Proprietățile sistemului Maximo Istoric de valori. Tikhon Tarnavsky. Maxima este libertatea maximă a calculelor simbolice. Sarcina la domiciliu

Deoarece în acest ciclu de articole vom vorbi despre un program matematic pentru calcule simbolice, pentru a începe câteva cuvinte despre faptul că acestea sunt cele mai simbolice sau, așa cum sunt numite, de asemenea, calcule analitice, în contrast cu calculele numerice. Computerele sunt cunoscute pentru a funcționa cu numere (numere întregi și semicoloni plutitori). De exemplu, soluțiile de ecuație X2 \u003d 2 x + 1 pot fi obținute ca -0,41421356 și 2,41421356 și 3 x \u003d 1 - ca 0.33333333. Dar aș dori să nu văd o înregistrare digitală aproximativă, ci o valoare exactă, adică 1 ± √2 în primul caz și 1/3 în al doilea. Din acest exemplu mai simplu, începe diferența dintre calculele numerice și simbolice. Dar, în afară de aceasta, există încă sarcini care sunt, în general, imposibil de rezolvat numeric. De exemplu, ecuațiile parametrice în care sub forma unei soluții trebuie exprimate printr-un cel necunoscut prin parametru; sau găsirea unui derivat al funcției; Da, aproape orice sarcină suficient de obișnuită poate fi rezolvată numai în formă simbolică. Prin urmare, nu este surprinzător faptul că, pentru o astfel de clasă de sarcini, au apărut programe de calculator, care funcționează nu numai prin numere, și de aproape orice obiecte matematice, de la vectori la tensori, de la funcții la ecuațiile diferențiale Integro etc.

Maxim în știință și educație

Printre software-ul matematic pentru computerele analitice (simbolice) este cea mai cunoscută comercială ( Arțar., Matematica.); Acesta este un instrument foarte puternic pentru un om de știință sau un profesor, un student absolvent sau un student, care vă permite să automatizați cea mai rutină și necesită o atenție sporită a muncii care operează înregistrarea datelor analitice, adică formule matematice de fapt. Acest program poate fi numit un mediu de programare, cu diferența că denumirile matematice sunt folosite ca elemente ale limbajului de programare.

Programul care a devenit subiectul articolului funcționează pe aceleași principii și oferă o funcționalitate similară; Cea mai radicală diferență este că nu este nici comercială sau închisă. Cu alte cuvinte, vorbim despre un program gratuit. De fapt, utilizarea liberă la știința fundamentală decât cea comercială, deoarece modelul care este utilizat în software-ul liber este un model de deschidere și accesibilitate a tuturor evoluțiilor. Evident, aceleași proprietăți sunt inerente cercetării științifice. Folosind astfel de abordări similare, puteți considera că extensiile funcționalității programului gratuit sau a bibliotecilor suplimentare care pot fi create pentru nevoile lor în procesul de cercetare științifică, ca parte integrantă a rezultatelor unor astfel de studii. Și aceste rezultate pot fi utilizate și propagate la discreția utilizatorului, fără a ține seama de limitările impuse de licențele software-ului original. În cazul software-ului comercial, care este deținut de producătorul său, acest tip de libertate este limitat în mod semnificativ, de la imposibilitatea de a se transmite în mod liber (și legal) la un astfel de software împreună cu evoluțiile și până la posibilele procese de brevete de la dezvoltator companie în cazul distribuției bibliotecilor suplimentare de casă la acesta.

Pe de altă parte, direcția principală, cu excepția evoluțiilor științifice, unde aceste programe sunt în cerere - aceasta este o educație superioară; Iar utilizarea software-ului liber pentru nevoile de formare este o oportunitate reală pentru universitate, iar studenții și profesorii să aibă copii juridice ale unui astfel de software la dispoziția lor și chiar și cu costuri semnificative, de numerar.

Acest articol deschide un ciclu dedicat unui program gratuit de computere analitice. Maxima.. Acest ciclu voi încerca să vă oferim cea mai completă impresie a programului: va fi dedicată atât principiilor, cât și elementele de bază ale lucrărilor cu Maxima și descrierea oportunităților sale mai largi și exemplelor practice.

Un pic de istorie

Istoria proiectului, cunoscută sub numele de maximum, a început la sfârșitul anilor '60 în legendarul MIT (Institutul de Tehnologie din Massachusetts - Institutul de Tehnologie din Massachusetts), când, în cadrul proiectului MAC mare care a existat în acei ani Lucrările au început la programul de calcul simbolic care a primit numele MacSyma (din manipularea simbolică Mac). Arhitectura sistemului a fost dezvoltată până în iulie 1968, a început în iulie 1969. Lispul a fost ales ca o limbă pentru dezvoltarea sistemului, iar povestea a arătat cum este alegerea potrivită: din limbile de programare existente, este singurul Unul continuă să se dezvolte și acum - aproape o jumătate de secol după începerea proiectului. Principiile bazate pe proiect au fost împrumutate ulterior de către cele mai active programe comerciale - Mathematica și Maple; Astfel, Macsyma a devenit de fapt o sursă de toate direcțiile de programe matematice simbolice. Firește, Macsyma a fost un proiect comercial închis; A fost finanțată de organizații publice și private, printre care au fost incluse în istoria ARPA (Agenția de proiecte de cercetare avansate, amintiți-vă ARPANET - Antinet Ancesor?), Departamente energetice și apărare (departamente de energie și apărare, DOE și DOD). Proiectul a fost dezvoltat în mod activ, iar organizațiile care controlează s-au schimbat mai mult decât o dată, așa cum se întâmplă întotdeauna cu proiectele închise de lungă durată. În 1982, profesorul William Shelter a început să-și dezvolte versiunea pe același cod numit Maxima. În 1998, raftul a reușit să obțină dreptul de a publica codul sub licența GPL. Proiectul inițial Macsyma a încetat să mai existe în 1999. William Shender a continuat să dezvolte Maxima până la moartea sa în 2001. Dar ceea ce este caracteristic software-ului deschis, proiectul nu a murit cu autorul și curatorul său. Acum, proiectul continuă să se dezvolte activ, iar participarea la aceasta este cea mai bună carte de vizită pentru matematicieni și programatori din întreaga lume.

Câteva cuvinte despre program

În prezent, Maxima este disponibilă sub două platforme: sisteme compatibile unix, adică Linux și * BSD și MS Windows. Desigur, voi vorbi despre versiunea Linux.

Maxima în sine este un program de consolă și toate formulele matematice fac din simbolurile convenționale de text. Există cel puțin două avantaje în acest sens. Pe de o parte, Maxima în sine poate fi folosită ca kernel, tragând interfețe grafice deasupra acesteia pentru fiecare gust. Astăzi există o mulțime; De data aceasta mă voi concentra pe cele două cele mai populare (vezi inserția) - și cele mai vizuale și mai convenabile la locul de muncă și despre restul, să vorbim în următoarele probleme; Ele sunt, de asemenea, interesante în propriile lor, deși mai specifice.

Pe de altă parte, prin intermediul oricăror add-uri de interfață, Maxima este nedemontantă la glandă și poate lucra pe astfel de computere pe care nimeni nu le consideră acum pentru computere (acest lucru poate fi relevant, de exemplu, pentru o universitate sau un laborator științific , Care nu are bani pentru a actualiza parcarea mașinilor, iar nevoia de calcule simbolice poate apărea).

Numele funcțiilor și variabilelor din Maxim sunt sensibile la registru, adică majuscul și literele mici diferă în ele. Acest lucru nu va fi într-o noutate pe oricine care sa ocupat deja de sistemele compatibile cu POSIX sau cu astfel de limbi de programare, așa cum se spune, C sau Perl. În mod convenabil, din punctul de vedere al matematicii, pentru care este familiarizat, de asemenea, că diferite obiecte pot fi desemnate în majuscule și litere mici (de exemplu, seturile și elementele lor, respectiv).

Pentru a începe să lucrați cu programul, veți avea nevoie de maximă; Dacă nu va fi în depozitele standard ale distribuției dvs., puteți să o luați pe site-ul proiectului, a cărei adresă este dată în inserție.

Principiile de a lucra cu programul nu depind de interfața cu care veți alege, așa că voi încerca să rezume cât mai mult posibil de la o interfață specifică, limitată la comentarii mici în cazurile în care se comportă diferit.

În prezent, cea mai recentă versiune a programului - 5.9.3, voi vorbi despre asta; Dacă o versiune mai veche este încă prezentă în distribuția dvs., puteți să o utilizați în principiu: și relevante câteva luni în urmă 5.9.2, iar la sfârșitul anului trecut 5.9.1 Nu aveți diferențele fundamentale actuale.

Interfețe grafice la maximum

Din punctul de vedere al familiarizării cu Maxima în sine, două interfețe au cel mai mare interes.

Primul este un program grafic separat, după nume. . Ea, ca Maxima, în plus față de Linux / * BSD, există și în versiunea pentru MS Windows. În Wxmaxima, introduceți formule în formă de text și ieșirea maximă este afișată simboluri matematice familiare grafice. În plus, accentul mare este făcut pe confortul de introducere: linia de comandă este separată de fereastra I / O, iar butoanele opționale și sistemul de meniu vă permit să introduceți comenzi nu numai în text, ci și în dialog Mod. Așa-numita "autocillment" din linia de comandă este de fapt cu o asemenea similitudine, care este numită de tasta Tab. Aceasta se duce, din păcate, la fel ca o istorie inteligentă a echipei, adică provoacă această comandă de la deja în această sesiune, care începe cu caracterele specificate în linia de comandă, dar nu completează numele de comandă și parametrii lor. Astfel, această interfață este cea mai convenabilă atunci când trebuie să calculați foarte mult și să vedeți rezultatele de pe ecran; Și mai mult, poate, dacă nu vă place să introduceți toate comenzile de pe tastatură. În plus, WXMAXIMA oferă o interfață convenabilă la documentația sistemului; Deși, deoarece documentația vine în format HTML, poate fi folosit un browser obișnuit.

Al doilea este o interfață destul de interesantă pentru MAXIMA - acesta este un mod suplimentar în editor . Deși acest editor are un trecut istoric general, cu emacuri bine cunoscute, care este clar din nume, dar există o mică asemănare practică între ele. Texmacs este dezvoltat pentru editarea vizuală a textelor temelor științifice în care vedeți textul editabil pe ecran în aproape aceeași formă în care va fi tipărită. În particular, are așa-numitul mod de intrare matematic, foarte convenabil pentru a lucra cu cele mai diverse formule și poate importa / exporta textul în latex și XML / HTML. Este posibilitățile de a lucra cu formule care utilizează Maxima, cauzate de Texmacs'a. De fapt, formulele sunt afișate în notația matematică obișnuită, dar poate fi editată și copiată la alte documente precum textul obișnuit. Sesiunea maximă este chemată din meniu: " introduce → Sesiune → Maxima."Aceasta apare un menius suplimentar cu comenzi Maxim. După începerea sesiunii, puteți intra deja în modul de intrare matematic în interiorul acestuia (meniul modului de intrare se numește primul buton de pe panoul de intrare) și când introduceți elemente de notație matematică. Această interfață va fi cea mai convenabilă pentru cei care doresc să utilizeze rezultatele calculelor din textele lor și îi place să le editeze în modul vizual.

Ajungând la muncă

După lansarea sesiunii Maxima, vedem astfel de linii în fața lor:

Maxima a reluat. (% I1)

Primul este un mesaj că kernelul lui Maxim tocmai a început (în loc de acesta, în funcție de versiune și de o ansamblu specifică, pot fi afișate informații scurte despre program; Al doilea este o invitație de a intra în prima echipă. O echipă maximă este o combinație de expresii matematice și funcții încorporate, completate, în cel mai simplu caz, cu un punct de virgulă. După introducerea comenzii și apăsați "Enter" Maxima va transmite rezultatul și va aștepta următoarea comandă:

Pentru acțiunile aritmetice, se utilizează denumiri tradiționale: -, +, *, /; ** sau ^ pentru exercițiu, SQRT () pentru o rădăcină pătrată.

Dacă pentru unele denumiri nu va fi evident cum să le înregistrați în șir, o voi explica în cursul prezentării.

După cum puteți vedea, fiecare celulă are propria etichetă; Această etichetă este un nume de celule închise în paranteze. Celulele de intrare sunt denumite% 1 cu un număr (I intrare - intrare), celule de ieșire - ca% o cu numărul corespunzător (O de la ieșire. - ieșirea). De la marca% începeți toate numele de servicii încorporate: astfel încât, pe de o parte, să le facă suficient de scurt și convenabil de utilizat și pe de altă parte - pentru a evita posibilele suprapuneri cu nume personalizate, care sunt, de asemenea, adesea convenabile de făcut mic de statura. Datorită acestei uniformități, nu trebuie să memorați, așa cum se întâmplă adesea în alte sisteme, care dintre aceste nume scurte și convenabile sunt rezervate de program și pe care le puteți utiliza pentru nevoile dvs. De exemplu, numele intern al% e și% pi sunt indicate de constantele matematice bine cunoscute; Și prin% c cu numărul este indicat de constante utilizate în integrare, pentru care utilizarea literei "C" este în mod tradițional în matematică.

Când introduceți, putem contacta oricare dintre celulele anterioare prin numele său, înlocuindu-l în orice expresie. În plus, ultima celulă de ieșire este indicată de%, iar ultima celulă de intrare este prin _. Acest lucru vă permite să vă întoarceți la ultimul rezultat, fără a distrage atenția a ceea ce este numărul său.

Aici% + 47/59 este același cu% O1 + 47/59.

Ieșirea rezultatelor calculului nu este întotdeauna necesară pe ecran; Se poate îneca, prin completarea comenzii la simbolul $ în schimb; . Rezultatul furat este încă calculat; După cum puteți vedea, în acest exemplu, celulele% O1 și% O2 sunt disponibile, deși nu sunt prezentate (la celulă% O2, apelul trece prin simbolul%, sensul căruia este decriptat mai sus):

Fiecare comandă nouă nu este necesară pentru a scrie de la o nouă linie; Dacă introduceți mai multe comenzi într-o singură linie, fiecare dintre ele se va potrivi în continuare cu numele dvs. de celule. De exemplu, aici, în rând, după ce eticheta% i1 au fost introduse de la% i1 până la% i4; În celula% i3,% i1 și% i2 sunt utilizați (desemnați ca _ - intrare anterioară):

În Wxmaxima și Texmacs, ultima sau singura comandă din linie nu poate fi livrată cu simbolul final - acesta va funcționa la fel ca și cum ar fi fost finalizat; , adică concluzia nu va fi beată. În alte exemple, adesea voi omite; . Dacă alegeți o altă interfață, nu uitați să o adăugați.

În plus față de utilizarea numelor celulelor, noi, în mod natural, dau nume la orice expresii. Într-un mod diferit, putem spune că atribuim valori ale variabilelor, cu diferența că orice expresie matematică poate acționa ca valoare a unei astfel de variabile. Acest lucru se face cu ajutorul unui colon - semnul egalității este lăsat la ecuațiile care, având în vedere contextul matematic general al înregistrării, este mai simplu și mai familiar. Și, în plus, deoarece principalul mack al Maxima este calculele simbolice și calculele analitice, ecuațiile sunt adesea folosite destul de des. De exemplu:

Într-un anumit sens, colonul este și mai vizual într-un astfel de context decât semnul egalității: acest lucru se poate înțelege că am stabilit un fel de desemnare și apoi descifrarea prin colon pe care este indică. După ce expresia este numită, o putem numi în orice moment după nume:

Orice nume poate fi curățat de funcția Kill () atribuită acestuia și eliberați memoria ocupată de această expresie. Pentru a face acest lucru, pur și simplu tastați Kill (nume), unde numele este numele expresiei distruse; Mai mult decât atât, poate fi atât numele atribuit dvs. și orice celulă de intrare sau de ieșire. În același mod, puteți șterge toată memoria și puteți elibera toate numele introducând Kill (toate). În acest caz, toate celulele I / O sunt curățate, iar numerotarea lor va începe din nou de la unitate. În viitor, dacă contextul se datorează continuării logice a liniilor I / O anterioare, voi continua numerotarea (am beneficiat deja de această recepție de mai sus). Atunci când noua "sesiune" nu este în niciun caz legată de cea anterioară, voi începe renovarea de numerotare; Va fi o indicație indirectă de a face "uciderea (toate), dacă introduceți exemple în Maxima, deoarece numele variabilelor și celulelor din astfel de sesiuni" pot fi repetate.

Accesul la documentația maximă

În exemplele de mai sus, am folosit două caracteristici încorporate. Deoarece este ușor de ghicit din context, rezolvarea funcției de rezolvare a ecuației și diff este funcția de diferențiere. Aproape toate funcționalitățile Maxima sunt implementate prin astfel de funcții încorporate. Funcția maximă poate avea un număr variabil de argumente. De exemplu, funcția de rezolvare pe care am folosit-o cu un argument este mai des numită două argumente. Primul stabilește ecuația sau funcția a cărei rădăcini trebuie găsite; Al doilea este o variabilă în raport cu care trebuie rezolvată ecuația:

Dacă formula care specifică ecuația soluționată conține un singur caracter, ca în exemplul anterior, atunci al doilea argument poate fi omis, de la alegerea, cu privire la care este necesar să se rezolve ecuația, este încă neechivoc.

A doua funcție din noile noastre cunoștințe - Diff - poate, de asemenea, să ia un argument; În acest caz, acesta găsește diferențialul expresiei specificate:

Prin Del (x) și del (Y), diferențele de caractere corespunzătoare sunt indicate aici.

Pentru fiecare funcție încorporată există o descriere în documentația maximă. Acesta conține informații despre care argumente și în ce opțiuni este acceptând funcția, precum și o descriere a acțiunii sale în diferite cazuri și exemple specifice de aplicare. Dar, desigur, căutați o descriere a fiecărei funcții dorite în documentația HTML sau paginile Info-Pages nu este întotdeauna convenabilă, mai ales că aceste informații sunt necesare, de regulă, chiar în acest proces. Prin urmare, Maxima are o funcție specială - descrie (), care emite informații din documentația pentru cuvinte specifice. Mai mult, în special pentru comoditatea de a obține informații de referință, există o versiune abreviată a apelului acestei funcții :? Nume în loc de descriere (nume). Aici? - Acesta este numele operatorului, iar argumentul trebuie separat de acesta (expresie? Numele este folosit pentru a apela funcția LISP numită numele). Descrieți funcția și operatorul? Dați o listă cu acele partiții de ajutor și nume de nume care conțin textul specificat, după care acestea oferă să introducă numărul partiției sau descrierii funcțiilor pe care doriți să le vedeți:

Când alegeți o secțiune, conținutul său va fi emis:

Dacă pentru cuvântul pe care l-ați introdus după? Sau descrieți, a fost găsită o singură coincizie, descrierea sa va fi afișată imediat.

În plus față de referință, în multe funcții Maxima există exemple de utilizare a acestora. Un exemplu poate fi descărcat în funcție de exemplu (). Apelarea acestei funcții fără un argument va afișa o listă cu toate exemplele disponibile; Apelarea exemplului de vizualizare (Nume) se va descărca în sesiunea curentă și va executa exemplul specificat al exemplului:

Rezolvarea unei probleme cu lansarea de la Texmacs

Dacă aveți probleme cu lansarea sesiunii Maxima din Texmacs, acordați atenție OMS din sistemul dvs. acționează sub numele / bin / sh. Faptul este că inițializarea tuturor sesiunilor diverse este implementată în Texmacs prin scripturile de coajă cauzate cu precizie cu / bin / sh. Și în scenariul care îndeplinește sesiunea maximă se utilizează, care nu este standardizată ca obligatorie pentru / bin / sh, dar este prezentă în emularea sa de bash. Cu alte cuvinte, dacă tu / bin / sh nu se referă la / bash și altceva, poate fi motivul imposibilității de a deschide o sesiune maximă (de exemplu, în Debian și distribuții pe baza acestuia, cu excepția legăturii Bash / BIN / SH poate dori să pună o dash mai ușoară; în acest caz, este posibil să restaurați status quo-ul utilizând DPKG-Reconfigurare Dash). Dacă faceți / BIN / SH Referință la / bin / bash nu este posibil, puteți încerca să schimbați #! / Bin / sh pe #! / Bin / bash în / usr / lib / texmacs / texmacs / bin / maxima_detect fişier. Am scris despre această problemă dezvoltatorilor Texmacs, dar nu am primit nicio reacție, așa că nu pot spune încă, dacă acest defect va fi fixat în cele mai apropiate versiuni.

Principii de baza

Faptul că Maxim este scris despre Lisp, o persoană familiarizată cu această limbă devine clar deja la începutul lucrului cu programul. Într-adevăr, Maxime tras în mod clar "Lispovsky" principiul de a lucra cu datele, care se dovedește a fi foarte util în contextul matematicii simbolice și al calculelor analitice. Faptul este că în LISP, în general, nu există o separare a obiectelor și a datelor: numele variabilelor și ale expresiei pot fi utilizate în aproape același context. În Maxima, această proprietate este dezvoltată și mai puternică: de fapt, putem folosi orice caracter indiferent dacă îi este atribuită o expresie. În mod implicit, un simbol asociat cu orice expresie va trimite această expresie; Un simbol care nu este legat de nimic nu se va reprezenta, interpretat din nou ca o expresie. Să explicăm despre exemplul:

Din aceasta urmează, în special, că valoarea simbolului inclusă în acesta este înlocuită automat în expresie numai dacă această valoare a fost atribuită simbolului până când se determină expresia:

Dacă un anumit caracter are deja o anumită valoare, putem folosi acest simbol în expresie și nu valoarea lui? Sigur. Puteți face acest lucru utilizând semnul apostrofului - introdus în fața oricărui simbol sau expresie, previne calculul acestuia:

Rezultatul expresiei% i12 ar fi similar și dacă B și Y nu aveau valori la acel moment; Astfel, putem bloca cu îndrăzneală calculul simbolului, nici măcar amintirea (sau necunoștința), indiferent dacă li se dă expresii deloc.

În același mod, puteți face cu orice funcție încorporată dacă vrem să nu o îndeplinim, ci să folosim în contextul nostru matematic. De exemplu, funcția de diferențiere deja menționată poate fi utilă pentru a desemna derivatul în ecuația diferențială; În acest caz, desigur, nu este necesar să o calculați:

Datorită caracteristicilor descrise, lucrați în maxim, pe de o parte, devine în mare parte similară cu lucrările tradiționale de "manual" cu formulele matematice, care practic neglică bariera psihologică la începutul lucrului cu programul. Pe de altă parte, chiar și în această etapă inițială, de fapt, scapi de cea mai manuală de rutină, cum ar fi urmărirea valorilor caracterelor curente și vă puteți concentra pe deplin asupra sarcinii în sine. Desigur, blocarea calculului nu este singura modalitate de a influența modul în care Maxim va calcula această expresie; Acest proces poate fi controlat destul de flexibil.

La intrarea în fiecare echipă și rezultatul, după cum sa menționat deja mai sus, numărul de secvență este atribuit.

Stilul de desemnare utilizat vă permite să vă referiți la rezultatele obținute anterior, de exemplu, în acest mod (%o 1) * (% o 2) - Rezultatele sunt necesare pentru multiplicare.

Pentru ultimul răspuns înMaxima. Există o denumire specială%. Și pentru ultima comandă _ (semn de aderență).

Exemplu: Calculați valoarea funcțieila punctele de vedere x.= a., și calculează.

Comanda (% i1) a fost finalizată (rezultatul% O1 a apărut) și funcția a fost determinată. Prin urmare, următoarele două comenzi (% i2) și (% i3) au cauzat (deși în mod diferit) această funcție pentru a calcula valorile la punctele specificate. De la (% i4) se poate observa că referința la linia de rezultat (% O2) poate fi scrisă fără paranteze ().

Operații matematice majore în Maxima sunt desemnate în modul obișnuit: +,-, *, /. Exercițiul de confort este oferit pentru a înregistra trei metode diferite ^, ^^, **. Semnul de atribuire este un colon« : ", Echipa pentru Maxima" A: 2; Ar trebui să fie citită după cum urmează: "Variabila dar Atribuiți un număr 2 ". La sfârșitul echipei, cu excepția punctului cu o virgulă " ; »Este permis să puneți un semn de dolar $. Dacă există un punct cu punct și virgulă, rezultatul este afișat pe ecran, dacă aveți un dolar, rezultatul nu este afișat pe ecran, excepția este comenzile pentru afișarea graficelor care se termină cu dolarul, dar afișând graficul.

3.1. Variabile în maxim

Variabile B.Maxima. Ar putea stoca caractere, expresii analitice, definiții de funcții, valori logice "adevărate", "false", liste, ecuații, linii de text încheiate în citate duble, ca parte a cărora sunt caractere chirilice și, desigur, numere: întregi , fracțiunile raționale, precizia fixă \u200b\u200breală și substanțială cu un punct plutitor de precizie nelimitată de tip% pi.

Din exemplul următor se poate vedea căMaxima este un matematician complet finisat, pentru variabila ei h. Și ceva - nici un obiect incomprehensibil "Peter" - nici o diferență. Maxima.

În acest exemplu, Maxima a fost împărțită ("Peter" 2-4) / ("Pete" -2) și a primit "Peter" +2. Apoi, de la Petya +2 \u200b\u200bMaxima a luat "Peter" și a primit în cele din urmă un număr întreg 2.

3.2. Erori de calcul posibile

Din exemplul următor, rezultă că în operațiunile cu numereMaxima "a jurat" numai pentru 16 numere semnificative și "Nimic nu este străin la el", are, de asemenea, probleme pur computaționale (vezi% O3) cu rotunjire atunci când se calculează.

Faptul este că în exemple dateMaxima. Calculează nu sunt numere întregi, dar cu aproximativ aproximativ. Calculele nu sunt făcute în sistemul zecimal și nu prin înlocuirea oficială a divizării prin introducerea unui multiplicator de 10 -5. Divizia se face reale în sistemul binar. Numerele aproximative au o lungime plutitoare standard. Rezultatele sunt rotunjite astfel încât să rămână 16 cifre semnificative.

În acest exemplu, neașteptate"Aditiv "Minor și este de numai 0,3 * 10 -21.

În exemplul următor, este mult mai mare. Dar, ca și în cazul precedent, este, de asemenea, o consecință a capacităților tehnice ale calculatorului în implementarea operațiunilor aritmetice la punct plutitor.

Din cauza reală efectuarea computerelor aritmetice, rezultatele sunt inexacte: răspunsurile% O3 și% O4 diferă de zero.

3.3. Înregistrări

Dacă comanda înregistrată conține un semn de egalitate,Maxima consideră că este o ecuație, din partea stângă și dreaptă a căreia se poate lua aceeași valoare, iar ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite cu aceeași valoare, cu multiplicarea a două ecuații, părțile stângi și drepte sunt variabile.

3.4. Formă nesigură de expresii

Expresii în Maxima. Pot avea două forme: acționând și incert. În cazurile în care expresia trebuie afișată, nu pentru a calcula ( formular incert ), înainte de el urmează Puneți un semn ′ (Cotație unică). De exemplu, am dorit să afișăm aceeași sarcină pe care am văzut-o pe primul loc în fereastrăXmaxima. Prin urmare, copiați textul lucrării, adăugați ghilimele și apelați interpret. A primi

unde vedem că primul exemplu din fereastrăXmaxima. Este dedicat calculului integral prezentat aici.

Cu toate acestea, metoda specificată nu va funcționa dacă expresia este o valoare explicită, de exemplu, expresie ′ (π ) Maxima. Consideră ca zero și în prezența unei apostrofe. Respectiv ′ cO S (2 π ) Pentru Maxima. exact egal cu unul.

Pe de altă parte, pentru a forța pentru a forța expresia de a calcula, adică să o traducă în forma de actorie, ar trebui să puneți o unică citare cu două ori (aplicați operatorul formularului activ - ′′ ).

3.5. Certificatul de apelare

Este dificil să se ofere o varietate de opțiuni posibile pentru înregistrarea comenzilor pentru utilizareMaxima. Pentru a calcula sau a converti expresiile. În cazuri dificile, puteți încerca să obțineți un certificat în limba engleză.

Pentru a apela certificate Ar trebui să scrie?subiect și apelați un interpret apăsândSchimb.+ ENTER.Unde subiect - acest cuvânt cheie (subiect) de referințe.

Echipă?? subiect solicită căutarea pe toate subiectele de referință care conțin un cuvânt cheiesubiect.

În exemplul următor, am vrut să ne întrebăm despre semnul factorial, dar nu am pus decalajul după întrebarea întrebărilor (greșite).Maxima. a răspuns că nu există exact același lucru ca și în cerere, (meciul exact).

Și a sfătuit să încerce (Încerca.) În al doilea rând (?) Să solicite scopul de a obține un răspuns complet corect. Că răspunsul a fost nesatisfăcătorMaxima a raportat în formă fals În linia de răspuns (% o1).

În următoarea întrebare, am fost de asemenea confundați (din nou nu am pus un spațiu), dar am vrut să întreb despre funcțiacOS ( x.) Sa dovedit neclar pentru program și, prin urmare, nu a primit niciun răspuns.

În cazul factoriale (!) Cu o interogare secundară, Maxima a dat un răspuns exhaustiv (pe care l-am redus puțin)

Ca răspuns, Maxima a creat mai întâi o listă numerotată de răspunsuri (în acest caz, are două numere 0 și 1), apoi a sugerat că introduceți separat de un spațiu (spațiu - separat ) Numere de secțiuni sau specificați toate (toate) sau nici unul ) dintre ei. După clarificare ( dar) că ea înțeles cum (toate. ), Maxima a tipărit un certificat pentru "factorialul" solicitat.

3.6. Introducerea informațiilor numerice.

Reguli de introducere a numerelor înMaxima. exact, ca și pentru multe alte programe similare. O parte întregi și fracționată a fracțiunilor zecimale sunt împărțite la un simbol. punct. Înainte ca numerele negative să pună un semn minus. Numărul și numitorul de fracțiuni obișnuite sunt împărțite utilizând un simbol / ( spălare directă).

Rețineți că, dacă o anumită expresie simbolică este obținută ca urmare a operației și este necesară obținerea unei valori numerice specifice sub forma unei fracții zecimale, aceasta va rezolva această sarcină. numerul. În special, opțiunea numerul Vă permite să treceți de la fracțiuni obișnuite la zecimal:

Aici Maxima. Mai întâi de toate, operate în mod implicit. Acesta a pliat fracțiunea 3/7 și 5/3 în conformitate cu regulile de aritmetică cu precizie: găsite și a condus la fractiunea la numitorul general și a pliat numerele. Ca rezultat, a primit 44/21. Numai după ce am cerut-o să obțină un răspuns numeric, ea a adus o aproximare, cu o precizie de 16 caractere, un răspuns numeric 2,095238095238095.

3.7. Stabilirea și vechimea operațiunilor

După cum sa menționat mai sus, desemnarea operațiunilor aritmetice înMaxima. Ele nu diferă de prezentarea clasică, aceleași semne matematice sunt utilizate: + - * /. Dar exercițiul este prevăzut pentru a fi notat de trei moduri: ^, ^^, **.

Extracția rădăcinii pătrate produce funcția SQRT (), extracția rădăcinii gradului n. Notați ca un grad ^^ (1 / n.).

În Maxima. Operațiunile standard sunt definite - găsirea unui număr de factorial (de exemplu, 6! \u003d 1· 2 · 3 · 4 · 5 · 6 \u003d 120) și găsirea unui factor dublu (de exemplu, 6! \u003d 2· 4 · 6 = 48; 7! = 1 · 3 · 5 · 7.= 105).

Pentru a mări prioritatea operației atunci când se utilizează comenzi de înregistrare pentru maxime, rotund ().

Așa cum se poate observa din rezultatele rezultatelor de calcul (% O13) - (% iO5), Maxima înțelege corect vechimea operațiunilor: a susținut mai întâi construcția diviziei în grad și numai atunci operațiunea de divizare. Prin executarea comenzii (% i13), a fost ridicată la gradul 1 și a împărțit rezultatul cu 3, dar atunci când execută echipa (% i14), a fost calculată rădăcina gradului al treilea, rezultatul (% O15) este egal la lucrarea (% O13) și (% O14).

3.8. Constantele

În Maxima. Pentru comoditatea calculelor, există o serie de constante încorporate, cele mai frecvente dintre acestea sunt prezentate în tabelul următor (Tabelul 1):

tabelul 1

Numele constantelor și desemnarea acestora în Maxima.

Nume	Desemnare
π (Numărul pitagorean)
e. (Numărul EULRO)
Unitatea imaginară ()
+ ∞ (plus infinit)
- ∞ (minus infinit)	minf.
Adevărat	adevărat.
Fals	fals
Infinity complex	infinit.
stânga (în legătură cu limitele)	minus.
drept (în legătură cu limitele)	la care se adauga.
Secțiunea de Aur ()	% phi.

3.9. Variabile și expresii

Variabilele sunt utilizate pentru a stoca rezultatele calculelor intermediare. Rețineți că atunci când introduceți numele variabilelor, funcțiilor și constantelor, este important un registru al literelor. Deci, variabile X. șiX. - Acestea sunt două variabile diferite.

Alocarea valorii variabile se efectuează utilizând un simbol. : (colon), de exemplu x: 5.

Dacă trebuie să ștergeți valoarea variabilei (curățați-o), atunci metoda este aplicatăucide: ucide (x ) - Șterge valoarea variabilei x, iar comanda Kill (All) șterge valorile tuturor variabilelor utilizate anterior. Și, în plus, metoda de ucidere începe o nouă numerotare pentru comenzile executabile (rețineți că răspunsul la comandă (% i3) de mai jos sa dovedit a fi un răspuns la numărul zero (% O0) terminat, și apoi numerotarea comenzilor a început din nou de la unitate).

Amintiți și că într-o singură linie (vezi%i. 1), puteți scrie mai multe comenzi, împărțind ultimul simbol ; (punct cu o virgulă) sau un semn de $ (dolar), dacă nu trebuie să afișăm rezultatul pe monitor.

Operațiunile matematice din Maxima sunt utilizate pentru a înregistra expresii. Toate în Maxima este expresii, inclusiv expresii matematice, precum și obiecte și blocuri de software. Cea mai simplă expresie este un atom sau un operator cu argumente.

Atom - simbol (nume), rând în ghilimele duble sau un număr (un punct integer sau plutitor).Toate expresiile non-atomilor sunt reprezentate ca oper.(a1. ,.., uN.), unde oper -numele operatorului, A1, ..., un -argumentele sale. Expresiile pot fi afișate în moduri diferite, dar reprezentarea internă este întotdeauna aceeași. Argumentele de exprimare pot fi atomi sau expresii ale non-atomi.

Echipă op.returnează operatorul, args. Returnează argumentele atomdetermină dacă expresia este atom.

De exemplu :

Funcţie simbolp. Returnează "adevărat" dacă argumentul său este un simbol.

Funcția a două argumente () argumente () returnează "adevărat" dacă al doilea argument este gratuit (nu conține) primul argument.

Funcția Zeroequiv (,) verifică dacă argumentul său este - Funcția unui argument - zero. Zeroequiiv returnează "adevărat" dacă argumentul său este zero și "fals" altfel.

Funcția Zeroequiv poate fi utilă în cazurile în care rezultatul unei serii de transformări nu este încrederea că funcția rezultată este identică în sursă.

3.10. Funcții matematice

Maxima are un set mare de funcții matematice încorporate. Cele mai frecvent utilizate sunt prezentate în tabel. 2.

masa 2

Funcții matematice încorporate Maxima.

Funcții	Desemnare
Trigonometric	păcat (sinus), cos (cosinus), bronz (tangent), cot (Cotangent)
Invers trigonometric	asin (Arksinus), acos (arkkosinus), atan (Arctanens), aCOT (arkothancență)
Căutări, kosiosoni	sec (x) \u003d 1 / cos (x), (secțiuni), cSC (x) \u003d 1 / păcat (x), (cosac)
Logaritmul natural	buturuga ()
rădăcină pătrată	sQRT ()
modul	aBS ()
restul diviziei	mod (,)
Minim al listei	min (x1, ..., xn)
Maxim din listă	max (x1, ..., xn)
Semnul argumentului	POS (x\u003e 0), Zero (x \u003d 0), semn (x); \u003d Neg (x<0), PNZ - (nu este definit)
Număr aleatoriu	random (N. ) - întregi, de la interval dacă n-piste aleator (float (P )) - un număr de punct plutitor

Ar trebui să se țină cont de faptul că unele nume de funcții diferă de numele utilizate în literatura internă. Maxima este folosită în loc de Tg-Tan, în loc de CTG - Paturi, în loc de Arcsin - Asin, în loc de ARCCOS - ACOS, în loc de Arctg - Atan, în loc de Arcctg - ACOT, în loc de LN - Log, în loc de Cosec - CSC .

Exemple de utilizare a funcțiilor:

3.11. Funcțiile de înregistrare a regulilor

Pentru a scrie o funcție, trebuie să specificați numele său, iar apoi, în paranteze, scrieți prin virgula argumentelor. Dacă valoarea argumentului este lista, constă în paranteze pătrate, iar elementele de listă sunt, de asemenea, separate prin virgule.

3.12. Funcții personalizate

Utilizatorul poate specifica propriile sale funcții. Pentru aceasta, indică mai întâi numele funcției, numele argumentelor sunt enumerate în paranteze, după semne := (Colon și egal) Urmează o descriere a unei funcții care poate fi non-imatură. După sarcină, funcția de utilizator este numită exact ca funcții încorporate.Maxima.

Trebuie să vă amintiți că nu trebuie să utilizați pentru numele numelui rezervat pentru caracteristicile încorporateMaxima. (înregistrate mai sus în tabelul 2).

3.13. Traducerea expresiilor complexe în forma liniară

Una dintre cele mai dificile clase pentru utilizatorii novici ai sistemuluiMaxima. este înregistrarea expresiilor complexe care conțin diplome, fracții și alte modele în forma liniară (în forma textului de înregistrare, cuASCII. Simboluri, într-o singură linie).

Pentru a facilita acest proces, nu este de a da mai multe recomandări:

1. Nu uitați să puneți un semn de multiplicare! Într-o fereastră graficăMaxima. Conform regulilor matematicii de două ori valoarea variabilei h. scrie sub formă de 2 x.Dar când înregistrați o echipă pentruMaxima. ar trebui să arate ca 2 * x.

2. Dar între numele funcției și a suportului cu argumentul, semnul de multiplicare nu este scris;păcat * (x ) - Iată un semn de multiplicare suplimentar.

3. În caz de îndoială, este întotdeauna mai bine să rearanjați și să puneți "extra", suplimentar paranteze (). Numarul numitorului și expresiei trebuie întotdeauna să intre în paranteze. Când înregistrați sfârșitul gradului, baza și gradul este mai bine să luați întotdeauna în paranteze.

4. Funcția nu există separat de argumentele sale (dacă există). Prin urmare, de exemplu, atunci când este construit în gradul de funcționare a unui argument, trebuie să luați întreaga funcție cu argumente în paranteze și apoi să construiți designul rezultat în gradul dorit: (păcat (x. ) ** 2. Foarte des, utilizatorii novice încearcă să ia într-o măsură doar numele funcției, uitând despre argumente:sIN ** 2 (x ) - nu este corect!

5. De asemenea, este necesar să vă amintiți că mai multe argumente funcții sunt înregistrate în paranteze, de exemplu printr-o virgulămin (x 1, x 2, x 3, x N. ).

6. Înregistrarea funcției nevalidepăcat (2 * x) ca păcat * 2 * x sau păcat 2 x . Amintiți cumMaxima. Când scrieți paranteze: de îndată ce încercați să scrieți un suport de descoperire, ea scrie imediat a doua - o cameră de aburi - un suport de închidere. Prin urmare, atunci când scrieți funcții, scrieți numele funcției, apoi puneți paranteze goale după el și numai apoi scrieți toate argumentele sale în aceste paranteze, separatându-le cu virgule. Nu ar trebui să existe nici un design între numele funcției și brațul de deschidere!

7. În cazul înregistrării unei expresii complexe, defilați-l în mai multe componente simple, introduceți-le separat și apoi combinați utilizând notația discutată anterior.

Exemple de comenzi simple pentru Maxima. :

Înregistrarea matematică	Echipa pentru Maxima.
	(x + 2) / (Y-7)
	(x + 3) ** (2 * y)
	sIN ((X-2) / (A + 3))
	((X-2) / (A + 3) +2) / (4- (Y-7) / (B + 4)) + 12 * x

Exercitiul: N. este necesar să se introducă următoarea expresie:

Instrucțiuni: Împărțim această expresie în trei componente: vom lua în considerare număratorul separat, expresia în numitor în paranteze și gradul. Introducem fiecare componentă numită și le unim în expresie.

Când introduceți comanda, intrarea eronată a comenzii pentruMaxima. Puteți selecta și elimina din ecranul grafic (de la tastatură) și scrieți și executați-o (cu tastatura apăsândSchimb.+ INTRODUCE) Comanda corectă ar trebui de așteptat ca numărul de răspuns să se schimbe.

Dacă faceți clic pe triunghiul Abrade cu mouse-ul, triunghiul va picta, iar șirul va fi ascuns, iar înregistrarea va apărea (1 linii ascunse). Pentru a elimina din ecran și răspuns și comanda (bloc marcat în brațul pătratului stâng), urmați mouse-ul pentru a selecta brațul pătrat în răspunsul la intrare, apelați butonul din dreapta al mouse-ului și selectați opțiunea Ștergere selecție . Deci, în exemplele anterioare ale șirului cu comanda (% i4) și cu răspunsul (% O4) nu - sunt eliminate.

Rețineți, de asemenea, că atunci când înregistrați o echipă pentruMaxima. (% O1) / (% O2) ** (% O3) în linie (% i5), este destul de acceptabil să fie renovată și scrieți altfel utilizând paranteze suplimentare pentru numitor: (% O1) / ((% O2) ** (% o3)). DarMaxima. Ne-a înțeles corect fără aceste "paranteze suplimentare" și au calculat expresia introdusă matematic corect, deoarece înțelege matematica operațiuni de pornire: În primul rând, argumentele sunt calculate (deoarece acestea sunt în paranteze) și funcții, atunci exercițiul este efectuat, apoi funcționarea diviziunii și multiplicării și numai apoi adăugarea și scăderea.

cu 0):
a) Y: 2 / x; X: 0; b) u: 0; V: 2 / u; c) z: 0; T: 2 / z; și de ce?
3. Care este operatorul în expresii a) x ^ y; b) - t; c) x + y;

4. Ce va răspundeMAXIMA, dacă îndepliniți comanda: U - V; Op (%);

5. Care este egalizarea: a) 4 * - 2; b) 4 * + 2; c) 4 ** - 2;

6. Care sunt argumentele din expresiefAS (P, Q): \u003d P - Q?

7. Este un atom de expresie ABC?

8. De ce în următorul examen farmacime a reușit să calculeze numeric Tg (π / 2) și, dar a refuzat să facă calcule numerice pentru CTG (0)?

9. Ce răspuns va oferi Maxima dacă echipa pentru ea va fi așa:

10. Ce este mai mult e. π sau π. E.?

11. Cât de mult procent mai mult din numerele comparate depășește cele mai mici?

12. Ce va răspunde Maxima dacă echipa pentru ea va fi așa:

Matematică completă

Alexander Bikmeev. Este dezasamblat cât de liber este matematica pe calculator și modul în care software-ul liber este matematic.

Orice știință, de la fizică la filologie, utilizează realizările matematicii. În legătură cu acești specialiști, non-matematicienii au nevoie de fonduri care să permită sarcini în formă matematică și să obțină soluții în formula sau setul de valori, adică sunt necesare sisteme de matematică pe calculator, capabile să facă soluții de muncă la probleme matematice cu diferite metode .

Din păcate, în țara noastră, astfel de programe sunt distribuite într-un domeniu destul de îngust de activitate științifică și nu în ultimul rând, acest lucru se datorează faptului că elevii și studenții nu introduc pachete matematice profesionale, costul unei singure licențe la care este adesea calculată de mii și zeci de mii de ruble.

Vă invităm să vă uitați în lumea pachetelor matematice gratuite care pot fi descărcate gratuit de pe Internet pentru a le utiliza pentru orice fel de cercetare (uneori cu rezervări), precum și, datorită prezenței textelor sursă, studiază dispozitivul intern și , dacă se dorește, extindeți funcționalitatea forțelor corespunzătoare.

Calcule simbolice

Sistemele de matematică de calculator (CSM) sunt dezvoltate pentru o lungă perioadă de timp și Maxima. () A fost unul dintre primii. Inițial, a fost un produs comercial, dar, fără a susține concurența, sistemul sa mutat în libertatea de descărcare.

Coajă wxmaxima. și elementul de meniu care vă permite să transmiteți sau să eliminați din ecranul panoului operațiunilor matematice.

Principalul avantaj Maxima. Înainte ca alte sisteme gratuite să fie suport pentru calcule simbolice. Adică, introducerea unei expresii analitice sau a unei ecuații, puteți obține rezultatul și în formă analitică.

Maxima. Vă permite să rezolvați ecuațiile algebrice, sistemul de ecuații, să efectuați integrarea, operațiunile de diferențiere, descompunerea la rând și așa mai departe. În plus, știe cum să rezolve ecuațiile diferențiale, sarcini de frontieră, provocările din caucială, efectuați calcule algebrice cu matrice, construirea de grafice și suprafețe specificate de diferite funcții în sistemele de coordonate carteziene și polare. Toate posibilitățile sunt dificil de listate.

Pentru CSM. Maxima. Dezvoltarea mai multor cochilii, cele mai convenabile dintre care (pentru un utilizator novice) este wxmaxima. (Vezi figura 1). Pornind de la versiunea 0.8.0, se schimbă rapid spre bine. Cea mai recentă versiune (0.8.3) conține caracteristici ale unor astfel de pachete comerciale bine-cunoscute ca Arțar. și Mathcad.. Lucrul în această coajă este destul de simplu și vă permite să obțineți rezultate acceptabile după câteva minute de utilizare. Multe operațiuni ale căror nume sunt prezente în meniu și pe barele de instrumente sunt echipate cu maeștri convenabili care vă permit să rezolvați sarcinile, nici măcar să cunoașteți limba și echipele încorporate. Maxima.. Ei bine, un alt fapt important - toate cochilii pentru acest CSM sunt rusificate. În plus, a studiat pachetul gratuit Maxima., elevii vor putea să fie mai ușor de stăpânit în pachetele comerciale, care se datorează atât asemăluirii interfeței relative, cât și sintaxei utilizate (se aplică acest lucru Maxima. și Arțar.).

Sistemul este perfect documentat, dar materialul de referință este reprezentat numai în limba engleză. Revista noastră a publicat materiale educaționale despre munca în CSM Maxima. (LXF81-86). Fiind o aplicație de consolă, Maxima. poate funcționa în modul lot, adică, poate fi transmis să proceseze un fișier text cu o listă de mesaje și să primească din nou un fișier text cu rezultatele și dacă considerăm că ieșirea poate fi decorată cu ajutorul unui sistem de marcare TEX.Acest lucru vă permite să îl utilizați ca bază pentru a vă construi propriile aplicații. Un exemplu de astfel de dezvoltare este expansiunea Texmacs..

Pe baza experienței de învățare existente, se poate spune că studenții de cursuri junior sunt de mastering Maxima.rapid rapid și începe să o folosească la îndeplinirea sarcinilor pentru alte subiecte. Dar cu fiecare curs au tot mai multe probleme.

Faptul este că, împreună cu un număr mare de momente pozitive Maxima. Există, de asemenea, negative. În primul rând, rezultatul final, în special la rezolvarea sarcinilor complexe, depinde în mare măsură de nivelul cunoașterii matematicii și de experiența utilizării acestui CSM, deoarece uneori este necesar să se efectueze transformări preliminare pe cont propriu. În al doilea rând, Maxima. Funcționează foarte bine cu expresii algebrice, dar transcendental, logaritmic și similar cu acestea provoacă dificultăți semnificative. Cu toate acestea, dacă nu puteți obține o soluție analitică, puteți utiliza întotdeauna calculul numeric. În al treilea rând, oportunități Maxima. pe construirea de grafice complexe sau vizualizare, de exemplu, câmpul vectorial, nu mergeți nici o comparație cu posibilitățile Arțar.. În cele din urmă, al patrulea, pentru o muncă cu drepturi depline, este necesar să studiezi numeroase echipe și constante Maxima., Și acest lucru necesită timp și răbdare.

SCM. Maxima. Incluse în mai multe distribuții Linux sau cel puțin neapărat prezente în depozite. Este inclusă în produsele educaționale, cum ar fi Școala Allinux, Edubuntu și Edumandriva.

Fereastră Studio Smath., în care funcția este definită, se calculează derivatul său și se construiește programul.

Trebuie remarcat faptul că inginerii sunt încă obișnuiți să lucreze cu o astfel de aplicație de calculator atât de puternică ca Mathcad.. Acesta este un sistem de calcul de inginerie disponibil pentru orice platformă (a se vedea pachetele comerciale), dar pentru bani serioși. Cu toate acestea, angajatorii au nevoie de absolvenții că absolvenții vor putea lucra în acest sistem. Cum să fii instituțiile de învățământ?

Proiectul de salvare sa născut în țara noastră: Studio Smath. (http://ru.smath.info/forum/). Acest lucru este gratuit, dar, din păcate, încă un produs gratuit, dezvoltatorul căruia, Andrei Ivashov, încearcă să creeze o alternativă la Monster Mathcad., Și se dovedește acest lucru (vezi figura 2). Aplicația este concepută pentru mediu .Netși apoi adaptate pentru Mono..

Studio Smath. Permite calculele analitice, operațiile cu matrice, construirea de grafice și calculați derivații și chiar sprijină funcțiile de programare. Din păcate, integrarea analitică nu este încă acceptată, dar produsul evoluează cu succes și, în toamna anului 2009, autorul finalizează dezvoltarea unei infrastructuri care să permită utilizarea unor module conexe terțe părți. Poate că dezvoltarea cererii va intra într-un nou nivel și vom obține o alternativă completă Mathcad..

De asemenea, trebuie remarcat faptul că, în primăvara anului 2009, prin acord cu autorul, produsul a fost inclus în distribuția educațională Edumandriva. În ciuda funcționalității limitate, această aplicație vă permite să efectuați calcule zilnice la nivelul cursurilor de școală și junior, precum și simple calcule de inginerie. Și dacă considerați asta Studio Smath. Se simte perfect pe computerele de buzunar și pe smartphone-urile gestionate de Windows Mobile, cunoștința cu el pentru elevii și studenții este pur și simplu necesară.

Pe site-ul oficial există întotdeauna documentație în formatele DOC și ODT, iar pe forumul oficial puteți pune întrebări dezvoltatorului sau comunității și discutați algoritmii utilizați în dezvoltarea unei cereri.

Fereastră wxmaxima. Cu rezultatele calculelor simbolice și graficul grafic

La sfârșitul acestei secțiuni, vreau să mă concentrez asupra faptului că pachetele de matematică simbolică sunt emise ca rezultat, și nu numărul. Luați în considerare exemplul prezentat în fig. 3, în care este definită funcția utilizatorului și se găsește al doilea derivat; Apoi funcția este integrată. În același timp, programul a fost construit. Astfel, elevii și studenții pot îndeplini în mod clar analiza completă a funcției. Și acest lucru nu este totul: Maxima. Capabil să simplifice expresii prin dezvăluirea parantezelor, aducând termeni similari, efectuarea de substituții și stabilirea anumitor condiții și ipoteze impuse expresiei. Adăugați aici posibilitatea soluțiilor simbolice ale ecuațiilor și sistemelor de ecuații, precum și a ecuațiilor diferențiale și veți înțelege că studentul modern fără aceste instrumente nu poate face, iar profesorii de discipline naturale pot revigora lecțiile și clasele practice prin contribuția sarcini interactive sau materiale demonstrative.

Calcule numerice

După cum știți, nu fiecare sarcină poate fi rezolvată analitic, adică pentru a obține o soluție sub forma unei anumite formule. Apoi, diverse metode numerice vin la salvare, pentru a obține o soluție cu o anumită precizie. Cel mai renumit reprezentant al aplicațiilor pentru calcule numerice este sistemul algebrei de calculator (SKA) Matlab..

Matlab. Distribuită pe scară largă (a se vedea comparația în LXF109), dar costul licențelor educaționale nu sunt accesibile nu numai școlilor, ci și multor universități rusești. În străinătate preferă, de asemenea, să ia în considerare bani - și să investigheze resursele umane în dezvoltarea analogilor liberi Matlab.. Luați în considerare unele dintre ele.

În primul rând, în opinia mea, merită să se oprească proiectul Gnu Oxtave. (http://www.gnu.org/software/octave/). Dezvoltatorii poziționează acest sistem ca un "limbaj de programare la nivel înalt pentru calcule numerice". Ca multe proiecte gratuite * NIX cu o tradiție îndelungată, acesta oferă interfața liniei de comandă. Introduceți terminalul oCTAVĂ - și (dacă, desigur GNU Octave. Instalat pe un computer) Veți invita acest sistem în fața dvs. Începeți să introduceți comenzi, iar rezultatele calculelor vor fi afișate în terminal.

Interfața liniei de comandă are avantajele sale, deoarece practic nu ia resurse de calcul calculator, lăsând întreaga putere a procesorului la calculul în sine și nu pe un afișaj frumos al textului textului și rezultatul calculelor. Cu toate acestea, utilizatorul modern este rareori gata să se ridice cu ea.

. Coajă qtucave. cu computere efectuate.

Pentru o lungă perioadă de timp GNU Octave. nu au avut o interfață grafică, până în sfârșit, nu a apărut qtucave. (Vezi figura 4). Această coajă reamintește foarte mult interfața. Matlab. și vă permite automatizarea executării unor operațiuni de rutină (de exemplu, construcția de grafice) cu ajutorul maeștrilor.

Limba sistemului este făcută ca fiind similară limbii. Matlab.; În consecință, un om care sa stăpânit GNU Octave.va fi capabil să lucreze aproape fără recalificare Matlab., și anume, este necesar pentru angajatori. În plus, entuziaștii mișcării de software liber pentru sistem au creat un număr suficient de pachete de extensie. Datorită acestui fapt, funcțiile SK în sine sunt în continuă creștere. Ei bine, iar prezența documentației complete (deși în limba engleză) atât pentru sistem, cât și pentru pachetele de prelungire face ca acest produs să nu fie doar profitabil, ci și accesibil la studiu.

Minusurile includ nu o interfață clară convenabilă qtucave.Mai mult, versiunea nu a fost actualizată încă din toamna anului 2008 (impresia este creată că proiectul este abandonat). Pachetele de extensii nu sunt bogate în caracteristici și nu strălucesc cu capabilități grafice; În plus, ele nu sunt echivalente, deoarece situația este astfel încât un proiect să fie dezvoltat de un student de boboc și al doilea, de exemplu, o echipă de profesori ai universității. Dar acesta este un proiect complet gratuit, cu care nu vă puteți face griji cu privire la curățenia licențiată a soluțiilor obținute.

Următorul pachet pe care aș dori să-l iau în considerare este numit Scilab. (http://www.scilab.org), al cărui nume indică similitudine Matlab.. Inițial, a fost și un produs comercial și a fost chemat Blaise., și apoi Basile.. Creatorii lui au inspirat primele versiuni Matlab.Și de ceva timp au concurat. Cu toate acestea, la începutul anilor '90, Simulog a încetat să-l vândă, iar apoi șase dezvoltatori ai Institutului Național de Cercetare Franceză (Inria) au înființat proiectul Scilab..

Scilab. Este avantajos de la colegul său de pe atelierul de către interfața dezvoltată, prezența unui număr suficient de mare de pachete de expansiune specializate, precum și faptul că este susținut de un consorțiu Scilab.care includ instituții educaționale și științifice majore din întreaga lume.

Interfață Scilab 5.

Scilab. - Singurul sistem gratuit similar Matlab.Având propriul instrument pentru modelul blocului numit Scice.. În distribuția produsului, există un editor de scripting încorporat și funcțiile cu posibilitatea depanării. Scilab. A dezvoltat posibilități grafice pentru crearea de aplicații de înaltă tehnologie. Cu funcționalitatea sistemului, puteți citi, examinate exemplele demo - unele dintre ele sunt foarte impresionante (selectați elemente de meniu ? \u003e Demonstrarea oportunităților).

Scilab. Are o funcție în compoziția sa nu numai pentru a efectua tot felul de operații pe matrice, dar și pentru a construi grafice și suprafețe tridimensionale în diferite sisteme de coordonate, funcții pentru lucrul cu algoritmi genetici, rezolvarea problemelor în grafice, funcții statistice, modelare imitație Instrumente și multe altele. În fiecare an, mai multe conferințe dedicate utilizării ska Scilab. În știință, educație și producție.

Există mai multe cărți despre lume cu privire la descrierea lucrării în Scilab., precum și rezolvarea unui număr de sarcini specializate. Din păcate, nici unul dintre ele nu a fost tradus în limba rusă. În Rusia, au apărut doar două cărți, una - în cadrul proiectului național și în al doilea Scilab. Descrie împreună cu pachetele non-gratuite. Revista noastră a imprimat în mod repetat manuale despre munca în Scilab. (LXF106-109 și) și totuși documentația nu este suficientă, iar materialele de referință nu vă permit întotdeauna să înțelegeți cum funcționează una sau altă funcție.

Freemat. - Un rezultat impresionant al ceea ce o echipă este capabilă de trei oameni asemănători.

Versiunea a cincea Scilab. a marcat începutul unei noi etape în dezvoltarea sistemului. Interfața aplicației sa schimbat (dezvoltatorii au refuzat GTK.-Interface), a început să schimbe instrumentul de modelare a blocului Scice.care în octombrie 2009 ar trebui să-și schimbe numele Xcos..

O altă variantă a subiectului Matlab. este an Freemat. (); Acest pachet are o altă caracteristică generală importantă cu Matlab.Și anume suport pentru programarea orientată pe obiecte. Interfața programului este suficient de plăcută. În fereastra principală a implementat comenzi automate. Site-ul oficial are un ghid complet pentru a lucra cu sistemul (în limba engleză). Distribuția programului are un mic, conform standardelor actuale, volumul este de 18 MB.

Sistemul permite soluția numerică de ecuații și sisteme de ecuații, atât linine și neliniare, cât și prelucrarea numerică a semnalelor (vezi figura 6); Este capabil să lucreze cu matrice multidimensionale. Principalele momente pozitive Freemat.comparat cu Scilab. și OCTAVĂsunt compatibilitatea mare a sistemului lingvistic intern cu limba Matlab. si foloseste Opengl. Pentru a construi grafice și suprafețe, ca urmare a căreia arată mai bine.

Minusuri de la fel Freemat. sunt viteze reduse (unele sarcini sunt rezolvate uneori mai lent decât în \u200b\u200balte pachete) și lipsa de pachete de expansiune. Acest sistem se dezvoltă numai prin eforturile echipei de trei. Proiectul nu are o comunitate mare.

Matematică la distanță

Sistemele menționate mai sus sunt proiecte locale, adică lucrul cu acestea se desfășoară pe o singură mașină. Dar acest lucru se întâmplă incomod - de exemplu, atunci când învățarea de la distanță; În plus, nu toți elevii vor fi de acord (și uneori pot) să pună aceste aplicații pe computerele lor de origine. În acest caz, sunt necesare fonduri pentru lucrările la distanță cu pachete matematice.

Studio Smath live.: Luați în considerare fără a părăsi browserul (deși nu foarte rapid).

Printre cei considerați această oportunitate oferă Studio Smath.. În capitolul. Trăi. Site-ul oficial (http://smath.info/live) este o listă de lucru virtuală, pe care oricine își poate îndeplini calculele. Sistemul este foarte convenabil, deși nu strălucește viteza.

Și totuși mai profesionist în această privință Salvie (http://www.sagemath.org/). Acest sistem constă dintr-un server web care oferă o interfață grafică pentru a interacționa cu codul. Pitonpe care este scrisă miezul ei. Orice utilizator cu browserul Web preferat se poate conecta la server, să se înregistreze și să primească spațiu personal în cont propriu. Poate fi deschisă și închisă, adică numai accesibilă administratorului de server și proprietarului în sine. Foi de lucru pot fi create în spațiul personal și toate calculele sunt efectuate.

În foaia de lucru, puteți utiliza orice limbă disponibilă și o astfel de lot. Sistem implicit Salvie Combină următoarele produse: Gap, Maxima, Python, R, Latex. În plus, pot fi conectate Octave, Axiom, Magma, Mathematica, Matlab, Maple, Mupad alte. Ca rezultat, obținem un singur server de lucru la distanță care vă permite să instruiți orice pachete matematice și să efectuați calcule utilizând sisteme de matematică gratuită și comercială.

. Din motive de neînțeles Salvie refuză să lucreze B. Firefox.Dar, în caz contrar, aceasta este o soluție bună pentru munca la distanță.

Sistemul de drepturi de acces la spațiile personale și posibilitatea de colaborare cu o foaie de lucru a mai multor utilizatori, o dată, permite organizarea de formare la distanță cu o foaie de explicație a curriculumului care conține exemple de rezolvare a problemelor și a fișelor de atribuire personală pentru fiecare elev.

În prezent, există mai mulți public Salvie- servere - vă puteți conecta la acestea, consultați foilele prevăzute în acces comun, pentru a avea propriul spațiu personal și, în caz de dificultăți, cere ajutor din partea comunității. Pentru a face acest lucru, faceți pur și simplu un fișier de lucru public. Vă asigur: Dorind să ajute foarte mult, singura problemă este că limba de lucru este engleza.

Există linkuri către un server public de testare pe site-ul oficial (http://www.sagenb.org), precum și pe materiale de instruire și cărți create folosind acest sistem. Înscrieți-vă și încercați Salvie - Poate asta e ceea ce cauți? De asemenea, merită remarcat faptul că nu am reușit să introducem pe server în Firefox.Dar în alte browsere nu au existat probleme.

Deci, am examinat cele mai populare sisteme de matematică gratuită de calculatoare. Este posibil să le folosiți în formare și să lucrați - pentru a vă rezolva. Am făcut deja alegerea dvs. și nu-l regretăm.

Sisteme comerciale

Printre sistemele comerciale sunt cele mai populare trei: Matlab. (calcule numerice) Arțar. (Accentul principal este pe calculele simbolice) și Matematica. (combină cu succes aspirațiile primelor două). Se află pachetul puternic de inginerie Mathcad.Deoarece este mai degrabă un calculator mare de inginerie și nu este destinat să rezolve sarcini complexe de fizică matematică sau de teoria criptării, procesarea semnalului și așa mai departe.

Toate aceste pachete au versiuni pentru cele mai comune platforme: Windows, Linux și Mac OS X. Dăm costul unei licențe ale acestor pachete pentru instituțiile academice, potrivit listei de prețuri Softline:

Matlab. - 30 765 de ruble;
Matematica. - 9002 RUB;
Arțar. - 36 286 de ruble;
Mathcad. - 5290 de ruble.

Concluzii pe care le puteți face noi.

Operatorul ciclului

Operatorul ciclului poate fi setat în mai multe moduri. Metoda de setare depinde de faptul că este cunoscută în avans de câte ori este necesar să se efectueze corpul ciclului.

Exemplu: renunțarea la ciclu la valori variabile de ieșire și în intervalul de la -3 la 10 în trepte de 5:

Exemplu: ciclul pentru a găsi suma tuturor numerelor naturale la numărul 50 inclusiv:

Următoarea posibilitate importantă a sistemului Maxima este lucrați cu liste și rețele.

Comanda tamponistă este utilizată pentru a genera liste. De exemplu, folosind comanda

am format o listă cu numele x, constând din zece elemente, valabile

Comandamentul ARRAY este utilizat pentru a genera matrice. De exemplu, cu ajutorul comenzii,

am format o matrice bidimensională A, constând din 10 linii și 5 coloane. Pentru a umple matricea prin elemente, folosim ciclul cu parametrul. De exemplu,

Așa-zisul GUBINA, E.V. Andropov.

Pentru a afișa elementele matricei de pe ecran, puteți utiliza comanda:

O serie poate fi formată fără anunț prealabil. În exemplul următor, am format o matrice unidimensională x, constând din 5 elemente, ale căror valori sunt calculate prin formula X I \u003d păcatul i.

Inconvenientele de a lucra cu matrice este că ieșirea valorilor elementelor matricei este efectuată în coloană. Este mult mai convenabil dacă valorile matricei (bidimensionale) sunt afișate sub forma unei matrice. În aceste scopuri, puteți utiliza comanda Genmatrix. De exemplu, pentru a forma o matrice bidimensională (matrice), trebuie să specificați comanda după cum urmează:

Retrage matricea rezultată:

1.7. Gestionați procesul de calcul în Maxima

Sistemul Maxima Computer Matematică se referă la sistemele matematice simbolice. Prin urmare, (în mod implicit), sistemul emite rezultatul în formă simbolică. Care este, dacă nu specificați o comandă specială, sistem

Capitolul 1 Bazele muncii în Matematica Computer Math Maxima

nu prezentați niciodată rezultatele obținute în timpul calculelor sub forma unei imobile aproximative. De exemplu, dacă introducem comanda pentru a introduce comanda2, vom obține:

Dacă este necesar să se prezinte rezultatul în cursul calculelor sub forma unui număr real, atunci în acest caz trebuie să oferiți un sistem special sistemului. De exemplu, puteți face acest lucru: dacă doriți să obțineți o valoare aproximativă de 2, apoi selectați elementul de meniu Calcule numerice → pentru a pluti(inclusiv precizia unică) (Orto Bigfloat

(inclusiv dubla precizie)). Rezultatul va arăta astfel:

Conectarea "%" a Maxima este utilizată pentru a face apel la rezultatul obținut în ultima sesiune a lucrării. Acest lucru este convenabil dacă nu este necesar să introduceți variabilele de utilizator și să utilizați în continuare valorile obținute.

Pentru a controla procesul de calcul, așa-numitul "Blocarea calculului". Blocarea se efectuează utilizând un singur semn al apostrofului. Esența ei:

– dacă puneți semnul apostrofului înaintea numelui sau numele variabil, atunci calculul funcției însuși (dar nu argumentele sale) sau variabila este blocată;

– dacă puneți o apostrof înainte ca expresia să fie încheiată în paranteze, atunci toată această expresie va rămâne întreaga expresie, adică toate funcțiile care fac parte din ea și toate argumentele acestor funcții.

De exemplu, setați funcția f x și comparați rezultatele obținute atunci când încercați să calculați valoarea funcției la Pointx \u003d 0.

După cum puteți vedea, semnul apostrofului a blocat o încercare de a calcula valoarea funcției în primul caz.

Alt exemplu:

Așa-zisul GUBINA, E.V. Andropov.

Spre deosebire de blocarea computerelor folosind două semne ale apostrofului, dimpotrivă, puteți face sistemul de calcul - "Calculul forțat". De exemplu,

aK poate fi văzut, sistemul a refuzat să calculeze integrale, deși nu am dat comanda să blocheze calculele. Dacă livrăm o dublă apostrof în fața echipei, vom obține următorul rezultat:

Rețineți că, în sistemul Maxima, în mod implicit, toate unghiurile sunt măsurate în radiani. Prin urmare, dacă doriți să lucrați cu colțuri în grade, va fi necesar să reamintim formula de traducere de la radiani la grade.

În terminologia Maxima, non-forma de exprimare se numește "formă substantivă", calculată - "formă verbală".

Următorul punct important atunci când lucrați în sistemele de matematică al calculatorului este capacitatea de a înlocui valorile variabilelor sau a părților de expresii în funcție, expresii. Luați în considerare câteva dintre caracteristicile sistemului furnizate în aceste scopuri.

De exemplu, este necesar să se exprime Cos X 4SIN X - X în loc de variabila de a înlocui o valoare particulară, de exemplu,.

Capitolul 1 Bazele muncii în Matematica Computer Math Maxima

Astfel, comanda SUB vă permite să efectuați înlocuirea expresiei oricăror variabile. De fapt, comenzile de substituție în expresia sau funcția din Maxima sunt mai multe.

1.8. Cele mai simple transformări ale expresiilor

În mod implicit, sistemul Maxima este funcția activă auto-proiect, adică. Sistemul încearcă să simplifice expresia introdusă fără nici o echipă.

Exemplu. Permiteți-i să fie obligați să găsească valoarea următoarei expresii numerice

1 1− 4

: 2 1 4 4 5 7.

Să stabilim expresia în conformitate cu regulile sistemului Maxima.

După cum puteți vedea, sistemul a răspuns la valoarea expresiei, deși nu am cerut nici o echipă.

Cum de a face sistemul nu aduce rezultatul, dar expresia în sine? Pentru a face acest lucru, funcția de simplificare trebuie dezactivată folosind comanda SIMP: FALSE $. Apoi primim:

Pentru a activa funcția de simplificare, trebuie să setați comanda SIMP: TRUE $. Funcția de recuperare automată poate funcționa atât cu cifre numerice, cât și cu unele expresii numerice. De exemplu,

Așa-zisul GUBINA, E.V. Andropov.

Când introduceți, putem contacta oricare dintre celulele anterioare prin numele său, înlocuindu-l în orice expresie. În plus, ultima celulă a ieșirii este indicată de%, iar ultima celulă de intrare este prin _. Acest lucru vă permite să vă întoarceți la ultimul rezultat, fără a distrage atenția a ceea ce este numărul său. Dar astfel de apeluri la celule nu trebuie să fie abuzate, deoarece atunci când se supraestimați întregul document sau celulele sale individuale de intrare, pot apărea dezacorduri între numerele de celule.

rezultatul este de 5 ori.

De preferință, în loc de nume de celule, utilizați variabile și alocați numele lor la orice expresie. În acest caz, sub forma valorii variabilei poate acționa orice expresie matematică.

Numele de valoare sunt salvate pe parcursul lucrării cu documentul. Amintiți-vă că dacă aveți nevoie să eliminați definiția de la variabilă, atunci acest lucru se poate face cu ajutorul funcției Kill (Nume), unde numele este denumit expresia care este distrusă; Mai mult decât atât, poate fi atât numele atribuit dvs. și orice celulă de intrare sau de ieșire. În același mod, puteți șterge toată memoria și puteți elibera toate numele introducând comanda Kill (All) (sau selectați Maxima-\u003e Clear Memory (Clear Memory)). În acest caz, toate celulele I / O sunt curățate, iar numerotarea lor va începe din nou de la unitate.

Funcția de recuperare automată nu este întotdeauna capabilă să simplifice expresia. În plus, există o serie de echipe care sunt concepute pentru a lucra cu expresii: raționale și iraționale. Luați în considerare unele dintre ele.

Șobolan (expresie) - convertește o expresie rațională la forma canonică: dezvăluie toate parantezele, apoi aduce totul într-un numitor comun, sumează și reduce și reduce; Se certifică toate numerele în recordul zecimal final pentru rațional. Forma canonică este "anulată" în caz de transformări care nu sunt raționale

ratsimp (expresie) - simplifică expresia datorită transformărilor raționale. Funcționează inclusiv "adânc în", adică irațional

Capitolul 1 Bazele muncii în Matematica Computer Math Maxima

o parte din expresie nu este considerată atomică, ci simplificată, inclusiv toate elementele raționale din ele

fullratsimp (expresie) -funcția de simplificare a expresiei raționale prin metoda utilizării secvențiale la expresia transmisă a funcției RATSIMP (). Datorită acestui fapt, funcția funcționează ușor mai mult decât RATSIMPP (), dar oferă un rezultat mai fiabil.

extindeți (expresie) - dezvăluie paranteze în expresie la toate nivelurile de cuibărit. Spre deosebire de funcția RateXpand (), fracțiile de tranzit către denominatorul general nu conduc.

radcan (expresie) este o funcție de simplificare a funcțiilor logaritmice, exponențiale și a alimentării cu indicatori raționali non-țintă, adică rădăcini (radicali).

Adesea, numai complicația sa poate apărea atunci când încercați să simplificați expresia în Maxima. O creștere a rezultatului poate apărea datorită faptului că nu este cunoscut ce valori pot lua variabilele incluse în expresie. Pentru a evita acest lucru, trebuie să fiți limitat la valorile pe care le poate primi variabila. Acest lucru se face folosind funcția de asumare. Prin urmare, în unele cazuri, cel mai bun rezultat poate fi realizat prin combinarea Radcanului () cu RATSIMP () sau FullratSimp ().

			- A 2 B 2
		aBA1 / 4.
Exemplu. Simplificați expresia	b A B A 2 1/4		a 2-B 2.

Dacă aplicați expresiei noastre pentru a simplifica rațional, primim:

Aplicați funcția presupusă (condiție) și utilizați-o la unele variabile incluse în expresie, restricții asupra valorilor acestora:

Așa-zisul GUBINA, E.V. Andropov.

După cum puteți vedea, au primit un rezultat compact.

1.9. Soluția ecuațiilor algebrice și a sistemelor acestora

ÎN sistemul Maxima pentru rezolvarea ecuațiilor liniare și neliniare este utilizat Funcția de rezolvare încorporată, care are următoarea sintaxă:

rezolva (expr, x) - rezolvă ecuația de exprbră algebrică față de variabilaxx

rezolva (expr) - rezolvă ecuația de exprbră algebrică față de o variabilă necunoscută inclusă în ecuație.

De exemplu, rezolvați ecuația liniară 5 x + 8 \u003d 0. Pentru a face acest lucru, folosim butonul din bara de instrumente, când faceți clic pe care apare o casetă de dialog (figura 13). Introducem ecuația inițială și faceți clic pe OK.

Smochin. 13. Caseta de dialog pentru rezolvarea ecuațiilor

Ca rezultat, o echipă va fi formată în documentul de lucru pentru a rezolva ecuația și soluția găsită:

Capitolul 1 Bazele muncii în Matematica Computer Math Maxima

Comanda pentru a rezolva ecuațiile poate fi setată astfel încât să puteți verifica cu ușurință deciziile găsite. Pentru a face acest lucru, este recomandabil să utilizați comanda de substituție EV.

De exemplu, rezolvăm ecuația algebrică X 3 + 1 \u003d 0 și efectuă verificarea deciziilor constatate.

Ca rezultat, s-au obținut trei rădăcini. Sub Numele Resh, avem o listă de valori - rădăcinile ecuației. Elementele listei sunt în paranteze pătrate și separate de unul dintre celelalte semicol. Pentru fiecare astfel de element al listei, puteți contacta numărul acestuia. Îl folosim când verificăm soluțiile: vom înlocui alternativ fiecare dintre rădăcini în ecuația inițială.

Folosind comanda Allroots (expr), puteți găsi toate soluțiile aproximative ale ecuației algebrice. Această comandă poate fi utilizată dacă comanda de rezolvare nu a putut găsi soluția la ecuația sau soluția este obținută prea greoaie, deoarece, de exemplu, pentru următoarea ecuație: (1 + 2 x) 3 \u003d 13,5 (1 + 5) .

Așa-zisul GUBINA, E.V. Andropov.

Folosind comanda SOLVE, puteți găsi soluții de sisteme de ecuații algebrice liniare. De exemplu, un sistem de ecuații liniare

Ð x +2 y +3 z +4 k +5 m \u003d 13
	2 x + y + 2 z + 3 K + 4 m \u003d 10

	2 x + 2 y + z + 2 K + 3 m \u003d 11 pot fi rezolvate după cum urmează:

	2 x + 2 y + 2 z + k + 2 m \u003d 6

ï 2 x +2 y +2 z +2 k + m \u003d 3

1. Salvați fiecare dintre ecuațiile sistemului sub numele EQ1, EQ2, EQ3, EQ4, EQ5.

2. Găsim soluția de sistem.

3. Efectuați verificarea soluției găsite:

Astfel, la înlocuirea soluției obținute în fiecare dintre ecuațiile sistemului, a fost obținută egalitatea fidelă.

Funcția de rezolvare a sistemului Maxima poate rezolva ecuațiile liniare în cazul în care soluția nu este numai. Apoi, acesta stabilește la denumirile de tip% R_Number pentru a arăta că o variabilă necunoscută este liberă și poate lua valori.

Pentru a rezolva sistemele de ecuații neliniare, puteți utiliza comanda Algsys. De exemplu, găsiți soluția sistemului de ecuații