elektrickej energie ako komodity.

Možné sú nasledujúce dôvody skreslenia tvaru kriviek prúdov a napätí v zložitom obvode:

1) prítomnosť nelineárnych prvkov v elektrickom obvode, ktorých parametre závisia od okamžitých hodnôt prúdu a napätia (napríklad usmerňovače, elektrické zváracie jednotky atď.);

2) prítomnosť parametrických prvkov v elektrickom obvode, ktorých parametre sa časom menia;

3) zdroj elektrickej energie (trojfázový generátor) vzhľadom na konštrukčné prvky nemôže poskytnúť ideálny sínusový tvar výstupného napätia;

4) vplyv v komplexe faktorov uvedených vyššie.

Nelineárnym a parametrickým obvodom sa venujeme v samostatných kapitolách kurzu TOE. Táto kapitola skúma správanie lineárnych elektrických obvodov pri vystavení zdrojom energie s nesínusovým priebehom.

Z priebehu matematiky je známe, že každá periodická funkcia času f(t), ktorá spĺňa Dirichletove podmienky, môže byť reprezentovaná harmonickým Fourierovým radom:

Tu je А0 konštantná zložka, Ak*sin(kωt+ αk) je k-tá harmonická zložka alebo v skratke k-tá harmonická. 1. harmonická sa nazýva základná a všetky nasledujúce harmonické sa nazývajú najvyššie.

Amplitúdy jednotlivých harmonických Ak nezávisia od spôsobu expanzie funkcie f(t) vo Fourierovom rade, zároveň počiatočné fázy jednotlivých harmonických αk závisia od voľby časovej referencie (pôvodu).

Jednotlivé harmonické z Fourierovho radu možno znázorniť ako súčet sínusových a kosínusových zložiek:

Potom bude mať celá Fourierova séria podobu:

Pomery medzi koeficientmi dvoch foriem Fourierovho radu sú:

Ak sú k-tá harmonická a jej sínusové a kosínusové zložky nahradené komplexnými číslami, potom vzťah medzi koeficientmi Fourierovho radu možno znázorniť v komplexnej forme:

Ak je periodická nesínusová funkcia času daná (alebo môže byť vyjadrená) analyticky vo forme matematickej rovnice, potom sú koeficienty Fourierovho radu určené vzorcami známymi z kurzu matematiky:

V praxi sa študovaná nesínusová funkcia f (t) zvyčajne nastavuje vo forme grafického diagramu (graficky) (obr. 46.1) alebo vo forme tabuľky súradníc bodov (tabuľky) v intervale jednej obdobie (tabuľka 1). Na vykonanie harmonickej analýzy takejto funkcie podľa vyššie uvedených rovníc je potrebné ju najskôr nahradiť matematickým výrazom. Nahradenie funkcie danej graficky alebo tabuľkovo matematickou rovnicou sa nazýva aproximácia funkcie.

V súčasnosti sa harmonická analýza nesínusových funkcií času f(t) vykonáva spravidla na počítači. V najjednoduchšom prípade sa na matematickú reprezentáciu funkcie používa po častiach lineárna aproximácia. K tomu sa celá funkcia v intervale jednej celej periódy rozdelí na M = 20-30 úsekov tak, aby sa jednotlivé úseky čo najviac približovali priamkam (obr. 1). V samostatných úsekoch je funkcia aproximovaná priamočiarou rovnicou fm(t)=am+bm*t, kde sú pre každý úsek určené aproximačné koeficienty (am, bm) cez súradnice jeho koncových bodov, napr. 1. časť dostaneme:

Perióda funkcie T je rozdelená na veľký počet integračných krokov N, integračný krok Δt=h=T/N, aktuálny čas ti=hi, kde i je poradové číslo integračného kroku. Určité integrály vo vzorcoch harmonickej analýzy sú nahradené zodpovedajúcimi súčtami, vypočítavajú sa na počítači pomocou metódy lichobežníka alebo obdĺžnika, napríklad:

Na určenie amplitúd vyšších harmonických s dostatočnou presnosťou (δ≤1%) musí byť počet integračných krokov aspoň 100k, kde k je číslo harmonickej.

V technike sa na izoláciu jednotlivých harmonických od nesínusových napätí a prúdov používajú špeciálne zariadenia nazývané harmonické analyzátory.

Fourier a Hartley transformujú transformačné funkcie času na funkcie frekvencie obsahujúce informácie o amplitúde a fáze. Nižšie sú uvedené grafy spojitej funkcie g(t) a diskrétne g(τ), kde t a τ sú časové okamihy.

Obe funkcie začínajú na nule, skočia na kladnú hodnotu a exponenciálne klesajú. Podľa definície je Fourierova transformácia pre spojitú funkciu integrálom na celej reálnej osi, F(f) a pre diskrétnu funkciu súčet cez konečnú množinu vzoriek, F(ν):

kde f, ν sú hodnoty frekvencie, n je počet vzorových hodnôt funkcie a i=√ –1 je imaginárna jednotka. Pre teoretické štúdium je vhodnejšie integrálne zobrazenie a pre počítačové výpočty je vhodnejšie zobrazenie vo forme konečného súčtu. Integrálne a diskrétne Hartleyho transformácie sú definované podobným spôsobom:

Hoci jediným rozdielom v zápise medzi Fourierovou a Hartleyho definíciou je prítomnosť faktora pred sínusom, skutočnosť, že Fourierova transformácia má skutočnú aj imaginárnu časť, robí reprezentácie týchto dvoch transformácií celkom odlišnými. Diskrétne Fourierove a Hartleyho transformácie majú v podstate rovnakú formu ako ich spojité náprotivky.

Hoci grafy vyzerajú odlišne, rovnaké informácie o amplitúde a fáze možno odvodiť z Fourierovej a Hartleyovej transformácie, ako je uvedené nižšie.

Fourierova amplitúda je určená druhou odmocninou súčtu druhých mocnín reálnej a imaginárnej časti. Hartleyova amplitúda je daná druhou odmocninou súčtu štvorcov H(–v) a H(ν). Fourierova fáza je určená arctangensom imaginárnej časti deleným reálnou časťou a Hartleyova fáza je určená súčtom 45° a arctangens H(–ν) delené H(ν).