Zopakovanie teórie a riešenie typických úloh o kolmosti priamky a roviny (pokračovanie). Zopakovanie teórie a riešenie typických úloh o kolmosti priamky a roviny (pokračovanie) Téma: Kolmosť priamok a rovín

Priamka pretínajúca rovinu sa nazýva kolmá na túto rovinu, ak je kolmá na akúkoľvek priamku v rovine prechádzajúcej priesečníkom tejto priamky a roviny.

Obrázok 131 zobrazuje priamku a, kolmú na rovinu a.

T.2.9. Ak je priamka pretínajúca rovinu kolmá na dve priamky v tejto rovine prechádzajúce priesečníkom, potom je kolmá na rovinu.

Táto veta sa nazýva kritérium kolmosti priamky a roviny alebo veta dvoch kolmíc.

Obrázok 132 zobrazuje priamku a, kolmú na priamky c a prechádzajúcu priesečníkom roviny a a priamky a ležiacej v rovine a. Dá sa tvrdiť, že.

Nasledujúce dve vety hovoria o vzťahu medzi rovnobežnosťou a kolmosťou priamok a rovín.

T.2.10. Ak je rovina kolmá na jednu z dvoch rovnobežných priamok, potom je kolmá na druhú.

T. 2.11. Dve priame čiary kolmé na rovnakú rovinu sú rovnobežné.

Obrázok 133 ukazuje také priamky a a rovinu a, ktoré sú uvedené vo vetách 2.10 a 2.11.

Uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi touto priamkou a jej priemetom do roviny.

Obrázok 134 znázorňuje rovinu a a priamku a, ktorá

prekračuje to. Priamka a je priemetom priamky a na rovinu a. Potom uhol je uhol medzi priamkou a a rovinou a. Uhol medzi rovnobežnou priamkou a rovinou sa považuje za rovný nule a uhol medzi kolmou priamkou a rovinou sa rovná 90 °. Keďže priamka a, jej priemet a na rovinu a a kolmica na rovinu a v bode jej priesečníka s priamkou a ležia v tej istej rovine, uhol medzi priamkou a rovinou dopĺňa uhol medzi túto priamku a kolmicu na rovinu do 90°.

Príklad. Rovinu pretína 10 cm segment a jeho konce sú vo vzdialenosti 3 a 2 cm od roviny. Nájdite uhol medzi daným úsečkou a rovinou.

Úlohy a cvičenia na hotových výkresoch, ročníky 10-11, Geometria, Rabinovich E.M., 2006.

Obsah
Predslov.
Opakovanie kurzu planimetrie.
Tabuľka 1. Riešenie trojuholníkov.
Tabuľka 2. Oblasť trojuholníka.
Tabuľka 3. Oblasť štvoruholníka.
Tabuľka 4. Oblasť štvoruholníka. Stereometria. 10. ročník
Tabuľka 10.1. Stereometrické axiómy a ich najjednoduchšie dôsledky.
Tabuľka 10.2. Stereometrické axiómy a ich najjednoduchšie dôsledky.
Tabuľka 10.3. Rovnobežnosť priamych čiar v priestore. Prekrížené rovné čiary.
Tabuľka 10.4. Paralelnosť línií a rovín.
Tabuľka 10.5. Paralelnosť rovín.
Tabuľka 10.6. Vlastnosti paralelnej roviny.
Tabuľka 10.7. Kreslenie priestorových obrazcov v rovine
Tabuľka 10.8. Kreslenie priestorových obrazcov v rovine
Tabuľka 10.9. Kolmosť priamky a roviny.
Tabuľka 10.10. Kolmosť priamky a roviny.
Tabuľka 10.11. Kolmé a šikmé.
Tabuľka 10.12. Kolmé a šikmé.
Tabuľka 10.13. Veta o troch kolmých.
Tabuľka 10.14. Veta o troch kolmých.
Tabuľka 10.15. Veta o troch kolmých.
Tabuľka 10.16. Kolmosť rovín.
Tabuľka 10.17. Kolmosť rovín.
Tabuľka 10.18. Vzdialenosť medzi prekríženými čiarami.
Tabuľka 10.19. Kartézske súradnice v priestore.
Tabuľka 10.20. Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami.
Tabuľka 10.21. Uhol medzi priamkou a rovinou.
Tabuľka 10.22. Uhol medzi rovinami.
Tabuľka 10.23. Polygónová ortogonálna projekčná plocha
Tabuľka 10.24. Vektory v priestore Stereometria. 11. ročník
Tabuľka 11.1. Dihedrálny uhol. Trojuholníkový roh.
Tabuľka 11.2. Priamy hranol.
Tabuľka 11.3. Správny hranol.
Tabuľka 11.4. Správny hranol.
Tabuľka 11.5. Šikmý hranol.
Tabuľka 11.6. Rovnobežníkovité.
Tabuľka 11.7. Konštrukcia rezov hranola.
Tabuľka 11.8. Správna pyramída.
Tabuľka 11.9. Pyramída.
Tabuľka 11.10. Pyramída.
Tabuľka 11.11. Pyramída. Skrátená pyramída.
Tabuľka 11.12. Stavba časti pyramídy.
Tabuľka 11.13. Valec.
Tabuľka 11.14. Kužeľ.
Tabuľka 11.15. Kohuc. Skrátený kohуc.
Tabuľka 11.16. Lopta.
Tabuľka 11.17. Popísaná a opísaná lopta.
Tabuľka 11.18. Objem rovnobežnostena.
Tabuľka 11.19. Objem hranola.
Tabuľka 11.20. Objem pyramídy.
Tabuľka 11.21. Objem pyramídy.
Tabuľka 11.22. Objem pyramídy. Objem skrátenej pyramídy.
Tabuľka 11.23. Objem a plocha bočného povrchu valca.
Tabuľka 11.24. Objem a plocha bočného povrchu kužeľa.
Tabuľka 11.25. Objem kužeľa. Objem skráteného kužeľa. Oblasť bočného povrchu kužeľa. Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa.
Tabuľka 11.26. Objem lopty. Plocha povrchu lopty. Odpovede, smery, riešenia

Stiahnite si zadarmo e-knihu vo vhodnom formáte, pozerajte a čítajte:
Stiahnite si knihu Úlohy a cvičenia na hotových výkresoch, ročníky 10-11, Geometria, EM Rabinovich, 2006 - fileskachat.com, rýchle a bezplatné stiahnutie.

Stiahnite si pdf
Nižšie si môžete kúpiť túto knihu za najlepšiu zľavnenú cenu s doručením po celom Rusku.

6.1 Určenie kolmosti priamky a roviny

Myšlienka priamych línií alebo skôr segmentov kolmých na rovinu je daná vertikálne stojacimi stĺpmi (sú kolmé na zemský povrch), natiahnutou šnúrou, na ktorej visí lampa (je kolmá na strop), nohy stola (sú kolmé na podlahu). Vertikálna zárubňa dverí je kolmá na podlahu a spodná hrana dverí priľahlá k podlahe je vo všetkých polohách dverí kolmá na zárubňu (obr. 73, a). Táto vlastnosť určuje kolmosť priamky a roviny.

Definícia. Priamka sa nazýva kolmá na rovinu, ak pretína túto rovinu a je kolmá na akúkoľvek priamku v tejto rovine prechádzajúcu priesečníkom (obr. 73, b).

Ryža. 73

Tiež hovoria, že rovina je kolmá na priamku alebo že sú navzájom kolmé. Pre vzájomne kolmú priamku a a rovinu a sa používajú označenia a ⊥ α alebo α ⊥ a.

Úsečka alebo lúč je kolmý na rovinu, ak leží na priamke kolmej na túto rovinu. Ak je segment kolmý na rovinu a jeho koniec leží v tejto rovine, potom sa nazýva kolmý na túto rovinu.

6.2 Kolmé a šikmé

Segment, ktorý má jeden spoločný bod s rovinou - koniec segmentu, ale nie je kolmý na túto rovinu, sa nazýva naklonený k rovine.

Nech sa z jedného bodu A, neležiaceho v rovine a, nakreslí kolmica AB a šikmá AC (obr. 74). Úsek BC sa nazýva projekcia nakloneného AC na rovinu α.

Ryža. 74

Kolmá AB je kratšia ako naklonená AC, teda AB< АС. Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

Dá sa povedať takto: kolmica AB z bodu A na rovinu α je najkratšia z úsečiek spájajúcich bod A s bodmi roviny α.

Vlastnosť kolmice byť najkratšou čiarou je charakteristická vlastnosť. To znamená, že platí aj opačné tvrdenie: ak AB je najkratšia úsečka z bodu A do roviny α, potom AB je kolmica na rovinu α.

Dôkaz. Dokážme to protirečením. Predpokladajme, že AB nie je kolmá na α. Potom bodom B v rovine α prechádza priamka a, ktorá nie je kolmá na AB (obr. 75). Pustime kolmicu AM z A na priamku a. V pravouhlom trojuholníku AVM je rameno AM menšie ako prepona AB: AM< АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а. Получили противоречие. Следовательно, АВ ⊥ α.

Ryža. 75

Dĺžka kolmice, spustenej z najvyššieho bodu objektu k jeho základni, meria výšku objektu. Výška pyramídy je teda dĺžka kolmice spustenej z vrcholu pyramídy k rovine jej základne, ako aj samotná kolmica (na obrázku 76 a, b - toto je segment RO).

Ryža. 76

6.3 O význame kolmice

Kolmica na rovinu hrá veľmi dôležitú úlohu a okrem toho, že je najkratšia spomedzi všetkých úsekov od daného bodu k bodom v rovine. Vysvetlime si aj jeho význam. Polohu roviny v priestore je možné nastaviť špecifikovaním priamky na ňu kolmej a bodu, v ktorom túto priamku pretína.

Najdôležitejšou vlastnosťou kolmice je, že rovina je voči nej umiestnená symetricky. Čo to znamená? Všetky lúče ležiace v danej rovine s ňou zvierajú rovnaké uhly - pravé uhly, ale neplatí to pre naklonenú rovinu (obr. 77, a). Pri otáčaní okolo kolmice sa rovina vyrovnáva sama so sebou: koleso musí byť namontované na osi tak, aby jeho rovina bola kolmá na os. Obdĺžnik so stranou kolmou na rovinu možno otáčať okolo tejto strany a druhá strana sa bude posúvať pozdĺž roviny. To je jasne vidieť na správne zavesených dverách. Ak jeho okraj nie je zvislý, dvere sa neotvoria voľne a budú trieť o podlahu.

Ryža. 77

Na príkladoch z fyziky je možné poznamenať, že tlak kvapaliny alebo plynu na stenu nádoby smeruje kolmo na stenu, rovnako ako tlak zaťaženia na podperu smeruje kolmo na ňu (obr. 77, b a 78, a).

Ryža. 78

Kolmica k povrchu sa objavuje v zákonoch odrazu a lomu svetla. Zákon odrazu teda hovorí: "Dopadajúci lúč a odrazený lúč sú umiestnené v rovnakej rovine s kolmicou na povrch zrkadla v bode dopadu a zvierajú s ním rovnaké uhly." "Uhol dopadu" a "uhol odrazu" sú uhly medzi špecifikovanou kolmicou a dopadajúcim lúčom a odrazeným lúčom (obr. 78, b).

Ale hlavným významom kolmice je jej úloha v technológii a v celom našom živote.

Dá sa povedať, že sme obklopení kolmicami: nohy stola sú kolmé na podlahu, hrana skrinky je kolmá na stenu atď.

Vertikál je kolmý na vodorovnú rovinu. Vertikálnosť sa kontroluje pomocou olovnice (pozri fotografiu). Pri konštrukcii hrá hlavnú úlohu kolmosť: medzipodlažné stropy sa kladú kolmo na stĺpiky rámu budovy.

Ako uvidíme neskôr, rovnobežnosť rovín je spojená s prítomnosťou spoločných kolmíc. Kolmosť a rovnobežnosť priamych línií a rovín je základným prvkom konštrukcie, takže náuku o kolmiciach a rovnobežkách možno nazvať základmi „geometrie konštrukcie“.

Otázky na sebaovládanie

Aký je rozdiel medzi kolmou k rovine a sklonom k rovine?
Akú definíciu kolmice na rovinu poznáte?
Čo znamená kolmica na rovinu?

Známky kolmosti:

Priamka kolmá na rovinu , ak ___________________________________________

Priame čiary sú kolmé , ak ___________________________________________________

Roviny sú kolmé , ak __________________________________________________

_______________________________________________________________________________.

Cieľ 1 Zostrojte guľu so stredom v bode A, dotýkajúcu sa danej roviny.

Algoritmus:

Cieľ 2 Nakreslite bod vo vzdialenosti 20 mm od roviny.

Algoritmus:

Cieľ 3 Určte vzdialenosť od bodu k priamke.

Algoritmus:

Úloha 4: Doplňte chýbajúci priemet trojuholníka, ak je uhol V rovno.

Algoritmus:

Problém 5 : Zostrojte štvorec so stranou BC na priamke l.

Algoritmus:

Problém 6 : Dokončite priemet trojuholníka, ak je kolmý na danú rovinu.

Algoritmus:

Otázky na sebaovládanie vedomostí

V akom prípade sa pravý uhol premietne do premietacej roviny bez skreslenia?

Čo sa nazýva čiara najväčšieho sklonu?

Ako sa nachádza čiara najväčšieho sklonu v rovine?

Ako určiť uhol sklonu roviny k horizontálnej, čelnej, projekčnej rovine profilu?

Ako sa formuluje znamienko kolmosti priamky a roviny z hľadiska elementárnej geometrie?

Ak je známe, že priamka je kolmá na rovinu, koľko priamok možno nakresliť, ktoré ležia v rovine, ktorá je na ňu kolmá?

Ktoré dve pretínajúce sa priamky v rovine treba vybrať z množiny priamok tak, aby sa pravý uhol nachádzajúci sa medzi nimi a danou priamkou premietol na premietaciu rovinu bez skreslenia?

Na základe toho sformulujte znak kolmosti priamky a roviny z hľadiska deskriptívnej geometrie.

Ako zostrojiť kolmicu na rovinu vo všeobecnej polohe na CP?

Ako postaviť priamku kolmú na premietaciu rovinu na CP?

Ako sa premietne pravý uhol na rovinu premietania medzi pretínajúcimi sa priamkami, ak žiadna z nich nie je rovnobežná s touto rovinou premietania?

Formulujte kritérium pre kolmosť priamych čiar vo všeobecnej polohe.

Formulujte znamienko kolmosti rovín.

Téma 11: Spôsob nahradenia projekčných rovín

Štyri hlavné úlohy deskriptívnej geometrie sú:

_____________________________________________________________________________

Zostáva nezmenené na CC ___________________________________________________

________________________________________________________________________________

V tomto článku si povieme niečo o kolmosti priamky a roviny. Najprv je uvedená definícia priamky kolmej na rovinu, je uvedené grafické znázornenie a príklad, znázornené označenie kolmých čiar a roviny. Potom bolo sformulované kritérium kolmosti priamky a roviny. Ďalej sa získajú podmienky, ktoré umožňujú dokázať kolmosť priamky a roviny, keď priamka a rovina sú dané niektorými rovnicami v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore. V závere sú uvedené podrobné riešenia typických príkladov a problémov.

Navigácia na stránke.

Kolmica a rovina – základné informácie.

Odporúčame najskôr zopakovať definíciu kolmých priamok, pretože definícia priamky kolmej na rovinu je daná cez kolmosť priamych čiar.

Definícia.

To hovoria priamka kolmá na rovinu ak je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine.

Môžete tiež povedať, že rovina je kolmá na priamku, alebo priamka a rovina sú kolmé.

Na označenie kolmosti použite ikonu formulára "". To znamená, že ak je čiara c kolmá na rovinu, potom sa dá písať krátko.

Príkladom priamky kolmej na rovinu je priamka, pozdĺž ktorej sa pretínajú dve susedné steny miestnosti. Táto čiara je kolmá na rovinu a na rovinu stropu. Na lano v telocvični sa dá pozerať aj ako na priamku kolmú na rovinu podlahy.

Na záver tohto odseku článku poznamenávame, že ak je priamka kolmá na rovinu, potom sa uhol medzi priamkou a rovinou považuje za rovný deväťdesiatim stupňom.

Kolmosť priamky a roviny je znakom a podmienkou kolmosti.

V praxi často vyvstáva otázka: "Sú daná čiara a rovina kolmé?" Aby som odpovedal, existuje postačujúca podmienka pre kolmosť priamky a roviny, teda taká podmienka, ktorej splnenie zaručuje kolmosť priamky a roviny. Táto postačujúca podmienka sa nazýva znamienko kolmosti priamky a roviny. Sformulujme to vo forme vety.

Veta.

Pre kolmosť danej priamky a roviny stačí, aby bola priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v tejto rovine.

Dôkaz znamienka kolmosti priamky a roviny nájdete v učebnici geometrie pre ročníky 10 -11.

Pri riešení problémov stanovenia kolmosti priamky a roviny sa často používa aj nasledujúca veta.

Veta.

Ak je jedna z dvoch rovnobežných čiar kolmá na rovinu, potom druhá čiara je kolmá na rovinu.

Škola zvažuje mnoho problémov, na riešenie ktorých sa používa kritérium kolmosti priamky a roviny, ako aj posledná veta. Nebudeme sa im tu venovať. V tejto časti článku sa zameriame na uplatnenie nasledujúcej nevyhnutnej a postačujúcej podmienky pre kolmosť priamky a roviny.

Tento stav možno prepísať nasledovne.

Nechať byť je smerový vektor priamky a, a je normálový vektor roviny. Pre kolmosť priamky a a roviny je potrebné a postačujúce, že a : , kde t je nejaké reálne číslo.

Dôkaz tejto nevyhnutnej a postačujúcej podmienky pre kolmosť priamky a roviny vychádza z definícií smerového vektora priamky a normálového vektora roviny.

Je zrejmé, že túto podmienku je vhodné použiť na preukázanie kolmosti priamky a roviny, keď je ľahké nájsť súradnice smerového vektora priamky a súradnice normálového vektora roviny v pevných troch -rozmerný priestor. Platí to pre prípady, keď súradnice bodov, ktorými prechádza rovina a priamka, ako aj pre prípady, keď je priamka určená niektorými rovnicami priamky v priestore a rovina je daná rovnica roviny nejakého druhu.

Uvažujme o riešeniach niekoľkých príkladov.

Príklad.

Dokážte kolmosť priamky a lietadlo.

Riešenie.

Vieme, že čísla v menovateľoch kanonických rovníc priamky v priestore sú zodpovedajúcimi súradnicami smerového vektora tejto priamky. teda - smerovací vektor priamky .

Koeficienty pre premenné x, y a z vo všeobecnej rovnici roviny sú súradnicami normálového vektora tejto roviny, tj. je normálový vektor roviny.

Skontrolujme splnenie potrebnej a postačujúcej podmienky pre kolmosť priamky a roviny.

Pretože , potom vektory a sú spojené vzťahom , to znamená, že sú kolineárne. Preto priamka kolmo na rovinu.

Príklad.

Je čiara kolmá a lietadlo.

Riešenie.

Nájdite smerový vektor danej priamky a normálový vektor roviny, aby sme skontrolovali splnenie nevyhnutnej a postačujúcej podmienky kolmosti priamky a roviny.

Smerový vektor priamky je