CONFERINȚA nr. 16

APROXIMAREA ELEMENTELOR DUMNEAVOASTRĂ. METODE PENTRU CALCULUL CIRCUITELOR ELECTRICE NELINEARE

Întrebări de studiu

1. Aproximarea caracteristicilor I - V ale elementelor neliniare. Aproximare polinomială.

2. Aproximare liniară în bucăți.

3. Clasificarea metodelor de analiză nu este circuite liniare.

4. Metode analitice și numerice pentru analiza circuitelor DC neliniare.

7. Curent într-un rezistor neliniar atunci când este expus la o tensiune sinusoidală.

8. Transformări de bază efectuate folosind neliniar circuite electrice curent alternativ.

1. Aproximarea caracteristicilor curent-tensiune ale elementelor neliniare

Caracteristicile curent-tensiune ale elementelor reale ale circuitelor electrice au de obicei o formă complexă și sunt prezentate sub formă de grafice sau tabele de date experimentale. În multe cazuri, aplicarea directă a caracteristicilor I - V date în această formă se dovedește a fi incomodă și tind să fie descrise folosind relații analitice destul de simple care reflectă calitativ natura caracteristicilor I - V luate în considerare.

Înlocuirea funcțiilor complexe cu expresii analitice aproximative se numeșteapropiere .

Expresiile analitice care aproximează caracteristicile I - V ale elementelor rezistive neliniare ar trebui să descrie cursul caracteristicilor reale cât mai exact posibil.

În consecință, problema aproximării caracteristicii I-V include două probleme independente:

1) alegerea funcției aproximative;

2) determinarea valorilor coeficienților constanți incluși în această funcție, cel mai adesea se utilizează două tipuri de aproximare a caracteristicilor I - V ale elementelor neliniare:

Polinom;

La fel liniar.

1.1. Aproximare polinomială

Aproximarea printr-un polinom de putere se realizează pe baza formulei seriei Taylor pentru caracteristica I - V a NE:

acestea. Caracteristica I - V în acest caz trebuie să fie continuă, fără echivoc și absolut netedă (trebuie să aibă derivate de orice ordin).

În calculele practice, caracteristicile I - V nu sunt de obicei diferențiate, dar necesită, de exemplu, ca curba aproximativă (16,5) să treacă prin curenții dați.

În așa-numita metodă în trei puncte, este necesar ca câteva trei puncte caracteristice I-V:

(eu 1 , tu 1), (eu 2 , tu 2), (eu 3 , tu 3) - a corespuns valorii nominale (16.5) (Figura 16.9).

Din ecuații

este ușor să găsiți coeficienții necesari A 0 , A 1 , A 2, deoarece sistemul (16.6) este liniar în raport cu acestea.

Dacă caracteristica I - V este puternic indentată și este necesară pentru a reflecta trăsăturile acesteia, este necesar să se ia în considerare un număr mai mare de puncte caracteristice I - V. Un sistem de tip (16.6) devine complicat, dar soluția sa poate fi găsită prin formula Lagrange, care determină ecuația polinomului care trece prin n puncte:

(16.7)

Unde A k ( tu) = (tu – tu 1) ... (tu – tu k-1) ( tu – tu k + 1) ... ( tu – tu n).

Exemplu... Fie ca elementul neliniar să aibă un set VAC grafic (Fig. 16.10).

Este necesar să se aproximeze caracteristica I - V a IE printr-un polinom de putere.

Patru puncte cu coordonate sunt evidențiate pe caracteristica I - V:

Pe baza formulei Lagrange (16.7), obținem

Astfel, funcția aproximativă are forma

și ne = -6,7 eu 3 + 30eu 2 – 13,3eu.

2. Aproximare liniară în bucăți

La parțial liniar aproximarea caracteristicii I - V a NE este aproximată prin un set de secțiuni liniare(bucăți) în apropierea posibilelor puncte de operare.

Exemplu... Pentru două secțiuni ale caracteristicii neliniare I - V (Fig. 16.11) obținem:

Exemplu... Să fie necesar să se liniarizeze secțiunea caracteristică I - V între curenți DARși ÎN care este folosit ca zonă de lucru în apropierea punctului de lucru R(fig. 16.12).

Atunci ecuația secțiunii liniarizate a caracteristicii I - V în apropierea punctului de operare este R va fi

Evident, aproximarea analitică a caracteristicii I - V este corectă numai pentru secțiunea de liniarizare selectată.

Academia Rusiei

Departamentul de Fizică

Rezumat pe această temă:

"APROXIMAREA CARACTERISTICILOR ELEMENTELOR NELINEARE ȘI ANALIZA CIRCUITELOR SUB IMPACT ARMONIC"

Întrebări de studiu

1. Aproximarea caracteristicilor elementelor neliniare

2. Metode de analiză grafo-analitice și analitice

3. Analiza circuitelor folosind metoda unghiului de tăiere

4. Impactul a două vibrațiile armonice pe inerțialitate

element neliniar

Literatură

Introducere

Pentru toate circuitele liniare considerate anterior, este valabil principiul suprapunerii, din care urmează o consecință simplă și importantă: un semnal armonic, care trece printr-un sistem staționar liniar, rămâne neschimbat în formă, dobândind doar altă amplitudine și fază inițială. De aceea un circuit staționar liniar nu este capabil să îmbogățească compoziția spectrală a oscilației de intrare.

O caracteristică a NE-urilor, în comparație cu cele liniare, este dependența parametrilor NE de magnitudinea tensiunii aplicate sau de puterea curentului curent. Prin urmare, în practică, atunci când se analizează circuite neliniare complexe, sunt utilizate diferite metode aproximative (de exemplu, acestea înlocuiesc un circuit neliniar cu unul liniar în regiunea modificărilor mici în semnalul de intrare și utilizează metode liniare de analiză) sau sunt limitate la concluzii calitative.

O proprietate importantă a circuitelor electrice neliniare este capacitatea de a îmbogăți spectrul semnalului de ieșire. Această caracteristică importantă este utilizată în construcția de modulatori, convertoare de frecvență, detectoare etc.

Soluționarea multor probleme asociate cu analiza și sinteza dispozitivelor și circuitelor de inginerie radio necesită cunoașterea proceselor care au loc cu acțiunea simultană a două semnale armonice asupra unui element neliniar. Acest lucru se datorează necesității de a multiplica două semnale atunci când implementați dispozitive precum convertizoare de frecvență, modulatori, demodulatori etc. În mod firesc, compoziția spectrală a curentului de ieșire NE sub acțiunea biharmonică va fi mult mai bogată decât în ​​acțiunea monoharmonică.

O situație apare adesea când unul dintre cele două semnale care afectează NE are o amplitudine mică. Analiza în acest caz este mult simplificată. Se poate presupune că, în ceea ce privește un semnal mic, NE este liniar, dar cu un parametru variabil (în acest caz, panta caracteristicii I - V). Acest mod de funcționare al NE se numește parametric.

1. Aproximarea caracteristicilor elementelor neliniare

Atunci când analizează circuite neliniare (NC), acestea nu iau de obicei în considerare procesele care apar în interiorul elementelor care alcătuiesc acest circuit, ci sunt limitate doar de caracteristicile lor externe. De obicei, aceasta este dependența curentului de ieșire de tensiunea de intrare aplicată.

, (1)

care este denumită în mod obișnuit caracteristica curent-tensiune (VAC).

Cel mai simplu lucru este să folosiți forma tabelară existentă a caracteristicii I - V pentru calcule numerice. Dacă analiza circuitului ar trebui realizată prin metode analitice, atunci apare problema selectării unei astfel de expresii matematice care să reflecte toate cele mai importante caracteristici ale caracteristicilor luate experimental.

Aceasta nu este altceva decât o problemă de aproximare. În acest caz, alegerea expresiei aproximative este determinată atât de natura neliniarității, cât și de metodele de calcul utilizate.

Caracteristicile reale au destule vedere complexă... Acest lucru le face dificilă o acuratețe descriere matematică... În afară de, formă tabulară reprezentarea caracteristicii I - V face caracteristicile discrete. În intervalele dintre aceste puncte, caracteristicile I - V sunt necunoscute. Înainte de a trece la aproximare, este necesar să se determine cumva valorile necunoscute ale caracteristicii I - V, pentru ao face continuă. Aici apare problema interpolării (din lat. inter- între, poliomielita- netezire) - aceasta este căutarea valorilor intermediare ale unei funcții de către unele dintre valorile sale cunoscute. De exemplu, găsirea valorilor

în puncte situate între puncte după valori cunoscute. Dacă, atunci o procedură similară are probleme de extrapolare.

De obicei, doar acea parte a caracteristicii care este zona de lucru este aproximată, adică în intervalul de variație al amplitudinii semnalului de intrare.

Când se aproximează caracteristicile curent-tensiune, este necesar să se rezolve două probleme: să se aleagă o anumită funcție de aproximare și să se determine coeficienții corespunzători. Funcția ar trebui să fie simplă și, în același timp, să transmită suficient de precis caracteristica aproximativă. Determinarea coeficienților funcțiilor aproximative se realizează prin metodele de interpolare, rădăcină-medie-pătrat sau aproximare uniformă, care sunt luate în considerare în matematică.

Matematic, enunțul problemei de interpolare poate fi formulat după cum urmează.

Găsiți polinomul

gradul nu mai mult n astfel încât eu = 0, 1, …, n dacă sunt cunoscute valorile funcției originale în puncte fixe, eu = 0, 1, …, n... Se demonstrează că există întotdeauna un singur polinom de interpolare, care poate fi reprezentat sub diferite forme, de exemplu, sub forma lui Lagrange sau Newton. (Luați-vă în considerare studiul de sine în conformitate cu literatura recomandată).

Aproximare polinomială a puterii și liniară în bucăți

Se bazează pe utilizarea seriei Taylor și Maclaurin bine cunoscute din cursul matematicii superioare și constă în extinderea caracteristicii neliniare I - V

într-o serie cu dimensiuni infinite care converge într-un vecinătate a punctului de lucru. Deoarece o astfel de serie nu este realizabilă din punct de vedere fizic, este necesar să se limiteze numărul de membri ai seriei pe baza preciziei solicitate. Aproximarea legii puterii se aplică cu o modificare relativ mică a amplitudinii impactului față de.

Să luăm în considerare forma tipică a caracteristicii I - V a oricărui NE (Fig. 1).

Voltaj

determină poziția punctului de operare și, în consecință, modul static de funcționare al NE.

Orez. 1. Un exemplu de caracteristică tipică I - V a unui NE

De obicei, nu întreaga caracteristică a NE este aproximată, ci doar zona de lucru, a cărei dimensiune este determinată de amplitudinea semnalului de intrare, iar poziția pe caracteristică este determinată de magnitudinea deplasării constante

... Polinomul aproximativ se scrie ca, (2)

unde coeficienții

sunt definite prin expresii.

Aproximarea printr-un polinom de putere constă în găsirea coeficienților seriei

... Pentru o formă dată a caracteristicii I - V, acești coeficienți depind în mod semnificativ de alegerea punctului de operare, precum și de lățimea secțiunii utilizate a caracteristicii. În acest sens, este recomandabil să se ia în considerare unele dintre cele mai tipice și importante cazuri pentru practică.

1. Punctul de operare este situat în mijlocul secțiunii liniare (Fig. 2).

Orez. 2. Punctul de lucru al caracteristicii I - V - la mijlocul secțiunii liniare

Zona caracteristică, unde legea schimbării curentului este aproape de liniară, este relativ îngustă, de aceea amplitudinea tensiunii de intrare

nu ar trebui să depășească această zonă. În acest caz, puteți scrie :, (3) - curent de repaus; ; - panta diferențială a caracteristicii.

Acest caz se aplică numai atunci când semnalul este slab.

Obișnuit, I - V caracteristicile elementelor neliniare i = F (u) obține experimental, de aceea cel mai des acestea sunt date sub formă de tabele sau grafice ... La se ocupă de expresii analitice , este necesar recurge la aproximare.

Să notăm ceea ce este dat în tabel sau grafic CVC element neliniar i = F V (u), dar funcția analitică, aproximativ dat caracteristică, i = F (u, a 0, a 1, a 2, ..., a N ). Unde a 0, a 1, ..., a N – cote această funcție, a găsi ca urmare a aproximării.

A) În metoda Chebyshev cote A 0 , A 1 , … , A Funcția N F (u) sunt din starea:

adică ei sunt determinate în procesul de minimizare a abaterii maxime a funcției analitice față de cea dată. Aici u k, k = 1, 2, ..., G - valorile de tensiune selectate tu.

În aproximarea RMS cote A 0 , A 1 , …, A N trebuie sa fii așa pentru a minimiza magnitudinea:

, (2.6)

B) Aproximarea Taylor a funcției bazat pe reprezentare funcţie i = F (u) de seria Taylor în vecinătatea punctului u = U 0:

și determinarea coeficienților din aceasta descompunere. Dacă limitează-te la primii doi termeni ai expansiunii într-o serie Taylor, atunci vom vorbi despre înlocuirea unei dependențe neliniare complexe F (u) mai simplu relație liniară ... Astfel de înlocuirea se numește liniarizare a caracteristicilor.

Primul termen de expansiune F (U 0) = I 0 reprezintă DC. la punctul de operare la u = U 0, dar a doua oră lenjerie

panta diferențială a caracteristicii curent-tensiune la punctul de funcționare , eu mănânc u = U 0 .

ÎN) Cel mai abordare comună o funcție dată este interpolare(metoda punctelor selectate), cu care cote A 0 , A 1 , …, A N funcție aproximativă F (u) se găsesc din egalitatea acestei funcții și a datului F x (u) în punctele selectate (noduri de interpolare) u k = 1, 2, ..., N + 1.

E) Puterea (polinom ) aproximare. Acest nume a fost dat aproximarea caracteristicii I - V prin polinoame de putere:

Uneori poate fi convenabil să se rezolve problema de aproximare caracteristici date într-un cartier al punctului U 0 numit lucru... Apoi folosiți polinomul de putere

Apropiere putere-lege lat utilizat în analiză operă neliniară dispozitive la care relativ mici influențe externe , asa de este necesară o reproducere suficient de exactă a neliniarității caracteristicii în vecinătatea punctului de operare.

E) Aproximare liniară în bucăți. În cazurile în care elementul neliniar este afectat de solicitări cu amplitudini mari, Mai mult înlocuirea aproximativă a caracteristicii unui element neliniar și utilizare Mai mult funcții aproximative simple ... Cel mai de multe ori atunci când se analizează funcționarea unui element neliniar în acest mod real caracteristica este înlocuită segmente de linii drepte cu pante diferite .

Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că polinoamele de putere de gradul I ( N = 1 ) cu valori diferite ale coeficienților A 0 , A 1 , … , A N.

Prin urmare, problema aproximării caracteristicii I - V a elementelor neliniare constă în alegerea formei funcției aproximative și determinarea coeficienților acesteia printr-una din metodele de mai sus.

De regulă, caracteristicile I - V ale elementelor neliniare sunt obținute experimental; mai rar este posibil să le găsim din analiza teoretică. Pentru studiu, este necesar să selectați o funcție de aproximare astfel încât, fiind destul de simplă, să reflecte toate caracteristicile posibile ale caracteristicilor experimentale măsurate cu un grad suficient de precizie. Cel mai adesea, se utilizează următoarele metode de aproximare a caracteristicilor curent-tensiune ale dispozitivelor cu două terminale: liniară în bucăți, putere-legea, aproximare exponențială.

Aproximare liniară în bucăți

O astfel de aproximare este de obicei utilizată la calcularea proceselor în ecuații neliniare în cazul unor amplitudini mari de influențe externe. Aceasta metoda bazat pe aproximarea caracteristicilor elementelor neliniare, adică pe înlocuirea aproximativă a caracteristicii reale cu segmente de linie dreaptă cu pante diferite. Figura arată caracteristica de intrare a unui tranzistor real, aproximativ de două segmente de linie dreaptă.

Aproximarea este determinată de doi parametri - tensiunea de la începutul caracteristicii Uн și panta S. Forma matematică a caracteristicii aproximate I - V este următoarea:

Tensiunea de la începutul caracteristicilor de intrare a tranzistoarelor bipolare este de ordinul 0,2-0,8 V: panta caracteristicii curentului de bază ib (Ube) este de aproximativ 10 mA / V. Panta caracteristicii ik (Ube) a curentului colectorului în funcție de tensiunea de bază a emițătorului, atunci valoarea de 10mA / V trebuie înmulțită cu h21e - factorul de amplificare a curentului de bază. Deoarece h21e = 100-200, panta indicată este de ordinul mai multor amperi pe volt.

Apropiere putere-lege

Aproximarea legii puterii este utilizată pe scară largă în analiza funcționării dispozitivelor neliniare la care se aplică influențe externe relativ mici. Această metodă se bazează pe extinderea caracteristicii neliniare de tensiune curent i (u) într-o serie Taylor care converge în vecinătatea punctului de operare U0.

numărul de termeni din extindere depinde de precizia specificată. Considera exemplu:

Caracteristica de intrare a tranzistorului. Punct de lucru U0 = 0,7V. Selectăm 0,5 puncte ca noduri de aproximare; 0,7 și 0,9 V.

Este necesar să se rezolve sistemul de ecuații:

Compoziția spectrală a curentului într-un element neliniar cu acțiune armonică externă

Luați în considerare un circuit format dintr-o conexiune în serie a unei surse de semnal armonic Uс (t) = coswt, o sursă de tensiune de polarizare continuă U0 și un element neliniar non-inerțial. Pentru a face acest lucru, luați în considerare figura.

Curentul din circuit este sinusoidal.

Forma curentului și a tensiunii sunt diferite.

Motivul distorsiunii curbei de curent este simplu: creșteri inegale de curent corespund acelorași creșteri de tensiune, deoarece , iar panta diferențială a caracteristicii I - V în diferite secțiuni este diferită.

Să analizăm problema analitic.

Spuneți-ne funcția neliniară i (u) = i (Uc, U0). Tensiunea semnalului Uc (t) = Umcos (wt + j) acționează asupra elementului neliniar.

Cantitate adimensională x = wt + j, atunci I (x) = I (Umcosx, U0) este o funcție periodică în raport cu argumentul x cu o perioadă de 2T. Să ne imaginăm alături de Fourier cu coeficienți .

Funcția i (x) este uniformă, deci seria Fourier va conține doar componente cosinus: .

Coeficienți de armonie a amplitudinii

Ultimele două formule dau decizie comună problemele spectrului curent într-un element neliniar sub o acțiune externă armonică:

acestea. curentul, pe lângă componenta constantă I0, conține o secvență infinită de armonie cu amplitudinile In. Amplitudinile armoniei depind de parametrii Um și U0, precum și de forma funcției aproximative.

Să luăm în considerare modul în care depinde de tipul funcției aproximative.

La fel liniar

i (U) =

Tensiunea u (t) = U0 + Umcoswt aplicat.

Graficul curent are forma impulsurilor de cosinus limită. Unghiul de întrerupere a impulsurilor de curent este determinat din egalitatea:

U0 + Umcosq = Un Þ .

Apropiere putere-lege.

Lăsați în vecinătatea punctului de operare U0 caracteristica I - V a elementului neliniar

Multe dintre cele mai importante procese (amplificare neliniară, modulare, detectare, generare, multiplicare, diviziune și conversie de frecvență) sunt efectuate în dispozitive electronice folosind circuite neliniare și parametrice.

În cazul general, analiza procesului de conversie a semnalului în circuite neliniare este o sarcină foarte dificilă, care este asociată cu problema rezolvării ecuațiilor diferențiale neliniare. În acest caz, principiul suprapunerii nu este aplicabil, deoarece parametrii unui circuit neliniar atunci când sunt expuși la o sursă a unui semnal de intrare diferă de parametrii săi atunci când sunt conectate mai multe surse. Cu toate acestea, studiul circuitelor neliniare poate fi realizat comparativ metode simple dacă elementul neliniar îndeplinește condițiile de inerțialitate. Fizic, inerțialitatea unui element neliniar (NE) înseamnă stabilirea instantanee a unui răspuns la ieșirea sa după o schimbare a acțiunii de intrare. Strict vorbind, elementele neliniare inerțiale practic nu există. Toate elementele neliniare - diode, tranzistoare, microcircuite analogice și digitale au proprietăți inerțiale. În același timp, dispozitivele semiconductoare moderne sunt destul de perfecte în parametrii de frecvență și pot fi idealizate din punctul de vedere al inerțialității lor.

Majoritatea circuitelor și dispozitivelor radio neliniare sunt definite de diagrama bloc prezentată în Figura 2.1. Conform acestui circuit, semnalul de intrare afectează direct elementul neliniar, la ieșirea căruia este conectat filtrul (circuit liniar).

Desen. 2.1. Schema structurală dispozitiv neliniar.

În aceste cazuri, procesul într-un circuit electronic neliniar poate fi caracterizat prin două operații independente una de alta. Ca urmare a primei operații în elementul neliniar inerțial, forma semnalului de intrare este transformată în așa fel încât noi componente armonice să apară în spectrul său. A doua operație este realizată de un filtru, evidențiind componentele spectrale necesare ale semnalului de intrare convertit.Prin schimbarea parametrilor semnalelor de intrare și folosind diferite elemente și filtre neliniare, este posibil să se efectueze transformarea necesară a spectrului. Multe scheme de modulatori, detectoare, oscilatoare, redresoare, multiplicatoare, divizoare și convertoare de frecvență sunt reduse la un model teoretic atât de convenabil.

De obicei, circuitele neliniare se caracterizează printr-o relație complexă între semnalul de intrare și răspunsul de ieșire, care în vedere generala poate fi scris astfel:

U out (t) = f

În circuitele neliniare cu NE-uri inerțiale, este cel mai convenabil să se ia în considerare tensiunea de intrare U în (t) ca impact și curentul de ieșire i (t) ca răspuns, conexiunea dintre care este determinată de dependența funcțională neliniară:

i out (t) = f

Acest raport poate reprezenta analitic caracteristica curent-tensiune obișnuită a NE. Această caracteristică este deținută și de un dispozitiv neliniar cu doi poli (tranzistor, op-amp, microcircuit digital) care funcționează într-un mod neliniar la diferite amplitudini ale semnalului de intrare. Caracteristicile curent-tensiune (pentru elementele neliniare sunt obținute experimental, majoritatea elementelor neliniare au o formă complexă, prin urmare reprezentarea lor prin expresii analitice este o sarcină destul de dificilă. Metodele analitice de reprezentare sunt utilizate pe scară largă în dispozitivele electronice. caracteristici neliniare diverse dispozitive cu funcții relativ simple (sau un set de ele) care reflectă aproximativ caracteristicile reale. Găsirea unei funcții analitice din caracteristica experimentală a unui element neliniar se numește aproximare. Există mai multe moduri de a aproxima caracteristicile - putere-lege, exponențială, bucată-liniară (aproximare liniară-spartă). Cele mai răspândite sunt aproximarea printr-un polinom de putere și aproximarea liniară în bucăți.

Aproximarea printr-un polinom de putere. Acest tip de aproximare este deosebit de eficient la amplitudini mici (de regulă, fracțiuni de volt) ale semnalelor de intrare în cazurile în care caracteristica NE are forma unei curbe netede, adică curba și derivatele sale sunt continue și nu au salturi. Seria Taylor este cea mai des utilizată în aproximare ca polinom de putere

i (u) = a o + a 1 (u-U o) + a 2 (u-U o) 2 + ... + a n (u-U o) n, (2.1)

unde a o, a 1, ... a n - coeficienți constanți; U o - valoarea tensiunii u, în raport cu care expansiunea se efectuează într-o serie și se numește punctul de operare. Rețineți că aici și mai jos argumentul t pentru funcțiile de curent și tensiune este omis pentru simplitate. Coeficienții constanți ai seriei Taylor sunt determinați de formula binecunoscută

Numărul optim de membri ai seriei este luat în funcție de precizia de aproximare a conductei. Cu cât sunt selectați mai mulți membri ai seriei, cu atât aproximarea este mai precisă. De obicei este posibilă aproximarea caracteristicilor cu o precizie suficientă printr-un polinom care nu este mai mare decât gradul al doilea - al treilea. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai seriei, este necesar să setați intervalul U 1, U 2 al mai multor valori posibile de tensiune u și poziția punctului de funcționare U o în acest interval. Dacă este necesar să se determine n coeficienți ai unei serii, atunci se selectează n + 1 puncte cu coordonatele lor (i n, u n) pe o caracteristică dată. Pentru a simplifica calculele, un punct este combinat cu punctul de lucru U o, care are coordonate (I o, U o); se selectează încă două puncte la limitele intervalului u = U 1 și u = U 2. Restul punctelor sunt situate în mod arbitrar, dar ținând cont de importanța secțiunii aproximative a caracteristicii I - V. Înlocuind coordonatele punctelor selectate în formula (2.1), ele formează un sistem al ecuațiilor lor n + 1, care se rezolvă pentru coeficienții necunoscuți a n din seria Taylor.

Figura 2.2. Aproximarea caracteristicilor tranzistorului de către un polinom de putere.

Exemplul 2.1.În fig. 2.2 linia punctată arată caracteristica de intrare I b = f (U bs) a tranzistorului KT601A. Aproximați caracteristica dată a tranzistorului în intervalul 0,4 ... 0,8 V cu polinomul Taylor de gradul II ib = ao + a 1 (u bе -U o) + a 2 (u bе -U o) 2 relativ până la punctul de operare U o = 0, 6 B.

Soluţie... Pentru a simplifica calculele, selectăm valorile tensiunilor la limitele domeniului și la punctul de operare ca puncte de aproximare, adică 0,4; 0.6 și

0,8 V. Deoarece punctele selectate corespund curenților de 0,1; 0,5 și 1,5 mA, apoi pentru un polinom dat obținem următorul sistem de ecuații:

0.1 = a o + a 1 (0.4-0.6) + a 2 (0.4-0.6) 2 = a o -0.2a 1 +0.04 a 2

0,5 = a o + a 1 (0,6-0,6) + a 2 (0,6-0,6) 2 = a o

1.5 = a o + a 1 (0.8-0.6) + a 2 (0.8-0.6) 2 = a o + 0.2a 1 +0.04 a 2

Soluția acestui sistem de ecuații dă valorile coeficienților a o = 0,5 mA, a 1 = 3,5 mA / V, a 2 = 7,5 mA / V 2. Înlocuindu-le în formula (2.1), găsim funcția de aproximare (graficul său este prezentat în figura cu o linie continuă): i b = 0,5 + 3,5 (u b -0,6) +7,5 (u b -0,6) 2.

Aproximare liniară în bucăți.În cele mai multe cazuri practice, atunci când un semnal de intrare de amplitudine semnificativă acționează asupra unui element neliniar al unui circuit electronic, caracteristica curent-tensiune reală a elementului neliniar poate fi aproximată printr-o linie liniară în bucăți formată din mai multe segmente de linie dreaptă cu unghiuri de înclinare diferite spre axa absciselor. Această aproximare este direct legată de două parametrii importanți element neliniar - tensiunea de la începutul caracteristicii E n și panta sa S. În cazul general, panta diferențială a caracteristicii la punctul de funcționare este determinată de raportul dintre creșterea curentului și creșterea tensiunii și mici valori pe care le avem

Ecuația unui segment de linie dreaptă cu o aproximare liniară în bucăți a caracteristicii este scrisă în forma:

i = (0, u

i = (S (u-E n), u> E n (2.4)

În multe dispozitive de inginerie radio, caracteristica unui element neliniar, căruia i se aplică un semnal de amplitudine mare, poate fi aproximată cu o precizie acceptabilă numai prin două segmente de linie dreaptă.

Exemplul 2.2. Caracteristica de intrare luată experimental Ib = f (Ube) a tranzistorului KT601A este prezentată în Fig. 2.3. linie întreruptă. Efectuați o aproximare liniară în bucăți a acestei caracteristici în apropierea punctului de operare U o = 0,6 V.

Soluţie... În conformitate cu caracteristica dată de volt-ampere a tranzistorului, constatăm că valoarea curentului la punctul de funcționare I aproximativ = 0,5 mA. Panta caracteristicii la punctul de operare este calculată aproximativ prin formula (2.3). Setând creșterea liniară a tensiunii ∆u fi = 0,8 - 0,6 = 0,2 V, găsim creșterea curentă ∆i b =

1,5-0,5 = 1 mA. Atunci S = ∆i b / ∆u b = 1 / 0,2 = 5 mA / V.

Figura 2.3. Apropiere liniară a caracteristicilor tranzistorului.

Ca urmare a aproximării caracteristicilor, curentul de bază al tranzistorului în vecinătatea punctului de operare cu coordonatele I o = 0,5 mA, U o = 0,6 V. Se determină astfel: ib = 0,5 + 5 (u fie -0,6) = 5 (u fi -0,5).

Din această formulă rezultă că pentru u be<0,5 В ток базы транзистора должен принимать отрицательные значения, что не отражается заданной характеристикой. Значит, полученная функция будет аппроксимировать заданную зависимость только при амплитуде входного напряжения u бэ >0,5 V. Dacă tensiunea de intrare u este<0,5 В, то можно принять i б =0. Таким образом, аппроксимирующая функция (сплошная линия на рисунке), отражающая характеристику транзистора, запишется в следующем виде:

i = (0, tu be<0,5

i = (5 (u be -0,5), u be> 0,5

O creștere a preciziei de aproximare a caracteristicilor elementelor neliniare se realizează prin creșterea numărului de segmente de linie. Cu toate acestea, acest lucru complică expresia analitică a funcției aproximative.

Prelegerea numărul 9.

Informații similare.